Đồ thị và các thuật toán - Chương 6 doc

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v`a ba nh`a m´ay). C´o ba biˆe
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c d, mˆo
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t nh`a m´ay ho
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i d¯ˆo
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t e v`a mˆo
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t nh`a m´ay d¯iˆe
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n f. Mˆo
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c´ac nh`a m´ay bˇa
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ng nh˜u
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i v`a d¯u
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ng dˆay d¯iˆe
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n. Vˆa
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trˆen mˇa
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v`a ba nh`a m´ay v`a tˆa
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c´ac d¯u
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ng vˆa
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n chuyˆe
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n sao cho khˆong
c´o hai d¯u
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ng n`ao cˇa
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t nhau o
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mˆo
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t d¯iˆe
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m kh´ac c´ac d¯ˆa

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a ch´ung hay khˆong? Ta c´o mˆo
h`ınh ho´a bo
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3,3
: C´ac d¯ı
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tu
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ng ´u
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ng c´ac nh`a v`a c´ac nh`a m´ay

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hai l`a khˆong phˇa
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H`ınh 6.3: D
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thi
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5
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5
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`

thi
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khˆong phˇa
˙’
ng c´o sˆo
´
d¯ı
˙’
nh ´ıt nhˆa
´
t; K
3,3
l`a d¯ˆo
`
thi
.
khˆong phˇa
˙’
ng c´o sˆo
´
ca
.
nh ´ıt
nhˆa
´
t.
6.2 C´ac biˆe
˙’
u diˆe
˜

n kh´ac nhau cu
˙’
a mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
phˇa
˙’
ng
Tru
.
´o
.
c hˆe
´
t ta c´o kˆe
´
t qua
˙’
sau.
D
-
i
.
nh l´y 6.2.1 [Fary] Mo
.
i d¯o
.

n d¯ˆo
`
thi
.
phˇa
˙’
ng c´o thˆe
˙’
biˆe
˙’
u diˆe
˜
n trˆen mˆo
.
t mˇa
.
t phˇa
˙’
ng sao cho
c´ac ca
.
nh l`a c´ac d¯oa
.
n thˇa
˙’
ng v`a ch´ung chı
˙’
cˇa
´
t nhau ta

.
i c´ac d¯ı
˙’
nh chung.
Ch´u
.
nh minh. Ch´u
.
ng minh cu
˙’
a d¯i
.
nh l´y n`ay kh´a ph´u
.
c ta
.
p v`a khˆong d¯´ong g´op nhiˆe
`
u trong
viˆe
.
c hiˆe
˙’
u t´ınh phˇa
˙’
ng cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi

.
. Ba
.
n d¯o
.
c quan tˆam c´o thˆe
˙’
xem [24]. Chˇa
˙’
ng ha
.
n, d¯ˆo
`
thi
.
trong H`ınh 6.1 c´o thˆe
˙’
v˜e la
.
i chı
˙’
su
.
˙’
du
.
ng c´ac d¯oa
.
n thˇa
˙’

ng nhu
.
trong H`ınh 6.4. Trong d¯i
.
nh
l´y n`ay, d¯ˆo
`
thi
.
cˆa
`
n pha
˙’
i d¯o
.
n v`ı c´ac khuyˆen hoˇa
.
c mˆo
.
t trong hai ca
.
nh song song khˆong thˆe
˙’
v˜e
bo
.
˙’
i c´ac d¯oa
.
n thˇa

˙’
ng. 
Diˆe
.
n
K´y hiˆe
.
u R(G) l`a d¯ˆo
`
thi
.
phˇa
˙’
ng G d¯u
.
o
.
.
c biˆe
˙’
u diˆe
˜
n trˆen mˇa
.
t phˇa
˙’
ng. C´ac v`ung liˆen thˆong (theo
tˆo pˆo cu
˙’
a mˇa

.
t phˇa
˙’
ng R
2
) cu
˙’
a tˆa
.
p R
2
\ R(G) go
.
i l`a c´ac diˆe
.
n. Mˆo
.
t diˆe
.
n l`a mˆo
.
t v`ung cu
˙’
a mˇa
.
t
phˇa
˙’
ng d¯u
.

o
.
.
c gi´o
.
i ha
.
n bo
.
˙’
i c´ac ca
.
nh go
.
i l`a biˆen; hai diˆe
.
n go
.
i l`a kˆe
`
nhau nˆe
´
u c´ac d¯u
.
`o
.
ng biˆen
cu
˙’
a ch´ung c´o ´ıt nhˆa

´
t mˆo
.
t ca
.
nh chung.
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m c´ac chu tr`ınh d¯o
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i nhau, c´ac ca
.
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treo (ca
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nh c´o mˆo
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˙’
nh bˆa
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c mˆo
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t), hoˇa
.
c c´ac ca
.
nh nˆo
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i hai chu tr`ınh. Diˆe
.
n ph´ıa ngo`ai, go
.
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l`a diˆe
.
n vˆo ha
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n, luˆon luˆon tˆo
`
n ta
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i mˆo
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t chu tr`ınh l`a d¯u
.
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ng biˆen ch´u
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a bˆen trong n´o c´ac ca
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kh´ac; d¯´o l`a chu tuyˆe
´
n cu
˙’
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V´ı du
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6.2.2 Ba
˙’
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n trˆen mˇa
.
t cˆa
`
u
D
-
ˆe
˙’
tr´anh phˆan biˆe
.
t gi˜u
.

a c´ac diˆe
.
n h˜u
.
u ha
.
n v`a diˆe
.
n vˆo ha
.
n, ch´ung ta thu
.
`o
.
ng biˆe
˙’
u diˆe
˜
n c´ac
d¯ˆo
`
thi
.
phˇa
˙’
ng trˆen mˇa
.
t cˆa
`
u S

2
⊂ R
3
du
.
.
a v`ao ph´ep chiˆe
´
u nˆo
˙’
i t `u
.
S
2
lˆen R
2
. K´y hiˆe
.
u S l`a
d¯iˆe
˙’
m tiˆe
´
p x´uc cu
˙’
a mˇa
.
t cˆa
`
u v´o

.
i mˇa
.
t phˇa
˙’
ng, v`a N l`a d¯iˆe
˙’
m thuˆo
.
c mˇa
.
t cˆa
`
u sao cho NS vuˆong
g´oc v´o
.
i mˇa
.
t phˇa
˙’
ng. V´o
.
i mˆo
˜
i d¯iˆe
˙’
m P ∈ S
2
, P = N, d¯u
.

`o
.
ng thˇa
˙’
ng NP cˇa
´
t mˇa
.
t phˇa
˙’
ng R
2
ta
.
i
d¯´ung mˆo
.
t d¯iˆe
˙’
m Q. Nhu
.
vˆa
.
y ta c´o tu
.
o
.
ng ´u
.
ng mˆo

.
t-mˆo
.
t t`u
.
mˇa
.
t cˆa
`
u (bo
˙’
d¯i d¯iˆe
˙’
m N) lˆen mˇa
.
t
phˇa
˙’
ng.
Theo c´ach xˆay du
.
.
ng n`ay, hiˆe
˙’
n nhiˆen rˇa
`
ng d¯ˆo
`
thi
.

l`a phˇa
˙’
ng nˆe
´
u v`a chı
˙’
nˆe
´
u c´o thˆe
˙’
biˆe
˙’
u
diˆe
˜
n n´o trˆen mˆo
.
t mˇa
.
t cˆa
`
u sao cho c´ac ca
.
nh cu
˙’
a n´o khˆong cˇa
´
t nhau ngo`ai c´ac d¯ı
˙’
nh chung.

Do d¯´o, theo D
-
i
.
nh l´y 6.2.1 ta c´o
D
-
i
.
nh l´y 6.2.3 Mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
c´o thˆe
˙’
biˆe
˙’
u diˆe
˜
n trˆen mˇa
.
t cˆa
`
u sao cho c´ac ca
.
nh khˆong tu
.
.

cˇa
´
t
nˆe
´
u v`a chı
˙’
nˆe
´
u n´o c´o thˆe
˙’
biˆe
˙’
u diˆe
˜
n phˇa
˙’
ng trˆen mˇa
.
t phˇa
˙’
ng.
Mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
phˇa
˙’

ng d¯u
.
o
.
.
c biˆe
˙’
u diˆe
˜
n trˆen mˇa
.
t cˆa
`
u s˜e phˆan chia mˇa
.
t cˆa
`
u th`anh nhiˆe
`
u v`ung
kh´ac nhau. Mˆo
˜
i v`ung trˆen mˇa
.
t cˆa
`
u l`a miˆe
`
n gi´o
.

i nˆo
.
i, diˆe
.
n vˆo ha
.
n trˆen mˇa
.
t phˇa
˙’
ng d¯u
.
o
.
.
c ´anh
xa
.
th`anh v`ung trˆen mˇa
.
t cˆa
`
u ch´u
.
a d¯iˆe
˙’
m cu
.
.
c bˇa

´
c N. Hiˆe
˙’
n nhiˆen rˇa
`
ng, bˇa
`
ng ph´ep quay th´ıch
ho
.
.
p qua
˙’
cˆa
`
u ch´ung ta c´o thˆe
˙’
´anh xa
.
mˆo
.
t v`ung bˆa
´
t k `y th`anh diˆe
.
n vˆo ha
.
n trˆen mˇa
.
t phˇa

˙’
ng.
T`u
.
d¯´o ta nhˆa
.
n d¯u
.
o
.
.
c:
D
-
i
.
nh l´y 6.2.4 Mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
phˇa
˙’
ng c´o thˆe
˙’
biˆe
˙’
u diˆe
˜

n trˆen mˆo
.
t mˇa
.
t phˇa
˙’
ng sao cho diˆe
.
n bˆa
´
t k`y
cho tru
.
´o
.
c l`a diˆe
.
n vˆo ha
.
n.
Mˆo
´
i liˆen quan c´ac v`ung trˆen mˇa
.
t cˆa
`
u cho ph´ep ch´ung ta thˆa
´
y rˇa
`

ng khˆong c´o su
.
.
phˆan
biˆe
.
t thu
.
.
c su
.
.
gi˜u
.
a diˆe
.
n vˆo ha
.
n v`a c´ac diˆe
.
n h˜u
.
u ha
.
n trˆen mˇa
.
t phˇa
˙’
ng. Do d¯´o, khi n´oi vˆe
`

c´ac
v`ung trong mˆo
.
t biˆe
˙’
u diˆe
˜
n cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
phˇa
˙’
ng trˆen mˇa
.
t phˇa
˙’
ng, ch ´ung ta x´et ca
˙’
diˆe
.
n vˆo ha
.
n.
Ngo`ai ra, do khˆong c´o su
.
.
kh´ac nhau cˆo

´
t yˆe
´
u gi˜u
.
a c´ac ph´ep biˆe
˙’
u diˆe
˜
n d¯ˆo
`
thi
.
trˆen mˆo
.
t mˇa
.
t
phˇa
˙’
ng hay mˇa
.
t cˆa
`
u (mˇa
.
t phˇa
˙’
ng c´o thˆe
˙’

xem l`a mˇa
.
t cˆa
`
u bo
˙’
d¯i mˆo
.
t d¯iˆe
˙’
m), thuˆa
.
t ng˜u
.
“biˆe
˙’
u
diˆe
˜
n phˇa
˙’
ng” cu
˙’
a mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
thu

.
`o
.
ng d¯u
.
o
.
.
c su
.
˙’
du
.
ng d¯ˆe
˙’
bao h`am c´ac ph´ep biˆe
˙’
u diˆe
˜
n trˆen mˇa
.
t
cˆa
`
u c˜ung nhu
.
trˆen mˇa
.
t phˇa
˙’

ng.
Biˆe
˙’
u diˆe
˜
n trˆen mˇa
.
t phˇa
˙’
ng v`a t´ınh liˆen thˆong
Trong mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
khˆong liˆen thˆong, viˆe
.
c biˆe
˙’
u diˆe
˜
n mˆo
˜
i th`anh phˆa
`
n trˆen mˇa
.
t phˇa
˙’

ng c´o thˆe
˙’
d¯u
.
o
.
.
c kha
˙’
o s´at mˆo
.
t c´ach d¯ˆo
.
c lˆa
.
p. Do d¯´o, d¯ˆo
`
thi
.
l`a phˇa
˙’
ng nˆe
´
u v`a chı
˙’
nˆe
´
u c´ac th`anh phˆa
`
n

liˆen thˆong cu
˙’
a n´o l`a phˇa
˙’
ng. Tu
.
o
.
ng tu
.
.
, trong mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
t´ach d¯u
.
o
.
.
c (t´u
.
c 1−liˆen thˆong) viˆe
.
c
153

biˆe

˙’
u diˆe
˜
n mˆo
˜
i khˆo
´
i (t´u
.
c l`a d¯ˆo
`
thi
.
con khˆong t´ach d¯u
.
o
.
.
c cu
.
.
c d¯a
.
i) trˆen mˇa
.
t phˇa
˙’
ng c´o thˆe
˙’
d¯u

.
o
.
.
c
kha
˙’
o s´at d¯ˆo
.
c lˆa
.
p. Do d¯´o mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
t´ach d¯u
.
o
.
.
c l`a phˇa
˙’
ng nˆe
´
u v`a chı
˙’
nˆe
´

u mˆo
˜
i khˆo
´
i l`a phˇa
˙’
ng.
Vˆa
.
y, kiˆe
˙’
m tra t´ınh phˇa
˙’
ng cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
chı
˙’
cˆa
`
n x´et d¯ˆo
´
i v´o
.
i d¯ˆo
`
thi

.
khˆong t´ach d¯u
.
o
.
.
c.
Mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
phˇa
˙’
ng khˆong t´ach d¯u
.
o
.
.
c c´o thˆe
˙’
biˆe
˙’
u diˆe
˜
n duy nhˆa
´
t lˆen mˆo
.

t mˇa
.
t cˆa
`
u khˆong?
Tru
.
´o
.
c khi tra
˙’
l`o
.
i cˆau ho
˙’
i n`ay, ch´ung ta cˆa
`
n gia
˙’
i th´ıch ´y ngh˜ıa cu
˙’
a t`u
.
“biˆe
˙’
u diˆe
˜
n duy nhˆa
´
t”.

Hai biˆe
˙’
u diˆe
˜
n cu
˙’
a mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
phˇa
˙’
ng l`a giˆo
´
ng nhau nˆe
´
u ch´ung c´o thˆe
˙’
l`am tr`ung nhau bˇa
`
ng
ph´ep quay mˇa
.
t cˆa
`
u n`ay th`anh mˇa
.
t cˆa

`
u kia v`a c´o thˆe
˙’
biˆe
´
n da
.
ng c´ac v`ung (khˆong di chuyˆe
˙’
n
d¯ı
˙’
nh bˇang qua ca
.
nh). Nˆe
´
u tˆa
´
t ca
˙’
c´ac ph´ep biˆe
˙’
u diˆe
˜
n lˆen mˆo
.
t mˇa
.
t cˆa
`

u l`a tr`ung nhau th`ı ta
n´oi d¯ˆo
`
thi
.
c´o duy nhˆa
´
t mˆo
.
t ph´ep biˆe
˙’
u diˆe
˜
n. D
-
i
.
nh l´y du
.
´o
.
i d¯ˆay, cho ch´ung ta ch´ınh x´ac cˆau
tra
˙’
l`o
.
i khi n`ao th`ı mˆo
.
t d¯ˆo
`

thi
.
d¯u
.
o
.
.
c biˆe
˙’
u diˆe
˜
n duy nhˆa
´
t trˆen mˆo
.
t mˇa
.
t cˆa
`
u.
D
-
i
.
nh l´y 6.2.5 [Whitney] Ph´ep biˆe
˙’
u diˆe
˜
n lˆen mˇa
.

t cˆa
`
u cu
˙’
a mˆo
˜
i d¯ˆo
`
thi
.
phˇa
˙’
ng 3−liˆen thˆong
l`a duy nhˆa
´
t.
Ch´u
.
ng minh. Xem [54]. 
D
-
i
.
nh l´y n`ay d¯´ong mˆo
.
t vai tr`o quan tro
.
ng trong viˆe
.
c x´ac d¯i

.
nh xem mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
c´o phˇa
˙’
ng
hay khˆong: V´o
.
i c´ac d¯ˆo
`
thi
.
3−liˆen thˆong, nˆe
´
u c´o thˆe
˙’
biˆe
˙’
u diˆe
˜
n trˆen mˆo
.
t mˇa
.
t cˆa
`

u th`ı ph´ep
biˆe
˙’
u diˆe
˜
n n`ay l`a duy nhˆa
´
t.
6.3 C´ac t´ınh chˆa
´
t cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
phˇa
˙’
ng
Phˆa
`
n n`ay liˆe
.
t kˆe nghiˆen c´u
.
u mˆo
.
t sˆo
´
t´ınh chˆa

´
t co
.
ba
˙’
n cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
phˇa
˙’
ng. Tru
.
´o
.
c hˆe
´
t ta c´o
D
-
i
.
nh l´y 6.3.1 [Berge] Trong mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.

tˆo pˆo phˇa
˙’
ng, c´ac chu tuyˆe
´
n cu
˙’
a diˆe
.
n h˜u
.
u ha
.
n ta
.
o
th`anh mˆo
.
t hˆe
.
co
.
so
.
˙’
c´ac chu tr`ınh d¯ˆo
.
c lˆa
.
p.
Ch´u

.
ng minh. Ch´ung ta s˜e ch´u
.
ng minh bˇa
`
ng quy na
.
p theo sˆo
´
diˆe
.
n f cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
G.
Hiˆe
˙’
n nhiˆen d¯i
.
nh l´y d¯´ung khi G c´o mˆo
.
t hoˇa
.
c hai diˆe
.
n h˜u
.

u ha
.
n. Gia
˙’
su
.
˙’
d¯i
.
nh l´y d¯´ung
cho mo
.
i d¯ˆo
`
thi
.
phˇa
˙’
ng c´o sˆo
´
diˆe
.
n h˜u
.
u ha
.
n l`a (f − 1); ta ch´u
.
ng minh d¯i
.

nh l ´y d¯´ung cho mo
.
i
d¯ˆo
`
thi
.
phˇa
˙’
ng c´o f diˆe
.
n h˜u
.
u ha
.
n.
Thˆa
.
t vˆa
.
y, gia
˙’
su
.
˙’
khˆong pha
˙’
i tˆa
´
t ca

˙’
c´ac chu tuyˆe
´
n d¯ˆe
`
u l`a c´ac chu tr`ınh khˆong giao nhau
(theo ngh˜ıa l`a c´o ca
.
nh chung) v`ı v´o
.
i tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p d¯´o th`ı d¯i
.
nh l ´y l`a hiˆe
˙’
n nhiˆen. Khi d¯´o ta c´o
thˆe
˙’
bo
˙’
b´o
.
t mˆo
.

t ca
.
nh e n`ao d¯´o cu
˙’
a G v`a d¯u
.
o
.
.
c d¯ˆo
`
thi
.
G

c´o (f − 1) diˆe
.
n h˜u
.
u ha
.
n m`a c´ac chu
154

tuyˆe
´
n cu
˙’
a n´o theo gia
˙’

thiˆe
´
t quy na
.
p lˆa
.
p th`anh mˆo
.
t co
.
so
.
˙’
gˆo
`
m c´ac chu tr`ınh d¯ˆo
.
c lˆa
.
p. Khi
tra
˙’
la
.
i ca
.
nh e, ta c´o mˆo
.
t diˆe
.

n h˜u
.
u ha
.
n m´o
.
i m`a chu tuyˆe
´
n l`a mˆo
.
t chu tr`ınh khˆong phu
.
thuˆo
.
c
v`ao c´ac chu tr`ınh tru
.
´o
.
c (v`ı n´o ch´u
.
a mˆo
.
t ca
.
nh khˆong thuˆo
.
c v`ao mˆo
.
t chu tr`ınh n`ao trong sˆo

´
c´ac chu tr`ınh ˆa
´
y). Do bˆo
˙’
sung mˆo
.
t ca
.
nh khˆong thˆe
˙’
l`am tˇang chu sˆo
´
lˆen qu´a mˆo
.
t d¯o
.
n vi
.
, nˆen
sˆo
´
diˆe
.
n h˜u
.
u ha
.
n cu
˙’

a d¯ˆo
`
thi
.
G qua
˙’
l`a x´ac d¯i
.
nh mˆo
.
t co
.
so
.
˙’
gˆo
`
m c´ac chu tr`ınh d¯ˆo
.
c lˆa
.
p. 
Hˆe
.
qua
˙’
6.3.2 [Euler, 1752] Gia
˙’
su
.

˙’
G l`a d¯ˆo
`
thi
.
tˆo pˆo phˇa
˙’
ng liˆen thˆong n d¯ı
˙’
nh, m ca
.
nh v`a
f diˆe
.
n. Khi d¯´o
f = m − n + 2.
Ch´u
.
ng minh. Thˆa
.
t vˆa
.
y, sˆo
´
c´ac diˆe
.
n h˜u
.
u ha
.

n bˇa
`
ng chu sˆo
´
ν(G), nˆen
f = ν(G) + 1 = (m − n + 1) + 1 = m − n + 2.
C˜ung c´o thˆe
˙’
ch´u
.
ng minh c´ach kh´ac nhu
.
sau.
Nhˆa
.
n x´et rˇa
`
ng chı
˙’
cˆa
`
n ch´u
.
ng minh cho mˆo
.
t d¯o
.
n d¯ˆo
`
thi

.
, v`ı viˆe
.
c thˆem mˆo
.
t khuyˆen hoˇa
.
c
thˆem mˆo
.
t ca
.
nh song song chı
˙’
d¯o
.
n gia
˙’
n l`a tˇang sˆo
´
diˆe
.
n v`a sˆo
´
ca
.
nh cu
˙’
a d¯ˆo
`

thi
.
lˆen mˆo
.
t d¯o
.
n vi
.
.
Ch´ung ta c˜ung c´o thˆe
˙’
xo´a tˆa
´
t ca
˙’
c´ac d¯ı
˙’
nh treo v`a c´ac ca
.
nh liˆen thuˆo
.
c n´o. Nˆe
´
u thˆem (hoˇa
.
c
b´o
.
t) mˆo
.

t ca
.
nh v`a mˆo
.
t d¯ı
˙’
nh th`ı hiˆe
.
u sˆo
´
(m − n) khˆong d¯ˆo
˙’
i.
V`ı mˆo
˜
i d¯o
.
n d¯ˆo
`
thi
.
phˇa
˙’
ng c´o thˆe
˙’
biˆe
˙’
u diˆe
˜
n trˆen mˇa

.
t phˇa
˙’
ng sao cho mˆo
˜
i ca
.
nh l`a mˆo
.
t
d¯oa
.
n thˇa
˙’
ng (D
-
i
.
nh l´y 6.2.1), nˆen mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
phˇa
˙’
ng c´o thˆe
˙’
d¯u
.

o
.
.
c v˜e trˆen mˇa
.
t phˇa
˙’
ng sao cho
c´ac diˆe
.
n l`a c´ac d¯a gi´ac. K´y hiˆe
.
u f l`a sˆo
´
diˆe
.
n v`a k
p
l`a sˆo
´
c´ac diˆe
.
n c´o p ca
.
nh. V`ı mˆo
˜
i ca
.
nh
thuˆo

.
c biˆen cu
˙’
a d¯´ung hai d¯a gi´ac, nˆen
3k
3
+ 4k
4
+ 5k
5
+ · · · + rk
r
= 2m,
trong d¯´o k
r
l`a sˆo
´
c´ac d¯a gi´ac v´o
.
i sˆo
´
ca
.
nh cu
.
.
c d¯a
.
i.
Mˇa

.
t kh´ac
k
3
+ k
4
+ · · · + k
r
= f.
Tˆo
˙’
ng tˆa
´
t ca
˙’
c´ac g´oc ta
.
i mˆo
˜
i d¯ı
˙’
nh trong d¯a gi´ac tu
.
o
.
ng ´u
.
ng d¯ˆo
`
thi

.
l`a 2nπ. Nhˇa
´
c la
.
i rˇa
`
ng tˆo
˙’
ng
tˆa
´
t ca
˙’
c´ac g´oc trong mˆo
.
t d¯a gi´ac p ca
.
nh l`a (p − 2)π v`a tˆo
˙’
ng tˆa
´
t ca
˙’
c´ac g´oc ngo`ai l`a (p + 2)π.
Do d¯´o
2nπ = (3 − 2)πk
3
+ (4 − 2)πk
4

+ · · · + (r − 2)πk
r
+ 4π
= (2m − 2f)π + 4π.
T`u
.
c´ac d¯ˇa
˙’
ng th´u
.
c trˆen, ta suy ra
2(m − f)π + 4π = 2nπ.
Vˆa
.
y f = m − n + 2. 
155

V´ı du
.
6.3.3 [Euler] Ta x´et trong khˆong gian ba chiˆe
`
u mˆo
.
t d¯a diˆe
.
n lˆo
`
i c´o n d¯ı
˙’
nh, m ca

.
nh
v`a f diˆe
.
n. Hiˆe
˙’
n nhiˆen ta c´o thˆe
˙’
v˜e n´o trˆen mˆo
.
t mˇa
.
t cˆa
`
u sao cho hai ca
.
nh bˆa
´
t k`y khˆong cˇa
´
t
nhau ta
.
i nh˜u
.
ng d¯iˆe
˙’
m kh´ac c´ac d¯ˆa
`
u m´ut. Sau d¯´o tiˆe

´
n h`anh ph´ep chiˆe
´
u nˆo
˙’
i v´o
.
i tˆam o
.
˙’
gi˜u
.
a
mˆo
.
t trong c´ac diˆe
.
n ta c´o thˆe
˙’
biˆe
˙’
u diˆe
˜
n d¯a diˆe
.
n d¯´o trˆen mˇa
.
t phˇa
˙’
ng. V`ı d¯ˆo

`
thi
.
l`a phˇa
˙’
ng nˆen
ta c´o hˆe
.
th´u
.
c co
.
ba
˙’
n sau d¯ˆay cu
˙’
a c´ac d¯a diˆe
.
n lˆo
`
i:
n − m + f = 2.
Hˆe
.
qua
˙’
6.3.4 Trong mˆo
.
t d¯o
.

n d¯ˆo
`
thi
.
phˇa
˙’
ng, liˆen thˆong c´o f diˆe
.
n, n d¯ı
˙’
nh, m ca
.
nh (m ≥ 2),
c´ac bˆa
´
t d¯ˇa
˙’
ng th´u
.
c sau luˆon nghiˆe
.
m d¯´ung

2m ≥ 3f,
3n − 6 ≥ m.
Ch´u
.
ng minh. Mˆo
˜
i diˆe

.
n c´o biˆen ´ıt nhˆa
´
t l`a ba ca
.
nh, mˆo
˜
i ca
.
nh l`a chung cu
˙’
a ch´ınh x´ac hai
diˆe
.
n, do d¯´o
2m ≥ 3f.
Thay thˆe
´
f = m − n + 2 trong cˆong th´u
.
c Euler, ta c´o bˆa
´
t d¯ˇa
˙’
ng th´u
.
c th´u
.
hai. 
Ch´ung ta lu

.
u ´y rˇa
`
ng bˆa
´
t d¯ˇa
˙’
ng th´u
.
c th´u
.
hai chı
˙’
l`a mˆo
.
t d¯iˆe
`
u kiˆe
.
n cˆa
`
n m`a khˆong d¯u
˙’
vˆe
`
t´ınh phˇa
˙’
ng cu
˙’
a mˆo

.
t d¯ˆo
`
thi
.
. N´oi c´ach kh´ac, mo
.
i d¯o
.
n d¯ˆo
`
thi
.
phˇa
˙’
ng cˆa
`
n pha
˙’
i tho
˙’
a m˜an c´ac
d¯iˆe
`
u kiˆe
.
n n`ay, nhu
.
ng d¯iˆe
`

u ngu
.
o
.
.
c la
.
i l`a khˆong d¯´ung. Chˇa
˙’
ng ha
.
n d¯ˆo
`
thi
.
Kuratowski K
3,3
tho
˙’
a
3n − 6 = 3.6 − 6 = 12 ≥ m = 9.
Nhu
.
ng
V´ı du
.
6.3.5 D
-
ˆo
`

thi
.
K
3,3
khˆong phˇa
˙’
ng. D
-
ˆe
˙’
ch´u
.
ng minh ch´ung ta cˆa
`
n chı
˙’
ra rˇa
`
ng trong d¯ˆo
`
thi
.
n`ay khˆong tˆo
`
n ta
.
i diˆe
.
n m`a biˆen cu
˙’

a n´o c´o sˆo
´
ca
.
nh nho
˙’
ho
.
n 5. Thˆa
.
t vˆa
.
y, nˆe
´
u d¯ˆo
`
thi
.
l`a
phˇa
˙’
ng th`ı 2m ≥ 4f.
Theo cˆong th´u
.
c Euler
2m ≥ 4(m − n + 2).
Vˆa
.
y
2.9 ≥ 4(9 − 6 + 2).

Hay 18 ≥ 20! Mˆau thuˆa
˜
n. Do d¯´o d¯ˆo
`
thi
.
K
3,3
khˆong phˇa
˙’
ng.
V´ı du
.
6.3.6 D
-
ˆo
`
thi
.
d¯ˆa
`
y d¯u
˙’
c´o nˇam d¯ı
˙’
nh K
5
l`a khˆong phˇa
˙’
ng. Thˆa

.
t vˆa
.
y, nˆe
´
u ngu
.
o
.
.
c la
.
i th`ı
K
5
s˜e c´o
f = m − n + 2 = 10 − 5 + 2 = 7
156

diˆe
.
n. Chu tuyˆe
´
n cu
˙’
a mˆo
˜
i diˆe
.
n d¯ˆe

`
u c´o ´ıt nhˆa
´
t ba ca
.
nh. Nˆe
´
u lˆa
.
p d¯o
.
n d¯ˆo
`
thi
.
liˆen thuˆo
.
c
diˆe
.
n-ca
.
nh, th`ı sˆo
´
ca
.
nh mˆo
.
t mˇa
.

t ≤ 2m v`a mˇa
.
t kh´ac la
.
i ≥ 3f. T`u
.
d¯´o
20 = 2m ≥ 3f = 21.
Vˆo l ´y, vˆa
.
y K
5
l`a khˆong phˇa
˙’
ng.
Hˆe
.
qua
˙’
6.3.7 Mˆo
˜
i ba
˙’
n d¯ˆo
`
d¯i
.
a l´y c´o ´ıt nhˆa
´
t mˆo

.
t diˆe
.
n m`a sˆo
´
ca
.
nh cu
˙’
a chu tuyˆe
´
n nho
˙’
ho
.
n
hoˇa
.
c bˇa
`
ng 5.
Ch´u
.
ng minh. Thˆa
.
t vˆa
.
y, trong ba
˙’
n d¯ˆo

`
d¯i
.
a l´y, mˆo
˜
i d¯ı
˙’
nh l`a d¯ˆa
`
u m´ut cu
˙’
a ´ıt nhˆa
´
t 3 ca
.
nh; nˆe
´
u
lˆa
.
p d¯o
.
n d¯ˆo
`
thi
.
liˆen thuˆo
.
c d¯ı
˙’

nh-ca
.
nh th`ı sˆo
´
ca
.
nh mˆo
.
t mˇa
.
t ≤ 2m, mˇa
.
t kh´ac la
.
i ≥ 3n, vˆa
.
y
n ≤ 2m/3. Nˆe
´
u gia
˙’
thiˆe
´
t rˇa
`
ng mˆo
˜
i diˆe
.
n c´o chu tuyˆe

´
n gˆo
`
m ´ıt nhˆa
´
t 6 ca
.
nh v`a nˆe
´
u lˆa
.
p d¯o
.
n
d¯ˆo
`
thi
.
liˆen thuˆo
.
c diˆe
.
n-ca
.
nh, th`ı sˆo
´
ca
.
nh cu
˙’

a n´o, mˆo
.
t mˇa
.
t ≤ 2m, mˇa
.
t kh´ac la
.
i ≥ 6f. Vˆa
.
y
f ≤ 2m/6. Ta luˆon luˆon c´o thˆe
˙’
gia
˙’
thiˆe
´
t l`a d¯ˆo
`
thi
.
liˆen thˆong (nˆe
´
u khˆong th`ı ch´u
.
ng minh hˆe
.
qua
˙’
cho t`u

.
ng th`anh phˆa
`
n), v`a do d¯´o c´o thˆe
˙’
viˆe
´
t
2 = n − m + f ≤ 2m/3 − m + m/3 = 0.
D
-
iˆe
`
u d¯´o khˆong thˆe
˙’
xa
˙’
y ra. 
Hˆe
.
qua
˙’
6.3.8 Gia
˙’
su
.
˙’
G l`a d¯o
.
n d¯ˆo

`
thi
.
phˇa
˙’
ng liˆen thˆong. Khi d¯´o tˆo
`
n ta
.
i d¯ı
˙’
nh v ∈ V sao
cho d(v) ≤ 5.
Ch´u
.
ng minh. Thˆa
.
t vˆa
.
y, trong d¯ˆo
`
thi
.
G, mˆo
˜
i diˆe
.
n d¯u
.
o

.
.
c bao ´ıt nhˆa
´
t bo
.
˙’
i ba ca
.
nh kh´ac nhau;
nˆe
´
u lˆa
.
p d¯ˆo
`
thi
.
H liˆen thuˆo
.
c diˆe
.
n-ca
.
nh (t´u
.
c l`a d¯ˆo
`
thi
.

gˆo
`
m tˆa
.
p X c´ac d¯iˆe
˙’
m d`ung d¯ˆe
˙’
biˆe
˙’
u thi
.
c´ac diˆe
.
n, tˆa
.
p ho
.
.
p Y c´ac d¯iˆe
˙’
m d`ung d¯ˆe
˙’
biˆe
˙’
u thi
.
c´ac ca
.
nh v`a c´ac ca

.
nh nˆo
´
i d¯iˆe
˙’
m x ∈ X v´o
.
i
y ∈ Y nˆe
´
u diˆe
.
n x liˆen thuˆo
.
c ca
.
nh y) th`ı sˆo
´
ca
.
nh cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
H, mˆo
.
t mˇa
.

t ≤ 2m, mˇa
.
t kh´ac la
.
i
≥ 3f, vˆa
.
y f ≤ 2m/3. Nˆe
´
u mˆo
˜
i d¯ı
˙’
nh l`a d¯ˆa
`
u m´ut ´ıt nhˆa
´
t cu
˙’
a 6 ca
.
nh, th`ı c˜ung bˇa
`
ng c´ach nhu
.
vˆa
.
y ta thu d¯u
.
o

.
.
c n ≤ 2m/6, ngh˜ıa l`a (theo cˆong th´u
.
c Euler)
2 = n − m + f ≤ m/3 − m + 2m/3 = 0.
Vˆo l ´y! 
6.4 Ph´at hiˆe
.
n t´ınh phˇa
˙’
ng
Viˆe
.
c x´ac d¯i
.
nh d¯ˆo
`
thi
.
G l`a phˇa
˙’
ng hay khˆong l`a mˆo
.
t b`ai to´an quan tro
.
ng, chˇa
˙’
ng ha
.

n trong
ho´a ho
.
c: o
.
˙’
d¯´o nhiˆe
`
u chˆa
´
t ho´a ho
.
c m`a cˆong th´u
.
c cˆa
´
u ta
.
o cu
˙’
a n´o c´o thˆe
˙’
biˆe
˙’
u diˆe
˜
n nhu
.
mˆo
.

t
157

d¯ˆo
`
thi
.
phˇa
˙’
ng; v`a tra
˙’
l`o
.
i cˆau ho
˙’
i n`ay bˇa
`
ng c´ach cˆo
´
gˇa
´
ng thu
.
˙’
v˜e n´o lˆen mˆo
.
t mˇa
.
t phˇa
˙’

ng r˜o
r`ang khˆong pha
˙’
i l`a mˆo
.
t cˆau tra
˙’
l`o
.
i tˆo
´
t. Vˆe
`
thuˆa
.
t to´an th`o
.
i gian O(n) kiˆe
˙’
m tra mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
c´o phˇa
˙’
ng hay khˆong, v`a nˆe
´
u phˇa

˙’
ng th`ı biˆe
˙’
u diˆe
˜
n n´o nhu
.
thˆe
´
n`ao c´o thˆe
˙’
xem [34], [18].
C˜ung c´o mˆo
.
t thuˆa
.
t to´an [33] th`o
.
i gian O(n log n) d¯ˆe
˙’
kiˆe
˙’
m tra t´ınh d¯ˇa
˙’
ng cˆa
´
u cu
˙’
a hai
d¯ˆo

`
thi
.
phˇa
˙’
ng. B`ai to´an n`ay c˜ung thu
.
`o
.
ng na
˙’
y sinh trong ho´a ho
.
c khi ch´ung ta muˆo
´
n nghiˆen
c´u
.
u c´ac phˆan tu
.
˙’
.
C´ac tiˆeu chuˆa
˙’
n d¯o
.
n gia
˙’
n v`a hiˆe
.

u qua
˙’
sau cho ph´ep ph´at hiˆe
.
n t´ınh phˇa
˙’
ng cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
.
Ph´ep r´ut go
.
n co
.
so
.
˙’
1. Do d¯ˆo
`
thi
.
l`a phˇa
˙’
ng nˆe
´
u v`a chı
˙’

nˆe
´
u c´ac th`anh phˆa
`
n liˆen thˆong cu
˙’
a n´o l`a phˇa
˙’
ng, ch´ung
ta chı
˙’
cˆa
`
n x´et mˆo
.
t th`anh phˆa
`
n liˆen thˆong cu
˙’
a n´o. C˜ung vˆa
.
y, mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
c´o d¯iˆe
˙’
m kh´o

.
p
l`a phˇa
˙’
ng nˆe
´
u v`a chı
˙’
nˆe
´
u c´ac khˆo
´
i cu
˙’
a n´o l`a phˇa
˙’
ng. V`ı vˆa
.
y d¯ˆo
´
i v´o
.
i mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
G cho
tru

.
´o
.
c, x´ac d¯i
.
nh
G = {G
1
, G
2
, . . . , G
k
},
trong d¯´o G
i
, i = 1, 2, . . . , k, l`a c´ac d¯ˆo
`
thi
.
con khˆong t´ach d¯u
.
o
.
.
c cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.

G. Rˆo
`
i th`ı
ch´ung ta chı
˙’
cˆa
`
n kiˆe
˙’
m tra t´ınh phˇa
˙’
ng cu
˙’
a mˆo
˜
i G
i
.
2. Do viˆe
.
c thˆem hay x´oa c´ac khuyˆen khˆong l`am mˆa
´
t t´ınh phˇa
˙’
ng, ta xo´a c´ac khuyˆen.
3. Tˆa
´
t ca
˙’
c´ac ca

.
nh song song c˜ung khˆong a
˙’
nh hu
.
o
.
˙’
ng trong viˆe
.
c x´et t´ınh phˇa
˙’
ng, v`ı vˆa
.
y
xo´a tˆa
´
t ca
˙’
c´ac ca
.
nh song song tr`u
.
mˆo
.
t ca
.
nh c`on la
.
i.

4. Loa
.
i bo
˙’
tˆa
´
t ca
˙’
c´ac d¯ı
˙’
nh bˆa
.
c hai v`a coi hai ca
.
nh nˆo
´
i v´o
.
i d¯ı
˙’
nh d¯´o l`a mˆo
.
t khˆong a
˙’
nh
hu
.
o
.
˙’

ng d¯ˆe
´
n t´ınh phˇa
˙’
ng cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
. N´oi c´ach kh´ac thu
.
.
c hiˆe
.
n “r´ut go
.
n chuˆo
˜
i.”
Lˇa
.
p la
.
i c´ac Bu
.
´o
.
c 3 v`a 4 cho d¯ˆe
´

n khi ta d¯u
.
o
.
.
c mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
d¯o
.
n gia
˙’
n nhˆa
´
t cho ph´ep x´ac
d¯i
.
nh dˆe
˜
d`ang t´ınh phˇa
˙’
ng cu
˙’
a n´o.
D
-
ˆo

´
i v´o
.
i mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
liˆen thˆong khˆong c´o d¯iˆe
˙’
m kh´o
.
p G
i
, sau khi ´ap du
.
ng c´ac Bu
.
´o
.
c 3 v`a
4 ta s˜e d¯u
.
o
.
.
c mˆo
.
t d¯ˆo

`
thi
.
H
i
c´o c´ac d¯ˇa
.
c tru
.
ng:
D
-
i
.
nh l´y 6.4.1 D
-
ˆo
`
thi
.
H
i
c´o mˆo
.
t trong ba da
.
ng
1. Mˆo
.
t ca

.
nh d¯o
.
n; hoˇa
.
c l`a
2. Mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
d¯ˆa
`
y d¯u
˙’
c´o bˆo
´
n d¯ı
˙’
nh; hoˇa
.
c l`a
3. Mˆo
.
t d¯o
.
n d¯ˆo
`
thi

.
khˆong t´ach d¯u
.
o
.
.
c c´o sˆo
´
d¯ı
˙’
nh n ≥ 5 v`a sˆo
´
ca
.
nh m ≥ 7.
158

Ch´u
.
ng minh. D
-
i
.
nh l´y c´o thˆe
˙’
d¯u
.
o
.
.

c ch´u
.
ng minh bˇa
`
ng c´ach kha
˙’
o s´at tˆa
´
t ca
˙’
c´ac d¯ˆo
`
thi
.
liˆen
thˆong khˆong t´ach d¯u
.
o
.
.
c v´o
.
i sˆo
´
ca
.
nh nho
˙’
ho
.

n hoˇa
.
c bˇa
`
ng s´au. 
´
Ap du
.
ng d¯i
.
nh l ´y, ch´ung ta thˆa
´
y rˇa
`
ng tˆa
´
t ca
˙’
c´ac d¯ˆo
`
thi
.
H
i
ro
.
i v`ao loa
.
i 1 hoˇa
.

c 2 l`a
phˇa
˙’
ng, do d¯´o khˆong cˆa
`
n kiˆe
˙’
m tra thˆem.
T`u
.
nh˜u
.
ng d¯iˆe
`
u nˆeu trˆen, ch´ung ta cˆa
`
n nghiˆen c´u
.
u c´ac d¯o
.
n d¯ˆo
`
thi
.
liˆen thˆong khˆong
t´ach d¯u
.
o
.
.

c v´o
.
i ´ıt nhˆa
´
t nˇam d¯ı
˙’
nh, v`a mˆo
˜
i d¯ı
˙’
nh c´o bˆa
.
c l´o
.
n ho
.
n hay bˇa
`
ng ba. Kˆe
´
d¯ˆe
´
n, ch´ung
ta cˆa
`
n kiˆe
˙’
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n. R˜o r`ang, v`ı G khˆong thˆe
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u n´o ch´u
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nh l´y Kuratowski ta c´o d¯ˆo
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thi
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trong H`ınh 6.7 khˆong
phˇa
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t xo´a c´ac ca
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nh (a, b), (e, f) v`a (g, h); sau d¯´o “r´ut go
.
n” c´ac chuˆo
˜
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(a, g), (g, d) v`a (f, h), (h, c) d¯ˆe
˙’
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a mˆo
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thi
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con d¯ˆo
`
ng phˆoi v´o
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3,3
v`a do d¯´o khˆong phˇa
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ng.
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˙’
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nh v, tr`u
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kh´ac nhau.
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˙’
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a, b, c, d, e l`a nˇam d¯ı
˙’
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tu
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v`ong quanh
v) v`a gia
˙’
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α, β, γ,δ,  l`a c´ac m`au tu
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ng. K´y hiˆe
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α,β
l`a d¯ˆo
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thi
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.
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c´ac d¯ı
˙’
nh c´o m`au α hay β, v.v. C´o hai tru
.
`o
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ng ho
.
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p xa
˙’
y ra:

1. Nˆe
´
u a v`a c khˆong thuˆo
.
c nh˜u
.
ng th`anh phˆa
`
n cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
G
α,γ
th`ı trong th`anh phˆa
`
n ch´u
.
a
a ta tˆo m`au γ cho c´ac d¯ı
˙’
nh c´o m`au α v`a ngu
.
o
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.
c la
.

i. C´ach tˆo m`au m´o
.
i cho G l`a chˆa
´
p
nhˆa
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n d¯u
.
o
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.
c, v`a d¯ı
˙’
nh v bˆay gi`o
.
d¯u
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o
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.
c bao quanh bo
.
˙’
i c´ac d¯ı
˙’
nh c´o m`au γ, β, γ, δ,  nˆen c´o
thˆe
˙’
tˆo n´o bˇa

`
ng m`au α.
2. Nˆe
´
u a v`a c thuˆo
.
c c`ung mˆo
.
t th`anh phˆa
`
n cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
G
α,γ
th`ı c´ac d¯ı
˙’
nh b v`a d khˆong thˆe
˙’
nˆo
´
i v´o
.
i nhau trong d¯ˆo
`
thi
.

G
β,δ
(v`ı nˆe
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c la
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i, G ch ´u
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a d¯ˆo
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thi
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K
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). Khi ho´an vi
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c´ac
m`au β v`a δ trong th`anh phˆa
`
n cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.

G
β,δ
(ch´u
.
a d¯ı
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nh b) ta c´o thˆe
˙’
tˆo m`au β cho
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˙’
nh v d¯u
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c.
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i
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nh l´y d¯u
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c ch´u
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ng minh. 
Tuy nhiˆen, ta c`on c´o thˆe

˙’
l`am tˆo
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t ho
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D
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nh l´y 6.4.7 [Gia
˙’
thuyˆe
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n m`au] Sˇa
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c sˆo
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˙’
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phˇa
˙’

ng bˇa
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ng bˆo
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Ch´u
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ng minh. Gia
˙’
thuyˆe
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t bˆo
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n m`au xuˆa
´
t hiˆe
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n lˆa
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n d¯ˆa
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u tiˆen trong cuˆo
.
c trao d¯ˆo
˙’
i gi˜u
.
a Morgan
v`a ngu
.

`o
.
i ho
.
c tr`o cu
˙’
a ˆong v`ao nˇam 1850. Sau d¯´o, Morgan d¯˜a d¯ˆe
`
cˆa
.
p b`ai to´an n`ay v´o
.
i
Hamilton trong mˆo
.
t b´u
.
c thu
.
viˆe
´
t ng`ay 23 th´ang 10 nˇam 1852. Kˆe
´
t qua
˙’
l`a rˆa
´
t nhiˆe
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u “ch´u

.
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minh” c˜ung nhu
.
c´ac “pha
˙’
n v´ı du
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” v`a c´ac gia
˙’
thuyˆe
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t kh´ac c´o liˆen quan xuˆa
´
t hiˆe
.
n (d¯ˆe
˙’
c´o thˆem
nh˜u
.
ng thˆong tin chi tiˆe
´
t, xem [48]). Tuy nhiˆen, pha
˙’
i d¯ˆe
´
n nˇam 1976, hai nh`a to´an ho
.
c ngu

.
`o
.
i
M˜y l`a Appel v`a Haken (xem [1]), su
.
˙’
du
.
ng h`ang ng`an gi`o
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trˆen m´ay t´ınh d¯iˆe
.
n tu
.
˙’
, d¯˜a ch´u
.
ng
minh t´ınh d¯´ung d¯ˇa
´
n cu
˙’
a gia
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thuyˆe
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t bˆo
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n m`au. 

6.4.1 Kiˆe
˙’
m tra t´ınh phˇa
˙’
ng
Viˆe
.
c x´ac d¯i
.
nh mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
c´o phˇa
˙’
ng hay khˆong l`a mˆo
.
t b`ai to´an c´o ´y ngh˜ıa. Nhu
.
d¯˜a chı
˙’
ra,
c´ac d¯ˇa
.
c tru
.
ng cu
˙’

a Kuratowski v`a Whitney cho ph´ep kiˆe
˙’
m tra t´ınh phˇa
˙’
ng cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
. Tuy
nhiˆen c´ac d¯ˇa
.
c tru
.
ng n`ay khˆong ph`u ho
.
.
p khi thu
.
.
c hiˆe
.
n trˆen m´ay t´ınh do kh´o thˆe
˙’
hiˆe
.
n bˇa
`
ng

chu
.
o
.
ng tr`ınh; ngo`ai ra nˆe
´
u d¯ˆo
`
thi
.
l`a phˇa
˙’
ng, th`ı c´ac kˆe
´
t qua
˙’
n`ay khˆong chı
˙’
ra phu
.
o
.
ng ph´ap
161

v˜e n´o nhu
.
thˆe
´
n`ao. Ngu

.
`o
.
i ta biˆe
´
t rˇa
`
ng [52], nˆe
´
u su
.
˙’
du
.
ng tiˆeu chuˆa
˙’
n cu
˙’
a Kuratowski d¯ˆe
˙’
kiˆe
˙’
m tra t´ınh phˇa
˙’
ng cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.

n d¯ı
˙’
nh (n > 5) th`ı th`o
.
i gian thu
.
.
c hiˆe
.
n ´ıt nhˆa
´
t l`a O(n
6
).
C´o mˆo
.
t sˆo
´
thuˆa
.
t to´an kiˆe
˙’
m tra t´ınh phˇa
˙’
ng cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.

(xem [52] d¯ˆe
˙’
c´o tˆo
˙’
ng quan vˆe
`
c´ac kˆe
´
t qua
˙’
n`ay). Hˆa
`
u hˆe
´
t c´ac phu
.
o
.
ng ph´ap n`ay ´ap du
.
ng c´ach “xˆay du
.
.
ng ba
˙’
n d¯ˆo
`
”: D
-
ˆa

`
u
tiˆen, cho
.
n mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
con phˇa
˙’
ng g cu
˙’
a G v`a biˆe
˙’
u diˆe
˜
n n´o trˆen mˇa
.
t phˇa
˙’
ng. (Trong hˆa
`
u hˆe
´
t
c´ac thuˆa
.
t to´an, g l`a mˆo

.
t chu tr`ınh). Sau d¯´o thˆem c´ac ca
.
nh v`ao d¯ˆo
`
thi
.
g sao cho n´o khˆong
cˇa
´
t c´ac ca
.
nh kh´ac (ngoa
.
i tr`u
.
ta
.
i c´ac d¯ı
˙’
nh chung). Nˆe
´
u ch´ung ta th`anh cˆong khi biˆe
˙’
u diˆe
˜
n
la
.
i th`ı d¯ˆo

`
thi
.
G l`a phˇa
˙’
ng; ngu
.
o
.
.
c la
.
i kˆe
´
t luˆa
.
n G khˆong phˇa
˙’
ng.
Kh´o khˇan ch´ınh cu
˙’
a mˆo
.
t thuˆa
.
t to´an nhu
.
vˆa
.
y o

.
˙’
chˆo
˜
trong nh˜u
.
ng giai d¯oa
.
n tru
.
´o
.
c d¯´o,
viˆe
.
c thˆem c´ac ca
.
nh v`ao g t`u
.
nh˜u
.
ng kha
˙’
nˇang c´o thˆe
˙’
khˆong d¯ˆe
˙’
´y d¯ˆe
´
n c´ac giai d¯oa

.
n sau n`ay.
Mˆo
.
t c´ach d¯ˇa
.
t ca
.
nh o
.
˙’
bu
.
´o
.
c n`ao d¯´o c´o thˆe
˙’
dˆa
˜
n d¯ˆe
´
n khˆong thˆe
˙’
d¯ˇa
.
t ca
.
nh o
.
˙’

bu
.
´o
.
c sau, mˇa
.
c d`u
d¯ˆo
`
thi
.
d¯˜a cho l`a phˇa
˙’
ng. Chˇa
˙’
ng ha
.
n, trong H`ınh 6.8(a), gia
˙’
su
.
˙’
ta bˇa
´
t d¯ˆa
`
u v´o
.
i d¯ˆo
`

thi
.
con g l`a
chu tr`ınh {v
1
, v
2
, v
3
, v
4
, v
5
, v
1
}. Sau d¯´o ta thˆem c´ac ca
.
nh (v
1
, v
4
), (v
4
, v
6
), (v
3
, v
6
) v`a (v

1
, v
6
)
sao cho d¯ˆo
`
thi
.
thu d¯u
.
o
.
.
c vˆa
˜
n phˇa
˙’
ng. Hiˆe
˙’
n nhiˆen l`a ca
.
nh (v
2
, v
5
) khˆong thˆe
˙’
d¯ˇa
.
t d¯u

.
o
.
.
c! T`u
.
d¯´o
ta cho rˇa
`
ng d¯ˆo
`
thi
.
khˆong phˇa
˙’
ng. Tuy nhiˆen, d¯ˆo
`
thi
.
n`ay c´o thˆe
˙’
biˆe
˙’
u diˆe
˜
n phˇa
˙’
ng nhu
.
trong

H`ınh 6.8(b).

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nh, kiˆe
˙’
m tra c´ac bˆa
´
t d¯ˇa
˙’
ng th´u
.
c
n ≥ 5, m ≥ 9, m ≤ 3n − 6.
Nˆe
´
u c´ac r`ang buˆo
.
c n`ay khˆong thoa
˙’
m˜an, thuˆa
.
t to´an kˆe
´
t th´uc; ngu
.
o
.
.
c la
.
i kiˆe
˙’

m tra th`anh
phˆa
`
n khˆong t´ach d¯u
.
o
.
.
c kh´ac. Mo
.
i d¯ˆo
`
thi
.
c´o n < 5 hoˇa
.
c m < 9 l`a phˇa
˙’
ng, v`a mo
.
i d¯o
.
n
d¯ˆo
`
thi
.
c´o m > 3n − 6 khˆong phˇa
˙’
ng.

Mˆo
˜
i d¯ˆo
`
thi
.
khˆong t´ach d¯u
.
o
.
.
c c´o thˆe
˙’
t´ach th`anh c´ac th`anh phˆa
`
n 3−liˆen thˆong. Su
.
˙’
du
.
ng
kˆe
´
t qua
˙’
cu
˙’
a Tutte [54]: D
-
ˆo

`
thi
.
l`a phˇa
˙’
ng nˆe
´
u v`a chı
˙’
nˆe
´
u tˆa
´
t ca
˙’
c´ac th`anh phˆa
`
n 3−liˆen thˆong
cu
˙’
a n´o l`a phˇa
˙’
ng. Tuy nhiˆen, phu
.
o
.
ng ph´ap n`ay khˆong hiˆe
.
u qua
˙’

bˇa
`
ng thuˆa
.
t to´an cu
˙’
a Hopcroft
v`a Tarjan sau d¯ˆay.
Thuˆa
.
t to´an Hopcroft-Tarjan
Thuˆa
.
t to´an kiˆe
˙’
m tra t´ınh phˇa
˙’
ng cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
rˆa
´
t ph´u
.
c ta
.
p. Do d¯´o ch´ung ta s˜e chı

˙’
tr`ınh b`ay
nh˜u
.
ng d¯ˇa
.
c tru
.
ng cˆo
´
t yˆe
´
u. D
-
ˆe
˙’
hiˆe
˙’
u thuˆa
.
t to´an ch´ınh, x´et thu
˙’
tu
.
c phˆan r˜a sau ´ap du
.
ng cho
c´ac d¯o
.
n d¯ˆo

`
thi
.
khˆong t´ach d¯u
.
o
.
.
c G c´o n d¯ı
˙’
nh v`a m ca
.
nh.
Phˆan r˜a chu tr`ınh-dˆay chuyˆe
`
n:
1. T`ım chu tr`ınh µ trong G. G´an g = µ. G´an nh˜an c´ac d¯ı
˙’
nh v`a c´ac ca
.
nh cu
˙’
a g l`a v
1
, v
2
, . . . ,
v`a e
1
, e

2
, . . . , tu
.
o
.
ng ´u
.
ng. D
-
ˇa
.
t i = 1.
2. Nˆe
´
u c´o mˆo
.
t ca
.
nh n`ao cu
˙’
a G chu
.
a c´o nh˜an th`ı t`ım mˆo
.
t dˆay chuyˆe
`
n µ
i
bˇa
´

t d¯ˆa
`
u v`a kˆe
´
t
th´uc ta
.
i c´ac d¯ı
˙’
nh d¯u
.
o
.
.
c g´an nh˜an nhu
.
ng dˆay chuyˆe
`
n n`ay chı
˙’
gˆo
`
m nh˜u
.
ng ca
.
nh chu
.
a
d¯u

.
o
.
.
c g´an nh˜an. Lu
.
u tr˜u
.
µ
i
. Nˆe
´
u tˆa
´
t ca
˙’
c´ac ca
.
nh d¯˜a d¯u
.
o
.
.
c g´an nh˜an, chuyˆe
˙’
n sang
Bu
.
´o
.

c 4.
163

3. D
-
ˇa
.
t g = g ∪µ
i
; v`a i = i +1. G´an nh˜an c´ac ca
.
nh v`a c´ac d¯ı
˙’
nh chu
.
a d¯u
.
o
.
.
c g´an nh˜an trong
g v`a chuyˆe
˙’
n sang Bu
.
´o
.
c 2.
4. Xuˆa
´

t g v`a c´ac dˆay chuyˆe
`
n µ
1
, µ
2
, . . . , µ
e
. D`u
.
ng.
C´o thˆe
˙’
ch´u
.
ng minh rˇa
`
ng [52] thu
˙’
tu
.
c trˆen s˜e phˆan r˜a d¯o
.
n d¯ˆo
`
thi
.
khˆong t´ach d¯u
.
o

.
.
c G
th`anh mˆo
.
t chu tr`ınh v`a e = m − n dˆay chuyˆe
`
n. V`ı chu tr`ınh c´o thˆe
˙’
xem l`a kˆe
´
t nˆo
´
i cu
˙’
a hai
dˆay chuyˆe
`
n khˆong c´o chung ca
.
nh, nˆen G d¯u
.
o
.
.
c phˆan r˜a th`anh m − n + 2 dˆay chuyˆe
`
n. Cˆa
`
n

ch´u ´y rˇa
`
ng, mˇa
.
c d`u phˆan r˜a trˆen l`a khˆong duy nhˆa
´
t, nhu
.
ng sˆo
´
c´ac dˆay chuyˆe
`
n d¯u
.
o
.
.
c phˆan
r˜a t`u
.
G l`a hˇa
`
ng sˆo
´
. Chˇa
˙’
ng ha
.
n, H`ınh 6.8, x´et hai phˆan r˜a sau th`anh mˆo
.

t chu tr`ınh v`a bˆo
´
n
(10 − 6 = 4) dˆay chuyˆe
`
n:
{v
1
, v
2
, v
3
, v
4
, v
5
, v
1
}, {(v
1
, v
4
)}, {(v
2
, v
5
)}, {(v
4
, v
6

), (v
1
, v
6
)}, {(v
3
, v
6
)},
v`a
{v
1
, v
2
, v
3
, v
4
, v
5
, v
1
}, {(v
4
, v
6
), (v
3
, v
6

)}, {(v
1
, v
6
)}, {(v
1
, v
4
)}, {(v
2
, v
5
)}.
Trong qu´a tr`ınh phˆan r˜a chu tr`ınh-dˆay chuyˆe
`
n, ch´ung ta c´o thˆe
˙’
biˆe
˙’
u diˆe
˜
n chu tr`ınh µ
trˆen mˇa
.
t phˇa
˙’
ng, v`a tiˆe
´
p tu
.

c thˆem c´ac dˆay chuyˆe
`
n m´o
.
i µ
1
, µ
2
, . . . , khi ch´ung d¯u
.
o
.
.
c sinh ra.
Mˆo
.
t dˆay chuyˆe
`
n µ
i
m´o
.
i hoˇa
.
c s˜e phˆan chia mˆo
.
t diˆe
.
n d¯ang tˆo
`

n ta
.
i th`anh hai diˆe
.
n m´o
.
i hoˇa
.
c
s˜e khiˆe
´
n cho g ∪ µ
i
khˆong phˇa
˙’
ng khi thˆem n´o v`ao g. Do ch´ung ta thˆem tu`y ´y, nˆen c´o thˆe
˙’
xa
˙’
y ra t`ınh tra
.
ng nhu
.
trong H`ınh 6.8. D
-
ˆe
˙’
gia
˙’
i quyˆe

´
t kh´o khˇan n`ay, ta c´o thˆe
˙’
hoˇa
.
c
1. Tiˆe
´
p tu
.
c thˆem c´ac dˆay chuyˆe
`
n cho d¯ˆe
´
n khi khˆong thˆe
˙’
thu
.
.
c hiˆe
.
n d¯u
.
o
.
.
c n˜u
.
a. Sau d¯´o tro
.

˙’
la
.
i t`ım kiˆe
´
m cho
.
n lu
.
.
a c´ach biˆe
˙’
u diˆe
˜
n kh´ac (t´u
.
c l`a d`ung phu
.
o
.
ng ph´ap lˆa
`
n ngu
.
o
.
.
c) thay
cho qu´a tr`ınh tru
.

´o
.
c d¯´o; hoˇa
.
c l`a
2. Tiˆe
´
p tu
.
c t`ım c´ac dˆay chuyˆe
`
n kh´ac nhau nhu
.
ng khˆong d¯ˇa
.
t ch´ung v`ao µ, cho d¯ˆe
´
n khi
t`ım d¯u
.
o
.
.
c diˆe
.
n m`a mˆo
.
t dˆay chuyˆe
`
n cˆa

`
n d¯u
.
o
.
.
c d¯ˇa
.
t v`ao, hoˇa
.
c l`a biˆe
´
t chˇa
´
c rˇa
`
ng khˆong c´o
tro
.
˙’
nga
.
i v´o
.
i diˆe
.
n m`a d¯ˇa
.
t dˆay chuyˆe
`

n v`ao.
C´o mˆo
.
t sˆo
´
thuˆa
.
t to´an tiˆe
´
p cˆa
.
n theo hu
.
´o
.
ng th´u
.
nhˆa
´
t, nhu
.
ng Hopcroft v`a Tarjan tiˆe
´
p
cˆa
.
n theo c´ach th´u
.
hai v`a d¯˜a ch´u
.

ng minh rˇa
`
ng thuˆa
.
t to´an cu
˙’
a ho
.
l`a hiˆe
.
u qua
˙’
ho
.
n.
´
Y ch´ınh
cu
˙’
a thuˆa
.
t to´an n`ay l`a gia
˙’
i quyˆe
´
t su
.
.
nhˆa
.

p nhˇa
`
ng khi thˆem c´ac dˆay chuyˆe
`
n; cu
.
thˆe
˙’
l`a:
Gia
˙’
su
.
˙’
rˇa
`
ng o
.
˙’
bu
.
´o
.
c n`ao d¯´o, ch´ung ta c´o mˆo
.
t dˆay chuyˆe
`
n µ
i
(trˆen d¯ı

˙’
nh cu
˙’
a mˆo
.
t danh
s´ach ch´u
.
a c´ac dˆay chuyˆe
`
n cˆa
`
n xu
.
˙’
l´y) m`a ch´ung ta cˆa
`
n gia
˙’
i quyˆe
´
t su
.
.
nhˆa
.
p nhˇa
`
ng cu
˙’

a n´o.
Gia
˙’
su
.
˙’
a v`a b l`a c´ac d¯ı
˙’
nh xuˆa
´
t ph´at v`a kˆe
´
t th´uc cu
˙’
a dˆay chuyˆe
`
n n`ay. C´ac tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p kh´ac
nhau c´o thˆe
˙’
xa
˙’
y ra v`a phu
.

o
.
ng ph´ap xu
.
˙’
l´y tu
.
o
.
ng ´u
.
ng s˜e d¯u
.
o
.
.
c tr`ınh b`ay du
.
´o
.
i d¯ˆay. C´ac t`ınh
huˆo
´
ng n`ay d¯u
.
o
.
.
c gia
˙’

i th´ıch du
.
.
a v`ao H`ınh 6.9.
1. Nˆe
´
u khˆong tˆo
`
n ta
.
i dˆay chuyˆe
`
n kh´ac P
i
v`a ch´u
.
a hai d¯ı
˙’
nh a v`a b.
164

(a) Nˆe
´
u stack kh´ac trˆo
´
ng th`ı lu
.
u tr˜u
.
P

i
v`a gia
˙’
i quyˆe
´
t su
.
.
nhˆa
.
p nhˇa
`
ng cu
˙’
a dˆay chuyˆe
`
n
kˆe
´
tiˆe
´
p trong stack.
(b) Ngu
.
o
.
.
c la
.
i (stack bˇa

`
ng trˆo
´
ng) th`ı thˆem P
i
v`ao g; gia
˙’
i quyˆe
´
t su
.
.
nhˆa
.
p nhˇa
`
ng cu
˙’
a
dˆay chuyˆe
`
n kˆe
´
tiˆe
´
p trong stack.
2. Ngu
.
o
.

.
c la
.
i gia
˙’
su
.
˙’
P
j
l`a dˆay chuyˆe
`
n (kh´ac P
i
) ch´u
.
a hai d¯ı
˙’
nh a v`a b (xem H`ınh 6.9(a)).
Gi˜u
.
la
.
i P
i
trong danh s´ach. Xˆay du
.
.
ng dˆay chuyˆe
`

n P
k
xuˆa
´
t ph´at t`u
.
d¯ı
˙’
nh x n`ao d¯´o trˆen
P
i
v`a nˇa
`
m gi˜u
.
a a v`a b (gia
˙’
su
.
˙’
P
k
kˆe
´
t th´uc ta
.
i y).
(a) Nˆe
´
u y thuˆo

.
c P
k
(xem H`ınh 6.9(b)) th`ı d¯ˇa
.
t dˆay chuyˆe
`
n P
k
trˆen P
i
v`ao stack v`a
gia
˙’
i quyˆe
´
t t´ınh nhˆa
.
p nhˇa
`
ng cu
˙’
a dˆay chuyˆe
`
n P
k
.
(b) Ngu
.
o

.
.
c la
.
i v`a nˆe
´
u y khˆong thuˆo
.
c P
j
(H`ınh 6.9(c)) th`ı dˆay chuyˆe
`
n P
i
d¯˜a d¯u
.
o
.
.
c gia
˙’
i.
Loa
.
i P
i
kho
˙’
i stack. Gia
˙’

i su
.
.
nhˆa
.
p nhˇa
`
ng cu
˙’
a dˆay chuyˆe
`
n kˆe
´
tiˆe
´
p trong stack.
(c) Ngu
.
o
.
.
c la
.
i nˆe
´
u y nˇa
`
m gi ˜u
.
a a v`a b (H`ınh 6.9(d)) th`ı lu

.
u tr˜u
.
P
k
. Tiˆe
´
p tu
.
c gia
˙’
i t´ınh
nhˆa
.
p nhˇa
`
ng cu
˙’
a dˆay chuyˆe
`
n P
i
bˇa
`
ng c´ach ta
.
o dˆay chuyˆe
`
n kh´ac gi˜u
.

a a v`a b.
(d) Ngu
.
o
.
.
c la
.
i (H`ınh 6.9(e)), lu
.
u tr˜u
.
P
k
. Tiˆe
´
p tu
.
c gia
˙’
i t´ınh nhˆa
.
p nhˇa
`
ng cu
˙’
a dˆay chuyˆe
`
n
P

i
bˇa
`
ng c´ach ta
.
o dˆay chuyˆe
`
n kh´ac gi˜u
.
a y v`a b.
Trong H`ınh 6.9(a), dˆay chuyˆe
`
n µ
i
c´o thˆe
˙’
xoay ta
.
i hai d¯ı
˙’
nh a v`a b, v`a do d¯´o s˜e phˆan
d¯ˆoi diˆe
.
n “trˆen” hoˇa
.
c “du
.
´o
.
i” dˆay chuyˆe

`
n µ
j
. Su
.
.
nhˆa
.
p nhˇa
`
ng n`ay cˆa
`
n d¯u
.
o
.
.
c xu
.
˙’
l´y. D
-
ˆe
˙’
gia
˙’
i
quyˆe
´
t, ta xˆay du

.
.
ng mˆo
.
t dˆay chuyˆe
`
n µ
k
xuˆa
´
t ph´at t `u
.
d¯ı
˙’
nh x n`ao d¯´o trˆen dˆay chuyˆe
`
n µ
i
.
(Dˆay chuyˆe
`
n µ
k
ch´u
.
a c´ac ca
.
nh chu
.
a d¯u

.
o
.
.
c g´an nh˜an v`a kˆe
´
t th´uc ngay khi n´o gˇa
.
p mˆo
.
t d¯ı
˙’
nh
d¯u
.
o
.
.
c g´an nh˜an, chˇa
˙’
ng ha
.
n y).
Nˆe
´
u ca
˙’
hai d¯ı
˙’
nh x v`a y cu

˙’
a dˆay chuyˆe
`
n µ
k
thuˆo
.
c dˆay chuyˆe
`
n µ
i
nhu
.
trong H`ınh 6.9(b),
th`ı µ
k
c´o thˆe
˙’
d¯u
.
o
.
.
c xoay ta
.
i hai d¯ı
˙’
nh x v`a y v`a do d¯´o s˜e phˆan d¯ˆoi diˆe
.
n ph´ıa “trˆen” hoˇa

.
c ph´ıa
“du
.
´o
.
i” dˆay chuyˆe
`
n µ
i
. V`ı vˆa
.
y ch´ung ta khˆong nh˜u
.
ng cˆa
`
n xu
.
˙’
l´y cho µ
i
m`a tru
.
´o
.
c hˆe
´
t c`on
pha
˙’

i gia
˙’
i quyˆe
´
t su
.
.
nhˆa
.
p nhˇa
`
ng cho ca
˙’
dˆay chuyˆe
`
n m´o
.
i µ
k
. Do d¯´o cˆa
`
n cˆa
´
t µ
k
sau khi cˆa
´
t µ
i
trong mˆo

.
t ngˇan xˆe
´
p, v`a ta bˇa
´
t d¯ˆa
`
u xu
.
˙’
l´y tu
.
o
.
ng tu
.
.
µ
i
d¯ˆo
´
i v´o
.
i µ
k
.
Kha
˙’
nˇang kh´ac l`a d¯ı
˙’

nh y khˆong nˇa
`
m trˆen hai dˆay chuyˆe
`
n µ
i
v`a µ
j
nhu
.
ng la
.
i thuˆo
.
c
mˆo
.
t dˆay chuyˆe
`
n kh´ac nhu
.
trong H`ınh 6.9(c). Trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p n`ay dˆay chuyˆe
`

n µ
i
khˆong
thˆe
˙’
xoay sang ph´ıa bˆen kia, v`a do d¯´o khˆong c´o su
.
.
nhˆa
.
p nhˇa
`
ng vˆe
`
diˆe
.
n m`a dˆay chuyˆe
`
n n`ay
phˆan chia.
Nhu
.
trong H`ınh 6.9(d), nˆe
´
u d¯ı
˙’
nh cuˆo
´
i cu
˙’

a dˆay chuyˆe
`
n µ
k
nˇa
`
m trˆen dˆay chuyˆe
`
n µ
j
gi˜u
.
a
hai d¯ı
˙’
nh a v`a b th`ı dˆay chuyˆe
`
n µ
i
(c`ung v´o
.
i µ
k
) vˆa
˜
n c´o thˆe
˙’
xoay ta
.
i a v`a b. Do d¯´o vˆa

˜
n c´o su
.
.
nhˆa
.
p nhˇa
`
ng d¯ˆo
´
i v´o
.
i dˆay chuyˆe
`
n µ
i
. Tuy nhiˆen khi d¯´o dˆay chuyˆe
`
n µ
k
phˆan d¯ˆoi diˆe
.
n x´ac d¯i
.
nh
bo
.
˙’
i chu tuyˆe
´

n (a, x, b, y, a) khˆong c´o su
.
.
nhˆa
.
p nhˇa
`
ng. V`ı vˆa
.
y, ch´ung ta cˆa
`
n mˆo
.
t dˆay chuyˆe
`
n
kh´ac xuˆa
´
t ph´at t`u
.
mˆo
.
t d¯ı
˙’
nh trˆen µ
i
d¯ˆe
˙’
gia
˙’

i quyˆe
´
t su
.
.
nhˆa
.
p nhˇa
`
ng v´o
.
i µ
i
.
165


µ
j
.
.
.
.
.
.
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H`ınh 6.9: Phˆan t´ıch c´ac kha
˙’
nˇang xa
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y ra cu
˙’
a dˆay chuyˆe
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n µ
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i c`ung, trong tru
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p dˆay chuyˆe
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nh y nˇa
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m trˆen dˆay chuyˆe
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n µ
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ng
nˇa
`
m ngo`ai d¯oa
.
n x´ac d¯i
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nh bo
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˙’
i a v`a b nhu
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trong H`ınh 6.9(e). Dˆay chuyˆe
`
n µ
i
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n c´o thˆe

˙’
xoay.
Nhu
.
ng kh´ac v´o
.
i tru
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`o
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ng ho
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.
p cu
˙’
a H`ınh 6.9(b), khˆong c´o su
.
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nhˆa
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p nhˇa
`
ng cu
˙’
a dˆay chuyˆe
`
n µ
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ng ´u
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ng v´o
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. Do d¯´o, cˆa
`
n t`ım mˆo
.
t dˆay chuyˆe
`
n m´o
.
i d¯ˆe
˙’
gia
˙’
i quyˆe
´
t su
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.
nhˆa
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p nhˇa
`
ng cu

˙’
a
dˆay chuyˆe
`
n µ
i
v`a dˆay chuyˆe
`
n m´o
.
i n`ay c´o thˆe
˙’
xuˆa
´
t ph´at t`u
.
mˆo
.
t d¯ı
˙’
nh bˆa
´
t k`y trˆen dˆay chuyˆe
`
n
y, a, x, b; ngo`ai ra ta c ˜ung mo
.
˙’
rˆo
.

ng dˆay chuyˆe
`
n µ
i
d¯ˆe
´
n d¯ı
˙’
nh y trˆen µ
j
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T´om la
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i, thuˆa
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t to´an kiˆe
˙’
m tra t´ınh phˇa
˙’
ng cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
gˆo
`
m c´ac thu
˙’
tu

.
c:
1. T`ım c´ac th`anh phˆa
`
n khˆong t´ach d¯u
.
o
.
.
c;
2. Phˆan hoa
.
ch c´ac th`anh phˆa
`
n khˆong t´ach d¯u
.
o
.
.
cth`anh c´ac dˆay chuyˆe
`
n;
166

3. X´ac d¯i
.
nh vi
.
tr´ı d¯ˆe
˙’

thˆem c´ac dˆay chuyˆe
`
n n`ay; v`a
4. Xˆay du
.
.
ng mˆo
.
t biˆe
˙’
u diˆe
˜
n phˇa
˙’
ng.
Su
.
˙’
du
.
ng thuˆa
.
t to´an t`ım kiˆe
´
m theo chiˆe
`
u sˆau d¯ˆe
˙’
gia
˙’

i quyˆe
´
t c´ac Bu
.
´o
.
c 1 v`a 2. C´ac dˆay chuyˆe
`
n
d¯u
.
o
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.
c ta
.
o bo
.
˙’
i hai bu
.
´o
.
c trˆen c´o nh˜u
.
ng t´ınh chˆa
´
t th´ıch ho
.
.

p cho c´ac tiˆe
´
n tr`ınh vˆe
`
sau. Th`o
.
i
gian d¯`oi ho
˙’
i trong mˆo
˜
i bu
.
´o
.
c (ngoa
.
i tr`u
.
Bu
.
´o
.
c 4) tı
˙’
lˆe
.
v´o
.
i n. Th`o

.
i gian xˆay du
.
.
ng mˆo
.
t biˆe
˙’
u
diˆe
˜
n phˇa
˙’
ng l`a O(n log n). V`ı vˆa
.
y th`o
.
i gian thu
.
.
c hiˆe
.
n cu
˙’
a thuˆa
.
t to´an l`a O(n log n) (do cˆong
th´u
.
c Euler, sˆo

´
ca
.
nh m tı
˙’
lˆe
.
v´o
.
i sˆo
´
d¯ı
˙’
nh n trong mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
phˇa
˙’
ng).
Thuˆa
.
t to´an n`ay c`on c´o thˆe
˙’
ca
˙’
i thiˆe
.

n tˆo
´
t ho
.
n v´o
.
i th`o
.
i gian thu
.
.
c hiˆe
.
n l`a O(n) (xem
[34]).
6.5 D
-
ˆo
´
i ngˆa
˜
u h`ınh ho
.
c
X´et d¯ˆo
`
thi
.
phˇa
˙’

ng liˆen thˆong G khˆong c´o d¯ı
˙’
nh cˆo lˆa
.
p. Khi d¯´o ta c´o thˆe
˙’
thiˆe
´
t lˆa
.
p mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
phˇa
˙’
ng G
∗
nhu
.
sau: bˆen trong mˆo
˜
i diˆe
.
n s cu
˙’
a R(G) d¯ˇa
.

t mˆo
.
t d¯ı
˙’
nh s
∗
cu
˙’
a G
∗
; v´o
.
i mˆo
˜
i ca
.
nh e
cu
˙’
a G thiˆe
´
t lˆa
.
p tu
.
o
.
ng ´u
.
ng mˆo

.
t ca
.
nh e
∗
cu
˙’
a G
∗
bˇa
`
ng c´ach nˆo
´
i c´ac d¯ı
˙’
nh s
∗
v`a t
∗
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng
c´ac diˆe
.
n s v`a t trˆen hai ph´ıa cu
˙’

a ca
.
nh e trong R(G). D
-
ˆo
`
thi
.
G
∗
go
.
i l`a d¯ˆo
´
i ngˆa
˜
u (tˆo pˆo) cu
˙’
a
G (hay c`on go
.
i l`a d¯ˆo
´
i ngˆa
˜
u h`ınh ho
.
c cu
˙’
a G).

V´ı du
.
6.5.1 D
-
ˆo
`
thi
.
G (d¯u
.
`o
.
ng liˆe
`
n n´et) v`a d¯ˆo
´
i ngˆa
˜
u cu
˙’
a n´o (d¯u
.
`o
.
ng d¯´u
.
t n´et) cho trong
H`ınh 6.10.
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H`ınh 6.10:
Mˆo
.
t chu tr`ınh so
.
cˆa

´
p cu
˙’
a R(G) chia mˇa
.
t phˇa
˙’
ng th`anh hai v`ung liˆen thˆong kh´ac trˆo
´
ng
v`a r`o
.
i nhau. Bo
˙’
d¯i tˆa
´
t ca
˙’
c´ac ca
.
nh d¯ˆo
´
i ngˆa
˜
u tu
.
o
.
ng ´u
.

ng c´ac ca
.
nh trˆen chu tr`ınh n`ay s˜e phˆan
167

hoa
.
ch R(G
∗
) th`anh hai th`anh phˆa
`
n liˆen thˆong. N´oi c´ach kh´ac, mˆo
˜
i chu tr`ınh so
.
cˆa
´
p cu
˙’
a G,
qua d¯ˆo
´
i ngˆa
˜
u, tu
.
o
.
ng ´u
.

ng mˆo
.
t d¯ˆo
´
i chu tr`ınh so
.
cˆa
´
p cu
˙’
a G
∗
, v`a ngu
.
o
.
.
c la
.
i. T´ınh chˆa
´
t n`ay rˆa
´
t
h˜u
.
u ´ıch v`ı ta c´o thˆe
˙’
t`ım mˆo
.

t d¯ˆo
´
i chu tr`ınh cu
˙’
a G bˇa
`
ng c´ach t`ım mˆo
.
t chu tr`ınh cu
˙’
a G
∗
.
R˜o r`ang c´o mˆo
.
t su
.
.
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng mˆo
.
t-mˆo
.
t gi˜u
.

a c´ac ca
.
nh cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
G v`a d¯ˆo
`
thi
.
d¯ˆo
´
i ngˆa
˜
u
G
∗
−mˆo
.
t ca
.
nh cu
˙’
a G
∗
giao v´o
.
i mˆo

.
t ca
.
nh cu
˙’
a G. Ho
.
n n˜u
.
a ch´ung ta c´o mˆo
.
t v`ai nhˆa
.
n x´et sau:
1. Ca
.
nh l`a khuyˆen trong G tu
.
o
.
ng ´u
.
ng ca
.
nh treo trong G
∗
.
2. Ca
.
nh l`a ca

.
nh treo trong G tu
.
o
.
ng ´u
.
ng khuyˆen trong G
∗
.
3. Nˆe
´
u G c´o d¯iˆe
˙’
m kh´o
.
p th`ı G
∗
c˜ung c´o d¯iˆe
˙’
m kh´o
.
p.
4. C´ac ca
.
nh trong chuˆo
˜
i cu
˙’
a G tu

.
o
.
ng ´u
.
ng c´ac ca
.
nh song song trong G
∗
.
5. C´ac ca
.
nh song song trong G tu
.
o
.
ng ´u
.
ng c´ac ca
.
nh trong chuˆo
˜
i cu
˙’
a G
∗
.
6. Sˆo
´
c´ac ca

.
nh ta
.
o th`anh biˆen trong diˆe
.
n F cu
˙’
a G, bˇa
`
ng bˆa
.
c cu
˙’
a d¯ı
˙’
nh tu
.
o
.
ng ´u
.
ng trong
G
∗
v`a ngu
.
o
.
.
c la

.
i.
7. D
-
ˆo
`
thi
.
G
∗
l`a phˇa
˙’
ng.
8. D
-
ˆo
`
thi
.
d¯ˆo
´
i ngˆa
˜
u cu
˙’
a G
∗
l`a G; t´u
.
c l`a (G

∗
)
∗
= G.
9. Nˆe
´
u k´y hiˆe
.
u n, m v`a f l`a sˆo
´
c´ac d¯ı
˙’
nh, ca
.
nh v`a diˆe
.
n tu
.
o
.
ng ´u
.
ng cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
phˇa
˙’

ng liˆen
thˆong G, v`a k´y hiˆe
.
u n
∗
, m
∗
v`a f
∗
l`a sˆo
´
c´ac d¯ı
˙’
nh, ca
.
nh v`a diˆe
.
n cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
d¯ˆo
´
i ngˆa
˜
u G
∗
tu

.
o
.
ng ´u
.
ng, th`ı
n
∗
= f, m
∗
= m, f
∗
= n.
V´ı du
.
6.5.2 X´et mˆo
.
t ma
.
ng vˆa
.
n ta
˙’
i phˇa
˙’
ng (vˆo hu
.
´o
.
ng) G m`a mˆo

˜
i ca
.
nh e c´o kha
˙’
nˇang thˆong
qua c(e) ≥ 0, d¯ı
˙’
nh v`ao s v`a d¯ı
˙’
nh ra t d¯u
.
o
.
.
c xˆe
´
p trˆen c`ung mˆo
.
t d¯u
.
`o
.
ng nˇa
`
m ngang. Ta lˆa
.
p d¯ˆo
`
thi

.
d¯ˆo
´
i ngˆa
˜
u G
∗
bˇa
`
ng c´ach cho hai d¯ı
˙’
nh kh´ac nhau s
∗
v`a t
∗
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
i diˆe
.
n vˆo ha
.
n cu
˙’
a

G : d¯ı
˙’
nh s
∗
´u
.
ng v´o
.
i nu
.
˙’
a mˇa
.
t phˇa
˙’
ng du
.
´o
.
i, d¯ı
˙’
nh t
∗
´u
.
ng v´o
.
i nu
.
˙’

a mˇa
.
t phˇa
˙’
ng trˆen. G´an tro
.
ng
lu
.
o
.
.
ng w(e
∗
) = c(e) cho ca
.
nh e
∗
(´u
.
ng v´o
.
i e). Bˆay gi`o
.
ta x´et c´ac b`ai to´an sau:
B`ai to´an 1. Trong G t`ım thiˆe
´
t diˆe
.
n A c´o kha

˙’
nˇang thˆong qua nho
˙’
nhˆa
´
t; t´u
.
c l`a l`am cu
.
.
c
tiˆe
˙’
u
c(A) =

v∈A
c(v).
B`ai to´an 2. Trong G
∗
t`ım d¯u
.
`o
.
ng d¯i ngˇa
´
n nhˆa
´
t µ
∗

d¯i t`u
.
s
∗
d¯ˆe
´
n t
∗
; t´u
.
c l`a l`am cu
.
.
c tiˆe
˙’
u
w(µ
∗
) =

v
∗
∈µ
∗
w(v
∗
).
168

B`ai to´an 1 tu

.
o
.
ng d¯u
.
o
.
ng v´o
.
i b`ai to´an t`ım luˆo
`
ng l´o
.
n nhˆa
´
t; B`ai to´an 2 tu
.
o
.
ng d¯u
.
o
.
ng v´o
.
i
b`ai to´an t`ım d¯u
.
`o
.

ng d¯i ngˇa
´
n nhˆa
´
t v`a r˜o r`ang d¯ˆo
´
i v´o
.
i d¯ˆo
`
thi
.
phˇa
˙’
ng th`ı ca
˙’
hai b`ai to´an d¯´o l`a
mˆo
.
t.
B`ai to´an bˆo
´
n m`au c`on c´o thˆe
˙’
ph´at biˆe
˙’
u du
.
´o
.

i da
.
ng d¯ˆo
´
i ngˆa
˜
u l`a: c´o thˆe
˙’
tˆo c´ac diˆe
.
n cu
˙’
a
mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
phˇa
˙’
ng G bˇa
`
ng bˆo
´
n m`au sao cho khˆong c´o hai diˆe
.
n kˆe
`
nhau c´o c`ung mˆo

.
t m`au.
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˙’
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V´ı du
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6.5.3 Hai d¯ˆo
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thi
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trong H`ınh 6.11 l`a d¯ˇa
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u v´o
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i hai biˆe
˙’
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Ngu
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i, c´ac d¯ˆo
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thi
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d¯ˆo
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u cu
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a hai d¯ˆo
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thi
.
n`ay khˆong d¯ˇa
˙’
ng cˆa
´
u nhu
.
trong H`ınh 6.12.

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•
• •
•
e
∗
1
e
∗
2
e
∗
3
e
∗
4
e
∗
5
e
∗

7
e
∗
6
(b)
H`ınh 6.12: (a) D
-
ˆo
´
i ngˆa
˜
u cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
trong H`ınh 6.11(a). (b) D
-
ˆo
´
i ngˆa
˜
u cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
trong H`ınh

6.11(b).
6.6 D
-
ˆo
´
i ngˆa
˜
u tˆo
˙’
ho
.
.
p
Trong c´ac phˆa
`
n tru
.
´o
.
c ch´ung ta d¯˜a d¯i
.
nh ngh˜ıa v`a tha
˙’
o luˆa
.
n vˆe
`
d¯ˆo
´
i ngˆa

˜
u cu
˙’
a c´ac d¯ˆo
`
thi
.
phˇa
˙’
ng
theo ngh˜ıa thuˆa
`
n t´uy h`ınh ho
.
c. Phˆa
`
n n`ay cung cˆa
´
p mˆo
.
t d¯i
.
nh ngh˜ıa tu
.
o
.
ng d¯u
.
o
.

ng cu
˙’
a kh´ai
niˆe
.
m d¯ˆo
´
i ngˆa
˜
u khˆong phu
.
thuˆo
.
c v`ao c´ac kh´ai niˆe
.
m h`ınh ho
.
c. Tru
.
´o
.
c hˆe
´
t ta c´o
D
-
i
.
nh l´y 6.6.1 D
-

iˆe
`
u kiˆe
.
n cˆa
`
n v`a d¯u
˙’
d¯ˆe
˙’
hai d¯ˆo
`
thi
.
phˇa
˙’
ng G
1
v`a G
2
l`a d¯ˆo
´
i ngˆa
˜
u cu
˙’
a nhau
l`a: Tˆo
`
n ta

.
i tu
.
o
.
ng ´u
.
ng mˆo
.
t-mˆo
.
t gi˜u
.
a c´ac ca
.
nh trong G
1
v`a c´ac ca
.
nh trong G
2
sao cho mˆo
.
t
tˆa
.
p c´ac ca
.
nh trong G
1

ta
.
o th`anh mˆo
.
t chu tr`ınh nˆe
´
u v`a chı
˙’
nˆe
´
u tˆa
.
p tu
.
o
.
ng ´u
.
ng trong G
2
ta
.
o
th`anh mˆo
.
t thiˆe
´
t diˆe
.
n.

Ch´u
.
ng minh. D
-
iˆe
`
u kiˆe
.
n cˆa
`
n. X´et mˆo
.
t biˆe
˙’
u diˆe
˜
n phˇa
˙’
ng cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
G. Ch´ung ta c˜ung v˜e mˆo
.
t
d¯ˆo
´
i ngˆa

˜
u (h`ınh ho
.
c) G
∗
cu
˙’
a G. X´et mˆo
.
t chu tr`ınh µ t`uy ´y trong G. Hiˆe
˙’
n nhiˆen, chu tr`ınh µ
s˜e ta
.
o th`anh mˆo
.
t d¯u
.
`o
.
ng cong d¯´ong d¯o
.
n n`ao d¯´o trong mˇa
.
t phˇa
˙’
ng biˆe
˙’
u diˆe
˜

n cu
˙’
a G v`a phˆan
chia mˇa
.
t phˇa
˙’
ng th`anh hai v`ung (D
-
i
.
nh l´y D
-
u
.
`o
.
ng cong Jordan). Do d¯´o c´ac d¯ı
˙’
nh cu
˙’
a G
∗
d¯u
.
o
.
.
c
phˆan hoa

.
ch th`anh hai tˆa
.
p con kh´ac trˆo
´
ng r`o
.
i nhau-mˆo
.
t bˆen trong µ v`a mˆo
.
t bˆen ngo`ai µ.
N´oi c´ach kh´ac, tˆa
.
p c´ac ca
.
nh µ
∗
trong G
∗
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng tˆa
.
p µ trong G l`a mˆo
.

t thiˆe
´
t diˆe
.
n trong
G
∗
. (Khˆong tˆa
.
p con thu
.
.
c su
.
.
n`ao cu
˙’
a µ
∗
l`a thiˆe
´
t diˆe
.
n cu
˙’
a G
∗
; ta
.
i sao?). Tu

.
o
.
ng tu
.
.
, hiˆe
˙’
n
nhiˆen rˇa
`
ng v´o
.
i mˆo
˜
i thiˆe
´
t diˆe
.
n S
∗
trong G
∗
tˆo
`
n ta
.
i duy nhˆa
´
t mˆo

.
t chu tr`ınh gˆo
`
m tˆa
.
p c´ac ca
.
nh
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng S trong G sao cho S l`a mˆo
.
t chu tr`ınh.
170

D
-
iˆe
`
u kiˆe
.
n d¯u
˙’
. Gia
˙’
su

.
˙’
G l`a d¯ˆo
`
thi
.
phˇa
˙’
ng v`a G

l`a d¯ˆo
`
thi
.
m`a c´o tu
.
o
.
ng ´u
.
ng mˆo
.
t-mˆo
.
t gi˜u
.
a c´ac
thiˆe
´
t diˆe

.
n trong G v`a c´ac chu tr`ınh trong G

v`a ngu
.
o
.
.
c la
.
i. Gia
˙’
su
.
˙’
G
∗
l`a d¯ˆo
`
thi
.
d¯ˆo
´
i ngˆa
˜
u cu
˙’
a
G. Khi d¯´o c´o mˆo
.

t tu
.
o
.
ng ´u
.
ng mˆo
.
t-mˆo
.
t gi˜u
.
a c´ac chu tr`ınh trong G

v`a c´ac thiˆe
´
t diˆe
.
n trong
G, v`a gi˜u
.
a c´ac thiˆe
´
t diˆe
.
n trong G v`a c´ac chu tr`ınh trong G
∗
. Do d¯´o tˆo
`
n ta

.
i tu
.
o
.
ng ´u
.
ng mˆo
.
t
mˆo
.
t gi˜u
.
a c´ac chu tr`ınh cu
˙’
a G

v`a G
∗
m`a d¯iˆe
`
u n`ay chı
˙’
ra rˇa
`
ng G

v`a G
∗

l`a 2−d¯ˇa
˙’
ng cˆa
´
u (D
-
i
.
nh
l´y 1.5.3). Theo D
-
i
.
nh l´y 6.5.4, d¯ˆo
`
thi
.
G

l`a mˆo
.
t d¯ˆo
´
i ngˆa
˜
u cu
˙’
a G.
D
-

ˆo
´
i ngˆa
˜
u cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
con
Gia
˙’
su
.
˙’
G l`a d¯ˆo
`
thi
.
phˇa
˙’
ng v`a G
∗
l`a d¯ˆo
´
i ngˆa
˜
u cu
˙’

a n´o. Gia
˙’
su
.
˙’
a l`a mˆo
.
t ca
.
nh cu
˙’
a G v`a ca
.
nh
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng n´o trong G
∗
l`a a
∗
. Bˆay gi`o
.
ta xo´a ca
.
nh a kho
˙’

i d¯ˆo
`
thi
.
G v`a t`ım d¯ˆo
´
i ngˆa
˜
u cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
G \ {a}. Nˆe
´
u a l`a ca
.
nh biˆen cu
˙’
a hai diˆe
.
n, th`ı viˆe
.
c xo´a ca
.
nh a s˜e ho
.
.
p nhˆa

´
t hai diˆe
.
n n`ay
l`am mˆo
.
t. Do d¯´o d¯ˆo
`
thi
.
d¯ˆo
´
i ngˆa
˜
u (G \ { a })
∗
c´o thˆe
˙’
nhˆa
.
n d¯u
.
o
.
.
c t`u
.
G
∗
bˇa

`
ng c´ach xo´a ca
.
nh
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng a
∗
v`a sau d¯´o d¯ˆo
`
ng nhˆa
´
t hai d¯ı
˙’
nh m`a a
∗
liˆen thuˆo
.
c trong G
∗
\ {a
∗
}. Mˇa
.
t kh´ac nˆe
´

u
ca
.
nh a khˆong nˇa
`
m trˆen biˆen, th`ı a
∗
l`a mˆo
.
t khuyˆen. Trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p n`ay G
∗
\ {a
∗
} ch´ınh
l`a (G \ {a})
∗
. Do d¯´o nˆe
´
u d¯ˆo
`
thi
.
G c´o mˆo

.
t d¯ˆo
´
i ngˆa
˜
u G
∗
th`ı d¯ˆo
´
i ngˆa
˜
u cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
con cu
˙’
a G c´o
thˆe
˙’
nhˆa
.
n d¯u
.
o
.
.
c bˇa

`
ng c´ach ´ap du
.
ng mˆo
.
t sˆo
´
lˆa
`
n thu
˙’
tu
.
c n`ay.
D
-
ˆo
´
i ngˆa
˜
u cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
d¯ˆo
`
ng phˆoi
Gia

˙’
su
.
˙’
G l`a d¯ˆo
`
thi
.
phˇa
˙’
ng v`a G
∗
l`a d¯ˆo
´
i ngˆa
˜
u cu
˙’
a n´o. Gia
˙’
su
.
˙’
a l`a mˆo
.
t ca
.
nh cu
˙’
a G v`a ca

.
nh
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng n´o trong G
∗
l`a a
∗
. Bˆay gi`o
.
ta thˆem mˆo
.
t d¯ı
˙’
nh m´o
.
i c´o bˆa
.
c bˇa
`
ng hai nˇa
`
m trˆen ca
.
nh
a v`ao G (t´u

.
c l`a a tro
.
˙’
th`anh hai ca
.
nh trong chuˆo
˜
i). Khi d¯´o d¯ˆo
´
i ngˆa
˜
u cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
m´o
.
i nhˆa
.
n
d¯u
.
o
.
.
c ch´ınh l`a thˆem ca
.

nh song song v´o
.
i a
∗
v`ao d¯ˆo
`
thi
.
G
∗
. Tu
.
o
.
ng tu
.
.
xu
.
˙’
l´y ngu
.
o
.
.
c la
.
i bˇa
`
ng

c´ach r´ut go
.
n chuˆo
˜
i s˜e tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
i xo´a mˆo
.
t ca
.
nh song song trong G
∗
. Do d¯´o nˆe
´
u G c´o mˆo
.
t
d¯ˆo
´
i ngˆa
˜
u G
∗
, th`ı mo

.
i d¯ˆo
´
i ngˆa
˜
u cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
d¯ˆo
`
ng phˆoi v´o
.
i G
∗
c´o thˆe
˙’
nhˆa
.
n d¯u
.
o
.
.
c t`u
.
G
∗

bˇa
`
ng
phu
.
o
.
ng ph´ap trˆen.
D
-
ˆe
´
n nay ch´ung ta m´o
.
i chı
˙’
nghiˆen c´u
.
u d¯ˆo
´
i ngˆa
˜
u cu
˙’
a c´ac d¯ˆo
`
thi
.
phˇa
˙’

ng. D
-
´o l`a v`ı mo
.
i
d¯i
.
nh ngh˜ıa cu
˙’
a kh´ai niˆe
.
m d¯ˆo
´
i ngˆa
˜
u phu
.
thuˆo
.
c v`ao c´ach biˆe
˙’
u diˆe
˜
n phˇa
˙’
ng cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi

.
trˆen mˇa
.
t
phˇa
˙’
ng. Tuy nhiˆen, D
-
i
.
nh l´y 6.6.1 cho ph´ep ch´ung ta c´o thˆe
˙’
d¯i
.
nh ngh˜ıa la
.
i kh´ai niˆe
.
m n`ay m`a
khˆong phu
.
thuˆo
.
c v`ao c´ach biˆe
˙’
u diˆe
˜
n trˆen mˇa
.
t phˇa

˙’
ng; cu
.
thˆe
˙’
l`a tu
.
o
.
ng ´u
.
ng gi˜u
.
a c´ac chu tr`ınh
v`a c´ac thiˆe
´
t diˆe
.
n. Kh´ai niˆe
.
m n`ay c´o thˆe
˙’
mo
.
˙’
rˆo
.
ng cho c´ac d¯ˆo
`
thi

.
khˆong phˇa
˙’
ng? N´oi c´ach
kh´ac, v´o
.
i d¯ˆo
`
thi
.
khˆong phˇa
˙’
ng G, c´o tˆo
`
n ta
.
i mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
G

tu
.
o
.
ng ´u
.

ng mˆo
.
t-mˆo
.
t gi˜u
.
a c´ac ca
.
nh
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˙’
a ch´ung sao cho mo
.
i chu tr`ınh trong G tu
.
o
.
ng ´u
.
ng duy nhˆa
´
t v´o
.
i mˆo
.
t thiˆe
´
t diˆe
.
n trong G


,
v`a ngu
.
o
.
.
c la
.
i? Cˆau tra
˙’
l`o
.
i l`a khˆong do kˆe
´
t qua
˙’
sau
D
-
i
.
nh l´y 6.6.2 [Whitney] D
-
ˆo
`
thi
.
c´o d¯ˆo
´

i ngˆa
˜
u nˆe
´
u v`a chı
˙’
nˆe
´
u n´o phˇa
˙’
ng.
171

Ch´u
.
ng minh. Ch´ung ta chı
˙’
cˆa
`
n ch´u
.
ng minh d¯iˆe
`
u kiˆe
.
n cˆa
`
n. T´u
.
c l`a ta s˜e ch´u

.
ng minh d¯ˆo
`
thi
.
khˆong phˇa
˙’
ng s˜e khˆong c´o d¯ˆo
´
i ngˆa
˜
u. Gia
˙’
su
.
˙’
G l`a d¯ˆo
`
thi
.
khˆong phˇa
˙’
ng. Khi d¯´o theo D
-
i
.
nh l´y
Kuratowski, G ch´u
.
a K

5
hoˇa
.
c K
3,3
hoˇa
.
c mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
con d¯ˆo
`
ng phˆoi v´o
.
i mˆo
.
t trong hai d¯ˆo
`
thi
.
n`ay. Ta biˆe
´
t rˇa
`
ng, G c´o mˆo
.
t d¯ˆo

´
i ngˆa
˜
u chı
˙’
nˆe
´
u mo
.
i d¯ˆo
`
thi
.
con g cu
˙’
a G v`a mo
.
i d¯ˆo
`
thi
.
d¯ˆo
`
ng
phˆoi v´o
.
i g c´o mˆo
.
t d¯ˆo
´

i ngˆa
˜
u. Do d¯´o nˆe
´
u ch´ung ta ch´u
.
ng minh d¯u
.
o
.
.
c ca
˙’
hai d¯ˆo
`
thi
.
Kuratowski
K
5
v`a K
3,3
d¯ˆe
`
u khˆong c´o d¯ˆo
´
i ngˆa
˜
u th`ı d¯i
.

nh l´y d¯u
.
o
.
.
c ch´u
.
ng minh. Ta s˜e ch´u
.
ng minh pha
˙’
n
ch´u
.
ng nhu
.
sau:
(a) Gia
˙’
su
.
˙’
K
3,3
c´o mˆo
.
t d¯ˆo
´
i ngˆa
˜

u D. Nhˆa
.
n x´et rˇa
`
ng c´ac thiˆe
´
t diˆe
.
n trong K
3,3
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng c´ac
chu tr`ınh trong D v`a ngu
.
o
.
.
c la
.
i (D
-
i
.
nh l´y 6.6.1). Do K
3,3

khˆong c´o thiˆe
´
t diˆe
.
n gˆo
`
m hai ca
.
nh
nˆen D khˆong c´o chu tr`ınh d¯ˆo
.
d`ai hai. T´u
.
c D khˆong c´o c´ac ca
.
nh song song. Do mo
.
i chu
tr`ınh trong K
3,3
c´o d¯ˆo
.
d`ai bˆo
´
n hoˇa
.
c s´au nˆen D khˆong c´o thiˆe
´
t diˆe
.

n v´o
.
i sˆo
´
ca
.
nh ´ıt ho
.
n bˆo
´
n.
V`ı vˆa
.
y, bˆa
.
c cu
˙’
a c´ac d¯ı
˙’
nh trong D ´ıt nhˆa
´
t bˇa
`
ng bˆo
´
n. Nhu
.
ng D khˆong c´o ca
.
nh song song v`a

bˆa
.
c cu
˙’
a c´ac d¯ı
˙’
nh ´ıt nhˆa
´
t bˇa
`
ng bˆo
´
n nˆen D c´o ´ıt nhˆa
´
t nˇam d¯ı
˙’
nh, mˆo
˜
i d¯ı
˙’
nh c´o bˆa
.
c l´o
.
n ho
.
n
hoˇa
.
c bˇa

`
ng bˆo
´
n. T´u
.
c l`a D c´o ´ıt nhˆa
´
t (5 × 4)/2 = 10 ca
.
nh. D
-
iˆe
`
u n`ay mˆau thuˆa
˜
n v`ı K
3,3
c´o
ch´ın ca
.
nh v`a d¯ˆo
´
i ngˆa
˜
u cu
˙’
a n´o c˜ung pha
˙’
i c´o ch´ın ca
.

nh. Do d¯´o K
3,3
khˆong c´o d¯ˆo
´
i ngˆa
˜
u.
(b) Gia
˙’
su
.
˙’
K
5
c´o mˆo
.
t d¯ˆo
´
i ngˆa
˜
u l`a H. Ch´u ´y rˇa
`
ng K
5
c´o
1. 10 ca
.
nh;
2. khˆong c´o ca
.

nh song song;
3. khˆong c´o thiˆe
´
t diˆe
.
n v´o
.
i hai ca
.
nh; v`a
4. c´ac thiˆe
´
t diˆe
.
n chı
˙’
c´o bˆo
´
n hoˇa
.
c s´au ca
.
nh.
Suy ra d¯ˆo
`
thi
.
H c´o
1. 10 ca
.

nh;
2. khˆong c´o d¯ı
˙’
nh bˆa
.
c nho
˙’
ho
.
n ba;
3. khˆong c´o cˇa
.
p ca
.
nh song song;
4. c´ac chu tr`ınh c´o d¯ˆo
.
d`ai bˆo
´
n hoˇa
.
c s´au.
Khi d¯´o H ch´u
.
a mˆo
.
t lu
.
c gi´ac (mˆo
.

t chu tr`ınh c´o d¯ˆo
.
d`ai s´au), v`a khˆong c´o ho
.
n ba ca
.
nh
m`a khi thˆem v`ao lu
.
c gi´ac s˜e khˆong ta
.
o th`anh chu tr`ınh d¯ˆo
.
d`ai ba hoˇa
.
c mˆo
.
t cˇa
.
p ca
.
nh song
song. Nhu
.
ng d¯iˆe
`
u n`ay khˆong thˆe
˙’
xa
˙’

y ra trong H v`a H c´o 10 ca
.
nh, nˆen H c´o ´ıt nhˆa
´
t ba
˙’
y
d¯ı
˙’
nh. Bˆa
.
c cu
˙’
a mˆo
˜
i d¯ı
˙’
nh n`ay ´ıt nhˆa
´
t bˇa
`
ng ba. D
-
iˆe
`
u n`ay dˆa
˜
n d¯ˆe
´
n H c´o ´ıt nhˆa

´
t 11 ca
.
nh-mˆau
thuˆa
˜
n. 
172