Quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên phần 8 docx

168

Chương 3. Q trình Martingale

Ta có
{T = n} = {r1 = −1, ..., rn−1 = −1, rn = 1} ∈ Fn
và P (T = n) = (1/2)n . Vậy P (T < ∞) = 1 và T là thời điểm dừng. Ta
có XT = 1 do đó EXT = 1 trong khi EXn = EX0 = 0 với mọi n. Vậy
EXT 6= EX0 . Vậy tính chất martingale khơng được bảo toàn qua phép thay
thế thời điểm dừng này. Ta cũng thấy điều kiện (3.3) trong định lý 3.9 bị vi
phạm. Thật vậy
Z

|Xn |dP = (2n − 1)P {T > n} =
{T >n}

2n − 1
→ 1,
2n

khi n → ∞.

Như vậy mặc dù trị chơi là cơng bằng nếu số ván chơi được ấn định trước.
Tuy nhiên nếu số ván chơi khơng ấn định trước nhưng người chơi A vẫn có
chiến luợc chơi (chiến lược khát nuớc: tăng gấp đôi số tiền cược sau mỗi ván
thua và dừng chơi khi thắng) để luôn chắc chắn thu lãi 1 đô la. Nhưng muốn
vậy A phải có số vốn vơ hạn, được quyền đật cược theo ý mình và dừng chơi
bất cứ lúc nào anh ta muốn. Đó là một điều khơng hiện thực.
Định lý 3.14. Cho (Xn ) là một martingale đối với (Fn ) và T là thời điểm
dừng với ET < ∞. Giả sử rằng tồn tại hằng số C > 0 sao cho với mọi n
trên tập {T ≥ n} ta có

E |Xn+1 − Xn |
Fn ≤ C.
Khi đó
E|XT | < ∞, và EXT = EX0 .
Chứng minh. Đặt Y0 = X0 , Yi = |Xi − Xi−1 . Khi đó |Xn | ≤

|XT | ≤

T
X
i=0

Yi → E|XT | ≤ E

T
X
i=0

Yi

!

.

Pn

i=0

Yi . Suy ra


3.2. Martingale thời gian rời rạc

169

Ta có
E

T
X

Yi

!

=

Z

T
X

Ω

i=0

Yi

!

dP

i=0

=

∞ Z
X

=

n=0 {T =n} i=0
∞ Z
∞ X
X

(

n
X

Yi )dP =

Yi dP =

{T =n}

i=0 n=i

∞ X
n Z
X

n=0 i=0
∞
XZ
i=0

Yi dP
{T =n}

Yi dP.

{T ≥i}

Vì {T ≥ i} = Ω \ {T < i} ∈ Fi−1 nên
Z
Z
Yi dP =
E(Yi |Fi−1 )dP ≤ CP (T ≥ i).
{T ≥i}

{T ≥i}

Vậy
T
X

E|XT | ≤ E

Yi

!

∞
X

≤C

i=0

Pn

Tiếp theo trên {T > n} ta có
Z

i=0

Yi ≤

|Xn |dP ≤

{T >n}

≤

Z

P (T ≥ i) = CET < ∞.

i=0

PT

Z

i=0

(

Yi do vậy

n
X

Yi )dP

{T >n} i=0

(

T
X

Yi )dP → 0

khi n → ∞

{T >n} i=0

vì như đã chứng minh E
EX0 .

P

T
i=0

Yi



< ∞. Theo định lý 3.6 ta có EXT =

Hệ quả 3.2 (Hằng đẳng thức Wald). Cho (Yn ) là dãy các ĐLNN độc lập
có cùng phân bố có kỳ vọng hữu hạn. Gọi Fn là sig-trường sinh bởi Y1 , ..., Yn .
Giả sử T là một thời điểm dừng đối với Fn thoả mãn ET < ∞. Khi đó
!
T
X
E
Yi = (ET )(EY1).
i=1


170

Chương 3. Quá trình Martingale

Nếu DYn < ∞ thì
E

T
X

!2

Yi − T µ

= (ET )(DY1 ).

i=1

P
Chứng minh. Đặt Yn0 = Yn − µ ở đó µ = EY1 và Xn = ni=1 Yi0 = Sn − nµ
Pn
trong đó Sn = i=1 Yi . Dễ thấy (Xn ) là martingale. Ta có



E |Xn+1 − Xn |
Fn = E(|Yn+1 − µ|Fn )
= E|Yn+1 − µ| ≤ 2µ.
Theo định lý 3.14 EXT = EX1 = 0. Suy ra
EST = µET.
Tương tự ta xét martingale Zn = Xn2 −nDY1 ta thu được EZT = 0, thành
thử
EXT2 = (ET )(DY1 ).

Ta nêu ra một số áp dụng của hằng đẳng thức Wald.
Ví dụ 3.8. Cho (rn ) là dãy các ĐLNN độc lập cùng phân bố
P (rn = 1) = P (rn = −1) =

1
2

Pn
Đặt Sn = i=1 ri . Sn mô tả du động ngẫu nhiên đối xứng trên đường thẳng
xuất phát từ 0. Giả sử i 6= 0 là một điểm nguyên trên đường thẳng. Xét thời
điểm T là thời điểm lần đầu tiên Sn = i. Như đã biết T là thời điểm Markov.
Mặt khác trạng thái i là hồi quy nên P (T < ∞) = 1(xem thí dụ chương 1).
Do đó T là thời điểm dừng và do ST = i nên EST = i. Ta chứng minh rằng
ET = ∞ tức là i là trạng thái hồi quy không. Thật vậy nếu ET < ∞ thì theo
hằng đẳng thức Wald EST = (ET )(Er1) = 0. Mâu thuẫn.


3.2. Martingale thời gian rời rạc

171

Ví dụ 3.9. (Bài tốn phá sản của người đánh bạc.) Một người A có số vốn
N đơla và cần có thêm M đơ la nữa. Anh ta quyết định kiếm M đô la này
bằng cách vào sòng bạc chơi trò chơi sấp ngửa. Mỗi ván chơi một đồng xu
được tung lên. Nếu đồng tiền sấp anh ta thắng và được một đô la. Nếu đồng
tiền ngửa anh ta thua và mất một đô la. Anh ta quyết định chơi cho đến khi
nào hoặc kiếm được M đô la mong muốn hoặc mất sạch N đơ la. Ta muốn
tìm xác suất thắng M đơ la của A, xác suất phá sản (thua N đô la) và số
ván chơi cần thiết.
Giả sử p là xác suất ra mặt sấp và q là xác suất ra mặt ngửa của đồng

xu. Gọi (rn ) là dãy các ĐLNN độc lập cùng phân bố
P (rn = 1) = p,

P (rn = −1) = q.

Gọi Sn là số tiền thu được của A ở ván thứ n. Ta có Sn =
thời điểm dừng cuộc chơi. Khi đó
T = inf{n ≥ 1 : Sn = M

Pn

i=1 ri

Gọi T là

hoặc Sn = −N }.

Ta biết rằng T là thời điểm dừng và ET < ∞. Gọi α = P (ST = −N )
là xác suât phá sản và β = P (ST = M) là xác suất thắng của A. Ta có
α + β = 1.Nếu trị chơi là cơng bằng p = q = 1/2 thì theo hằng đẳng thức
Wald 0 = EST = −Nα + Mβ. Kết hợp với điều kiện α + β = 1 ta suy ra
α=

N
M
,β =
.
M +N
M +N

Lại theo hằng đẳng thức Wald suy ra số ván chơi trung bình là
ET = EST2 = αN 2 + βM 2 = MN.
Trong trường hợp p 6= q ta xét martingale Xn = (q/p)Sn ta tìm được




E (q/p)ST = E (q/p)S1 = 1.
Thành thử α(q/p)−N + β(q/p)M = 1. Kết hợp với α + β = 1 suy ra
(q/p)M − 1
,
α=
(q/p)M − (q/p)N

1 − (q/p)N
β=
.
(q/p)M − (q/p)N

(3.8)


172

Chương 3. Quá trình Martingale

Theo hằng đẳng thức Wald EST = (Er1 )ET = (p − q)ET . Vậy số ván chơi
trung bình là
EST
= βM − αN
ET =
p−q

ở đó α, β được cho theo công thức (3.8).

3.2.3

Một số bất đẳng thức cơ bản

Có nhiều bất đẳng thức hay liên quan đến martingale và martingale trên,
dưới. Dưới đây sẽ trình bày một vài bất đẳng thức cơ bản nhất. Các bất
đẳng thức này sẽ được sử dụng để thiết lập các định lý hội tụ và luật số lớn
cho martingale.
Định lý 3.15 (Bất đẳng thức Doob). Cho (Xn ) là martingale dưới không
âm đối với Fn . Giả sử
Xn∗ = max |Xi |
0≤i≤n

. Khi đó với mỗi n ≥ 0, a > 0 ta có
1)
2)

Z
1
EXn
≥ a) ≤
Xn dP ≤
a {Xn∗ ≥a}
a
p
kXn∗ kp ≤
kXn kp
p−1

P (Xn∗

trong đó kY kp = E(|Y |)p )1/p là chuẩn Lp của Y ∈ Lp .
Chứng minh. Đặt
T = min{i ≤ n : Xi ≥ a}
và T = n nếu Xi < a, với mọi i = 1, 2, ..., n. Khi đó vì T ≤ n nên theo định
lý
Z
Z
XT dP +
XT dP
EXn ≥ EXT =
{Xn∗ ≥a}
{Xn∗ Z
Z
dP +
Xn dP.
≥a
{Xn∗ ≥a}

{Xn∗ ≤a}


3.2. Martingale thời gian rời rạc

173

Thành thử

aP (Xn∗

≥ a) ≤ EXn −

Z

Xn dP =

{Xn∗
Z

Xn dP ≤ EXn .
{Xn∗ ≥a}

Để chứng minh bất đẳng thức thứ hai ta sử dụng bất đẳng thức 1 vừa chứng
minh và tính chất sau: Nếu X là ĐLNN khơng âm thì với mỗi p > 1 ta có
Z ∞
p
EX = p
tp−1P (X ≥ t)dt.
0

Vậy
E(Xn∗ )p

Z

∞

tp−1P (Xn∗ ≥ t)dt
0
Z

Z ∞
p−2
t
Xn dP
≤p

=p

Z

∞

t
0

p−2

=p

0

Z



{Xn∗ ≥t}

Xn I{Xn∗ ≥t} dt = p

Ω

Z

Xn

Z

Ω

=

Xn∗

t

p−2



dt dP

0

p
E(Xn (Xn∗ )p−1 ).
p−1

(3.9)

Theo bất đẳng thức Honde ta lại có
E(Xn (Xn∗ )p−1 ) ≤ kXn kp k(Xn∗ )p−1 kq = kXn kp E[(Xn∗ )p ]1/q
ở đó q =

p
p−1

(3.10)

Từ (3.2.3) và (3.10) ta suy ra bất đẳng thức thứ hai.

Hệ quả 3.3. Nếu (Xn ) là một martingale thuộc Lp thì với mọi p ≥ 1 ta có
P ( max |Xi | > a) ≤
0≤i≤n

E|Xn |p
.
ap

Nói riêng nếu Sn = Y1 + · · · + Yn ở đó (Yn ) là dãy các ĐLNN độc lập có kỳ
vọng 0 và phương sai hữu hạn thì ta có bất đẳng thức Kolmogorov sau đây
Pn
DXi
P ( max |Si| > a) ≤ i=1 2
.
1≤i≤n
a

174

Chương 3. Quá trình Martingale

Thật vậy ta chỉ cần áp dụng bất đẳng thức Doob cho martingale dưới
không âm (|Xn |p ).
Hệ quả 3.4. Cho (Xn ) là martingale thuộc L2 . Khi đó
E(max Xi2 ) ≤ 4EXn2 .
i≤n

Cho trước hai số a < b. Đối với dãy (Xn ) các ĐLNN ta định nghĩa các
thời điểm ngẫu nhiên (Tn ) như sau:
T0 = 0
T1 = min{n > 0 : Xn ≤ a}
T2 = min{n > T1 : Xn ≥ b}
........
T2m−1 = min{n > T2m−2 : Xn ≤ a}
T2m = {n > T2m−1 : Xn ≥ b}
................
Đặt Tk = 0 nếu tập hợp tương ứng là trống.
Tiếp theo với mỗi n ≥ 1 ta định nghĩa

max{m : T ≤ n} nếu T ≤ n
2m
2
βn (a, b) =
0
nếu T2 > n.

Theo định nghĩa trên ta gọi β(a, b) là số lần cắt đoạn [a, b] (từ dưới lên trên)
bởi dãy (Xn ). Dãy (Xn ) các ĐLNN có giới hạn limn Xn hầu chắc chắn khi
và chỉ khi số lần cắt đoạn [a, b] (với a, b hữu tỷ bất kỳ) của (Xn ) là hữu hạn
với xác suất 1. Định lý dưới đây cho cận trên của số lần cắt trung bình giữa
đoạn [a, b] của một martingale dưới. Bất đẳng thức này sẽ được áp dụng để
nghiên cứu sự hội tụ của martingale trong tiết sau.
Định lý 3.16 (Bất dẳng thức cắt ngang). Cho (Xn ) là martingale dưới.
Khi đó với mọi n ≥ 1
E[Xn − a]+
Eβn (a, b) ≤
b−a


3.2. Martingale thời gian rời rạc

175

Chứng minh. Số lần cắt đoạn [a.b] của martingale dưới (Xn ) chính bằng số
lần cắt đoạn [0, b − a] của martingale dưới không âm ([Xn − a]+). Thành thử
ta chỉ cần chứng minh rằng với martingale dưới khơng âm (Xn ) ta có
Eβn (0, b) ≤

Xn
.
b

Định nghĩa X0 = 0 và

1 nếu T < i ≤ T
m

m+1 với m lẻ nào đó
φi =
0 nếu Tm < i ≤ Tm+1 với m chẵn nào đó.
Dễ thấy
bβn (0, b) ≤

n
X

φi [Xi − Xi−1 ]

i=1

và
{φi = 1} =

[

[{Tm < i} \ {Tm+1 < i}] ∈ Fi−1 .

ml

Vì thế
bEβn(0, b) ≤E

n
X

φi [Xi − Xi−1 ]

i=1

=

n Z
X

=

i=1 {φi =1}
n Z
X

[Xi − Xi−1 ]dP

i=1

{φi =1}

i=1

≤

n Z
X

{φi =1}

Ω

=

i=1
n
X

=

n Z
X

i=1

E(Xi − Xi−1 |Fi−1 )dP
E[(Xi |Fi−1 ) − Xi−1 ]dP

E[(Xi |Fi−1 ) − Xi−1 ]dP

(EXi − EXi−1 ) = EXn .


176

Chương 3. Quá trình Martingale

Định lý 3.17 (Bất đẳng thức Burkholder). Cho (Xn , Fn ) là martingale,
1 < p < ∞. Đặt D1 = X1 , Dn = Xn − Xn−1 , n = 2, 3, ... . Ký hiệu
v
u n
uX

[X]n = t
Di2 .
i=1

Khi đó tồn tại các hằng số chung C1 , C2 (chỉ phụ thuộc p) sao cho
C1 k[X]n kp ≤ kXn kp ≤ C2 k[X]n kp
trong đó kXkp = (E|X|p )1/p ký hiệu chuẩn Lp của ĐLNN X.
Chú ý rằng trong trường hợp dãy (Di ) là dãy các ĐLNN độc lập, (tức
là martingale (Xn ) là tổng các ĐLNN độc lập có kỳ vọng 0), bất đẳng
thức Burkholder chính là bất đẳng thức Khinchin ( ứng với p = 2) và bất
đẳng thức Marcinkievicz-Zigmund ( với 1 < p < ∞). Tuy nhiên bất đẳng
thức Marcinkievicz-Zigmund đúng với cả p = 1 trong khi bất đẳng thức
Burkholder nói chung khơng đúng khi p = 1.

3.2.4

Các định lý hội tụ, luật số lớn

Định lý sau đây là định lý cơ bản trong toàn bộ các định lý về sự hội tụ của
martingale dưới.
Định lý 3.18 (Doob). Cho (Xn , Fn ) là martingale dưới thoả mãn điều kiện
sup E|Xn | < ∞.
n

Khi đó hầu chắc chắn tồn tại giới hạn limn Xn = X và E|X| < ∞.
Chứng minh. Giả sử rằng
P (lim sup Xn > lim inf Xn ) > 0.
Khi đó ta tìm được hai số hữu tỷ a < b sao cho
P (lim sup Xn > b > a > lim inf Xn ) > 0.

(3.11)


3.2. Martingale thời gian rời rạc

177

Giả sử β(a, b) là số lần cắt từ dưới lên trên đoạn [a, b] của dãy X1 , ..., Xn.
Theo bất đẳng thức cắt ngang ta có
Eβn (a, b) ≤

EXn+ + |a|
E[Xn − a]+
≤
.
b−a
b−a

Đặt β(a, b) = limn βn (a, b), ta rút ra
supn EXn+ + |a|
n
b−a
supn E|Xn | + |a|
<∞
≤
b−a

Eβ(a, b) = lim Eβn (a, b) ≤

vì EXn≤ E|Xn |. Thành thử P (β(a, b) < ∞) = 1. Điều này mâu thuẫn với

(3.11). Vậy với xác suất 1 tồn tại limn Xn = X. Theo bổ đề Fatou ta có
E|X| ≤ sup E|Xn | < ∞.
n

Hệ quả 3.5. Nếu (Xn , Fn ) là martingale dưới khơng dương thì hầu chắc
chắn tồn tại giới hạn limn Xn = X.
Thật vậy trong trường hợp này E|Xn | = −EXn ≤ −EX1 .
Hệ quả 3.6. Nếu (Xn , Fn ) là martingale không âm thì hầu chắc chắn tồn
tại giới hạn limn Xn = X.
Thật vậy trong trường hợp này với mọi n ta cóE|Xn | = EXn = EX1 .
Bây giờ ta xét tới vấn đề hội tụ trong Lp của martingale.
Định lý 3.19. Giả sử (Xn , Fn ) là martingale dưới thuộc Lp với p > 1. Để
cho dãy (Xn ) hội tụ trong Lp điều kiện cần và đủ là (Xn ) bị chặn trong Lp .
Chứng minh. Điều kiện cần là hiển nhiên. Đảo lại giả sử (Xn ) bị chặn trong
Lp tức là
sup E|Xn |p < ∞.
n


178

Chương 3. Q trình Martingale

Khi đó theo định lý Doob dãy (Xn ) hội tụ hầu chắc chắn tới ĐLNN X. Ta
sẽ chứng minh X ∈ Lp và Xn → X trong Lp .
Từ bổ đề Fatou ta có
E|X|p ≤ sup E|Xn |p < ∞,
n

vậy X ∈ Lp .

Theo bất đẳng thức Doob


p p
p
) E|Xn |p
E max |Xn | ≤ (
i≤n
p−1
suy ra
E(sup |Xn |p) < ∞.
n

Đặt X ∗ = supn |Xn |p ta có X ∗ ∈ Lp . Vì
|Xn − X|p ≤ 2p−1 (|Xn |p + |X|p ) ≤ 2p−1 (|X ∗ |p + |X|p)
nên áp dụng định lý hội tụ bị chặn ta rút ra
lim E|Xn − X|p = 0.
n

Định lý trên không đúng nếu p = 1 . Ta hãy xem ví dụ sau đây
Ví dụ 3.10. Cho (Yn ) là dãy các ĐLNN độc lập cùng phân bố với
P (Yn = 0) = P (Yn = 2) = 1/2.
Ta có EYn = 1 với mọi n. Đặt Xn = Πni=1 Yi . Như đã biết (ví dụ (Xn ) là một
martingale. Vì EXn = Πni=1 EYi = 1 nên nó là một martingale bị chặn trong
L1 . Rõ ràng P (Xn → 0) ≤ P (∃i : Yi = 0) = 1 do đó Xn → 0 với xác suất 1.
Nếu sự hội tụ là trong L1 thì ta phải có EXn → 0. Mâu thuẫn.
Định lý sau đây cho tiêu chuẩn hội tụ trong L1 của martingale.


3.2. Martingale thời gian rời rạc

179

Định lý 3.20. Giả sử (Xn , Fn ) là martingale thuộc Lp . Các điều kiện sau
đây là tương đương:
1. (Xn , Fn ) là martingale chính quy tức là tồn tại X ∈ L1 sao cho ta có
biểu diễn Xn = E(X|Fn .
2. (Xn ) khả tích đều.
3. Dãy (Xn ) hội tụ trong L1 .
Chứng minh. 1) → 2) Giả sử có biểu diễn
Xn = E(X|Fn ).
Khi đó |Xn | ≤ E(|X||Fn ) do đó
E|Xn | ≤ E|X|.
Vậy (Xn ) bị chặn trong L1 . Tiếp theo với c > 0, b > 0 bất kỳ ta có
Z
Z
|Xn |dP ≤
|X|dP
{|Xn |≥c}
{|Xn |≥c}
Z
|X|dP
≤bP (|Xn | ≥ c) +
{|X|≥b}
Z
b
|X|dP
≤ E|Xn | +
c
{|X|≥b}

Z
b
|X|dP.
≤ E|X| +
c
{|X|≥b}
Thành thử
lim sup
c→∞

Z

|Xn |dP ≤

{|Xn |≥c}

Z

|X|dP.
{|X|≥b}

Cho b → ∞ ta được
lim sup
c→∞

Vậy (Xn ) khả tích đều.

Z
{|Xn |≥c}

|Xn |dP = 0.


180

Chương 3. Quá trình Martingale

2) → 3) Vì (Xn ) khả tích đều nên nó bị chặn trong L1 . Vì thế theo định
lý hội tụ Doob dãy (Xn ) hội tụ hầu chắc chắn. Vì dãy (Xn ) khả tích đều nên
theo định lý 3.9 sự hội tụ là trong L1 .
3) → 1) Giả sử Xn → X trong L1 . Khi đó với mỗi m cố định và với mỗi
n>m
E |E(Xn |Fm ) − E(X|Fm )| ≤ E|Xn − X| → 0.
Suy ra E(Xn |Fm ) → E(X|Fm ) khi n → ∞. Nhưng E(Xn |Fm ) = Xm . Thành
thử
Xm = E(X|Fm ).

Định lý 3.21 (Levy). Giả sử X ∈ L1 và (Fn ) là dãy tăng cácσ - đại số.
Ký hiệu F∞ là σ - đại số bé nhất chứa tất cả các Fn . Khi đó với xác suất 1
ta có
lim E(X|Fn ) = E(X|F∞ ).
n

Chứng minh. Đặt Xn = E(X|Fn ). Theo định lý trước, (Xn ) là martingale
chính quy do đó nó khả tích đều và hội tụ trong L1 tới một ĐLNN Z. Ta
cần chứng minh Z = E(X|F∞ ). Thật vậy giả sử m > n và A ∈ Fn . Khi đó
Z
Z
Z
Z

Xm dP =
Xn dP =
E(X|Fn ) =
XdP.
A

A

A

A

R

Do Xm → Z ∈ L1 khi m → ∞ nên A Xm dP →
với mọi n mọi A ∈ ∪∞
n=1 Fn
Z
Z
ZdP =
XdP
A

R

A

ZdP khi m → ∞. Vậy

A

Hai vế của đẳng thức trên là hàm tập cộng tính đếm được trên trường
∞
∪∞
n=1 Fn . Vì F∞ là σ - trường sinh bởi ∪n=1 Fn nên theo định lý thác triển độ
đo ta có
Z
Z
Z
ZdP =
XdP =
E(X|F∞ )dP.
A

A

A


3.2. Martingale thời gian rời rạc

181

với mọi A ∈ F∞ . Nhưng Z và E(X|F∞ ) đều F∞ )-đo được nên từ đó suy ra
Z = E(X|F∞ )

Hệ quả 3.7 (Luật 0-1). Cho (Yn ) là dãy các ĐLNN độc lập và Fn là σ trường sinh bởi (Yi ), i ≤ n và Xn làσ - trường sinh bởi (Yi ), i > n. Giả sử
T
X = ∞
n=1 Xn là σ - trường đi. Khi đó với mỗi A ∈ X ta có P (A) = 0 hoặc

P (A) = 1.
Chứng minh. Theo định lý Levy vừa chứng minh với xác suất 1
E(IA |Fn ) → E(IA |F∞ ).
Nếu A ∈ X thì A độc lập với Fn với mọi n .Do vậy E(IA |Fn ) = EIA = P (A).
Lại có E(IA |F∞ ) = IA . Thành thử P (A) = IA h.c.c nên P (A) = 0 hoặc
P (A) = 1.
Cho (Xn ) là một martingale dưới đối với Fn . Khi đó ta có khai triển Doob
sau đây
Xn = Mn + An
trong đó (Mn ) là một martingale còn (An ) là dãy tăng
0 = A0 ≤ A1 ≤ ... ≤ An ≤ ...
và dự báo được tức là An ∈ Fn−1 . Ta có định lý sau:
Định lý 3.22. Cho (Xn ) là martingale dưới không âm. Nếu
A∞ = lim An < ∞
n

hầu chắc chắn thì (Xn ) hội tụ h.c.c.


182

Chương 3. Quá trình Martingale

Chứng minh. Với mỗi a > 0 xét thời điểm Markov
Ta = inf{n ≥ 1 : An+1 > a}
trong đó Ta = ∞ nếu An ≤ a với mọi n. Ta có
EXn∧Ta = EMn∧Ta + EAn∧Ta
≤ EM1 + a.
Đặt Yn = Xn∧Ta . Khi đó (Yn ) là một martingale dưới không âm và supn EYn <
∞ do đó hội tụ h.k.n. Vì trên tập

{A∞ ≤ a} = {Ta = ∞}
ta có Xn = Yn nên trên đó (bỏ qua một tập có xác suất 0) (Xn ) hội tụ . Mặt
khác
[
{A∞ ≤ a}
{A∞ } =
a∈Q

nên suy ra trên A∞ = limn An < ∞ (Xn ) hội tụ h.c.c.
Bây giờ giả sử (Xn ) là một martingale bình phương khả tích tức là Xn ∈
L2 với mọi n. Khi đó (Xn2 ) là một martingale duới và do đó ta có khai triển
Dood
Xn2 = Mn + An .
Ta ký hiệu dãy (An ) là < X > tức là < X >n = An và gọi đây là đặc trưng
bình phương của martingale bình phương khả tích X.
Định lý sau đây cho ta điều kiện hội tụ của martingale bình phương khả
tích thơng qua đặc trưng < X > của nó
Ta có
n−1
X
2
E(Xi+1
|Fi) − Xi2 .
< X >n =
i=0
2
2
Dễ chứng minh được E(Xi+1
|Fi) − Xi2 = E(Di+1
||Fi ) ở đó Di+1 = Xi+1 − Xi

tức là
n
X
E(Di2 |Fi−1).
< X >n =
i=1


3.2. Martingale thời gian rời rạc

183

Định lý 3.23. Cho (Xn ) là một martingale binh phương khả tích. Khi đó
nếu
∞
X
E(Di2 |Fi−1 ) < ∞
< X >∞ =
i=1

thì dãy (Xn ) hội tụ h.c.c.
Chứng minh. Xét hai martingale dưới (Xn2 ) và (Xn +1)2 . Khi đó từ cơng thức
xác định đặc trưng bình phương ở trên dễ kiểm tra rằng < X >n =< X +1 >n .
Vì thế ta có < X >∞ =< X + 1 >∞ < ∞ h.k.n Suy r a theo định lý trên Xn2
và (Xn + 1)2 hội tụ h.c.c Suy ra
Xn =

(Xn + 1)2 − Xn2 − 1
2

cũng hội tụ h.c.c.
Như là một áp dụng hay của định lý này ta có luật mạnh số lớn rất tổng
quát cho martingale như sau:
Định lý 3.24. Cho(Xn , Fn ) là martingale bình phương khả tích và (Bn ) là
dãy tăng các ĐLNN sao cho B1 ≥ 1, Bn → ∞ và Bn ∈ Fn−1 . Nếu với xác
suất 1
∞
X
E(Di2 |Fi−1 )
<∞
Bi2
i=1
thì với xác suất 1

Xn
→ 0.
Bn

Đặc biết chọn Bi = i thì điều kiện
∞
X
E(D2 |Fi−1 )
i

i=1

i2

kéo theo luật mạnh số lớn
Xn

→ 0.
n

<∞


184

Chương 3. Quá trình Martingale

Chứng minh. Đặt
Zn =

n
X
Di
i=1

Bi

.

Ta dễ dàng kiểm tra được (Zn ) là một martingale bình phương khả tích và
i
. Do đó
Zi − Zi−1 = D
Bi
< Z >n =

n

X
E(D2 |Fi−1 )
i

Bi2

i=1

.

Thành thử theo định lý trên Zn hội tụ với xác suất 1 tức là chuỗi
∞
X
Di
i=1

Bi

hội tụ hầu chắc chắn. Đến đây ta cần tới bổ đề sau của giải tích cổ điển gọi
là bổ đề Kroneker.
Bổ đề 3.1 (Kronecker). Giả sử 0 < bn là một dãy số dương tăng ra vô
P
cùng. Nếu chuỗi số
xn hội tụ thì
n
1 X
bi xi → 0
bn i=1

khi n → ∞.

Do đó áp dụng bổ đề Kroneker cho ta
n
Xn − X0
1 X Di
Bi
=
→0
Bn i=1 Bi
Bn

hay
Xn
→ 0.
n


3.3. Martingale với thời gian liên tục

185

Hệ quả 3.8 (Luật mạnh số lớn Kolmogorov). Cho (Yn ) là dãy các
ĐLNN độc lập. Giả sử µi = EYi . Khi đó nếu
∞
X
DYi

i2

i=1

thì với xác suất 1

n
P

Yi −

i=1

n
P

<∞

µi

i=1

→ 0.
n
Nói riêng, nếu dãy (Yi ) độc lập cùng phân bố thì
n
P

Yi

i=1

n

→ µ = EY1 .

Thật vậy ký hiệu Zi = Yi − µi thì dãy (Zi ) độc lập và các tổng riêng
n
P
Xn =
Zi là martingale đối với σ- trường tự nhiên. Ta có Di = Zi độc lập
i=1

đối với Fi−1 do vậy E(Di2 |Fi−1 )EZi2 = DYi .

3.3

Martingale với thời gian liên tục

Trong phần này chúng tơi sẽ trình bày các kết quả tương ứng của phần trước
cho trường hợp martingale với thời gian liên tục. Tuy nhiên vì khn khổ
của giáo trình, đa số các kết quả chỉ phát biểu, nêu ví dụ minh hoạ và giải
thích ý nghĩa của nó mà khơng nêu chứng minh.
Nói chung khi chuyển các kết quả từ trường hợp rời rạc sang trường hợp
liên tục có những vấn đề ta có thể làm tương tự như trương hợp rời rạc, có
những định lý mà ta dựa vào kết quả của trường hợp rời rạc để chứng minh.
Đôi lúc khi mở rộng chúng ta gặp phải những khó khăn có tính chất ngun
tắc. Việc mở rộng khai triển Doob là một ví dụ điển hình cho thấy điều đó.
Cho khơng gian xác suất đầy đủ (Ω, A, P ), tức là A chứa tất cả các tập
có xác suất 0. (Tập N được gọi là tập có xác suất 0 nếu tồn tại A ∈ A sao
cho N ⊂ A). Ký hiệu R+ = [0, ∞). Một họ (Ft, t ∈ R+ ) các σ - trường con


186

Chương 3. Quá trình Martingale

của A được gọi là một lọc nếu Fs ⊂ Ft nếu s < t. Lọc (Ft , t ∈ R+ ) được gọi
là liên tục phải nếu với mọi t ∈ R+
\
Ft = Ft+ =
Fs .
s>t

Để cho gọn, từ nay trở đi ta khi nói về lọc (Ft ) ta hiểu là ta xét lọc (Ft , t ∈
R+ ).
Một quá trình ngẫu nhiên X = (Xt ) trên tập con I ⊂ R+ là một họ
X = (Xt , t ∈ I) các ĐLNN với tập chỉ số I. Nói cách khác đó là một hàm
X : I × Ω → R sao cho với mỗi t ∈ I, X(t, ω) : Ω → R là A- đo được. Quá
trình ngẫu nhiên X = (Xt ), t ∈ R+ được ký hiệu đơn giản là X = (Xt ). Quá
trình X gọi là đo được nếu ánh xạ X : I × Ω → R là B(I) × A - đo được .
Q trình Y = (Yt ) được gọi là một bản sao của quá trình X = (Yt )
nếu với mỗi t ∈ R+ = ta có P (Xt = Yt ) = 1. Với mỗi ω ∈ Ω cố định, hàm
t 7→ X(t, ω) được gọi là một quỹ đạo (hay hàm chọn) của X. Quá trình X
được gọi là liên tục (liên tục phải) nếu hầu hết các quỹ đạo của nó là liên
tục (liên tục phải).
Định nghĩa 3.4. Cho lọc Ft. Quá trình X = (Xt , Ft) được gọi là một
martingale nếu Xt ∈ L1 với mỗi t ∈ R+ và
E(Xt |Fs ) = Xs

với mọi s < t.

Ta gọi X là martingale trên nếu dấu đẳng thức ở trên được thay bằng dấu≤
E(Xt |Fs ) ≤ Xs

với mọi s < t

và là martingale dưới nếu dấu đẳng thức ở trên được thay bằng dấu≥
E(Xt |Fs ) ≥ Xs

với mọi s < t.

Để đơn giản ký hiệu từ nay nếu viết X = (Xt ) là martingale có nghĩa là
X = (Xt , Ft) là martingale.
Với mỗi p ≥ 1, martingale X = (Xt ) được gọi là một Lp -martingale nếu
Xt ∈ Lp với mọi t ∈ R+ . Nếu supt E|Xt |p < ∞ ta nói X là Lp - bị chặn.
Tính chất martingale được bảo tồn qua Lp - giới hạn. Cụ thể ta có


3.3. Martingale với thời gian liên tục

187

Định lý 3.25. Cho một dãy các martingale (X n = (Xtn ). Giả sử với mỗi t
tồn tại giới hạn
lim Xtn = Xt
n

trong Lp . Khi đó X = (Xt ) cũng là một martingale.
Thật vậy ta có
E(Xtn |Fs ) = Xsn

với mọi s < t.

Chú ý rằng kỳ vọng có điều kiện là một tốn tử tuyến tính liên tục trên Lp
qua giới hạn ta có
E(Xt |Fs ) = Xs

với mọi s < t

Định nghĩa 3.5. Một martingale X = (Xt ) được gọi là liên tục (liên tục
phải) nếu X = (Xt ) là quá trình liên tục (liên tục phải).
Đã chứng minh được rằng nếu lọc (Ft ) liên tục phải thì mọi martingale
X = (Xt ) đều có một bản sao liên tục phải. Tuy vậy khơng chắc nó có bản
sao liên tục.
Ví dụ 3.11. (Chuyển động Brown.) Q trình W = (Wt ) được gọi là một
chuyển động Brown (hay cịn gọi là q trình Wiener) nếu:
1. Nó là một quá trình gia số độc lập : Với mọi 0 ≤ t0 < t1 < ... < tn thì
Wt0 , Wt1 − Wt0 , Wt2 − Wt1 , ....Wtn − Wtn−1
là các ĐLNN độc lập.
2. Với 0 < s < t thì ĐLNN Wt − Ws có phân bố chuẩn với kỳ vọng 0 và
phương sai t − s
3. W = (Wt ) là một quá trình liên tục.
Gọi Ft là σ -trường sinh bởi {Ws , S ≤ t}. (Ta gọi đây là σ - trường tự
nhiên kết hợp với W ). Khi đó W = (Wt , Ft ) là một martingale. Nếu W0 ∈ Lp
thì nó là một Lp - martingale liên tục.