Đồ thị và các thuật toán - Chương 5 doc

Chu
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B`ai to´an Euler v`a b`ai to´an Hamilton
L´y thuyˆe
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ng b`ai to´an cˆo
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v`a b`ai to´an Hamilton t`ım h`anh tr`ınh d¯i qua mˆo

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Hai b`ai to´an n`ay c´o liˆen quan d¯ˆe
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ng: c´ac b`ai to´an t`ım h`anh tr`ınh tˆo
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h`anh tr`ınh Euler v`a b`ai to´an ngu
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Trung Hoa c´o thˆe
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t`ım cˇa
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n 7.5). C´ac thuˆa

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t to´an n`ay s˜e d¯u
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b`ay trong c´ac Phˆa
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n 5.1 v`a 5.2.
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i chu tr`ınh hay ma
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ch Hamilton l`a nh˜u
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ng b`ai to´an khˆong d¯a
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n [30]. Ch´ung ta
chı
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tr`ınh b`ay trong Phˆa
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n 5.3 nh˜u
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ng kˆe
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ch´ınh liˆen quan d¯ˆe
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tˆo
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n ta
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a c´ac chu tr`ınh
hay ma
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ch Hamilton. Khi c´o d¯iˆe
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u kiˆe
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n, c´ac ch´u
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ng minh c´o t´ınh kiˆe
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n thiˆe
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t thuˆa
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t to´an hoˇa
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c´o thˆe

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ng ph´ap heuristic.
5.1 B`ai to´an Euler
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nh ngh˜ıa 5.1.1 Gia
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su
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G = (V, E) l`a d¯ˆo
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thi
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vˆo hu
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ng (d¯o
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n hoˇa
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c d¯a d¯ˆo
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thi
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). Dˆay chuyˆe
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n
127

Euler l`a dˆay chuyˆe
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n ch´u
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t ca
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c´ac ca
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nh cu
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a d¯ˆo
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thi
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i ca
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nh d¯´ung mˆo
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t lˆa
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n. Chu tr`ınh
Euler l`a dˆay chuyˆe
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n Euler m`a d¯ı
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nh d¯ˆa
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u tr`ung v´o
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i d¯ı
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nh cuˆo
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i.
V´ı du
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5.1.2 (B`ai to´an Euler) C´ach d¯ˆay khoa
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ng ba trˇam nˇam, nhiˆe
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u ngu
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i dˆan th`anh phˆo
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K¨onigsberg cu
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c Nga (sau n`ay l`a th`anh phˆo
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Kaliningrat) d¯˜a t`u
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ng thˇa
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c mˇa
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c vˆa
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n d¯ˆe
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nhu
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sau: Th`anh phˆo
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c´o sˆong Pregel cha
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y qua, gi˜u
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a sˆong c´o c`u lao Kneiphof, v`a c´o 7 chiˆe

´
c cˆa
`
u
bˇa
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c qua sˆong nhu
.
trˆen H`ınh 5.1(a); c´o thˆe
˙’
d¯i da
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o qua khˇa
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p c´ac cˆa
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u nhu
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ng mˆo
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i cˆa
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u chı
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d¯i
mˆo
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t lˆa
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n thˆoi khˆong? Nˆe

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u ta coi mˆo
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i khu vu
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c a, b, c, d cu
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a th`anh phˆo
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nhu
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t d¯ı
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nh, mˆo
˜
i cˆa
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u
qua la
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i hai khu vu
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c nhu
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mˆo
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nh nˆo
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i hai d¯ı
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nh, th`ı ba
˙’
n d¯ˆo
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th`anh phˆo
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K¨onigsberg l`a mˆo
.
t
d¯ˆo
`
thi
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(H`ınh 5.1(b)). Thˇa
´
c mˇa
´
c cu
˙’
a ngu
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i dˆan th`anh phˆo

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ch´ınh l`a: c´o thˆe
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v˜e d¯u
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c d¯ˆo
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ng mˆo
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t n´et b´ut liˆe
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n hay khˆong? N´oi c´ach kh´ac: tˆo
`
n ta
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i chu tr`ınh Euler?
Nh`a to´an ho
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c L. Euler (1707-1783) l`a ngu
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i d¯ˆa

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u tiˆen d¯˜a ch´u
.
ng minh b`ai to´an khˆong
c´o l`o
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i gia
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i (nˇam 1736, xem [22], [23]), v`a v`ı vˆa
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y b`ai to´an thu
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ng d¯u
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c go
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i l`a b`ai to´an Euler
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c´ac cˆa
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K¨onigsberg.

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nh n`ay tr`ung nhau (chu tr`ınh Euler) th`ı khˆong
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n m`a ta d¯i trˆen d¯ˆo
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t ph´at t`u
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nh.
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nh ´ıt ho
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t quy na
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t
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. V`ı G liˆen thˆong, dˆay chuyˆe
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n µ c´o chung v´o
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i c´ac d¯ˆo
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thi

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, . . . , G
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p
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Euler.
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i
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nh l´y Euler 5.1.3 cho ta mˆo
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t thuˆa
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t to´an xˆay du
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ng dˆay chuyˆe
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n Euler
trong mˆo
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t d¯ˆo
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thi
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Euler.
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v
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`
n hay chu tr`ınh Euler c´o thˆe
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o
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typedef struct PathNode *PathPtr;
struct PathNode
{
byte Vertex;
PathPtr Next;
};
d¯ˆe

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d¯´anh dˆa
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u c´ac d¯ı
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nh liˆen tiˆe
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n, trong d¯´o V ertex l`a sˆo
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´
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ng sˆo
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), trong d¯´o v´o
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˙’
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i d¯ı
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v
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. Trong qu´a tr`ınh thu
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c hiˆe
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n thuˆa
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t to´an, mˆo
˜
i khi d¯i qua ca
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nh (v
i
, v
j
) n`ao d¯´o, ta gia
˙’
m d¯ˆo
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130

d`ai Length mˆo
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t d¯o
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o
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j trong danh s´ach V out[i] d¯ˆe
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n nˆen d¯ˆo
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ph´u
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p cu
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5.2 B`ai to´an ngu
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Trung Hoa
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thi
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ng liˆen thˆong G := (V, E) c´o tro
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ng sˆo
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c l`a mˆo
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nh e ∈ E ta g´an mˆo
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B`ai to´an ngu
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Trung Hoa (khˆong d¯u
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ng mˆo
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´
t mˆo
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t lˆa
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n v`a c´o
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˙’
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t (xem [44]).
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u b`ai to´an vˆe
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`o
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a, ngu
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`o
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i ch`ao h`ang, v.v)
c´o thˆe
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ph´at biˆe
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u o
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˙’
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ng n`ay. Trong tru
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p d¯ˆo
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thi

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c´o hu
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ng, trong d¯´o mˆo
˜
i cung cu
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ng ´ıt nhˆa
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n, b`ai to´an c´o thˆe
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ng v´o
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d¯ˆay vˆe
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sau ch´ung ta chı
˙’
x´et d¯ˆo
`
thi
.
vˆo hu
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ng. Khˆong mˆa

´
t t´ınh tˆo
˙’
ng qu´at c´o thˆe
˙’
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˙’
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´
t d¯ı
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´
t ph´at a v`a d¯ı
˙’
nh kˆe
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t th´uc b trˆen dˆay chuyˆe
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n l`a tr`ung nhau. Trong tru
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ng
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p ngu
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t ca
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nh (a, b) v´o
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i d¯ˆo
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d`ai bˇa
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ng khˆong. V´o
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i mˆo
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c´o d¯ˆo
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d`ai nho
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t trˆen d¯ˆo

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t dˆay chuyˆe
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n trˆen G c´o c`ung d¯ˆo
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d`ai v`a
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˙’
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u G l`a d¯ˆo
`
thi
.
Euler th`ı tˆo
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n ta

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i mˆo
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t chu tr`ınh Euler d¯i qua mˆo
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i ca
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nh d¯´ung mˆo
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u cu
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N´oi chung, G khˆong pha
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i l`a d¯ˆo
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Euler, nˆen tˆo
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˙’

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ng sˆo
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n tu
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p V
1
l`a mˆo
.
t sˆo
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chˇa
˜
n. Khi
d¯´o b`ai to´an ngu
.
`o
.

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Trung Hoa d¯u
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nh v`ao G d¯ˆe
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thi
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Euler v`a c`ung l´uc, cu
.
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c tiˆe

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u ho´a tˆo
˙’
ng c´ac tro
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ng cu
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a c´ac ca
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c thˆem v`ao.
Ch´ung ta khˆong thˆem mˆo
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t ca
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j

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n ta
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nh e = (v
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trong G v`a g´an tro
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
l`a w(e


) := w(e). Ca
.
nh e

go
.
i l`a ba
˙’
n sao cu
˙’
a e.
X´et mˆo
.
t l`o
.
i gia
˙’
i tˆo
´
i u
.
u cu
˙’
a b`ai to´an v`a d¯ˇa
.
t E

l`a tˆa
.
p c´ac ca

.
nh d¯u
.
o
.
.
c thˆem v`ao G. K´y
hiˆe
.
u G

= (V, E + E

) l`a d¯ˆo
`
thi
.
Euler nhˆa
.
n d¯u
.
o
.
.
c.
131

Bˆo
˙’
d¯ˆe

`
5.2.1 Gia
˙’
su
.
˙’
v
i
l`a mˆo
.
t d¯ı
˙’
nh bˆa
.
c le
˙’
trong G. Khi d¯´o tˆa
.
p E

ch´u
.
a mˆo
.
t dˆay chuyˆe
`
n
so
.
cˆa

´
p nˆo
´
i d¯ı
˙’
nh v
i
v´o
.
i mˆo
.
t d¯ı
˙’
nh v
j
= v
i
c´o bˆa
.
c le
˙’
trong G.
Ch´u
.
ng minh. V´o
.
i mo
.
i d¯ı
˙’

nh v
k
∈ V
1
ta c´o d
G
(v
k
) ≡ 1 (mod 2) v`a d
G

(v
k
) ≡ 0 (mod 2); ngo`ai
ra, theo c´ach xˆay du
.
.
ng d
G

(v
k
) ≥ d
G
(v
k
). Do d¯´o tˆo
`
n ta
.

i ´ıt nhˆa
´
t mˆo
.
t ca
.
nh e
1
∈ E

liˆen thuˆo
.
c
d¯ı
˙’
nh v
i
.
K´y hiˆe
.
u v
i
1
l`a d¯ı
˙’
nh kh´ac v
i
m`a ca
.
nh e

1
liˆen thuˆo
.
c. Nˆe
´
u d
G
(v
i
1
) ≡ 1 (mod 2) th`ı bˆo
˙’
d¯ˆe
`
d¯u
.
o
.
.
c ch´u
.
ng minh v´o
.
i v
j
= v
i
1
. Ngu
.

o
.
.
c la
.
i, nˆe
´
u d
G
(v
i
1
) ≡ 0 (mod 2) th`ı d
G

(v
i
1
) ≥ d
G
(v
i
1
) +2
v`a tˆo
`
n ta
.
i ca
.

nh e
2
∈ E

, e
2
= e
1
, liˆen thuˆo
.
c d¯ı
˙’
nh v
i
1
. K´y hiˆe
.
u v
i
2
l`a d¯ı
˙’
nh kh´ac v
i
1
m`a ca
.
nh
e
2

liˆen thuˆo
.
c. Nˆe
´
u d
G
(v
i
2
) ≡ 1 (mod 2) th`ı bˆo
˙’
d¯ˆe
`
d¯u
.
o
.
.
c ch ´u
.
ng minh v´o
.
i v
j
= v
i
2
. Ngu
.
o

.
.
c la
.
i,
tˆo
`
n ta
.
i ca
.
nh e
3
∈ E

, e
3
= e
2
, liˆen thuˆo
.
c d¯ı
˙’
nh v
i
2
, v`a vˆan vˆan.
Do d¯´o ta xˆay du
.
.

ng d¯u
.
o
.
.
c mˆo
.
t dˆay chuyˆe
`
n so
.
cˆa
´
p d`ai nhˆa
´
t c´o thˆe
˙’
(v
i
, e
1
, v
i
1
, e
2
, v
i
2
, . . . , e

p
, v
i
p
).
Nˆe
´
u d
G
(v
i
p
) ≡ 1 (mod 2) th`ı bˆo
˙’
d¯ˆe
`
d¯u
.
o
.
.
c ch´u
.
ng minh v´o
.
i v
j
= v
i
p

. Ngu
.
o
.
.
c la
.
i, tˆo
`
n ta
.
i ca
.
nh
e
p+1
∈ E

, e
p
= e
p+1
, liˆen thuˆo
.
c d¯ı
˙’
nh v
i
p
v`a v

i
p+1
. Trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p n`ay, tˆo
`
n ta
.
i chı
˙’
sˆo
´
q, 1 ≤ q ≤ p, sao cho v
i
q
≡ v
i
p+1
v`a ta c´o mˆo
.
t chu tr`ınh xuˆa
´
t hiˆe
.
n. Loa

.
i bo
˙’
tˆa
´
t ca
˙’
c´ac ca
.
nh
trong chu tr`ınh n`ay ta d¯u
.
o
.
.
c mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
con G

cu
˙’
a G

sao cho n´o vˆa
˜
n l`a d¯ˆo

`
thi
.
Euler v`a
ho
.
n n˜u
.
a
d
G

(v
k
) ≥ d
G
(v
k
),
v´o
.
i mo
.
i d¯ı
˙’
nh v
k
∈ V.
Lˇa
.

p la
.
i c´ach xˆay du
.
.
ng dˆay chuyˆe
`
n trˆen, xuˆa
´
t ph´at t`u
.
d¯ı
˙’
nh v
i
q
chı
˙’
su
.
˙’
du
.
ng c´ac ca
.
nh
cu
˙’
a G


.
Do sˆo
´
c´ac ca
.
nh trong E

l`a h˜u
.
u ha
.
n, nˆen sau mˆo
.
t sˆo
´
h˜u
.
u ha
.
n bu
.
´o
.
c ta d¯u
.
o
.
.
c mˆo
.

t d¯ı
˙’
nh
v
i
p
sao cho d
G
(v
i
p
) ≡ 1 (mod 2) v`a bˆo
˙’
d¯ˆe
`
d¯u
.
o
.
.
c ch´u
.
ng minh v´o
.
i v
j
= v
i
p
. 

Bˆo
˙’
d¯ˆe
`
5.2.2 Gia
˙’
su
.
˙’
v
i
v`a v
j
l`a hai d¯ı
˙’
nh thoa
˙’
m˜an c´ac d¯iˆe
`
u kiˆe
.
n cu
˙’
a Bˆo
˙’
d¯ˆe
`
5.2.1 v`a k´y
hiˆe
.

u dˆay chuyˆe
`
n tu
.
o
.
ng ´u
.
ng l`a
µ

:= {e

1
, e

2
, . . . , e

p
}
trong d¯´o e

k
∈ E

, k = 1, 2, . . . , p. C´ac ca
.
nh e


1
, e

2
, . . . , e

p
l`a c´ac ba
˙’
n sao cu
˙’
a c´ac ca
.
nh
e
1
, e
2
, . . . , e
p
trong G v`a x´et dˆay chuyˆe
`
n µ := {e
1
, e
2
, . . . , e
p
} trong G. Khi d¯´o µ l`a dˆay
chuyˆe

`
n (trong G) c´o tro
.
ng lu
.
o
.
.
ng nho
˙’
nhˆa
´
t nˆo
´
i d¯ı
˙’
nh v
i
v´o
.
i d¯ı
˙’
nh v
j
.
Ch´u
.
ng minh. Nˆe
´
u tˆo

`
n ta
.
i mˆo
.
t dˆay chuyˆe
`
n ¯µ = {¯e
1
, ¯e
2
, . . . , ¯e
q
} nˆo
´
i d¯ı
˙’
nh v
i
v´o
.
i d¯ı
˙’
nh v
j
trong
G c´o d¯ˆo
.
d`ai nho
˙’

ho
.
n th`ı bˇa
`
ng c´ach loa
.
i c´ac ca
.
nh e

1
, e

2
, . . . , e

p
kho
˙’
i G

v`a thˆem c´ac ba
˙’
n sao
132

¯e

1
, ¯e


2
, . . . , ¯e

q
cu
˙’
a ¯e
1
, ¯e
2
, . . . , ¯e
q
ta nhˆa
.
n d¯u
.
o
.
.
c mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
Euler m´o
.
i c´o tˆo
˙’

ng tro
.
ng lu
.
o
.
.
ng nho
˙’
ho
.
n, mˆau thuˆa
˜
n. 
Bˆay gi`o
.
x´et d¯ˆo
`
thi
.
d¯ˆa
`
y d¯u
˙’
K(V
1
) trˆen tˆa
.
p c´ac d¯ı
˙’

nh V
1
trong d¯´o c´ac ca
.
nh thˆem v`ao
(v
i
, v
j
) c´o tro
.
ng lu
.
o
.
.
ng w
ij
bˇa
`
ng d¯ˆo
.
d`ai cu
˙’
a dˆay chuyˆe
`
n nho
˙’
nhˆa
´

t trong G gi˜u
.
a hai d¯ı
˙’
nh v
i
v`a v
j
. Khi d¯´o mˆo
˜
i ca
.
nh cu
˙’
a K(V
1
) tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
i mˆo
.
t dˆay chuyˆe
`
n trong G. V`ı w(e) ≥ 0 v´o
.

i
mo
.
i ca
.
nh e ∈ E nˆen w
ij
c´o thˆe
˙’
d¯u
.
o
.
.
c x´ac d¯i
.
nh bˇa
`
ng thuˆa
.
t to´an t`ım d¯u
.
`o
.
ng d¯i ngˇa
´
n nhˆa
´
t,
chˇa

˙’
ng ha
.
n Floyd (xem 3.3.2) hay Dantzig [16].
D
-
i
.
nh l´y 5.2.3 Tˆo
`
n ta
.
i tu
.
o
.
ng ´u
.
ng mˆo
.
t-mˆo
.
t gi˜u
.
a l`o
.
i gia
˙’
i tˆo
´

i u
.
u cu
˙’
a b`ai to´an ngu
.
`o
.
i d¯u
.
a
thu
.
Trung Hoa v´o
.
i mˆo
.
t cˇa
.
p gh´ep ho`an ha
˙’
o c´o tro
.
ng lu
.
o
.
.
ng nho
˙’

nhˆa
´
t trong d¯ˆo
`
thi
.
K(V
1
).
Ch´u
.
ng minh. X´et mˆo
.
t l`o
.
i gia
˙’
i tˆo
´
i u
.
u cu
˙’
a b`ai to´an ngu
.
`o
.
i d¯u
.
a thu

.
Trung Hoa v`a d¯ˇa
.
t E

l`a
tˆa
.
p c´ac ca
.
nh thˆem v`ao G. Theo Bˆo
˙’
d¯ˆe
`
5.2.1 ta c´o thˆe
˙’
thiˆe
´
t lˆa
.
p tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
i mˆo
˜

i d¯ı
˙’
nh
v
i
∈ V
1
v´o
.
i mˆo
.
t d¯ı
˙’
nh v
j
∈ V
1
bˇa
`
ng mˆo
.
t dˆay chuyˆe
`
n so
.
cˆa
´
p µ
ij
m`a c´ac ca

.
nh thuˆo
.
c E

. Theo
Bˆo
˙’
d¯ˆe
`
5.2.2, µ
ij
c´o d¯ˆo
.
d`ai nho
˙’
nhˆa
´
t. Trong d¯ˆo
`
thi
.
K(V
1
) c´ac dˆay chuyˆe
`
n µ
ij
tu
.

o
.
ng ´u
.
ng ca
.
nh
(v
i
, v
j
). Do d¯´o tˆa
´
t ca
˙’
c´ac d¯ı
˙’
nh cu
˙’
a V
1
d¯u
.
o
.
.
c kˆe
´
t ho
.

.
p, hai v´o
.
i hai, v`a c´ac ca
.
nh (v
i
, v
j
) tu
.
o
.
ng
´u
.
ng dˆay chuyˆe
`
n µ
ij
cu
˙’
a G

, ta
.
o th`anh mˆo
.
t cˇa
.

p gh´ep ho`an ha
˙’
o K cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
K(V
1
). (Trong
d¯ˆo
`
thi
.
d¯ˆa
`
y d¯u
˙’
v´o
.
i sˆo
´
chˇa
˜
n d¯ı
˙’
nh luˆon luˆon tˆo
`
n ta

.
i mˆo
.
t cˇa
.
p gh´ep ho`an ha
˙’
o; xem Phˆa
`
n 7.5).
V`ı tro
.
ng lu
.
o
.
.
ng cu
˙’
a cˇa
.
p gh´ep ho`an ha
˙’
o K bˇa
`
ng tˆo
˙’
ng c´ac tro
.
ng lu

.
o
.
.
ng cu
˙’
a c´ac ca
.
nh cu
˙’
a E

nˆen l`o
.
i gia
˙’
i cu
˙’
a b`ai to´an ngu
.
`o
.
i d¯u
.
a thu
.
Trung Hoa l`a tˆo
´
i u
.

u nˆe
´
u v`a chı
˙’
nˆe
´
u K l`a mˆo
.
t cˇa
.
p
gh´ep ho`an ha
˙’
o v´o
.
i tro
.
ng lu
.
o
.
.
ng nho
˙’
nhˆa
´
t. Ta c´o d¯iˆe
`
u pha
˙’

i ch´u
.
ng minh. 
Do d¯´o nghiˆe
.
m cu
˙’
a b`ai to´an ngu
.
`o
.
i d¯u
.
a thu
.
Trung Hoa d¯u
.
a vˆe
`
b`ai to´an t`ım mˆo
.
t cˇa
.
p
gh´ep ho`an ha
˙’
o c´o tro
.
ng lu
.

o
.
.
ng nho
˙’
nhˆa
´
t cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
d¯ˆa
`
y d¯u
˙’
K
n
. Viˆe
.
c x´ac d¯i
.
nh nghiˆe
.
m cu
˙’
a
b`ai to´an sau l`a mˆo
.

t thuˆa
.
t to´an kh´a ph´u
.
c ta
.
p v`a do d¯´o s˜e khˆong d¯u
.
o
.
.
c tr`ınh b`ay o
.
˙’
d¯ˆay. Ba
.
n
d¯o
.
c quan tˆam c´o thˆe
˙’
tham kha
˙’
o c´ac t`ai liˆe
.
u [14], [30].
Nhˆa
.
n x´et 5.2.4 Nˆe
´

u tˆo
`
n ta
.
i ca
.
nh e trong G sao cho w(e) < 0 th`ı b`ai to´an khˆong c´o nghiˆe
.
m
tˆo
´
i u
.
u: Thˆa
.
t vˆa
.
y, bˇa
`
ng c´ach thˆem mˆo
.
t tˆa
.
p E

h˜u
.
u ha
.
n c´ac ba

˙’
n sao cu
˙’
a c´ac ca
.
nh cu
˙’
a G ta
c´o thˆe
˙’
thˆem ca
.
nh e mˆo
.
t sˆo
´
chˇa
˜
n lˆa
`
n d¯u
˙’
l´o
.
n, v`a do d¯´o nhˆa
.
n d¯u
.
o
.

.
c mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
Euler v´o
.
i d¯ˆo
.
d`ai nho
˙’
tu`y ´y. Vˆa
.
y gia
˙’
thiˆe
´
t c´ac ca
.
nh c´o tro
.
ng lu
.
o
.
.
ng khˆong ˆam l`a khˆong mˆa
´

t t´ınh tˆo
˙’
ng
qu´at d¯ˆe
˙’
loa
.
i tr`u
.
tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p tˆa
`
m thu
.
`o
.
ng n`ay.
V´ı du
.
5.2.5 X´et d¯ˆo
`
thi
.
trong H`ınh 5.3 v´o

.
i c´ac sˆo
´
trˆen c´ac ca
.
nh l`a tro
.
ng lu
.
o
.
.
ng ca
.
nh. Ta
cˆa
`
n t`ım mˆo
.
t chu tr`ınh qua mˆo
˜
i ca
.
nh ´ıt nhˆa
´
t mˆo
.
t lˆa
`
n v`a c´o d¯ˆo

.
d`ai nho
˙’
nhˆa
´
t.
Tˆo
˙’
ng c´ac tro
.
ng lu
.
o
.
.
ng c´ac ca
.
nh cu
˙’
a G bˇa
`
ng 31. V`ı G khˆong l`a d¯ˆo
`
thi
.
Euler nˆen d¯ˆo
.
d`ai
cu
˙’

a chu tr`ınh cˆa
`
n t`ım s˜e l´o
.
n ho
.
n 31.
133

7

3

3

2

3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
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.
2
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= {1, 2, 3, 4}. Theo thuˆa
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n nhˆa
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1 0 4 5 7
2 4 0 2 5
3 5 2 0 3
4 7 5 3 0





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p d¯ˆe
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n ta xˆay du
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) l`a d¯ˆo
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a dˆay chuyˆe
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n ngˇa
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n nhˆa
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t gi˜u
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(xem H`ınh 5.4).
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ng l`a {1, 7, 2} v`a { 3, 4}.
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˙’
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`
ng c´ach thˆem v`ao d¯ˆo
`
thi
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ban d¯ˆa
`
u c´ac ca
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nh
(1, 7), (7, 2) v`a (3, 4). D
-
ˆo
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c l`a d¯ˆo
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thi
.
Euler (H`ınh 5.5).
134





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H`ınh 5.5: D
-
ˆo
`
thi
.
Euler G

nhˆa
.
n d¯u
.
o
.
.
c t`u
.
G bˇa
`
ng c´ach thˆem c´ac ca
.
nh tu
.
o
.
ng ´u
.
ng c´ac dˆay
chuyˆe
`

n nho
˙’
nhˆa
´
t gi˜u
.
a 1 v`a 2 v`a gi˜u
.
a 3 v`a 4.
Cuˆo
´
i c`ung ta chı
˙’
cˆa
`
n t`ım mˆo
.
t chu tr`ınh Euler trong G

, chˇa
˙’
ng ha
.
n
{6, 2, 3, 7, 2, 7, 1, 7, 4, 5, 1, 6}
l`a chu tr`ınh c´o d¯ˆo
.
d`ai 31 + 7 = 38 l`a nghiˆe
.
m tˆo

´
i u
.
u cˆa
`
n t`ım.
5.3 B`ai to´an Hamilton
Gia
˙’
su
.
˙’
G := (V, E) l`a d¯ˆo
`
thi
.
liˆen thˆong (hay liˆen thˆong ma
.
nh trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p c´o hu
.
´o
.
ng)

c´o n d¯ı
˙’
nh.
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 5.3.1 Dˆay chuyˆe
`
n (hay d¯u
.
`o
.
ng d¯i) d¯i qua tˆa
´
t ca
˙’
c´ac d¯ı
˙’
nh cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
G, mˆo
˜
i
d¯ı
˙’

nh mˆo
.
t lˆa
`
n, go
.
i l`a dˆay chuyˆe
`
n Hamilton (hay d¯u
.
`o
.
ng d¯i Hamilton).
Theo d¯i
.
nh ngh˜ıa, dˆay chuyˆe
`
n (hay d¯u
.
`o
.
ng d¯i Hamilton) l`a so
.
cˆa
´
p, v`a c´o d¯ˆo
.
d`ai (n − 1).
Chu tr`ınh (hay ma
.

ch) Hamilton l`a mˆo
.
t chu tr`ınh (hay ma
.
ch) d¯i qua tˆa
´
t ca
˙’
c´ac d¯ı
˙’
nh
cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
G, mˆo
˜
i d¯ı
˙’
nh d¯´ung mˆo
.
t lˆa
`
n. Dˆe
˜
thˆa
´
y rˇa

`
ng, chu tr`ınh Hamilton l`a chu tr`ınh so
.
cˆa
´
p
c´o d¯ˆo
.
d`ai n. Ta n´oi rˇa
`
ng, G l`a d¯ˆo
`
thi
.
Hamilton nˆe
´
u n´o ch´u
.
a mˆo
.
t chu tr`ınh Hamilton (trong
tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p vˆo hu
.

´o
.
ng) hoˇa
.
c mˆo
.
t ma
.
ch Hamilton (trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p c´o hu
.
´o
.
ng).
V´ı du
.
5.3.2 Nˇam 1859, nh`a to´an ho
.
c Hamilton (1805-1865) ngu
.
`o
.
i Ailen d¯˜a cho b´an mˆo
.

t
d¯ˆo
`
cho
.
i d¯ˆo
.
c d¯´ao, phˆa
`
n ch´ınh l`a mˆo
.
t khˆo
´
i nhi
.
diˆe
.
n d¯ˆe
`
u (khˆo
´
i d¯a diˆe
.
n c´o 12 mˇa
.
t ng˜u gi´ac d¯ˆe
`
u
v`a 20 d¯ı
˙’

nh, mˆo
˜
i d¯ı
˙’
nh c´o 3 ca
.
nh) l`am bˇa
`
ng gˆo
˜
. O
.
˙’
mˆo
˜
i d¯ı
˙’
nh c´o ghi tˆen mˆo
.
t th`anh phˆo
´
l´o
.
n:
Beruych, Qua
˙’
ng chˆau, Deli, Frangfua, v.v C´ach cho
.
i l`a t`ım mˆo
.

t d¯u
.
`o
.
ng d¯i do
.
c theo c´ac
135

ca
.
nh cu
˙’
a thˆa
.
p nhi
.
diˆe
.
n d¯ˆe
`
u v`a qua mˆo
˜
i d¯ı
˙’
nh (th`anh phˆo
´
) v`u
.
a d¯´ung mˆo

.
t lˆa
`
n. Muˆo
´
n tr`o cho
.
i
d¯u
.
o
.
.
c hˆa
´
p dˆa
˜
n ho
.
n c´o thˆe
˙’
quy d¯i
.
nh tru
.
´o
.
c tr`ınh tu
.
.

qua mˆo
.
t v`ai th`anh phˆo
´
d¯ˆa
`
u tiˆen, v`a d¯ˆe
˙’
gi´up nh´o
.
dˆe
˜
d`ang c´ac th`anh phˆo
´
d¯˜a d¯i qua, o
.
˙’
mˆo
˜
i d¯ı
˙’
nh cu
˙’
a khˆo
´
i thˆa
.
p nhi
.
diˆe

.
n d¯ˆe
`
u c´o d¯´ong
mˆo
.
t chiˆe
´
c d¯inh m˜u to, quanh d¯´o c´o thˆe
˙’
quˆa
´
n so
.
.
i dˆay nho
˙’
d¯ˆe
˙’
chı
˙’
d¯oa
.
n d¯u
.
`o
.
ng d¯˜a d¯i qua. Vˆe
`
sau d¯ˆe

˙’
d¯o
.
n gia
˙’
n, Hamilton d¯˜a thay khˆo
´
i thˆa
.
p nhi
.
diˆe
.
n d¯ˆe
`
u bˇa
`
ng mˆo
.
t h`ınh phˇa
˙’
ng. B`ai to´an
d¯u
.
o
.
.
c ph´at biˆe
˙’
u du

.
´o
.
i da
.
ng d¯ˆo
`
thi
.
nhu
.
sau. Ta biˆe
´
t rˇa
`
ng h`ınh thˆa
.
p nhi
.
diˆe
.
n d¯ˆe
`
u c´o 12 mˇa
.
t,
30 ca
.
nh, 20 d¯ı
˙’

nh; mˆo
˜
i mˇa
.
t l`a mˆo
.
t ng˜u gi´ac d¯ˆe
`
u, mˆo
˜
i d¯ı
˙’
nh l`a d¯ˆa
`
u m´ut cu
˙’
a 3 ca
.
nh. C´ac d¯ı
˙’
nh
v`a c´ac ca
.
nh cu
˙’
a h`ınh thˆa
.
p nhi
.
diˆe

.
n d¯ˆe
`
u lˆa
.
p th`anh mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
nhu
.
H`ınh 5.6. B`ai to´an d¯ˇa
.
t
ra l`a h˜ay t`ım mˆo
.
t chu tr`ınh Hamilton cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
G.
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136

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ch) d¯i qua tˆa
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n v`a d¯u
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n Hamilton l`a G liˆen thˆong (liˆen thˆong ma
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m mˆo
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t chu tr`ınh (hay ma
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t trˆen d¯ˆo
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thi
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nh chu tr`ınh (hay ma
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ch) trong d¯ˆo
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137

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i ch`ao h`ang ch´ınh l`a c´ac b`ai to´an tiˆe
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n Hamilton, v`a d¯ˆe
˙’
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˙’
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t ta cˆa
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n t`ım ma trˆa
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ng c´ac dˆay chuyˆe

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ng d¯i) ngˇa
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n nhˆa
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Cuˆo
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i c`ung nhˆa
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n x´et rˇa
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ng, tˆo
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i mˆo
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`o
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ng ho
.
.
p m`a b`ai to´an chu tr`ınh tiˆe

`
n Hamilton
c´o d¯ˆo
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d`ai nho
˙’
nhˆa
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t c´o thˆe
˙’
d¯u
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a vˆe
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b`ai to´an ngu
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˙’
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d¯ˆo
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n d¯ˆo
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thi
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n`ao d¯´o v`a khi d¯ˆo
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d`ai cu
˙’
a c´ac ca
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i
, v

j
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c´o da
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+ a
j
. Trong tru
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ng ho
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p n`ay, b`ai to´an t`ım chu tr`ınh tiˆe
`
n Hamilton trong G ch´ınh
l`a b`ai to´an ngu
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i d¯u
.
a thu
.
Trung Hoa trong G
∗
v´o
.

i d¯ˆo
.
d`ai ca
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∗
i
cu
˙’
a G
∗
l`a a
i
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Nhˆa
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n x´et tu
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o
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ng tu
.
.
cho b`ai to´an t`ım ma
.
ch tiˆe
`
n Hamilton c´o d¯ˆo
.
d`ai nho

˙’
nhˆa
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t trong
tru
.
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ng ho
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p d¯ˆo
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thi
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c´o hu
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ng G l`a d¯ˆo
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thi
.
d¯ˆo
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i ngˆa
˜
u cu
˙’
a d¯a d¯ˆo

`
thi
.
c´o hu
.
´o
.
ng n`ao d¯´o.
5.3.1 C´ac d¯iˆe
`
u kiˆe
.
n cˆa
`
n d¯ˆe
˙’
tˆo
`
n ta
.
i chu tr`ınh Hamilton
Hiˆe
˙’
n nhiˆen rˇa
`
ng, mˆo
.
t d¯iˆe
`
u kiˆe

.
n cˆa
`
n d¯ˆe
˙’
tˆo
`
n ta
.
i chu tr`ınh Hamilton l`a G 2-liˆen thˆong. Tuy
nhiˆen, d¯ˆay khˆong pha
˙’
i d¯iˆe
`
u kiˆe
.
n d¯u
˙’
.
H`ınh 5.7 l`a mˆo
.
t v´ı du
.
d¯ˆo
`
thi
.
2-liˆen thˆong khˆong ch´u
.
a chu tr`ınh Hamilton (ho

.
n n˜u
.
a,
c´o thˆe
˙’
chı
˙’
ra rˇa
`
ng, d¯´o l`a d¯ˆo
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thi
.
c´o sˆo
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t n`ay).
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thi
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2-liˆen thˆong c´o sˆo
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d¯ı
˙’
nh ´ıt nhˆa
´
t khˆong c´o chu tr`ınh Hamilton.
D
-
ˆo
`
thi
.
vˆo hu
.
´o
.
ng Petersen (H`ınh 5.8) l`a v´ı du
.

kh´ac khˆong c´o chu tr`ınh Hamilton. D
-
ˆay
l`a d¯ˆo
`
thi
.
ch´ınh quy 3-liˆen thˆong nho
˙’
nhˆa
´
t c´o tˆa
´
t ca
˙’
c´ac d¯ı
˙’
nh bˆa
.
c ba. Nhiˆe
`
u pha
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n v´ı du
.
vˆe
`
b`ai to´an Hamilton d¯u
.
o

.
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c xˆay du
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1
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thi
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ng G
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l`a d¯ˆo
`
thi
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˜
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a G = (V, E) nˆe
´
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˙’
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ng ´u
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ng v´o
.
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.
t ca
.
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e ∈ E v`a hai d¯ı
˙’

nh trong G
∗
kˆe
`
nhau nˆe
´
u hai ca
.
nh tu
.
o
.
ng ´u
.
ng kˆe
`
nhau. D
-
ˆo
`
thi
.
c´o hu
.
´o
.
ng G
∗
l`a d¯ˆo
`

thi
.
d¯ˆo
´
i
ngˆa
˜
u cu
˙’
a G = (V, E) nˆe
´
u mˆo
˜
i d¯ı
˙’
nh e
∗
cu
˙’
a G
∗
tu
.
o
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ng ´u
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ng v´o
.
i mˆo

.
t cung e ∈ E v`a tˆo
`
n ta
.
i cung (e
∗
1
, e
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2
) trong
G
∗
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´
u d¯ı
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n cu
˙’
a cung e
1
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nh gˆo
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c cu
˙’

a cung e
2
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•
•
••
•
•
•
•
•
H`ınh 5.8: D
-
ˆo
`
thi
.
Petersen.
C´o nhiˆe
`
u d¯iˆe
`
u kiˆe
.
n cˆa
`
n kh´ac (xem [30], [14]) nhu
.
ng khˆong c´o mˆo
.

t d¯iˆe
`
u kiˆe
.
n cˆa
`
n v`a d¯u
˙’
vˆe
`
su
.
.
tˆo
`
n ta
.
i chu tr`ınh (ma
.
ch) Hamiton.
Do d¯´o ch´ung ta s˜e tˆa
.
p trung mˆo
.
t sˆo
´
d¯iˆe
`
u kiˆe
.

n d¯u
˙’
dˆa
˜
n d¯ˆe
´
n c´ac phu
.
o
.
ng ph´ap c´o t´ınh
xˆay du
.
.
ng chu tr`ınh Hamilton.
5.3.2 C´ac d¯iˆe
`
u kiˆe
.
n d¯u
˙’
vˆe
`
su
.
.
tˆo
`
n ta
.

i chu tr`ınh Hamilton
Mˆe
.
nh d¯ˆe
`
5.3.7 K
n
l`a d¯ˆo
`
thi
.
Hamilton.
Ch´u
.
ng minh. Hiˆe
˙’
n nhiˆen. 
X´et d¯ˆo
`
thi
.
vˆo hu
.
´o
.
ng n d¯ı
˙’
nh G := (V, E). Gia
˙’
su

.
˙’
s v`a t l`a hai d¯ı
˙’
nh khˆong kˆe
`
nhau sao
cho
d
G
(s) + d
G
(t) ≥ n.
K´y hiˆe
.
u G + (s, t) l`a d¯ˆo
`
thi
.
nhˆa
.
n d¯u
.
o
.
.
c t`u
.
G bˇa
`

ng c´ach thˆem ca
.
nh (s, t). Khi d¯´o
Mˆe
.
nh d¯ˆe
`
5.3.8 Nˆe
´
u G + (s, t) l`a d¯ˆo
`
thi
.
Hamilton th`ı G l`a d¯ˆo
`
thi
.
Hamilton. Ta n´oi t´ınh
chˆa
´
t n`ay l`a ˆo
˙’
n d¯i
.
nh Hamilton qua ph´ep biˆe
´
n d¯ˆo
˙’
i G → G + (s, t).
Ch´u

.
ng minh. Gia
˙’
su
.
˙’
G + (s, t) ch´u
.
a chu tr`ınh Hamilton µ := (v
1
, v
2
, . . . , v
n
). Nˆe
´
u µ khˆong
d¯i qua ca
.
nh (s, t) th`ı G l`a Hamilton. Ngu
.
o
.
.
c la
.
i, G ch´u
.
a mˆo
.

t dˆay chuyˆe
`
n Hamilton µ \ (s, t)
nˆo
´
i s v`a t. (Khˆong mˆa
´
t t´ınh tˆo
˙’
ng qu´at, c´o thˆe
˙’
gia
˙’
thiˆe
´
t s = v
1
, t = v
n
).
139

Ta ch´u
.
ng minh rˇa
`
ng tˆo
`
n ta
.

i ´ıt nhˆa
´
t mˆo
.
t chı
˙’
sˆo
´
i, 3 ≤ i ≤ n, sao cho s kˆe
`
v´o
.
i v
i
v`a t kˆe
`
v´o
.
i v
i−1
.
Thˆa
.
t vˆa
.
y, x´et c´ac tˆa
.
p con cu
˙’
a tˆa

.
p Y := {v
3
, v
4
, . . . , v
n−1
} :
A = {v
i
| (s, v
i
) ∈ E v`a 3 ≤ i ≤ n − 1},
B
=
{
v
i
|
(
t, v
i−1
)
∈
E
v`a 3
≤
i
≤
n

−
1
}
.
V`ı s v`a t khˆong kˆe
`
nhau trong G nˆen
#A + #B = d
G
(s) + d
G
(t) − 2 ≥ n − 2
v`a nhˆa
.
n x´et rˇa
`
ng #Y = n − 3 suy ra tˆo
`
n ta
.
i
v
i
∈ A ∩ B (3 ≤ i ≤ n − 1).
Do d¯´o, thˆem c´ac ca
.
nh (s, v
i
) v`a (t, v
i−1

) v`a xo´a ca
.
nh (v
i
, v
i−1
) ta d¯u
.
o
.
.
c mˆo
.
t chu tr`ınh Hamilton
trong G (xem H`ınh 5.9), v`a mˆe
.
nh d¯ˆe
`
d¯u
.
o
.
.
c ch´u
.
ng minh. 
.
.
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•
t = v
n
• •
v
i
•
v
i−1
•
•
v

3
•
v
2
•
s = v
1
−→
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•
v
i
•
v
1
•
v
2
•
v
3
•
•
v
i−1
•
t = v
n

•

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H`ınh 5.9:
Gia
˙’
su
.
˙’
G l`a d¯o
.
n d¯ˆo
`
thi
.
n d¯ı
˙’
nh v`a k l`a sˆo
´
nguyˆen thoa
˙’
1 ≤ k ≤ n. X´et thu

˙’
tu
.
c d¯ˆe
.
quy sau: Xuˆa
´
t ph´at t`u
.
G, thˆem c´ac ca
.
nh nˆo
´
i c´ac d¯ı
˙’
nh khˆong kˆe
`
nhau m`a tˆo
˙’
ng c´ac bˆa
.
c cu
˙’
a
ch´ung l´o
.
n ho
.
n hoˇa
.

c bˇa
`
ng k. (Sˆo
´
ph´ep to´an d¯`oi ho
˙’
i trong thu
˙’
tu
.
c n`ay tı
˙’
lˆe
.
v´o
.
i n
4
). V`ı c´ac
bˆa
.
c khˆong gia
˙’
m, d¯ˆo
`
thi
.
nhˆa
.
n d¯u

.
o
.
.
c khˆong phu
.
thuˆo
.
c v`ao th´u
.
tu
.
.
c´ac ca
.
nh d¯u
.
o
.
.
c thˆem. D
-
ˆo
`
thi
.
n`ay (ch´u
.
a G) go
.

i l`a k−bao d¯´ong cu
˙’
a G v`a k´y hiˆe
.
u l`a [G]
k
. V´o
.
i k = n, t`u
.
Mˆe
.
nh d¯ˆe
`
5.3.8
suy ra
D
-
i
.
nh l´y 5.3.9 [8] G l`a d¯ˆo
`
thi
.
Hamilton nˆe
´
u v`a chı
˙’
nˆe
´

u [G]
n
l`a d¯ˆo
`
thi
.
Hamilton.
Trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p tˆo
˙’
ng qu´at, t`ım chu tr`ınh Hamilton trong [G]
n
khˆong pha
˙’
i l´uc n`ao
c˜ung dˆe
˜
ho
.
n trong G. Tuy nhiˆen, v´o
.
i nh˜u
.
ng tru

.
`o
.
ng ho
.
.
p d¯ˇa
.
c biˆe
.
t, chˇa
˙’
ng ha
.
n khi [G]
n
l`a d¯ˆo
`
thi
.
d¯ˆa
`
y d¯u
˙’
K
n
ta c´o thˆe
˙’
dˆe
˜

d`ang xˆay du
.
.
ng chu tr`ınh Hamilton trong [G]
n
:
140

D
-
i
.
nh l´y 5.3.10 D
-
iˆe
`
u kiˆe
.
n d¯u
˙’
d¯ˆe
˙’
G l`a d¯ˆo
`
thi
.
Hamilton l`a [G]
n
= K
n

.
C´o thˆe
˙’
chı
˙’
ra rˇa
`
ng hˆa
`
u hˆe
´
t c´ac d¯iˆe
`
u kiˆe
.
n d¯u
˙’
d¯˜a biˆe
´
t (d¯u
.
o
.
.
c liˆe
.
t kˆe du
.
´o
.

i d¯ˆay) liˆen quan
d¯ˆe
´
n bˆa
.
c cu
˙’
a G suy ra [ G]
n
= K
n
v`a do d¯´o l`a c´ac hˆe
.
qua
˙’
cu
˙’
a D
-
i
.
nh l´y 5.3.10.
Gia
˙’
su
.
˙’
G l`a d¯o
.
n d¯ˆo

`
thi
.
liˆen thˆong n d¯ı
˙’
nh.
Hˆe
.
qua
˙’
5.3.11 [Ore] [47] Nˆe
´
u d
G
(v
i
) + d
G
(v
j
) ≥ n v´o
.
i mo
.
i (v
i
, v
j
) /∈ E th`ı G l`a d¯ˆo
`

thi
.
Hamilton.
Hˆe
.
qua
˙’
5.3.12 [Dirac] [17] Nˆe
´
u d
G
(v
i
) ≥
n
2
v´o
.
i mo
.
i d¯ı
˙’
nh v
i
∈ V th`ı G l`a d¯ˆo
`
thi
.
Hamilton.
Hˆe

.
qua
˙’
5.3.13 [P´osa] [51] Nˆe
´
u c´ac d¯ı
˙’
nh cu
˙’
a G d¯u
.
o
.
.
c d¯´anh sˆo
´
thu
.
.
tu
.
.
sao cho
d
G
(v
1
) ≤ d
G
(v

2
) ≤ · · · ≤ d
G
(v
n
)
v`a nˆe
´
u
∀k : 1 ≤ k <
n
2
⇒ d
G
(v
k
) > k,
th`ı G l`a d¯ˆo
`
thi
.
Hamilton.
Hˆe
.
qua
˙’
5.3.14 [Bondy] [7] Gia
˙’
su
.

˙’
c´ac d¯ı
˙’
nh cu
˙’
a G d¯u
.
o
.
.
c d¯´anh sˆo
´
thu
.
.
tu
.
.
sao cho
d
G
(v
1
) ≤ d
G
(v
2
) ≤ · · · ≤ d
G
(v

n
).
Nˆe
´
u d¯iˆe
`
u kiˆe
.
n sau d¯´ung:
p < q, d
G
(v
p
) ≤ p, d
G
(v
q
) ≤ q − 1 ⇒ d
G
(v
p
) + d
G
(v
q
) ≥ n,
th`ı G l`a d¯ˆo
`
thi
.

Hamilton.
Hˆe
.
qua
˙’
5.3.15 [Chv´atal] [13] Nˆe
´
u c´ac d¯ı
˙’
nh cu
˙’
a G d¯u
.
o
.
.
c d¯´anh sˆo
´
thu
.
.
tu
.
.
sao cho
d
G
(v
1
) ≤ d

G
(v
2
) ≤ · · · ≤ d
G
(v
n
)
v`a nˆe
´
u
d
G
(v
k
) ≤ k <
n
2
⇒ d
G
(v
n−k
) ≥ n − k
th`ı G l`a d¯ˆo
`
thi
.
Hamilton.
141

Hˆe
.
qua
˙’
5.3.16 [Las Vergnas] [42] [30] Nˆe
´
u c´ac d¯ı
˙’
nh cu
˙’
a G d¯u
.
o
.
.
c d¯´anh sˆo
´
thu
.
.
tu
.
.
v
1
, v
2
, . . . , v
n
sao cho

j < k, k ≥ n − j
(v
j
, v
k
) /∈ E
d
G
(v
j
) ≤ j, d
G
(v
k
) ≤ k − 1





⇒ d
G
(v
j
) + d
G
(v
k
) ≥ n
th`ı G l`a d¯ˆo

`
thi
.
Hamilton.
C´ac ch´u
.
ng minh. Ch´u
.
ng minh cu
˙’
a Hˆe
.
qua
˙’
5.3.11 suy tru
.
.
c tiˆe
´
p t`u
.
c´ach xˆay du
.
.
ng [G]
n
: tˆa
´
t
ca

˙’
c´ac ca
.
nh (v
i
, v
j
) /∈ E c´o thˆe
˙’
d¯u
.
o
.
.
c thˆem v`a do d¯´o ta c´o [G]
n
= K
n
. Hˆe
.
qua
˙’
5.3.12 suy tru
.
.
c
tiˆe
´
p t`u
.

Hˆe
.
qua
˙’
5.3.11.
Ho
.
n n˜u
.
a, dˆe
˜
d`ang thˆa
´
y rˇa
`
ng, d¯ˆo
`
thi
.
thoa
˙’
m˜an c´ac d¯iˆe
`
u kiˆe
.
n cu
˙’
a Hˆe
.
qua

˙’
5.3.13, 5.3.14
hay 5.3.15 c˜ung thoa
˙’
m˜an c´ac gia
˙’
thiˆe
´
t cu
˙’
a Hˆe
.
qua
˙’
5.3.16.
D
-
ˆe
˙’
ch´u
.
ng minh Hˆe
.
qua
˙’
5.3.16, ta s˜e su
.
˙’
du
.

ng kˆe
´
t qua
˙’
sau cho d¯iˆe
`
u kiˆe
.
n d¯u
˙’
d¯ˆe
˙’
[G]
n
= K
n
.
D
-
i
.
nh l´y 5.3.17 [8] Nˆe
´
u c´ac d¯ı
˙’
nh cu
˙’
a G d¯u
.
o

.
.
c d¯´anh sˆo
´
thu
.
.
tu
.
.
v
1
, v
2
, . . . , v
n
sao cho
i < j
(v
i
, v
j
) /∈ E
d
G
(v
i
) ≤ i + k − n
d
G

(v
j
) ≤ j + k − n − 1
i + j ≥ 2n − k















⇒ d
G
(v
i
) + d
G
(v
j
) ≥ k
th`ı k−bao d¯´ong cu
˙’

a G l`a d¯ˆo
`
thi
.
d¯ˆa
`
y d¯u
˙’
K
n
.
Ch´u
.
ng minh. 
Hˆe
.
qua
˙’
5.3.16 suy tru
.
.
c tiˆe
´
p t`u
.
D
-
i
.
nh l´y 5.3.17 v´o

.
i k = n. Hˆe
.
qua
˙’
5.3.16 l`a tˆo
˙’
ng qu´at
nhˆa
´
t cu
˙’
a tˆa
´
t ca
˙’
c´ac d¯iˆe
`
u kiˆe
.
n d¯˜a biˆe
´
t c´o liˆen quan d¯ˆe
´
n bˆa
.
c cu
˙’
a d¯ˆo
`

thi
.
. Tuy nhiˆen, d¯iˆe
`
u kiˆe
.
n
d¯u
˙’
cu
˙’
a D
-
i
.
nh l´y 5.3.10 l`a tˆo
˙’
ng qu´at ho
.
n: d¯ˆo
`
thi
.
trong H`ınh 5.10 c´o [G]
6
= K
6
nhu
.
ng khˆong

tˆo
`
n ta
.
i c´ach d¯´anh sˆo
´
c´ac d¯ı
˙’
nh cu
˙’
a G thoa
˙’
c´ac d¯iˆe
`
u kiˆe
.
n cu
˙’
a Hˆe
.
qua
˙’
5.3.16.
5.3.3 C´ac d¯iˆe
`
u kiˆe
.
n d¯u
˙’
vˆe

`
su
.
.
tˆo
`
n ta
.
i ma
.
ch Hamilton
Trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p d¯ˆo
`
thi
.
c´o hu
.
´o
.
ng, c´o mˆo
.
t sˆo
´

c´ac d¯iˆe
`
u kiˆe
.
n d¯u
˙’
ba
˙’
o d¯a
˙’
m su
.
.
tˆo
`
n ta
.
i cu
˙’
a ma
.
ch
Hamilton. Kˆe
´
t qua
˙’
tˆo
˙’
ng qu´at nhˆa
´

t l`a:
142

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•
•
•
•
•
•
H`ınh 5.10: V´o
.
i d¯ˆo
`

thi
.
n`ay, [G]
6
= K
6
nhu
.
ng khˆong thˆe
˙’
´ap du
.
ng Hˆe
.
qua
˙’
5.3.16.
D
-
i
.
nh l´y 5.3.18 [Meyniel, 1973] Gia
˙’
su
.
˙’
G = (V, E) l`a d¯ˆo
`
thi
.

c´o hu
.
´o
.
ng n d¯ı
˙’
nh liˆen thˆong
ma
.
nh khˆong khuyˆen sao cho
(v
i
, v
j
) /∈ E v`a (v
j
, v
i
) /∈ E ⇒ d
G
(v
i
) + d
G
(v
j
) ≥ 2n − 1.
Khi d¯´o G ch´u
.
a mˆo

.
t ma
.
ch Hamilton.
Ch´ung ta s˜e d¯u
.
a ra ch´u
.
ng minh c´o t´ınh kiˆe
´
n thiˆe
´
t d¯i
.
nh l´y n`ay (theo Minoux, 1977)
v`a mˆo
.
t thuˆa
.
t to´an c´o d¯ˆo
.
ph´u
.
c ta
.
p O(n
4
) d¯ˆe
˙’
t`ım ma

.
ch Hamilton. Ch´u
.
ng minh du
.
.
a trˆen
phu
.
o
.
ng ph´ap (khˆong kiˆe
´
n thiˆe
´
t) cu
˙’
a Bondy v`a Thmassen (1977). Tru
.
´o
.
c hˆe
´
t, ch´ung ta cˆa
`
n
mˆo
.
t sˆo
´

kh´ai niˆe
.
m.
Gia
˙’
su
.
˙’
S ⊂ V. V´o
.
i mˆo
˜
i v
i
∈ V (c´o thˆe
˙’
v
i
∈ S), k´y hiˆe
.
u δ
S
(i) l`a sˆo
´
c´ac cung nˆo
´
i (theo
hu
.
´o

.
ng bˆa
´
t k`y) d¯ı
˙’
nh v
i
v´o
.
i tˆa
.
p con S. V`ı G khˆong c´o khuyˆen nˆen ta luˆon luˆon c´o
v
i
∈ S ⇒ δ
S
(i) ≤ 2#S − 2.
V´o
.
i S l`a tˆa
.
p con thu
.
.
c su
.
.
cu
˙’
a V ta go

.
i S−bˆo
.
h`anh l`a mˆo
.
t d¯u
.
`o
.
ng d¯i m`a c´ac d¯ı
˙’
nh d¯ˆa
`
u v`a
cuˆo
´
i (khˆong nhˆa
´
t thiˆe
´
t phˆan biˆe
.
t) thuˆo
.
c S v`a c´ac d¯ı
˙’
nh trung gian l`a phˆan biˆe
.
t v`a ta
.

o th`anh
mˆo
.
t tˆa
.
p con kh´ac trˆo
´
ng cu
˙’
a tˆa
.
p V \ S. Mˆo
.
t S−d¯u
.
`o
.
ng d¯i l`a mˆo
.
t S−bˆo
.
h`anh m`a c´ac d¯iˆe
˙’
m
d¯ˆa
`
u v`a cuˆo
´
i kh´ac nhau.
Ta c´o bˆo

˙’
d¯ˆe
`
sau:
Bˆo
˙’
d¯ˆe
`
5.3.19 Gia
˙’
su
.
˙’
µ = (v
0
, v
1
, . . . , v
p
) l`a d¯u
.
`o
.
ng d¯i so
.
cˆa
´
p cu
˙’
a G, S l`a tˆa

.
p c´ac d¯ı
˙’
nh cu
˙’
a
n´o v`a d¯ˇa
.
t v ∈ V \ S. Nˆe
´
u khˆong tˆo
`
n ta
.
i hai d¯ı
˙’
nh liˆen tiˆe
´
p v
k
v`a v
k+1
(0 ≤ k ≤ p − 1) cu
˙’
a µ
sao cho (v
k
, v) ∈ E v`a (v, v
k+1
) ∈ E th`ı

δ
S
(v) ≤ #S + 1.
143

Ch´u
.
ng minh. X´et c´ac tˆa
.
p con cu
˙’
a S \ {v
p
} :
A := {v
i
∈ S \ {v
p
} | (v
i
, v) ∈ E}
v`a
A := {v
i
∈ S \ {v
p
} | (v, v
i+1
) ∈ E}.
Theo gia

˙’
thiˆe
´
t, A ∩ B = ∅ v`a #(A ∪ B) ≤ #S − 1 (do v
p
/∈ A, v
p
/∈ B). Vˆa
.
y
δ
S
(v) ≤ #A + #B + 2 = #(A ∪ B) − #(A ∩ B) + 2 ≤ #S + 1,
d¯iˆe
`
u pha
˙’
i ch´u
.
ng minh. 
Bˆay gi`o
.
ch´ung ta ch´u
.
ng minh D
-
i
.
nh l´y 5.3.18.
Ch´u

.
ng minh cu
˙’
a D
-
i
.
nh l´y 5.3.18. X´et d¯ˆo
`
thi
.
G thoa
˙’
m˜an c´ac d¯iˆe
`
u kiˆe
.
n cu
˙’
a d¯i
.
nh l´y.
(1) V`ı G liˆen thˆong ma
.
nh nˆen tˆo
`
n ta
.
i mˆo
.

t ma
.
ch d¯ˆo
.
d`ai ´ıt nhˆa
´
t hai.
Ta n´oi ma
.
ch µ trong G l`a tu
.
.
a cu
.
.
c d¯a
.
i nˆe
´
u v´o
.
i mo
.
i d¯ı
˙’
nh v /∈ µ khˆong tˆo
`
n ta
.
i hai d¯ı

˙’
nh
v
k
v`a v
k+1
liˆen tiˆe
´
p trˆen ma
.
ch µ sao cho
(v
k
, v) ∈ U v`a (v
k+1
, v) ∈ U.
Hiˆe
˙’
n nhiˆen rˇa
`
ng d¯ˆe
˙’
kiˆe
˙’
m tra mˆo
.
t ma
.
ch c´o pha
˙’

i tu
.
.
a cu
.
.
c d¯a
.
i hay khˆong, hoˇa
.
c d¯ˆe
˙’
ph´at
hiˆe
.
n mˆo
.
t ma
.
ch d¯ˆo
.
d`ai l´o
.
n ho
.
n 1 ta cˆa
`
n thu
.
.

c hiˆe
.
n O(n
2
) ph´ep to´an so
.
cˆa
´
p.
Do d¯´o, thuˆa
.
t to´an xˆay du
.
.
ng mˆo
.
t ma
.
ch tu
.
.
a cu
.
.
c d¯a
.
i trong G bˇa
´
t d¯ˆa
`

u t`u
.
mˆo
.
t ma
.
ch tu`y
´y d¯`oi ho
˙’
i O(n
3
) ph´ep to´an so
.
cˆa
´
p.
Gia
˙’
su
.
˙’
µ l`a ma
.
ch tu
.
.
a cu
.
.
c d¯a

.
i, v`a k´y hiˆe
.
u S l`a tˆa
.
p c´ac d¯ı
˙’
nh cu
˙’
a n´o. Nˆe
´
u S = V ta
d`u
.
ng: µ l`a ma
.
ch Hamilton. Ngu
.
o
.
.
c la
.
i, ta s˜e chı
˙’
ra rˇa
`
ng c´o thˆe
˙’
mo

.
˙’
rˆo
.
ng ma
.
ch µ d¯ˆe
˙’
nhˆa
.
n
d¯u
.
o
.
.
c mˆo
.
t ma
.
ch µ

c´o d¯ˆo
.
d`ai l´o
.
n ho
.
n, v`a do d¯´o, theo quy na
.

p, ta s˜e c´o mˆo
.
t ma
.
ch Hamilton.
(2) Ch´ung ta ch´u
.
ng minh tˆo
`
n ta
.
i mˆo
.
t S−d¯u
.
`o
.
ng d¯i trong G.
Bˇa
`
ng pha
˙’
n ch´u
.
ng, gia
˙’
su
.
˙’
khˆong tˆo

`
n ta
.
i S−d¯u
.
`o
.
ng d¯i. V`ı G liˆen thˆong ma
.
nh, tˆo
`
n ta
.
i
´ıt nhˆa
´
t mˆo
.
t S−bˆo
.
h`anh P m`a c´ac d¯ı
˙’
nh d¯ˆa
`
u cuˆo
´
i cu
˙’
a n´o l`a v ∈ S.
D

-
ˇa
.
t R l`a tˆa
.
p c´ac d¯ı
˙’
nh thuˆo
.
c P v`a kh´ac v; d¯ˇa
.
t T l`a tˆa
.
p c´ac d¯ı
˙’
nh cu
˙’
a G khˆong thuˆo
.
c
S ∪ R.
Theo gia
˙’
thiˆe
´
t khˆong tˆo
`
n ta
.
i S−d¯u

.
`o
.
ng d¯i nˆen khˆong tˆo
`
n ta
.
i d¯ı
˙’
nh thuˆo
.
c R v`a kˆe
`
v´o
.
i
mˆo
.
t d¯ı
˙’
nh trong S \ {v}.
144

Do d¯´o v´o
.
i mˆo
˜
i d¯ı
˙’
nh v

i
∈ R v`a d¯ı
˙’
nh v
j
∈ S \ {v} ta c´o
δ
R
(v
i
) ≤ 2#R − 2, δ
R
(v
j
) = 0,
δ
S
(v
i
) ≤ 2, δ
S
(v
j
) ≤ 2#S − 2.
Ho
.
n n˜u
.
a ta cˆa
`

n c´o
δ
T
(v
i
) + δ
T
(v
j
) ≤ 2#T.
(Nˆe
´
u khˆong, tˆo
`
n ta
.
i ´ıt nhˆa
´
t mˆo
.
t d¯u
.
`o
.
ng d¯i d¯ˆo
.
d`ai 2 hoˇa
.
c gi˜u
.

a v
i
v`a v
j
, hoˇa
.
c gi˜u
.
a v
j
v`a v
i
;
d¯u
.
`o
.
ng d¯i n`ay (c´o mˆo
.
t phˆa
`
n nˇa
`
m trˆen P ) ta
.
o th`anh mˆo
.
t S−d¯u
.
`o

.
ng d¯i).
C´o thˆe
˙’
ch´u
.
ng minh rˇa
`
ng c´ac d¯ı
˙’
nh v
i
v`a v
j
l`a hai d¯ı
˙’
nh khˆong kˆe
`
nhau sao cho
δ(v
i
) + δ(v
j
) = δ
S
(v
i
) + δ
R
(v

i
) + δ
T
(v
i
) + δ
S
(v
j
) + δ
R
(v
j
) + δ
T
(v
j
)
≤ 2(#R + # S + #T ) − 2 = 2n − 2,
mˆau thuˆa
˜
n v´o
.
i gia
˙’
thiˆe
´
t.
(3) V`ı tˆo
`

n ta
.
i ´ıt nhˆa
´
t mˆo
.
t S−d¯u
.
`o
.
ng d¯i, ta s˜e t`ım mˆo
.
t S−d¯u
.
`o
.
ng d¯i P xuˆa
´
t ph´at t`u
.
x v`a kˆe
´
t
th´uc ta
.
i y sao cho d¯ˆo
.
d`ai cu
˙’
a d¯u

.
`o
.
ng d¯i con µ(x, y) t`u
.
x d¯ˆe
´
n y trˆen µ l`a nho
˙’
nhˆa
´
t (theo sˆo
´
c´ac cung).
V´o
.
i mˆo
.
t d¯ı
˙’
nh x ∈ S cho tru
.
´o
.
c, ch´ung ta c´o thˆe
˙’
su
.
˙’
du

.
ng thuˆa
.
t to´an t`ım kiˆe
´
m theo
chiˆe
`
u rˆo
.
ng trˆen d¯ˆo
`
thi
.
G nhu
.
d¯˜a tr`ınh b`ay trong Chu
.
o
.
ng 3. Phu
.
o
.
ng ph´ap n`ay d¯`oi ho
˙’
i O(m)
ph´ep to´an so
.
cˆa

´
p. Do d¯´o thuˆa
.
t to´an t`ım mˆo
.
t S−d¯u
.
`o
.
ng d¯i P v´o
.
i t´ınh chˆa
´
t d¯`oi ho
˙’
i cˆa
`
n nhiˆe
`
u
nhˆa
´
t O(mn) ph´ep to´an so
.
cˆa
´
p.
K´y hiˆe
.
u R l`a tˆa

.
p c´ac d¯ı
˙’
nh trung gian cu
˙’
a P, v`a S
1
l`a tˆa
.
p c´ac d¯ı
˙’
nh trung gian trˆen
d¯u
.
`o
.
ng d¯i µ(x, y) cu
˙’
a µ.
Nˆe
´
u S
1
= ∅ th`ı thay cung (x, y) bo
.
˙’
i S−d¯u
.
`o
.

ng d¯i P v`a ch´ung ta nhˆa
.
n d¯u
.
o
.
.
c mˆo
.
t ma
.
ch
µ

c´o d¯ˆo
.
d`ai l´o
.
n ho
.
n hoˇa
.
c bˇa
`
ng (#S + 1).
(4) Kˆe
´
tiˆe
´
p ta gia

˙’
su
.
˙’
S
1
= ∅, v`a d¯ˇa
.
t S
2
:= S \ S
1
v`a T l`a tˆa
.
p c´ac d¯ı
˙’
nh cu
˙’
a G khˆong thuˆo
.
c
R v`a S.
Ch´ung ta xˆay du
.
.
ng mˆo
.
t d¯u
.
`o

.
ng d¯i so
.
cˆa
´
p tu
.
.
a cu
.
.
c d¯a
.
i Q gi˜u
.
a y v`a x m`a tˆa
.
p c´ac d¯ı
˙’
nh
cu
˙’
a n´o l`a S

thoa
˙’
m˜an S

⊂ S v`a S
2

⊂ S

bˇa
`
ng phu
.
o
.
ng ph´ap lˇa
.
p nhu
.
sau:
1. Kho
.
˙’
i ta
.
o v´o
.
i Q := µ(x, y), S

:= S
2
, S

:= S
1
.
2. T`ım d¯ı

˙’
nh s ∈ S

sao cho (k, s) ∈ U v`a (s, l) ∈ U v´o
.
i hai d¯ı
˙’
nh k v`a l liˆen tiˆe
´
p trˆen Q.
(Nhˆa
.
n x´et rˇa
`
ng, d¯iˆe
`
u n`ay d¯`oi ho
˙’
i nhiˆe
`
u nhˆa
´
t O(n) ph´ep to´an so
.
cˆa
´
p). Nˆe
´
u khˆong tˆo
`

n
ta
.
i d¯ı
˙’
nh s nhu
.
vˆa
.
y (hoˇa
.
c l`a S

= ∅) th`ı d`u
.
ng: d¯u
.
`o
.
ng d¯i Q l`a tu
.
.
a cu
.
.
c d¯a
.
i (hoˇa
.
c cu

.
.
c
d¯a
.
i).
145

3. Gia
˙’
su
.
˙’
tˆo
`
n ta
.
i d¯ı
˙’
nh s th`ı ch`en n´o v`ao gi˜u
.
a hai d¯ı
˙’
nh k v`a l d¯ˆe
˙’
nhˆa
.
n d¯u
.
o

.
.
c mˆo
.
t d¯u
.
`o
.
ng
d¯i m´o
.
i Q

c´o d¯ˆo
.
d`ai l´o
.
n ho
.
n d¯u
.
`o
.
ng d¯i tru
.
´o
.
c d¯´o mˆo
.
t. Thay S


bo
.
˙’
i S

∪ {s}, S

bo
.
˙’
i
S

\ {s}, Q bo
.
˙’
i Q

v`a lˇa
.
p la
.
i Bu
.
´o
.
c 2.
Ch´u ´y rˇa
`

ng, sˆo
´
ph´ep to´an cˆa
`
n thu
.
.
c hiˆe
.
n trong thuˆa
.
t to´an n`ay khˆong vu
.
o
.
.
t qu´a O(n
3
).
Ta s˜e chı
˙’
ra rˇa
`
ng, kˆe
´
t th´uc thuˆa
.
t to´an th`ı S

= ∅.

Thˆa
.
t vˆa
.
y, gia
˙’
su
.
˙’
ngu
.
o
.
.
c la
.
i S

= ∅.
Theo c´ach xˆay du
.
.
ng cu
˙’
a P, c´ac d¯ı
˙’
nh cu
˙’
a R khˆong kˆe
`

v´o
.
i mˆo
.
t d¯ı
˙’
nh cu
˙’
a S
1
(v`ı nˆe
´
u
ngu
.
o
.
.
c la
.
i, ta c´o thˆe
˙’
t`ım mˆo
.
t S−d¯u
.
`o
.
ng d¯i m`a c´ac d¯ı
˙’

nh d¯ˆa
`
u cuˆo
´
i cu
˙’
a n´o gˆa
`
n µ ho
.
n P ). Do
d¯´o, v´o
.
i mo
.
i d¯ı
˙’
nh v
i
∈ R v`a mo
.
i d¯ı
˙’
nh v
j
∈ S
1
ta c´o
δ
R

(v
j
) = δ
S
1
(v
i
) = 0.
Mˇa
.
t kh´ac, v`ı µ l`a ma
.
ch tu
.
.
a cu
.
.
c d¯a
.
i, d¯ı
˙’
nh v
i
thoa
˙’
m˜an c´ac gia
˙’
thiˆe
´

t cu
˙’
a Bˆo
˙’
d¯ˆe
`
5.3.19 v´o
.
i
d¯u
.
`o
.
ng d¯i con µ(x, y) sao cho
δ
S
2
(v
i
) ≤ #S
2
+ 1.
Cho
.
n v
j
∈ S

⊂ S
1

. Theo c´ach xˆay du
.
.
ng cu
˙’
a Q, ´ap du
.
ng la
.
i Bˆo
˙’
d¯ˆe
`
5.3.19 v´o
.
i d¯ı
˙’
nh v
j
v`a
d¯u
.
`o
.
ng d¯i Q, ta d¯u
.
o
.
.
c

δ
S

(v
j
) ≤ #S

+ 1.
Mˇa
.
t kh´ac, ta cˆa
`
n c´o (nhu
.
d¯˜a ch´u
.
ng minh trong Phˆa
`
n (2))
δ
T
(v
i
) + δ
T
(v
j
) ≤ 2#T
(ngu
.

o
.
.
c la
.
i, ta c´o thˆe
˙’
t`ım mˆo
.
t S−d¯u
.
`o
.
ng d¯i m`a c´ac d¯ı
˙’
nh d¯ˆa
`
u cuˆo
´
i cu
˙’
a n´o gˆa
`
n µ ho
.
n P ).
Cuˆo
´
i c`ung, ta luˆon luˆon c´o
δ

S

(v
j
) ≤ 2#S

− 2, v`a δ
R
(v
i
) ≤ 2#R − 2.
Suy ra
δ(v
i
) + δ(v
j
) ≤ 2#R + #S
2
+ 2#S

+ #S

− 2
v`a
#S
2
≤ #S

⇒ δ(v
i

) + δ(v
j
) ≤ 2n − 2
v´o
.
i hai d¯ı
˙’
nh khˆong kˆe
`
nhau v
i
v`a v
j
, mˆau thuˆa
˜
n v´o
.
i gia
˙’
thiˆe
´
t.
Vˆa
.
y S

= ∅ v`a t`u
.
d¯u
.

`o
.
ng d¯i Q v´o
.
i S−d¯u
.
`o
.
ng d¯i P ta c´o thˆe
˙’
xˆay du
.
.
ng mˆo
.
t ma
.
ch µ

c´o
d¯ˆo
.
d`ai ≥ #S + 1.
(5) Trong tˆa
´
t ca
˙’
c´ac tru
.
`o

.
ng ho
.
.
p (tham kha
˙’
o c´ac Phˆa
`
n (3) v`a (4) trˆen) khi #S < n ta c´o
thˆe
˙’
t`ım (nhiˆe
`
u nhˆa
´
t O(mn + n
3
) ph´ep to´an so
.
cˆa
´
p) mˆo
.
t ma
.
ch µ

c´o d¯ˆo
.
d`ai l´o

.
n ho
.
n ma
.
ch
146

c˜u 1. Tru
.
´o
.
c khi lˇa
.
p la
.
i thuˆa
.
t to´an, ta cˆa
`
n kiˆe
˙’
m tra µ

c´o pha
˙’
i l`a ma
.
ch tu
.

.
a cu
.
.
c d¯a
.
i. (Nˆe
´
u
khˆong pha
˙’
i, xˆay du
.
.
ng mˆo
.
t ma
.
ch tu
.
.
a cu
.
.
c d¯a
.
i µ

t`u
.

µ

-d¯`oi ho
˙’
i nhiˆe
`
u nhˆa
´
t O(n
3
) ph´ep to´an
so
.
cˆa
´
p).
Sau nhiˆe
`
u nhˆa
´
t (n − 1) lˆa
`
n lˇa
.
p mo
.
˙’
rˆo
.
ng ma

.
ch, thuˆa
.
t to´an cho ch´ung ta mˆo
.
t ma
.
ch
Hamilton cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
G. D
-
i
.
nh l´y 5.3.18 d¯u
.
o
.
.
c ch´u
.
ng minh bˇa
`
ng thuˆa
.
t to´an kiˆe

´
n thiˆe
´
t c´ach
xˆay du
.
.
ng ma
.
ch Hamilton v´o
.
i d¯ˆo
.
ph´u
.
c ta
.
p thuˆa
.
t to´an l`a O(n
4
). 
147