Quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên phần 10 ppsx

216 Chương 4. Tính toán ngẫu nhiên
Thật vậy đặt X
t
= b

t
0
e
as
dW
s
ta có
Y
t
= e
−at
X
t
dX
t
= be
at
dW
t
.
Xét hàm u(t, x)=e
−at
x .TacóY
t
= u(t, X
t

),u
t
= −ae
−at
x, u
x
= e
−at
,u
xx
=
0. Công thức Ito cho ta
dY
t
=(−ae
−at
X
t
+0+0)dt + e
−at
be
at
dW
t
= −ae
−at
X
t
dt + bdW
t

= −aY (t)dt + bdW
t
.
Chứng minh công thức Ito. Ta chỉ cần chứng minh công thức Ito cho trường
hợp f,g là các hàm bậc thang. Truờng hợp tổng quát được suy ra bằng cách
chyển qua giới hạn. Vì các hàm bậc thang là tổ hợp tuyến tính các hàm hằng
số nên ta chỉ cần xét trường hợp khi f(t, ω)=f(ω) và g(t, ω)=g(ω) là đủ.
Như vậy quá trình X
t
của ta có dạng
X
t
= X
0
+ f(ω)t + g(ω)W
t
.
Quá trình Y
t
có dạng
Y
t
= u(t, X
t
)=u(t, X
0
+ f(ω)t + g(ω)W
t
).
Giả sử rằng 0=t

0
<t
1
< <t
n
= t ≤ T . Khi đó
Y
t
− Y
t
0
=
n

k=1

u(t
k
,X
t
k
) − u(t
k−1
,X
t
k−1

.
Công thức Taylor cho ta


u(t
k
,X
t
k
) − u(t
k−1
,X
t
k−1

=
= u
t
(t
k−1
+ d
k
(t
k
− t
k−1
),X
t
k−1
)(t
k
− t
k−1
)

+ u
x
(t
k−1
,X
t
k−1
)(X
t
k
−X
t
k−1
)
+
1
2
u
xx

t
k−1
,X
t
k−1
+ h
k
(X
t
k

−X
t
k−1

(X
t
k
− X
t
k−1
)
2
(4.6)
4.4. Công thức Ito 217
trong đó 0 <d
k
,h
k
< 1. Do tính liên tục của X
t
,u
t
và u
xx
ta thấy có tồn tại
các ĐLNN α
n
,β
n
hội tụ tới 0 với xác suất 1 khi

δ
n
= max(t
k
− t
k−1
) → 0
và thoả mãn ước lượng sau
max |u
t
(t
k−1
+ d
k
(t
k
− t
k−1
),X
t
k−1
) − u
t
(t
k−1
,X
t
k−1
|≤α
n

max |u
xx

t
k−1
,X
t
k−1
+ h
k
(X
t
k
−X
t
k−1

− u
xx
(t
k−1
,X
t
k−1
|≤β
n
.
Ngoài ra ta còn có
n


k=1
(t
k
− t
k−1
)=t − t
0
và
P − lim
δ
n
→0
n

k=1
(X
t
k
− X
t
k−1
)
2
= g
2
(t − t
0
).
Thành thử công thức Ito được chứng minh nếu ta chỉ ra
P − lim

δ
n
→0
n

k=1
[u
t
(t
k−1
,X
t
k−1
)(t
k
− t
k−1
)
+u
x
(t
k−1
,X
t
k−1
)(X
t
k
−X
t

k−1
)
+
1
2
u
xx
(t
k−1
,X
t
k−1
)(X
t
k
− X
t
k−1
)
2
]=

t
0

u
t
(s, X
s
)+u

x
(s, X
s
)f +
1
2
u
xx
(s, X
s
)g
2

ds
+

t
0
u
x
(s, X
s
)gdW
s
.
Do giả thiết liên tục ta có
lim
δ
n
→0

n

k=1
u
t
(t
k−1
,X
t
k−1
)(t
k
− t
k−1
)=

t
0
u
t
(s, X
s
)ds
218 Chương 4. Tính toán ngẫu nhiên
và
P − lim
δ
n
→0
n


k=1
u
x
(t
k−1
,X
t
k−1
)(X
t
k
− X
t
k−1
)
=

t
0
u
x
(s, X
s
)fds+

t
0
u
x

(s, X
s
)gdW
s
.
Ta còn cần xét tổng
n

k=1
u
xx
(t
k−1
,X
t
k−1
)(X
t
k
− X
t
k−1
)
2
=
f
2
n

k=1

u
xx
(t
k−1
,X
t
k−1
)(t
k
− t
k−1
)
2
+2fg
n

k=1
u
xx
(t
k−1
,X
t
k−1
)(t
k
− t
k−1
)(W
t

k
− W
t
k−1
)
+g
2
n

k=1
u
xx
(t
k−1
,X
t
k−1
)(W
t
k
− W
t
k−1
)
2
.
Hai số hạng đầu tiên của vế phải hội tụ tới 0 với xác suất 1 vì tính liên tục
của u
xx
và W

t
. Vậy ta cần chứng minh
P − lim
δ
n
→0
n

k=1
u
xx
(t
k−1
,X
t
k−1
)(W
t
k
− W
t
k−1
)
2
=

t
0
u
xx

(s, X
s
)ds.
Vì rằng
lim
δ
n
→0
n

k=1
u
xx
(t
k−1
,X
t
k−1
)(t
k
−t
k−1
)=

t
0
u
xx
(s, X
s

)ds
nên ta chỉ cần chứng minh
P − lim
δ
n
→0
S
n
=0
ởđó
S
n
=
n

k=1
u
xx
(t
k−1
,X
t
k−1
)

(W
t
k
− W
t

k−1
)
2
− (t
k
−t
k−1
)

.
4.4. Công thức Ito 219
Bây giờ ta sẽ khử đi những giá trị lớn của u
x
x bằng kỹ thuật cắt. Với mỗi
số nguyên dương m ta định nghĩa
I
m
k
(ω)=



1 nếu X
t
i
≤ m với mọi i ≤ k
0 nếu trái lại.
Đặt
ε
k

=(W
t
k
− W
t
k−1
)
2
− (t
k
− t
k−1
)
và
S
m
n
=
n

k=1
u
xx
(t
k−1
,X
t
k−1
)I
m

k−1
ε
k
Vì Eε
k
=0,Eε
2
k
=2(t
k
− t
k−1
)
2
và các ε
k
là độc lập với nhau và cũng độc
lập với u
xx
(t
k−1
,X
t
k−1
)I
m
k−1
nên
ES
m

n
=0
và
E(S
m
n
)
2
=
n

k=1
E(u
xx
(t
k−1
,X
t
k−1
)I
m
k−1
)
2
Eε
2
k
≤ 2 max
0<s<t,|y|<m
|u

xx
(s, y)
n

k=1
(t
k
− t
k−1
)
2
→ 0 khi δ
n
→ 0.
Vậy thì với mỗi m cố định
P − lim
δ
n
→0
S
m
n
=0
Mặt khác
P (S
n
= S
m
n
)=P (max |X

s
| >m).
Và
max |X
s
|≤|X
0
|+ |f|(t − t
0
)+|g|max |W
s
|
220 Chương 4. Tính toán ngẫu nhiên
là một biến ngẫu nhiên hữu hạn hầu chắc chắn nên P (S
n
= S
m
n
) có thể làm
nhỏ tuỳ ý khi m đủ lớn . Vì
P (|S
n
| >ε) ≤ P(|S
m
n
| >ε)+P(S
n
= S
m
n

)
ta suy ra
P − lim
δ
n
→0
S
n
=0.
Tổng quát hơn ta xét n quá trình Ito X
1
(t),X
2
(t), , X
n
(t) với các vi
phân ngẫu nhiên Ito
dX
i
(t)=f
i
(t, ω) dt + g
i
(t, ω) dW
t
.
Giả sử rằng u = u(t, x
1
,x
2

, , x
n
) là một hàm số xác định trên [0,T] × R
n
với các đạo hàm riêng liên tục u
t
,u
x
i
,u
x
i
x
j
với mọi i, j ≤ n. Xét quá trình
Y
t
= u(t, X
1
(t),X
2
(t), , X
n
(t).
Ta có công thức Ito suy rộng sau đây:
Định lý 4.6 (Công thức Ito mở rộng).
Quá trình Y
t
= u(t, X
1

(t),X
2
(t), , X
n
(t) là một quá trình Ito với vi phân
ngẫu nhiên cho bởi
dY
t
= u
t
dt +
n

i=1
u
x
i
dX
i
+
1
2
n

i=1
n

i=1
u
x

i
x
j
dX
i
dX
j
trong đó tích dX
i
dX
j
được tính theo quy ước sau
(dt)
2
= dWdt = dtdW =0, (dW
t
)
2
= dt.
Như vậy
dX
i
dX
j
= g
i
g
j
dt
và

dY
t
=

u
t
+
n

i=1
u
x
i
f
i
+
1
2
n

i=1
n

i=1
u
x
i
x
j
g

i
g
j

dt +

n

i=1
u
x
i
g
i

dW
t
.
4.5. Phương trình vi phân ngẫu nhiên 221
Ví dụ 4.4. Xét hàm u(t, x,y)=xy. Nếu
dX
t
= f
1
(t, ω)) dt + g
1
(t, ω) dW
t
dY
t

= f
2
(t, ω)) dt + g
2
(t, ω) dW
t
thì công thức Ito suy rộng cho ta
d(X
t
Y
t
)=X
t
dY
t
+ Y
t
dX
t
+ g
1
(t)g
2
(t)dt
hay viết dưới dạng tích phân
X
t
Y
t
= X

0
Y
0
+

t
0
X
s
dY
s
+

t
0
Y
s
dX
s
+

t
0
g
1
(s)g
2
(s)ds.
Công thức trên được gọi là công thức tích phân từng phần.
4.5 Phương trình vi phân ngẫu nhiên

Ta xét phương trình sau đây
X
t
= c +

t
0
f(s, X
s
)ds +

t
0
g(s, X
s
)dW
s
. (4.7)
Phương trình này được gọi là phương trình vi phân ngẫu nhiên với điều kiện
ban đầu X
0
= c trong đó c là một ĐLN N đã cho, f(t, x) và g( s, x) là các
hàm cho trướ c, ẩn số là quá trình ngẫu nhiên X
t
. Quá trình X
t
được gọi là
nghiệm của phương trình ((4.7)) nếu nó là một quá trình với quỹ đạo liên
tục và thoả mãn đẳng thức ((4.7)) hầu chắc chắn với mỗi t ∈ [0,T].
Người ta thường viết phương trình (4.7) dưới dạng vi phân sau đây




dX
t
= f(t, X
t
)dt + g(t, X
t
)dW
t
X
0
= c
(4.8)
Câu hỏi dật ra là:
1) Với điều kiện nào thì phương trình (4.8) có tồn tại và duy nhất nghiệm ?
222 Chương 4. Tính toán ngẫu nhiên
2) Giải phương trình (4.8) bằng cách nào?
Chúng ta hãy đề cập tới câu hỏi 2) trước thông qua một số ví dụ. Qua
các ví dụ ta sẽ thấy công cụ cơ bản để tìm lời giải của một phương trình vi
phân ngẫu nhiên chính là công thức Ito.
Ví dụ 4.5. Cho phương trình
dX
t
= X
t
dW
t
,X

0
=0.
Chứng minh rằng quá trình
X
t
= exp(W
t
− t/2)
là nghiệm của phương trình nói trên.
Thật vậy xét hàm u(t, x) = exp(x −t/2).TacóX
t
= u(t, W
t
). Theo công
thức Ito ta có
dX
t
=(−exp(W
t
− t/2)
1
2
+
1
2
exp(W
t
− t/2) + exp(W
t
− t/2)dW

t
= exp(W
t
− t/2)dW
t
= X
t
dW
t
.
Chú ý rằng phương trình vi phân không ngẫu nhiên tương ứng
dx
t
= x
t
dv
t
↔ x

t
= x
t
v

t
có nghiệm là x
t
= c exp(v
t
).

Ví dụ 4.6. (Quá trình Ornstein-Uhlenbeck) Chúng ta xét một ví dụ cổ điển
nhất về phương trình vi phân ngẫu nhiên: Xét chuyển động ngẫu nhiên của
một hạt trong chất lỏng, không có lực tác động bên ngoài. Gọi Y
t
là vận tốc
tại thời điểm t . Khi ấy ta có phương trình Langevin sau đây
˙
Y
t
= −αY
t
+ σξ
t
trong đó α, σ > 0 còn ξ
t
là tiếng ồn trắng. Đây là cách viết hình thức của
phương trình vi phân ngẫu nhiên sau đây
dY
t
= −αY
t
dt + σdW
t
,Y
0
= c. (4.9)
4.5. Phương trình vi phân ngẫu nhiên 223
Ta chứng minh rằng quá trình
Y
t

= e
−αt
c + σ

t
0
e
−α(t−s)
dW
s
(4.10)
là nghiệm của phương trình (4.9).
Thật vậy đặt X
t
= c + σ

t
0
e
αs
dW
s
ta có
Y
t
= e
−αt
X
t
dX

t
= σe
at
dW
t
.
Xét hàm u(t, x)=e
−αt
x .TacóY
t
= u(t, X
t
),u
t
= −αe
−αt
x, u
x
=
e
−αt
,u
xx
=0. Công thức Ito cho ta
dY
t
=(−αe
−αt
X
t

+0+0)dt + e
−αt
σe
αt
dW
t
= −αe
−αt
X
t
dt + σdW
t
= −αY (t) dt + σdW
t
.
Lại có Y
0
= c. Do đó Y
t
là nghiệm của phương trình (4.9). Những suy luận
phức tạp hơn sẽ chứng minh rằng Y
t
cho bởi công thức (4.10) là nghiệm duy
nhất của phương trình (4.9). Qúa trình Y
t
được gọi là quá trình Ornstein-
Uhlenbeck.
Với giả thiết giá trị ban đầu c là một ĐLNN có phân bố chuẩn N(0.σ
2
/2α)

thì Y
t
là một quá trình Gauss dừng với kỳ vọng 0 và hàm tương quan là
K(t, s)=e
−α|t−s|
σ
2
/2α.
Ví dụ 4.7. (Mô hình Black-Scholes.) Năm 1973 hai nhà kinh tế học và toán
tài chính M.Black và M.Scholes đưa ra một mô hình toán học cho phép định
giá tài sản của người đầu tư cổ phiếu trên thị trương chứng khoán. Giá S
t
của một cổ phiếu (stock) được mô tả bởi phương trình vi phân ngẫu nhiên
sau đây (gọi tắt là phương trình B-S)
dS
t
= µS
t
dt + σS
t
dW
t
,
trong đó µ là tỷ lệ trung bình của giá chứng khoán luân chuyển ( mean rate
of return), σ biểu thị sự biến động giá chứng khoán.
224 Chương 4. Tính toán ngẫu nhiên
Ta sẽ chứng minh rằng phương trình B-S có nghiệm duy nhất cho bởi công
thức sau
S
t

= S
0
exp

(µ − σ
2
/2)t + σW
t

. (4.11)
a) Sự tồn tại: Thật vậy xét quá trình Ito X
t
với vi phân Ito
dX
t
=(µ − σ
2
/2)dt + σdW
t
(4.12)
Xét quá trình S
t
= e
X
t
= u(X
t
) ởđóu(x)=e
x
. Công thức Ito cho ta

dS
t
=

e
X
t
(µ − σ
2
/2) +
1
2
e
X
t
σ
2

dt + e
X
t
σdW
t
= e
X
t
µdt + e
X
t
σdW

t
= µS
t
dt + σS
t
dW
t
.
Như vậy S
t
là nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên đang xét.
Mặt khác từ ((4.12))tacó
X
t
= X
0
+(µ − σ
2
/2)t + σdW
t
.
Thay vào ta được công thức (4.11).
b)Tính duy nhất: Giả sử X
t
một nghiệm của phương trình B-S nghĩa là
dX
t
= µX
t
dt + σX

t
dW
t
.
Cách 1:Xét hàm u(x)=lnx. Theo công thức Ito ta có
d(ln X
t
)=(
1
X
t
µX
t
−
1
2X
2
t
σ
2
X
2
t
)dt
+
1
X
t
σX
t

dW
t
=(µ − σ
2
/2)dt + σdW
t
.
Vậy
ln X
t
− ln X
0
=(µ − σ
2
/2)t + σW
t
hay
X
t
= c exp

(µ − σ
2
/2)t + σW
t

.
4.5. Phương trình vi phân ngẫu nhiên 225
Cách 2: Ta xét quá trình Z
t

cho bởi
Z
t
=
S
0
S
t
= exp

(µ
1
− σ
2
1
/2)t + σ
1
W
t

ởđóµ
1
= −µ + σ
2
,σ
1
= −σ.Tacó
dZ
t
= µ

1
Z
t
dt + σ
1
Z
t
dW
t
,Z
0
=1.
Công thức tích phân từng phần cho ta
d(X
t
Z
t
)=X
t
dZ
t
+ Z
t
dX
t
− σ
2
dt =
X
t

Z
t
(µ
1
dt + σ
1
dW
t
)+Z
t
X
t
(µdt + σdW
t
) − σ
2
dt =0.
Vậy X
t
Z
t
= X
0
Z
0
hay
X
t
= x
0

Z
−1
t
= S
t
.
Ví dụ 4.8. (Mô hình tăng trưởng dân số.) Xét mô hình tăng trưởng dân số
dN
t
dt
= a(t)N
t
(4.13)
trong đó N
t
là số luợng cá thể của quần thể tại thời diểm t, a(t) là tỷ lệ tăng
dân số (hay tốc độ tăng tương đối) tại thời điểm t. Trong mô hình đơn giản
nhất ta giả sử a(t)=r là một hằng số không thay đổi theo thời gian. Khi ấy
dễ thấy phương trình vi phân trên có nghiệm là
N
t
= N
0
e
rt
.
Đây chính là luật Mantuyt về sự tăng dân số theo hàm mũ.
Trong môi trường ngẫu nhiên ta giả sử rằng a(t) chịu sự tác động của
một nhân tố ngẫu nhiên do đó
a(t)=r(t)+αξ

t
ởđór( t) là hàm không ngẫu nhiên, α là hằng số còn ξ
t
là ồn trắng.
226 Chương 4. Tính toán ngẫu nhiên
Trong mô hình đơn giản nhất ta giả sử r(t)=r là hằng số. Khi đó phương
trình (4.13) có dạng
dN
t
= rN
t
dt + αN
t
ξ
t
dt = rN
t
dt + αN
t
dW
t
.
Đây chính là phương trình B-S đã xét ở ví dụ trên. Phương trình này có
nghiệm duy nhất là
N
t
= N
0
exp


(r − α
2
/2)t + αW
t

.
Ta hãy khảo sát tính chất của nghiệm. Đặt m
t
= EN
t
là dân số trung bình
của quần thể tại thời điểm t. Ta sẽ chỉ ra rằng nếu N
0
độc lập với W
t
thì
m
t
= m
0
e
rt
tức là m
t
là một hàm mũ ( luật Mantuyt). Thật vậy đặt
Y
t
= e
αW
t

.
Công thức Ito cho ta
dY
t
= αe
αW
t
dW
t
+
1
2
α
2
e
αW
t
dt
hay
Y
t
= Y
0
+ α

t
0
Y
s
dW

s
+
1
2
α
2

t
0
Y
s
ds.
Lấy kỳ vọng hai vế , chú ý rằng E(

t
0
Y
s
dW
s
)=0(do tính chất của tích phân
Ito) ta thu được
EY
t
= EY
0
+
1
2
α

2

t
0
EY
s
ds
tức là
d
dt
EY
t
=
1
2
α
2
EY
t
,EY
0
=1.
Suy ra EY
t
= exp(
1
2
α
2
t). Mặt khác do N

0
độc lập với W
t
nên
m
t
= EN
t
= EN
0
EY
t
exp(r − α
2
/2)t = m
0
e
rt
.
Ngoài ra dựa vào công thức hiện của N
t
và luật loga lặp của quá trình Wiener
ta còn thu được kết luận sau
4.5. Phương trình vi phân ngẫu nhiên 227
• Nếu r>
1
2
α
2
thì N

t
→∞khi t →∞(Sự bùng nổ dân số của quần
thể)
• Nếu r<
1
2
α
2
thì N
t
→ 0 khi t →∞( Sự diệt vong dân số của quần
thể).
• Nếu r =
1
2
α
2
thì N
t
giao động giữa giá trị lớn tuỳ ý và giá trị nhỏ tuỳ
ý.
Một điều lý thú là nếu 0 <r<
1
2
α
2
thì
lim
t→∞
N

t
=0, h.c.c
nhưng
lim
t→∞
EN
t
= lim
t→∞
m
0
e
rt
=+∞.
Ví dụ 4.9. Tổng quát hơn ta xét phương trình
dY
t
= µ(t, ω)Y
t
dt + σ(t, ω)Y
t
dW
t
.
Ta chứng minh rằng nghiệm của phương trình trên là
Y
t
= Y
0
exp



t
0
(µ(s) − σ
2
(s)/2)ds +

t
0
σ(s)dW
s

. (4.14)
Thật vậy xét quá trình Ito X
t
với vi phân Ito
dX
t
=(µ(t) −σ
2
(t)/2)dt + σ(t)dW
t
. (4.15)
Xét quá trình Y
t
= e
X
t
= u(X

t
) ởđóu(x)=e
x
. Công thức Ito cho ta
dY
t
=

e
X
t
(µ(t) − σ
2
(t)/2) +
1
2
e
X
t
σ
2
(t)

dt + e
X
t
σ(t)dW
t
= e
X

t
µ(t)dt + e
X
t
σ(t)dW
t
= µ(t, ω)Y
t
dt + σ(t, ω)Y
t
dW
t
.
Như vậy Y
t
là nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên đang xét.
228 Chương 4. Tính toán ngẫu nhiên
Mặt khác từ (4.15) ta có
X
t
= X
0
+

t
0
µ(s) − σ
2
(s)/2)ds +


t
0
σ(s)dW
s
.
Thay vào ta được công thức (4.14).
Bây giờ chúng ta trở lại câu hỏi 1) về sự tồn tại và duy nhất nghiệm.
Định lý 4.7. Giả sử các hàm f(t, x) và g(t, x) thoả mãn các điều kiện sau
|f(t, x)| + |g(t, x)|≤C(1 + |x|),x∈ R.t ∈ [0,T]
với C là hằng số và
|f(t, x) − f(t, y)| + |g(t, x) − g(t, y)|≤D|x −y|
với D là hằng số. Gọi Z là ĐLNN độc lập với W
t
,t≥ 0 và EZ
2
< ∞ Khi đó
phương trình vi phân ngẫu nhiên
dX
t
= f(t, X
t
)dt + g(t, X
t
)dW
t
,X
0
= c (4.16)
có nghiệm duy nhất.
Chứng minh. a) Tính duy nhất: Giả sử X

t
và Y
t
là hai nghiệm. Đặt
a(s, ω)=f(s, X
s
) − f(s, Y
s
),b(s, ω)=g(s, X
s
) − g(s, Y
s
).
Ta có
E(X
t
− Y
t
)
2
= E(X
0
− Y
0
+

t
0
ads +


t
0
bdW
s
)
2
≤ 3E|X
0
− Y
0
|
2
+3E|(

t
0
ads)
2
| +3E|(

t
0
bdW
s
)
2
|
≤ 3E|X
0
− Y

0
|
2
+3tE(

t
0
a
2
ds)+3E(

t
0
b
2
ds)
≤ 3E|X
0
− Y
0
|
2
+ 3(1 + t)
2
D
2

t
0
E|X

s
− Y
s
|
2
ds.
4.5. Phương trình vi phân ngẫu nhiên 229
Do đó hàm v(t)=E|X
t
− Y
t
|
2
; t ∈ [0,T] thoả mãn bất đẳng thức
v(t) ≤ F + A

t
0
v(s)ds
trong đó F =3E|X
0
− Y
0
|
2
,A= 3(1 + T )
2
D
2
. Đặt w(t)=


t
0
v(s)ds. Khi đó
w

(t) ≤ F + Aw(t).
Vì w(0) = 0 suy ra w(t) ≤ F/A(exp(At) − 1). Do đó
v(t) ≤ F exp(At).
Vì X
0
= Y
0
= Z nên F =0do đó v( t)=0, ∀t ∈ [0,T].Vậy
P (X
t
= Y
t
)=1∀t ∈ [0,T].
b) Sự tồn tại: Đặt Y
0
t
= X
0
và ta xác định Y
k+1
t
một cách truy hồi như sau
Y
k+1

t
= X
0
+

t
0
f(s, Y
k
s
)ds +

t
0
g(s, Y
k
s
)dW
s
.
Khi đó bằng tính toán tương tự như khi chứng minh tính duy nhất ta có
E|Y
k+1
t
− Y
k
t
|
2
≤ 3(1 + T )

2
D

t
0
E|Y
k
s
− Y
k−1
s
|
2
ds
và
E|Y
1
t
− Y
0
t
|
2
≤ A
1
t
trong đó hằng số A
1
chỉ phụ thuộc vào C,T,EX
2

0
. Bằng quy nạp theo k ta
có
E|Y
k+1
t
− Y
k
t
|
2
≤
A
k+1
2
t
k+1
(k + 1)!
trong đó A
2
là một hằng số. Tiếp theo
sup
t∈[0,T ]
|Y
k+1
t
− Y
k
t
|≤


T
0
|f(s, Y
k
s
) − f(s, Y
k−1
s
)ds
+ sup
t∈[0,T ]
|

t
0
(g(s, Y
k
s
) − g(s, Y
k−1
s
)dW
s
|.
230 Chương 4. Tính toán ngẫu nhiên
Do bất đẳng thức martingale Doob ta thu được
P ( sup
t∈[0,T ]
|Y

k+1
t
− Y
k
t
| > 2
−k
)
≤ P |(

T
0
|f(s, Y
k
s
) − f(s, Y
k−1
s
)ds)
2
> 2
2k−2
)
+P ( sup
t∈[0,T ]
|

t
0
(g(s, Y

k
s
) −g(s, Y
k−1
s
)dW
s
| > 2
−k−1
)
≤ 2
2k+2
T

T
0
E|f(s, Y
k
s
) − f(s, Y
k−1
s
)
2
ds
+2
2k+2

T
0

E|(g(s, Y
k
s
) − g(s, Y
k−1
s
|
2
)ds
≤ 2
2k+2
D
2
(T +1)

T
0
A
k
2
t
k
k!
dt ≤
(4A
2
T )
k+1
(k + 1)!
nếu chọn A

2
≥ 4D
2
(T +1).
Do đó theo bổ đề Borel-Cantelli với hầu hết ω có tồn tại k
0
= k
0
(ω) sao
cho
sup
t∈[0,T ]
|Y
k+1
t
− Y
k
t
| < 2
−k
, với k>k
0
.
Do đó với hầu hết ω dãy Y
n
t
(ω) hội tụ đều theo t. Ký hiệu giới hạn là
X
t
= X

t
(ω).CóX
t
là một quá trình liên tục vì Y
n
t
là một quá trình liên tục
với mọi n. Hơn nũa, X
t
là F
t
- đo được vì Y
n
t
có tính chất đó với mọi n.
Cuối cùng ta chứng minh X
t
thoả mãn phương trình (4.16) . Với mỗi n ta
có
Y
k+1
t
= X
0
+

t
0
f(s, Y
k

s
)ds +

t
0
g(s, Y
k
s
)dW
s
(4.17)
và với m>n
||Y
m
t
− Y
n
y
||
L
2
≤
∞

k=n
A
2
T )
k+1
(k + 1)!

→ 0, khi n →∞.
Có Y
n
t
(ω) → X
t
(ω) đều theo t với hầu hết ω. Theo bổ đề Fatou ta có
E(

T
0
|X
t
− Y
n
t
|
2
dt) ≤ lim inf
m
E((

T
0
|Y
m
t
− Y
n
t

|
2
dt) → 0khi n →∞.
4.5. Phương trình vi phân ngẫu nhiên 231
Từ đó bởi đẳng cấu Ito

t
0
g(s, Y
n
s
)dW
s
→

t
0
g(s, X
s
)dW
s
và theo bất đẳng thức Holder

t
0
f(s, Y
n
s
)ds →


t
0
f(s, X
s
)ds
trong L
2
(Ω). Qua giới hạn ở (4.17) ta nhận đượ c
X
t
= X
0
+

t
0
f(s, X
s
)ds +

t
0
g(s, X
s
)dW
s
.
Bây giờ ta nêu lên một số tính chất quan trọng của lời giải X
t
của phương

trình vi phân ngẫu nhiên (không chứng minh)
dX
t
= f(t, X
t
)dt + g(t, X
t
)dW
t
,X
0
= c. (4.18)
1. Giả sử điều kiện tồn tại và duy nhất nghiệm của định lý trên được thoả
mãn và Ec
2n
< ∞ . Khi đó
E|X
t
− X
s
|
2n
≤ C|t − s|
n
với c là hằng số. Nói riêng, nếu Ec
2
< ∞ thì X
t
liên tục bptb.
2. Giả sử 0=t

0
<t
1
< < t
n
= T là một phân hoạch của [0,T] và
δ
n
= max(t
k
− t
k−1
). Khi đó
P − lim
δ
n
→0
n

k=1
(X
t
k
− X
t
k−1
)
2
=


T
0
g
2
(s, X
s
)ds
Từ đó suy ra nếu =

T
0
g
2
(s, X
s
)ds > 0 thì với xác suất 1 các quỹ đạo
của X
t
có biến phân không bị chặn.
3. Quỹ đạo t → X
t
(ω) không khả vi tại s nếu g(s, X
s
(ω)) =0.
232 Chương 4. Tính toán ngẫu nhiên
4. X
t
là một quá trình Markov trên [0,T] với phân bố ban đầu tại t =0
là phân bố của c với xác suất chuyển
P (s, x, t, A)=P (X

t
∈ A|X
s
= x).
5. Nếu f(t, x),g(t, x) là hàm liên tục đối với t thì X
t
còn là một quá trình
khuyếch tán với hệ số dịch chuyển là f(t, x) và hệ số khuyếch tán là
g
2
(t, x), nghĩa là
lim
t↓s
1
t − s

|y−x|>ε
P (s, x, t, dy)=0
lim
t↓s
1
t − s

|y−x|≤ε
(y −x)P(s, x, t,dy)=f(s, x)
lim
t↓s
1
t − s


|y−x|≤ε
(y − x)
2
P (s, x, t, dy)=g
2
(s, x)
6. Trong trường hợp f(t, x)=f(x),g(t, x)=g(x) không phụ thuộc t thì
X
t
là quá trình Markov thuần nhất.
4.6 Bài tập
1. Chứng minh trực tiếp từ định nghĩa công thức sau

t
0
sdW
s
= tW
t
−

t
0
W
s
ds
2. Chứng minh trực tiếp từ định nghĩa công thức sau

t
0

W
2
s
dW
s
=
1
3
W
3
t
−

t
0
W
s
ds
3. Kiểm tra xem các quá trình X
t
sau đây có là martingale hay không
i) X
t
= W
t
+4t
ii) X
t
= W
2

t
iii) X
t
= t
2
W
t
− 2

t
0
sW
s
ds
4.6. Bài tập 233
4. Chứng minh trực tiếp từ định nghĩa rằng X
t
= W
2
t
− t là martingale
5. Chứng minh rằng X
t
= W
3
t
− 3tW
t
là martingale
6. Giả sử f ∈ N(0,T) có quỹ đạo liên tục. Chứng minh rằng


T
0
f(t, ω)dW
t
= lim
∆t
j
→0

j
f(t
j
,ω)∆W
j
ở đó sự hội tụ là trong L
2
(Ω)
7. Giả sử hàm f ∈ N(0,T) đủ trơn theo nghĩa sau: Có tồn tại hằng số K
và ε>0 sao cho
E|f(s, .) − f(t, .)|
2
≤ K|s − t|
1+ε
, ∀s, t ∈ [0,T]
Chứng minh rằng

T
0
f(t, ω)dW

t
= lim
∆t
j
→0

j
f(s
j
,ω)∆W
j
với mọi cách chọn s
j
∈ [t
j
,t
j+1
].
8. Sử dụng công thức Ito để viết các vi phân Ito của các quá trình sau
đây
i) X
t
= W
2
t
ii) X
t
=2+t + e
W
t

.
9. Với a, b là các hằng số ta định nghĩa
X
t
= e
at+bW
t
.
Chứng minh rằng
dX
t
=(a + b
2
/2)X
t
dt + bX
t
dW
t
.
234 Chương 4. Tính toán ngẫu nhiên
10. Cho X
t
là quá trình Ito với
dX
t
= v(t, ω)dW
t
.
i) Cho ví dụ chứng tỏ rằng X

2
t
không là martingale.
ii) Chứng minh rằng
M
t
= X
2
t
−

t
0
v
2
s
ds
là một martingale.
11. Cho Z
t
là quá trình Ito với vi phân ngẫu nhiên
dZ
t
= adt + bdW
t
với a, b là các hằng số. Định nghĩa
M
t
= exp(Z
t

− (a + b
2
/2)t) = exp(−
1
2
b
2
t + bW
t
).
Dùng công thức Ito chứng minh rằng
dM
t
= bM
t
dW
t
.
Từ đó suy ra M
t
là một martingale (ta gọi M
t
là một martingale mũ).
12. Kiểm tra rằng quá trình X
t
= e
W
t
là lời giải của phương trình
dX

t
=
1
2
X
t
dt + X
t
dW
t
.
13. Kiểm tra rằng quá trình
X
t
=
W
t
1+t
là lời giải của phương trình
dX
t
= −
1
1+t
X
t
dt +
1
1+t
dW

t
,X
0
=0.
4.6. Bài tập 235
14. Giải các phương trình
i) dX
t
= X
t
+ dW
t
ii) dX
t
= −X
t
dt + e
−t
dW
t
.
15. Với a, b ∈ R xét phương trình sau
dX
t
=
b − X
t
1 − t
dt + dW
t

,t∈ [0, 1].
Chứng minh rằng nghiệm của phương trình là
X
t
= a(1 − t)+bt +(1− t)

t
0
dW
s
1 − s
và lim
t→1
X
t
= b hầu chắc chắn.
Quá trình X
t
đuợc gọi là cầu Brown từ a đến b.
16. Cho X
t
là là nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên
dX
t
=(aX
t
+ a

)dt +(bX
t

+ b

)dW
t
,X
0
=0.
Xét quá trình S
t
= exp((a − b
2
/2)t + bW
t
).
i) Tìm phương trình vi phân ngẫu nhiên mà S
t
thoả mãn.
ii) Chứng minh rằng
d(X
t
S
−1
t
)=(a

− bb

)S
−1
t

dt + b

S
−1
t
dW
t
).
iii) Suy ra biểu thức hiện của X
t
.
Tài liệu tham khảo
[1] Đặng Hùng Thắng, Mở đầu về lý thuyết xác suất và ứng dụng, Nhà xuất
bản Giáo dục, 1998.
[2] Trần Hùng Thao, Tích phân ngẫu nhiên và phương trình vi phân ngẫu
nhiên, Nhà xuất bản Khoa học và kỹ thuật, 2000.
[3] Nguyễn Duy Tiến, Các mô hình xác suất và ứng dụng. Phần I: Xích
Markov và ứng dụng, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội 2000.
[4] Nguyễn Duy Tiến (chủ biên), Đặng Hùng Thắng. Các mô hình xác suất
và ứng dụng. Phần 2: Quá trình dừng và ứng dụng, Nhà xuất bản Đại
học Quốc gia Hà nội, 2001.
[5] Nguyễn Duy Tiến, Các mô hình xác suất và ứng dụng. Phần III: Giải
tích ngẫu nhiên, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội 2001.
[6] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Việt Yên. Lý thuyết xác suất, Nhà xuất bản Giáo
dục, 2000.
[7] Bernt Oksendal, Stochastic Differential Equation, An introduction with
Applications, Springer-Verlag, Berlin 1992.
[8] J.Neveu, Discrete-Parameter Martingales, North-Hollan Publi., Amster-
dam, 1975.
[9] D.Lamberton, B.Lapeyre, Introduction to Stochastic Calculus Applied to

Finance. Chapman Hall/CRC Washinton D.C., 2000.
TÀI LIỆU THAM KHẢO 237
[10] P.Protter, Stochastic Intergration and Differetial Equations, Springer
Verlag, 1990