Đồ thị và các thuật toán - Chương 2 ppt

Chu
.
o
.
ng 2
C´ac sˆo
´
co
.
ba
˙’
n cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
2.1 Chu sˆo
´
Kh´ai niˆe
.
m m`a ch´ung ta s˜e d¯ˆe
`
cˆa
.
p o
.
˙’
d¯ˆay khˆong phu
.

thuˆo
.
c v`ao su
.
.
d¯i
.
nh hu
.
´o
.
ng: ta s˜e n´oi vˆe
`
ca
.
nh ch´u
.
khˆong pha
˙’
i cung. D
-
ˆe
˙’
tˆo
˙’
ng qu´at x´et d¯a d¯ˆo
`
thi
.
vˆo hu

.
´o
.
ng G := (V, E) c´o n d¯ı
˙’
nh, m
ca
.
nh v`a p th`anh phˆa
`
n liˆen thˆong. D
-
ˇa
.
t
ρ(G) := n − p,
ν(G) := m − ρ(G) = m − n + p.
Ta go
.
i ν(G) l`a chu sˆo
´
cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
G.
D
-

i
.
nh l´y 2.1.1 Cho d¯a d¯ˆo
`
thi
.
vˆo hu
.
´o
.
ng G = (V, E). Gia
˙’
su
.
˙’
G

l`a d¯ˆo
`
thi
.
nhˆa
.
n d¯u
.
o
.
.
c t`u
.

G
bˇa
`
ng c´ach nˆo
´
i hai d¯ı
˙’
nh a v`a b cu
˙’
a G bo
.
˙’
i mˆo
.
t ca
.
nh m´o
.
i; nˆe
´
u a v`a b tr`ung nhau hoˇa
.
c c´o thˆe
˙’
nˆo
´
i v´o
.
i nhau bo
.

˙’
i mˆo
.
t dˆay chuyˆe
`
n cu
˙’
a G th`ı
ρ(G

) = ρ(G), ν(G

) = ν(G) + 1;
trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p ngu
.
o
.
.
c la
.
i
ρ(G


) = ρ(G) + 1, ν(G

) = ν(G).
Ch´u
.
ng minh. Theo c´ach xˆay du
.
.
ng, d¯a d¯ˆo
`
thi
.
G

c´o n

= n d¯ı
˙’
nh, m

= m + 1 ca
.
nh v`a gia
˙’
su
.
˙’
G

c´o p


th`anh phˆa
`
n liˆen thˆong.
Nˆe
´
u a ≡ b hoˇa
.
c c´o mˆo
.
t dˆay chuyˆe
`
n nˆo
´
i a v´o
.
i b. Khi d¯´o ph´ep biˆe
´
n d¯ˆo
˙’
i G th`anh G

khˆong thay d¯ˆo
˙’
i sˆo
´
th`anh phˆa
`
n liˆen thˆong, t´u
.

c l`a p = p

. Do d¯´o
ρ(G

) = n

− p

= n − p = ρ(G),
ν(G

) = m

− ρ(G

) = ν(G) + 1.
49

Ngu
.
o
.
.
c la
.
i, nˆe
´
u a = b v`a khˆong tˆo
`

n ta
.
i dˆay chuyˆe
`
n nˆo
´
i a v`a b, th`ı do c´ach x´ac d¯i
.
nh G

ta c´o p

= p − 1. Suy ra
ρ(G

) = n

− p

= n − (p − 1) = n − p + 1 = ρ(G) + 1,
ν(G

) = m

− ρ(G

) = (m + 1) − (ρ (G) + 1) = m − ρ(G) = ν(G).

Hˆe
.

qua
˙’
2.1.2 ρ(G) ≥ 0 v`a ν(G) ≥ 0.
Ch´u
.
ng minh. Thˆa
.
t vˆa
.
y, xuˆa
´
t ph´at t`u
.
d¯ˆo
`
thi
.
th`anh lˆa
.
p bˇa
`
ng c´ac d¯ı
˙’
nh cu
˙’
a d¯a d¯ˆo
`
thi
.
vˆo

hu
.
´o
.
ng G, d¯ı
˙’
nh no
.
cˆo lˆa
.
p v´o
.
i d¯ı
˙’
nh kia, ta xˆay du
.
.
ng G

dˆa
`
n dˆa
`
n t`u
.
ng ca
.
nh mˆo
.
t; kho

.
˙’
i d¯ˆa
`
u ta
c´o ρ = 0, ν = 0; mˆo
˜
i khi thˆem mˆo
.
t ca
.
nh, th`ı hoˇa
.
c ρ tˇang v`a l´uc d¯´o ν khˆong d¯ˆo
˙’
i, hoˇa
.
c ν tˇang
v`a l´uc d¯´o ρ khˆong d¯ˆo
˙’
i. Nhu
.
vˆa
.
y, trong qu´a tr`ınh xˆay du
.
.
ng d¯ˆo
`
thi

.
G

, c´ac sˆo
´
ρ v`a ν chı
˙’
c´o
thˆe
˙’
tˇang. 
D
-
ˆe
˙’
c´o thˆe
˙’
vˆa
.
n du
.
ng nh˜u
.
ng kˆe
´
t qua
˙’
phong ph´u cu
˙’
a d¯a

.
i sˆo
´
vector trong viˆe
.
c nghiˆen c´u
.
u,
ngu
.
`o
.
i ta thu
.
`o
.
ng d¯ˇa
.
t tu
.
o
.
ng ´u
.
ng mˆo
˜
i chu tr`ınh trong G v´o
.
i mˆo
.

t vector theo c´ach sau d¯ˆay.
Mˆo
˜
i ca
.
nh cu
˙’
a d¯a d¯ˆo
`
thi
.
G d¯ˆe
`
u d¯u
.
o
.
.
c d¯i
.
nh hu
.
´o
.
ng mˆo
.
t c´ach t`uy ´y; nˆe
´
u chu tr`ınh µ d¯i
qua ca

.
nh e
k
, r
k
lˆa
`
n thuˆa
.
n hu
.
´o
.
ng v`a s
k
lˆa
`
n ngu
.
o
.
.
c hu
.
´o
.
ng th`ı ta d¯ˇa
.
t c
k

:= r
k
− s
k
(nˆe
´
u e
k
l`a
mˆo
.
t khuyˆen th`ı ta luˆon qui u
.
´o
.
c s
k
= 0). Vector m chiˆe
`
u
(c
1
, c
2
, . . . , c
m
)
go
.
i l`a vector chu tr`ınh tu

.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
i µ v`a k´y hiˆe
.
u l`a µ (hay l`a µ nˆe
´
u khˆong thˆe
˙’
gˆay ra
nhˆa
`
m lˆa
˜
n).
C´ac chu tr`ınh µ, µ

, µ

, . . . go
.
i l`a d¯ˆo
.
c lˆa
.
p nˆe

´
u c´ac vector chu tr`ınh tu
.
o
.
ng ´u
.
ng d¯ˆo
.
c lˆa
.
p
tuyˆe
´
n t´ınh. Ch´u ´y rˇa
`
ng, d¯i
.
nh ngh˜ıa n`ay khˆong phu
.
thuˆo
.
c v`ao hu
.
´o
.
ng g´an cho c´ac ca
.
nh.
D

-
i
.
nh l´y 2.1.3 Chu sˆo
´
ν(G) cu
˙’
a G = (V, E) bˇa
`
ng sˆo
´
cu
.
.
c d¯a
.
i c´ac chu tr`ınh d¯ˆo
.
c lˆa
.
p.
Ch´u
.
ng minh. Tiˆe
´
n h`anh nhu
.
trong Hˆe
.
qua

˙’
2.1.2: d¯ˆa
`
u tiˆen ta lˆa
´
y d¯ˆo
`
thi
.
vˆo hu
.
´o
.
ng khˆong
c´o ca
.
nh v´o
.
i tˆa
.
p c´ac d¯ı
˙’
nh l`a V. Sau d¯´o ta xˆay du
.
.
ng d¯a d¯ˆo
`
thi
.
G


bˇa
`
ng c´ach thˆem t`u
.
ng ca
.
nh
mˆo
.
t v`ao. Theo D
-
i
.
nh l´y 2.1.1, chu sˆo
´
s˜e tˇang mˆo
.
t d¯o
.
n vi
.
nˆe
´
u ca
.
nh thˆem v`ao lˆa
.
p ra c´ac chu
tr`ınh m´o

.
i, chu sˆo
´
khˆong thay d¯ˆo
˙’
i trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p ngu
.
o
.
.
c la
.
i.
Gia
˙’
su
.
˙’
, tru
.
´o
.
c khi thˆem ca

.
nh e
k
ta d¯˜a c´o mˆo
.
t co
.
so
.
˙’
gˆo
`
m c´ac chu tr`ınh d¯ˆo
.
c lˆa
.
p:
µ
1
, µ
2
, µ
3
, . . . ; v`a sau khi thˆem ca
.
nh e
k
xuˆa
´
t hiˆe

.
n thˆem c´ac chu tr`ınh so
.
cˆa
´
p m´o
.
i γ
1
, γ
2
, . . . ,
n`ao d¯´o. Hiˆe
˙’
n nhiˆen γ
1
khˆong thˆe
˙’
biˆe
˙’
u diˆe
˜
n tuyˆe
´
n t´ınh qua hˆe
.
c´ac chu tr`ınh µ
j
(v`ı c´ac vector
50

tu
.
o
.
ng ´u
.
ng c´ac chu tr`ınh µ
j
c´o th`anh phˆa
`
n th´u
.
k bˇa
`
ng khˆong, trong khi vector tu
.
o
.
ng ´u
.
ng
chu tr`ınh γ
1
c´o th`anh phˆa
`
n th´u
.
k kh´ac khˆong). Mˇa
.

t kh´ac c´ac vector γ
2
, γ
3
, . . . c´o thˆe
˙’
biˆe
˙’
u
diˆe
˜
n tuyˆe
´
n t´ınh qua γ
1
, µ
1
, µ
2
, µ
3
, . . . . T´om la
.
i mˆo
˜
i khi chu sˆo
´
tˇang mˆo
.
t d¯o

.
n vi
.
th`ı sˆo
´
cu
.
.
c
d¯a
.
i c´ac chu tr`ınh d¯ˆo
.
c lˆa
.
p tuyˆe
´
n t´ınh c˜ung tˇang lˆen mˆo
.
t d¯o
.
n vi
.
. D
-
i
.
nh l´y d¯u
.
o

.
.
c ch´u
.
ng minh.

T`u
.
kˆe
´
t qua
˙’
n`ay, dˆe
˜
d`ang suy ra:
Hˆe
.
qua
˙’
2.1.4 (a) D
-
a d¯ˆo
`
thi
.
vˆo hu
.
´o
.
ng G khˆong c´o chu tr`ınh nˆe

´
u v`a chı
˙’
nˆe
´
u ν(G) = 0.
(b) D
-
a d¯ˆo
`
thi
.
vˆo hu
.
´o
.
ng G c´o d¯´ung mˆo
.
t chu tr`ınh nˆe
´
u v`a chı
˙’
nˆe
´
u ν(G) = 1.
D
-
i
.
nh l´y 2.1.5 Trong d¯ˆo

`
thi
.
c´o hu
.
´o
.
ng liˆen thˆong ma
.
nh, chu sˆo
´
bˇa
`
ng sˆo
´
cu
.
.
c d¯a
.
i c´ac ma
.
ch
d¯ˆo
.
c lˆa
.
p tuyˆe
´
n t´ınh.

Ch´u
.
ng minh. Thˆa
.
t vˆa
.
y, x´et d¯ˆo
`
thi
.
vˆo hu
.
´o
.
ng lˆa
.
p bo
.
˙’
i c´ac cung kh´ac nhau cu
˙’
a G (mˆo
˜
i cung
tu
.
o
.
ng ´u
.

ng mˆo
.
t cˇa
.
p ca
.
nh) v`a mˆo
.
t chu tr`ınh so
.
cˆa
´
p µ; ta phˆan hoa
.
ch tˆa
.
p c´ac d¯ı
˙’
nh trˆen chu
tr`ınh n`ay th`anh: tˆa
.
p S c´ac d¯ı
˙’
nh c´o mˆo
.
t cung t´o
.
i n´o v`a mˆo
.
t cung ra kho

˙’
i n´o, tˆa
.
p S

c´ac d¯ı
˙’
nh
c´o hai cung cu
˙’
a µ ra kho
˙’
i n´o v`a tˆa
.
p S

c´ac d¯ı
˙’
nh c´o hai cung cu
˙’
a µ d¯i t´o
.
i n´o. V`ı sˆo
´
c´ac cung
d¯i ra bˇa
`
ng sˆo
´
c´ac cung d¯i t´o

.
i nˆen #S

= #S

; gia
˙’
su
.
˙’
v

1
, v

2
, . . . , v

k
l`a c´ac phˆa
`
n tu
.
˙’
cu
˙’
a S

v`a
v


1
, v

2
, . . . , v

k
l`a c´ac phˆa
`
n tu
.
˙’
cu
˙’
a S

.
Trˆen chu tr`ınh µ, c´ac phˆa
`
n tu
.
˙’
cu
˙’
a S

v`a cu
˙’
a S


xen k˜e nhau v`a ta gia
˙’
su
.
˙’
rˇa
`
ng sau d¯ı
˙’
nh
v

i
th`ı d¯ı
˙’
nh d¯ˆa
`
u tiˆen bˇa
´
t gˇa
.
p (khˆong thuˆo
.
c S) l`a v

i
; cuˆo
´
i c`ung, nˆe

´
u µ
0
l`a mˆo
.
t d¯u
.
`o
.
ng d¯i gˇa
.
p
d¯ı
˙’
nh x tru
.
´o
.
c d¯ı
˙’
nh y th`ı ta k´y hiˆe
.
u µ
0
[x, y] l`a d¯u
.
`o
.
ng d¯i bˆo
.

phˆa
.
n cu
˙’
a µ
0
t`u
.
x d¯ˆe
´
n y. V`ı d¯ˆo
`
thi
.
liˆen thˆong ma
.
nh nˆen tˆo
`
n ta
.
i ma
.
ch µ
1
d¯i qua v

i+1
v`a v

i

v`a d`ung c´ac cung cu
˙’
a µ d¯ˆe
˙’
d¯i t`u
.
v

i+1
d¯ˆe
´
n v

i
. Chu tr`ınh µ l`a mˆo
.
t tˆo
˙’
ho
.
.
p tuyˆe
´
n t´ınh cu
˙’
a c´ac ma
.
ch v`ı ta c´o thˆe
˙’
viˆe

´
t
µ = µ[v

1
, v

1
] − µ
1
[v

2
, v

1
] + µ[v

2
, v

2
] + · · ·
= µ[v

1
, v

1
] + µ

1
[v

1
, v

2
] + µ[v

2
, v

2
] + µ
2
[v

2
, v

3
] + · · · − (µ
1
+ µ
2
+ · · · ).
Vˆa
.
y mo
.

i chu tr`ınh so
.
cˆa
´
p d¯ˆe
`
u l`a tˆo
˙’
ho
.
.
p tuyˆe
´
n t´ınh cu
˙’
a c´ac ma
.
ch, d¯ˆo
´
i v´o
.
i c´ac chu tr`ınh
bˆa
´
t k`y d¯iˆe
`
u d¯´o c˜ung d¯´ung (v`ı n´o l`a tˆo
˙’
ho
.

.
p tuyˆe
´
n t´ınh cu
˙’
a c´ac chu tr`ınh so
.
cˆa
´
p).
Trong R
m
, c´ac ma
.
ch lˆa
.
p th`anh mˆo
.
t co
.
so
.
˙’
cu
˙’
a khˆong gian vector con sinh bo
.
˙’
i c´ac chu
tr`ınh, v`a theo D

-
i
.
nh l´y 2.1.3 th`ı co
.
so
.
˙’
n`ay c´o sˆo
´
chiˆe
`
u l`a ν(G). Vˆa
.
y sˆo
´
cu
.
.
c d¯a
.
i c´ac ma
.
ch d¯ˆo
.
c
lˆa
.
p tuyˆe
´

n t´ınh bˇa
`
ng ν(G). 
51

2.2 Sˇa
´
c sˆo
´
Gia
˙’
su
.
˙’
rˇa
`
ng ch´ung ta c´o mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
vˆo hu
.
´o
.
ng G v´o
.
i n d¯ı
˙’

nh, v`a cˆa
`
n tˆo m`au c´ac d¯ı
˙’
nh sao
cho hai d¯ı
˙’
nh kˆe
`
nhau c´o m`au kh´ac nhau. Hiˆe
˙’
n nhiˆen l`a c´o thˆe
˙’
d`ung n m`au d¯ˆe
˙’
tˆo c´ac d¯ı
˙’
nh
d¯´o, nhu
.
ng nhu
.
thˆe
´
vˆa
´
n d¯ˆe
`
d¯ˇa
.

t ra la
.
i khˆong mang t´ınh thu
.
.
c tiˆe
˜
n. Thˆe
´
th`ı sˆo
´
m`au tˆo
´
i thiˆe
˙’
u
d¯`oi ho
˙’
i l`a bao nhiˆeu? D
-
ˆay ch´ınh l`a b`ai to´an tˆo m`au. Khi c´ac d¯ı
˙’
nh d¯u
.
o
.
.
c tˆo, ch´ung ta c´o thˆe
˙’
nh´om ch´ung v`ao c´ac tˆa

.
p kh´ac nhau-mˆo
.
t tˆa
.
p gˆo
`
m c´ac d¯ı
˙’
nh d¯u
.
o
.
.
c tˆo m`au d¯o
˙’
, mˆo
.
t tˆa
.
p c´ac
d¯ı
˙’
nh d¯u
.
o
.
.
c tˆo m`au xanh, vˆan vˆan. D
-

ˆay ch´ınh l`a b`ai to´an phˆan hoa
.
ch. B`ai to´an tˆo m`au v`a
phˆan hoa
.
ch d˜ı nhiˆen c´o thˆe
˙’
x´et trˆen c´ac ca
.
nh cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
. Trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p d¯ˆo
`
thi
.
phˇa
˙’
ng
thˆa

.
m ch´ı c´o thˆe
˙’
quan tˆam d¯ˆe
´
n viˆe
.
c tˆo m`au c´ac diˆe
.
n.
Trong phˆa
`
n n`ay ta chı
˙’
x´et c´ac d¯ˆo
`
thi
.
vˆo hu
.
´o
.
ng liˆen thˆong.
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 2.2.1 Cho tru
.
´o

.
c mˆo
.
t sˆo
´
nguyˆen p, ta n´oi rˇa
`
ng d¯ˆo
`
thi
.
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2.2.2 H`ınh 2.1 minh ho
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a ba c´ach tˆo m`au kh´ac nhau cu
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thi
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v˜e n´o lˆen mˇa
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nh n`ao cˇa
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phˇa
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nhau khˆong c`ung mˆo
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t m`au.
52

T`u
.
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.
nh ngh˜ıa dˆe
˜
d`ang suy ra
1. Mˆo
.
t d¯ˆo
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thi

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chı
˙’
c´o c´ac d¯ı
˙’
nh cˆo lˆa
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p l`a 1−sˇa
´
c.
2. Mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
c´o mˆo
.
t hoˇa
.
c hai ca
.
nh (khˆong pha
˙’
i l`a mˆo
.
t khuyˆen) c´o sˇa
´
c sˆo
´

´ıt nhˆa
´
t bˇa
`
ng
hai.
3. D
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4. D
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´
u n chˇa
˜
n v`a 3−sˇa
´
c
nˆe
´
u n le
˙’
.
5. Hiˆe
˙’
n nhiˆen, mo
.
i d¯ˆo
`
thi

.
2−sˇa
´
c l`a hai phˆa
`
n do ch´ung ta c´o thˆe
˙’
phˆan hoa
.
ch tˆa
.
p c´ac d¯ı
˙’
nh
V th`anh hai tˆa
.
p con theo m`au d¯u
.
o
.
.
c tˆo trˆen c´ac d¯ı
˙’
nh. Tu
.
o
.
ng tu
.
.

, d¯ˆo
`
thi
.
hai phˆa
`
n l`a
2−sˇa
´
c, v´o
.
i mˆo
.
t tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p ngoa
.
i lˆe
.
tˆa
`
m thu
.
`o
.

ng: d¯ˆo
`
thi
.
c´o ´ıt nhˆa
´
t hai d¯ı
˙’
nh cˆo lˆa
.
p v`a
khˆong c´o ca
.
nh l`a hai phˆa
`
n nhu
.
ng l`a 1−sˇa
´
c.
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 2.2.4 Ta go
.
i sˇa
´
c l´o
.

p cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
G l`a sˆo
´
nguyˆen q c´o c´ac t´ınh chˆa
´
t sau:
1. C´o thˆe
˙’
d`ung q m`au kh´ac nhau d¯ˆe
˙’
tˆo m`au c´ac ca
.
nh cu
˙’
a G sao cho hai ca
.
nh kˆe
`
nhau
khˆong c`ung mˆo
.
t m`au;
2. D
-
iˆe

`
u n`ay khˆong thˆe
˙’
l`am d¯u
.
o
.
.
c v´o
.
i (q − 1) m`au.
Nhˆa
.
n x´et rˇa
`
ng sˇa
´
c l´o
.
p cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
G = (V, E) ch´ınh l`a sˇa
´
c sˆo
´
cu

˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
G

= (V

, E

)
d¯u
.
o
.
.
c x´ac d¯i
.
nh nhu
.
sau: mˆo
˜
i d¯ı
˙’
nh cu
˙’
a G

tu

.
o
.
ng ´u
.
ng mˆo
.
t ca
.
nh cu
˙’
a G; ca
.
nh e

= (v

1
, v

2
) ∈ E

nˆe
´
u c´ac ca
.
nh e
1
v`a e

2
(tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
i hai d¯ı
˙’
nh v

1
, v

2
) kˆe
`
nhau.
Nhu
.
vˆa
.
y b`ai to´an sˇa
´
c l´o
.
p d¯u
.

a vˆe
`
b`ai to´an sˇa
´
c sˆo
´
. Du
.
´o
.
i d¯ˆay l`a mˆo
.
t v`ai kˆe
´
t qua
˙’
co
.
ba
˙’
n
vˆe
`
sˇa
´
c sˆo
´
.
D
-

i
.
nh l´y 2.2.5 [K¨onig] D
-
ˆo
`
thi
.
vˆo hu
.
´o
.
ng G l`a 2−sˇa
´
c nˆe
´
u v`a chı
˙’
nˆe
´
u n´o khˆong c´o chu tr`ınh
c´o d¯ˆo
.
d`ai le
˙’
.
Ch´u
.
ng minh D
-

iˆe
`
u kiˆe
.
n cˆa
`
n. Nˆe
´
u d¯ˆo
`
thi
.
G l`a 2−sˇa
´
c, th`ı tˆa
´
t nhiˆen G khˆong ch´u
.
a chu
tr`ınh c´o d¯ˆo
.
d`ai le
˙’
, v`ı c´ac d¯ı
˙’
nh cu
˙’
a mˆo
.
t chu tr`ınh loa

.
i nhu
.
vˆa
.
y khˆong thˆe
˙’
tˆo bˇa
`
ng hai m`au
theo nhu
.
quy tˇa
´
c d¯˜a chı
˙’
ra o
.
˙’
trˆen.
D
-
iˆe
`
u kiˆe
.
n d¯u
˙’
. Gia
˙’

su
.
˙’
d¯ˆo
`
thi
.
G khˆong c´o chu tr`ınh c´o d¯ˆo
.
d`ai le
˙’
, ta ch´u
.
ng minh n´o l`a 2−sˇa
´
c.
Khˆong gia
˙’
m tˆo
˙’
ng qu´at coi G l`a liˆen thˆong. Ta s˜e tˆo m`au dˆa
`
n c´ac d¯ı
˙’
nh cu
˙’
a G theo quy tˇa
´
c
sau:

53

• tˆo m`au xanh cho mˆo
.
t d¯ı
˙’
nh a n`ao d¯´o;
• nˆe
´
u mˆo
.
t d¯ı
˙’
nh x n`ao d¯´o d¯˜a d¯u
.
o
.
.
c tˆo xanh, th`ı ta tˆo d¯o
˙’
tˆa
´
t ca
˙’
c´ac d¯ı
˙’
nh kˆe
`
v´o
.

i n´o; nˆe
´
u
d¯ı
˙’
nh y d¯˜a d¯u
.
o
.
.
c tˆo d¯o
˙’
, th`ı ta tˆo xanh tˆa
´
t ca
˙’
c´ac d¯ı
˙’
nh kˆe
`
v´o
.
i y.
V`ı d¯ˆo
`
thi
.
G liˆen thˆong, nˆen s´o
.
m hay muˆo

.
n th`ı mo
.
i d¯ı
˙’
nh cu
˙’
a n´o d¯ˆe
`
u d¯u
.
o
.
.
c tˆo m`au hˆe
´
t, v`a
mˆo
.
t d¯ı
˙’
nh x khˆong thˆe
˙’
c`ung mˆo
.
t l´uc d¯u
.
o
.
.

c tˆo xanh v`a tˆo d¯o
˙’
, v`ı nhu
.
vˆa
.
y th`ı x v`a a s˜e c`ung
nˇa
`
m trˆen mˆo
.
t chu tr`ınh c´o d¯ˆo
.
d`ai le
˙’
. Vˆa
.
y d¯ˆo
`
thi
.
G l`a 2−sˇa
´
c. 
Ch´u ´y rˇa
`
ng t´ınh chˆa
´
t d¯ˆo
`

thi
.
G khˆong c´o chu tr`ınh v´o
.
i d¯ˆo
.
d`ai le
˙’
tu
.
o
.
ng d¯u
.
o
.
ng v´o
.
i t´ınh
chˆa
´
t G khˆong c´o chu tr`ınh so
.
cˆa
´
p v´o
.
i d¯ˆo
.
d`ai le

˙’
. Thˆa
.
t vˆa
.
y gia
˙’
su
.
˙’
c´o mˆo
.
t chu tr`ınh
µ = {v
0
, v
1
, . . . , v
p
= v
0
}
c´o d¯ˆo
.
d`ai p le
˙’
. Mˆo
˜
i khi gˇa
.

p hai d¯ı
˙’
nh v
j
v`a v
k
v´o
.
i j < k < p v`a v
j
= v
k
, ta phˆan chia µ th`anh
hai chu tr`ınh bˆo
.
phˆa
.
n µ
1
= {v
j
, . . . , v
k
} v`a µ
2
= {v
0
, . . . , v
j
, v

k
, . . . , v
0
}; ho
.
n n˜u
.
a mˆo
.
t trong
hai chu tr`ınh c´o d¯ˆo
.
d`ai le
˙’
(v`ı nˆe
´
u khˆong nhu
.
thˆe
´
th`ı µ s˜e c´o d¯ˆo
.
d`ai chˇa
˜
n). Ta thˆa
´
y rˇa
`
ng nˆe
´

u
tiˆe
´
p tu
.
c phˆan chia chu tr`ınh µ theo c´ach d¯´o cho d¯ˆe
´
n khi c`on c´o thˆe
˙’
l`am d¯u
.
o
.
.
c, th`ı mˆo
˜
i lˆa
`
n
vˆa
˜
n c`on d¯u
.
o
.
.
c mˆo
.
t chu tr`ınh c´o d¯ˆo
.

d`ai le
˙’
; v`ı cuˆo
´
i c`ung mo
.
i chu tr`ınh d¯ˆe
`
u l`a so
.
cˆa
´
p, nˆen xa
˙’
y
ra mˆau thuˆa
˜
n; v`a ta c´o d¯iˆe
`
u cˆa
`
n ch´u
.
ng minh.
D
-
i
.
nh l´y sau d¯ˆay cho ta biˆe
´

t cˆa
.
n trˆen cu
˙’
a sˇa
´
c sˆo
´
.
D
-
i
.
nh l´y 2.2.6 K´y hiˆe
.
u d
max
l`a bˆa
.
c cu
.
.
c d¯a
.
i cu
˙’
a c´ac d¯ı
˙’
nh trong G. Khi d¯´o
γ(G) ≤ 1 + d

max
.
Ch´u
.
ng minh. B`ai tˆa
.
p. 
Brooks [9] d¯˜a ch´u
.
ng minh rˇa
`
ng nˆe
´
u G l`a d¯ˆo
`
thi
.
khˆong d¯ˆa
`
y d¯u
˙’
, c´o d
max
d¯ı
˙’
nh th`ı
γ(G) ≤ d
max
.
2.2.1 C´ach t`ım sˇa

´
c sˆo
´
X´et d¯ˆo
`
thi
.
G = (V, Γ) c´o n d¯ı
˙’
nh v`a m ca
.
nh; muˆo
´
n t`ım sˇa
´
c sˆo
´
cu
˙’
a n´o ta c´o thˆe
˙’
d`ung mˆo
.
t
phu
.
o
.
ng ph´ap thu
.

.
c nghiˆe
.
m rˆa
´
t d¯o
.
n gia
˙’
n, ´ap du
.
ng tru
.
.
c tiˆe
´
p d¯u
.
o
.
.
c, nhu
.
ng khˆong pha
˙’
i l ´uc n`ao
c˜ung c´o hiˆe
.
u qua
˙’

hoˇa
.
c c´o thˆe
˙’
d`ung phu
.
o
.
ng ph´ap gia
˙’
i t´ıch, n´o cho ta mˆo
.
t l`o
.
i gia
˙’
i hˆe
.
thˆo
´
ng,
nhu
.
ng n´oi chung cˆa
`
n m´ay t´ınh d¯iˆe
.
n tu
.
˙’

.
54

Phu
.
o
.
ng ph´ap thu
.
.
c nghiˆe
.
m
Bˇa
`
ng c´ach tˆo m`au t`uy ´y d`ung c´ac m`au 1, 2, . . . , p v`a t`ım c´ach loa
.
i dˆa
`
n mˆo
.
t m`au n`ao d¯´o (go
.
i
l`a “m`au t´o
.
i ha
.
n”) trong c´ac m`au ˆa
´

y. Muˆo
´
n vˆa
.
y, ta x´et d¯ı
˙’
nh v c´o m`au t´o
.
i ha
.
n d¯´o v`a c´ac
th`anh phˆa
`
n liˆen thˆong C
jk
1
, C
jk
2
, . . . cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
con sinh ra bo
.
˙’
i hai m`au khˆong t´o
.

i ha
.
n j v`a
k. Ta c´o thˆe
˙’
lˆa
.
p t´u
.
c thay m`au cu
˙’
a d¯ı
˙’
nh v nˆe
´
u c´ac tˆa
.
p ho
.
.
p C
jk
1
∩ Γ(v), C
jk
2
∩ Γ(v), . . . khˆong
pha
˙’
i l`a hai m`au: lˆa

´
y riˆeng r˜e mˆo
˜
i th`anh phˆa
`
n C
jk
m`a v´o
.
i th`anh phˆa
`
n d¯´o th`ı c´ac d¯ı
˙’
nh cu
˙’
a
C
jk
∩ Γ(v) c´o m`au j, ho´an vi
.
trong c´ac th`anh phˆa
`
n d¯´o c´ac m`au j v`a k (khˆong thay d¯ˆo
˙’
i m`au
cu
˙’
a c´ac d¯ı
˙’
nh kh´ac), cuˆo

´
i c`ung tˆo d¯ı
˙’
nh v m`au j (l´uc n`ay d¯ı
˙’
nh v khˆong kˆe
`
v´o
.
i d¯ı
˙’
nh n`ao c´o
m`au j).
Phu
.
o
.
ng ph´ap gia
˙’
i t´ıch
Kiˆe
˙’
m tra bˇa
`
ng c´ach gia
˙’
i t´ıch xem d¯ˆo
`
thi
.

G c´o thˆe
˙’
d¯u
.
o
.
.
c tˆo bˇa
`
ng p m`au d¯u
.
o
.
.
c khˆong. Phu
.
o
.
ng
ph´ap d¯´o nhu
.
sau: V´o
.
i mˆo
˜
i c´ach tˆo bˇa
`
ng p m`au, ta cho tu
.
o

.
ng ´u
.
ng v´o
.
i mˆo
.
t hˆe
.
thˆo
´
ng c´ac sˆo
´
x
ij
, i = 1, 2, . . . , n; j = 1, 2, . . . , p, d¯u
.
o
.
.
c x´ac d¯i
.
nh nhu
.
sau:
x
ij
=

1 nˆe

´
u d¯ı
˙’
nh i c´o m`au j,
0 trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p ngu
.
o
.
.
c la
.
i.
D
-
ˇa
.
t
r
ij
=

1 nˆe
´

u ca
.
nh e
j
liˆen thuˆo
.
c d¯ı
˙’
nh v
i
,
0 trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p ngu
.
o
.
.
c la
.
i.
L´uc d¯´o b`ai to´an tro
.
˙’
th`anh t`ım c´ac sˆo

´
nguyˆen x
ij
sao cho:





x
ij
≥ 0,

p
q=1
x
iq
≤ 1, i = 1, 2, . . . , n,

n
k=1
r
jk
x
kq
≤ 1, j = 1, 2, . . . , m; q = 1, 2, . . . , p.
Ta c´o hˆe
.
bˆa
´

t d¯ˇa
˙’
ng th´u
.
c tuyˆe
´
n t´ınh. Dˆe
˜
r`ang thˆa
´
y rˇa
`
ng hˆe
.
d¯´o th´ıch ho
.
.
p v´o
.
i c´ac phu
.
o
.
ng
ph´ap thˆong thu
.
`o
.
ng cu
˙’

a quy hoa
.
ch nguyˆen v`a do d¯´o c´o thˆe
˙’
d`ung phu
.
o
.
ng ph´ap cu
˙’
a Gomory
(du
.
.
a trˆen phu
.
o
.
ng ph´ap d¯o
.
n h`ınh cu
˙’
a Dantzig) d¯ˆe
˙’
gia
˙’
i.
2.3 Sˆo
´
ˆo

˙’
n d¯i
.
nh trong
V´o
.
i d¯ˆo
`
thi
.
G = (V, Γ) cho tru
.
´o
.
c ta thu
.
`o
.
ng quan tˆam d¯ˆe
´
n tˆa
.
p con cu
˙’
a V c´o nh˜u
.
ng t´ınh chˆa
´
t
n`ao d¯´o. Chˇa

˙’
ng ha
.
n, t`ım mˆo
.
t tˆa
.
p con S ⊂ V c´o sˆo
´
phˆa
`
n tu
.
˙’
l´o
.
n nhˆa
´
t sao cho d¯ˆo
`
thi
.
con sinh
55

bo
.
˙’
i S l`a d¯ˆa
`

y d¯u
˙’
? Hoˇa
.
c t`ım tˆa
.
p con c´ac d¯ı
˙’
nh cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
G c´o sˆo
´
phˆa
`
n tu
.
˙’
nhiˆe
`
u nhˆa
´
t sao cho
hai d¯ı
˙’
nh trong d¯´o khˆong kˆe
`

nhau. Mˆo
.
t b`ai to´an kh´ac l`a t`ım tˆa
.
p con S cu
˙’
a V c´o sˆo
´
phˆa
`
n tu
.
˙’
´ıt nhˆa
´
t sao cho mo
.
i d¯ı
˙’
nh thuˆo
.
c V \ S kˆe
`
v´o
.
i mˆo
.
t d¯ı
˙’
nh trong S.

C´ac sˆo
´
v`a c´ac tˆa
.
p con tu
.
o
.
ng ´u
.
ng l`o
.
i gia
˙’
i c´ac b`ai to´an trˆen cho nh˜u
.
ng t´ınh chˆa
´
t quan
trong cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
v`a c´o nhiˆe
`
u ´u
.
ng du

.
ng tru
.
.
c tiˆe
´
p trong b`ai to´an lˆa
.
p li
.
ch, phˆan t´ıch cluster,
phˆan loa
.
i sˆo
´
, xu
.
˙’
l´y song song trˆen m´ay t´ınh, vi
.
tr´ı thuˆa
.
n lo
.
.
i v`a thay thˆe
´
c´ac th`anh phˆa
`
n

d¯iˆe
.
n tu
.
˙’
, v.v.
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 2.3.1 X´et d¯ˆo
`
thi
.
vˆo hu
.
´o
.
ng G := (V, Γ); tˆa
.
p ho
.
.
p S ⊂ V d¯u
.
o
.
.
c go
.

i l`a tˆa
.
p ho
.
.
p
ˆo
˙’
n d¯i
.
nh trong nˆe
´
u hai d¯ı
˙’
nh bˆa
´
t k`y cu
˙’
a S d¯ˆe
`
u khˆong kˆe
`
nhau; n´oi c´ach kh´ac, v´o
.
i mo
.
i cˇa
.
p
d¯ı

˙’
nh a, b ∈ S th`ı b /∈ Γ(a).
K´y hiˆe
.
u S l`a ho
.
c´ac tˆa
.
p ˆo
˙’
n d¯i
.
nh trong cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
G. Khi d¯´o
1. Tˆa
.
p trˆo
´
ng ∅ thuˆo
.
c S.
2. Nˆe
´
u S ∈ S v`a A ⊂ S th`ı A ∈ S. N´oi c´ach kh´ac, tˆa
.

p con cu
˙’
a mˆo
.
t tˆa
.
p ˆo
˙’
n d¯i
.
nh trong
c˜ung l`a mˆo
.
t tˆa
.
p ˆo
˙’
n d¯i
.
nh trong.
Tˆa
.
p ˆo
˙’
n d¯i
.
nh trong l`a cu
.
.
c d¯a

.
i nˆe
´
u thˆem mˆo
.
t d¯ı
˙’
nh bˆa
´
t k`y v`ao n´o th`ı s˜e khˆong c`on ˆo
˙’
n d¯i
.
nh
trong n˜u
.
a. D
-
a
.
i lu
.
o
.
.
ng
α(G) := max{#S | S ∈ S}
d¯u
.
o

.
.
c go
.
i l`a sˆo
´
ˆo
˙’
n d¯i
.
nh trong cu
˙’
a G.
V´ı du
.
2.3.2 X´et d¯ˆo
`
thi
.
trong H`ınh 2.2. Tˆa
.
p c´ac d¯ı
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nh {v
7
, v
8
, v
2
} l`a ˆo

˙’
n d¯i
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nh trong nhu
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ng
khˆong cu
.
.
c d¯a
.
i; tˆa
.
p {v
7
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8
, v
2
, v
5
} l`a ˆo
˙’
n d¯i
.
nh trong cu
.
.
c d¯a
.

i. C´ac tˆa
.
p {v
1
, v
3
, v
7
} v`a {v
4
, v
6
}
c˜ung l`a tˆa
.
p ˆo
˙’
n d¯i
.
nh trong cu
.
.
c d¯a
.
i v`a do d¯´o, n´oi chung c´o thˆe
˙’
c´o nhiˆe
`
u tˆa
.

p ˆo
˙’
n d¯i
.
nh trong
cu
.
.
c d¯a
.
i. Ho
.
c´ac tˆa
.
p ˆo
˙’
n d¯i
.
nh trong cu
.
.
c d¯a
.
i cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
n`ay l`a

{v
7
, v
8
, v
2
, v
5
}, {v
1
, v
3
, v
7
}, {v
4
, v
6
}, {v
3
, v
6
}, {v
1
, v
5
, v
7
}, {v
1

, v
4
}, {v
3
, v
7
, v
8
}.
V´ı du
.
2.3.3 [Gauss] B`ai to´an t´am con hˆa
.
u. Trˆen b`an c`o
.
c´o thˆe
˙’
bˆo
´
tr´ı t´am con hˆa
.
u, sao
cho khˆong c´o con n`ao ch´em d¯u
.
o
.
.
c con n`ao khˆong? B`ai to´an nˆo
˙’
i tiˆe

´
ng n`ay d¯u
.
a vˆe
`
t`ım mˆo
.
t
tˆa
.
p ho
.
.
p ˆo
˙’
n d¯i
.
nh trong cu
.
.
c d¯a
.
i cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
vˆo hu
.

´o
.
ng c´o 64 d¯ı
˙’
nh (l`a c´ac ˆo trˆen b`an c`o
.
), trong
d¯´o y ∈ Γ(x) nˆe
´
u c´ac ˆo x v`a y nˇa
`
m trˆen c`ung mˆo
.
t h`ang, mˆo
.
t cˆo
.
t hay mˆo
.
t d¯u
.
`o
.
ng ch´eo. Thu
.
.
c
tˆe
´
, kh´o khˇan la

.
i l´o
.
n ho
.
n l`a khi ngu
.
`o
.
i ta m´o
.
i thoa
.
t nh`ın: l´uc d¯ˆa
`
u Gauss tu
.
o
.
˙’
ng c´o 76 l`o
.
i
56


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H`ınh 2.2:
gia
˙’
i, c`on t`o
.
b´ao vˆe
`
c`o
.
o
.
˙’
Berlin“Schachzeitung” nˇam 1854 chı
˙’
m´o
.
i d¯u
.

a ra 40 l`o
.
i gia
˙’
i thˆe
´
c`o
.
do c´ac nh`a ham c`o
.
t`ım ra. Su
.
.
thˆa
.
t th`ı c´o 92 l`o
.
i gia
˙’
i nhu
.
12 so
.
d¯ˆo
`
du
.
´o
.
i d¯ˆay:

(72631485) (61528374) (58417263)
(35841726) (46152837) (57263148)
(16837425) (57263184) (48157263)
(51468273) (42751863) (35281746)
Mˆo
˜
i so
.
d¯ˆo
`
trˆen tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
i mˆo
.
t ho´an vi
.
, v`a t`u
.
mˆo
.
t so
.
d¯ˆo
`

ta suy ra t´am l`o
.
i gia
˙’
i kh´ac
nhau: ba l`o
.
i gia
˙’
i bˇa
`
ng c´ach quay 90
0
, 180
0
v`a 270
0
; c´ac l`o
.
i gia
˙’
i kh´ac suy ra bˇa
`
ng c´ach d¯ˆo
´
i
x´u
.
ng mˆo
˜

i so
.
d¯ˆo
`
nhˆa
.
n d¯u
.
o
.
.
c qua d¯u
.
`o
.
ng ch´eo ch´ınh; ho´an vi
.
cuˆo
´
i c`ung (35281746) chı
˙’
c´o bˆo
´
n
l`o
.
i gia
˙’
i v`ı so
.

d¯ˆo
`
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng s˜e tr`ung v´o
.
i ch´ınh n´o sau khi quay 180
0
.
V´ı du
.
2.3.4 B`e cu
˙’
a mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
G l`a tˆa
.
p ho
.
.
p C ⊂ V sao cho
a ∈ C, b ∈ C suy ra b ∈ Γ(a).

Nˆe
´
u V l`a mˆo
.
t tˆa
.
p ho
.
.
p ngu
.
`o
.
i, v`a b ∈ Γ(a) chı
˙’
su
.
.
d¯ˆo
`
ng t`ınh gi˜u
.
a a v`a b, th`ı thu
.
`o
.
ng yˆeu cˆa
`
u
t`ım b`e cu

.
.
c d¯a
.
i, ngh˜ıa l`a hˆo
.
i c´o sˆo
´
ngu
.
`o
.
i tham gia nhiˆe
`
u nhˆa
´
t. X´et d¯ˆo
`
thi
.
G

:= (V, Γ

) x´ac
d¯i
.
nh nhu
.
sau:

b ∈ Γ(a

) nˆe
´
u v`a chı
˙’
nˆe
´
u b /∈ Γ(a).
B`ai to´an quy vˆe
`
t`ım mˆo
.
t tˆa
.
p ho
.
.
p ˆo
˙’
n d¯i
.
nh trong cu
.
.
c d¯a
.
i cu
˙’
a d¯ˆo

`
thi
.
(V, Γ

).
V´ı du
.
2.3.5 B`ai to´an vˆe
`
c´ac cˆo g´ai l`a d¯ˆo
´
i tu
.
o
.
.
ng cu
˙’
a nhiˆe
`
u cˆong tr`ınh to´an ho
.
c, c´o thˆe
˙’
ph´at
biˆe
˙’
u nhu
.

sau: mˆo
.
t k´y t´uc x´a nuˆoi du
.
˜o
.
ng 15 cˆo g´ai, k´y hiˆe
.
u l`a a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o;
h`ang ng`ay c´ac cˆo d¯i da
.
o cho
.
i th`anh t`u
.
ng bˆo
.
ba, c´o thˆe
˙’
d¯u
.
a c´ac cˆo d¯i cho
.
i trong ba
˙’
y ng`ay
liˆe
`
n sao cho khˆong c´o hai cˆo n`ao c`ung d¯i trong mˆo
.

t bˆo
.
ba qu´a mˆo
.
t lˆa
`
n d¯u
.
o
.
.
c khˆong?
V´o
.
i nh˜u
.
ng nhˆa
.
n x´et vˆe
`
d¯ˆo
´
i x´u
.
ng, Cayley d¯˜a t`ım ra l`o
.
i gia
˙’
i nhu
.

sau:
57

Chu
˙’
Nhˆa
.
t Th´u
.
Hai Th´u
.
Ba Th´u
.
Tu
.
Th´u
.
Nˇam Th´u
.
S´au Th´u
.
Ba
˙’
y
afk abe al m ado agn ahj aci
bgl cno bcf bik bdj bmn bho
chm dfl deh cjl cek cdg dkm
din ghk gio egm fmo fei eln
ejo ijm jkn fhn hil klo fgj
B`ai to´an vˆe

`
c´ac cˆo g´ai c`ung loa
.
i v´o
.
i mˆo
.
t b`ai to´an th´u
.
hai c˜ung nˆo
˙’
i tiˆe
´
ng go
.
i l`a b`ai
to´an bˆo
˙’
tro
.
.
: v´o
.
i 15 cˆo g´ai c´o thˆe
˙’
lˆa
`
n lu
.
o

.
.
t lˆa
.
p 35 bˆo
.
ba kh´ac nhau sao cho khˆong c´o hai cˆo
n`ao c`ung trong mˆo
.
t bˆo
.
ba qu´a mˆo
.
t lˆa
`
n khˆong? D
-
ˆe
˙’
gia
˙’
i b`ai to´an bˆo
˙’
tro
.
.
, chı
˙’
cˆa
`

n lˆa
.
p d¯ˆo
`
thi
.
G c´o c´ac d¯ı
˙’
nh l`a 455 bˆo
.
ba c´o thˆe
˙’
c´o, hai bˆo
.
ba d¯u
.
o
.
.
c xem l`a kˆe
`
nhau nˆe
´
u ch´ung c´o chung
hai cˆo g´ai: khi d¯´o cˆa
`
n t`ım mˆo
.
t tˆa
.

p ho
.
.
p ˆo
˙’
n d¯i
.
nh trong cu
.
.
c d¯a
.
i. Ta c´o α (G) ≤ 35 v`ı mˆo
.
t cˆo
g´ai chı
˙’
c´o mˇa
.
t nhiˆe
`
u nhˆa
´
t l`a trong 7 bˆo
.
ba kh´ac nhau, nˆen tˆa
´
t ca
˙’
c´o 15 × 7 ×

1
3
= 35 bˆo
.
l`a
nhiˆe
`
u nhˆa
´
t; v`ı vˆa
.
y mo
.
i tˆa
.
p ho
.
.
p ˆo
˙’
n d¯i
.
nh trong c´o 35 bˆo
.
ba d¯ˆe
`
u l`a cu
.
.
c d¯a

.
i.
D
-
ˆe
˙’
x´et xem mˆo
.
t l`o
.
i gia
˙’
i n`ao d¯´o cu
˙’
a b`ai to´an bˆo
˙’
tro
.
.
c´o cho l`o
.
i gia
˙’
i cu
˙’
a b`ai to´an vˆe
`
c´ac
cˆo g´ai khˆong, ta lˆa
.

p d¯ˆo
`
thi
.
G

c´o c´ac d¯ı
˙’
nh l`a 35 bˆo
.
ba cho nghiˆe
.
m cu
˙’
a b`ai to´an bˆo
˙’
tro
.
.
, hai
bˆo
.
ba d¯u
.
o
.
.
c xem l`a kˆe
`
nhau nˆe

´
u c´o chung mˆo
.
t cˆo g´ai; nˆe
´
u sˇa
´
c sˆo
´
γ(G

) > 7 th`ı pha
˙’
i cho
.
n
tˆa
.
p ho
.
.
p kh´ac gˆo
`
m c´ac bˆo
.
ba cho nghiˆe
.
m cu
˙’
a b`ai to´an bˆo

˙’
tro
.
.
. Dˆe
˜
d`ang kiˆe
˙’
m tra rˇa
`
ng tˆo
`
n
ta
.
i nh˜u
.
ng l`o
.
i gia
˙’
i cu
˙’
a b`ai to´an bˆo
˙’
tro
.
.
khˆong dˆa
˜

n d¯ˆe
´
n l`o
.
i gia
˙’
i cu
˙’
a b`ai to´an vˆe
`
c´ac cˆo g´ai.
Nhˆa
.
n x´et 2.3.6 (a) Sˇa
´
c sˆo
´
γ(G) v`a sˆo
´
ˆo
˙’
n d¯i
.
nh trong α(G) liˆen hˆe
.
v´o
.
i nhau bˇa
`
ng bˆa

´
t d¯ˇa
˙’
ng
th´u
.
c
γ(G) × α(G) ≥ n.
Thˆa
.
t vˆa
.
y, c´o thˆe
˙’
phˆan hoa
.
ch V th`anh γ := γ(G) tˆa
.
p ho
.
.
p ˆo
˙’
n d¯i
.
nh trong, lˆa
.
p bo
.
˙’

i c´ac
d¯ı
˙’
nh c`ung m`au v`a tu
.
o
.
ng ´u
.
ng ch´u
.
a n
1
, n
2
, . . . , n
γ
d¯ı
˙’
nh. Vˆa
.
y ta c´o
n = n
1
+ n
2
+ · · · + n
γ
≤ α(G) + α(G) + · · · + α(G) = γ(G).α(G).
(b) Ta c´o thˆe

˙’
ho
˙’
i: pha
˙’
i chˇang mˆo
´
i liˆen hˆe
.
gi˜u
.
a hai kh´ai niˆe
.
m l`a chu
.
a chˇa
.
t ch˜e. Pha
˙’
i chˇang
c´o thˆe
˙’
t`ım sˇa
´
c sˆo
´
bˇa
`
ng c´ach: tru
.

´o
.
c hˆe
´
t d`ung m`au (1) d¯ˆe
˙’
tˆo tˆa
.
p ˆo
˙’
n d¯i
.
nh trong cu
.
.
c d¯a
.
i S
1
.
Rˆo
`
i d`ung m`au (2) d¯ˆe
˙’
tˆo tˆa
.
p ˆo
˙’
n d¯i
.

nh trong cu
.
.
c d¯a
.
i S
2
cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
con sinh ra bo
.
˙’
i c´ac d¯ı
˙’
nh
cu
˙’
a V \ S
1
, sau d´o d`ung m`au (3) d¯ˆe
˙’
tˆo tˆa
.
p ho
.
.

p ˆo
˙’
n d¯i
.
nh trong cu
.
.
c d¯a
.
i cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
con c`on la
.
i,
v.v. Thu
.
.
c ra khˆong pha
˙’
i nhu
.
vˆa
.
y. D
-
ˆo

`
thi
.
trˆen H`ınh 2.3 (c´o sˇa
´
c sˆo
´
bˇa
`
ng 4) ch´u
.
ng to
˙’
d¯iˆe
`
u
58

d¯´o: c´ac d¯ı
˙’
nh kˆe
`
v´o
.
i c´ac d¯ı
˙’
nh a, b, c v`a d lˆa
.
p th`anh tˆa
.

p ˆo
˙’
n d¯i
.
nh trong cu
.
.
c d¯a
.
i duy nhˆa
´
t, nˆe
´
u
ta tˆo ch´ung c`ung mˆo
.
t m`au th`ı ta pha
˙’
i d`ung ba m`au chı
˙’
d¯ˆe
˙’
tˆo c´ac d¯ı
˙’
nh a, b, c, d, nhu
.
ng r˜o
r`ang d¯iˆe
`
u d¯´o khˆong thˆe

˙’
l`am d¯u
.
o
.
.
c.
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H`ınh 2.3:
V´ı du
.
2.3.7 [Shannon] B`ai to´an vˆe

`
dung lu
.
o
.
.
ng thˆong tin cu
˙’
a mˆo
.
t tˆa
.
p ho
.
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p t´ın hiˆe
.
u. X´et
tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p rˆa
´
t d¯o
.
n gia

˙’
n l`a m´ay ph´at c´o thˆe
˙’
truyˆe
`
n d¯i nˇam t´ın hiˆe
.
u: a, b, c, d, e; o
.
˙’
m´ay thu,
mˆo
˜
i t´ın hiˆe
.
u c´o thˆe
˙’
cho hai c´ach hiˆe
˙’
u kh´ac nhau: t´ın hiˆe
.
u a c´o thˆe
˙’
hiˆe
˙’
u l`a p hay q, t´ın hiˆe
.
u
b c´o thˆe
˙’

hiˆe
˙’
u l`a q hay r, . . . (H`ınh 2.4 (a)).
Sˆo
´
cu
.
.
c d¯a
.
i c´ac t´ın hiˆe
.
u m`a ta c´o thˆe
˙’
su
.
˙’
du
.
ng l`a bao nhiˆeu d¯ˆe
˙’
cho o
.
˙’
m´ay thu khˆong xa
˙’
y
ra nhˆa
`
m lˆa

˜
n gi˜u
.
a c´ac t´ın hiˆe
.
u d¯u
.
o
.
.
c su
.
˙’
du
.
ng. B`ai to´an quy vˆe
`
t`ım mˆo
.
t tˆa
.
p ˆo
˙’
n d¯i
.
nh trong
cu
.
.
c d¯a

.
i S cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
G (H`ınh 2.4(b)), trong d¯´o hai d¯ı
˙’
nh l`a kˆe
`
nhau nˆe
´
u ch´ung biˆe
˙’
u thi
.
hai
t´ın hiˆe
.
u c´o thˆe
˙’
lˆa
˜
n lˆo
.
n v´o
.
i nhau o
.

˙’
m´ay thu, ta s˜e lˆa
´
y S = {a, c}, v`a r˜o r`ang α(G) = 2. Thay
cho c´ac t´ın hiˆe
.
u mˆo
.
t ch˜u
.
c´ai, ta c´o thˆe
˙’
d`ung c´ac “t`u
.
” gˆo
`
m hai ch˜u
.
c´ai v´o
.
i d¯iˆe
`
u kiˆe
.
n l`a c´ac
t`u
.
n`ay khˆong gˆay ra lˆa
`
m lˆa

˜
n o
.
˙’
m´ay thu. V´o
.
i c´ac ch˜u
.
c´ai a v`a c (c´ac ch˜u
.
c´ai n`ay khˆong
thˆe
˙’
lˆa
˜
n lˆo
.
n nhau) ta lˆa
.
p m˜a: aa, ac, ca, cc; nhu
.
vˆa
.
y ta d¯u
.
o
.
.
c [α(G)]
2

= 4 t`u
.
. Nhu
.
ng ta c`on
c´o thˆe
˙’
lˆa
.
p m˜a phong ph´u ho
.
n: aa, bc, ce, db, ed. (Dˆe
˜
d`ang kiˆe
˙’
m tra rˇa
`
ng hai t`u
.
bˆa
´
t k`y trong
c´ac t`u
.
n`ay khˆong thˆe
˙’
lˆa
˜
n lˆo
.

n v´o
.
i nhau o
.
˙’
m´ay thu).
T`ım tˆa
´
t ca
˙’
c´ac tˆa
.
p ˆo
˙’
n d¯i
.
nh trong cu
.
.
c d¯a
.
i
Phu
.
o
.
ng ph´ap suy luˆa
.
n sau (khˆong hiˆe
.

u qua
˙’
d¯ˆo
´
i v´o
.
i c´ac d¯ˆo
`
thi
.
l´o
.
n) t`ım tˆa
´
t ca
˙’
c´ac tˆa
.
p ˆo
˙’
n
d¯i
.
nh trong cu
.
.
c d¯a
.
i du
.

.
a trˆen d¯a
.
i sˆo
´
Boole. Ta xem mˆo
˜
i d¯ı
˙’
nh cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
i mˆo
.
t
biˆe
´
n Boole. K´y hiˆe
.

u x + y, xy v`a x

l`a c´ac ph´ep to´an tuyˆe
˙’
n, hˆo
.
i v`a phu
˙’
d¯i
.
nh cu
˙’
a c´ac biˆe
´
n
Boole x, y.
V´o
.
i d¯ˆo
`
thi
.
G cho tru
.
´o
.
c, ta cˆa
`
n t`ım mˆo
.

t tˆa
.
p con cu
.
.
c d¯a
.
i c´ac d¯ı
˙’
nh khˆong kˆe
`
nhau trong
G. Biˆe
˙’
u diˆe
˜
n mˆo
˜
i ca
.
nh (x, y) bˇa
`
ng mˆo
.
t t´ıch Boole xy v`a sau d¯´o lˆa
´
y tˆo
˙’
ng cu
˙’

a tˆa
´
t ca
˙’
c´ac t´ıch
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c Boole
ϕ =

(x,y)∈E
xy.
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p biˆe
˙’
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˙’

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ng tˆo
˙’
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˙’
a c´ac t´ıch Bo ole
ϕ
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= f
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2
+ · · · + f
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nh l`a ˆo
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nh trong cu
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c d¯a
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i nˆe
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u v`a chı
˙’
nˆe
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u ϕ = 0, ngh˜ıa l`a ϕ

= 1; hay tu
.
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d¯u
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o
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ng c´o ´ıt nhˆa
´
t mˆo
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t f
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= 1; t´u
.

c l`a nˆe
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u mˆo
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i d¯ı
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nh xuˆa
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t hiˆe
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n trong f
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p d¯ı
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˙’
a G. Do d¯´o mˆo
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i f
i
s˜e cho tu
.
o
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ng ´u
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ng mˆo
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t tˆa
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p ˆo
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n d¯i
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nh trong
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c d¯a

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i v`a do d¯´o phu
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ng ph´ap n`ay cho ta tˆa
´
t ca
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c´ac tˆa
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p ˆo
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n d¯i
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nh trong cu
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c d¯a
.
i. Chˇa
˙’
ng ha
.
n
x´et d¯ˆo
`
thi
.
trong H`ınh 2.5 ta c´o

ϕ = ab + bc + bd + be + ce + de + ef + eg + fg.
ϕ

= (a

+ b

)(b

+ c

)(b

+ d

)(b

+ e

)(c

+ e

)(d

+ e

)(e

+ f


)(e

+ g

)(f

+ g

).
R´ut go
.
n v`a d¯u
.
a vˆe
`
da
.
ng tˆo
˙’
ng cu
˙’
a c´ac t´ıch ta d¯u
.
o
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c
ϕ


= b

e

f

+ b

e

g

+ a

c

d

e

f

+ a

c

d

e


g

+ b

c

d

f

g

.
Bˆay gi`o
.
nˆe
´
u loa
.
i bo
˙’
kho
˙’
i tˆa
.
p d¯ı
˙’
nh cu
˙’
a G c´ac d¯ı

˙’
nh xuˆa
´
t hiˆe
.
n trong bˆa
´
t k`y mˆo
.
t trong nˇam sˆo
´
ha
.
ng cu
˙’
a tˆo
˙’
ng, ta s˜e thu d¯u
.
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c mˆo
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n d¯i
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nh trong cu
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c d¯a
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i. C´ac tˆa
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p ˆo
˙’
n d¯i
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nh trong cu
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c
d¯a
.
i tu
.
o
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ng ´u
.
ng l`a
{a, c, d, g}, {a, c, d, f}, {b, g}, {b, f}, v`a {a, e}.
V`a do d¯´o sˆo
´
ˆo
˙’
n d¯i

.
nh trong cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
n`ay bˇa
`
ng 4.
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H`ınh 2.5:
2.4 Sˆo
´
ˆo
˙’
n d¯i
.
nh ngo`ai
D
-
i
.
nh ngh˜ıa 2.4.1 Cho d¯ˆo
`
thi
.
G := (V, Γ). Tˆa
.
p ho
.
.
p con T c´ac d¯ı

˙’
nh cu
˙’
a V l`a tˆa
.
p ˆo
˙’
n d¯i
.
nh
ngo`ai nˆe
´
u mo
.
i d¯ı
˙’
nh khˆong thuˆo
.
c T kˆe
`
v´o
.
i ´ıt nhˆa
´
t mˆo
.
t d¯ı
˙’
nh trong T ; t´u
.

c l`a T ∩ Γ(v) = ∅ v´o
.
i
mo
.
i d¯ı
˙’
nh v /∈ T.
K´y hiˆe
.
u T l`a ho
.
c´ac tˆa
.
p ho
.
.
p ˆo
˙’
n d¯i
.
nh ngo`ai cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
G th`ı:
1. V ∈ T .
2. T ∈ T v`a T ⊂ A th`ı A ∈ T .

Ta d¯i
.
nh ngh˜ıa sˆo
´
ˆo
˙’
n d¯i
.
nh ngo`ai cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
G l`a sˆo
´
β(G) := min{#T | T ∈ T }.
Tˆa
.
p ˆo
˙’
n d¯i
.
nh ngo`ai cu
.
.
c tiˆe
˙’
u l`a tˆa
.

p ˆo
˙’
n d¯i
.
nh ngo`ai sao cho bo
˙’
d¯i mˆo
.
t d¯ı
˙’
nh th`ı khˆong c`on ˆo
˙’
n
d¯i
.
nh ngo`ai n˜u
.
a.
V´ı du
.
2.4.2 X´et d¯ˆo
`
thi
.
G trong H`ınh 2.5. C´ac tˆa
.
p {b, g} v`a {a, b, c, d, f} l`a ˆo
˙’
n d¯i
.

nh ngo`ai.
C´ac tˆa
.
p {b, e} v`a {a, c, d, f} l`a ˆo
˙’
n d¯i
.
nh ngo`ai cu
.
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c tiˆe
˙’
u. Dˆe
˜
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1
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2
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4
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7
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8

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9
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•
•
•
•
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H`ınh 2.7:
V´ı du
.
2.4.5 Vi
.
tr´ı cu
˙’
a c´ac “tˆam” d¯ˆe
˙’
phu
˙’
mˆo
.
t v`ung. C´o nhiˆe
`
u l˜ınh vu
.
.
c liˆen quan d¯ˆe

´
n b`ai
to´an n`ay:
1. Vi
.
tr´ı cu
˙’
a c´ac m´ay ph´at T.V. hay radio truyˆe
`
n d¯ˆe
´
n mˆo
.
t sˆo
´
vi
.
tr´ı cho tru
.
´o
.
c.
62

2. Vi
.
tr´ı cu
˙’
a c´ac tra
.

m g´ac d¯ˆe
˙’
gi´am s´at mˆo
.
t v`ung.
3. Tra
.
m l`am viˆe
.
c cu
˙’
a ngu
.
`o
.
i b´an h`ang d¯ˆe
˙’
phu
.
c vu
.
mˆo
.
t v`ung.
Gia
˙’
su
.
˙’
rˇa

`
ng mˆo
.
t v`ung-cho bo
.
˙’
i h`ınh vuˆong l´o
.
n trong H`ınh 2.8-d¯u
.
o
.
.
c phˆan hoa
.
ch th`anh 16
v`ung nho
˙’
ho
.
n. Gia
˙’
su
.
˙’
mˆo
.
t tra
.
m g´ac d¯u

.
o
.
.
c d¯ˇa
.
t trong mˆo
.
t v`ung nho
˙’
c´o thˆe
˙’
gi´am s´at khˆong
chı
˙’
h`ınh vuˆong n´o d¯ˇa
.
t m`a c`on nh˜u
.
ng h`ınh vuˆong c´o chung biˆen v´o
.
i n´o. Cˆau ho
˙’
i d¯ˇa
.
t ra l`a
sˆo
´
tˆo
´

i thiˆe
˙’
u c´ac tra
.
m g´ac v`a vi
.
tr´ı cu
˙’
a ch´ung sao cho c´o thˆe
˙’
d¯iˆe
`
u khiˆe
˙’
n to`an bˆo
.
v`ung. Nˆe
´
u
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1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
H`ınh 2.8:
ta biˆe
˙’
u diˆe
˜
n mˆo
˜
i v`ung nho
˙’
bo
.
˙’
i mˆo
.
t d¯ı
˙’
nh v`a mˆo

.
t ca
.
nh liˆen thuˆo
.
c hai d¯ı
˙’
nh nˆe
´
u hai v`ung
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng c´o chung mˆo
.
t biˆen (h˜ay v˜e h`ınh!). B`ai to´an d¯u
.
a vˆe
`
t`ım tˆa
.
p ˆo
˙’
n d¯i
.
nh ngo`ai c´o sˆo
´

phˆa
`
n tu
.
˙’
nho
˙’
nhˆa
´
t-l`a β(G). Trong v´ı du
.
n`ay, β(G) = 4 v`a c´ac tra
.
m g´ac cˆa
`
n d¯ˇa
.
t ta
.
i c´ac vi
.
tr´ı
{3, 5, 12, 14} hoˇa
.
c ta
.
i {2, 9, 15, 8}.
V´ı du
.
2.4.6 B`ai to´an vˆe

`
5 con hˆa
.
u. Trˆen b`an c`o
.
quˆo
´
c tˆe
´
cˆa
`
n bˆo
´
tr´ı bao nhiˆeu con hˆa
.
u d¯ˆe
˙’
cho mo
.
i ˆo trˆen b`an c`o
.
d¯ˆe
`
u bi
.
´ıt nhˆa
´
t mˆo
.
t con hˆa

.
u khˆo
´
ng chˆe
´
. B`ai to´an n`ay d¯u
.
a vˆe
`
t`ım mˆo
.
t
tˆa
.
p ho
.
.
p ˆo
˙’
n d¯i
.
nh ngo`ai cu
.
.
c tiˆe
˙’
u cho d¯ˆo
`
thi
.

c´o 64 d¯ı
˙’
nh (l`a c´ac ˆo cu
˙’
a b`an c`o
.
), trong d¯´o hai
d¯ı
˙’
nh kˆe
`
nhau nˆe
´
u v`a chı
˙’
nˆe
´
u c´ac ˆo tu
.
o
.
ng ´u
.
ng nˇa
`
m trˆen c`ung mˆo
.
t h`ang, mˆo
.
t cˆo

.
t hoˇa
.
c c`ung
mˆo
.
t d¯u
.
`o
.
ng ch´eo.
Sˆo
´
ˆo
˙’
n d¯i
.
nh l`a +5 d¯ˆo
´
i v´o
.
i c´ac con hˆa
.
u, chˇa
˙’
ng ha
.
n v´o
.
i hai c´ach sˇa

´
p xˆe
´
p:
(3, 3), (4, 6), (5, 4), (6, 2), (7, 5)
v`a
(5, 1), (8, 3), (4, 4), (3, 6), (7, 8),
trong d¯´o (i, j) l`a vi
.
tr´ı cu
˙’
a con hˆa
.
u o
.
˙’
h`ang i v`a cˆo
.
t j. C˜ung dˆe
˜
thˆa
´
y sˆo
´
ˆo
˙’
n d¯i
.
nh l`a: +8 d¯ˆo
´

i
v´o
.
i c´ac con th´ap; +12 d¯ˆo
´
i v´o
.
i c´ac con m˜a; +8 d¯ˆo
´
i v´o
.
i c´ac con d¯iˆen.
63

V´ı du
.
2.4.7 B`ai to´an vˆe
`
s´au c´ai d¯˜ıa d¯o
˙’
. Tr`o cho
.
i sau d¯ˆay rˆa
´
t quen thuˆo
.
c d¯ˆo
´
i v´o
.

i nh˜u
.
ng
ngu
.
`o
.
i u
.
a th´ıch hˆo
.
i cho
.
.
Ph´ap: Trˆen b`an d¯ˇa
.
t mˆo
.
t c´ai d¯˜ıa l´o
.
n m`au trˇa
´
ng (b´an k´ınh 1), h˜ay
t`ım c´ach phu
˙’
ho`an to`an d¯˜ıa d¯´o bo
.
˙’
i s´au d¯˜ıa con d¯o
˙’

(b´an k´ınh r < 1) lˆa
`
n lu
.
o
.
.
t d¯ˇa
.
t trˆen b`an,
v`a khi d¯˜a d¯ˇa
.
t rˆo
`
i th`ı khˆong d¯u
.
o
.
.
c xˆe di
.
ch n ˜u
.
a. Ho
˙’
i b´an k´ınh r nho
˙’
nhˆa
´
t bˇa

`
ng bao nhiˆeu d¯ˆe
˙’
c´o thˆe
˙’
gia
˙’
i d¯u
.
o
.
.
c?
B`ai to´an d¯u
.
a vˆe
`
t`ım mˆo
.
t tˆa
.
p ˆo
˙’
n d¯i
.
nh ngo`ai cu
.
.
c tiˆe
˙’

u T cho “d¯ˆo
`
thi
.
vˆo ha
.
n” (V, E),
trong d¯´o V l`a tˆa
.
p ho
.
.
p c´ac d¯iˆe
˙’
m cu
˙’
a d¯˜ıa trˇa
´
ng, v`a hai d¯ı
˙’
nh kˆe
`
nhau nˆe
´
u khoa
˙’
ng c´ach gi˜u
.
a
hai d¯iˆe

˙’
m tu
.
o
.
ng ´u
.
ng nho
˙’
ho
.
n hoˇa
.
c bˇa
`
ng r.
T`u
.
d¯i
.
nh ngh˜ıa dˆe
˜
d`ang suy ra
1. Tˆa
.
p gˆo
`
m d¯´ung mˆo
.
t d¯ı

˙’
nh trong d¯ˆo
`
thi
.
d¯ˆa
`
y d¯u
˙’
K
n
l`a tˆa
.
p ˆo
˙’
n d¯i
.
nh ngo`ai cu
.
.
c tiˆe
˙’
u.
2. Mo
.
i tˆa
.
p ˆo
˙’
n d¯i

.
nh ngo`ai ch´u
.
a ´ıt nhˆa
´
t mˆo
.
t tˆa
.
p ˆo
˙’
n d¯i
.
nh ngo`ai cu
.
.
c tiˆe
˙’
u.
3. Mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
c´o thˆe
˙’
c´o nhiˆe
`
u tˆa

.
p ˆo
˙’
n d¯i
.
nh ngo`ai cu
.
.
c tiˆe
˙’
u v´o
.
i k´ıch thu
.
´o
.
c kh´ac nhau.
4. Tˆa
.
p ˆo
˙’
n d¯i
.
nh ngo`ai cu
.
.
c tiˆe
˙’
u c´o thˆe
˙’

hoˇa
.
c khˆong l`a ˆo
˙’
n d¯i
.
nh trong.
5. Mo
.
i tˆa
.
p ˆo
˙’
n d¯i
.
nh trong cu
.
.
c d¯a
.
i l`a tˆa
.
p ˆo
˙’
n d¯i
.
nh ngo`ai. Thˆa
.
t vˆa
.

y, nˆe
´
u tr´ai la
.
i th`ı c´o ´ıt
nhˆa
´
t mˆo
.
t d¯ı
˙’
nh khˆong nˇa
`
m trong tˆa
.
p n`ay v`a c˜ung khˆong kˆe
`
v´o
.
i mˆo
.
t d¯ı
˙’
nh bˆa
´
t k`y trong
d¯´o. Mˆo
.
t d¯ı
˙’

nh nhu
.
thˆe
´
c´o thˆe
˙’
thˆem v`ao m`a khˆong ph´a v˜o
.
t´ınh ˆo
˙’
n d¯i
.
nh trong v`a do d¯´o
mˆau thuˆa
˜
n v´o
.
i t´ınh cu
.
.
c d¯a
.
i cu
˙’
a n´o.
6. Mˆo
.
t tˆa
.
p ˆo

˙’
n d¯i
.
nh trong c´o t´ınh ˆo
˙’
n d¯i
.
nh ngo`ai chı
˙’
nˆe
´
u n´o l`a tˆa
.
p ˆo
˙’
n d¯i
.
nh trong cu
.
.
c d¯a
.
i.
7. V´o
.
i mo
.
i d¯ˆo
`
thi

.
G bˆa
´
t d¯ˇa
˙’
ng th´u
.
c sau luˆon thoa
˙’
β(G) ≤ α(G).
T`ım c´ac tˆa
.
p ˆo
˙’
n d¯i
.
nh ngo`ai cu
.
.
c tiˆe
˙’
u
Tu
.
o
.
ng tu
.
.
c´ach x´ac d¯i

.
nh tˆa
.
p ˆo
˙’
n d¯i
.
nh trong cu
.
.
c d¯a
.
i, ta c´o thˆe
˙’
d`ung d¯a
.
i sˆo
´
Boole d¯ˆe
˙’
x´ac d¯i
.
nh
c´ac tˆa
.
p ˆo
˙’
n d¯i
.
nh ngo`ai cu

.
.
c tiˆe
˙’
u cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
G.
D
-
ˆe
˙’
kiˆe
˙’
m tra d¯ı
˙’
nh v
i
ta cˆa
`
n lˆa
´
y hoˇa
.
c d¯ı
˙’
nh v

i
hoˇa
.
c mˆo
.
t d¯ı
˙’
nh kˆe
`
v´o
.
i n´o. Tˆa
.
p nho
˙’
nhˆa
´
t
c´ac d¯ı
˙’
nh thoa
˙’
m˜an d¯iˆe
`
u kiˆe
.
n n`ay l`a tˆa
.
p cˆa
`

n t`ım. Do d¯´o, v´o
.
i mˆo
˜
i d¯ı
˙’
nh v
i
trong G ch´ung ta
x´et t´ıch Boole cu
˙’
a c´ac tˆo
˙’
ng (v
i
1
+ v
i
2
+ · · · + v
i
d
) trong d¯´o v
i
1
, v
i
2
, . . . , v
i

d
l`a c´ac d¯ı
˙’
nh kˆe
`
v´o
.
i
d¯ı
˙’
nh v
i
v`a d l`a bˆa
.
c cu
˙’
a n´o:
θ =

v
i
∈V
(v
i
1
+ v
i
2
+ · · · + v
i

d
).
64

Khi θ viˆe
´
t du
.
´o
.
i da
.
ng tˆo
˙’
ng cu
˙’
a c´ac t´ıch, mˆo
˜
i sˆo
´
ha
.
ng trong d¯´o s˜e tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.

i mˆo
.
t tˆa
.
p ˆo
˙’
n
d¯i
.
nh ngo`ai cu
.
.
c tiˆe
˙’
u. Ch´ung ta minh ho
.
a thuˆa
.
t to´an n`ay su
.
˙’
du
.
ng d¯ˆo
`
thi
.
trong H`ınh 2.5. Ta
c´o
θ = (a + b)(b + c + d + e + a)(c + b + e)(d + b + e)(e + b + c + d + f + g)(f + e + g)(g + e + f).

Theo luˆa
.
t hˆa
´
p thu
.
(x + y)x = x ta suy ra
θ = (a + b)(c + b + e)(d + b + e)(f + e + g)
= ae + be + bf + bg + acdf + acdg.
Mˆo
˜
i sˆo
´
ha
.
ng trong s´au biˆe
˙’
u th´u
.
c n`ay tu
.
o
.
ng ´u
.
ng mˆo
.
t tˆa
.
p ˆo

˙’
n d¯i
.
nh ngo`ai tˆo
´
i thiˆe
˙’
u. Hiˆe
˙’
n
nhiˆen β(G) = 2.
D
-
ˆe
˙’
x´ac d¯i
.
nh mˆo
.
t tˆa
.
p ho
.
.
p ˆo
˙’
n d¯i
.
nh trong cu
.

.
c d¯a
.
i, hay mˆo
.
t tˆa
.
p ho
.
.
p ˆo
˙’
n d¯i
.
nh ngo`ai cu
.
.
c
tiˆe
˙’
u, ta c´o thˆe
˙’
x´et lˆa
`
n lu
.
o
.
.
t mˆo

˜
i tˆa
.
p ho
.
.
p con T cu
˙’
a V v`a kiˆe
˙’
m tra xem n´o c´o thoa
˙’
m˜an c´ac
d¯iˆe
`
u kiˆe
.
n d¯˜a d¯ˆe
`
ra hay khˆong. Tˆa
´
t nhiˆen phu
.
o
.
ng ph´ap loa
.
i dˆa
`
n n`ay n´oi chung khˆong d`ung

d¯u
.
o
.
.
c. Ngu
.
`o
.
i ta cˆa
`
n pha
˙’
i d¯u
.
a ra c´ac thuˆa
.
t to´an. Chˇa
˙’
ng ha
.
n, khi gia
˙’
i quyˆe
´
t b`ai to´an vˆe
`
t´am
con hˆa
.

u, nˆe
´
u d`ung phu
.
o
.
ng ph´ap loa
.
i dˆa
`
n cˆa
`
n khoa
˙’
ng 10 gi`o
.
d¯ˆe
˙’
t´ınh to´an, trong khi d¯´o nˆe
´
u
c´o mˆo
.
t thuˆa
.
t to´an tˆo
´
t, ch´ung ta chı
˙’
cˆa

`
n ba ph´ut l`a th`u
.
a d¯u
˙’
; ngo`ai ra cˆa
`
n ch´u ´y rˇa
`
ng: nˆe
´
u
ta d¯˜a d¯a
.
t d¯u
.
o
.
.
c viˆe
.
c xˆe
´
p 8 con hˆa
.
u trˆen b`an c`o
.
, th`ı mˆo
.
t lˆa

.
p luˆa
.
n rˆa
´
t d¯o
.
n gia
˙’
n chı
˙’
cho ta r˜o
rˇa
`
ng khˆong thˆe
˙’
l`am tˇang sˆo
´
con hˆa
.
u lˆen d¯u
.
o
.
.
c n˜u
.
a trong tru
.
`o

.
ng ho
.
.
p tˆo
˙’
ng qu´at ho
.
n, c˜ung
cˆa
`
n c´o mˆo
.
t tiˆeu chuˆa
˙’
n d¯o
.
n gia
˙’
n d¯ˆe
˙’
nhˆa
.
n biˆe
´
t mˆo
.
t tˆa
.
p ho

.
.
p ˆo
˙’
n d¯i
.
nh trong cu
.
.
c d¯a
.
i hay khˆong,
v`a chı
˙’
c´o thuˆa
.
t to´an d¯˜a d¯u
.
o
.
.
c suy ngh˜ı k˜y m´o
.
i c´o thˆe
˙’
gi´up ta biˆe
´
t d¯iˆe
`
u d¯´o (xem [4]).

2.5 Phu
˙’
Tˆa
.
p g c´ac ca
.
nh d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a phu
˙’
cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
G = (V, Γ) nˆe
´
u mˆo
˜
i d¯ı
˙’
nh bˆa
´
t k`y thuˆo

.
c V liˆen
thuˆo
.
c v´o
.
i ´ıt nhˆa
´
t mˆo
.
t ca
.
nh trong g.
V´ı du
.
2.5.1 (a) Cˆay bao tr`um trong d¯ˆo
`
thi
.
vˆo hu
.
´o
.
ng liˆen thˆong l`a mˆo
.
t phu
˙’
.
(b) Chu tr`ınh Hamilton (nˆe
´

u n´o tˆo
`
n ta
.
i) trong d¯ˆo
`
thi
.
l`a mˆo
.
t phu
˙’
.
V´ı du
.
2.5.2 Trong tra
.
i giam cu
˙’
a th`anh phˆo
´
N, so
.
d¯ˆo
`
v˜e k`em theo d¯ˆay, mˆo
˜
i ngu
.
`o

.
i g´ac o
.
˙’
h`anh lang (a, b) pha
˙’
i gi´am s´at hai gian a v`a b l`a hai d¯ˆa
`
u cu
˙’
a h`anh lang; ho
˙’
i sˆo
´
ngu
.
`o
.
i g´ac
´ıt nhˆa
´
t l`a bao nhiˆeu d¯ˆe
˙’
mˆo
˜
i gian ´ıt nhˆa
´
t c´o mˆo
.
t ngu

.
`o
.
i gi´am s´at? B`ai to´an n`ay d¯u
.
a vˆe
`
t`ım
phu
˙’
cu
.
.
c tiˆe
˙’
u cu
˙’
a mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
. Trˆen d¯ˆo
`
thi
.
H`ınh 2.11, phu
˙’
nho

˙’
nhˆa
´
t c´o nˇam d¯ı
˙’
nh, vˆa
.
y nˇam
ngu
.
`o
.
i g´ac l`a d¯u
˙’
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65

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• •
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• •

•
H`ınh 2.9:
Trong mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
, c´o thˆe
˙’
c´o nhiˆe
`
u phu
˙’
, vˆa
´
n d¯ˆe
`
o
.
˙’
d¯ˆay l`a cˆa
`
n nghiˆen c´u
.
u phu
˙’
m`a c´o
mˆo
.

t v`ai t´ınh chˆa
´
t d¯ˇa
.
c biˆe
.
t n`ao d¯´o nhu
.
cˆay bao tr`um hay chu tr`ınh Hamnilton. Ta s˜e nghiˆen
c´u
.
u phu
˙’
tˆo
´
i thiˆe
˙’
u: l`a phu
˙’
m`a nˆe
´
u bo
˙’
d¯i mˆo
.
t ca
.
nh th`ı s˜e ph´a hu
˙’
y thuˆo

.
c t´ınh phu
˙’
cu
˙’
a n´o.
T`u
.
d¯i
.
nh ngh˜ıa dˆe
˜
d`ang suy ra
1. Tˆo
`
n ta
.
i phu
˙’
trong mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
nˆe
´
u v`a chı
˙’
nˆe

´
u d¯ˆo
`
thi
.
khˆong c´o d¯ı
˙’
nh cˆo lˆa
.
p.
2. Mˆo
.
t phu
˙’
cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
n d¯ı
˙’
nh c´o ´ıt nhˆa
´
t [n/2] ca
.
nh (k´y hiˆe
.
u [x] l`a sˆo
´

nguyˆen l´o
.
n nhˆa
´
t
khˆong vu
.
o
.
.
t qu´a x).
3. Mo
.
i ca
.
nh treo trong d¯ˆo
`
thi
.
nˇa
`
m trong phu
˙’
cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
.

4. Mo
.
i phu
˙’
d¯ˆe
`
u ch´u
.
a phu
˙’
tˆo
´
i thiˆe
˙’
u.
5. Tˆa
.
p c´ac ca
.
nh g l`a mˆo
.
t phu
˙’
nˆe
´
u v`a chı
˙’
nˆe
´
u, v´o

.
i mo
.
i d¯ı
˙’
nh v ∈ V ta c´o d
G\g
(v) ≤ d
G
(v)−1,
trong d¯´o G \ g l`a d¯ˆo
`
thi
.
G xo´a d¯i c´ac ca
.
nh thuˆo
.
c g.
6. Phu
˙’
tˆo
´
i thiˆe
˙’
u khˆong ch´u
.
a chu tr`ınh. Do vˆa
.
y mo

.
i phu
˙’
tˆo
´
i thiˆe
˙’
u cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
n d¯ı
˙’
nh khˆong
ch´u
.
a ho
.
n (n − 1) ca
.
nh.
7. Mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
, n´oi chung, c´o nhiˆe

`
u phu
˙’
tˆo
´
i thiˆe
˙’
u, v`a ch´ung c´o thˆe
˙’
c´o k´ıch thu
.
´o
.
c kh´ac
nhau (gˆo
`
m sˆo
´
c´ac ca
.
nh kh´ac nhau). Sˆo
´
c´ac ca
.
nh trong mˆo
.
t phu
˙’
tˆo
´

i thiˆe
˙’
u c´o c˜o
.
nho
˙’
nhˆa
´
t d¯u
.
o
.
.
c go
.
i l`a sˆo
´
phu
˙’
cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
.
D
-
i
.

nh l´y 2.5.3 Phu
˙’
g cu
˙’
a mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
l`a tˆo
´
i thiˆe
˙’
u nˆe
´
u v`a chı
˙’
nˆe
´
u g khˆong ch´u
.
a c´ac dˆay
chuyˆe
`
n c´o d¯ˆo
.
d`ai l´o
.
n ho

.
n hoˇa
.
c bˇa
`
ng ba.
Ch´u
.
ng minh. D
-
iˆe
`
u kiˆe
.
n cˆa
`
n. Gia
˙’
su
.
˙’
g l`a phu
˙’
tˆo
´
i thiˆe
˙’
u cu
˙’
a G m`a ch´u

.
a mˆo
.
t dˆay chuyˆe
`
n c´o
d¯ˆo
.
d`ai ba l`a
µ := {v
1
, e
1
, v
2
, e
2
, v
3
, e
3
, v
4
}.
Trong g bo
˙’
ca
.
nh e
2

th`ı ta vˆa
˜
n thu d¯u
.
o
.
.
c mˆo
.
t phu
˙’
cu
˙’
a G, d¯iˆe
`
u n`ay mˆau thuˆa
˜
n v´o
.
i t´ınh tˆo
´
i
thiˆe
˙’
u cu
˙’
a g.
66

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•
(a)

• • •
(b)
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(c)

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• • •
•
•
(d)
H`ınh 2.10: C´ac d¯ˆo
`
thi
.
h`ınh sao.
D
-
iˆe
`
u kiˆe
.
n d¯u
˙’
. Ngu
.
o
.
.
c la
.
i, nˆe

´
u g khˆong ch´u
.
a mˆo
.
t dˆay chuyˆe
`
n n`ao c´o d¯ˆo
.
d`ai l´o
.
n ho
.
n hoˇa
.
c
bˇa
`
ng ba th`ı c´ac th`anh phˆa
`
n cu
˙’
a n´o pha
˙’
i c´o mˆo
.
t trong c´ac da
.
ng “h`ınh sao” nhu
.

trong H`ınh
2.10. Hiˆe
˙’
n nhiˆen nˆe
´
u xo´a bˆa
´
t k`y mˆo
.
t ca
.
nh cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
h`ınh sao th`ı s˜e c´o ´ıt nhˆa
´
t mˆo
.
t d¯ı
˙’
nh
khˆong liˆen thuˆo
.
c v´o
.
i ca
.

nh c`on la
.
i cu
˙’
a g. Vˆa
.
y g l`a phu
˙’
tˆo
´
i thiˆe
˙’
u. 
V´ı du
.
2.5.4 Gia
˙’
su
.
˙’
d¯ˆo
`
thi
.
trong H`ınh 2.11 biˆe
˙’
u diˆe
˜
n ba
˙’

n d¯ˆo
`
giao thˆong cu
˙’
a mˆo
.
t th`anh
phˆo
´
. Mˆo
˜
i d¯ı
˙’
nh l`a mˆo
.
t n´ut giao thˆong thu
.
`o
.
ng xa
˙’
y ra tˇa
´
c ngh˜en v`a mˆo
˜
i ca
.
nh tu
.
o

.
ng ´u
.
ng mˆo
.
t
d¯a
.
i lˆo
.
nˆo
´
i hai n´ut giao thˆong. Cˆa
`
n d¯ˇa
.
t c´ac d¯ˆo
.
i tuˆa
`
n tra trˆen c´ac d¯a
.
i lˆo
.
sao cho c´o thˆe
˙’
gi´am
s´at tˆa
´
t ca

˙’
c´ac n´ut giao thˆong. Vˆa
´
n d¯ˆe
`
d¯ˇa
.
t ra l`a sˆo
´
tˆo
´
i thiˆe
˙’
u c´ac d¯ˆo
.
i tuˆa
`
n tra l`a bao nhiˆeu?
Cˆau tra
˙’
l`o
.
i ch´ınh l`a t`ım phu
˙’
tˆo
´
i thiˆe
˙’
u v´o
.

i sˆo
´
phˆa
`
n tu
.
˙’
´ıt nhˆa
´
t cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
. Dˆe
˜
kiˆe
˙’
m tra hai
tˆa
.
p sau l`a phu
˙’
tˆo
´
i thiˆe
˙’
u:
{(a, d), (b, e), (c, f), (f, i), (g, h), (k, l)}

v`a
{(a, b), (b, d), (b, e), (c, f), (f, g), (f, i), (h, l)}.
Do c´o 11 d¯ı
˙’
nh v`a mˆo
˜
i ca
.
nh phu
˙’
nhiˆe
`
u nhˆa
´
t hai d¯ı
˙’
nh nˆen khˆong thˆe
˙’
phu
˙’
d¯ˆo
`
thi
.
´ıt ho
.
n s´au
ca
.
nh.

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.
•
x

y

z

•
w

yz

•

w

yz
•
xyz
H`ınh 2.13:
68

Biˆe
˙’
u th´u
.
c n`ay la
.
i c´o thˆe
˙’
biˆe
˙’
u diˆe
˜
n bo
.
˙’
i d¯ˆo
`
thi
.
trong H`ınh 2.13.
C´ac th`anh phˆa
`

n x

y

z

v`a xyz khˆong thˆe
˙’
phu
˙’
bo
.
˙’
i mˆo
.
t ca
.
nh do d¯´o khˆong thˆe
˙’
cu
.
.
c tiˆe
˙’
u
thˆem v´o
.
i ch´ung. Ngo`ai ra c´o mˆo
.
t ca

.
nh phu
˙’
hai d¯ı
˙’
nh c`on la
.
i w

yz v`a w

yz

. Do d¯´o biˆe
˙’
u th´u
.
c
Boole tˆo
´
i thiˆe
˙’
u l`a
f = x

y

z

+ xyz + w


y.
2.6 Nhˆan cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
2.6.1 C´ac d¯i
.
nh l´y vˆe
`
tˆo
`
n ta
.
i v`a duy nhˆa
´
t
X´et d¯ˆo
`
thi
.
G := (V, Γ). Ta n´oi tˆa
.
p ho
.
.
p S ⊂ V l`a nhˆan cu
˙’

a d¯ˆo
`
thi
.
G nˆe
´
u S l`a tˆa
.
p ˆo
˙’
n d¯i
.
nh
trong v`a ngo`ai cu
˙’
a G; t´u
.
c l`a nˆe
´
u
1. Nˆe
´
u v ∈ S th`ı Γ(v) ∩ S = ∅; v`a
2. Nˆe
´
u v /∈ S th`ı Γ(v) ∩ S = ∅.
D
-
iˆe
`

u kiˆe
.
n (1) suy ra rˇa
`
ng nhˆan S khˆong c´o khuyˆen; d¯iˆe
`
u kiˆe
.
n (2) suy ra nhˆan S ch´u
.
a mo
.
i
d¯ı
˙’
nh v ∈ V c´o Γ(v) = ∅; ngo`ai ra, r˜o r`ang tˆa
.
p trˆo
´
ng ∅ khˆong pha
˙’
i l`a nhˆan.
V´ı du
.
2.6.1 [Von Neumann-Morgenstern] Kh´ai niˆe
.
m nhˆan d¯ˆa
`
u tiˆen d¯u
.

o
.
.
c d¯u
.
a v`ao l´y
thuyˆe
´
t tr`o cho
.
i v´o
.
i tˆen go
.
i l`a “l`o
.
i gia
˙’
i”.
Gia
˙’
su
.
˙’
c´o n d¯ˆa
´
u thu
˙’
, k´y hiˆe
.

u l`a (1), (2), . . . , (n), ho
.
c´o thˆe
˙’
thoa
˙’
thuˆa
.
n v´o
.
i nhau d¯ˆe
˙’
cho
.
n t`ınh thˆe
´
v trong tˆa
.
p ho
.
.
p V ; nˆe
´
u d¯ˆa
´
u thu
˙’
(i) u
.
ng t`ınh thˆe

´
a ho
.
n t`ınh thˆe
´
b th`ı ta viˆe
´
t
a  b. Hiˆe
˙’
n nhiˆen  l`a quan hˆe
.
tiˆe
`
n th´u
.
tu
.
.
to`an phˆa
`
n
1
. V`ı nh˜u
.
ng su
.
.
th´ıch ´u
.

ng cu
˙’
a c´ac c´a
nhˆan  c´o thˆe
˙’
khˆong ph`u ho
.
.
p nhau nˆen ta pha
˙’
i d¯u
.
a thˆem kh´ai niˆe
.
m th´ıch ´u
.
ng hiˆe
.
u qua
˙’
 . Nˆe
´
u t`ınh huˆo
´
ng a d¯u
.
o
.
.
c th´ıch ´u

.
ng hiˆe
.
u qua
˙’
ho
.
n t`ınh huˆo
´
ng b (k´y hiˆe
.
u a  b) th`ı ngh˜ıa
l`a: c´o mˆo
.
t tˆa
.
p d¯ˆa
´
u thu
˙’
, do cho rˇa
`
ng a ho
.
n b nˆen ho
.
c´o thˆe
˙’
cho quan d¯iˆe
˙’

m cu
˙’
a m`ınh thˇa
´
ng
thˆe
´
; nˆe
´
u ngo`ai ra la
.
i c´o b  c th`ı c´o mˆo
.
t tˆa
.
p c´ac d¯ˆa
´
u thu
˙’
c´o kha
˙’
nˇang l`am cho t`ınh huˆo
´
ng b
thˇa
´
ng thˆe
´
; nhu
.

ng v`ı tˆa
.
p ho
.
.
p th´u
.
hai khˆong bˇa
´
t buˆo
.
c pha
˙’
i tr`ung v´o
.
i tˆa
.
p ho
.
.
p th´u
.
nhˆa
´
t nˆen
c´o thˆe
˙’
khˆong bˇa
´
t buˆo

.
c a  c : quan hˆe
.
 khˆong c´o t´ınh bˇa
´
c cˆa
`
u
2
!
1
Quan hˆe
.
 trˆen tˆa
.
p V l`a tiˆe
`
n th´u
.
tu
.
.
to`an phˆa
`
n nˆe
´
u n´o thoa
˙’
m˜an: t´ınh pha
˙’

n xa
.
, t´ınh bˇa
´
c cˆa
`
u v`a hai
phˆa
`
n tu
.
˙’
bˆa
´
t k`y a, b ∈ V th`ı hoˇa
.
c a  b hoˇa
.
c b  a.
2
Thuˆa
.
t ng˜u
.
th´ıch ´u
.
ng hiˆe
.
u qua
˙’

do G. T. Guilbaud d¯u
.
a ra trong [40]; Von Neumann v`a Morgenstern la
.
i
d`ung danh t`u
.
´ap d¯a
˙’
o. Vˆe
`
c´ac c´ach ph´at biˆe
˙’
u to´an ho
.
c kh´ac cu
˙’
a su
.
.
th´ıch ´u
.
ng hiˆe
.
u qua
˙’
, xem [5].
69

Bˆay gi`o

.
x´et d¯ˆo
`
thi
.
G = (V, Γ) trong d¯´o Γ(x) l`a tˆa
.
p c´ac t`ınh huˆo
´
ng d¯u
.
o
.
.
c th´ıch ´u
.
ng
hiˆe
.
u qua
˙’
ho
.
n x. Go
.
i S l`a nhˆan (nˆe
´
u c´o) cu
˙’
a d¯ˆo

`
thi
.
. Von Neumann v`a Morgenstern d¯ˆe
`
nghi
.
chı
˙’
ha
.
n chˆe
´
tr`o cho
.
i v´o
.
i c´ac phˆa
`
n tu
.
˙’
cu
˙’
a S thˆoi. Su
.
.
ˆo
˙’
n d¯i

.
nh trong cu
˙’
a S biˆe
˙’
u thi
.
rˇa
`
ng:
khˆong c´o mˆo
.
t t`ınh huˆo
´
ng n`ao cu
˙’
a S d¯u
.
o
.
.
c th´ıch ´u
.
ng hiˆe
.
u qua
˙’
ho
.
n mˆo

.
t t`ınh huˆo
´
ng kh´ac x;
su
.
.
ˆo
˙’
n d¯i
.
nh ngo`ai cu
˙’
a S biˆe
˙’
u thi
.
rˇa
`
ng: mo
.
i t`ınh huˆo
´
ng x khˆong thuˆo
.
c S khˆong d¯u
.
o
.
.

c th´ıch
´u
.
ng hiˆe
.
u qua
˙’
ho
.
n mˆo
.
t t`ınh huˆo
´
ng n`ao d¯´o cu
˙’
a S, do d¯´o t`ınh huˆo
´
ng x lˆa
.
p t´u
.
c d¯u
.
o
.
.
c loa
.
i tr`u
.

.
V´ı du
.
2.6.2 Khˆong pha
˙’
i mo
.
i d¯ˆo
`
thi
.
d¯ˆe
`
u c´o nhˆan. Nˆe
´
u d¯ˆo
`
thi
.
c´o nhˆan S
0
th`ı c´ac sˆo
´
ˆo
˙’
n
d¯i
.
nh cu
˙’

a n´o thoa
˙’
m˜an d¯iˆe
`
u kiˆe
.
n:
α(G) = max
S∈S
#S ≥ #S
0
≥ min
T ∈T
= β(G).
D
-
ˆo
`
thi
.
trong H`ınh 2.14 khˆong c´o nhˆan v`ı
α(G) = 1 < 2 = β(G).
Tr´ai la
.
i, d¯ˆo
`
thi
.
trong H`ınh 2.15 c´o hai nhˆan l`a S


= {b, d} v`a S

= {a, c}.

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.
a
b
c
• •
•
H`ınh 2.14:

Bˆay gi`o
.
ta d¯u
.
a ra tiˆeu chuˆa
˙’
n d¯ˆe
˙’
nhˆa
.
n biˆe
´
t mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
c´o nhˆan hay khˆong, v`a nhˆan c´o
duy nhˆa
´
t khˆong?

.
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a
b
c
d
• •
••
H`ınh 2.15:
70

D
-

i
.
nh l´y 2.6.3 Nˆe
´
u S l`a nhˆan cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
(V, Γ) th`ı S l`a tˆa
.
p ho
.
.
p cu
.
.
c d¯a
.
i trong ho
.
S c´ac
tˆa
.
p ˆo
˙’
n d¯i
.
nh trong; t´u

.
c l`a
A ∈ S, S ⊂ A ⇒ A = S.
Ch´u
.
ng minh. Thˆa
.
t vˆa
.
y, gia
˙’
su
.
˙’
ngu
.
o
.
.
c la
.
i tˆo
`
n ta
.
i tˆa
.
p ˆo
˙’
n d¯i

.
nh trong A ch´u
.
a nhˆan S v`a A = S.
Khi d¯´o tˆo
`
n ta
.
i a ∈ A sao cho a = S; t`u
.
d¯´o suy ra Γ(a) ∩ S = ∅. Vˆa
.
y Γ(a) ∩ A = ∅, mˆau
thuˆa
˜
n v´o
.
i A ∈ S. 
D
-
i
.
nh l´y 2.6.4 Trong d¯ˆo
`
thi
.
d¯ˆo
´
i x´u
.

ng khˆong khuyˆen, mo
.
i tˆa
.
p ho
.
.
p cu
.
.
c d¯a
.
i cu
˙’
a ho
.
S c´ac
tˆa
.
p ho
.
.
p ˆo
˙’
n d¯i
.
nh trong d¯ˆe
`
u l`a nhˆan
Ch´u

.
ng minh. Gia
˙’
su
.
˙’
S l`a tˆa
.
p ho
.
.
p cu
.
.
c d¯a
.
i trong S, ta pha
˙’
i ch´u
.
ng minh rˇa
`
ng mo
.
i d¯ı
˙’
nh a /∈ S
d¯ˆe
`
u thoa

˙’
m˜an Γ(a) ∩ S = ∅. Thˆa
.
t vˆa
.
y, nˆe
´
u Γ(a) ∩ S = ∅ v´o
.
i d¯ı
˙’
nh a ∈ S th`ı tˆa
.
p A = S ∪ {a}
ˆo
˙’
n d¯i
.
nh trong (v`ı a /∈ Γ(a), d¯ˆo
`
ng th`o
.
i S ⊂ A, A = S, mˆau thuˆa
˜
n v´o
.
i gia
˙’
thiˆe
´

t S l`a tˆa
.
p ˆo
˙’
n
d¯i
.
nh trong cu
.
.
c d¯a
.
i. 
Hˆe
.
qua
˙’
2.6.5 Mo
.
i d¯ˆo
`
thi
.
d¯ˆo
´
i x´u
.
ng khˆong khuyˆen d¯ˆe
`
u c´o nhˆan.

Ch´u
.
ng minh. Thˆa
.
t vˆa
.
y, lˆa
.
p d¯ˆo
`
thi
.
phu
.
(S,
¯
Γ) c´o c´ac d¯ı
˙’
nh l`a c´ac tˆa
.
p ˆo
˙’
n d¯i
.
nh trong cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.

d¯ˆo
´
i x´u
.
ng d¯˜a cho, v`a S ∈
¯
Γ
S

nˆe
´
u v`a chı
˙’
nˆe
´
u S

⊂ S. D
-
ˆo
`
thi
.
phu
.
l`a ca
˙’
m ´u
.
ng, vˆa

.
y theo
Bˆo
˙’
d¯ˆe
`
Zorn, tˆo
`
n ta
.
i d¯ı
˙’
nh S ∈ S khˆong c´o d`ong d˜oi nˆen S l`a tˆa
.
p ˆo
˙’
n d¯i
.
nh trong cu
.
.
c d¯a
.
i v`a
theo D
-
i
.
nh l´y 2.6.4 S l`a nhˆan cu
˙’

a d¯ˆo
`
thi
.
d¯˜a cho. 
Trong d¯ˆo
`
thi
.
d¯ˆo
´
i x´u
.
ng khˆong khuyˆen, qu´a tr`ınh t`ım nhˆan l`a nhu
.
sau:
Lˆa
´
y mˆo
.
t d¯ı
˙’
nh bˆa
´
t k`y v
0
v`a d¯ˇa
.
t S
0

= {v
0
}; sau d¯´o lˆa
´
y mˆo
.
t d¯ı
˙’
nh v
1
/∈ Γ(S
0
) v`a d¯ˇa
.
t
S
1
= S
0
∪ {v
1
}; tiˆe
´
p theo lˆa
´
y v
2
/∈ Γ(S
1
) v`a d¯ˇa

.
t S
2
= S
1
∪ {v
2
}; v`a vˆan vˆan. V`ı d¯ˆo
`
thi
.
h˜u
.
u
ha
.
n nˆen s´o
.
m hay muˆo
.
n ta s˜e d¯u
.
o
.
.
c Γ(S
k
) = V, v`a v`ı S
k
l`a tˆa

.
p ho
.
.
p cu
.
.
c d¯a
.
i cu
˙’
a S nˆen n´o l`a
nhˆan.
D
-
i
.
nh l´y 2.6.6 D
-
iˆe
`
u kiˆe
.
n cˆa
`
n v`a d¯u
˙’
d¯ˆe
˙’
tˆa

.
p S l`a nhˆan l`a h`am d¯ˇa
.
c tru
.
ng cu
˙’
a n´o
ϕ
S
(x) :=

1 nˆe
´
u x ∈ S,
0 nˆe
´
u ngu
.
o
.
.
c la
.
i,
thoa
˙’
m˜an hˆe
.
th´u

.
c
ϕ
S
(x) = 1 − max
y∈Γ(x)
ϕ
S
(y).
Nˆe
´
u Γ(x) = ∅ th`ı ta quy u
.
´o
.
c
max
y∈Γ(x)
ϕ
S
(y) = 0.
71

Ch´u
.
ng minh. D
-
iˆe
`
u kiˆe

.
n cˆa
`
n. Gia
˙’
su
.
˙’
S l`a nhˆan. Do t´ınh ˆo
˙’
n d¯i
.
nh trong nˆen ϕ
S
(x) = 1 suy
ra x ∈ S v`a do d¯´o
max
y∈Γ(x)
ϕ
S
(y) = 0.
Mˇa
.
t kh´ac, do t´ınh ˆo
˙’
n d¯i
.
nh ngo`ai nˆen ϕ
S
(x) = 0 suy ra x /∈ S v`a do d¯´o

max
y∈Γ(x)
ϕ
S
(y) = 1.
T`u
.
d¯´o suy ra hˆe
.
th´u
.
c d¯˜a ph´at biˆe
˙’
u.
D
-
iˆe
`
u kiˆe
.
n d¯u
˙’
. Gia
˙’
su
.
˙’
ϕ
S
(x) l`a h`am d¯ˇa

.
c tru
.
ng cu
˙’
a mˆo
.
t tˆa
.
p ho
.
.
p S n`ao d¯´o. Nˆe
´
u hˆe
.
th´u
.
c cu
˙’
a
d¯i
.
nh l´y thoa
˙’
m˜an th`ı ta c´o
1. x ∈ S suy ra ϕ
S
(x) = 1 nˆen max
y∈Γ(x)

ϕ
S
(y) = 0. Vˆa
.
y Γ(x) ∩ S = ∅.
2. x /∈ S suy ra ϕ
S
(x) = 0 nˆen max
y∈Γ(x)
ϕ
S
(y) = 1. Vˆa
.
y Γ(x) ∩ S = ∅.
Do d¯´o S l`a nhˆan. 
D
-
i
.
nh l´y 2.6.7 [Richardson] Nˆe
´
u d¯ˆo
`
thi
.
h˜u
.
u ha
.
n khˆong c´o ma

.
ch v´o
.
i d¯ˆo
.
d`ai le
˙’
, th`ı n´o c´o
nhˆan (nhu
.
ng khˆong nhˆa
´
t thiˆe
´
t duy nhˆa
´
t).
Ch´u
.
ng minh. Xem, chˇa
˙’
ng ha
.
n [4]. 
2.6.2 Tr`o cho
.
i Nim
Gi˜u
.
a hai d¯ˆa

´
u thu
˙’
m`a ch´ung ta k´y hiˆe
.
u l`a (A) v`a (B) c´o mˆo
.
t d¯ˆo
`
thi
.
(V, Γ) cho ph´ep x´ac
d¯i
.
nh mˆo
.
t tr`o cho
.
i n`ao d¯´o, trong tr`o cho
.
i ˆa
´
y mˆo
˜
i thˆe
´
l`a mˆo
.
t d¯ı
˙’

nh cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
; d¯ı
˙’
nh kho
.
˙’
i d¯ˆa
`
u
v
0
d¯u
.
o
.
.
c cho
.
n bˇa
`
ng c´ach r´ut thˇam, v`a c´ac d¯ˆa
´
u thu
˙’
lˆa

`
n lu
.
o
.
.
t d¯i: d¯ˆa
`
u tiˆen d¯ˆa
´
u thu
˙’
(A) cho
.
n
d¯ı
˙’
nh v
1
trong tˆa
.
p ho
.
.
p Γ(v
0
); sau d¯´o (B) cho
.
n d¯ı
˙’

nh v
2
trong tˆa
.
p Γ(v
1
); tiˆe
´
p theo (A) la
.
i cho
.
n
d¯ı
˙’
nh v
3
trong tˆa
.
p Γ(v
2
), . . . . Nˆe
´
u mˆo
.
t d¯ˆa
´
u thu
˙’
cho

.
n d¯u
.
o
.
.
c d¯ı
˙’
nh v
k
m`a Γ(v
k
) = ∅ th`ı v´an d¯´o
kˆe
´
t th´uc; d¯ˆa
´
u thu
˙’
n`ao cho
.
n d¯u
.
o
.
.
c d¯ı
˙’
nh cuˆo
´

i c`ung th`ı thˇa
´
ng cuˆo
.
c v`a d¯ˆa
´
u thu
˙’
kia thua. Hiˆe
˙’
n
nhiˆen do ta chı
˙’
x´et d¯ˆo
`
thi
.
h˜u
.
u ha
.
n nˆen cuˆo
.
c cho
.
i s˜e kˆe
´
t th´uc sau mˆo
.
t sˆo

´
h˜u
.
u ha
.
n bu
.
´o
.
c.
D
-
ˆe
˙’
ky
˙’
niˆe
.
m mˆo
.
t tr`o cho
.
i tiˆeu khiˆe
˙’
n quen thuˆo
.
c m`a Nim d¯˜a tˆo
˙’
ng qu´at ho´a, ta go
.

i tr`o
cho
.
i v`u
.
a mˆo ta
˙’
l`a tr`o cho
.
i Nim v`a k´y hiˆe
.
u l`a (V, Γ) c˜ung nhu
.
d¯ˆo
`
thi
.
x´ac d¯i
.
nh n´o. B`ai to´an
d¯ˇa
.
t ra l`a ph´at hiˆe
.
n c´ac thˆe
´
thˇa
´
ng; ngh˜ıa l`a c´ac d¯ı
˙’

nh cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi
.
m`a ta pha
˙’
i cho
.
n d¯ˆe
˙’
ba
˙’
o d¯a
˙’
m
chˇa
´
c thˇa
´
ng mˇa
.
c d`u d¯ˆo
´
i phu
.
o
.
ng chˆo

´
ng tra
˙’
ra sao. Kˆe
´
t qua
˙’
chu
˙’
yˆe
´
u nhu
.
sau:
72

D
-
i
.
nh l´y 2.6.8 Nˆe
´
u d¯ˆo
`
thi
.
c´o nhˆan S v`a nˆe
´
u mˆo
.

t d¯ˆo
´
i thu
˙’
d¯˜a cho
.
n mˆo
.
t d¯ı
˙’
nh trong nhˆan S,
th`ı viˆe
.
c cho
.
n n`ay ba
˙’
o d¯a
˙’
m cho anh ta thˇa
´
ng hoˇa
.
c ho`a.
Ch´u
.
ng minh. Thˆa
.
t vˆa
.

y, nˆe
´
u d¯ˆa
´
u thu
˙’
(A) cho
.
n d¯ı
˙’
nh v
1
∈ S th`ı hoˇa
.
c Γ(v
1
) = ∅ l´uc d¯´o anh
ta thˇa
´
ng; hoˇa
.
c d¯ˆo
´
i phu
.
o
.
ng buˆo
.
c pha

˙’
i cho
.
n mˆo
.
t d¯ı
˙’
nh v
2
trong V \ S, do d¯´o d¯ˆe
´
n lu
.
o
.
.
t m`ınh,
d¯ˆa
´
u thu
˙’
(A) la
.
i c´o thˆe
˙’
cho
.
n mˆo
.
t d¯ı

˙’
nh v
3
∈ S v`a c´u
.
nhu
.
thˆe
´
m˜ai. Nˆe
´
u d¯ˆe
´
n mˆo
.
t l´uc n`ao d¯´o,
mˆo
.
t trong c´ac d¯ˆa
´
u thu
˙’
thˇa
´
ng bˇa
`
ng c´ach cho
.
n mˆo
.

t d¯ı
˙’
nh v
k
m`a Γ(v
k
) = ∅ th`ı ta c´o v
k
∈ S.
Vˆa
.
y d¯ˆa
´
u thu
˙’
thˇa
´
ng nhˆa
´
t d¯i
.
nh pha
˙’
i l`a (A). Ta c´o d¯iˆe
`
u pha
˙’
i ch´u
.
ng minh. 

Mˆo
.
t phu
.
o
.
ng ph´ap co
.
ba
˙’
n d¯ˆe
˙’
cho
.
i tˆo
´
t l`a t`ım h`am Grundy (nˆe
´
u n´o tˆo
`
n ta
.
i) (xem [4])
v`a t`u
.
d¯´o suy ra nhˆan cu
˙’
a d¯ˆo
`
thi

.
d¯˜a cho. Ba
.
n d¯o
.
c quan tˆam vˆe
`
c´ac tr`o cho
.
i trˆen d¯ˆo
`
thi
.
c´o
thˆe
˙’
xem [4] (Chu
.
o
.
ng 6).
73