Báo cáo nghiên cứu khoa học: "TÍNH CHẤT ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ COMPACT CỦA ĐƠN HÌNH CHUẨN TRONG KHÔNG GIAN" ppt

TÍNH CHẤT ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ
COMPACT CỦA ĐƠN HÌNH CHUẨN TRONG KHÔNG
GIAN
p
l
(0<p<1)
THE FIXED POINT PROPERTY FOR COMPACT MAPS OF NORMAL
SIMPLEX IN THE SPACE
p
l
(0<p<1)


LÊ HOÀNG TRÍ
Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

TÓM TẮT
Ta đã biết rằng mỗi tập lồi trong không gian topo tuyến tính lồi địa phương đều có tính chất
điểm bất động đối với các ánh xạ compact. Câu hỏi đặt ra là điều này còn đúng với các không
gian topo tuyến tính không lồi địa phương không. Bài báo này chỉ ra rằng đơn hình chuẩn
trong không gian
p
l
(0<p<1) (không gian topo tuyến tính không lồi địa phương) có tính chất
điểm bất động đối với các ánh xạ compact.

ABSTRACT
We know that every convex subset in local convex space has the fixed point property for
compact maps. However, it is not known, whether a convex subset of a non-locally convex
space has the property. The aim of this paper is to prove that normal simplex in the space l
p

(0<p<1) ( non-locally convex space ) has the fixed point property for compact maps.

1. Mở đầu
Năm 1951, Dugundji chứng minh rằng mỗi tập lồi trong một không gian metric tuyến
tính lồi địa phương là một AR. Borsuk chứng minh được rằng mỗi AR là có tính chất điểm bất
động đối với các ánh xạ compact. Từ đó người ta suy được rằng:
Mỗi tập lồi trong một không gian metric tuyến tính lồi địa phương đều có tính chất
điểm bất động đối với mỗi ánh xạ compact. Sau đó Mazur và Hukuhara mở rộng kết quả này
cho không gian topo tuyến tính lồi địa phương. Người ta đặt ra câu hỏi rằng : có phải mỗi tập
lồi trong một không gian metric tuyến tính không lồi địa phương có tính chất điểm bất động
đối với ánh xạ compact hay không?
Mục đích của bài báo này là chứng minh các đơn hình chuẩn trong không gian l
p

(0<p<1) đều có tính chất điểm bất động đối với các ánh xạ compact.
Không gian l
p
(0<p<1) là không gian metric tuyến tính không lồi địa phương. Trong
[3], ta biết rằng mỗi tập lồi giới nội trong không gian l
p
(0<p<1) đều có tính chất điểm bất
động đối với các ánh xạ compact, đơn hình chuẩn là tập lồi không giới nội trong không gian l
p

(0<p<1) cũng có tính chất này.

2. Kết quả chính
Trước khi chứng minh định lý chính ta nêu và chứng minh một số bổ đề
Bổ đề 1.

Cho (X,d) là một không gian metric,
f :X X
là ánh xạ compact mà không có điểm
bất động thì
0
ε
>0 : d(x, f(x))
0
ε
;
xX

Chứng minh.
Gọi K là một compact trong X mà
f(X) K
. Ta phải chứng minh

0
ε
>0 : d(x, f(x))
0
ε
;
xX
(*).
Giả sử ngược lại
ε 0, x X : d(x,f (x)) ε;

n,
chọn

1
ε
n
n n n
1
x X:d(x ,f(x )) ; n
n
. Do {f(x
n
)}
K
, do K compact nên
tồn tại dãy con
n
m
f (x )
của dãy
n
f(x )
và tồn tại
0
yK
:
n
m0
n
limd(f (x ),y ) 0
(1)
Do
nn

1
d(f (x ),x ) ; n
n

nn
nn
mm
n
mm
n
11
d(f (x ),x ) ; n
mn
limd(f (x ),x ) 0 (2)

Từ (1), (2)
nn
m 0 m 0 0 0
nn
limd(x ,y ) 0 limd(f(x ),f(y )) 0 y f(y )
vô lí.



Định nghĩa.
Cho A là một tập lồi trong một không gian metric tuyến tính (X,d), A được gọi là có
tính chấp nhận được nếu
ε0
, với mỗi tập compact
KA

thì tồn tại hàm
h : K A
liên tục mà
d(h(x),x) ε; x K
và h(K) nằm trong một không gian tuyến tính con
hữu hạn chiều của X.
Ta có

Bổ đề 2.
Cho A là một tập lồi trong một không gian metric tuyến tính (X,d). Nếu A có tính chấp
nhận được thì A có tính chất điểm bất động đối với các ánh xạ compact.

Chứng minh.
Giả sử ngược lại
f :A A
là ánh xạ compact mà không có điểm bất
động
0
ε0
:
0
d(f(x),x) ε
; x A
.
Gọi K là tập compact trong A mà
f(A) K
.
Do A có tính chấp nhận được nên
g:K A
liên tục mà

0
ε
d(g(x),x) ; x K
4
và
g(K)
nằm trong 1 không gian tuyến tính con hữu hạn chiều L của X
g(K) L A L A
là tập lồi trong không gian metric tuyến tính hữu hạn chiều L
Xét
AL
g f | :A L A L

Ta biết rằng mỗi không gian metric tuyến tính hữu hạn chiều là một không gian metric
tuyến tính lồi địa phương
LA
là một AR
LA
có tính chất điểm bất động đối với các
ánh xạ compact mà
AL
g f | (A L) g(K),
mà g(K) là tập compact
0 0 0
x A L:g f(x ) x
00
0 0 0 0
εε
d(g(f(x )),f(x )) d(x ,f(x ))
44

mà
0 0 0
d(x ,f(x )) ε
vô lí.


Trong
p
l
(0<p<1), cho
1
2
3
n
e (1,0,0, ,0, )
e (0,1,0, ,0, )
e (0,0,1, ,0, )

e (0,0, ,1,0, )

Đặt
1 2 3 n
A conv e ,e ,e , ,e ,
, A là đơn hình chuẩn trong
p
l
(0<p<1). Ta thấy A là
tập lồi không giới nội và sẽ chứng minh A có tính chất điểm bất động đối với các ánh xạ
compact.

Định lý
A có tính chất điểm bất động đối với các ánh xạ compact.

Chứng minh
Theo Bổ đề 2, ta chỉ cần chứng minh A có tính chấp nhận được.
Cho K là một tập compact bất kì trong A
Với mỗi
n
,
1 2 n
x (x ,x , ,x , ) K;
Ta đặt
n 1 2 n
p (x) (x ,x , ,x ,0,0, );

n 1 2 n 1 2 n 1
f (x) (x ,x , ,x ,1 x x x ,0, )
.
Trước hết ta có nhận xét rằng:
1 2 n
x (x ,x , ,x , ) A
thì
1 2 n n
n1
x ,x , ,x , 0, x 1
.
Thật vậy cho
q
(q) (q) (q) (q)

1 2 n 1 2 3 n
x (x ,x , ,x , ) conv e ,e ,e , ,e ,

mà
(q)
xx
(khi
q
). Khi đó
(q) (q) (q)
1 1 2 2 n n
x x ,x x , ,x x , (q )

1 2 n
1 x 0,1 x 0, ,1 x 0,

n 
, do
(q)
d(x ,x) 0
khi
q

p
n
(q)
kk
k1
x x 0

(q) (q)
k k k k
k {1,2, ,n}, x ,x [0,1] x x 1

p
(q) (q)
k k k k
x x x x
p
nn
(q) (q)
k k k k
k 1 k 1
x x x x
0 (khi q )

n n n n
(q) (q)
k k k k k
k 1 k 1 k 1 k 1
x x x x x
n
(q)
kk
k1
xx
+1;
q
.
Qua giới hạn khi

q
n
k
k1
x
1;
n
k
k1
x1
.
Từ đó
n 1 2 3 n n
f (x) conv e ,e ,e , ,e f (K)
nằm trong 1 không gian tuyến tính con hữu hạn
chiều của l
p
và
n 1 2 3 n
f (K) conv e ,e ,e , ,e , A
.
Hơn nữa
1 2 n
x (x ,x , ,x , ) K
.
p
p
n 1 2 n n 1
d(f (x),x) (1 x x x ) x

cho
(q) (q) (q) (q)
1 2 n 1 2 3 n
x (x ,x , ,x , ) conv e ,e ,e , ,e ,
mà
(q)
x x(khi q )

Ta thấy
p
(q) (q)
n n n n
n 1 n 1
x x x x 0(khi q )

mà
p
(q) (q) (q) (q)
n n n n n n n n
n 1 n 1 n 1 n 1 n 1
q ; x x (x x ) x x x x

pp
(q) (q) (q) (q)
n n n n n n n
n 1 n 1 n 1 n 1 n 1
x x x x x x x

pp
(q) (q)

n n n n n
n 1 n 1 n 1
1 x x x 1 x x

Qua giới hạn khi
q

n
n1
1 x 1
n
n1
x1

p
p p p p
n k k k k k n
k n 1 k n 1 k n 1 k n 1 k n 1
d(f (x),x) x x x x 2 x 2d(p (x),x)
.
Do đó ta cần chứng minh
0
0n
ε 0; n :d(p (x),x) ε; x K
thì A có tính chấp nhận được.Giả sử ngược lại,
p
0 1 2 n n 1 n 0 k 0
k n 1
ε 0: n , x (x ,x , , x ,x , ) K : d(p (x),x) ε x ε (*)

Sử dụng (*)
(1) (1) (1) (1) (1)
1 2 k k 1
x (x ,x , ,x ,x , ) K
mà
p
(1)
k0
k1
x ε
.Do chuỗi
p
(1)
k
k1
x
hội tụ nên
1
p
(1)
0
1k
k n 1
ε
n : x
4


11
1

p
(2) (2) (2) (2) (2) (2)
1 2 n n 1 k 0
k n 1
x (x ,x , ,x ,x , ) K: x ε
và
2
p
(2)
0
2 2 1 k
k n 1
ε
n ,n n : x
4
.
Tiếp tục quá trình này ta tìm được dãy
(k)
{x } K
mà với mọi l>k thì
d(x
(k)
,x
(l)
)
0
3ε
4
K không hoàn toàn giới nội K không compact vô lí. Vậy định lý được
chứng minh xong. 

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] C.Bessaga and A.Pelczynski, Selected topics in infinite dimensional topology, PWN,
Warszawa,1975.
[2] J.Dugundji and A.Granas, Fixed point theory I, Warszawa, 1982.
[3] Lê Hoàng Trí, "The AR-property of bound convex in the space l
p
(0<p<1)", Journal of
science and technology, University of DaNang, pp.59-64 , No 1(13), April, 2006.