Quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên phần 4 potx

Chương 2. Quá trình dừng
Đặng Hùng Thắng
Quá trình ngẫu nhiên và tính tốn ngẫu nhiên
NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007
Tr 64 -142.
Từ khố: Q trình dừng, Hàm tự tương quan, Độ do phổ, mật độ phổ, Biểu diễn
phổ, Tiếng ồn trắng, Trung bình trượt tích phân.

Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục
đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn
phục vụ các mục đích khác nếu khơng được sự chấp thuận của nhà xuất bản và
tác giả.


Chương 2
Quá trình dừng

2.1

2.2

2.3

Quá trình dừng thời gian rời rạc . . . . . . . . .

65

2.1.1

Hàm tự tương quan . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.1.2

Một số dãy dừng quan trọng . . . . . . . . . . . . 71

2.1.3

Độ đo phổ và mật độ phổ . . . . . . . . . . . . . . 86

2.1.4

Biểu diễn phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

2.1.5

Bài toán dự báo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

2.1.6

Tính chất ergodich . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Quá trình dừng thời gian liên tục . . . . . . . . .

119

2.2.1

Hàm tự tương quan, độ đo phổ, biểu diễn phổ . . . 119

2.2.2

Tiếng ồn trắng, trung bình trượt tích phân . . . . 124

2.2.3

Phương trình vi phân, dự báo và tính ergodic . . . 130

Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

139

Trong chương 1 ta đã nghiên cứu sự tiến triển theo thời gian của một hệ
thống vật lý mà tương lai chỉ phụ thuộc vào hiện tại và độc lập với quá khứ.


2.1. Quá trình dừng thời gian rời rạc

65

Tuy nhiên trong thực tế đặc biệt là trong các lĩnh vực kinh tế, thị trường
chứng khốn, cơ học thống kê, khí tượng thuỷ văn... ta thường gặp các hệ
ngẫu nhiên mà trong q trình phát triển tương lai khơng chỉ phụ thuộc vào
hiện tại mà còn phụ thuộc cả vào quá khứ nữa. Khi dự báo cho tương lai của
một quá trình như vậy chúng ta không chỉ quan tâm tới hiện tại mà còn phải
quan tâm tới quá khứ của hệ nữa. Mơ hình xác suất để mơ ta q trình như
vậy gọi là quá trình dừng. Ngày nay quá trình dừng đã trở thành một trong
những lĩnh vực quan trọng và có nhiều ứng dụng cuả Lý thuyết xác suất.
Chương này được chia làm hai phần. Phần thứ nhất trình bày quá trình
dừng với thời gian rời rạc. Phần thứ hai trình bày các kết quả tương ứng
cho trường hợp quá trình dừng với thời gian liên tục. Tuy nhiên do khuôn
khổ cuốn sách trong phần B chúng tôi tập trung vào việc giới thiệu các khái

niệm, định nghĩa. Các định lý được nêu ra và giải thích ý nghĩa, nêu ví dụ
minh hoạ chứ khơng chứng minh chi tiết.

2.1
2.1.1

Q trình dừng thời gian rời rạc
Hàm tự tương quan

Cho dãy (Xn ) các ĐLNN với tập chỉ số n ∈ Z={0, ±1, ±2, ...}. Khi đó ta nói
(Xn ) là một quá trình ngẫu nhiên với thời gian rời rạc. Ký hiệu
m(k) = EXk ,

r(k, h) = cov(Xk , Xh ) = E(Xk − m(k))(Xh − m(h)).

Ta gọi m(k) là hàm trung bình cịn r(k, h) là hàm tự tương quan của dãy.
Định nghĩa 2.1. (Xn ) được gọi là một q trình dừng (cịn gọi là dãy dừng
hoặc chuỗi thời gian) nếu hàm trung bình là một hằng số và hàm tương quan
r(k, h) chỉ phụ thuộc vào hiệu |k − h|.
Như vậy nếu (Xn ) là một quá trình dừng thì tồn tại hàm K(h) xác định
trên tập số nguyên Z sao cho với mọi n ∈ Z
K(h) = cov(Xn+h , Xn ).


66

Chương 2. Quá trình dừng

Hàm K(n) gọi là hàm tự tương quan (autocovariance function) của dãy (Xn ).
Ta có

DXn = cov(Xn , Xn ) = K(0).
Định lý 2.1. Hàm tự tương quan K(n) có các tính chất sau
1. K(n) là một hàm chẵn K(n) = K(−n).
2. |K(n)| ≤ K(0), ∀n ∈ Z .
3. K(n) là một hàm xác định không âm trên Z tức là với mọi số nguyên
dương n, với mọi số thực hay phức a1, a2, ..., an ta có
n X
n
X

aiaj K(i − j) ≥ 0 .

i=1 j=1

Chứng minh.
1. Hiển nhiên do định nghĩa.
2. Ta có theo bất đẳng thức Cauchy-Schwartz
|K(n)|2 = |E(Xn − m)(X0 − m)|2 ≤ (DXn )(DX0 ) = |K(0)|2 .
3.
0≤ D

n
X

ai Xi

!

= Cov

"

i=1

=

n X
n
X
i=1 j=1

bibj Cov[Xi , Xj ] =

n
X

aiXi ,

i=1
n X
n
X

n
X

#

aj Xj =

i=1

aiaj K(i − j).

i=1 j=1

Ngược lại ta có kết quả sau (công nhận không chứng minh):
Định lý 2.2. Nếu K(n) là một hàm chẵn xác định khơng âm trên Z thì tồn
tại một quá trình dừng Gaussian (Xn ) nhận K(n) làm hàm tự tương quan.


2.1. Q trình dừng thời gian rời rạc

67

Ví dụ 2.1. Cho Wn là dãy các ĐLNN không tương quan với EWn =
0, EWn Wm = δmn và DWn = σ 2. Ta có
r(k + n, k) = EWk+n Wk = 0

nếu n 6= 0.

Do đó Wn là một q trình dừng với hàm tự tương quan

σ 2 nếu h = 0
K(h) =
.
0
nếu h 6= 0
Ta gọi Wn là dãy ồn trắng với tham số σ.
Ví dụ 2.2. Xét dãy (Xn ) xác định như sau

Xn = Wn + rWn−1
trong đó r là hằng số thực. Ta có
r(n + h, h) = cov(Xn+h , Xh )
= E[(Wn+h + rWn+h−1 )(Wn + rWn−1 )]
= EWn+h Wn + rEWn+h Wn−1 + rEWn+h−1 Wn +
+ r2 EWn+h−1 Wn−1 .
Do đó nếu h = 0 thì r(n, n) = σ 2(1+r2 ). Với h = 1 thì r(n+1, n) = rDXn =
rσ 2 với h = −1 thì r(n − 1, n) = rDXn = rσ 2 và r(n + h, n) = 0 nếu h 6= ±1.
Thành thử (Xn ) là một quá trình dừng với hàm tự tương quan là



σ 2(1 + r2 ) nếu h = 0


K(h) = σ 2r
nếu h = ±1



0
nếu |h| > 1
Để chứng minh một hàm là xác định không âm ta thường chứng minh
bằng cách chứng tỏ rằng nó là hàm tự tương quan của một quá trình dừng
nào đó.


68

Chương 2. Q trình dừng

Ví dụ 2.3. a. Chứng minh rằng hàm K(h) = σ 2 cos λh là hàm xác định
khơng âm, ở đó λ là một số thực, σ là một số dương cho trước.
b. Tổng quát hơn cho trước các số thực λ1 , ..., λn và các số dương σ1 , ..., σn.
Chứng tỏ rằng hàm
n
X
T (h) =
σk2 cos λk h
k=1

là hàm xác định không âm.
Giải:
a. Thật vậy giả sử U và V là hai ĐLNN không tương quan EU = EV =
0, EU 2 = EV 2 = σ 2 . Xét dãy (Xn ) xác định bởi
Xn = U cos λn + V sin λn.
Ta có mn = cos λnEU + sin λnEV = 0 .
r(k, h) = EXk Xh = E [(U cos λk + V sin λk)(U cos λh + V sin λk)]
= E[U 2 cos λk cos λh + V 2 sin λk sin λh
+ U V cos λk sin λh + U V sin λk cos λh]
= σ 2 (cos λk cos λh + sin λk sin λh)
= σ 2 cos λ(h − k) = K(h − k).
Vậy (Xn ) là một quá trình dừng với hàm tự tưong quan K(h) = σ 2 cos λh.
b. Tiếp theo, giả sử U1 , U2 , ..., Um và V1 , V2 , ..., Vm là các ĐLNN với EUk =
EVk = 0 , EUk2 = EVk2 = σk2 , EUi Uk = 0 (i 6= k) EVi Vk = 0 (i 6=
k) EUi Vj = 0, λ1 , ..., λm ∈ R . Xét dãy (Xn ) xác định bởi
Xn =

m
X

(Uk cos λk n + Vk sin λk n).

k=1

Tính tốn tương tự như trên ta có (Xn ) là q trình dừng với hàm tự tương
quan
m
X
σi2 cos λi h.
T (h) =
i=1


2.1. Q trình dừng thời gian rời rạc
Ví dụ 2.4. Chúng ta sẽ chứng minh



1


K(h) = θ



0

69
rằng hàm sau đây

nếu h = 0
nếu h = ±1
nếu |h| > 1

là hàm xác định không âm nếu và chỉ nếu |θ| ≤ 1/2. Thật vậy giả sử |θ| ≤ 1/2.
Theo ví dụ 2.2 ở trên ta chỉ cần chứng tỏ rằng tồn tại các số σ, r sao cho
σ 2(1 + r2 ) = 1
σ 2r = θ
có nghiệm. Quả vậy, từ hai phương trình trên suy ra
r
(1 + r2 ) = .
θ
Từ đó
r=

1±

√
1
1 − 4θ2 2
,σ =
.
2θ
1 + r2

Đảo lại nếu θ > 1/2 xét các số a1 = 1, a2 = −1, a3 = 1, ..., an = (−1)n−1 .
Khi đó
n X
n
X

ai aj K(i − j) =

i=1 j=1

n
X

a2i + 2

i=1

n−1
X

aiai+1

i=1

= n − 2θ(n − 1) < 0
nếu chọn n > 2θ/(2θ−1). Vậy K(h) không là hàm xác định không âm. Tương
tự nếu θ < −1/2 ta xét các số a1 = a2 = · · · = an = 1 ta thu được
n X
n
X
i=1 j=1

nếu n > 2θ/(2θ − 1).

ai aj K(i − j) = n + 2θ(n − 1) < 0

70

Chương 2. Q trình dừng

Ví dụ 2.5. (Dãy tự hồi quy cấp 1 hay dãy AR(1).) Giả sử (Xn ) là một quá
trình dừng thoả mãn phương trình sai phân sau đây
Xn = pXn−1 + Wn
trong đó p là một hằng số |p| < 1 và EWn Xm = 0 nếu m < n. Dãy với tính
chất này được gọi là quá trình tự hồi quy cấp 1 hay quá trình AR(1) (Sau này
ta sẽ chứng minh có tồn tại một q trình dừng có các tính chất nêu trên).
Ta hãy tìm biểu thức hàm tương quan của dãy AR(1). Rõ ràng EXn = 0 .
Thành thử với h > 0
K(h) = EXn−h Xn = EXn−h (pXn−1 + Wn ) =
pEXn−1 Xn−h + EXn−h Wn = pK(h − 1).
Suy ra
K(h) = ph K(0).
Lại có
K(0) = EXn Xn = EXn (pXn−1 + Wn )
= pK(1) + E(Wn Xn ) = pK(1) + pE(Wn Xn−1 ) + EWn2
= pK(1) + σ 2 = p2 K(0) + σ 2.
Suy ra
K(0) =

σ2
.
1 − p2

K(h) =

p|h| σ 2
.
1 − p2

Tóm lại

Ví dụ 2.6. (Du động ngẫu nhiên.) Cho (Xn ) là dãy các ĐLNN độc lập cùng
phân bố với kỳ vọng 0 và phương sai là σ 2 . Xét dãy Sn cho bởi
Sn = 0

nếu n ≤ 0, Sn = X1 + X2 + · · · + Xn .


2.1. Q trình dừng thời gian rời rạc

71

Ta có với h > 0
r(n + h, n) = ESn+h Sn = E(Sn + Xn+1 + · · · Xn+h )Sn
= DSn = nσ 2
phụ thuộc vào n. Vậy Sn không phải là quá trình dừng.
Nếu (Xn ) là một quá trình dừng thì từ định nghĩa ta suy ra với mọi số
nguyên h, n véc tơ (X1 , ..., Xn) và véc tơ (X1+h ,...,Xn+h ) có cùng giá trị trung
bình và có cùng ma trận tương quan. Tuy nhiên chưa chắc chúng đã có cùng
phân bố. Một q trình dừng mạnh là q trình mà hai vector trên khơng
chỉ có cùng giá trị trung bình và ma trận tương quan mà có cùng luật phân
bố. Ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 2.2. Dãy (Xn ) được gọi là một quá trình dừng mạnh nếu mọi
số nguyên h, n hai vector ngẫu nhiên (X1 , ..., Xn) và vector (X1+h , ..., Xn+h )

có cùng phân bố.
Rõ ràng một q trình dừng mạnh với EXn2 < ∞ ∀n sẽ là một q
trình dừng. Ngược lại, có ví dụ chứng tỏ rằng một dãy khơng nhất thiết là
q trình dừng mạnh. Tuy nhiên như đã biết nếu hai vector ngẫu nhiên có
phân bố Gauss mà có cùng vector trung bình và ma trận tương quan thì sẽ
có phân bố như nhau. Thành thử một dãy dừng Gauss cũng là một dãy dừng
mạnh.
Nếu (Xn ) là một dãy các ĐLNN độc lập có cùng phân bố thì hiển nhiên
đây là một dãy dừng mạnh. Như vậy có thể xem khái niệm dãy dừng là sự
mở rộng của khái niệm dãy các ĐLNN độc lập cùng phân bố.

2.1.2

Một số dãy dừng quan trọng

Ta cần một số kiến thức chuẩn bị.
Ký hiệu L2 (Ω, F , P ) là không gian Hilbert các ĐLNN X sao cho E|X|2 <
∞ . Tích vơ hướng trong L2 (Ω, F , P )
Z
X(ω)Y (ω)dP.
< X, Y >= E(XY ) =
Ω


72

Chương 2. Quá trình dừng

Sự hội tụ trong L2 (Ω, F , P ) được gọi là sự hội tụ bình phương trung bình
(bptb). Như vậy dãy (Xn ) hội tụ bình phương trung bình tới X khi và chỉ

khi
lim E(Xn − X)2 = 0
n→∞

và ta viết
lim Xn = X

n→∞

trong L2

hay
L2 − lim Xn = X.
n→∞

Ta nói chuỗi S =

∞
P

Xn hội tụ bptb tới S nếu dãy tổng riêng Sn =

n=1

n
P

Xk

k=1

hội tụ bptb tới S. Ta có các tính chất cơ bản sau đây của sự hội tụ bptb.
Định lý 2.3.
1. Điều kiện cần và đủ để dãy (Xn ) hội tụ bptb là
lim E|Xn − Xm |2 = 0

m,n→∞

hoặc tồn tại
lim EXn Xm .

(2.1)

m,n→∞

2. Nếu
lim Xn = X

n→∞

, lim Yn = Y
n→∞

thì
(i) lim EXn = EX.
n

(ii) lim EXn2 = EX 2 .
n→∞

(iii) lim limn EXn Yn = EXY .
n→∞

(iv) lim cov(Xn , Yn ) = cov(X, Y ).
n

Chứng minh.

trong L2


2.1. Quá trình dừng thời gian rời rạc

73

1. Do tiêu chuẩn Cauchy trong không gian Hilbert L2 (Ω, F , P ).
2. Nếu tồn tại giới hạn trong (2.1) bằng c thì
lim E|Xn − Xm |2

m,n→∞

= lim EXn Xn − 2 lim EXn Xm + lim EXm Xm
n

m,n→∞

m

= c − 2c + c = 0.
Đảo lại nếu Xn → X trong L2 thì do tính liên tục của tích vơ hướng

suy ra
lim EXn Xm = lim < Xn , Xm >=< X, X > .

m,n→∞

m,n→∞

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwartz
p
lim |EXn − EX| ≤ lim E|Xn − X|2 = 0
n

n

Lại có vì cov(Xn , Yn ) =< Xn .Yn > −(EXn )(EYn )nên
lim cov(Xn , Yn ) =< X, Y > −(EX)(EY )
n

= cov(X, Y ).

Định lý 2.4. Giả sử Wn là một dãy ồn trắng với tham số σ 2 và (hi ), i ∈ Z
là dãy số thoả mãn
X
|hi |2 < ∞.
i∈Z

Khi đó chuỗi
Xn =

X

hi Wn−i

i∈Z

hội tụ bptb và dãy (Xn ) là một quá trình dừng với hàm tự tương quan
X
K(h) = σ 2
hi hi+h .
i∈Z


74

Chương 2. Quá trình dừng

Chứng minh. Đặt Sn =

P

hi Wn−i Khi đó
X
Sn − Sm =
hi Wn−i .
|i|≤n

m<|i|≤n

Sử dụng tính chất EWi Wj = 0, (i 6= j) suy ra
X

E|Sn − Sm |2 =
hi hj EWi Wj
m<|i|,|j|≤n

X

= σ 2(

|hi |2).

m<|i|≤n

Vậy chuỗi
Xn = lim Sn =
n

X

hi Wn−i

i∈Z

hội tụ bptb và
K(h) = lim ESn+h Sn
n
X
= lim
hi hj EWn−i Wn+h−j
n

|i|,|j|≤n

=

X

hi hj EWn−i Wn+h−j .

i∈Z,j∈Z

Nhưng
EWn−i Wn+h−j =


σ 2
0

Suy ra
K(h) = σ 2

X

nếu i = j − h
nếu i 6= j − h
hi hi+h .

i∈Z

Định nghĩa 2.3.
1. Q trình (Xn ) có biểu diễn dưới dạng

X
hi Wn−i
Xn =
i∈Z

được gọi là một trung bình trượt hai phía.

.


2.1. Quá trình dừng thời gian rời rạc

75

2. Quá trình (Xn ) có biểu diễn dưới dạng
Xn =

∞
X

hi Wn−i

i=0

được gọi là một trung bình trượt (moving average) một phía. Ký hiệu
là MA(∞).
3. Q trình (Xn ) có biểu diễn dưới dạng
Xn =

q

X

hi Wn−i

i=0

được gọi là một trung bình trượt cấp q ký hiệu là MA(q).
Q trình (Xn ) trong ví dụ 2.2 là một trung bình trượt cấp 1 MA(1).
Vì một q trình trung bình trượt một phía là q trình trung bình trượt
hai phía với hi = 0 nếu i < 0 nên ta có hàm tự tương quan của q trình
trung bình trượt một phía là
K(h) = σ

2

∞
X

hi hi+h .

i=0

Tương tự, một quá trình MA(q) là quá trình MA(∞) với hi = 0 với i > q
do đó hàm tự tương quan của nó là

σ 2 Pq−h h h
nếu 0 ≤ |h| ≤ q
i=0 i i+h
.
K(h) =

0
nếu |h| > q
Một q trình dừng có tính chất : nếu |k − h| > q thì Xh và Xk khơng tương
quan với nhau được gọi là một quá trình q-tương quan. Một q trình mà
các số hạng của nó đơi một không tương quan ( chẳng hạn như dãy ồn trắng)
là một quá trình 0-tương quan. Như vậy một quá trình trung bình trượt cấp
q là một quá trình q-tương quan. Điều thú vị là khẳng định ngược lại cũng
đúng


76

Chương 2. Quá trình dừng

Định lý 2.5. Nếu (Xn ) là một quá trình q-tương quan với giá trị trung bình
0 thì nó là một q trình trung bình trượt cấp q.
Một q trình trung bình trượt có thể xem như được tạo thành bởi một
phép biến đổi tuyến tính dãy ồn trắng Wn .Tổng quát hơn ta có
Định lý 2.6. Cho (Yn ) là một quá trình dừng với trung bình khơng và hàm
tự tương quan KY (h). Cho dãy số thực (hi ) thoả mãn
X
|hi | < ∞.
i∈Z

Khi đó chuỗi
Xn =

X

hi Yn−i

i∈Z

hội tụ hầu chắc chắn và hội tụ bptb. Dãy (Xn ) là một quá trình dừng với
hàm tự tương quan
X
K(h) =
hi hj KY (h + i − j).
i∈Z

Chứng minh. Ta có
E|hi Yn−i | = |hi |E|Yn−i |
p
≤ |hi | KY (0)
Vậy thì

X

E|hi Yn−i | ≤

X
p
KY (0)
|hi | < ∞

i∈Z

Suy ra

X

i∈Z

|hi Yn−i | < ∞ hầu chắc chắn

i∈Z

Vậy chuỗi
Xn =

X
i∈Z

hội tụ hầu chắc chắn .

hi Yn−i


2.1. Quá trình dừng thời gian rời rạc
Tiếp theo, đặt Sn =

P

|i|≤n

77

hi Yn−i . Khi đó
X

Sn − Sm =

hi Yn−i .

m<|i|≤n

Vậy thì
X

E|Sn − Sm |2 =

hi hj EYi Yj

m<|i|,|j|≤n

X

≤

|hi ||hj ||KY (i − j)|

m<|i|,|j|≤n

≤ KY (0)

X

|hi ||hj |

m<|i|,|j|≤n

X

= KY (0)

|hi | → 0

khi m, n → ∞.

n<|i|
Vậy chuỗi
Xn = lim Sn =
n

X

hi Wn−i

i∈Z

hội tụ bptb và
K(h) = lim ESn+h Sn
n
X
= lim
hi hj EYn−i Yn+h−j
n

|i|,|j|≤n

=

X

hi hj KY (h + i − j).

i∈Z,j∈Z

Ví dụ 2.7. Cho trước số thực p. Q trình dừng (Xn ) được gọi là một quá
trình tự hồi quy cấp 1 hay một quá trình AR(1) nếu Xn thoả mãn phương
trình sai phân sau đây
Xn = pXn−1 + Wn .
Sau đây ta sẽ chứng minh rằng nếu |p| 6= 1 thì tồn tại và và duy nhất dãy
AR(1) (Xn ). Ngồi ra khi |p| < 1 thì (Xn ) là có biểu diễn trung bình trượt


78

Chương 2. Q trình dừng

một phía AM(∞ ):
∞
X

Xn =

pi Wn−i

i=0

cịn khi |p| > 1 thì (Xn ) là có biểu diễn trung bình trượt dạng
Xn =

−1
X

(−pi )Wn−i .

i=−∞

Khi |p| = 1 thì khơng tồn tại dãy AR(1).
Thật vậy, xét trường hợp |p| < 1. Đặt
∞
X

Xn =

pi Wn−i .

i=0

Vì

∞
P

p2i < ∞ nên theo định lý 2.4 dãy (Xn ) tồn tại và

i=0

Xn − pXn−1 =

∞
X

=

i=0
∞
X

p Wn−i −

∞
X

pi+1 Wn−1−i

pi Wn−i −

i=0
∞
X

pi Wn−i

i

i=0

i=1

= Wn .
Sự tồn tại được chứng minh. Tiếp theo giả sử (Yn ) là một dãy AR(1) bất kỳ.
Ta có
Yn = pYn−1 + Wn = Wn + p(pYn−2 + Wn−1
= Wn + pWn−1 + p2 Yn−2 .
Từ đó bằng quy nạp ta có với mọi k = 0, 1, ...
Yn =

k
X
i=0

pi Wn−i + pk+1 Yn−k−1 .

(2.2)


2.1. Quá trình dừng thời gian rời rạc

79

Ký hiệu KY (h) là hàm tự tương quan của (Yn ).Ta có
E|Yn −

k
X

pi Wn−i |2 = |p|2(k+1) E|Yn−k−1 |2

i=0

|p|2(k+1)KY (0) → 0
Vậy Yn =

∞
P

khi k → ∞ .

pi Wn−i = Xn .

i=0

Tiếp theo xét trường hợp |p| > 1. Đặt
∞
X
Xn = −
p−i Wn+i .
i=1

Vì

∞
P

p−2i < ∞ nên theo định lý 2.4 dãy (Xn ) tồn tại và

i=1

Xn − pXn−1 = −

∞
X

=−

i=1
∞
X

p Wn+i +

∞
X

p−(i−1) Wn+(i−1)

p−i Wn+i +

i=1
∞
X

p−i Wn+i = Wn .

−i

i=1

i=0

Sự tồn tại được chứng minh. Tiếp theo giả sử (Yn ) là một dãy AR(1) bất kỳ.
Ta có
Yn+1 = pYn + Wn+1 → Yn = p−1 Yn+1 − p−1 Wn+1
= p−1 (p−1 Yn+2 − p−1 Wn+2 ) − p−1 Wn+1
= −p−1 Wn+1 − p−2 Wn+2 + p−2 Yn+2 .
Từ đó bằng quy nạp ta có với mọi k = 0, 1, ...
Yn = −

k
X

p−i Wn+i + p−(k+1) Yn+k+1 .

i=1

Lý luận tương tự như trên ta suy ra
Yn = −
= Xn =

∞
X

i=1
−1
X
i=−∞

p−i Wn+i

(−pi )Wn−i .


80

Chương 2. Quá trình dừng

Xét trường hợp |p| = 1. Giả sử tồn tại dãy AR(1) (Xn ). Từ đẳng thức
(2.2) ta có
k+1

E(Xn − p

2

Xn−k−1 ) =

k
X

|p2i E|Wn−i |2 = σ 2 (k + 1).

(2.3)

i=0

Mặt khác vế trái của đẳng thức (2.3) là

EXn2 + E|Xn−k−1 |2 ± 2E(Xn Xn−k−1 )
= 2K(0) ± 2K(k + 1) ≤ 4K(0).
Suy ra với mọi k
σ 2(k + 1) ≤ 4K(0).
Đó là điều vơ lý. Vậy không tồn tại dãy AR(1) khi |p| = 1.
Định nghĩa 2.4. Dãy (Xn ) được gọi là một dãy tự hồi quy cấp p hay một
dãy AR(p) nếu nó là một dãy dừng có trung bình 0 và thoả mãn phương trình
sai phân sau
Xn = α1Xn−1 + α2Xn−2 + · · · αp Xn−p + Wn
Ta có các kết quả sau đây (xem chứng minh ở định lý 2.9 và 2.10).
Định lý 2.7. Dãy AR(p) tồn tại và duy nhất khi và chỉ khi đa thức kết hợp
Φ(z) = 1 − α1z − α2 z 2 − · · · − αp z p
khơng có nghiệm trên vịng trịn đơn vị |z| = 1
Định lý 2.8. Dãy AR(p) có biểu diễn trung bình trượt một phía
Xn =

∞
X

hi Wn−i

i=0

khi và chỉ khi đa thức kết hợp
Φ(z) = 1 − α1z − α2 z 2 − · · · − αp z p
khơng có nghiệm bên trong vịng trịn đơn vị |z| ≤ 1.


2.1. Q trình dừng thời gian rời rạc

81

Mơ hình tổng qt bao hàm cả mơ hình tự hồi quy và mơ hình trung
bình trượt là mơ hình hỗn hợp tự hồi quy trung bình trượt.
Định nghĩa 2.5. Dãy (Xn ) được gọi là một dãy hỗn hợp tự hồi quy trung
bình trượt cấp (p, q) hay một dãy ARMA(p, q) nếu nó là một dãy dừng có
trung bình 0 và thoả mãn phương trình sai phân sau
Xn = α1 Xn−1 + α2 Xn−2 + · · · αp Xn−p +

q
X

βiWn−i

(2.4)

i=0

ở đó h0 = 1 và hai đa thức Φ(z) = 1−α1 z−α2z 2 −· · ·−αp z p , Θ(z) =
khơng có nhân tử chung (tức là chúng ngun tố cùng nhau).

Pq

i=0

βi z i

Như vậy dãy tự hồi quy cấp p AR(p) chính là dãy ARMA(p, 0) và dãy
trung bình trượt cấp q chính là dãy ARMA(0, q).
Ký hiệu B là toán tử lùi một bước xác định bởi

BXn = Xn−1 .
Khi đó
B i Xn = Xn−i .
P
i
Nếu P (z) = m
i=0 ci z là một đa thức bậc m thì tốn tử P (B) được định
nghĩa như sau
m
m
X
X
i
ci B Xn =
ci Xn−i .
P (B)Xn =
i=0

i=0

Khi đó phương trình sai phân (2.4) của dãy ARMA(p, q) (Xn ) có dạng sau
Φ(B)Xn = Θ(B)Wn .

(2.5)

Định lý 2.9. Dãy ARMA(p, q) tồn tại và duy nhất khi và chỉ khi đa thức
Φ(z) = 1 − α1 z − α2 z 2 − · · · − αpz p
khơng có nghiệm trên vịng tròn đơn vị |z| = 1

82

Chương 2. Quá trình dừng

Chứng minh. Giả sử đa thức Φ(z) khơng có nghiệm trên vịng trịn đơn vị
|z| = 1. Khi đó từ một kết quả của lý thuyết hàm biến phức tồn tại δ > 0
sao cho
∞
X
1
=
ci z i
Λ(z) =
Φ(z) i=−∞
P
trong miền 1 − δ < |z| < 1 + δ với ∞
i=−∞ |ci | < ∞. Đặt
H(z) =

∞
X
Θ(z)
= Θ(z)Λ(z) =
hi z i
Φ(z)
i=−∞

và
Xn = Θ(B)Λ(B) = H(B)Wn =

∞
X

hi Wn−i .

i=−∞

Khi đó (Xn ) là một dãy dừng trung bình trượt hai phía và
Φ(B)Xn = Φ(B)H(B)Wn
Φ(B)

Θ(B)
Wn = Θ(B)Wn .
Φ(B)

Sự tồn tại được chứng minh. Ta chứng minh sự duy nhất. Giả sử có đẳng
thức (2.5). Khi đó tác động Λ(B) vào hai vế của (2.5) ta được
Xn = Λ(B)Θ(B)Wn = H(B)Wn
Ta thừa nhận phần đảo của định lý.
Định lý 2.10. Dãy ARMA(p, q) có biểu diễn trung bình trượt một phía
Xn =

∞
X

hi Wn−i

i=0

khi và chỉ khi đa thức

Φ(z) = 1 − α1z − α2 z 2 − · · · − αp z p
khơng có nghiệm bên trong vịng tròn đơn vị |z| ≤ 1.

(2.6)