Đồ thị và các thuật toán - Chương 4 doc

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (517.78 KB, 27 trang )

Chu
.
o
.
ng 4
C
ˆ
AY
4.1 Mo
.
˙’
d¯ˆa
`
u
Cˆay l`a mˆo
.
t trong nh˜u
.
ng kh´ai niˆe
.
m quan tro
.
ng nhˆa
´
t cu
˙’
a l´y thuyˆe
´
t d¯ˆo
`

thi
.
, v`a thu
.
`o
.
ng xuˆa
´
t
hiˆe
.
n trong nh˜u
.
ng l˜anh vu
.
.
c ´ıt c´o liˆen quan d¯ˆe
´
n d¯ˆo
`
thi
.
.
Trong chu
.
o
.
ng n`ay, tru
.
´o

.
c hˆe
´
t s˜e nghiˆen c´u
.
u cˆay Huﬀman v`a nh˜u
.
ng ´u
.
ng du
.
ng cu
˙’
a n´o
trong viˆe
.
c n´en d˜u
.
liˆe
.
u. Kˆe
´
tiˆe
´
p ch´ung ta x´et tr`ınh b`ay c´ac thuˆa
.
t to´an t`ım cˆay bao tr`um, cˆay
bao tr`um c´o tro
.
ng lu

.
o
.
.
ng nho
˙’
nhˆa
´
t khi c´ac ca
.
nh cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
d¯u
.
o
.
.
c gˇa
´
n v´o
.
i c´ac chi ph´ı (tro
.
ng
lu
.

o
.
.
ng). Cˆay bao tr`um nho
˙’
nhˆa
´
t cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
c´o nhiˆe
`
u ´u
.
ng du
.
ng trong nh˜u
.
ng tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p c´ac
d¯u

.
`o
.
ng dˆa
˜
n (ˆo
´
ng dˆa
˜
n ga, dˆay dˆa
˜
n trong ma
.
ng d¯iˆe
.
n, v.v) d¯u
.
o
.
.
c su
.
˙’
du
.
ng d¯ˆe
˙’
nˆo
´
i n d¯iˆe

˙’
m v´o
.
i
nhau theo c´ach tˆo
´
t nhˆa
´
t: tˆo
˙’
ng khoa
˙’
ng c´ach cu
˙’
a c´ac d¯u
.
`o
.
ng dˆa
˜
n l`a nho
˙’
nhˆa
´
t. Nˆe
´
u n d¯iˆe
˙’
m
d¯u

.
o
.
.
c nˆo
´
i v´o
.
i nhau trˆen mˆo
.
t mˇa
.
t phˇa
˙’
ng, ta c´o thˆe
˙’
biˆe
˙’
u diˆe
˜
n bo
.
˙’
i mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
d¯ˆa

`
y d¯u
˙’
trong d¯´o
c´ac chi ph´ı ca
.
nh l`a khoa
˙’
ng c´ach gi˜u
.
a hai d¯iˆe
˙’
m tu
.
o
.
ng ´u
.
ng. Khi d¯´o cˆay bao tr`um v´o
.
i tro
.
ng
lu
.
o
.
.
ng nho
˙’

nhˆa
´
t s˜e cho ma
.
ng giao thˆong v´o
.
i chi ph´ı ´ıt nhˆa
´
t. Nˆe
´
u c´o thˆe
˙’
nˆo
´
i thˆem ngo`ai n
d¯iˆe
˙’
m cho ph´ep, ta c´o thˆe
˙’
thˆa
.
m ch´ı xˆay du
.
.
ng d¯u
.
o
.
.
c ma

.
ng v´o
.
i ch´ı ph´ı re
˙’
ho
.
n v`a x´ac d¯i
.
nh n´o
ch´ınh l`a gia
˙’
i quyˆe
´
t b`ai to´an Steiner. B`ai to´an sau n`ay s˜e d¯u
.
o
.
.
c d¯ˆe
`
cˆa
.
p o
.
˙’
phˆa
`
n cuˆo
´

i chu
.
o
.
ng.
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 4.1.1 C´ac d¯i
.
nh ngh˜ıa sau cu
˙’
a cˆay (vˆo hu
.
´o
.
ng) l`a tu
.
o
.
ng d¯u
.
o
.
ng:
1. D
-
ˆo
`

thi
.
liˆen thˆong c´o n d¯ı
˙’
nh v`a (n − 1) ca
.
nh.
2. D
-
ˆo
`
thi
.
liˆen thˆong khˆong c´o chu tr`ınh.
3. D
-
ˆo
`
thi
.
m`a mo
.
i cˇa
.
p d¯ı
˙’
nh d¯u
.
o
.

.
c nˆo
´
i v´o
.
i nhau bo
.
˙’
i mˆo
.
t v`a chı
˙’
mˆo
.
t dˆay chuyˆe
`
n so
.
cˆa
´
p.
4. D
-
ˆo
`
thi
.
liˆen thˆong v`a khi b´o
.
t mˆo

.
t ca
.
nh bˆa
´
t k`y th`ı mˆa
´
t t´ınh liˆen thˆong.
99

H`ınh 4.1 minh ho
.
a cˆay c´o ba
˙’
y d¯ı
˙’
nh v`a s´au ca
.
nh.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
v
1
v
2
v
3
v
4
v
5
v
6
v
7
•
•
•
•
••
•
H`ınh 4.1: Mˆo
.
t v´ı du
.
vˆe
`
cˆay.

Kh´ai niˆe
.
m vˆe
`
cˆay nhu
.
mˆo
.
t thu
.
.
c thˆe
˙’
cu
˙’
a to´an ho
.
c d¯u
.
o
.
.
c d¯u
.
a ra lˆa
`
n d¯ˆa
`
u tiˆen bo
.

˙’
i
Kirchhoﬀ [37] khi liˆen hˆe
.
v´o
.
i d¯i
.
nh ngh˜ıa c´ac ma
.
ch co
.
ba
˙’
n d¯u
.
o
.
.
c su
.
˙’
du
.
ng trong phˆan t´ıch c´ac
ma
.
ng d¯iˆe
.
n. Khoa

˙’
ng 10 nˇam sau d¯´o, mˆo
.
t c´ach d¯ˆo
.
c lˆa
.
p, Cayley [11] d¯˜a ph´at hiˆe
.
n la
.
i c´ac cˆay
v`a nh˜u
.
ng t´ıch chˆa
´
t cu
˙’
a n´o khi nghiˆen c´u
.
u c´ac t´ınh chˆa
´
t ho´a ho
.
c cu
˙’
a c´ac chˆa
´
t d¯ˆo
`

ng phˆan
cu
˙’
a hydrocarbon.
Cˆay c´o gˆo
´
c (c`on go
.
i l`a cˆay gia pha
˙’
) d¯u
.
o
.
.
c d¯i
.
nh ngh˜ıa tu
.
o
.
ng tu
.
.
nhu
.
sau:
D
-
i

.
nh ngh˜ıa 4.1.2 Cˆay c´o gˆo
´
c T l`a d¯ˆo
`
thi
.
c´o hu
.
´o
.
ng khˆong ma
.
ch m`a mo
.
i d¯ı
˙’
nh, ngoa
.
i tr`u
.
mˆo
.
t d¯ı
˙’
nh (chˇa
˙’
ng ha
.
n v

1
), c´o bˆa
.
c trong bˇa
`
ng mˆo
.
t: bˆa
.
c trong cu
˙’
a d¯ı
˙’
nh v
1
(go
.
i l`a gˆo
´
c cu
˙’
a cˆay)
bˇa
`
ng khˆong; n´oi c´ach kh´ac, mo
.
i d¯ı
˙’
nh v ∈ T tˆo
`

n ta
.
i duy nhˆa
´
t mˆo
.
t d¯u
.
`o
.
ng d¯i t`u
.
gˆo
´
c d¯ˆe
´
n v.
H`ınh 4.2 minh ho
.
a mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
l`a cˆay c´o gˆo
´
c v´o
.
i d¯ı

˙’
nh v
1
l`a gˆo
´
c. T`u
.
d¯i
.
nh ngh˜ıa suy ra
rˇa
`
ng cˆay c´o gˆo
´
c n d¯ı
˙’
nh c´o (n − 1) cung v`a l`a d¯ˆo
`
thi
.
liˆen thˆong (khi bo
˙’
qua hu
.
´o
.
ng trˆen c´ac
cung).
Cˆa
`

n ch´u ´y rˇa
`
ng, c´o thˆe
˙’
d¯i
.
nh hu
.
´o
.
ng trˆen mˆo
.
t cˆay (vˆo hu
.
´o
.
ng) sao cho d¯ˆo
`
thi
.
thu d¯u
.
o
.
.
c
l`a cˆay c´o gˆo
´
c: Ta chı
˙’

cˆa
`
n cho
.
n mˆo
.
t d¯ı
˙’
nh tu `y ´y, chˇa
˙’
ng ha
.
n v
1
, l`am gˆo
´
c v`a d¯i
.
nh hu
.
´o
.
ng c´ac
cung theo dˆay chuyˆe
`
n t`u
.
v
1
d¯ˆe

´
n c´ac d¯ı
˙’
nh treo. Ngu
.
o
.
.
c la
.
i, nˆe
´
u bo
˙’
qua c´ac hu
.
´o
.
ng trˆen cˆay
c´o gˆo
´
c ta thu d¯u
.
o
.
.
c mˆo
.
t cˆay.
Cˆay gia pha

˙’
m`a trong d¯´o mˆo
˜
i ngu
.
`o
.
i d¯`an ˆong biˆe
˙’
u thi
.
mˆo
.
t d¯ı
˙’
nh v`a c´ac cung d¯u
.
o
.
.
c v˜e
t`u
.
c´ac cha d¯ˆe
´
n c´ac con cu
˙’
a ho
.
l`a mˆo

.
t v´ı du
.
quen thuˆo
.
c cu
˙’
a cˆay c´o gˆo
´
c, gˆo
´
c cu
˙’
a cˆay l`a ngu
.
`o
.
i
d¯ˆa
`
u tiˆen trong d`ong ho
.
m`a c´o thˆe
˙’
x´ac d¯i
.
nh d¯u
.
o
.

.
c.
100

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
v
1
v
2
v
3
v
4
v
5
v
6
v

7
v
8
v
9
v
10
v
11
v
12
v
13
•
• •
• • • •
• •
• •
• •
H`ınh 4.2: Mˆo
.
t v´ı du
.
vˆe
`
cˆay c´o gˆo
´
c.
4.2 Cˆay Huﬀman
Tiˆe

´
n tr`ınh g´an d˜ay c´ac bit cho c´ac k´y hiˆe
.
u go
.
i l`a m˜a ho´a. Trong phˆa
`
n n`ay ch´ung ta mˆo
.
t ta
˙’
mˆo
.
t thuˆa
.
t to´an m˜a ho´a rˆa
´
t quen thuˆo
.
c-thuˆa
.
t to´an m˜a ho´a Huﬀman.
4.2.1 C´ac bˆo
.
m˜a “tˆo
´
t”
Khi ta n´oi vˆe
`
m˜a ho´a c´o ngh˜ıa l`a g´an d˜ay c´ac bit cho c´ac phˆa

`
n tu
.
˙’
cu
˙’
a mˆo
.
t ba
˙’
ng ch˜u
.
c´ai.
Tˆa
.
p c´ac chuˆo
˜
i nhi
.
phˆan go
.
i l`a bˆo
.
m˜a v`a c´ac phˆa
`
n tu
.
˙’
cu
˙’

a ch´ung go
.
i l`a t`u
.
m˜a. Mˆo
.
t ba
˙’
ng
ch˜u
.
c´ai l`a mˆo
.
t tˆa
.
p ho
.
.
p c´ac k´y hiˆe
.
u, go
.
i l`a c´ac k´y tu
.
.
. Chˇa
˙’
ng ha
.
n, ba

˙’
ng ch˜u
.
c´ai su
.
˙’
du
.
ng
trong hˆa
`
u hˆe
´
t c´ac s´ach (tiˆe
´
ng Anh) gˆo
`
m 26 k´y tu
.
.
thu
.
`o
.
ng, 26 k´y tu
.
.
hoa, v`a c´ac dˆa
´
u ngˇa

´
t cˆau
(nhu
.
dˆa
´
u phˆa
˙’
y). M˜a ASCII (viˆe
´
t tˇa
´
t cu
˙’
a c´ac ch˜u
.
c´ai d¯ˆa
`
u tiˆen cu
˙’
a chuˆo
˜
i American Standard
Code for Information Interchange cu
˙’
a k´y tu
.
.
A l`a 01000001, cu
˙’

a k´y tu
.
.
a l`a 01100001 v`a k´y
tu
.
.
, l`a 0011010. Ch´u ´y rˇa
`
ng trong m˜a ASCII sˆo
´
c´ac bit su
.
˙’
du
.
ng d¯ˆe
˙’
biˆe
˙’
u diˆe
˜
n c´ac k´y tu
.
.
l`a
bˇa
`
ng nhau. M˜a nhu
.

vˆa
.
y go
.
i l`a m˜a c´o d¯ˆo
.
d`ai cˆo
´
d¯i
.
nh. Nˆe
´
u ta muˆo
´
n gia
˙’
m sˆo
´
c´ac bit d¯`oi ho
˙’
i
d¯ˆe
˙’
biˆe
˙’
u diˆe
˜
n c´ac thˆong b´ao kh´ac nhau, ta cˆa
`
n c´ac chuˆo

˜
i bit biˆe
˙’
u diˆe
˜
n k´y tu
.
.
c´o d¯ˆo
.
d`ai (n´oi
chung) khˆong bˇa
`
ng nhau. Nˆe
´
u biˆe
˙’
u diˆe
˜
n c´ac bit d`ai ho
.
n cho c´ac k´y tu
.
.
thu
.
`o
.
ng xuyˆen xuˆa
´

t
hiˆe
.
n v`a ngu
.
o
.
.
c la
.
i, ch´ung ta c´o thˆe
˙’
, vˆe
`
trung b`ınh, gia
˙’
m sˆo
´
bit biˆe
˙’
u diˆe
˜
n c´ac k´y hiˆe
.
u. Chˇa
˙’
ng
ha
.
n, m˜a Morse [31] su

.
˙’
du
.
ng c´ac t`u
.
m˜a ngˇa
´
n ho
.
n cho c´ac k´y tu
.
.
xuˆa
´
t hiˆe
.
n thu
.
`o
.
ng xuyˆen:
m˜a cu
˙’
a cu
˙’
a a l`a ·−, cu
˙’
a e l`a ·, trong khi cu
˙’

a z l`a − − · · · · , q l`a − − ·−, j l`a · − − − .
Tuy nhiˆen d¯ˆo
.
d`ai trung b`ınh cu
˙’
a m˜a khˆong pha
˙’
i l`a tiˆeu chuˆa
˙’
n quan tro
.
ng khi thiˆe
´
t kˆe
´
101

mˆo
.
t bˆo
.
m˜a “tˆo
´
t”. X´et v´ı du
.
sau. Gia
˙’
su
.
˙’

ba
˙’
ng ch˜u
.
c´ai gˆo
`
m bˆo
´
n k´y tu
.
.
a
1
, a
2
, a
3
, a
4
v´o
.
i c´ac
x´ac suˆa
´
t xuˆa
´
t hiˆe
.
n tu
.

o
.
ng ´u
.
ng l`a P(a
1
) =
1
2
, P (a
2
) =
1
4
, P (a
3
) =
1
8
, P (a
4
) =
1
8
. Entropy cu
˙’
a
m˜a nguˆo
`
n n`ay l`a 1.75 bit/k´y hiˆe

.
u (xem [31] d¯ˆe
˙’
c´o kh´ai niˆe
.
m vˆe
`
entropy). X´et c´ac bˆo
.
m˜a
trong nguˆo
`
n n`ay cho bo
.
˙’
i ba
˙’
ng sau
C´ac k´y tu
.
.
M˜a C
1
M˜a C
2
M˜a C
3
M˜a C
4
a

1
1 1 1 1
a
2
1 0 01 10
a
3
0 11 001 100
a
4
01 00 000 1000
D
-
ˆo
.
d`ai trung b`ınh 1.125 1.125 1.75 1.875
D
-
ˆo
.
d`ai trung b`ınh l cu
˙’
a mˆo
˜
i m˜a x´ac d¯i
.
nh bo
.
˙’
i

l =
4

i=1
P (a
i
)n(a
i
) (bit/k´y hiˆe
.
u),
trong d¯´o n(a
i
) l`a sˆo
´
c´ac bit cu
˙’
a t`u
.
m˜a a
i
.
Du
.
.
a trˆen d¯ˆo
.
d`ai trung b`ınh, m˜a C
1
l`a tˆo

´
t nhˆa
´
t. Tuy nhiˆen, c´ac m˜a cˆa
`
n pha
˙’
i c´o kha
˙’
nˇang truyˆe
`
n thˆong tin sao cho ngu
.
`o
.
i nhˆa
.
n c´o thˆe
˙’
hiˆe
˙’
u d¯u
.
o
.
.
c r˜o r`ang. Hiˆe
˙’
n nhiˆen m˜a C
1

khˆong c´o t´ınh chˆa
´
t n`ay: V`ı ca
˙’
hai k´y hiˆe
.
u a
1
v`a a
2
d¯ˆe
`
u d¯u
.
o
.
.
c g´an l`a 1 nˆen khi nhˆa
.
n d¯u
.
o
.
.
c
thˆong tin l`a 1, ngu
.
`o
.
i nhˆa

.
n khˆong thˆe
˙’
phˆan biˆe
.
t d¯´o l`a k ´y hiˆe
.
u a
1
hay a
2
. Ch´ung ta muˆo
´
n
mˆo
˜
i k´y hiˆe
.
u d¯u
.
o
.
.
c g´an duy nhˆa
´
t mˆo
.
t t`u
.
m˜a.

M˜a C
2
c´o c´ac k´y tu
.
.
d¯u
.
o
.
.
c g´an c´ac chuˆo
˜
i bit kh´ac nhau cho c´ac k´y tu
.
.
. Tuy nhiˆen, gia
˙’
su
.
˙’
m˜a ho´a d˜ay a
2
a
1
a
1
d¯u
.
o
.

.
c 011 v`a gu
.
˙’
i d¯i chuˆo
˜
i bit n`ay. Ngu
.
`o
.
i nhˆa
.
n chuˆo
˜
i 011 c´o mˆo
.
t sˆo
´
c´ach gia
˙’
i m˜a: a
2
a
1
a
1
hoˇa
.
c a
2

a
3
. D
-
iˆe
`
u n`ay c´o ngh˜ıa l`a mˆo
.
t d˜ay d¯u
.
o
.
.
c m˜a ho´a v´o
.
i bˆo
.
m˜a C
2
th`ı d˜ay n`ay c´o thˆe
˙’
d¯u
.
o
.
.
c gia
˙’
i m˜a khˆong tr`ung v´o
.

i thˆong b´ao ban d¯ˆa
`
u. N´oi chung, d¯ˆay khˆong
pha
˙’
i l`a d¯iˆe
`
u ch´ung ta mong muˆo
´
n khi thiˆe
´
t kˆe
´
c´ac bˆo
.
m˜a. Ch´ung ta muˆo
´
n c´o t´ınh chˆa
´
t gia
˙’
i
m˜a duy nhˆa
´
t; t´u
.
c l`a mo
.
i d˜ay c´ac t`u
.

m˜a chı
˙’
c´o duy nhˆa
´
t mˆo
.
t c´ach gia
˙’
i m˜a. C´o thˆe
˙’
ch´u
.
ng
minh c´ac m˜a C
3
v`a C
4
thoa
˙’
m˜an t´ınh chˆa
´
t n`ay.
Mˇa
.
c d`u viˆe
.
c kiˆe
˙’
m tra t´ınh duy nhˆa
´

t khi gia
˙’
i m˜a l`a kh´o, ta c´o thˆe
˙’
ch´u
.
ng minh t´ınh
chˆa
´
t n`ay cho bˆo
.
m˜a C
3
du
.
.
a trˆen thuˆo
.
c t´ınh cu
˙’
a bˆo
.
m˜a: khˆong c´o t`u
.
m˜a n`ao trong m˜a C
3
l`a “tiˆe
`
n tˆo
´

” cu
˙’
a t`u
.
m˜a kh´ac. Bˆo
.
m˜a nhu
.
vˆa
.
y go
.
i l`a m˜a tiˆe
`
n tˆo
´
. Mˆo
.
t c´ach d¯o
.
n gia
˙’
n d¯ˆe
˙’
kiˆe
˙’
m
tra mˆo
.
t bˆo

.
m˜a c´o pha
˙’
i l`a tiˆe
`
n tˆo
´
hay khˆong ta v˜e cˆay nhi
.
phˆan (mˆo
˜
i d¯ı
˙’
nh c´o bˆa
.
c ≤ 2) tu
.
o
.
ng
´u
.
ng v´o
.
i bˆo
.
m˜a. Cˆay d¯u
.
o
.

.
c v˜e xuˆa
´
t ph´at t`u
.
mˆo
.
t n´ut d¯o
.
n (n´ut gˆo
´
c) v`a mˆo
˜
i n´ut trong c´o bˆa
.
c
ngo`ai nho
˙’
ho
.
n hoˇa
.
c bˇa
`
ng hai. Mˆo
.
t trong hai nh´anh con tu
.
o
.

ng ´u
.
ng bit 1 v`a nh´anh c`on la
.
i
102

tu
.
o
.
ng ´u
.
ng bit 0. D
-
ˆe
˙’
thuˆa
.
t tiˆe
.
n, ta quy u
.
´o
.
c nh´anh con bˆen pha
˙’
i tu
.
o

.
ng ´u
.
ng 0 v`a nh´anh con
bˆen tr´ai tu
.
o
.
ng ´u
.
ng 1. Theo c´ach n`ay, c´ac cˆay nhi
.
phˆan tu
.
o
.
ng ´u
.
ng c´ac m˜a C
2
, C
3
v`a C
4
cho
trong H`ınh 4.3. (D
-
ˆe
˙’
d¯o

.
n gia
˙’
n, ta s˜e khˆong v˜e c´ac m˜ui tˆen trong c´ac cˆay nhi
.
phˆan).
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
0
0
a
1
a
2
a
3
a

4
•
•
•
•
•
M˜a C
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1 0
1 0
1 0
•
•
•
•
•
•
•
a
1
a
2
a
3
a
4
M˜a C

3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
0
0
0
•
•
•
•
•
a
1
a
2
a
3
a

4
M˜a C
4
H`ınh 4.3:
Ch´u ´y rˇa
`
ng ngo`ai n´ut gˆo
´
c, cˆay nhi
.
phˆan c´o hai loa
.
i n´ut: c´ac n´ut l´a c´o bˆa
.
c ngo`ai bˇa
`
ng
khˆong; v`a c´ac n´ut trong c´o bˆa
.
c ngo`ai kh´ac khˆong. Trong bˆo
.
m˜a tiˆe
`
n tˆo
´
, c´ac t`u
.
m˜a chı
˙’
tu

.
o
.
ng
´u
.
ng c´ac n´ut l´a. M˜a C
4
khˆong pha
˙’
i l`a m˜a tiˆe
`
n tˆo
´
do tˆo
`
n ta
.
i t`u
.
m˜a tu
.
o
.
ng ´u
.
ng n´ut trong.
Duyˆe
.
t cˆay t`u

.
gˆo
´
c d¯ˆe
´
n c´ac n´ut l´a cho ta biˆe
˙’
u diˆe
˜
n chuˆo
˜
i bit tu
.
o
.
ng ´u
.
ng k´y hiˆe
.
u. Mˆo
˜
i nh´anh
d¯´ong g´op mˆo
.
t bit v`ao t`u
.
m˜a cu
˙’
a n´o: bit 1 cho nh´anh tr´ai v`a bit 0 cho nh´anh pha
˙’

i.
M˜a tiˆe
`
n tˆo
´
luˆon luˆon d¯u
.
o
.
.
c gia
˙’
i m˜a duy nhˆa
´
t nhu
.
ng ngu
.
o
.
.
c la
.
i khˆong d¯´ung (chˇa
˙’
ng ha
.
n
m˜a C
4

). Tuy nhiˆen c´o thˆe
˙’
ch´u
.
ng minh rˇa
`
ng bˆo
.
m˜a c´o thˆe
˙’
gia
˙’
i m˜a duy nhˆa
´
t tu
.
o
.
ng d¯u
.
o
.
ng
v´o
.
i m˜a tiˆe
`
n tˆo
´
theo ngh˜ıa: sˆo

´
trung b`ınh c´ac bit biˆe
˙’
u diˆe
˜
n c´ac k´y hiˆe
.
u bˇa
`
ng nhau.
4.2.2 M˜a Huﬀman
M˜a Huﬀman l`a m˜a tiˆe
`
n tˆo
´
v`a tˆo
´
i u
.
u v´o
.
i c´ac x´ac xuˆa
´
t cho tru
.
´o
.
c. Phu
.
o

.
ng ph´ap xˆay du
.
.
ng
m˜a Huﬀman du
.
.
a trˆen hai quan s´at sau:
1. Trong mˆo
.
t bˆo
.
m˜a tˆo
´
t u
.
u, c´ac k´y hiˆe
.
u xuˆa
´
t hiˆe
.
n thu
.
`o
.
ng xuyˆen (c´o x´ac suˆa
´
t hay tˆa

`
n sˆo
´
xuˆa
´
t hiˆe
.
n l´o
.
n) s˜e c´o c´ac t`u
.
m˜a ngˇa
´
n ho
.
n c´ac k´y hiˆe
.
u ´ıt xuˆa
´
t hiˆe
.
n.
2. Trong mˆo
.
t bˆo
.
m˜a tˆo
´
t u
.

u, hai k´y hiˆe
.
u xuˆa
´
t hiˆe
.
n ´ıt nhˆa
´
t s˜e c´o c´ac t`u
.
m˜a c`ung d¯ˆo
.
d`ai.
D
-
ˆe
˙’
xˆay du
.
.
ng m˜a Huﬀman, ch´ung ta c´o thˆe
˙’
biˆe
˙’
u diˆe
˜
n qua cˆay nhi
.
phˆan m`a c´ac n´ut l´a
tu

.
o
.
ng ´u
.
ng c´ac k´y hiˆe
.
u. Duyˆe
.
t cˆay nhi
.
phˆan s˜e cho ta c´ac t`u
.
m˜a cu
˙’
a bˆo
.
m˜a: xuˆa
´
t ph´at t`u
.
103

n´ut gˆo
´
c v`a d¯i d¯ˆe
´
n c´ac n´ut l´a, thˆem bit 1 v`ao t`u
.
m˜a mˆo

˜
i lˆa
`
n qua nh´anh tr´ai v`a bit 0 mˆo
˜
i lˆa
`
n
qua nh´anh pha
˙’
i. V´o
.
i cˆay trong H`ınh 4.4, ta c´o biˆe
˙’
u diˆe
˜
n c´ac k´y tu
.
.
qua c´ac t`u
.
m˜a nhu
.
sau:
K´y tu
.
.
M˜a ho´a
A 1
O 00

R 010
S 0110
T 0111
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
1
1

0
0
0
0
A
T S
R
O
•
•
•
•
•
•
•
•
•
H`ınh 4.4:
D
-
ˆe
˙’
gia
˙’
i m˜a mˆo
.
t chuˆo
˜
i bit, ch´ung ta bˇa
´

t d¯ˆa
`
u t`u
.
gˆo
´
c v`a di chuyˆe
˙’
n do
.
c theo cˆay cho d¯ˆe
´
n
khi gˇa
.
p k´y tu
.
.
: d¯i theo nh´anh tr´ai nˆe
´
u d¯´o l`a bit 1, ngu
.
o
.
.
c la
.
i d¯i theo nh´anh pha
˙’
i. Chˇa

˙’
ng
ha
.
n, chuˆo
˜
i bit
01010111
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng t`u
.
RAT. V´o
.
i mˆo
.
t cˆay x´ac d¯i
.
nh m˜a Huﬀman nhu
.
H`ınh 4.4, chuˆo
˜
i bit bˆa
´
t k`y d¯u
.

o
.
.
c
gia
˙’
i m˜a duy nhˆa
´
t mˇa
.
c d`u c´ac k´y tu
.
.
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
i nh˜u
.
ng chuˆo
˜
i bit c´o d¯ˆo
.
d`ai thay d¯ˆo
˙’
i.

Huﬀman d¯˜a chı
˙’
ra thuˆa
.
t to´an xˆay du
.
.
ng m˜a Huﬀman t`u
.
ba
˙’
ng c´ac tˆa
`
n sˆo
´
xuˆa
´
t hiˆe
.
n cu
˙’
a
c´ac k´y tu
.
.
nhu
.
sau:
Thuˆa
.

t to´an xˆay du
.
.
ng m˜a Huﬀman
X´et chuˆo
˜
i cˆa
`
n m˜a ho´a s t`u
.
n k´y tu
.
.
v´o
.
i n ≥ 2.
1. Xˆay du
.
.
ng d˜ay tˆa
`
n sˆo
´
f
i
, i = 1, 2, . . . , n, xuˆa
´
t hiˆe
.
n cu

˙’
a c´ac k´y tu
.
.
trong chuˆo
˜
i s.
104

2. Nˆe
´
u n = 2 (gia
˙’
su
.
˙’
f
1
≤ f
2
), xuˆa
´
t cˆay nhu
.
trong H`ınh 4.5 v`a d`u
.
ng.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
f
1

f
2
1 0
•
•
•
H`ınh 4.5:
3. Gia
˙’
su
.
˙’
f v`a f

l`a hai tˆa
`
n sˆo
´
nho
˙’
nhˆa
´
t v`a f ≤ f

. Ta
.
o mˆo
.
t danh s´ach tˆa
`

n sˆo
´
m´o
.
i bˇa
`
ng
c´ach thay f v`a f

bo
.
˙’
i f + f

. Go
.
i thuˆa
.
t to´an n`ay su
.
˙’
du
.
ng danh s´ach tˆa
`
n sˆo
´
m´o
.
i d¯ˆe

˙’
ta
.
o
cˆay T

. Thay d¯ı
˙’
nh d¯u
.
o
.
.
c g´an nh˜an f + f

d¯ˆe
˙’
nhˆa
.
n d¯u
.
o
.
.
c cˆay T trong H`ınh 4.6. Xuˆa
´
t T.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
f
f


1 0
•
•
•
H`ınh 4.6:
V´ı du
.
4.2.1 Cho ba
˙’
ng tˆa
`
n sˆo
´
K´y tu
.
.
tˆa
`
n sˆo
´
A 2
B 3
C 7
D 8
E 12
Khi d¯´o cˆay Huﬀman tu
.
o
.

ng ´u
.
ng cho trong H`ınh 4.7.
4.3 Cˆay bao tr`um
Ch´ung ta d¯˜a nghiˆen c´u
.
u riˆeng biˆe
.
t c´ac t´ınh chˆa
´
t cu
˙’
a mˆo
.
t cˆay, trong mu
.
c n`ay ch´ung ta s˜e
nghiˆen c´u
.
u cˆay khi gˇa
´
n n´o nhu
.
mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
con cu

˙’
a mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
kh´ac. Ch´ung ta biˆe
´
t rˇa
`
ng
cho d¯ˆo
`
thi
.
c´o m ca
.
nh, c´o thˆe
˙’
xˆay du
.
.
ng d¯u
.
o
.
.
c 2
m

d¯ˆo
`
thi
.
con kh´ac nhau; r˜o r`ang l`a trong sˆo
´
105

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
1
1 0
0
0
0

2
A
3
B
7
C
8
D
12
E
•
•
•
•
•
•
•
•
•
H`ınh 4.7:
d¯´o c´o mˆo
.
t v`ai d¯ˆo
`
thi
.
con l`a mˆo
.
t cˆay. Ch´ung ta quan tˆam d¯ˆe
´

n mˆo
.
t loa
.
i cˆay d¯ˇa
.
c biˆe
.
t: “cˆay
bao tr`um”. Kh´ai niˆe
.
m cˆay bao tr`um lˆa
`
n d¯ˆa
`
u tiˆen d¯u
.
o
.
.
c su
.
˙’
du
.
ng v`a ph´at triˆe
˙’
n l´y thuyˆe
´
t vˆe

`
cˆay bo
.
˙’
i nh`a vˆa
.
t l´y ngu
.
`o
.
i D
-
´u
.
c Kirchoﬀ nˇam 1847. Kirchoﬀ d¯˜a su
.
˙’
du
.
ng cˆay bao tr`um nhˇa
`
m
gia
˙’
i hˆe
.
c´ac phu
.
o
.

ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh d¯ˆe
˙’
x´ac d¯i
.
nh cu
.
`o
.
ng d¯ˆo
.
d`ong d¯iˆe
.
n trong mˆo
˜
i nh´anh v`a
xung quanh ma
.
ch cu
˙’
a mˆo
.
t ma
.
ng d¯iˆe
.
n.
V´ı du
.

4.3.1 D
-
ˆo
`
thi
.
trong H`ınh 4.8(a) c´o cˆay bao tr`um trong H`ınh 4.8(b).

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
a
b
c
d
e
f
•
•
•
•
•
•
(a) (b)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
b
c
d
e
f
•
•
•
•
•
•
H`ınh 4.8:
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 4.3.2 Cˆay T d¯u

.
o
.
.
c go
.
i l`a cˆay bao tr`um cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
liˆen thˆong G nˆe
´
u T l`a d¯ˆo
`
thi
.
con cu
˙’
a G v`a T ch´u
.
a tˆa
´
t ca
˙’
c´ac d¯ı
˙’
nh cu
˙’

a G.
D
-
i
.
nh l´y 4.3.3 D
-
ˆo
`
thi
.
G = (V, E) c´o d¯ˆo
`
thi
.
bˆo
.
phˆa
.
n l`a mˆo
.
t cˆay nˆe
´
u v`a chı
˙’
nˆe
´
u G liˆen
thˆong. N´oi c´ach kh´ac, cho tru
.

´o
.
c mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
liˆen thˆong v`a c´o n d¯ı
˙’
nh, bao gi`o
.
ta c˜ung c´o thˆe
˙’
bo
˙’
d¯i mˆo
.
t sˆo
´
ca
.
nh cu
˙’
a G d¯ˆe
˙’
d¯u
.
o
.

.
c mˆo
.
t cˆay ch´u
.
a tˆa
´
t ca
˙’
c´ac d¯ı
˙’
nh cu
˙’
a G (cˆay c´o n d¯ı
˙’
nh).
106

Ch´u
.
ng minh. D
-
iˆe
`
u kiˆe
.
n cˆa
`
n. Nˆe
´

u G liˆen thˆong th`ı ta thu
.
˙’
t`ım xem c´o ca
.
nh n`ao m`a khi x´oa
d¯i khˆong l`am cho d¯ˆo
`
thi
.
mˆa
´
t t´ınh liˆen thˆong khˆong. Nˆe
´
u khˆong c´o mˆo
.
t ca
.
nh n`ao nhu
.
vˆa
.
y
th`ı G l`a mˆo
.
t cˆay; nˆe
´
u c´o mˆo
.
t ca

.
nh nhu
.
vˆa
.
y th`ı x´oa n´o d¯i, v`a ta la
.
i d¯i t`ım mˆo
.
t ca
.
nh m´o
.
i d¯ˆe
˙’
x´oa Cho t´o
.
i khi khˆong thˆe
˙’
x´oa mˆo
.
t ca
.
nh n`ao d¯u
.
o
.
.
c n˜u
.

a th`ı ta c´o mˆo
.
t cˆay m`a tˆa
.
p ho
.
.
p c´ac
d¯ı
˙’
nh cu
˙’
a n´o d¯´ung bˇa
`
ng V.
D
-
iˆe
`
u kiˆe
.
n d¯u
˙’
. Gia
˙’
su
.
˙’
a, b l`a hai d¯ı
˙’

nh trong G v`a do d¯´o thuˆo
.
c cˆay bao tr`um T cu
˙’
a G. Khi
d¯´o tˆo
`
n ta
.
i dˆay chuyˆe
`
n µ trong T t`u
.
a d¯ˆe
´
n b. Suy ra µ c˜ung thuˆo
.
c G. Vˆa
.
y G liˆen thˆong. 
Ch´ung ta s˜e su
.
˙’
du
.
ng thuˆa
.
t to´an t`ım kiˆe
´
m theo chiˆe

`
u rˆo
.
ng d¯ˆe
˙’
xˆay du
.
.
ng cˆay bao tr`um
cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
liˆen thˆong.
4.3.1 Thuˆa
.
t to´an t`ım kiˆe
´
m theo chiˆe
`
u rˆo
.
ng x´ac d¯i
.
nh cˆay bao tr`um
Trong thuˆa
.
t to´an n`ay, S k´y hiˆe

.
u l`a mˆo
.
t d˜ay.
Nhˆa
.
p: D
-
ˆo
`
thi
.
liˆen thˆong G := (V, E) v´o
.
i c´ac d¯ı
˙’
nh d¯u
.
o
.
.
c d¯´anh sˆo
´
th´u
.
tu
.
.
v
1

, v
2
, . . . , v
n
.
Xuˆa
´
t: Cˆay bao tr`um T.
1. [Kho
.
˙’
i ta
.
o] D
-
ˇa
.
t S := [v
1
] v`a T l`a d¯ˆo
`
thi
.
gˆo
`
m d¯ı
˙’
nh v
1
v`a khˆong c´o ca

.
nh. K´y hiˆe
.
u v
1
l`a
d¯ı
˙’
nh gˆo
´
c.
2. [Thˆem ca
.
nh] V´o
.
i mˆo
˜
i x ∈ S, theo th´u
.
tu
.
.
, thˆem ca
.
nh (x, y) ∈ E v`a d¯ı
˙’
nh y (theo th´u
.
tu
.

.
) v`ao T nˆe
´
u T ∪ (x, y) khˆong ta
.
o th`anh chu tr`ınh. Nˆe
´
u khˆong c´o ca
.
nh nhu
.
vˆa
.
y,
d`u
.
ng. T l`a cˆay bao tr`um.
3. [Cˆa
.
p nhˆa
.
t S] Thay S bo
.
˙’
i con (trong T) cu
˙’
a S theo th´u
.
tu
.

.
. Chuyˆe
˙’
n sang Bu
.
´o
.
c 2.
D
-
ˆe
˙’
t`ım cˆay bao tr`um cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
liˆen thˆong ta c`on c´o thˆe
˙’
d`ung thuˆa
.
t to´an t`ım kiˆe
´
m
theo chiˆe
`
u sˆau (c`on go
.
i l`a quay lui) nhu

.
sau:
4.3.2 Thuˆa
.
t to´an t`ım kiˆe
´
m theo chiˆe
`
u sˆau x´ac d¯i
.
nh cˆay bao tr`um
Nhˆa
.
p: D
-
ˆo
`
thi
.
liˆen thˆong G := (V, E) v´o
.
i c´ac d¯ı
˙’
nh d¯u
.
o
.
.
c d¯´anh sˆo
´

th´u
.
tu
.
.
v
1
, v
2
, . . . , v
n
.
Xuˆa
´
t: Cˆay bao tr`um T.
107

1. [Kho
.
˙’
i ta
.
o] D
-
ˇa
.
t w := v
1
v`a T l`a d¯ˆo
`

thi
.
gˆo
`
m d¯ı
˙’
nh v
1
v`a khˆong c´o ca
.
nh. K´y hiˆe
.
u v
1
l`a
d¯ı
˙’
nh gˆo
´
c.
2. [Thˆem ca
.
nh] Cho
.
n ca
.
nh (w, v
k
) v´o
.

i chı
˙’
sˆo
´
k nho
˙’
nhˆa
´
t sao cho viˆe
.
c thˆem ca
.
nh n`ay v`ao
T khˆong ta
.
o ra chu tr`ınh. Nˆe
´
u khˆong tˆo
`
n ta
.
i, chuyˆe
˙’
n sang Bu
.
´o
.
c 3. Ngu
.
o

.
.
c la
.
i, thˆem
ca
.
nh (w, v
k
) v`a d¯ı
˙’
nh v
k
v`ao T; d¯ˇa
.
t w := v
k
v`a chuyˆe
˙’
n sang Bu
.
´o
.
c 2.
3. [Kˆe
´
t th´uc?] Nˆe
´
u w = v
1

, thuˆa
.
t to´an d`u
.
ng, T l`a cˆay bao tr`um.
4. [Quay lui] D
-
ˇa
.
t x l`a cha cu
˙’
a w (trong T ); g´an w := x v`a chuyˆe
˙’
n sang Bu
.
´o
.
c 2.
V´ı du
.
4.3.4 D
-
ˆo
`
thi
.
trong H`ınh 4.9(a) c´o c´ac cˆay bao tr`um, H`ınh 4.9(b) v`a 4.9(c), d¯u
.
o
.

.
c
xˆay du
.
.
ng theo c´ac thuˆa
.
t to´an t`ım kiˆe
´
m theo chiˆe
`
u rˆo
.
ng v`a chiˆe
`
u sˆau tu
.
o
.
ng ´u
.
ng.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
b
c
d
e
f
i
j
k
•
• •
• • •
• •
•
•
• •

• • •
• •
•
•
• •
• • •
• •
•
(a)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
b
c
d
e
f
i
j
k
(b)
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
b
c
d
e
f
i
j
k
(c)
H`ınh 4.9: (a) D
-
ˆo

`
thi
.
G. (b) Cˆay bao tr`um sinh bo
.
˙’
i thuˆa
.
t to´an t`ım kiˆe
´
m theo chiˆe
`
u rˆo
.
ng. (c)
Cˆay bao tr`um sinh bo
.
˙’
i thuˆa
.
t to´an t`ım kiˆe
´
m theo chiˆe
`
u sˆau.
4.3.3 T`ım cˆay bao tr`um du
.
.
a trˆen hai ma
˙’

ng tuyˆe
´
n t´ınh
D
-
ˆe
˙’
c`ai d¯ˇa
.
t c´ac thuˆa
.
t to´an t`ım kiˆe
´
m theo chiˆe
`
u rˆo
.
ng v`a chiˆe
`
u sˆau trˆen d¯ˆo
`
thi
.
liˆen thˆong G
t`ım cˆay bao tr`um T ta c´o thˆe
˙’
d`ung cˆa
´
u tr´uc d˜u
.

liˆe
.
u ma trˆa
.
n kˆe
`
hay ca
˙’
i biˆen, ma
˙’
ng c´ac danh
s´ach kˆe
`
V
out
[]. Tuy nhiˆen, trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p d¯ˆo
`
thi
.
d¯u
.
o
.

.
c biˆe
˙’
u diˆe
˜
n bo
.
˙’
i hai ma
˙’
ng tuyˆe
´
n t´ınh
α v`a β th`ı c´ach tiˆe
´
p cˆa
.
n sau s˜e hiˆe
.
u qua
˙’
ho
.
n. Ngo`ai ra, phu
.
o
.
ng ph´ap sau n`ay c˜ung cho ta
mˆo
.

t “r`u
.
ng” (tˆa
.
p c´ac cˆay bao tr`um) ch´u
.
a (n − p) ca
.
nh trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p d¯ˆo
`
thi
.
c´o p > 1
th`anh phˆa
`
n liˆen thˆong. Hiˆe
˙’
n nhiˆen, v´o
.
i nh˜u
.
ng thuˆa
.

t to´an xˆay du
.
.
ng cˆay bao tr`um ta c´o thˆe
˙’
kiˆe
˙’
m tra d¯ˆo
`
thi
.
c´o liˆen thˆong hay khˆong, v`a nˆe
´
u n´o khˆong liˆen thˆong th`ı c´o thˆe
˙’
x´ac d¯i
.
nh c´ac
th`anh phˆa
`
n liˆen thˆong. Nˆe
´
u mˇa
.
t kh´ac, d¯ˆo
`
thi
.
c´o tro
.

ng sˆo
´
th`ı ch´ung ta c´o thˆe
˙’
t`ım cˆay bao
tr`um c´o tˆo
˙’
ng tro
.
ng lu
.
o
.
.
ng nho
˙’
nhˆa
´
t (xem Phˆa
`
n 4.4). Ho
.
n n˜u
.
a ch´ung ta c˜ung c´o thˆe
˙’
xˆay
du
.
.

ng hˆe
.
c´ac chu tr`ınh d¯ˆo
.
c lˆa
.
p du
.
.
a trˆen cˆay bao tr`um cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
nhu
.
trong Phˆa
`
n 4.3.4.
108

X´et d¯ˆo
`
thi
.
vˆo hu
.
´o
.

ng G khˆong c´o khuyˆen n d¯ı
˙’
nh v`a m ca
.
nh. C´ac d¯ı
˙’
nh d¯u
.
o
.
.
c g´an
nh˜an v
1
, v
2
, . . . , v
n
, v`a d¯ˆo
`
thi
.
x´ac d¯i
.
nh bo
.
˙’
i hai ma
˙’
ng tuyˆe

´
n t´ınh α, β, trong d¯´o α
i
v`a β
i
, i =
1, 2, . . . , m, l`a c´ac d¯ı
˙’
nh d¯u
.
o
.
.
c liˆen thuˆo
.
c bo
.
˙’
i ca
.
nh e
i
.
Mˆo
˜
i bu
.
´o
.
c lˇa

.
p cu
˙’
a thuˆa
.
t to´an, mˆo
.
t ca
.
nh m´o
.
i d¯u
.
o
.
.
c d¯u
.
a v`ao kiˆe
˙’
m tra d¯ˆe
˙’
x´ac d¯i
.
nh c´ac
d¯ı
˙’
nh cu
˙’
a ca

.
nh d¯´o c´o xuˆa
´
t hiˆe
.
n trong cˆay n`ao d¯´o (d¯˜a d¯u
.
o
.
.
c thiˆe
´
t lˆa
.
p o
.
˙’
bu
.
´o
.
c tru
.
´o
.
c; bu
.
´o
.
c

d¯ˆa
`
u tiˆen ch´ung ta chu
.
a c´o cˆay bao tr`um n`ao). O
.
˙’
bu
.
´o
.
c th´u
.
i, 1 ≤ i ≤ m, khi kiˆe
˙’
m tra ca
.
nh
(α
i
, β
i
) c´o nˇam tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p xa

˙’
y ra:
1. Nˆe
´
u ca
˙’
hai d¯ı
˙’
nh khˆong nˇa
`
m trong bˆa
´
t c´u
.
mˆo
.
t cˆay n`ao d¯˜a d¯u
.
o
.
.
c xˆay du
.
.
ng o
.
˙’
(i − 1)
bu
.

´o
.
c tru
.
´o
.
c, khi d¯´o c´ac d¯ı
˙’
nh α
i
, β
i
d¯u
.
o
.
.
c g´an sˆo
´
th`anh phˆa
`
n liˆen thˆong l`a sˆo
´
c, sau d¯´o
tˇang c lˆen mˆo
.
t d¯o
.
n vi
.

.
2. Nˆe
´
u α
i
thuˆo
.
c cˆay T
j
c`on β
i
thuˆo
.
c cˆay T
k
(j, k = 1, . . . , c v`a j < k), ca
.
nh th´u
.
i d¯u
.
o
.
.
c
su
.
˙’
du
.

ng d¯ˆe
˙’
nˆo
´
i hai cˆay n`ay; do d¯´o, mo
.
i d¯ı
˙’
nh trong cˆay T
k
d¯u
.
o
.
.
c g´an l`a sˆo
´
th`anh phˆa
`
n
liˆen thˆong cu
˙’
a T
j
. Gi´a tri
.
c gia
˙’
m mˆo
.

t d¯o
.
n vi
.
.
3. Nˆe
´
u ca
˙’
hai d¯ı
˙’
nh c`ung nˇa
`
m trong mˆo
.
t cˆay, th`ı ca
.
nh (α
i
, β
i
) c`ung v´o
.
i mˆo
.
t sˆo
´
ca
.
nh kh´ac

cu
˙’
a cˆay s˜e ta
.
o th`anh mˆo
.
t chu tr`ınh v`a do d¯´o khˆong xu
.
˙’
l´y tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p n`ay.
4. Nˆe
´
u d¯ı
˙’
nh α
i
thuˆo
.
c cˆay T
j
c`on β
i
khˆong thuˆo

.
c cˆay n`ao, khi d¯´o ca
.
nh (α
i
, β
i
) d¯u
.
o
.
.
c thˆem
v`ao cˆay T
j
bˇa
`
ng c´ach g´an sˆo
´
th`anh phˆa
`
n liˆen thˆong cu
˙’
a T
j
cho d¯ı
˙’
nh β
i
.

5. Nˆe
´
u d¯ı
˙’
nh β
i
thuˆo
.
c cˆay T
k
c`on α
i
khˆong thuˆo
.
c cˆay n`ao, khi d¯´o ca
.
nh (α
i
, β
i
) d¯u
.
o
.
.
c thˆem
v`ao cˆay T
k
bˇa
`

ng c´ach g´an sˆo
´
th`anh phˆa
`
n liˆen thˆong cu
˙’
a T
k
cho d¯ı
˙’
nh α
i
.
D
-
ˆe
˙’
thu
.
.
c hiˆe
.
n viˆe
.
c kiˆe
˙’
m tra c´ac d¯ı
˙’
nh cuˆo
´

i cu
˙’
a mˆo
.
t ca
.
nh d¯u
.
o
.
.
c kha
˙’
o s´at c´o xuˆa
´
t hiˆe
.
n
trong cˆay n`ao khˆong, ch´ung ta xˆay du
.
.
ng mˆo
.
t ma
˙’
ng tuyˆe
´
n t´ınh n phˆa
`
n tu

.
˙’
Vertex[]. Khi mˆo
.
t
ca
.
nh (v
i
, v
j
) nˇa
`
m trong cˆay th´u
.
c th`ı c´ac phˆa
`
n tu
.
˙’
th´u
.
i v`a j cu
˙’
a ma
˙’
ng n`ay d¯u
.
o
.

.
c d¯ˇa
.
t l`a c.
Trong c´ac qu´a tr`ınh xu
.
˙’
l´y kˆe
´
sau, khi mˆo
.
t ca
.
nh kh´ac (α
i
, β
i
) d¯u
.
o
.
.
c d¯u
.
a v`ao kiˆe
˙’
m tra,
ch´ung ta chı
˙’
cˆa

`
n kiˆe
˙’
m tra c´ac phˆa
`
n tu
.
˙’
th´u
.
α
i
v`a β
i
trong ma
˙’
ng Vertex[] c´o kh´ac 0 khˆong.
Phˆa
`
n tu
.
˙’
th´u
.
q trong ma
˙’
ng Vertex[] bˇa
`
ng 0 chı
˙’

ra rˇa
`
ng d¯ı
˙’
nh th´u
.
q n`ay khˆong nˇa
`
m trong bˆa
´
t
c´u
.
cˆay n`ao. Kˆe
´
t th´uc chu
.
o
.
ng tr`ınh, ma
˙’
ng Vertex[] cho ch´ung ta biˆe
´
t c´ac th`anh phˆa
`
n liˆen
thˆong cu
˙’
a d¯ˆo
`

thi
.
G.
Nhˆa
.
n x´et rˇa
`
ng, cˆay khˆong chı
˙’
d¯u
.
o
.
.
c mˆo ta
˙’
bo
.
˙’
i tˆa
.
p c´ac d¯ı
˙’
nh. Bo
.
˙’
i vˆa
.
y, ch´ung ta cˆa
`

n c´o
mˆo
.
t ma
˙’
ng c´ac ca
.
nh d¯ˆe
˙’
xuˆa
´
t d˜u
.
liˆe
.
u. D
-
ˇa
.
t ma
˙’
ng n`ay l`a Edge[]. Nˆe
´
u ca
.
nh th´u
.
i nˇa
`
m trong

cˆay th´u
.
c, ta c´o Edge[k] = c; ngu
.
o
.
.
c la
.
i, n´o d¯u
.
o
.
.
c d¯ˇa
.
t bˇa
`
ng 0. Tˆa
´
t ca
˙’
c´ac phˆa
`
n tu
.
˙’
0 trong
ma
˙’

ng n`ay tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
i c´ac khuyˆen cˆo lˆa
.
p (t´u
.
c l`a c´ac ca
.
nh khˆong nˇa
`
m trong bˆa
´
t c´u
.
cˆay
bao tr`um hay r`u
.
ng n`ao). Ma
˙’
ng n`ay c`ung v´o
.
i c´ac ma
˙’
ng α v`a β, x´ac d¯i

.
nh duy nhˆa
´
t cˆay bao
tr`um (hoˇa
.
c r`u
.
ng) d¯u
.
o
.
.
c sinh bo
.
˙’
i thuˆa
.
t to´an n`ay.
109

Trong thuˆa
.
t to´an n`ay, v`ong lˇa
.
p ch´ınh thu
.
.
c hiˆe
.

n m lˆa
`
n. Th`o
.
i gian d¯`oi ho
˙’
i d¯ˆe
˙’
kiˆe
˙’
m tra
c´ac d¯ı
˙’
nh c´o xuˆa
´
t hiˆe
.
n trong cˆay hay khˆong l`a hˇa
`
ng sˆo
´
-khˆong phu
.
thuˆo
.
c v`ao n v`a m. Do d¯´o
th`o
.
i gian thu
.

.
c hiˆe
.
n thuˆa
.
t to´an tı
˙’
lˆe
.
v´o
.
i m
1
. Trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p m  n, ta c´o thˆe
˙’
gia
˙’
m th`o
.
i
gian thu
.
.

c hiˆe
.
n bˇa
`
ng c´ach lu
.
u tr˜u
.
mˆo
.
t biˆe
´
n d¯ˆe
´
m sˆo
´
c´ac ca
.
nh d¯u
.
o
.
.
c d¯ˇa
.
t v`ao cˆay. Khi biˆe
´
n
n`ay d¯a
.

t gi´a tri
.
(n − 1) chu
.
o
.
ng tr`ınh s˜e kˆe
´
t th´uc (nˆe
´
u d¯ˆo
`
thi
.
liˆen thˆong; tr´ai la
.
i ta cˆa
`
n kiˆe
˙’
m
tra mo
.
i ca
.
nh).
Thu
˙’
tu
.

c sau minh ho
.
a thuˆa
.
t to´an t`ım cˆay bao tr`um du
.
.
a trˆen hai ma
˙’
ng tuyˆe
´
n t´ınh α[]
v`a β[] :
void SpaningTree()
{
byte i, j, Tempt, Count = 0;
byte Vertex[MaxVertices], Edge[MaxEdges];
for (j = 1; j <= NumVertices; j++) Vertex[j] = 0;
for (i = 1; i <= NumEdges; i++) Edge[i] = 0;
for (i = 1; i <= NumEdges; i++)
{
if (Vertex[alpha[i]] == 0)
{
if (Vertex[beta[i]] == 0)
{
Count++;
Edge[i] = Count;
Vertex[alpha[i]] = Count;
Vertex[beta[i]] = Count;
}

else
{
Edge[i] = Vertex[beta[i]];
Vertex[alpha[i]] = Vertex[beta[i]];
}
}
else
{
if (Vertex[beta[i]] == 0)
{
1
Th`o
.
i gian d¯`oi ho
˙’
i d¯ˆe
˙’
trˆo
.
n hai cˆay T
i
v`a T
j
d¯u
.
o
.
.
c thu
.

.
c hiˆe
.
n trong ngˆon ng˜u
.
C khˆong phu
.
thuˆo
.
c v`ao n.
Tuy nhiˆen, c´o nh˜u
.
ng thuˆa
.
t to´an trˆo
.
n rˆa
´
t hiˆe
.
u qua
˙’
cho ph´ep thu
.
.
c hiˆe
.
n tiˆe
´
n tr`ınh n`ay.

110

Edge[i] = Vertex[alpha[i]];
Vertex[beta[i]] = Vertex[alpha[i]];
}
else if (Vertex[alpha[i]] != Vertex[beta[i]])
{
Edge[i] = Vertex[alpha[i]];
Tempt = Vertex[beta[i]];
for (j = 1; j <= NumEdges; j++)
{
if (Vertex[beta[j]] == Tempt)
{
Vertex[alpha[j]] = Vertex[alpha[i]];
Vertex[beta[j]] = Vertex[alpha[i]];
}
if (Vertex[beta[j]] == Count)
{
Vertex[alpha[j]] = Tempt;
Vertex[beta[j]] = Tempt;
}
}
Edge[Count] = Tempt;
Count ;
}
}
}
printf("So thanh phan lien thong la %d ", Count);
for (j = 1; j <= Count; j++)
{

printf(" \n Cay bao trum thu %d gom cac canh ", j);
for (i = 1; i <= NumEdges; i++)
if (Edge[i] == j) printf(" %d %d ", alpha[i], beta[i]);
}
}
111

4.3.4 Thuˆa
.
t to´an t`ım tˆa
´
t ca
˙’
c´ac cˆay bao tr`um
Viˆe
.
c phˆan t´ıch c´ac ma
.
ch d¯iˆe
.
n vˆe
`
co
.
ba
˙’
n c´o thˆe
˙’
d¯u
.

a vˆe
`
b`ai to´an t`ım tˆa
´
t ca
˙’
c´ac cˆay bao tr`um
cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
(xem [19]). Do tˆa
`
m quan tro
.
ng cu
˙’
a n´o, c´o nhiˆe
`
u thuˆa
.
t to´an kh´ac nhau gia
˙’
i quyˆe
´
t
b`ai to´an n`ay. Mˆo
.

t trong nh˜u
.
ng phu
.
o
.
ng ph´ap l`a ho´an d¯ˆo
˙’
i c´ac chu tr`ınh nhu
.
sau: Xuˆa
´
t ph´at
t`u
.
mˆo
.
t cˆay bao tr`um T n`ao d¯´o. V´o
.
i mˆo
˜
i ca
.
nh khˆong nˇa
`
m trˆen cˆay T, khi thˆem v`ao cˆay n`ay
s˜e ta
.
o ra duy nhˆa
´

t mˆo
.
t chu tr`ınh. X´oa bo
˙’
mˆo
.
t ca
.
nh bˆa
´
t k `y trong chu tr`ınh n`ay s˜e cho ta
mˆo
.
t cˆay bao tr`um m´o
.
i.
Do sˆo
´
c´ac cˆay bao tr`um l`a rˆa
´
t l´o
.
n thˆa
.
m ch´ı ca
˙’
v´o
.
i nh˜u
.

ng d¯ˆo
`
thi
.
nho
˙’
, t´ınh hiˆe
.
u qua
˙’
cu
˙’
a nh˜u
.
ng thuˆa
.
t to´an gia
˙’
i quyˆe
´
t b`ai to´an rˆa
´
t quan tro
.
ng (xem [14]). Mˆo
.
t tˆo
˙’
ng quan cu
˙’

a c´ac
phu
.
o
.
ng ph´ap n`ay l`a mˆo
.
t luˆa
.
n ´an tiˆe
´
n s˜ı cu
˙’
a Chase [12]. Chase d¯˜a chı
˙’
ra rˇa
`
ng thuˆa
.
t to´an
d¯u
.
a ra bo
.
˙’
i Minty c´o hiˆe
.
u qua
˙’
nhˆa

´
t: liˆen tiˆe
´
p thu go
.
n d¯ˆo
`
thi
.
bˇa
`
ng c´ac ph´ep to´an xo´a mˆo
.
t
ca
.
nh v`a ho
.
.
p nhˆa
´
t c´ac d¯ı
˙’
nh d¯ˆa
`
u cuˆo
´
i cu
˙’
a n´o. T`u

.
c´ac cˆay bao tr`um cu
˙’
a c´ac d¯ˆo
`
thi
.
thu go
.
n
(m`a nho
˙’
ho
.
n rˆa
´
t nhiˆe
`
u) ta c´o thˆe
˙’
du
.
.
ng d¯u
.
o
.
.
c tˆa
´

t ca
˙’
c´ac cˆay bao tr`um cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
ban d¯ˆa
`
u.
D
-
ˆe
˙’
ba
˙’
o d¯a
˙’
m thuˆa
.
t to´an kˆe
´
t th´uc, c´ac d¯ˆo
`
thi
.
c´o k´ıch thu
.
´o

.
c du
.
´o
.
i mˆo
.
t ngu
.
˜o
.
ng cho tru
.
´o
.
c s˜e
khˆong d¯u
.
o
.
.
c thu go
.
n thˆem; thay v`ao d¯´o l`a c´ac cˆay bao tr`um cu
˙’
a ch´ung d¯u
.
o
.
.

c suy ra.
4.3.5 Hˆe
.
co
.
so
.
˙’
cu
˙’
a c´ac chu tr`ınh d¯ˆo
.
c lˆa
.
p
Nhˇa
´
c la
.
i rˇa
`
ng chu sˆo
´
cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
vˆo hu

.
´o
.
ng G c´o n d¯ı
˙’
nh, m ca
.
nh, p th`anh phˆa
`
n liˆen thˆong
bˇa
`
ng c(G) = m − n + p−ch´ınh l`a sˆo
´
cu
.
.
c d¯a
.
i c´ac chu tr`ınh d¯ˆo
.
c lˆa
.
p. Phˆa
`
n du
.
´o
.
i d¯ˆay ta xˆay

du
.
.
ng thuˆa
.
t to´an t`ım hˆe
.
co
.
so
.
˙’
cu
˙’
a c´ac chu tr`ınh d¯ˆo
.
c lˆa
.
p du
.
.
a trˆen cˆay bao tr`um cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
.
Khˆong gia
˙’

m tˆo
˙’
ng qu´at, c´o thˆe
˙’
gia
˙’
thiˆe
´
t d¯ˆo
`
thi
.
G liˆen thˆong, v`ı trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p tr´ai la
.
i,
th`ı ta x´et t`u
.
ng th`anh phˆa
`
n liˆen thˆong.
´
Y tu
.

o
.
˙’
ng o
.
˙’
d¯ˆay l`a
1. Xˆay du
.
.
ng cˆay bao tr`um T := (V, E
T
).
2. Gia
˙’
su
.
˙’
e
1
, e
2
, . . . , e
m−n+1
l`a c´ac ca
.
nh cu
˙’
a E m`a khˆong thuˆo
.

c cˆay T. Khi thˆem mˆo
.
t ca
.
nh
bˆa
´
t k`y trong c´ac ca
.
nh n`ay, chˇa
˙’
ng ha
.
n ca
.
nh e
k
, v`ao cˆay T ta d¯u
.
o
.
.
c mˆo
.
t v`a chı
˙’
mˆo
.
t chu
tr`ınh µ

k
. C´ac chu tr`ınh µ
1
, µ
2
, . . . , µ
m−n+1
l`a d¯ˆo
.
c lˆa
.
p v`ı mˆo
˜
i chu tr`ınh ch´u
.
a mˆo
.
t ca
.
nh
khˆong thuˆo
.
c c´ac chu tr`ınh kia; mˇa
.
t kh´ac ta c´o (m − n + 1) = c(G) chu tr`ınh nhu
.
vˆa
.
y,
nˆen ta d¯˜a x´ac d¯i

.
nh d¯u
.
o
.
.
c hˆe
.
co
.
so
.
˙’
cu
˙’
a c´ac chu tr`ınh d¯ˆo
.
c lˆa
.
p.
Nhu
.
vˆa
.
y b`ai to´an d¯u
.
a vˆe
`
t`ım c´ac chu tr`ınh µ
k

khi thˆem ca
.
nh e
k
v`ao cˆay T. Trong khi
kiˆe
˙’
m tra ca
.
nh e
k
= (α
k
, β
k
) trong thuˆa
.
t to´an 4.3.3, nˆe
´
u d¯iˆe
`
u kiˆe
.
n 3 d¯´ung (t´u
.
c l`a ca
˙’
hai d¯ı
˙’
nh

α
k
v`a β
k
xuˆa
´
t hiˆe
.
n trong c`ung cˆay T
i
) th`ı thay cho viˆe
.
c loa
.
i bo
˙’
ca
.
nh n`ay ch´ung ta cˆa
`
n t`ım
c´ac ca
.
nh trong T
i
m`a ta
.
o th`anh dˆay chuyˆe
`
n gi˜u

.
a hai d¯ı
˙’
nh α
k
v`a β
k
. Dˆay chuyˆe
`
n n`ay c`ung
v´o
.
i ca
.
nh (α
k
, β
k
) ta
.
o th`anh mˆo
.
t chu tr`ınh co
.
ba
˙’
n. Vˆa
´
n d¯ˆe
`

ch´ınh o
.
˙’
d¯ˆay l`a t`ım dˆay chuyˆe
`
n
112

n`ay. C´o nhiˆe
`
u phu
.
o
.
ng ph´ap hiˆe
.
u qua
˙’
gia
˙’
i quyˆe
´
t b`ai to´an, trong sˆo
´
d¯´o thuˆa
.
t to´an cu
˙’
a Paton
[50] l`a hiˆe

.
u qua
˙’
nhˆa
´
t.
Thuˆa
.
t to´an Paton t`ım hˆe
.
co
.
so
.
˙’
cu
˙’
a c´ac chu tr`ınh d¯ˆo
.
c lˆa
.
p
Ch´ung ta c˜ung s˜e kiˆe
˙’
m tra mˆo
˜
i ca
.
nh c´o ta
.

o th`anh chu tr`ınh v´o
.
i nh˜u
.
ng ca
.
nh trong cˆay d¯u
.
o
.
.
c
xˆay du
.
.
ng trong qu´a tr`ınh thu
.
.
c hiˆe
.
n thuˆa
.
t to´an, nhu
.
ng thay viˆe
.
c lˆa
´
y c´ac ca
.

nh theo th´u
.
tu
.
.
tu`y ´y (nhu
.
trong Thuˆa
.
t to´an 4.3.3), ta cho
.
n mˆo
.
t d¯ı
˙’
nh z v`a kiˆe
˙’
m tra c´ac ca
.
nh liˆen thuˆo
.
c v´o
.
i
n´o. (D
-
ı
˙’
nh z l`a d¯ı
˙’

nh v`u
.
a d¯u
.
o
.
.
c thˆem v`ao cˆay). D
-
ˆe
˙’
d¯o
.
n gia
˙’
n, ta s˜e su
.
˙’
du
.
ng ma trˆa
.
n kˆe
`
A biˆe
˙’
u
diˆe
˜
n d¯ˆo

`
thi
.
. K´y hiˆe
.
u T l`a tˆa
.
p hiˆe
.
n h`anh c´ac d¯ı
˙’
nh trong cˆay d¯u
.
o
.
.
c xˆay du
.
.
ng o
.
˙’
bu
.
´o
.
c n`ao d¯´o
v`a W l`a tˆa
.
p c´ac d¯ı

˙’
nh chu
.
a d¯u
.
o
.
.
c kiˆe
˙’
m tra (t´u
.
c l`a nh˜u
.
ng d¯ı
˙’
nh thuˆo
.
c T hoˇa
.
c khˆong nhu
.
ng
c´o ´ıt nhˆa
´
t mˆo
.
t ca
.
nh liˆen thuˆo

.
c v´o
.
i n´o chu
.
a d¯u
.
o
.
.
c kiˆe
˙’
m tra).
Ch´ung ta kho
.
˙’
i d¯ˆa
`
u thuˆa
.
t to´an bˇa
`
ng c´ach d¯ˇa
.
t T = {v
1
} v`a W = V. D
-
ı
˙’

nh v
1
s˜e l`a gˆo
´
c
cu
˙’
a cˆay. Sau qu´a tr`ınh kho
.
˙’
i ta
.
o, thu
.
.
c hiˆe
.
n c´ac bu
.
´o
.
c sau:
1. Nˆe
´
u T ∩ W = ∅ thuˆa
.
t to´an d`u
.
ng.
2. Nˆe

´
u T ∩ W = ∅ cho
.
n d¯ı
˙’
nh z ∈ T ∩ W.
3. Kiˆe
˙’
m tra z bˇa
`
ng c´ach x´et mˆo
˜
i ca
.
nh liˆen thuˆo
.
c v´o
.
i n´o. Nˆe
´
u khˆong c´o ca
.
nh n`ao, khu
.
˙’
z
t`u
.
W v`a chuyˆe
˙’

n sang Bu
.
´o
.
c 1.
4. Nˆe
´
u tˆo
`
n ta
.
i ca
.
nh (z, p) ∈ E kiˆe
˙’
m tra z c´o thuˆo
.
c T khˆong.
5. Nˆe
´
u p ∈ T t`ım chu tr`ınh co
.
ba
˙’
n gˆo
`
m ca
.
nh (z, p) v`a mˆo
.

t dˆay chuyˆe
`
n (duy nhˆa
´
t) t`u
.
z d¯ˆe
´
n p trong cˆay d¯ang d¯u
.
o
.
.
c xˆay du
.
.
ng. Xo´a ca
.
nh (z, p) kho
˙’
i d¯ˆo
`
thi
.
v`a chuyˆe
˙’
n sang
Bu
.
´o

.
c 3.
6. Nˆe
´
u p /∈ T thˆem ca
.
nh (z, p) v`ao cˆay v`a d¯ı
˙’
nh p v`ao T. Xo´a ca
.
nh (z, p) kho
˙’
i d¯ˆo
`
thi
.
v`a
chuyˆe
˙’
n sang Bu
.
´o
.
c 3.
Nhu
.
d¯˜a d¯ˆe
`
cˆa
.

p, vˆa
´
n d¯ˆe
`
co
.
ba
˙’
n l`a Bu
.
´o
.
c 5. Ch´ung ta pha
˙’
i t`ım dˆay chuyˆe
`
n t`u
.
z d¯ˆe
´
n p
nhu
.
thˆe
´
n`ao? Thu
˙’
tu
.
c sau s˜e tra

˙’
l`o
.
i cˆau ho
˙’
i n`ay.
Ch´ung ta su
.
˙’
du
.
ng mˆo
.
t ngˆan xˆe
´
p (stack) TW = T ∩ W d¯ˆe
˙’
lu
.
u tr˜u
.
c´ac d¯ı
˙’
nh trong cˆay
nhu
.
ng chu
.
a d¯u
.

o
.
.
c kiˆe
˙’
m tra. D
-
ı
˙’
nh d¯u
.
o
.
.
c thˆem gˆa
`
n d¯ˆay nhˆa
´
t v`ao cˆay s˜e d¯u
.
o
.
.
c ch`en v`ao d¯ˆa
`
u
ngˆan xˆe
´
p. Mˆo
˜

i lˆa
`
n mˆo
.
t d¯ı
˙’
nh d¯u
.
o
.
.
c kiˆe
˙’
m tra d¯u
.
o
.
.
c lˆa
´
y ra kho
˙’
i t`u
.
d¯ı
˙’
nh cu
˙’
a ngˆan xˆe
´

p. Ta su
.
˙’
du
.
ng thˆem hai ma
˙’
ng tuyˆe
´
n t´ınh d¯ˆo
.
d`ai n : ma
˙’
ng l[j] l`a khoa
˙’
ng c´ach t`u
.
gˆo
´
c v
1
d¯ˆe
´
n d¯ı
˙’
nh v
j
trong cˆay bao tr`um; v`a Pred[j] l`a d¯ı
˙’
nh v

i
sao cho ca
.
nh (v
i
, v
j
) l`a mˆo
.
t ca
.
nh trong cˆay v´o
.
i
v
i
gˆa
`
n gˆo
´
c ho
.
n v
j
. N´oi c´ach kh´ac, Pred[j] l`a d¯ı
˙’
nh liˆe
`
n tru
.

´o
.
c d¯ı
˙’
nh v
j
trong dˆay chuyˆe
`
n t`u
.
113

v
1
d¯ˆe
´
n v
J
. Nh˜an l[J] = −1 nˆe
´
u v`a chı
˙’
nˆe
´
u d¯ı
˙’
nh v
j
khˆong thuˆo
.

c tˆa
.
p T. Kho
.
˙’
i ta
.
o l[1] = 0 v`a
l[j] = −1 v´o
.
i mo
.
i j = 2, 3, . . . , n.
Trong Bu
.
´o
.
c 5, khi x´et d¯ı
˙’
nh z v`a ca
.
nh (z, p) d¯u
.
o
.
.
c t`ım thˆa
´
y v´o
.

i p ∈ T. D
-
ˆe
˙’
x´ac d¯i
.
nh chu
tr`ınh co
.
ba
˙’
n sinh bo
.
˙’
i ca
.
nh (z, p) ch´ung ta lˆa
`
n theo dˆay chuyˆe
`
n t`u
.
z d¯ˆe
´
n p trong cˆay bˇa
`
ng
c´ach t`ım liˆen tiˆe
´
p c´ac “tiˆe

`
n bˆo
´
i” Pred[z], Pred[Prede[z]], . . . cho d¯ˆe
´
n khi ch´ung ta bˇa
´
t gˇa
.
p
Pred[p]-tiˆe
`
n bˆo
´
i cu
˙’
a p. N´oi c´ach kh´ac, nhu
.
chı
˙’
ra trong H`ınh ??, chu tr`ınh co
.
ba
˙’
n d¯u
.
o
.
.
c ta

.
o
ra l`a
z, Pred[z], Pred[Pred[z]], . . . , Pred[p], p, z.
Cˆa
`
n ch´u ´y rˇa
`
ng tiˆe
`
n bˆo
´
i Pred[k] cu
˙’
a mo
.
i d¯ı
˙’
nh k ∈ T l`a mˆo
.
t d¯ı
˙’
nh m`a hoˇa
.
c d¯˜a d¯u
.
o
.
.
c

kiˆe
˙’
m tra hoˇa
.
c d¯ang d¯u
.
o
.
.
c kiˆe
˙’
m tra. T´u
.
c l`a, nˆe
´
u k ∈ T ∩ W th`ı
Pred[k] /∈ W nhu
.
ng Pred[k] ∈ T.
Thu
˙’
tu
.
c FundamentalCircuits() minh ho
.
a c´ac bu
.
´o
.
c d¯˜a tr`ınh b`ay o

.
˙’
trˆen.
Th`o
.
i gian thu
.
.
c hiˆe
.
n cu
˙’
a thuˆa
.
t to´an bi
.
chˇa
.
n trˆen bo
.
˙’
i n
ν
trong d¯´o gi´a tri
.
thu
.
.
c ν ∈ [2, 3]
phu

.
thuˆo
.
c v`ao cˆa
´
u tr´uc cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
c˜ung nhu
.
c´ach d¯´anh nh˜an c´ac d¯ı
˙’
nh [50].
Mˇa
.
c d`u d¯ˆe
˙’
d¯o
.
n gia
˙’
n ch´ung ta d¯˜a gia
˙’
su
.
˙’
G liˆen thˆong, tuy nhiˆen thuˆa

.
t to´an c´o thˆe
˙’
dˆe
˜
d`ang ca
˙’
i biˆen cho tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p tˆo
˙’
ng qu´at. D
-
ˆa
`
u tiˆen, thuˆa
.
t to´an s˜e ta
.
o ra tˆa
´
t ca
˙’
c´ac chu
tr`ınh co

.
ba
˙’
n trong th`anh phˆa
`
n liˆen thˆong ch´u
.
a d¯ı
˙’
nh xuˆa
´
t ph´at v
1
. Sau d¯´o ta cho
.
n d¯ı
˙’
nh y
m`a l[y] = −1 v`a bˇa
´
t d¯ˆa
`
u v´o
.
i y l`a gˆo
´
c cu
˙’
a cˆay bao tr`um th´u
.

hai. Thuˆa
.
t to´an lˇa
.
p la
.
i cho d¯ˆe
´
n
khi tˆa
´
t ca
˙’
c´ac d¯ı
˙’
nh d¯u
.
o
.
.
c g´an nh˜an l kh´ac −1.
4.4 Cˆay bao tr`um tˆo
´
i thiˆe
˙’
u
D
-
i
.

nh ngh˜ıa 4.4.1 Gia
˙’
su
.
˙’
G l`a d¯ˆo
`
thi
.
c´o tro
.
ng sˆo
´
. Cˆay bao tr`um tˆo
´
i thiˆe
˙’
u cu
˙’
a G l`a mˆo
.
t
cˆay bao tr`um cu
˙’
a G v´o
.
i tro
.
ng lu
.

o
.
.
ng nho
˙’
nhˆa
´
t.
B`ai to´an n`ay rˆa
´
t hay gˇa
.
p trong thˆong tin liˆen la
.
c v`a trong c´ac ng`anh kh´ac. Chˇa
˙’
ng ha
.
n
ta d¯ˇa
.
t cˆau ho
˙’
i nhu
.
sau: d¯ˆo
.
d`ai dˆay d¯iˆe
.
n ngˇa

´
n nhˆa
´
t cˆa
`
n thiˆe
´
t d¯ˆe
˙’
nˆo
´
i n th`anh phˆo
´
d¯˜a d¯i
.
nh
l`a bao nhiˆeu? Khi d¯´o coi c´ac th`anh phˆo
´
l`a c´ac d¯ı
˙’
nh cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
v`a w(a, b) l`a khoa
˙’
ng c´ach
t´ınh bˇa

`
ng km gi˜u
.
a c´ac th`anh phˆo
´
a v`a b. Ma
.
ng dˆay d¯iˆe
.
n cˆa
`
n pha
˙’
i liˆen thˆong, v`a v`ı d¯ˆo
.
d`ai
dˆay d¯iˆe
.
n cˆa
`
n ngˇa
´
n nhˆa
´
t nˆen n´o khˆong c´o chu tr`ınh: vˆa
.
y ma
.
ng d¯´o l`a mˆo
.

t cˆay. O
.
˙’
d¯ˆay ta cˆa
`
n
t`ım mˆo
.
t cˆay “tˆo
´
i thiˆe
˙’
u” c´o thˆe
˙’
d¯u
.
o
.
.
c v`a l`a mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
bˆo
.
phˆa
.
n cu

˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
d¯ˆa
`
y d¯u
˙’
c´o n d¯ı
˙’
nh.
Mˆo
.
t ´u
.
ng du
.
ng gi´an tiˆe
´
p: b`ai to´an t`ım cˆay bao tr`um tˆo
´
i thiˆe
˙’
u l`a bu
.
´o
.
c trung gian trong viˆe
.

c
t`ım l`o
.
i gia
˙’
i cu
˙’
a b`ai to´an ngu
.
`o
.
i du li
.
ch-mˆo
.
t b`ai to´an thu
.
`o
.
ng xuˆa
´
t hiˆe
.
n trong thu
.
.
c tˆe
´
.
114

Cˆa
`
n ch´u ´y rˇa
`
ng, cˆay bao tr`um tˆo
´
i thiˆe
˙’
u cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
khˆong liˆen quan d¯ˆe
´
n cˆay sinh bo
.
˙’
i
tˆa
´
t ca
˙’
c´ac dˆay chuyˆe
`
n ngˇa
´
n nhˆa

´
t t`u
.
mˆo
.
t d¯ı
˙’
nh cho tru
.
´o
.
c. Do d¯´o, d¯ˆo
`
thi
.
trong H`ınh 4.10(a),
v´o
.
i c´ac sˆo
´
trˆen c´ac ca
.
nh tu
.
o
.
ng ´u
.
ng c´ac tro
.

ng lu
.
o
.
.
ng ca
.
nh, cˆay sinh ra bo
.
˙’
i d¯u
.
`o
.
ng d¯i ngˇa
´
n
nhˆa
´
t t`u
.
d¯ı
˙’
nh cho tru
.
´o
.
c, chˇa
˙’
ng ha

.
n v
1
, trong H`ınh 4.10(b); ngu
.
o
.
.
c la
.
i, cˆay bao tr`um tˆo
´
i thiˆe
˙’
u
cho trong H`ınh 4.10(c).
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
v
1
v
2
v
3
v
4
v
5
•
•
•
• •
•
•
•
• •
•
•
•
• •
5
3
5

3 3
5
5
3
(a)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
v
1
v
2
v
3
v
4
v
5
(b)

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
v
1
v
2
v
3
v
4
v
5
(c)
H`ınh 4.10: (a) D
-
ˆo
`
thi
.
G. (b) Cˆay sinh bo
.
˙’
i d¯u
.
`o
.

ng d¯i ngˇa
´
n nhˆa
´
t xuˆa
´
t ph´at t`u
.
v
1
. (c) Cˆay bao
tr`um nho
˙’
nhˆa
´
t.
T`ım cˆay bao tr`um tˆo
´
i thiˆe
˙’
u l`a mˆo
.
t trong nh˜u
.
ng b`ai to´an cu
˙’
a l´y thuyˆe
´
t d¯ˆo
`

thi
.
c´o thˆe
˙’
gia
˙’
i quyˆe
´
t triˆe
.
t d¯ˆe
˙’
. Do d¯´o, d¯ˇa
.
t T
i
v`a T
j
l`a hai cˆay con d¯u
.
o
.
.
c ta
.
o ra trong qu´a tr`ınh xˆay du
.
.
ng
cˆay bao tr`um tˆo

´
i thiˆe
˙’
u. Nˆe
´
u T
i
d¯u
.
o
.
.
c su
.
˙’
du
.
ng d¯ˆe
˙’
biˆe
˙’
u diˆe
˜
n tˆa
.
p c´ac d¯ı
˙’
nh cu
˙’
a cˆay con th`ı ∆

ij
c´o thˆe
˙’
d¯i
.
nh ngh˜ıa l`a khoa
˙’
ng c´ach ngˇa
´
n nhˆa
´
t t`u
.
mˆo
.
t d¯ı
˙’
nh trong T
i
d¯ˆe
´
n mˆo
.
t d¯ı
˙’
nh trong T
j
;
t´u
.

c l`a
∆
ij
:= min
v
i
∈T
i
[min
v
j
∈T
j
{w(v
i
, v
j
)}], i = j. (4.1)
Khi d¯´o, dˆe
˜
d`ang ch´u
.
ng minh rˇa
`
ng lˇa
.
p la
.
i ph´ep to´an sau s˜e cho ta cˆay bao tr`um tˆo
´

i
thiˆe
˙’
u:
Ph´ep to´an I. V´o
.
i cˆay con T
s
n`ao d¯´o, t`ım cˆay con T
j
∗
sao cho ∆
sj
∗
= min
T
j
[∆
sj
], v`a d¯ˇa
.
t
(v
s
, v
j
∗
) l`a ca
.
nh tu

.
o
.
ng ´u
.
ng gi´a tri
.
∆
sj
∗
trong (4.1) d¯a
.
t d¯u
.
o
.
.
c. Khi d¯´o (v
s
, v
j
∗
) thuˆo
.
c
cˆay bao tr`um tˆo
´
i thiˆe
˙’
u v`a c´o thˆe

˙’
d¯u
.
o
.
.
c thˆem v`ao v´o
.
i c´ac ca
.
nh kh´ac trong qu´a tr`ınh
lˇa
.
p d¯ˆe
˙’
ta
.
o ra cˆay bao tr`um tˆo
´
i thiˆe
˙’
u.
Thˆa
.
t vˆa
.
y, gia
˙’
su
.

˙’
c´ac ca
.
nh trong c´ac cˆay con o
.
˙’
bu
.
´o
.
c k n`ao d¯´o thuˆo
.
c cˆay bao tr`um tˆo
´
i
thiˆe
˙’
u T
m
o
.
˙’
bu
.
´o
.
c cuˆo
´
i c`ung. Gia
˙’

su
.
˙’
ca
.
nh (v
s
, v
j
∗
) d¯u
.
o
.
.
c cho
.
n nhu
.
trˆen khˆong thuˆo
.
c cˆay bao
115

tr`um tˆo
´
i thiˆe
˙’
u T
m

. Theo d¯i
.
nh ngh˜ıa, cˆay con T
s
o
.
˙’
bu
.
´o
.
c cuˆo
´
i c`ung d¯u
.
o
.
.
c nˆo
´
i v´o
.
i cˆay con kh´ac
n`ao d¯´o bˇa
`
ng ca
.
nh (v
i
, v

j
) trong d¯´o v
i
∈ T
s
v`a v
j
/∈ T
s
v`a ngo`ai ra T
s
pha
˙’
i ch´u
.
a trong cˆay
bao tr`um tˆo
´
i thiˆe
˙’
u T
m
. Xo´a ca
.
nh (v
i
, v
j
) kho
˙’

i cˆay T
m
s˜e cho ta hai th`anh phˆa
`
n liˆen thˆong
v`a thay n´o bo
.
˙’
i ca
.
nh (v
s
, v
j
∗
) s˜e ta
.
o mˆo
.
t cˆay m´o
.
i c´o tro
.
ng lu
.
o
.
.
ng nho
˙’

ho
.
n tro
.
ng lu
.
o
.
.
ng cˆay
T
m
, mˆau thuˆa
˜
n. Vˆa
.
y, v´o
.
i nh˜u
.
ng gia
˙’
thiˆe
´
t trˆen, ta c´o thˆe
˙’
thˆem ca
.
nh (v
s

, v
j
∗
) d¯ˆe
˙’
ta
.
o th`anh
cˆay (ch´u
.
a trong cˆay bao tr`um tˆo
´
i thiˆe
˙’
u) o
.
˙’
bu
.
´o
.
c k v`a tiˆe
´
p tu
.
c v´o
.
i bu
.
´o

.
c (k + 1). C˜ung cˆa
`
n
ch´u ´y rˇa
`
ng, phu
.
o
.
ng ph´ap trˆen khˆong phu
.
thuˆo
.
c v`ao cˆay T
s
d¯u
.
o
.
.
c cho
.
n. Ho
.
n n˜u
.
a, do bu
.
´o

.
c
kho
.
˙’
i ta
.
o (t´u
.
c l`a tru
.
´o
.
c khi bˆa
´
t c´u
.
ca
.
nh n`ao d¯u
.
o
.
.
c cho
.
n) gia
˙’
thiˆe
´

t l`a khˆong tˆo
`
n ta
.
i (v`a do d¯´o
d¯´ung) nˆen lˇa
.
p la
.
i thuˆa
.
t to´an trˆen cuˆo
´
i c`ung s˜e ta
.
o ra cˆay bao tr`um tˆo
´
i thiˆe
˙’
u.
Hˆa
`
u hˆe
´
t c´ac phu
.
o
.
ng ph´ap t`ım cˆay bao tr`um tˆo
´

i thiˆe
˙’
u d¯ˆe
`
u du
.
.
a trˆen nh˜u
.
ng tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p
d¯ˇa
.
c biˆe
.
t cu
˙’
a thu
˙’
tu
.
c trˆen. D
-
ˆa

`
u tiˆen, trong sˆo
´
d¯´o l`a phu
.
o
.
ng ph´ap cu
˙’
a Kruskal [39] nhu
.
sau.
4.4.1 Thuˆa
.
t to´an Kruskal
´
Y tu
.
o
.
˙’
ng cu
˙’
a thuˆa
.
t to´an Kruskal t`ım cˆay bao tr`um trong d¯ˆo
`
thi
.
liˆen thˆong c´o tro

.
ng sˆo
´
G
nhu
.
sau: Kho
.
˙’
i ta
.
o v´o
.
i d¯ˆo
`
thi
.
T gˆo
`
m tˆa
´
t ca
˙’
c´ac d¯ı
˙’
nh cu
˙’
a G v`a khˆong c´o ca
.
nh. Ta

.
i mˆo
˜
i bu
.
´o
.
c
lˇa
.
p ch´ung ta thˆem mˆo
.
t ca
.
nh c´o tro
.
ng lu
.
o
.
.
ng nho
˙’
nhˆa
´
t lˆen cˆay T m`a khˆong ta
.
o th`anh chu
tr`ınh trong T. Thuˆa
.

t to´an d`u
.
ng khi T c´o (n − 1) ca
.
nh.
1. [Kho
.
˙’
i ta
.
o] Gia
˙’
su
.
˙’
T l`a d¯ˆo
`
thi
.
gˆo
`
m n d¯ı
˙’
nh v`a khˆong c´o ca
.
nh.
2. [Sˇa
´
p xˆe
´

p] Sˇa
´
p xˆe
´
p th´u
.
tu
.
.
c´ac ca
.
nh cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
G theo th´u
.
tu
.
.
tro
.
ng lu
.
o
.
.
ng tˇang dˆa

`
n.
3. [Thˆem ca
.
nh] Thˆem ca
.
nh (bˇa
´
t d¯ˆa
`
u t`u
.
ca
.
nh d¯ˆa
`
u tiˆen) trong danh s´ach c´ac ca
.
nh d¯u
.
o
.
.
c
sˇa
´
p xˆe
´
p v`ao cˆay T sao cho khˆong ta
.

o th`anh chu tr`ınh trong T khi thˆem. (Ca
.
nh d¯u
.
o
.
.
c
thˆem v`ao go
.
i l`a chˆa
´
p nhˆa
.
n d¯u
.
o
.
.
c).
4. [Kˆe
´
t th´uc] Nˆe
´
u T c´o (n − 1) ca
.
nh th`ı thuˆa
.
t to´an d`u
.

ng; T l`a cˆay bao tr`um tˆo
´
i thiˆe
˙’
u.
Thuˆa
.
t to´an n`ay thˆem v`ao cˆay T nh˜u
.
ng ca
.
nh c´o tro
.
ng lu
.
o
.
.
ng nho
˙’
nhˆa
´
t chˆa
´
p nhˆa
.
n d¯u
.
o
.

.
c
ho
.
n l`a thˆem ca
.
nh gi˜u
.
a mˆo
.
t cˆay con cu
˙’
a T, chˇa
˙’
ng ha
.
n T
s
, v`a mˆo
.
t cˆay con n`ao kh´ac (nhu
.
chı
˙’
ra trong Ph´ep to´an I). Hiˆe
˙’
n nhiˆen ca
.
nh d¯u
.

o
.
.
c cho
.
n c´o tro
.
ng lu
.
o
.
.
ng nho
˙’
nhˆa
´
t gi˜u
.
a mˆo
.
t
cˆay con n`ao d¯´o v`a bˆa
´
t k`y cˆay con kh´ac, nˆen nguyˆen tˇa
´
c cho
.
n cu
˙’
a thuˆa

.
t to´an Kruskal l`a mˆo
.
t
tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p d¯ˇa
.
c biˆe
.
t cu
˙’
a Ph´ep to´an I. Tuy nhiˆen c´o thˆe
˙’
xa
˙’
y ra tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p ca
.

nh e d¯u
.
o
.
.
c
kiˆe
˙’
m tra d¯ˆe
˙’
thˆem v`ao liˆen thuˆo
.
c gi˜u
.
a hai d¯ı
˙’
nh cu
˙’
a c`ung mˆo
.
t cˆay con v`a do d¯´o n´o s˜e ta
.
o ra
mˆo
.
t chu tr`ınh nˆe
´
u thˆem v`ao; t´u
.
c l`a ca

.
nh e l`a khˆong chˆa
´
p nhˆa
.
n d¯u
.
o
.
.
c. V`ı vˆa
.
y, trong Bu
.
´o
.
c 3,
c´ac ca
.
nh cˆa
`
n d¯u
.
o
.
.
c kiˆe
˙’
m tra t´ınh chˆa
´

p nhˆa
.
n cu
˙’
a n´o tru
.
´o
.
c khi thˆem v`ao T. Tiˆe
´
n tr`ınh kiˆe
˙’
m
tra n`ay c´o thˆe
˙’
thu
.
.
c hiˆe
.
n hiˆe
.
u qua
˙’
bˇa
`
ng c´ach su
.
˙’
du

.
ng thuˆa
.
t to´an xˆay du
.
.
ng cˆay bao tr`um
du
.
.
a trˆen hai ma
˙’
ng tuyˆe
´
n t´ınh nhu
.
d¯˜a tr`ınh b`ay trong Phˆa
`
n 4.3.3.
116

V´ı du
.
4.4.2 X´et d¯ˆo
`
thi
.
trong H`ınh 4.11(a). Sˇa
´
p xˆe

´
p c´ac ca
.
nh theo tro
.
ng lu
.
o
.
.
ng tˇang dˆa
`
n
(su
.
˙’
du
.
ng hai ma
˙’
ng tuyˆe
´
n t´ınh α v`a β) ta d¯u
.
o
.
.
c
k 1 2 3 4 5 6 7 8 9
α c a e a c a b c d

β d c f e f b d e f
Tro
.
ng lu
.
o
.
.
ng 1 2 2 3 3 4 5 6 6
C´ac ca
.
nh (khˆong ta
.
o th`anh chu tr`ınh) d¯u
.
o
.
.
c thˆem v`ao cˆay T theo th´u
.
tu
.
.
l`a
(c, d), (a, c), (e, f), (a, e), (a, b).
T l`a cˆay bao tr`um nho
˙’
nhˆa
´
t c´o tro

.
ng lu
.
o
.
.
ng 12 (H`ınh 4.11(b)).

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
b
c
d
e
f
•
• •
•
•

•
1
2
2
3
3
4
5
6
6
(a)

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

a
b
c
d
e
f
•
• •
•
•
•
1
2
2
3
4
(b)
H`ınh 4.11:
Bˆo
˙’
d¯ˆe

`
4.4.3 Nˆe
´
u K
n
= (V, E) l`a d¯ˆo
`
thi
.
d¯ˆa
`
y d¯u
˙’
, v`a nˆe
´
u tˆa
´
t ca
˙’
c c´ac tro
.
ng lu
.
o
.
.
ng cu
˙’
a c´ac
ca

.
nh kh´ac nhau th`ı tˆo
`
n ta
.
i duy nhˆa
´
t mˆo
.
t cˆay bao tr`um tˆo
´
i thiˆe
˙’
u T = (V, E
T
).
Ch´u
.
ng minh. K´y hiˆe
.
u E
k
:= {e
1
, e
2
, . . . , e
k
} l`a tˆa
.

p c´ac ca
.
nh d¯u
.
o
.
.
c thˆem v`ao cˆay T trong
Thuˆa
.
t to´an 4.4.1 o
.
˙’
bu
.
´o
.
c lˇa
.
p th´u
.
k, 1 ≤ k ≤ n − 1. Hiˆe
˙’
n nhiˆen theo c´ach xˆay du
.
.
ng, T l`a d¯ˆo
`
thi
.

c´o (n − 1) ca
.
nh v`a khˆong c´o chu tr`ınh nˆen T l`a cˆay bao tr`um cu
˙’
a K
n
.
Gia
˙’
su
.
˙’
T

= (V, E
T

) l`a cˆay bao tr`um tˆo
´
i thiˆe
˙’
u, ta ch´u
.
ng minh E
T

= E
n−1
. Thˆa
.

t vˆa
.
y,
gia
˙’
su
.
˙’
ngu
.
o
.
.
c la
.
i tˆo
`
n ta
.
i chı
˙’
sˆo
´
k nho
˙’
nhˆa
´
t sao cho ca
.
nh e

k
khˆong thuˆo
.
c E
T

. Khi d¯´o theo
t´ınh chˆa
´
t cu
˙’
a cˆay, tˆo
`
n ta
.
i tˆo
`
n ta
.
i mˆo
.
t v`a chı
˙’
mˆo
.
t chu tr`ınh µ trong T

∪ {e
k
}. Trˆen chu tr`ınh

n`ay c´o mˆo
.
t ca
.
nh e
0
m`a e
0
/∈ E
n−1
, v`ı nˆe
´
u ngu
.
o
.
.
c la
.
i tˆo
`
n ta
.
i mˆo
.
t chu tr`ınh, l`a µ, trong cˆay
117

T −mˆau thuˆa
˜

n. Nˆe
´
u d¯ˇa
.
t E
T

:= (E
T

∪ {e
k
}) \ { e
0
}) th`ı d¯ˆo
`
thi
.
T

:= (V, E
T

) khˆong c´o chu
tr`ınh v`a c´o (n − 1) ca
.
nh nˆen n´o l`a mˆo
.
t cˆay.
Mˇa

.
t kh´ac E
k−1
∪ {e
0
} ⊂ E
T

nˆen E
k−1
∪ {e
0
} khˆong ch´u
.
a chu tr`ınh. Suy ra
w(e
0
) > w(e
k
).
Nhu
.
ng cˆay T

nhˆa
.
n d¯u
.
o
.

.
c t`u
.
cˆay T

bˇa
`
ng c´ach thay ca
.
nh e
0
th`anh ca
.
nh e
k
nˆen W (T

) <
W (T

). Mˆau thuˆa
˜
n v`ı T

l`a cˆay bao tr`um tˆo
´
i thiˆe
˙’
u. 
D

-
i
.
nh l´y 4.4.4 Thuˆa
.
t to´an Kruskal l`a d¯´ung; t´u
.
c l`a, kˆe
´
t th´uc thuˆa
.
t to´an T l`a cˆay bao tr`um
tˆo
´
i thiˆe
˙’
u.
Ch´u
.
ng minh. Thˆa
.
t vˆa
.
y tru
.
´o
.
c hˆe
´
t ta thu xˆe

´
p d¯ˆe
˙’
mo
.
i ca
.
nh d¯ˆe
`
u c´o d¯ˆo
.
d`ai kh´ac nhau; chˇa
˙’
ng
ha
.
n nˆe
´
u w(e
1
) = w(e
2
) = · · · = w(e
s
) th`ı thu
.
.
c hiˆe
.
n ph´ep biˆe

´
n d¯ˆo
˙’
i:
w(e
1
) = w(e
1
) + ,
w(e
2
) = w(e
2
) + 
2
,
.
.
.
w(e
s
) = w(e
s
) + 
s
,
trong d¯´o  l`a sˆo
´
du
.

o
.
ng d¯u
˙’
b´e sao cho khˆong l`am d¯a
˙’
o lˆo
.
n th´u
.
tu
.
.
vˆe
`
quan hˆe
.
gi˜u
.
a tro
.
ng lu
.
o
.
.
ng
cu
˙’
a c´ac ca

.
nh.
C˜ung thˆe
´
, ta c˜ung c´o thˆe
˙’
thˆem c´ac ca
.
nh f v´o
.
i tro
.
ng lu
.
o
.
.
ng d¯u
˙’
l´o
.
n w(f) >

e∈E
w(e)
v`a kh´ac nhau sao cho d¯ˆo
`
thi
.
nhˆa

.
n d¯u
.
o
.
.
c K
n
= (V, E

) l`a d¯ˆa
`
y d¯u
˙’
.
Theo Bˆo
˙’
d¯ˆe
`
4.4.3 tˆo
`
n ta
.
i duy nhˆa
´
t mˆo
.
t cˆay bao tr`um tˆo
´
i thiˆe

˙’
u T trong d¯ˆo
`
thi
.
K
n
. Mˇa
.
t
kh´ac, mo
.
i cˆay bao tr`um cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
G c´o tro
.
ng lu
.
o
.
.
ng khˆong vu
.
o
.
.

t qu´a

e∈E
w(e) v`a mo
.
i cˆay
bao tr`um cu
˙’
a G c˜ung l`a cˆay bao tr `um cu
˙’
a K
n
. Suy ra T l`a cˆay bao tr `um tˆo
´
i thiˆe
˙’
u cu
˙’
a G. 
Nhˆa
.
n x´et rˇa
`
ng, c´o thˆe
˙’
d`ung phu
.
o
.
ng ph´ap d¯ˆo

´
i ngˆa
˜
u: loa
.
i dˆa
`
n c´ac ca
.
nh c´o tro
.
ng lu
.
o
.
.
ng
l´o
.
n nhˆa
´
t cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
m`a khˆong l`am mˆa
´
t t´ınh liˆen thˆong cu

˙’
a n´o cho d¯ˆe
´
n khi khˆong thˆe
˙’
loa
.
i
ca
.
nh d¯u
.
o
.
.
c n˜u
.
a.
D
-
ˆo
.
ph´u
.
c ta
.
p t´ınh to´an cu
˙’
a thuˆa
.

t to´an Kruskal phu
.
thuˆo
.
c v`ao Bu
.
´o
.
c 2: d¯ˆo
`
thi
.
c´o m
ca
.
nh cˆa
`
n m log
2
m ph´ep to´an d¯ˆe
˙’
thu
.
.
c hiˆe
.
n sˇa
´
p xˆe
´

p ma
˙’
ng theo tro
.
ng lu
.
o
.
.
ng tˇang dˆa
`
n. Tuy
nhiˆen, n´oi chung ta khˆong cˆa
`
n duyˆe
.
t to`an bˆo
.
ma
˙’
ng v`ı cˆay bao tr`um tˆo
´
i thiˆe
˙’
u gˆo
`
m (n − 1)
ca
.
nh chˆa

´
p nhˆa
.
n d¯u
.
o
.
.
c nˆen chı
˙’
cˆa
`
n kiˆe
˙’
m tra r < m phˆa
`
n tu
.
˙’
d¯ˆa
`
u tiˆen cu
˙’
a ma
˙’
ng. Do d¯´o ta c´o
thˆe
˙’
ca
˙’

i tiˆe
´
n thuˆa
.
t to´an n`ay d¯ˆe
˙’
tˇang tˆo
´
c d¯ˆo
.
thu
.
.
c hiˆe
.
n (xem [14], [36]).
Mˇa
.
c d`u c´o nh˜u
.
ng ca
˙’
i tiˆe
´
n, nhu
.
ng thuˆa
.
t to´an Kruskal chı
˙’

th´ıch ho
.
.
p v´o
.
i nh˜u
.
ng d¯ˆo
`
thi
.
tu
.
o
.
ng d¯ˆo
´
i thu
.
a. V´o
.
i nh˜u
.
ng d¯ˆo
`
thi
.
kh´ac, chˇa
˙’
ng ha

.
n d¯ˆo
`
thi
.
d¯ˆa
`
y d¯u
˙’
c´o sˆo
´
ca
.
nh m = n(n−1)/2,
118

Prim [49] v`a Dijkstra [20] d¯˜a d¯u
.
a ra nh˜u
.
ng thuˆa
.
t to´an kh´ac du
.
.
a trˆen viˆe
.
c d¯ˇa
.
c biˆe

.
t ho´a hiˆe
.
u
qua
˙’
ho
.
n Ph´ep to´an I.
4.4.2 Thuˆa
.
t to´an Prim
Thuˆa
.
t to´an n`ay xˆay du
.
.
ng cˆay T bˇa
`
ng c´ach liˆen tiˆe
´
p thˆem c´ac ca
.
nh c´o tro
.
ng lu
.
o
.
.

ng nho
˙’
nhˆa
´
t
liˆen thuˆo
.
c mˆo
.
t d¯ı
˙’
nh trong cˆay d¯ang d¯u
.
o
.
.
c h`ınh th`anh v`a mˆo
.
t d¯ı
˙’
nh khˆong thuˆo
.
c cˆay n`ay cho
d¯ˆe
´
n khi nhˆa
.
n d¯u
.
o

.
.
c cˆay bao tr`um tˆo
´
i thiˆe
˙’
u. Trong mˆo
˜
i bu
.
´o
.
c lˇa
.
p, qu´a tr`ınh thˆem ca
.
nh n`ay
s˜e ba
˙’
o d¯a
˙’
m khˆong ta
.
o th`anh chu tr`ınh trong T.
Ch´ung ta minh ho
.
a thuˆa
.
t to´an bˇa
`

ng c´ach su
.
˙’
du
.
ng “ma trˆa
.
n tro
.
ng lu
.
o
.
.
ng” W =
(w
ij
)
n×n
, trong d¯´o
w
ij
=





0 nˆe
´

u i = j,
+∞ nˆe
´
u khˆong tˆo
`
n ta
.
i ca
.
nh (v
i
, v
j
),
w(v
i
, v
j
) nˆe
´
u tˆo
`
n ta
.
i ca
.
nh (v
i
, v
j

).
Kho
.
˙’
i d¯ˆa
`
u t`u
.
d¯ı
˙’
nh v
1
v`a nˆo
´
i n´o d¯ˆe
´
n mˆo
.
t d¯ı
˙’
nh kˆe
`
gˆa
`
n nhˆa
´
t (t´u
.
c l`a d¯ı
˙’

nh m`a c´o phˆa
`
n tu
.
˙’
nho
˙’
nhˆa
´
t trong h`ang th´u
.
nhˆa
´
t trong ma trˆa
.
n W ), gia
˙’
su
.
˙’
l`a v
k
. Bˆay gi`o
.
kha
˙’
o s´at v
1
v`a v
k

nhu
.
mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
con, v`a nˆo
´
i d¯ˆo
`
thi
.
con n`ay v´o
.
i mˆo
.
t d¯ı
˙’
nh kˆe
`
v´o
.
i n´o v`a gˆa
`
n nhˆa
´
t (t´u
.

c l`a d¯ı
˙’
nh
kh´ac v
1
v`a v
k
m`a c´o phˆa
`
n tu
.
˙’
nho
˙’
nhˆa
´
t trong tˆa
´
t ca
˙’
c´ac phˆa
`
n tu
.
˙’
cu
˙’
a h`ang th´u
.
nhˆa

´
t v`a th´u
.
k trong W ). Gia
˙’
su
.
˙’
d¯ı
˙’
nh m´o
.
i l`a v
i
. Kˆe
´
tiˆe
´
p, xem cˆay v´o
.
i c´ac d¯ı
˙’
nh v
1
, v
k
, v
i
nhu
.

mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
con, v`a tiˆe
´
p tu
.
c xu
.
˙’
l´y cho d¯ˆe
´
n khi tˆa
´
t ca
˙’
n d¯ı
˙’
nh d¯u
.
o
.
.
c nˆo
´
i bo
.

˙’
i (n − 1) ca
.
nh.
Tˆo
˙’
ng qu´at ta c´o thuˆa
.
t to´an d¯u
.
o
.
.
c tr`ınh b`ay nhu
.
sau:
1. [Kho
.
˙’
i ta
.
o] Gia
˙’
su
.
˙’
T l`a d¯ˆo
`
thi
.

chı
˙’
c´o mˆo
.
t d¯ı
˙’
nh v
1
v`a khˆong c´o ca
.
nh.
2. [Kˆe
´
t th´uc] Nˆe
´
u T c´o (n − 1) ca
.
nh th`ı thuˆa
.
t to´an d`u
.
ng; T l`a cˆay bao tr`um tˆo
´
i thiˆe
˙’
u.
3. [Thˆem ca
.
nh] Trong sˆo
´

tˆa
´
t ca
˙’
c´ac ca
.
nh khˆong thuˆo
.
c cˆay T m`a liˆen thuˆo
.
c v´o
.
i mˆo
.
t d¯ı
˙’
nh
trong T v`a khˆong ta
.
o th`anh chu tr`ınh khi thˆem v`ao T, cho
.
n ca
.
nh c´o tro
.
ng lu
.
o
.
.

ng nho
˙’
nhˆa
´
t v`a thˆem n´o v`a d¯ı
˙’
nh n´o liˆen thuˆo
.
c v`ao cˆay T. Chuyˆe
˙’
n sang Bu
.
´o
.
c 2.
V´ı du
.
4.4.5
´
Ap du
.
ng Thuˆa
.
t to´an Prim cho d¯ˆo
`
thi
.
trong H`ınh 4.12(a) v´o
.
i d¯ı

˙’
nh xuˆa
´
t ph´at
l`a v
1
ta c´o c´ac ca
.
nh d¯u
.
o
.
.
c lˆa
`
n lu
.
o
.
.
t thˆem v`ao cˆay T theo th´u
.
tu
.
.
l`a
(v
1
, v
5

), (v
1
, v
4
), (v
4
, v
2
), (v
2
, v
3
), (v
2
, v
6
).
Cˆay bao tr`um nho
˙’
nhˆa
´
t c´o tro
.
ng lu
.
o
.
.
ng 12 (H`ınh 4.12(b)).
119

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
v
1
v
2
v
3
v
4
v
5
v
6
•
•
•
•
••
v

1
v
2
v
3
v
4
v
5
v
6
•
•
•
•
••
2 8
1
3 6 5
9
7
4 2
(a)

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
1
3
4 2
(b)
H`ınh 4.12: (a) D
-
ˆo
`
thi
.

G. (b) Cˆay bao tr`um nho
˙’
nhˆa
´
t cu
˙’
a G sinh bo
.
˙’
i Thuˆa
.
t to´an Prim.
Thuˆa
.
t to´an Prim l`a mˆo
.
t v´ı du
.
cu
˙’
a thuˆa
.
t to´an tham lam (greedy algorithm). Thuˆa
.
t
to´an tham lam l`a thuˆa
.
t to´an cho
.
n lu

.
.
a tˆo
´
i u
.
u ta
.
i mˆo
˜
i bu
.
´o
.
c lˇa
.
p m`a khˆong quan tˆam d¯ˆe
´
n
su
.
.
cho
.
n lu
.
.
a o
.
˙’

bu
.
´o
.
c tru
.
´o
.
c. C´o thˆe
˙’
n´oi nguyˆen l´y n`ay l`a “thu
.
.
c hiˆe
.
n tˆo
´
t nhˆa
´
t vˆe
`
mˇa
.
t d¯i
.
a
phu
.
o
.

ng”. Trong thuˆa
.
t to´an Prim, v`ı ch´ung ta muˆo
´
n t`ım cˆay bao tr`um tˆo
´
i thiˆe
˙’
u nˆen ta
.
i mˆo
˜
i
bu
.
´o
.
c lˇa
.
p ch´ung ta thˆem mˆo
.
t ca
.
nh c´o tro
.
ng lu
.
o
.
.

ng nho
˙’
nhˆa
´
t (nˆe
´
u viˆe
.
c thˆem khˆong ta
.
o th`anh
chu tr`ınh).
Tˆo
´
i u
.
u ho´a ta
.
i mˆo
˜
i bu
.
´o
.
c lˇa
.
p khˆong nhˆa
´
t thiˆe
´

t cho l`o
.
i gia
˙’
i tˆo
´
i u
.
u cu
˙’
a b`ai to´an gˆo
´
c.
T´ınh d¯´ung d¯ˇa
´
n cu
˙’
a thuˆa
.
t to´an Prim s˜e d¯u
.
o
.
.
c ch´u
.
ng minh trong D
-
i
.

nh l´y 4.4.6. Mˆo
.
t v´ı du
.
cu
˙’
a thuˆa
.
t to´an tham lam nhu
.
ng khˆong d¯u
.
a d¯ˆe
´
n l`o
.
i gia
˙’
i tˆo
´
i u
.
u nhu
.
sau: x´et “thuˆa
.
t to´an t`ım
d¯u
.
`o

.
ng d¯i ngˇa
´
n nhˆa
´
t” trong d¯´o, mˆo
˜
i bu
.
´o
.
c lˇa
.
p ch´ung ta cho
.
n ca
.
nh c´o tro
.
ng lu
.
o
.
.
ng nho
˙’
nhˆa
´
t
(m`a khˆong ta

.
o th`anh chu tr`ınh khi thˆem v`ao) liˆen thuˆo
.
c v´o
.
i d¯ı
˙’
nh d¯u
.
o
.
.
c thˆem v`ao gˆa
`
n d¯ˆay
nhˆa
´
t. Nˆe
´
u ta ´ap du
.
ng thuˆa
.
t to´an n`ay v´o
.
i d¯ˆo
`
thi
.
c´o hu

.
´o
.
ng trong H`ınh 4.13 d¯ˆe
˙’
t`ım d¯u
.
`o
.
ng d¯i
ngˇa
´
n nhˆa
´
t t `u
.
v
1
d¯ˆe
´
n v
4
, ch´ung ta s˜e cho
.
n cung (v
1
, v
3
) v`a sau d¯´o cung (v
3

, v
4
). Tuy nhiˆen,
d¯ˆay khˆong pha
˙’
i l`a d¯u
.
`o
.
ng d¯i ngˇa
´
n nhˆa
´
t t`u
.
v
1
d¯ˆe
´
n v
4
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
v
1
v
2
v
3
v
4
•
•
•
•
2
1
4
6
8
H`ınh 4.13:
D
-
i
.
nh l´y sau ch´u
.
ng minh t´ınh d¯´ung d¯ˇa
´
n cu
˙’

a thuˆa
.
t to´an Prim.
120

D
-
i
.
nh l´y 4.4.6 Thuˆa
.
t to´an Prim l`a d¯´ung; t´u
.
c l`a, kˆe
´
t th´uc thuˆa
.
t to´an T l`a cˆay bao tr`um tˆo
´
i
thiˆe
˙’
u.
Ch´u
.
ng minh. Trong ch´u
.
ng minh n`ay ch´ung ta s˜e d¯ˇa
.
c tru

.
ng cˆay bo
.
˙’
i ma
˙’
ng c´ac ca
.
nh cu
˙’
a n´o.
Theo c´ach xˆay du
.
.
ng, kˆe
´
t th´uc Thuˆa
.
t to´an Prim, T l`a d¯ˆo
`
thi
.
con liˆen thˆong khˆong chu
tr`ınh cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
G v`a ch´u

.
a tˆa
´
t ca
˙’
c´ac d¯ı
˙’
nh cu
˙’
a G; do d¯´o T l`a cˆay bao tr`um cu
˙’
a G.
D
-
ˆe
˙’
chı
˙’
ra T l`a cˆay bao tr`um tˆo
´
i thiˆe
˙’
u, ch´ung ta ch´u
.
ng minh bˇa
`
ng quy na
.
p rˇa
`

ng o
.
˙’
bu
.
´o
.
c
th´u
.
k cu
˙’
a Thuˆa
.
t to´an Prim, T d¯u
.
o
.
.
c ch´u
.
a trong mˆo
.
t cˆay bao tr`um tˆo
´
i thiˆe
˙’
u. V`a do d¯´o, kˆe
´
t

th´uc thuˆa
.
t to´an T l`a cˆay bao tr`um tˆo
´
i thiˆe
˙’
u. K´y hiˆe
.
u T
k
l`a cˆay d¯u
.
o
.
.
c ta
.
o ra o
.
˙’
bu
.
´o
.
c lˇa
.
p th´u
.
k.
Nˆe

´
u k = 1 th`ı T
1
gˆo
`
m mˆo
.
t d¯ı
˙’
nh v`a do d¯´o d¯u
.
o
.
.
c ch´u
.
a trong mo
.
i cˆay bao tr`um tˆo
´
i thiˆe
˙’
u.
Khˇa
˙’
ng d¯i
.
nh d¯´ung.
Gia
˙’

su
.
˙’
rˇa
`
ng o
.
˙’
bu
.
´o
.
c th´u
.
(k − 1) cu
˙’
a Thuˆa
.
t to´an Prim, cˆay T
k−1
ch´u
.
a trong cˆay bao
tr`um tˆo
´
i thiˆe
˙’
u T

. K´y hiˆe

.
u V
k−1
l`a tˆa
.
p c´ac d¯ı
˙’
nh cu
˙’
a T
k−1
. Theo Thuˆa
.
t to´an Prim, ca
.
nh
e = (v
i
, v
j
) c´o tro
.
ng lu
.
o
.
.
ng nho
˙’
nhˆa

´
t v´o
.
i v
i
∈ V
k−1
v`a v
j
/∈ V
k−1
d¯u
.
o
.
.
c thˆem v`ao T
k−1
d¯ˆe
˙’
ta
.
o
ra T
k
. Nˆe
´
u e ∈ T

th`ı T

k
ch´u
.
a trong cˆay bao tr`um tˆo
´
i thiˆe
˙’
u T

. Nˆe
´
u e /∈ T

th`ı T

∪ {e} ch´u
.
a
mˆo
.
t chu tr`ınh µ. Cho
.
n ca
.
nh (v
x
, v
y
) = e trˆen chu tr`ınh µ sao cho v
x

∈ V
k−1
v`a v
y
/∈ V
k−1
.
Ta c´o
w(x, y) ≥ w(i, j ).
Suy ra d¯ˆo
`
thi
.
T ” := [T

∪ {e}] − {(v
x
, v
y
)} c´o tro
.
ng lu
.
o
.
.
ng nho
˙’
ho
.

n hoˇa
.
c bˇa
`
ng tro
.
ng lu
.
o
.
.
ng
cu
˙’
a T

. V`ı T ” l`a cˆay bao tr`um nˆen T” l`a cˆay bao tr`um tˆo
´
i thiˆe
˙’
u. Do d¯´o ta c´o d¯iˆe
`
u cˆa
`
n ch´u
.
ng
minh. 
Thuˆa
.

t to´an Prim cˆa
`
n kiˆe
˙’
m tra O(n
3
) ca
.
nh trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p xˆa
´
u nhˆa
´
t (b`ai tˆa
.
p) d¯ˆe
˙’
x´ac d¯i
.
nh cˆay bao tr`um tˆo
´
i thiˆe
˙’
u trong d¯ˆo

`
thi
.
n d¯ı
˙’
nh. Ch´ung ta c´o thˆe
˙’
chı
˙’
ra Thuˆa
.
t to´an
4.4.3 du
.
´o
.
i d¯ˆay chı
˙’
cˆa
`
n kiˆe
˙’
m tra O(n
2
) ca
.
nh trong tru
.
`o
.

ng ho
.
.
p xˆa
´
u nhˆa
´
t. V`ı K
n
c´o n
2
ca
.
nh
nˆen thuˆa
.
t to´an sau hiˆe
.
u qua
˙’
ho
.
n.
4.4.3 Thuˆa
.
t to´an Dijkstra-Kevin-Whitney
Thuˆa
.
t to´an du
.

´o
.
i d¯ˆay t`ım cˆay bao tr`um tˆo
´
i thiˆe
˙’
u trong d¯ˆo
`
thi
.
liˆen thˆong c´o tro
.
ng sˆo
´
hiˆe
.
u
qua
˙’
ho
.
n phu
.
o
.
ng ph´ap cu
˙’
a Prim. Phu
.
o

.
ng ph´ap sau n`ay d¯u
.
a ra bo
.
˙’
i Dijkstra [20], v`a bo
.
˙’
i
Kevin v`a Whitney [41].
´
Y tu
.
o
.
˙’
ng cu
˙’
a thuˆa
.
t to´an l`a g´an mˆo
˜
i d¯ı
˙’
nh v
j
/∈ T
s
mˆo

.
t nh˜an (α
j
, β
j
), trong d¯´o o
.
˙’
bu
.
´o
.
c
n`ao d¯´o α
j
l`a d¯ı
˙’
nh thuˆo
.
c T
s
gˆa
`
n v´o
.
i d¯ı
˙’
nh v
j
nhˆa

´
t v`a β
j
l`a d¯ˆo
.
d`ai ca
.
nh (α
j
, v
j
). Ta
.
i mˆo
˜
i bu
.
´o
.
c
121

trong suˆo
´
t qu´a tr`ınh thu
.
.
c hiˆe
.
n thuˆa

.
t to´an, mˆo
.
t d¯ı
˙’
nh m´o
.
i, chˇa
˙’
ng ha
.
n v
j
∗
, v´o
.
i gi´a tri
.
β
j
nho
˙’
nhˆa
´
t d¯u
.
o
.
.
c thˆem c`ung v´o

.
i ca
.
nh (α
j
∗
, v
j
∗
) v`ao cˆay T
s
. V`ı cˆay T
s
d¯u
.
o
.
.
c thˆem d¯ı
˙’
nh v
j
∗
nˆen c´ac
nh˜an (α
j
, β
j
) cu
˙’

a c´ac d¯ı
˙’
nh v
j
/∈ T
s
cˆa
`
n d¯u
.
o
.
.
c cˆa
.
p nhˆa
.
t la
.
i (nˆe
´
u, chˇa
˙’
ng ha
.
n, w(v
j
, v
j
∗

) nho
˙’
ho
.
n nh˜an tru
.
´o
.
c d¯´o β
j
), v`a tiˆe
´
n tr`ınh d¯u
.
o
.
.
c xu
.
˙’
l´y tiˆe
´
p tu
.
c. Thu
˙’
tu
.
c g´an nh˜an n`ay tu
.

o
.
ng tu
.
.
v´o
.
i thu
˙’
tu
.
c g´an nh˜an cu
˙’
a thuˆa
.
t to´an Dijkstra t`ım d¯u
.
`o
.
ng d¯i ngˇa
´
n nhˆa
´
t.
Thuˆa
.
t to´an nhu
.
sau:
1. [Kho

.
˙’
i ta
.
o] D
-
ˇa
.
t T
s
:= {s}, trong d¯´o s l`a d¯ı
˙’
nh d¯u
.
o
.
.
c cho
.
n tu`y ´y, v`a A
s
= ∅. (A
s
l`a tˆa
.
p
c´ac ca
.
nh cu
˙’

a cˆay bao tr`um nho
˙’
nhˆa
´
t d¯u
.
o
.
.
c ta
.
o ra trong qu´a tr`ınh lˇa
.
p).
2. [G´an nh˜an] V´o
.
i mo
.
i d¯ı
˙’
nh v
j
/∈ T
s
t`ım d¯ı
˙’
nh α
j
∈ T
s

sao cho
w(α
j
, v
j
) = min{w(v
i
, v
j
) | v
i
∈ T
s
} = β
j
v`a g´an nh˜an cu
˙’
a d¯ı
˙’
nh v
j
l`a (α
j
, β
j
).
Nˆe
´
u khˆong tˆo
`

n ta
.
i d¯ı
˙’
nh α
j
, t´u
.
c l`a Γ(v
j
) ∩ T
s
= ∅ th`ı d¯ˇa
.
t nh˜an cu
˙’
a v
j
l`a (0, +∞).
3. [Thˆem ca
.
nh] Cho
.
n d¯ı
˙’
nh v
j
∗
sao cho
β

j
∗
= min{β
j
| v
j
/∈ T
s
}.
Cˆa
.
p nhˆa
.
t T
s
:= T
s
∪ {v
j
∗
}, A
s
:= A
s
∪ {(α
j
∗
, v
j
∗

)}.
Nˆe
´
u #T
s
= n thuˆa
.
t to´an d`u
.
ng; c´ac ca
.
nh trong A
s
cho cˆay bao tr`um nho
˙’
nhˆa
´
t. Ngu
.
o
.
.
c
la
.
i, chuyˆe
˙’
n sang Bu
.
´o

.
c 4.
4. [Cˆa
.
p nhˆa
.
t nh˜an] V´o
.
i mo
.
i v
j
/∈ T
s
v`a v
j
∈ Γ(v
j
∗
) cˆa
.
p nhˆa
.
t c´ac nh˜an nhu
.
sau:
Nˆe
´
u β
j

> w(v
j
∗
, v
j
) th`ı d¯ˇa
.
t β
j
= w(v
j
∗
, v
j
), α
j
= v
j
∗
. Chuyˆe
˙’
n sang Bu
.
´o
.
c 3.
4.5 B`ai to´an Steiner
Trong phˆa
`
n tru

.
´o
.
c ch´ung ta d¯˜a x´et b`ai to´an t`ım cˆay bao tr`um nho
˙’
nhˆa
´
t. Mˆo
.
t b`ai to´an c´o
liˆen quan v´o
.
i t`ım cˆay bao tr`um nho
˙’
nhˆa
´
t nhu
.
ng kh´o ho
.
n nhiˆe
`
u l`a “b`ai to´an Steiner trong
c´ac d¯ˆo
`
thi
.
” [21]. Trong b`ai to´an Steiner, cˆay bao tr`um nho
˙’
nhˆa

´
t T d¯`oi ho
˙’
i d¯i qua mˆo
.
t tˆa
.
p
con P ⊂ V cho tru
.
´o
.
c cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
G. C´ac d¯ı
˙’
nh kh´ac (thuˆo
.
c V \ P ) c´o thˆe
˙’
thuˆo
.
c hoˇa
.
c khˆong
thuˆo

.
c cˆay v´o
.
i d¯iˆe
`
u kiˆe
.
n cu
.
.
c tiˆe
˙’
u tro
.
ng lu
.
o
.
.
ng cu
˙’
a cˆay T. Do d¯´o, b`ai to´an Steiner trˆen d¯ˆo
`
thi
.
tu
.
o
.
ng d¯u

.
o
.
ng v´o
.
i t`ım cˆay bao tr`um nho
˙’
nhˆa
´
t trong d¯ˆo
`
thi
.
con G

= (V

, Γ

) cu
˙’
a G v´o
.
i
P ⊆ V

⊆ V.
Thˆa
.
t ra, b`ai to´an Steiner d¯u

.
o
.
.
c ph´at biˆe
˙’
u o
.
˙’
da
.
ng nguyˆen thuy
˙’
l`a mˆo
.
t b`ai to´an h`ınh
ho
.
c [15], trong d¯´o tˆa
.
p P c´ac d¯iˆe
˙’
m trˆen mˇa
.
t phˇa
˙’
ng d¯u
.
o
.

.
c nˆo
´
i v´o
.
i nhau bˇa
`
ng c´ac d¯oa
.
n thˇa
˙’
ng
122

sao cho tˆo
˙’
ng c´ac d¯oa
.
n thˇa
˙’
ng d¯u
.
o
.
.
c v˜e l`a ´ıt nhˆa
´
t. Nˆe
´
u gia

˙’
thiˆe
´
t hai d¯oa
.
n thˇa
˙’
ng chı
˙’
c´o thˆe
˙’
cˇa
´
t nhau ta
.
i c´ac d¯ı
˙’
nh cu
˙’
a P th`ı b`ai to´an tro
.
˙’
th`anh t`ım cˆay bao tr`um nho
˙’
nhˆa
´
t cu
˙’
a d¯ˆo
`

thi
.
tu
.
o
.
ng d¯u
.
o
.
ng c´o #P d¯ı
˙’
nh v´o
.
i ma trˆa
.
n trong lu
.
o
.
.
ng x´ac d¯i
.
nh bo
.
˙’
i ma trˆa
.
n khoa
˙’

ng c´ach gi˜u
.
a
c´ac d¯iˆe
˙’
m thuˆo
.
c tˆa
.
p P. Tuy nhiˆen, khi c´ac “d¯ı
˙’
nh nhˆan ta
.
o” kh´ac (go
.
i l`a c´ac d¯iˆe
˙’
m Steiner)
d¯u
.
o
.
.
c ta
.
o thˆem trˆen mˇa
.
t phˇa
˙’
ng th`ı tro

.
ng lu
.
o
.
.
ng cu
˙’
a cˆay bao tr`um nho
˙’
nhˆa
´
t tu
.
o
.
ng ´u
.
ng tˆa
.
p
d¯ı
˙’
nh m´o
.
i P

⊃ P s˜e c´o thˆe
˙’
gia

˙’
m d¯i. Chˇa
˙’
ng ha
.
n, x´et bˆo
´
n d¯iˆe
˙’
m trong H`ınh 4.14(a) v´o
.
i cˆay
bao tr`um nho
˙’
nhˆa
´
t T ; tuy nhiˆen khi thˆem hai d¯iˆe
˙’
m m´o
.
i s
1
v`a s
2
ta d¯u
.
o
.
.
c cˆay bao tr`um nho

˙’
nhˆa
´
t m´o
.
i T

qua s´au d¯ı
˙’
nh c´o tro
.
ng lu
.
o
.
.
ng nho
˙’
ho
.
n cˆay T (xem H`ınh 4.14(b)). Do d¯´o trong
b`ai to´an Steiner gˆo
´
c, nhiˆe
`
u d¯iˆe
˙’
m Steiner d¯u
.
o

.
.
c thˆem v`ao trong mˇa
.
t phˇa
˙’
ng d¯ˆe
˙’
ta
.
o ra cˆay bao
tr`um nho
˙’
nhˆa
´
t qua nh˜u
.
ng d¯ı
˙’
nh cho tru
.
´o
.
c P. Kˆe
´
t qua
˙’
d¯u
.
o

.
.
c d¯ˆo
`
thi
.
go
.
i l`a cˆay Steiner nho
˙’
nhˆa
´
t.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
P
1
(0, 3)
P
2
(0, 1)
P
3
(4, 4)
P
4
(4, 0)
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
s
1
s
2

C´ac d¯iˆe
˙’
m
Steiner
P
1
P
2
P
3
P
4
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
120
0
120
0
H`ınh 4.14: (a) Cˆay bao tr`um nho
˙’
nhˆa
´
t c´o tro

.
ng lu
.
o
.
.
ng bˇa
`
ng 10.123. (b) Cˆay Steiner nho
˙’
nhˆa
´
t c´o tro
.
ng lu
.
o
.
.
ng 9.196.
C´o rˆa
´
t nhiˆe
`
u cˆong tr`ınh nghiˆen c´u
.
u xung quanh b`ai to´an Steiner trˆen mˇa
.
t phˇa
˙’

ng
Euclide, v`a nhiˆe
`
u t´ınh chˆa
´
t cu
˙’
a cˆay Steiner nho
˙’
nhˆa
´
t d¯u
.
o
.
.
c ph´at hiˆe
.
n. Trong sˆo
´
d¯´o, c´ac t´ınh
chˆa
´
t sau l`a quan tro
.
ng nhˆa
´
t (ch´u
.
ng minh c´ac t´ınh chˆa

´
t n`ay c´o thˆe
˙’
xem [28]):
1. D
-
ˆo
´
i v´o
.
i d¯iˆe
˙’
m Steiner s
i
c´o bˆa
.
c d(s
i
) = 3. Bˇa
`
ng h`ınh ho
.
c dˆe
˜
d`ang chı
˙’
ra rˇa
`
ng g´oc liˆen
thuˆo

.
c gi˜u
.
a c´ac d¯iˆe
˙’
m Steiner bˆa
.
c ba bˇa
`
ng 120
0
, v`a c´o d¯´ung ba ca
.
nh liˆen thuˆo
.
c v´o
.
i d¯iˆe
˙’
m
Steiner s
i
. Do d¯´o d¯iˆe
˙’
m n`ay l`a “tˆam” (tˆam Steiner) cu
˙’
a “tam gi´ac a
˙’
o” m`a ba d¯ı
˙’

nh cu
˙’
a
tam gi´ac kh´ac nhau d¯u
.
o
.
.
c nˆo
´
i v´o
.
i d¯ı
˙’
nh s
i
trong cˆay bao Steiner nho
˙’
nhˆa
´
t.
Mˆo
.
t sˆo
´
d¯iˆe
˙’
m ta
.
o th`anh c´ac d¯ı

˙’
nh cu
˙’
a tam gi´ac n`ay c´o thˆe
˙’
l`a c´ac d¯iˆe
˙’
m Steiner kh´ac.
Chˇa
˙’
ng ha
.
n, trong H`ınh 4.14, d¯iˆe
˙’
m Steiner s
2
l`a tˆam Steiner cu
˙’
a tam gi´ac a
˙’
o v´o
.
i c´ac
d¯ı
˙’
nh l`a P
3
, P
4
v`a s

1
.
2. V´o
.
i d¯ı
˙’
nh P
i
∈ P n`ao d¯´o m`a d(P
i
) ≤ 3. Nˆe
´
u d(P
i
) = 3 th`ı g´oc gi˜u
.
a hai ca
.
nh bˆa
´
t k`y
123

Đồ thị và các thuật toán - Chương 4 doc

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về