giáo trình cơ sơ hóa tinh thể phần 1 doc

Cơ sở hóa học tinh thể
NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006.
Tr 8 – 21.


Từ khoá: Kết tinh, dị hướng, bản chất dị hướng, mặt tinh thể.
Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể được sử dụng cho mục
đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục
vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả.


Mục lục

Chương 1 CHẤT KẾT TINH VỚI BẢN CHẤT DỊ HƯỚNG, MẶT TINH THỂ 2
1.1 DỊ HƯỚNG 2
1.1.1. Các trạng thái hình học của vật rắn 2
1.1.2. Định nghĩa 2
1.1.3. Trạng thái kết tinh 4
1.1.4. Tính dị hướng của trạng thái kết tinh 5
1.1.5. Khái niệm mạng không gian và dị hướng 6
1.2 MẶT TINH THỂ 7
1.2.1 Nguyên lí Bravais về mặt tinh thể 7
1.2.2 Kí hiệu mặt (mặt mạng) của tinh thể 9
1.2.3 Định luật Haỹy 10
1.2.4 Ch
ỉ số thứ tư trong hệ sáu phương 11
1.2.5 Định luật các đới (định luật Veis). Phương pháp phát triển đới 12
1.2.6 Xác định kí hiệu mặt nhờ biểu đồ chuẩn 14

Chương 1. Chất kết tinh với bản chất dị h
ư
ớn
g
,
mặt tinh thể


Trịnh Hân
Ngụy Tuyết Nhung

2
Chương 1
CHẤT KẾT TINH VỚI BẢN CHẤT DỊ HƯỚNG,
MẶT TINH THỂ
Khác với chất khí và chất lỏng, chất rắn đa dạng hơn. Những phân tử cùng thành phần và
hình dạng có thể sắp đặt trong tinh thể bằng những cách khác nhau. Đặc điểm hoá lí của vật
chất thay đổi tuỳ thuộc cách thức sắp đặt này. Như vậy, những chất cùng thành phần hoá học
có thể có những lí tính khác nhau. Sự đa dạng ấy không đặc trưng cho thể lỏng và không thể
có trong th
ể khí.
Trạng thái rắn đa dạng, còn riêng từng chất kết tinh có thể có những cá thể không giống
nhau; nhưng một chất lỏng không thể cho những giọt khác nhau. Lấy muối ăn làm thí dụ: mỗi
tinh thể NaCl có một diện mạo riêng, chúng có thể lớn hoặc bé, dạng lập phương hay khối

chữ nhật v.v. Dưới kính hiển vi, một lát mỏng kim loại có thể cho thấy từng tinh thể với
những nét hình thái phân bi
ệt. Nếu cần có thể tách riêng một cá thể dạng đa diện, được gọi là
tinh thể đơn. Dưới danh từ “tinh thể” nhiều khi có thể hiểu như một tinh thể đơn, hoặc khái
quát hơn, như một vật kết tinh. Trong rất nhiều trường hợp, vật rắn bộc lộ dưới dạng tập hợp
tinh thể. Chẳng hạn, đá hay kim loại bao gồm các hạt không có hình dạng nh
ất định, trong
điều kiện chất nóng chảy nguội nhanh, sự kết tinh bắt đầu cùng lúc trên mọi điểm của nó.
Nhiều tinh thể cùng phát triển trong một không gian hạn hẹp riêng, chúng cản trở nhau, không
hạt nào đủ chỗ để tự thể hiện, để tạo thành đa diện riêng.
Chương này dành cho dị hướng, một thuộc tính của vật rắn.
1.1 DỊ HƯỚNG
Khi nói về dị hướng hoặc đẳng hướng của một tinh thể hãy gắn với tính chất cụ thể của
nó. Đẳng hướng đối với tính chất này, nó có thể dị hướng trong tính chất khác. Trước hết, hãy
làm rõ bản chất của tinh thể với tư cách là một trong ba dạng tồn tại của vật rắn.
1.1.1. Các trạng thái hình học của vật rắn
Về mặt hình học, vật rắn có thể tồn tại ở một trong ba trạng thái sau: vô định hình, tinh
thể lỏng và kết tinh. Đối tượng nghiên cứu của tinh thể học hay hoá học tinh thể nói riêng
chính là chất kết tinh. Trước hết hãy làm rõ một số khái niệm.
1.1.2. Định nghĩa
Ngoài các tính chất gọi là vô hướng mà sự biểu hiện không phụ thuộc vào hướng khảo sát
(ví dụ: tỉ trọng), vật rắn có nhiều tính chất gọi là có hướng. Khi khảo sát tính chất loại này,
thường phải chỉ định hướng khảo sát: ứng với mỗi hướng, tính chất bộc lộ một cách riêng, có
một số đo riêng, khi đổi hướng khảo sát thì tính chất thay đổi theo. Từ
một điểm tưởng tượng
trong lòng vật rắn, hãy đo độ lớn của một tính chất theo đủ mọi hướng. Chẳng hạn, sự biến
thiên của tốc độ truyền nhiệt biểu thị bằng tập hợp vô số vectơ với gốc chung đặt tại điểm đã
cho. Ngọn của các vectơ tạo nên bề mặt liên tục dưới dạng mộ
t elipsoit (hình 1.1). Bề mặt liên
3

tục đều đặn ấy có thể hình thành do ngọn của một vectơ, khi nó xoay liên tục xung quanh
điểm gốc theo hết thảy mọi chiều: vừa xoay vừa thay đổi độ lớn (số đo của tính chất).
Dựa vào hình dạng của bề mặt chỉ thị này, có thể phân biệt hai trường hợp sau: đẳng
hướng và dị hướng.
- Đẳng hướng: vectơ chỉ thị tính ch
ất xoay quanh gốc mà không thay đổi độ lớn dù
theo hướng nào. Bề mặt chỉ thị sẽ là một hình cầu (hình 1.1,a). Trong trường hợp
này, vật rắn đã cho là đẳng hướng đối với tính chất đang khảo sát. Ví dụ: thuỷ tinh
là vật đẳng hướng đối với tính chất truyền nhiệt của nó.
- Dị hướng: khi vectơ chỉ thị tính chất thay đổi hướng và độ l
ớn biến thiên theo, thì
bề mặt chỉ thị sẽ không còn là hình cầu nữa (hình 1.1,b). Trong trường hợp này, vật
rắn gọi là dị hướng đối với tính chất đang khảo sát. Như vậy, vật rắn vốn dị hướng
đối với một tính chất này, có thể trở nên đẳng hướng đối với tính chất khác.
Có 2 trường hợp dị hướng:
- Dị hướng liên tụ
c. Bề mặt chỉ thị sẽ có dạng một elipsoit ba bán trục, hình dạng của
nó xác định bằng 3 giá trị bán kính khác nhau dọc 3 hướng trực giao. Elipsoit với
bề mặt liên tục và đều đặn ấy là biểu hiện của dị hướng liên tục. Mỗi tính chất đặc
trưng bằng một elipsoit riêng.
- Dị hướng gián đoạn. Tính chất
của vật biểu thị
bằng một số có
hạn các vectơ chung gốc thay
cho một bề mặt liên tục. Dọc
theo các hướng khác ngoài
hướng của các vectơ ấy, tính
chất không bộc lộ (vectơ có độ
lớn bằng không). Mỗi tập hợp
vectơ này đặc trưng cho một

tính chất nhất định của tinh thể
đã cho. Đối xứng của đa diện
tinh thể cũng là của tập h
ợp
vectơ thể hiện tính chất của vật
rắn kết tinh (xem dưới).
Vật thể vô định hình không có bản chất dị hướng gián đoạn và luôn đẳng hướng đối với
phần lớn tính chất của chúng. Hầu hết các vật thể vô định hình là chất lỏng và chất khí. Một
số vật rắn cũng có thể tồn tại ở thể vô định hình. Đườ
ng cong ngưng kết (thể lỏng chuyển
sang thể rắn) của vật thể vô định hình biến thiên theo thời gian là một đồ thị liên tục (hình
1.2,a). Theo thời gian nhiệt độ giảm, độ nhớt của chất lỏng tăng (độ linh động giảm) tuần tự
tới mức không thể ghi nhận thời điểm chất lỏng chuyển sang thể rắn trong quá trình chuyển
pha.
Tinh thể lỏng là tr
ạng thái đặc thù của một số hợp chất hữu cơ với phân tử phức tạp.
Trong quá trình ngưng kết, vật chất loại này trải qua trạng thái trung gian. Trong giai đoạn
này, vật chất có đặc tính vừa của thể lỏng, vừa của chất kết tinh như dị hướng quang học. Vật
thể tồn tại ở trạng thái trung gian này mang tên tinh thể lỏng (Lemann O., 1889). Chúng có
hai loại tuỳ độ trậ
t tự tăng dần như sau:

Hình 1.1Bề mặt chỉ thị của vật thể
đẳng hướng (a) và dị hướng (b)
4
- Khi phân tử đều sắp xếp song song với một hướng chính, với độ trật tự theo một
chiều không gian, ở mức sơ khai. Thể nematit này thường dị hướng (không phải dị
hướng gián đoạn) và hầu hết là chất lỏng.
- Khi phân tử vừa xếp song song vừa phân bố thành từng lớp, tức là với một độ trật
tự cao hơn (theo hai chiều không gian). Ch

ất smectit này có bản chất dị hướng gián
đoạn và thường có dạng nhão và cũng có thể ở thể rắn. Chúng gần với chất kết tinh
hơn.
1.1.3. Trạng thái kết tinh
Tuỳ điều kiện ngưng kết, chẳng hạn nhiệt độ của chất nóng chảy hạ nhanh hay chậm, vật
chất có thể ngưng kết ở thể vô định hình hay ở thể kết tinh. Tại điều kiện khí quyển, đại bộ
phận vật rắn tồn tại ở trạng thái kết tinh. Tinh thể học là khoa học về chất rắn. Trạng thái kết
tinh có nhiều thuộc tính, nhưng nét đặc trưng cơ bản nhất của chúng là bản chất dị hướng
gián đoạn.


Hình 1.2
Đường cong ngưng tụ từ trạng thái lỏng sang rắn vô định hình (a) và rắn kết tinh (b)

Đường cong ngưng kết trên đồ thị hình 1.2,b cho thấy sau giai đoạn đầu hạ giảm tuần tự,
nhiệt độ trở nên không đổi (T
1
= const) ngay khi pha rắn xuất hiện dưới dạng những tinh thể
“mầm” đầu tiên. Trong giai đoạn từ thời điểm t
1
đến t
2
cả pha rắn và pha lỏng cùng có mặt.
Các vi tinh tự phát triển thành đa diện ngày càng lớn. Nhiệt độ lại tiếp tục giảm khi trong hệ
chỉ còn pha rắn. Tinh thể cũng có thể hình thành trong dung dịch bão hoà bằng cách cho dung
môi bay hơi hoặc bằng cách cho hơi thăng hoa và ngưng tụ trong ngăn lạnh.
Tính đồng nhất của trạng thái kết tinh. Một vật gọi là đồng nhất nếu nó có những tính
chất giống nhau tại m
ỗi điểm trong toàn thể tích của nó. Bản chất đồng nhất chỉ được xác
minh, nếu tính chất được khảo sát theo những phương song song. Chẳng hạn, nếu hai chiếc

đũa cùng kích thước, cắt gọt từ một tinh thể theo cùng một phương, thì chúng phải bộc lộ độ
bền cơ học giống nhau; chẳng hạn, chúng đều bị gãy dưới tác dụng của cùng một vật nặng.
Khi tinh thể có m
ặt cát khai theo một phương xác định, nó luôn bị tách vỡ dễ dàng dọc
phương của mặt ấy dưới tác dụng của một lực cơ học; dù cho lực ấy đặt vào điểm nào của tinh
thể. Rõ ràng, vật kết tinh có cấu trúc như nhau tại mọi điểm của nó thì nó phải đồng nhất.
Đương nhiên, ở đây chưa tính đến những khuyết tật, sai hỏng sẵn có trong cấu trúc tinh thể

thực (sẽ nói ở chương V).
Tuy nhiên, đồng nhất là khái niệm mang tính tương đối: nó tuỳ thuộc thang độ khảo sát.
Dưới kính hiển vi, tinh thể kim cương chẳng hạn là một vật thể đồng nhất. Thực ra, nó là một
5
hệ gián đoạn với hơn 177.10
9
hạt/micromet khối; giữa các hạt carbon là khoảng không phi vật
chất. Như vậy, ở thang độ nguyên tử khái niệm tính đồng nhất không tồn tại.
1.1.4. Tính dị hướng của trạng thái kết tinh
Chất dị hướng (đối với tính chất nào đó của nó) là chất đồng nhất, mà nếu theo những
phương song song tính chất ấy thể hiện như nhau, thì nói chung, theo những phương không
song song tính chất ấy thể hiện khác nhau. Chất kết tinh thường dị hướng. Nếu từ vật kết tinh
nào đó cắt gọt hai thỏi kích thước như nhau nhưng theo những phương khác nhau thì chúng sẽ
có những tính chất khác nhau. Chẳng hạn, các th
ỏi này sẽ có sức bền cơ học không như nhau.
Tính dị hướng của một tinh thể nhất định liên quan tới cấu trúc của nó, bởi vì theo những
phương song song thì nguyên tử (hay ion, phân tử) giống nhau được sắp đặt giống hệt nhau,
cách nhau cùng một khoảng. Theo những phương không song song, các hạt nói chung không
sắp xếp đều đặn như nhau, do đó các tính chất dọc các phương này phải khác nhau.
Một tinh thể dị hướng (hay đẳng h
ướng) theo một tính chất, có thể đẳng hướng (dị
hướng) theo tính chất khác. Ví dụ: tinh thể thuộc hệ lập phương luôn đẳng hướng đối với tính

chất quang học và dị hướng đối với các tính chất khác.
Những thực nghiệm sau đây cho
thấy tính dị hướng của vật kết tinh.
Hãy chạm đầu kim nung đỏ lên bề
mặt tấm thạch cao đã phủ sẵn lớp sáp
ong m
ỏng (hình 1.3). Lớp sáp bị chảy
ra từ điểm chạm của đầu kim, trong
phạm vi một hình elip đều đặn; điều
này chứng tỏ sự dị hướng của thạch
cao đối với tính dẫn nhiệt. Nếu chạm
đầu kim nóng đỏ lên các điểm khác
trên cùng mặt tinh thể này, sẽ nhận
được những hình elip đồng dạng và
cùng một định hướng (tính đồng
nhất). Nhỏ lên m
ặt tinh thể fluorit CaF
2
vài giọt acid sulfuric. Dưới tác dụng của nó các mặt
tinh thể bị ăn mòn thành những hố lõm, hình dạng khác
nhau trên những mặt khác nhau. Hình ăn mòn trên mặt
bát diện có dạng tháp với đáy tam giác đều, trên mặt lập
phương tháp có đáy vuông. Những hình ăn mòn có
chung một định hướng.
Cũng như tính đồng nhất, dị hướng không phải chỉ
có riêng ở chất kết tinh; tinh thể lỏng và đôi khi chất vô
định hình cũng là nhữ
ng vật dị hướng. Chỉ dị hướng
gián đoạn là đặc hữu của chất kết tinh. Sau đây là một
số ví dụ.

Tính nhiễu xạ của tia X trong tinh thể. Một tinh thể
nằm trên đường đi của chùm tia X sẽ gây nhiễu xạ đối
với bức xạ này. Mỗi mặt tinh thể cho ít nhất một tia
nhiễu xạ với một hướng xác định và một c
ường độ xác
định. Nếu năng lực nhiễu xạ của mỗi mặt tinh thể biểu

Hình 1.3
Thực nghiệm về tốc độ truyền nhiệt trên mặt tinh thể thạch
cao phủ sáp ong
Hình 1.4Sơ đồ phát triển của tinh thể
Mỗi mặt a, b, c có tốc độ tịnh tiến riêng
6
thị bằng một vectơ hướng theo tia pháp của mặt, độ lớn của nó chỉ cường độ (sức công phá)
của tia, thì năng lực nhiễu xạ của tinh thể đối với tia X biểu thị bằng tập hợp một số vectơ
chung gốc (đặt trùng trọng tâm của tinh thể).
Tốc độ mọc của mặt tinh thể. Sự phát triển của tinh thể trong dung dịch bão hoà xả
y ra
trong cơ chế xác định; đó là sự tịnh tiến của mỗi mặt tinh thể, theo hướng tia pháp (hình 1.4).
Vectơ v
a
, v
b
, v
c
dọc tia pháp của mặt tinh thể cho thấy ứng với mỗi mặt là một giá trị tốc độ
tịnh tiến của nó trong quá trình tinh thể phát triển.
Tính tự tạo mặt, bản năng của chất kết tinh phát triển dưới dạng một đa diện, có thể biểu
diễn bằng tập hợp vectơ chung gốc, mỗi vectơ thể hiện tốc độ mọc của mộ
t mặt tinh thể.

Một loạt tính chất khác của khoáng vật cũng cho thấy dị hướng gián đoạn của tinh thể. Ví
dụ: tính cát khai của một tinh thể không giống nhau theo những phương khác nhau. Nếu vectơ
chỉ tính cát khai đặt vuông góc với mặt cát khai (theo đó tinh thể bị tách giãn), còn độ lớn của
vectơ chỉ chất lượng của mặt cát khai (độ phản quang, chẳng hạn), thì tinh thể có bao nhiêu
phương cát khai sẽ có bấ
y nhiêu vectơ đặt chung gốc tại trọng tâm tinh thể.
Khả năng liên kết của tinh thể cùng chất (song tinh) hay khác chất (epitaxy) theo một mặt
phẳng cũng có thể biểu thị bằng vectơ dọc tia pháp.
1.1.5. Khái niệm mạng không gian và dị hướng
Sự sắp xếp trật tự của hạt vật chất khiến trạng thái kết tinh khác hẳn với trạng thái không
kết tinh. Nếu trong mọi cấu trúc tinh thể, có thể tách riêng từng loại nguyên tử, thì cách phân
bố của nguyên tử thuộc mỗi nguyên tố đều giống của nút thuộc một loại mạng không gian.
Để khái quát hình ảnh của một mạng không gian có thể cho ba véc tơ tịnh tiến
G
a
,
G
b
và
G
c

không đồng phẳng tác dụng lên một điểm (nút gốc của mạng). Kết quả thu được là một hệ
thống nút xếp tuần hoàn theo ba chiều không gian, các nút này nằm trên đỉnh của các khối
bình hành bằng nhau, xếp song song và kề nhau; với ba cạnh là a, b, c (hình 1.5).
Mọi nút của mạng không gian đều suy được từ nút gốc bằng phép tịnh tiến
T
J
G
;

111
Tnanbnc=++
JG
G
GG

Ở đây n
1
, n
2
, n
3
là những số nguyên
bất kì. Nói cách khác, hai nút bất kì của
mạng có thể di chuyển tới chỗ của nhau
bằng phép tịnh tiến
T
JG
. Khi đó, các nút còn
lại của mạng không gian cũng thế chỗ cho
nhau. Vì các nút hết thảy đều tương đương
và vì mạng không gian là vô hạn, nên vị trí
của mạng sau bước tịnh tiến hoàn toàn
giống với vị trí của nó trước khi tịnh tiến.
T
JG
là bước tịnh tiến bảo toàn mạng.
Mạng không gian là vô hạn và có tính tuần
hoàn theo ba chiều.
Độ lớn của vectơ tịnh tiến chỉ giá trị của chu kì tuần hoàn của mạng. Giá trị ấy nói chung

không bằng nhau theo những hướng khác nhau: chính mạng không gian đã bộc lộ tính dị
hướng về mặt hình học của tinh thể.
Hình 1.5
Hệ thống các nút điểm của mạng không gian
7
1.2 MẶT TINH THỂ
Theo L. Náray-Szabó (1969), việc tìm ra mạng tinh thể là minh chứng đầu tiên về sự tồn
tại của các hạt (nguyên tử). Chỉ khi những “nguồn nhiễu xạ rời” này được tổ chức lại theo trật
tự của mạng không gian, chúng mới có năng lực giao thoa tia nhiễu xạ để rồi “phản xạ” từ
mặt tinh thể (xem 3.4.1), nếu tinh thể nằm trên đường đi của chùm tia X.
Trên đây, các thực nghiệm về d
ị hướng gián đoạn đặc trưng của tinh thể đều liên quan tới
mặt tinh thể. Khái niệm đơn thuần hình thái học này gắn liền mạng tinh thể ra sao, dưới đây
sẽ đề cập kĩ hơn.
1.2.1 Nguyên lí Bravais về mặt tinh thể
Mạng không gian (hình 1.5) cho phép cắt nghĩa một trong những khuynh hướng của chất
kết tinh là tự giới hạn bằng những mặt phẳng. Đó là mặt tinh thể, một khái niệm cơ sở của
tinh thể học hình thái, sẽ được đề cập ở đây.
Nếu gán cho mỗi nút mạng một ion hay nguyên tử, phân tử, hay một mẫu hình (motif)
nguyên tử (một tập hợp nguyên tử xếp theo một trậ
t tự riêng), thì mạng không gian chứa một
nội dung vật chất sẽ cho một cấu trúc tinh thể. Nói cách khác:
Mạng không gian + mẫu hình nguyên tử → cấu trúc tinh thể.
Hình 1.6 giới thiệu mẫu hình nguyên tử, ô mạng lập phương của cấu trúc tinh thể cuprit
Cu
2
O (a) và pyrit FeS
2
(b)
cùng mạng không gian của

chúng (c).
Trong thực tế, khối lập
phương là dạng thường gặp
của tinh thể pyrit; điều này
gợi ý mối tương quan về
hình dạng giữa đa diện tinh
thể và ô mạng của cấu trúc
tinh thể. Mặt ô lập phương
của cấu trúc chứa hạt tích điện dương Fe
2+
và hạt mạng điện âm S
2
2−
với số lượng ngang
nhau. Với điện tích trung hoà, mặt này bộc lộ một liên kết yếu giữa các lớp nguyên tử, một
mặt cát khai. Đa diện tinh thể giới hạn bằng một số hữu hạn các mặt của nó. Song song với
mỗi mặt tinh thể là một họ mặt mạng trong cấu trúc.
Mạng không gian của cấu trúc tinh thể có số họ mặt mạng nhiều vô hạn; b
ởi vì ba nút
không thẳng hàng xác định một mặt mạng (hkl) và song song với nó là một số vô hạn những
mặt mạng (giống nhau và cách đều nhau) cùng họ. Tương ứng với mỗi họ mặt mạng có thể là
một mặt của đa diện tinh thể. Họ mặt mạng phân biệt bằng mật độ hạt, tức là số nút trên một
đơn vị diện tích và khoảng cách (giữa các) mặt mạng.
Hình 1.7 là hình chiế
u của mạng không gian (hình 1.6,c) trên mặt ab; mỗi điểm tương
ứng với một chuỗi dọc trục c, mỗi đường thẳng – một mặt mạng, tức là một họ mặt mạng kí
hiệu (hk0). Mỗi họ mặt mạng có hai đại lượng được xem xét: D
hk0
là khoảng giữa hai nút kề
nhau trên hình, tỉ lệ nghịch với mật độ hạt của mặt mạng; d

hk0
là khoảng cách mặt mạng.

8



Hình 1.7
Mạng không gian của pyrit chiếu trên mặt (001) với một số họ mặt mạng (hk0)

Trong trường hợp pyrit FeS
2
(hay halit NaCl), mặt mạng (100) ứng với mặt của khối lập
phương có mật độ hạt lớn nhất và khoảng cách mặt mạng tương ứng có giá trị lớn nhất (hãy
so sánh với các họ mặt mạng khác trên hình 1.7). Trong vô số mặt mạng (họ mặt mạng) của
mạng không gian thuộc pyrit chỉ một số nhỏ có đủ tiêu chí của mặt tinh thể, đó là những họ
mặt mạ
ng với mật độ hạt lớn nhất và với khoảng cách mặt mạng lớn nhất. Đó là tinh thần của
nguyên lí Bravais A. (1866) về mặt tinh thể.
Cũng có thể nói như vậy về cạnh tinh thể, nơi mặt tinh thể cắt nhau, một trong những yếu
tố hình học của đa diện tinh thể. Trong vô số chuỗi mạng của mạng không gian thuộc pyrit,
chính những chuỗi với thông số
chuỗi nhỏ nhất (số hạt tính trên một đơn vị chiều dài đạt giá
trị lớn nhất) sẽ song song với cạnh tinh thể.
a. (100); b. (110); c. (210); và d. (310)
(hk0): (100) (110) (210) (310)
D
hkl
a
a2

a5

a10

d
hkl
a
/2a2

/5a5

/10a10

9

1.2.2 Kí hiệu mặt (mặt mạng) của tinh thể
Vị trí của mỗi mặt (mặt mạng) tinh thể
hoàn toàn có thể xác định bằng các đoạn
(thông số) do mặt mạng cắt trên ba (chuỗi
mạng) trục toạ độ OX, OY, OZ. Chuỗi ứng
với trục toạ độ, nếu có thể, phải trùng với các
phương đặc biệt, tức là trục đối xứng hay
pháp tuyến của mặt đối xứng gương. Các
đoạn thông số này c
ủa mặt tinh thể đo bằng a,
b, c; tức là các đơn vị trên ba trục toạ độ. Đó
cũng là chu kì tuần hoàn ngắn, mặc dầu
không nhất thiết ngắn nhất, nếu chúng thuộc
phương đặc biệt (xem thêm phép định trục

tinh thể học).
Trên hình 1.8 vị trí của mặt mạng 1, song
song với Z, xác định bằng thông số 3a theo
trục X và 2b theo trục Y. Mặt mạng 2 bằng
thông s
ố 1a, 1b. Quy luật mạng đòi hỏi các
mặt mạng của cùng một họ phải bao quát (đi
qua) tất cả các nút của mạng không gian. Từ hình 1.8 có thể thấy tất cả những mặt mạng cùng
họ này đều cắt các trục toạ độ ở cùng một tỉ lệ. Quả vậy, các mặt mạng 1, 1
'
, 1
''
, 1
'''
có các
thông số sau:
Mặt mạng OX OY OZ
1 3 đơn vị 2 đơn vị
∞
1’
1
2
2
đơn vị
2
1
3
đơn vị
∞
1’’ 2 đơn vị

1
1
3
đơn vị
∞
1’’’ 1 đơn vị
2
3
đơn vị
∞
Vị trí của cả họ mặt mạng, do đó của mặt tinh thể quy định bởi họ ấy, biểu thị bằng tỉ lệ
các thông số của chúng đo bằng các chu kì tuần hoàn tương ứng:
55 4 2
3:2: : : 2: : 1: : p:q:r
23 3 3
∞= ∞= ∞= ∞=







Hình 1.8
Xác định kí hiệu mặt mạng tinh thể
1, 2, 3, 4 là giao tuyến của chúng với mặt hình
10

Ở đây p, q, r là những số nguyên đơn giản (thông số Veis).
Để tiện sử dụng (số không thay cho vô cực), hãy dùng giá trị nghịch đảo của thông số

Veis, tức là các chỉ số Miller h, k, l để kí hiệu cho mặt tinh thể: ba chỉ số viết liền trong ngoặc
đơn (hkl). Như vậy, kí hiệu của họ mặt mạng 1 là (230) vì
111
:: 2:3:0
23
=
∞
.
Mặt 2 có kí hiệu
(110)
mặt 3
(2 10)
và mặt 4
(140)
. Hình 1.8 cũng cho thấy các mặt
mạng thuộc họ (hkl) chia các đoạn a, b, c lần lượt thành h, k, l phần bằng nhau.
Kí hiệu chuỗi mạng (cạnh) của tinh thể
Trong tinh thể, chuỗi mạng đi qua gốc toạ độ đặc trưng cho cả họ chuỗi đã cho. Do đó, để
xác định vị trí một chuỗi mạng (hay một cạnh tinh thể) chỉ cần đo toạ độ x, y và z của mộ
t nút
trên chuỗi (đi qua gốc) bằng các đơn vị a, b, c theo các trục tương ứng
c
z
b
y
a
x
,,
và giản ước.
Các tỉ số này sau khi quy về tỉ số của các số nguyên đơn giản r, s, t được viết trong một ngoặc

vuông, gọi là kí hiệu của cạnh [rst] (hình 1.9).
1.2.3 Định luật Haỹy
Mọi điều lí giải trên là bản chất của định luật hữu tỉ
của các thông số, do
yuHa

phát biểu năm 1783 dựa trên
những khảo sát hình thái tinh thể; tỉ số kép giữa các
thông số của hai mặt bất kì thuộc một tinh thể bằng tỉ số
giữa các số nguyên đơn giản.
Chẳng hạn, một tinh thể chứa hai mặt: A
1
B
1
C
1
với
các thông số OA
1
, OB
1
, OC
1
và A
2
B
2
C
2
với OA

2
, OB
2
,
OC
2
thì
pnm
OC
OC
OB
OB
OA
OA
:::
2
1
2
1
2
1
==

với m, n, p là những số nguyên và đối với tinh thể
thực đó là những số nguyên tương đối nhỏ.
Một trong những mặt cắt cả ba trục toạ độ (ví dụ A
0

Hình 1.9
Xác định kí hiệu chuỗi mạng tinh thể

Hình 1.10
Kí hiệu mặt tinh thể xác định theo định
luật Hauy
11
B
0
C
0
) có thể coi như mặt đơn vị và các thông số của nó là đơn vị đo lường, dùng cho các mặt
và cạnh khác của tinh thể đã cho. Để tìm kí hiệu của một mặt nào đó, hãy dùng những đơn vị
đo lường trên để đo các đoạn thông số của mặt, lấy tỉ số của các giá trị nghịch đảo, loại bỏ
mẫu số sau khi quy đồng, sẽ thu được ba chỉ
số của kí hiệu mặt. Chẳng hạn, kí hiệu của mặt
A
1
B
1
C
1
(hình 1.10) được xác định như sau:
rqp
OC
OC
OB
OB
OA
OA
OOO
::::

111
=

lkh
rqp
::
1
:
1
:
1
=

Tóm lại:
)(::
111
hkllkh
OC
OC
OB
OB
OA
OA
OOO
⎯→⎯===

Như vậy, kí hiệu của mặt đơn vị là (111).
Để xác định kí hiệu của một cạnh nào đó phải lấy toạ độ của một điểm bất kì của nó,
dùng thông số mặt đơn vị đo các toạ độ ấy rồi lấy tỉ số kép giữa các đại lượng thu được:
0

OA
x
:
0
OB
y
:
0
z
OC
= r : s : t
→
[rst]
Kết hợp với nguyên lí Bravais, định luật Haỹy cho phép khẳng định: mặt tinh thể hay mặt
cát khai song song với họ mặt mạng với mật độ hạt lớn nhất, khoảng cách mặt mạng lớn nhất
và kí hiệu (với chỉ số Miller) đơn giản nhất. Đây là những mặt tinh thể, hay hình đơn, với tần
suất gặp lớn nhất (xem 3.3.5). Chúng tạo nên dạng quen của tinh thể; nh
ững mặt khác chỉ gặp
trong những điều kiện tự nhiên nhất định và gọi là mặt giả định.
1.2.4 Chỉ số thứ tư trong hệ sáu phương
Trong hệ sáu phương có ba phương tương đồng nằm ngang và mặc dầu chỉ ba trục OX,
OY và OZ cũng đủ để xác định vị trí của mặt và cạnh tinh thể, đôi khi một trục thứ tư (nằm
ngang) U vẫn được dùng đến, sinh ra phép kí hiệu mặt bằng bốn chỉ số (Bravais – Miller). Bộ
ba trục ngang (OX, OY và OU) giúp thực hiện dễ dàng các thao tác đối xứng bậc ba, bậc sáu
đối với mặt và cạnh, cho phép nhấn mạ
nh sự thống nhất của các yếu tố hình thái liên quan
nhau bằng trục chính. Tuy vậy, chỉ số thứ tư trong kí hiệu lại bất tiện trong tính toán và nó
cũng thường bị loại bỏ bằng những quy tắc phân biệt cho mặt và cạnh.

Hình 1.11

Chỉ số i của mặt tinh thể hệ sáu phương.
12
(a) AB là giao tuyến của mặt
với mặt XYU, xoay quanh trục đ
ố
i xứng bậc ba,
(b) mặt

Theo cách dựng, BL//OU, tam giác ABL đồng dạng với tam giác ANO, từ đó
pq qpq q1 1 1
;;
pnpqnqqpn
++
==+=

hay là:
11111 1
;
pqnpq n
+
++=−
GGGGG G

Như vậy,
hk i+=
.
Hình 1.11 cho thấy trong kí hiệu mặt tổng chỉ số theo ba trục tương ứng bằng không, tức
là h + k =
i
và vì thế từ kí hiệu bốn chỉ số sang kí hiệu ba chỉ số và ngược lại là bước chuyển

rất đơn giản. Trong trường hợp đầu loại bỏ chỉ số
i
, trong trường hợp sau nó được đưa vào
như i =
−
(h+k), tức là:
(hkil)

→

hkh kl+
.
Đối với kí hiệu cạnh thuộc hệ sáu phương các bước chuyển không đơn giản như vậy.
Muốn loại bỏ chữ số thứ ba w thì phải đưa nó về giá trị O trước đã. Như thế, đại lượng có
thể dẫn nó về O (là
−
W) phải được thêm vào cho cả 3 chỉ số đầu:
[rswt] = [r
−
w s
−
w w
−
w t] = [r
−
w s
−
w o t] = [r
−
w s

−
w t] = [r’s’t’].
Bước chuyển ngược: [r’s’t’] = [r’s’ot’] = [r’+f s’+f f t’].
Với f là số bất kì; như vậy ứng với một kí hiệu ba chỉ số [r’s’t’] sẽ có vô số tập hợp bốn chỉ
số. Để có một kí hiệu xác định cần bổ sung một điều kiện. Chẳng hạn, nếu tổng ba chỉ số đầu
trong kí hiệu [r’+f s’+f f t’] bằng không (mặc dầu trong trường hợp đã cho điều đó không chu
ẩn
xác về hình học) giống như kí hiệu mặt, lúc này
r' s'
f
3
+
=−
và
[]
()
()
[]
r' s'
2r ' s ' 2s ' r '
r's't' t' 2r' s' 2s' s' r' s' 3t' rswt
33 3
⎡⎤
+
−−
⎡⎤
=−=−−−+=
⎢⎥
⎣⎦
⎣⎦

.
Nhận xét: Việc loại bỏ mẫu số như trên không làm cho cạnh đổi hướng; kí hiệu của nó là
toạ độ của nút bất kì trên chuỗi tương ứng.
Với ba trục ngang, việc chọn mặt đơn vị cho hệ sáu phương sẽ có hai cách: nó cắt những
đoạn bằng nhau trên XY, hoặc trên
UX
. Mặt đơn vị sẽ có kí hiệu lần lượt là
(1120)
hoặc
(10 11)
.
1.2.5 Định luật các đới (định luật Veis). Phương pháp phát triển đới
Xác định kí hiệu cạnh giao tuyến của hai mặt (h
1
k
1
l
1
) và (h
2
k
2
l
2
) bằng cách nhân chéo.

13
Bằng cách này cũng có thể tính kí hiệu của mặt (hkl) song song với hai cạnh [r
1
,s

1
,t
1
] và
[r
2
s
2
t
2
].
Như vậy, hai mặt xác định một cạnh (đới), hai cạnh xác định một mặt. Nếu theo Haỹy,
mặt giả định và cạnh giả định của tinh thể được suy ra bằng cách đặt trước mặt phẳng và
đường thẳng với kí hiệu hữu tỉ (phương pháp số học) thì theo Veis chúng được suy ra bằng
cách đặt trước mặt phẳng song song với hai cạnh giao nhau và đường thẳng song song với hai
mặt giao nhau (ph
ương pháp hình học). Bởi vì, mặt giả định của một tinh thể có thể nhận
được theo bốn mặt không cắt nhau thành những cạnh song song. Đó là nội dung của định luật
Veis (1804) hay định luật các đới. Nó còn được phát biểu như sau: Mặt bất kì của một tinh thể
thuộc về ít nhất hai đới của nó.
Trong thực hành mặt giả định và
cạnh giả định dễ
dàng suy ra bằng việc
sử dụng hình chiếu nổi. Thật vậy, trên
lưới Vulf cung tròn lớn biểu thị một đới;
đới gồm các mặt song song với một
phương gọi là trục của đới. Điểm bất kì
của cung đều có thể biểu thị cho mặt
thực/giả định của tinh thể; nó là hình
chiếu nổi tia pháp của mặt. Trên lưới

Vulf, hai điểm hoàn toàn xác định mộ
t
cung; tức là hai mặt tinh thể xác định
một đới. Hai đới dựng từ hai đôi mặt bất
kì là dữ kiện đủ để xác định một mặt giả
định; nói cách khác, hai cung dựng từ
hai cặp điểm cắt nhau tại một điểm, thì
điểm này chính là hình chiếu nổi tia
pháp của mặt cần tìm. Điểm vừa tìm
được cũng là hình chiếu nổi của một cạ
nh giả định, nếu coi một trong hai cung nói trên dựng
từ cặp điểm/cặp cạnh cho trước làm dữ liệu
[
13,14
]
.Nếu cần tìm kí hiệu của mặt nào đó của
một tinh thể, hãy đặt điểm hình chiếu nổi
của bốn mặt cho trước kí hiệu và mặt cần
tìm kí hiệu lên hình chiếu nổi rồi dựng các
đới qua những mặt có kí hiệu sao cho mặt
chưa kí hiệu nằm vào giao điểm của các
cung đới. Tuy vậy, đôi khi có thể bỏ qua
bước trung gian xác định kí hiệu đới: có
thể
sử dụng hệ thức hr + ks + lt = 0.
Mặt song song với một trục toạ độ thì
trong kí hiệu của nó chỉ số ứng với trục
này luôn bằng 0. Ví dụ, mặt song song với
OX thì kí hiệu của nó có h = 0. Thật thế, kí
hiệu của trục OX là [100], do đó h.1 + k.0

+l.0 = 0, tức là h = 0.
Ngược lại trong kí hiệu trục của đới
song song với mặt toạ độ nào đó:
(100)/(010)/(001) thì tương ứng kí hiệu

Hình 1.12
Phương pháp phát triển đới giúp tìm kí hiệu mặt giả
định
14
thứ nhất, thứ hai hay thứ ba sẽ bằng không. Chẳng hạn, đối với một đới bất kì chứa mặt (010)
thì 0.r + 1.s + 0.t = 0, do đó s = 0. Phương pháp phát triển đới giúp tìm mặt giả định được thực
hiện theo trình tự sau (hình 1.12):
+ Qua các mặt toạ độ suy ra đới của các trục toạ độ.
+ Qua mặt đơn vị và mặt toạ độ suy ra các mặt (011), (101), (110).
+ Từ các mặt vừa nhận được suy ra các mặ
t (112), (121), (211).
+ Từ các mặt vừa có và các mặt toạ độ suy ra (012), (102), (120), (021), (201), (210),
(312), (231), (123), (321), v.v
1.2.6 Xác định kí hiệu mặt nhờ biểu đồ chuẩn
Để giải các bài toán phát triển đới nhằm xác định mặt giả định của tinh thể, có thể sử
dụng các biểu đồ chuẩn. Hình 1.13 là biểu đồ hệ lập phương, nó dùng để xác định kí hiệu mặt
của tinh thể hệ lập phương; nó cũng áp dụng cho các hệ bốn phương, trực thoi, một nghiêng
và ba nghiêng. Kí hiệu mặt của tinh thể hệ sáu phương với hệ bốn trục toạ
độ được xác định
nhờ biểu đồ hình 1.14.

Hình 1.14
Biểu đồ chuẩn hệ sáu phương
Trên biểu đồ có dựng các cung (đới), tại giao điểm của chúng là điểm hình chiếu nổi tia
pháp của các mặt thường gặp, tức là mặt với các chỉ số đơn giản. Hình 1.15 cho thấy hình

chiếu nổi tia pháp của một số mặt thuộc tinh thể hệ ba nghiêng. Cho trước hình chiếu và kí
hiệu mặt (100), (010), (001) và (111). Hãy tìm kí hiệu mặt
α
,
σ
, và
β
. Mặt
α
nằm tại giao
điểm của các đới (001)
−
(111) và (100)
−
(010). Theo biểu đồ hình 1.13 có thể thấy, tại giao
điểm của các đới (cung) tương tự là mặt (110). Vậy kí hiệu mặt
α
là (110). Bằng cách ấy kí
hiệu các mặt còn lại tìm được là:
σ
= (101) và
β
= (011), trên các đôi cung lần lượt là: (001)
−

(100) và (010)
−
(111), (010)
−
(001) và (111)

−
(100).
15




Hình 1.15
Hình chiếu các mặt một tinh thể của hệ ba nghiêng