Quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên phần 7 ppsx

Chương 3. Quá trình Martingale
Đặng Hùng Thắng
Quá trình ngẫu nhiên và tính tốn ngẫu nhiên
Đại học quốc gia Hà Nội 2007.
Tr 143-194.
Từ khố: Q trình ngẫu nhiên, Q trình Martingale, Kỳ vọng có điều kiện,
Thời điểm Markov, Các định lý hội tụ, Luật số lớn.

Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục
đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn
phục vụ các mục đích khác nếu khơng được sự chấp thuận của nhà xuất bản và
tác giả.


Chương 3
Q trình Martingale

3.1

Kỳ vọng có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . .

144

3.2

Martingale thời gian rời rạc . . . . . . . . . . . .

148

3.2.1

Định nghĩa, ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

3.2.2

Thời điểm Markov và thời điểm dừng . . . . . . . 154

3.2.3

Một số bất đẳng thức cơ bản . . . . . . . . . . . . 172

3.2.4

Các định lý hội tụ, luật số lớn . . . . . . . . . . . 176

3.3

Martingale với thời gian liên tục . . . . . . . . .

185

3.4

Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

192

Việc nghiên cứu sự phụ thuộc của các ĐLNN trong quá trình ngẫu nhiên
tạo nên các lớp quá trình ngẫu nhiên khác nhau. Đối với quá trình Markov
sự phụ thuộc thể hiện ở tính Markov: Q khứ độc lập với tương lai khi
biết hiện tại. Trong qua trình dừng dựa trên tính chất của hàm tương quan.

Chương này nghiên cứu một lớp qúa trình khác mà sự phụ thuộc dựa trên
tính chất kỳ vọng có điều kiện. Chương này được chia làm hai phần. Phần


144

Chương 3. Quá trình Martingale

đầu trình bày Martingale với thời gian rời rạc. Phần sau trình bày các kết
quả tương ứng cho trường hợp Martingale với thời gian liên tục. Tuy nhiên
do khuôn khổ cuốn sách trong phần B chúng tôi tập trung vào việc giới thiệu
các khái niệm, định nghĩa . Các định lý được nêu ra và giải thích ý nghĩa,
nêu ví dụ minh hoạ chứ khơng chứng minh chi tiết.

3.1

Kỳ vọng có điều kiện

Kỳ vọng có điều kiện là một khái niệm rất quan trọng trong lý thuyết xác
suất đặc biệt là trong lý thuyết martingale. Trong tiết này chúng ta sẽ tóm
tắt những nét chủ yếu của khái niệm này.
Cho không gian xác suất (Ω, A, P ). Ta đã biết khái niệm xác suất có điều
kiện P (A|B) được định nghĩa là xác suất của A được tính trong điều kiện B
đã xảy ra. Ta có cơng thức sau
P (A|B) =

P (AB)
.
P (B)

Nếu X là một ĐLNN khả tích thì ta định nghĩa kỳ vọng có điều kiện E(X|B)
là một số xác định bởi cơng thức sau
E(X|B) =

1
P (B)

XdP.
B

Giả sử (Bn )∞ là một phân hoạch đếm được của Ω và F là σ-trường sinh
n=1
bởi phân hoạch này. Ta định nghĩa kỳ vọng có điều kiện E(X|F ) bởi công
thức sau
∞
E(X|Bn )IBn .

E(X|F ) =
n=1

Như vậy E(X|F ) là một ĐLNN F -đo được và trên Bn ta có
E(X|F ) = E(X|Bn ) =

1
P (Bn )

XdP.
Bn

Từ đó suy ra E(X|F ) là một ĐLNN F -đo được và thoả mãn hệ thức sau

E(X|F )dP =
B

XdP.
B


3.1. Kỳ vọng có điều kiện

145

Tính chất này sẽ được dùng làm định nghĩa kỳ vọng có điều kiện đối với một
σ- trường bất kỳ.
Định lý 3.1. Cho F là một σ-trường. Cho X là ĐLNN không âm với EX <
∞. Khi đó tồn tại duy nhất một ĐLNN Y không âm,F - đo được sao cho với
mọi A ∈ F ta có
Y dP =

XdP.

A

A

Ta gọi Y là kỳ vọng có điều kiện của X đối với F và ký hiệu là Y = E(X|F ).
Chứng minh. Với mỗi A ∈ F đặt
XdP.

Q(A) =
A

Rõ ràng A → Q(A) là một độ đo trên (Ω, F ) và P (A) = 0 kéo theo Q(A) = 0.
Vậy Q liên tục tuyệt đối đối với P . Theo định lý Radon-Nyko dym tồn tại
duy nhất hàm Y : Ω → R+ là F - đo được sao cho
Q(A) =

Y dP.
A

Nếu X là ĐLNN với E|X| < ∞ ta định nghĩa
E(X|F ) = E(X + |F ) − E(X − |F ).
Sau đây là các tính chất cơ bản của kỳ vọng có điều kiện mà ta sẽ thường
xuyên sử dụng trong chương này. Các đẳng thức hay bất đẳng thức trong
các tính chất đã nêu được hiểu là đúng hầu chắc chắn.
1. Nếu X là F -đo được thì E(XY |F = XE(Y |F ).
2. Nếu X ≤ Y thì E(X|F ) ≤ E(Y |F ). Nói riêng
|E(X|F )| ≤ E(|X||F ).


146

Chương 3. Quá trình Martingale

3. Nếu a, b ∈ R thì
E(aX + bY |F ) = aE(X|F ) + bE(Y |F ).
(Tính chất tuyến tính của kỳ vọng có điều kiện).
4. Nếu X và F độc lập thì E(X|F ) = EX.
5. E[(E(X|F )] = EX.
6. Nếu F1 ⊂ F2 thì
E[(E(X|F2 )|F1] = E[(E(X|F1)|F2 ] = (E(X|F1 ).

Tiếp theo là một loạt các định lý về chuyển giới hạn dưới dấu kỳ vọng có
điều kiện:
1. Nếu |Xn | ≤ Y, EY < ∞ và Xn → X thì
lim E(Xn |F ) = E(X|F )
n

và
lim E(|Xn − X||F ) = 0.
n

2. Nếu Xn ≥ Y, EY > −∞ thì
E(lim inf Xn |F ) ≤ lim inf E(Xn |F ).
n

n

3. Nếu Xn ≥ 0 với mọi n thì
E(

Xn F ) =
n

E(Xn |F ).
n

Bất đẳng thức sau đóng vai trị quan trọng.


3.1. Kỳ vọng có điều kiện

147

Định lý 3.2 (Bất đẳng thức Jensen). Nếu f : R → R là một hàm lồi
tức là với mọi x, y ∈ R, với mọi α > 0.β > 0, α + β = 1 ta có
f (αx + βy) ≤ αf (x) + βf (y)
thì
g (E(Xn |F )) ≤ E(f (X)|F ).
Nói riêng nếu p > 1 thì
p

|(E(Xn |F )| ≤ E(|X|p |F ).
Do đó nếu X ∈ Lp thì E(X|F ) ∈ Lp và Xn → X trong Lp kéo theo
(E(Xn |F ) → (E(X|F ) trong Lp . Thành thử ánh xạ tuyến tính
E F : X → E(X|F )
là một tốn tử tuyến tính liên tục từ Lp (Ω, A, P ) vào Lp (Ω, F , P ) và có
chuẩn bằng 1. Hơn nữa khi p = 2 thì E F chính là phép chiếu trực giao từ
khơng gian Hilbert L2(Ω, A, P ) lên không gian con L2 (Ω, F , P ). Thật vậy, giả
sử S là phép chiếu trực giao là phép chiếu trực giao từ không gian Hilbert
L2(Ω, A, P ) lên không gian con L2 (Ω, F , P ). Khi đó X − SX vng góc
với mọi phần tử của L2 (Ω, F , P ). Nghĩa là với mọi Y ∈ L2 (Ω, F , P ) ta có
< X − SX, Y >= 0 →< X, Y >=< SX, Y > hay
Y XdP =

Y SX.

Ω

Ω

Lấy Y = IB với B ∈ F ta được

XdP =
B

SXdP.
B

Vậy SX = E(X|F . Từ kết luận này ta suy ra trong số các phần tử của
L2(Ω, F , P ) thì E(X|F ) là ước lượng có sai số bình phương trung bình bé
nhất tức là
E[X − E(X|F )]2 ≤ E|X − Y |2
với mọi Y ∈ L2 (Ω, F , P ).


148

Chương 3. Quá trình Martingale

3.2
3.2.1

Martingale thời gian rời rạc
Định nghĩa, ví dụ

Lý thuyết Martingale bắt nguồn từ trị chơi cờ bạc nay trở thành một loại
q trình ngẫu nhiên có rất nhiều ứng dụng về lý thuyết cũng như thực tiễn,
đặc biệt là một công cụ không thể thiếu trong tính tốn ngẫu nhiên và tốn
học trong tài chính. Giả sử rằng một nguời đánh bạc đặt cược ở các thời
điểm rời rạc n = 1, 2, ... và thu hoạch của anh ta sau lần đặt cược thứ n là
một ĐLNN Xn . Như vậy X0 là số tiền vốn của anh ta lúc bắt đầu chơi, các
giá trị Xn có thể là số âm hay số dương. Thế nào thì trị chơi được gọi là

cơng bằng.
Nếu các gia số Xn+1 − Xn là các ĐLNN độc lập thì ta nói trị chơi là cơng
bằng khi với mọi n kỳ vọng E(Xn+1 − Xn ) = 0. Nếu các kỳ vọng này dương
thì trị chơi được gọi là có lợi (cho người chơi) còn nếu các kỳ vọng này âm
thì trị chơi được gọi là thiệt hại (cho người chơi). Tuy nhiên trị chơi vẫn có
thể cơng bằng mà không nhất thiết các gia số này phải là độc lập. Chẳng
hạn người chơi có thể sử dụng một quy tắc chơi nào đó phụ thuộc vào kết
quả của các ván trước. Trị chơi được gọi là cơng bằng khi kỳ vọng có điều
kiện của gia số Xn+1 − Xn vẫn bằng 0 nếu biết tất cả các thông tin cho tới
thời điểm n.
Giả sử (Ω, F .P ) là không gian xác suất, G ∈ F là σ-trường con của F .
Một ĐLNN X được gọi là tương thích với G nếu X là G-đo được. Trong
trường hợp ấy ta viết X ∈ G.
Một dãy Fn , n = 1, 2, .. được gọi là một dãy tăng các σ- trường nếu
Fn ⊂ Fn+1 ⊂ F, ∀n.
Định nghĩa 3.1.
1. Cho dãy tăng các σ- trường Fn Dãy các ĐLNN (Xn ) được gọi là tương
thích với dãy Fn nếu với mỗi n, Xn ∈ Fn .


3.2. Martingale thời gian rời rạc

149

2. Dãy(Xn ) được gọi là thuộc Lp và ta viết (Xn ) ∈ Lp nếu với mọi n
E|Xn |p < ∞.
3. Dãy (Xn ) ∈ L1 được gọi là một martingale đối với dãy Fn nếu nó tương
thích với dãy Fn và với mọi m < n thì
E(Xn |Fm) = Xm .
4. Dãy (Xn ) ∈ L1 được gọi là một supermartingale (martingale trên) đối

với dãy Fn nếu nó tương thích với dãy Fn và với mọi m < n thì
E(Xn |Fm ) ≤ Xm .
5. Dãy (Xn ) ∈ L1 được gọi là một submartingale ( martingale dưới) đối
với dãy Fn nếu nó tương thích với dãy Fn và với mọi m < n thì
E(Xn |Fm ) ≥ Xm .
Chú thích:
• Điều kiện
E(Xn |Fm ) = Xm
tương đương với
E(Xn+1 |Fn ) = Xn .
Thật vậy, do Fn ⊂ Fn+1 nên theo tính chất của kỳ vọng có điều kiện
thì
E(Xn+2 |Fn ) = E (Xn+2 |Fn+1 |Fn )
= E(Xn+1 |Fn ) = Xn .
Tiếp tục như vậy, bằng quy nạp ta có với mọi k thì
E(Xn+k |Fn ) = Xn .
Tương tự cho các điều kiện E(Xn |Fm ) ≤ Xm cũng như E(Xn |Fm ) ≥
Xm .


150

Chương 3. Q trình Martingale
• Dãy (Xn ) là martingale trên đối với dãy Fn khi và chỉ khi −Xn là
martingale dưới đối với dãy Fn
• Giả sử σ(X)n là σ-trường bé nhất sinh bởi {Xm , m ≤ n}. Hiển nhiên
dãy (σ(X)n ) là một dãy tăng và ta gọi nó là σ- trường tự nhiên sinh bởi
dãy (Xn ). Hiển nhiên dãy (Xn ) ln tương thích với dãy (σ(X)n ) . Ta
nói l(Xn ) một martingale nếu nó là một martingale đối với σ- trường
tự nhiên .

Ví dụ 3.1. Cho dãy σ-trường tăng Fn và giả sử X là một ĐLNN X ∈ L1 .
Đặt Xn = E(X|Fn ). Khi đó với m < n ta có do tính chất của kỳ vọng có
điều kiện
E(Xn |Fm ) = E (E(X|Fn )|Fm )
= E(X|Fm ) = Xm .
Vậy (Xn ) là một martingale đối với Fn .
Ví dụ 3.2. Cho (Yn ) là dãy các ĐLNN độc lập với EYn = 0 với mọi n. Giả
sử Fn = B(Y1, ..., Yn). Khi đó các tổng riêng
S n = Y1 + Y2 + · · · Yn
lập thành martingale đối với Fn . Thật vậy do Sn ∈ Fn và Yn+1 độc lập với
Fn nên ta có
E(Sn+1 |Fn ) = E(Sn + Yn+1 |Fn )
= Sn + E(Yn+1 |Fn ) = Sn + E(Yn+1 )
= Sn .
Ví dụ 3.3. Cho (Yn ) là dãy các ĐLNN độc lập và EYn = 1 với mọi n. Giả
sử Fn = B(Y1, ..., Yn). Khi đó các tích riêng
Un = Y1 .Y2 . · · · .Yn


3.2. Martingale thời gian rời rạc

151

lập thành martingale đối với Fn . Thật vậy do Un ∈ Fn và Un+1 độc lập với
Fn nên ta có
E(Un+1 |Fn ) = E(Un .Yn+1 |Fn )
= Un .E(Yn+1 |Fn ) = Un .E(Yn+1 ) = Un .
Ví dụ 3.4. Cho (Yn ) là dãy các ĐLNN độc lập có kỳ vọng 0 EYn = 0 với
mọi n. Gọi Fn là σ-đại số sinh bởi (Y1 , ..., Yn). Giả sử (Vn ) là dãy các ĐLNN

sao cho với mỗi n > 1 thì Vn ∈ Fn−1 . Xét dãy (Xn ) như sau
X0 = 0,

Xn+1 = Xn + Vn+1 Yn+1

Khi đó (Xn ) là một martingale đối với dãy (Fn ). Thật vậy, vì Vn+1 ∈ Fn ,
EYn+1 = 0 nên Xn ∈ Fn và
E(Xn+1 |Fn ) = E(Xn |Fn ) + E(Vn+1 Yn+1 |Fn )
= Xn + Vn+1 EYn+1 = Xn .
Ví dụ 3.5. Cho dãy σ-trường tăng Fn và F∞ là σ-trường bé nhất chứa
∪∞ Fn . Cho Q là độ đo xác suất trên F∞ . Gọi Pn , Qn tương ứng là thu hẹp
n=1
dQn
của P và Q trên Fn . Giả sử Qn liên tục tuyệt đối đối với Pn và gọi Xn =
dPn
là đạo hàm Radon- Nikodim của Qn đối với Pn . Khi đó với mọi A ∈ Fm và
với mọi m < n ta có
Xm dP = Qm (A) = Qn (A) = intA Xn dP.
A

Vậy
E(Xn |Fm ) = Xm
do đó (Xn ) là martingale.
Định lý 3.3. Cho (Xn ) là martingale đối với Fn . Cho Φ là hàm lồi sao cho
Φ(Xn ) ∈ L1. Khi đó (Φ(Xn )) là một martingale dưới đối với Fn .


152

Chương 3. Quá trình Martingale

Chứng minh. Theo bất đẳng thức Jensen ta có với m < n
Φ(Xm ) = Φ (E(Xn |Fm )) ≤ E(Φ(Xn )|Fm ).

Nói riêng |Xn | là martingale dưới và nếu Xn ∈ Lp , p > 1 thì |X|p là martingale dưới.
Định lý 3.4.
1. Cho (Xn ) là một martingale đối với Fn . Khi đó kỳ vọng EXn là một
hằng số (khơng phụ thuộc n).
2. Cho (Xn ) là một martingale dưới đối với Fn . Khi đó dãy kỳ vọng an =
EXn là dãy không giảm theo n.
3. Cho (Xn ) là một martingale đối với Fn và Xn ∈ Lp , p > 1. Khi đó dãy
un = E|Xn |p dãy khơng giảm theo n.
Thật vậy, với m ≤ n ta có
EXm = E[(EXn |Fm )] = EXn
nếu (Xn ) là một martingale . Nếu (Xn ) là một martingale dưới thì
EXm ≤ E[(EXn |Fm )] = EXn .
Kết quả sau được gọi là khai triển Doob đóng vai trị quan trọng trong lý
thuyết martingale. Trong trường hợp thời gian rời rạc chứng minh khá đơn
giản nhưng sẽ là một chứng minh rất khó trong trường hợp thời gian liên
tục.
Định lý 3.5 (Khai triển Doob). Cho (Xn ) là một martingale dưới đối với
Fn . Khi đó ta có khai triển Doob sau đây
Xn = Mn + An


3.2. Martingale thời gian rời rạc

153

trong đó (Mn ) là một martingale còn (An ) là dãy tăng

0 = A0 ≤ A1 ≤ ... ≤ An ≤
và khả đoán tức là An ∈ Fn−1
Khai triển này là duy nhất.
Chứng minh. Đặt M0 = X0 , A0 = X0 và
Mi+1 − Mi = Xi+1 − E(Xi+1 |Fi ), i = 0, 1, ...
Ai+1 − Ai = E(Xi+1 |Fi) − Xi , i = 0, 1, ....
hay
n−1

Mn = M0 +

Xi+1 − E(Xi+1 |Fi)
i=0

n−1

An =

E(Xi+1 |Fi ) − Xi .
i=0

Dễ dàng kiểm tra rằng bằng cách xác định như vậy (Mn ) là một martingale
và (An ) là dãy tăng, dự báo được.
Tiếp theo ta chứng minh khai triển là duy nhất. Thật vậy giả sử Xn =
Mn + An là một khai triển khác ở đó (Mn ) là một martingale cịn (An ) là
một dãy tăng, dự báo được. Khi đó
An+1 − An = (An+1 − An ) + (Mn+1 − Mn ) − (Mn+1 − Mn ).
Lấy kỳ vọng có điều kiện đối với Fn , ta thu được
An+1 − An = An+1 − An .
Vì A0 = A0 = 0 nên từ đó rút ra An = An và do đó Mn = Mn .

Bây giờ giả sử (Xn ) là một martingale bình phương khả tích tức là Xn ∈
2
L2 với mọi n. Khi đó (Xn ) là một martingale duới và do đó ta có khai triển
Dood
2
Xn = Mn + An .


154

Chương 3. Quá trình Martingale

Ta ký hiệu dãy (An ) là < X > tức là < X >n = An và gọi đây là đặc trưng
bình phương của martingale bình phương khả tích X.
Ta có
n−1
2
E(Xi+1 |Fi) − Xi2 .

< X >n =
i=0

2
2
Dễ chứng minh được E(Xi+1 |Fi) − Xi2 = E(Di+1 ||Fi ) ở đó Di+1 = Xi+1 − Xi
tức là Xn − X0 = D1 + . . . + Dn ta thu được
n
2
E(Di |Fi−1).

< X >n =
i=1

Ta có Xn − X0 = D1 + · · · + Dn . Nói riêng nếu X0 = 0 thì Xn = D1 + · · ·+ Dn .
Nếu (Di ) là dãy các ĐLNN độc lập thì Di độc lập đối với Fi−1 do vậy
n
2
E(Di ).

< X >n =
i=1

Nghĩa là trong trường hợp này < X > là dãy tăng các số dương.

3.2.2

Thời điểm Markov và thời điểm dừng

Trong tiết này ta sẽ trình bày khái niệm thời điểm Markov và thời điểm dừng
. Đây là một công cụ quan trọng để nghiên cứu lý thuyết martingale.
Định nghĩa 3.2. Cho T là ĐLNN (có thể nhận giá trị ∞). Ta nói rằng T
là một thời điểm Markov đối với dãy Fn nếu
{ω : T (ω) = n} ∈ Fn .
Thời điểm Markov T gọi là thời điểm dừng nếu T hữu hạn hầu chắc chắn.
Ta thấy rằng T là thời điểm Markov khi và chỉ khi
{ω : T (ω) ≤ n} ∈ Fn .


3.2. Martingale thời gian rời rạc

155

Thật vậy, chứng minh suy ra từ các đẳng thức sau
n

{ω : T (ω) = k} ∈ Fn

{ω : T (ω) ≤ n} =
k=1

{ω : T (ω) = n} = {ω : T (ω) ≤ n} \ {ω : T (ω) ≤ n − 1}.
Với mỗi thời điểm dừng T ta định nghĩa σ-trường FT các biến cố quan sát
được cho tới thời điểm T như sau
A ∈ FT ↔ A ∈ F∞

và A ∩ {ω : T (ω) ≤ n} ∈ Fn .

Ta có FT quả là một σ-trường. Thật vậy
• Ω ∈ FT vì Ω ∩ {ω : T (ω) ≤ n} = {ω : T (ω) ≤ n} ∈ Fn .
• Giả sử Ak ∈ FT với k = 1, 2, .... Khi đó ta có
∞

∞

Ak ) ∩ {ω : T (ω) ≤ n} =

(
k=1

(Ak ∩ {ω : T (ω) ≤ n}) ∈ Fn

k=1

vì Ak ∩ {ω : T (ω) ≤ n} ∈ Fn với mỗi k. Suy ra

∞
k=1

Ak ∈ FT .

• Giả sử A ∈ FT và Ac = Ω \ A. Khi đó
Ac ∩ {ω : T (ω) ≤ n} = Ω ∩ {ω : T (ω) ≤ n} \ A ∩ {ω : T (ω) ≤ n}
{ω : T (ω) ≤ n} \ A ∩ {ω : T (ω) ≤ n} ∈ Fn .
Suy ra Ac ∈ FT .
Ví dụ 3.6. (Thời điểm đầu tiên chạm vào tập hợp B.) Cho (Xn ) là dãy các
ĐLNN và B là một tập Borel của R. Gọi T là thời điểm đầu tiên (Xn ) chạm
∞

vào B tức là T (ω) = min{n : Xn (ω) ∈ B} trong trường hợp ω ∈

{Xn ∈ B}
n=1

và T (ω) = ∞ nếu trái lại. Khi đó T là thời điểm Markov đối với σ-trường
tự nhiên. Chứng minh suy ra từ đẳng thức sau
n

{ω : T (ω) ≤ n} =

{Xk ∈ B} ∈ B(X1 , ..., Xn).
k=0

156

Chương 3. Q trình Martingale

Sau đây là một số tính chất của thời điểm Markov:
1. Giả sử T là thời điểm Markov đối với (Fn ). Khi đó
{T < n} ∈ Fn .
Điều này suy từ đẳng thức
n

{T < n} =

{T ≤ n − k} ∈ Fn .
k=0

2. Giả sử T1, T2 là thời điểm Markov đối với (Fn ). Khi đó các đại lượng
min(T1, T2), max(T1, T2) và T1 + T2 cũng là các thời điểm Markov đối
với (Fn ).
Điều này suy ra từ đẳng thức
{min(T1, T2) ≤ n} = {T1 ≤ n} ∪ {T1 ≤ n}
{max(T1, T2) ≤ n} = {T1 ≤ n} ∩ {T1 ≤ n}
n

{T1 + T2 ≤ n} =

{T1 = k} ∩ {T2 = n − k}.
k=0

3. Nếu (Tk ) là dãy các thời điểm Markov đối với (Fn ). Khi đó
inf k Tk , supk Tk cũng là các thời điểm Markov đối với (Fn ).
Điều này suy từ đẳng thức
∞

{inf Tk ≤ n} =
k

{TK = k}
k=0
∞

{sup Tk ≤ n} =
k

{TK = k}.
k=0

4. Nếu T là thời điểm Markov đối với (Fn ). thì T ∈ FT . Hơn nữa nếu S
là thời điểm Markov đối với (Fn ). mà P (S ≤ T ) = 1 thì FS ⊂ FT .


3.2. Martingale thời gian rời rạc

157

Thật vậy, giả sử A = {T ≤ m}. Ta phải chỉ ra A ∈ FT tức là phải chỉ
ra A ∩ {T ≤ n} ∈ Fn . Ta có
{T ≤ m} ∩ {T ≤ n} = {T ≤ min(m, n)} ∈ Fn .
Bây giờ giả sử A ∈ FS . Khi đó do P (S ≤ T ) = 1 hai tập A ∩ {T ≤ n}

và A ∩ {T ≤ n} ∩ {S ≤ n} chỉ sai khác một tập có xác suất không. Do
Fn đầy đủ mà A ∩ {S ≤ n} ∩ {T ≤ n} thuộc Fn nên A ∩ {T ≤ n} ∈ Fn .
Vậy A ∈ FT .
5. Nếu (Tk ), k = 1, 2, .. là dãy các thời điểm Markov đối với (Fn ). và
T = inf k Tk thì
ATk
AT =
k

Quả vậy theo tính chất 4 ta có AT ⊂
thì

k

ATk . Đảo lại nếu A ∈

k

ATk

{Tk ≤ n}

A ∩ {T ≤ n} = A ∪
k

(A ∩ {Tk ≤ n}) ∈ Fn .

=
k

(Xn ) là dãy các ĐLNN tương thích đối với (Fn ) và T là thời điểm Markov
đối với (Fn ). Ta định nghĩa hàm XT : Ω → R như sau

X
nếu T (ω) < ∞
T (ω) (ω)
XT (ω) =
0
nếu T (ω) = ∞.
Định lý 3.6. XT ∈ FT . Hơn nữa nếu Z là ĐLNN khơng âm hay có kỳ vọng
thì
E(Z|FT ) = E(Z|Fn ) trên tập {T = n}.
Chứng minh. Giả sử B là một tập Borel bất kỳ trên đường thẳng. Ta có
{XT ∈ B} ∩ {T = n} = {Xn ∈ B} ∩ {T = n} ∈ Fn


158

Chương 3. Quá trình Martingale

vì {Xn ∈ B} ∈ Fn . Điều này chứng minh XT ∈ FT .
Tiếp theo giả sử Z là ĐLNN không âm. Đặt
∞

E(Z|Fn )I{T =n}.

Y =
n=1

Ta phải chứng minh Y = E(Z|FT ). Thật vậy, vì thu hẹp của Y trên {T = n}

bằng E(Z|Fn ) do đó là Fn - đo được do đó Y là FT -đo được. Mặt khác với
A ∈ FT bất kỳ ta có
∞

Y dP =
A

E(Z|Fn )dP
n=1
∞

A∩{T =n}

n=1

A∩{T =n}

=

ZdP =

ZdP
A

E(Z|FT )dP.

=
A

Điều này chứng minh Y = E(Z|FT ). Với Z là ĐLNN có kỳ vọng bất kỳ ta

phân tích Z = Z + − Z − rồi áp dụng điều vừa chứng minh cho Z + , Z −
Định lý 3.7. Cho (Xn ) là martingale ( martingale dưới) đối với Fn và T là
thời điểm Markov đối với Fn . Xét dãy (Yn ) xác định bởi
Yn = XT ∧n .
Khi đó (Yn ) cũng là martingale ( martingale dưới) đối với Fn .
Chứng minh. Ta có
n−1

Yn = XT ∧n =

Xm I{T =m} + Xn I{T ≥n}.
m=0

Do vậy Yn ∈ Fn và Yn ∈ L1 . Hơn nữa
Yn+1 − Yn = I{T >n}(Xn+1 − Xn ).
Thành thử
E(Yn+1 − Yn |Fn ) = I{T >n}E(Xn+1 − Xn |Fn ) = 0.
Tương tự cho trường hợp martingale dưới.


3.2. Martingale thời gian rời rạc

159

Ta biết rằng nếu (Xn ) là một martingale thì với mọi n ta có EXn = EX0 .
Một câu hỏi quan trọng đặt ra là: Tính chất trên cịn đúng hay khơng khi
thay thời điểm tất định n bởi thời điểm ngẫu nhiên T ?. Tổng quát hơn: Liệu
tính chất martingale cũng như martingale dưới vẫn cịn được bảo tồn khi
thay thời điểm tất định n bởi thời điểm dừng ngẫu nhiên hay không? Ta sẽ
thấy rằng điều này không phải luôn luôn đúng với mọi thời điểm dừng. (Ví

dụ 3.6 sẽ cho thấy xảy ra trường hợp EXT = EX0 .) .
Các định lý dưới đây sẽ cho ta các điều kiện đủ để tính chất martingale
cũng như martingale dưới vẫn cịn được bảo toàn khi thay thời điểm tất định
n bởi thời điểm dừng ngẫu nhiên và do đó có đẳng thức EXT = EX0 .
Định lý 3.8. Cho (Xn ) là martingale trên đối với Fn . Cho T, S là hai thời
điểm dừng đối với Fn . Giả sử rằng T, S là hữu hạn hầu chắc chắn tức là tồn
tại số nguyên dương N sao cho P (T ≤ N ) = P (S ≤ N ) = 1. Khi đó
E(XS |FT ) ≤ XT
hầu chắc chắn trên tập S ≥ T . Do đó
E(XS |FT ∧S ) ≤ XT ∧S .
Trong trường hợp (Xn ) là martingale đối với Fn thì
E(XS |FT ) = XT
hầu chắc chắn trên tập S ≥ T . Do đó
E(XS |FT ∧S ) = XT ∧S .
Chứng minh. Đầu tiên ta chú ý rằng
N

E|XS | =

|XS |dP
n=0
N

{S=n}

n=0
N

{S=n}

|Xn |dP

=

≤

E|Xn | < ∞.
n=0

(3.1)


160

Chương 3. Quá trình Martingale

Tiếp theo vì {S ≥ T } = N {T = n} ∩ {S ≥ n} nên ta chỉ cần chứng minh
n=0
bất đẳng thức (3.1) trên tập En = {T = n} ∩ {S ≥ n}. Lại có trên tập này
thì theo định lý XT = Xn , E(XS |FT ) = E(XS |Fn ) do đó ta chỉ cần chứng
minh rằng trên tập En
Xn ≥ E(XS |Fn )
hay tương đương với mọi A ∈ Fn
(Xn − XS )dP ≥ 0.

(3.2)

A∩En

Do (Xn ) là martingale trên nên Xn ≥ E(Xn+1 |Fn ). Vì tập Bn = A ∩ {T =

n} ∩ {S > n} ∈ Fn nên ta có
Xn dP ≥
Bn

E(Xn+1 |Fn ) =
Bn

Xn+1 .
Bn

Thành thử
(Xn − XT )dP
A∩En

=

(Xn − XT )dP +
A∩{T =n}{S=n}

(Xn − XT )dP
Bn

(Xn − XT )dP

=
Bn

≥

(Xn+1 − XT )dP

Bn

(Xn+1 − XT )dP.

=
A∩En+1

Tiếp tục như vậy suy ra
(Xn − XT )dP ≥ intA∩EN (Xn − XT )dP = 0.
A∩En

Bất đẳng thức (3.6) được chứng minh.


3.2. Martingale thời gian rời rạc

161

Hệ quả 3.1. Cho (Xn ) là martingale trên đối với Fn . Cho T, S là hai thời
điểm dừng hữu hạn đối với Fn và P (T ≤ S ≤ N ) = 1. Khi đó
EXN ≤ E(XS ) ≤ E(XT ) ≤ EX0 .
Nếu (Xn ) là martingale thì ta có
EXN = E(XS ) = E(XT ) = EX0 .
Bây giờ ta mở rộng kết luận của định lý trên cho thời điểm dừng không
nhất thiết bị chặn.
Định lý 3.9. Cho (Xn ) là martingale trên đối với Fn . Cho T, S là hai thời
điểm dừng đối với Fn . Giả sử rằng
E|XT | < ∞,

(3.3)

|Xn |dP = 0.

lim

n→∞

E|XS | < ∞

(3.4)

{S≥n}

Khi đó
E(XS |FT ) ≤ XT

(3.5)

hầu chắc chắn trên tập S ≥ T . Do đó
E(XS |FT ∧S ) ≤ XT ∧S .
Trong trường hợp (Xn ) là martingale đối với Fn thì
E(XS |FT ) = XT

(3.6)

hầu chắc chắn trên tập {S ≥ T }.
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh với mọi A ∈ FT thì
XS dP ≤
A∩{S≥T }

XT .
A∩{S≥T }

Điều này tương đương với ( do T là hữu hạn h.c.c.): Với mỗi n
XS dP ≤
A∩{S≥T }∩{T =n}

XT
A∩{S≥T }∩{T =n}


162

Chương 3. Q trình Martingale

hay
XS dP ≤

Xn dP

B∩{S≥n}

B∩{S≥n}

ở đó B = A ∩ {T = n} ∈ Fn . Ta có
Xn dP =
B∩{S≥n}

Xn dP +
B∩{S=n}

Xn dP
B∩{S>n}

Xn dP +

≥
B∩{S=n}

E(Xn+1 |Fn )dP
B∩{S>n}

Xn dP +

=
B∩{S=n}

Xn+1 dP
B∩{S≥n+1}

XS dP +

=

Xn+1 dP.

B∩{n≤S≤n+1}

B∩{S>n+1}

Cứ thế, bằng quy nạp ta có với mọi m > n
Xn dP ≥
B∩{S≥n}

XS dP +
B∩{n≤S≤m}

Xm dP
B∩{S>m}

hay
XS dP ≤
B∩{S≥n}

Xn dP −
B∩{n≤S≤m}

Xm dP.
B∩{S>m}

Cho m → ∞ do diều kiện ta thu dược
XS dP ≤
B∩{S≥n}

Xn dP.
B∩{S≥n}

Ta muốn tìm điều kiện tường minh, dễ kiểm tra để có (3.5) và (3.6). Đó
chính là điều kiện khả tích đều của (Xn ).
Định nghĩa 3.3. Một họ H các ĐLNN được gọi là khả tích đều nếu

sup
X∈H

|X|dP → 0

khi c → ∞.

|X|>c

Định lý 3.10. Họ H là khả tích đều nếu và chỉ nếu


3.2. Martingale thời gian rời rạc

163

a. Bị chặn trong L1 tức là
sup E|X| < ∞.
X∈H

b. Liên tục tuyệt đối đều tức là với mọi
sao cho nếu P (A) < δ thì

> 0 tồn tại δ > 0 (chỉ phụ thuộc

|X|dP < .
A

Chứng minh. Giả sử họ H là khả tích đều. Ta có với mọi tập A đo được và
với mọi số dương c

|X|dP =
A

|X|dP +
A∪{|X|≤c}

|X|dP
A∪{|X|>c}

≤ cP (A) +

|X|dP.

(3.7)

{|X|>c}

Lấy A = Ω ta thu được
|X|dP.

E|X| ≤ c +
{|X|>c}

Chọn c0 đủ lớn sao cho

{|X|>c0 }

|X|dP < 1. Vậy

sup E|X| < c0 + 1.

X∈H

Chọn c đủ lớn sao cho
được nếu P (A) < δ thì

{|X|>c}

|X|dP < /2 rồi chọn δ = /(2c) từ (3-7) ta

|X|dP < c /(2c) + /2 = .
A

Đảo lại giả sử hai điều kiện a) và b) trong định lý trên được thoả mãn. Cho
trước > 0. Ta chọn c sao cho c > M/δ ở đó M = supX∈H E|X|. Khi đó vì
P (|X| > c) ≤
nên

|X|>c

|X|dP <

với mọi X ∈ H.

M
≤δ
c


164

Chương 3. Quá trình Martingale
Định lý sau đây cho ta điều kiện chuyển giới hạn dưới dấu kỳ vọng.

Định lý 3.11. Cho (Xn ) là dãy các ĐLNN thuộc L1 hội tụ hầu chắc chắn
tới ĐLNN X. Khi đó để Xn → X trong L1 điều kiện cần và đủ là họ (Xn )
là khả tích đều.
Nói riêng nếu (Xn ) khả tích đều thì X ∈ L1 và lim EXn = EX.
n

Chứng minh. Giả sử Xn → X trong L1 . Dãy (Xn ) hội tụ trong L1 nên phải
bị chặn trong L1 . Tiếp theo ta có
|Xn |dP ≤
A

|X|dP + E|Xn − X|.
A

Chọn n0 đủ lớn sao cho E|Xn − X| < ε/2 nếu n > n0 sau đó chọn δ sao cho
nếu P (A) < δ thì A |X|dP < ε/2, A |Xi |dP < ε/2 với mọi i = 1, 2, ..., n0.
Khi đó nếu P (A) < δ thì với mọi n ta có
|Xn |dP ≤ ε/2 + ε/2 = ε.
A

Vậy (Xn ) khả tích đều.
Ngược lại giả sử (Xn ) khả tích đều. Khi đó (Xn ) bị chặn trong L1 do đó
từ bổ đề Fatou ta có X ∈ L1 . Cho ε > 0 . Chọn c > 0 đủ lớn sao cho
|X|dP < ε,
|X|>c

|Xn |dP < ε ∀n

|Xn |>c

Theo định lý hội tụ bị chặn ta có limn
tồn tại n0 sao cho với mọi n > n0 thì

|Xn |≤c

|Xn − X|dP = 0. Thành thử

|Xn − X|dP < ε.
|Xn |≤c

Thành thử với mọi n > n0 thì
|Xn − X|dP
≤

|Xn − X|dP +
|Xn |≤c

< ε + ε + ε = 3ε.

|X|dP +
|X|>c

|Xn |dP
|Xn |>c


3.2. Martingale thời gian rời rạc

165

Định lý sau cho ta một điều kiện đủ khá thuận tiện để kiểm tra tính khả
tích đều.
Định lý 3.12. Giả sử g(t) là một hàm xác định trên [0, ∞) sao cho
g(t)
= ∞.
t→∞ t
lim

Khi đó nếu họ H các ĐLNN thoả mãn
sup Eg(|X|) < ∞
X∈H

thì họ H là khả tích đều.
Nói riêng nếu tồn tại p > 1 sao cho
sup E|X|p < ∞
X∈H

thì họ H là khả tích đều.
Chứng minh. . Cho ε > 0. Đặt M = supX∈H Eg(|X|). Đặt a = M/c. Chọn c
đủ lớn để g(t)/t > a nếu t > c. Khi đó
{|X| > c} ⊂ {|X| < g(|X|)/a}.
Suy ra
|X|dP ≤
{|X|>c}

1
a

g(|X|)dP ≤ M/a = ε
{|X|>c}

Định lý 3.13. Cho (Xn ) là martingale khả tích đều. Khi đó các điều kiện
của định lý được thoả mãn và do đó tính chất martingale được bảo toàn qua
việc thay thế thời điểm tất định bằng thời điểm dừng ngẫu nhiên.
Chứng minh. Rõ ràng vì T, S là các thời điểm dừng nên limn P (S > n) =
limn P (T > n) = 0. Do (Xn ) khả tích đều nên điều này kéo theo (3.3) được
thực hiện. Ta chỉ còn phải chứng minh rằng nếu T là thời điểm dừng thì


166

Chương 3. Quá trình Martingale

E|XT | < ∞. Thật vậy với mỗi n cố định đặt Tn = T ∧ n. Ta có Tn là thời
điểm dừng bị chặn bởi n. Theo định lý ta có EX0 ≤ EXTn . Mặt khác
+
−
+
|XTn | = XTn + XTn = 2XTn − XTn
+
+
E|XTn | = 2EXTn − EXTn ≤ 2EXTn − EX0 .
+
Dãy (Xn ) là một martingale trên ( do hàm f (x) = x+ là hàm lồi) do đó
n
+
EXTn =

+
Xj dP +

+
Xn dP

{T =j}

{T >n}

+
Xn dP +

j=0

+
Xn dP =

n

j=0

{T =j}

{T >n}

+
= E|Xn | ≤ E|Xn | ≤ M

ở đó M = supn E|Xn | < ∞. Vậy

E|XTn | ≤ 3M.
Theo bổ đề Fatou ta có
E|XT | = E(lim XTn ) ≤ lim E|XTn | ≤ 3M.
n

n

Tiếp theo ta đưa ra ví dụ chứng tỏ rằng sự bảo tồn tính chất martingale
khi thay thế bởi thời điểm dừng không phải lúc nào cũng đúng. Ta hãy xét
ví dụ sau:
Ví dụ 3.7. (Trò chơi đánh bạc gỡ vốn) Một người A đánh bạc. Mỗi ván chơi
A được yêu cầu đặt cược một số tiền nào đó tuỳ thích và một đồng tiền cân
đối đồng chất được gieo. Đồng tiền ra mặt sấp thì A thắng cuộc và thu được
số tiền đặt cược. Trong trường hợp trái lại khi đồng tiền ra mặt ngửa thì A
thua và phải trả cho nhà cái số tiền đặt. Mục đích của A là kiếm được một
đơn vị tiền (một đô la, một trăm đô la,...) chẳng hạn một đơ la. Do vậy ván
đầu tiên người đó đặt cược một đơ la. Nếu A thắng thì A thu được 1 đô la