Giao trinh toan ung dung_Bui Minh Tri.pdf

SA

ce

ỨNG DỤNG


PGS. TS. BUI MINH TRi

Gióo trình

TỐN ỨNG DỤNG
TRONG TIN HỌC
(Sách dùng cho các trường Đào tạo hệ Trung bọc chuyên nghiệp)

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC


lại giới thiệu
Năm 2009, Vụ Giáo dục Chuyên nghiệp - Bộ Giáo dục uà Đào tạo đã phối

hợp uới Nhà xuất bản Giáo dục xuất bản 21 giáo trình phục uụ cho đào tạo hệ
THCN.

Các giáo trình trên đã được nhiều Hường sử dụng uà hoạn nghênh. Để

tiếp tục bể sung ngn giáo trình đang cịn thiếu, Vụ Giáo dục Chuyên nghiệp
phối hợp cùng Nhà xuất bản Giáo dục tiếp tục biên soạn một số giáo trình, sách
thư khảo phục oụ cho đào tạo ở các ngành : Điện — Điện từ, Tìn học, Khai tháa
cơ khí. Những giáo trình này trước khi biên soạn, Vụ Giáo dục Chuyên nghiệp

đã gửi đề cương uê trên 20 trường uà tổ chúc hội thảo, lấy ý biến đồng góp vé nội
dung đề cương các giáo trình nói trên. Trên cơ sở nghiên cứu ý kiến đóng góp
của các trường, nhơm tác giả đã điêu chink noi dung các giáo trình cho phù hợp
uới yêu cầu thực tiễn hơn.
Với binh nghiệm giảng dạy, kiến thức tích luỹ qua nhiêu năm, các tác giả
đã cố gắng để những nội dụng được trình bày là những kiến thức cơ bản nhất

nhưng uẫn cập nhật được uới những tiến bộ của khoa học kỹ thuật, uới thực tế

sẵn xuất. Nội dụng của giáo trình cịn tạo sự liên thơng từ Dạy nghệ lên THƠN.

Các giáo trình được biên soạn theo hướng mở, biến thức rộng uò cố gắng chỉ
ra tính ứng dụng của nội dung được trình bày. Trên cơ sở đó tạo điều biện để
các trường sử dụng một cách phù hợp uới điều kiện cơ sd vat chất phục vu thực
hành, thực tập uà đặc điểm của các ngành, chuyên ngành đào tạo.

Để uiệc đổi mới phương pháp dạy oà học theo chỉ đạo của Bộ Giáo dục oà

Đào tạo nhằm nâng cao chất lượng dạy uà học, các trường cần trang bị đủ sách

cho thủ uiện uà tạo điêu kiện để giáo uiên va hoc sinh có đủ sách theo ngành đào

tạo. Những giáo trình này cũng là tài liệu tham khảo tốt cho học sinh đã tốt
nghiệp cần đào tạo lại, nhân uiên kỹ thuật đang trực tiếp sẵn xuối.
Các giáo trình đã xuất bản khơng thể tránh khơi những sai sót. Rất mong

các thây, cơ giáo, bạn đọc góp ý để lần xuất bản sau được tốt hơn. Mọi góp ¥ xin
gửi uê : Công ty Cổ phần sách Đại học - Dạy nghề 25 Hàn Thuyên — Hà Nội.

VỤ GIÁO DỤC CHUYÊN NGHIỆP - NXB GIÁO DỤC

Li nói đâu
Tin hoc có nội dung chủ yếu là thu thập, lưu giữ uà xử lý các thông tin được

rời rạc hóa trên máy tính bằng cách thiết lập ra các công cụ đặc biệt.

Một trong các công cụ đó là Tốn học rời rực. Người ta sử dụng Toán học
rời rạc khi cần đếm các phân tử, nghiên cứu mối quan hệ giữa các tập rời rạc,

phân tích các q trình hữu hạn.
.
Những nội dung chính đề cập trong giáo trình này là : Tạp hợp uà quan
hệ,

suy luận tốn học, quy nạp va đệ quy, tính tốn ma trộn, đại số logic, lý thuyết

đề thị va độ phức tạp tính tốn. Ngồi ra những kiến thức phương pháp tốn,
học khơng thể thiếu được trong tin học ứng dụng : Tính tốn xác suất
;

Thương pháp tính. ĐỀ tránh trùng lap va cổng kênh, giáo trình khơng đi sâu
bào vige xét những nội dung toán học đã được trình bày ở chương trình tốn phổ
thơng như : hàm số, đạo hém uà tích phân của hàm số, giải phương trình cấp
1,
cấp 2 uà hệ phương trình đại số tuyến tính.
Giáo trình này nhằm phục vu cho chương trình đào tạo hệ Trung cấp tin

học uớt khối lượng uừa phải là 90 tiết. Vì uậy cần trình bày cặn kẽ, dễ hiểu các

khái niệm, các phương pháp tính tốn va cdc vi du dp dụng mà khơng đi
sâu

ào chứng mình lý thuyết phúc tạp.
Giáo trình gồm 6 chương :

Chương 1. TẬP HỢP ~ QUAN HỆ ~ ÁNH XẠ

Bao gém 8 tiết lí thuyết ồ 4 tiết bài tập.

-_ Chương2. HẦM SỐ VA MA TRAN

Bao gồm 10 tiết lí thuyết oà 4 tiết bài tập.
Chương 3. ĐẠI SỐ BOOLE
Bao gồm 8 tiết l{ thuyết uà 4 tiết bài tập.

Chương 4. ĐỖ THỊ VÀ CÂY

Bao gồm 12 tiết li thuyết oà ổ tiết bài tập.

Chương 5. THUẬT TOÁN VÀ XÁC SUẤT

Bao gém 8 tiét lí thuyết uà 6 tiết bài tập.

.

Chương 6. PHƯƠNG PHÁP TÍNH

Bao gồm. 12 tiết lí thuyết uà 6 tiết bài tập.
Trong lần xuất bản thứ nhất, chắc chắn khơng thể tránh khỏi những thiếu

sói nội dung vd hình thức trình bày. Rất mong bạn đọc góp ý biến để nâng
cao chất lượng giáo trình.
Xin trân trong edm on.

Ý hiến, thư từ xin gửi uễ : Nhà xuất bản Giáo dục - 81 Trần Hưng Đạo -

Hà Nội

TÁC GIÁ


,

Chương 1

TẬP HỢP — QUAN HỆ - ÁNH XẠ
1- TAP HỢP

1.1. Khối niệm về lập hợp
1. Tập hợp là một khái niệm cơ bản của tốn học (người ta khơng định
nghĩa). Tuy nhiên ta hiểu tập hợp là một số các phần tử được ghép lại với nhau
bởi một tính chất nào đó.
Các ví dụ :
1) Tập hợp sinh viên của một trường đại học.
2) Tập hợp các số nguyên.

3) Tập hợp các quyển sách trong thư viện trường.
4) Tập hợp các điểm trên một đường thẳng (d).
Để chỉ x là một phần tử của tập A ta viết x € A. Néu y không thuộc À ta

viết y € A.
‘Tap hợp không chứa phần từ nào gọi là tập rỗng, ký hiệu Ø. Ví dụ : tập
các nghiệm thực của phương trình x2=-—1là tập rỗng.

2. Biểu đổ Ven : Hình 1.1 biếu

diễn một tập hợp. Đó là một đường
cong kín, phẳng và khơng tự cất, phần

bên trong đường cong chứa tất cả các

phần tử của tập hợp.

1.2. Cách xúc định một tập hợp
Có 2 cách xác định một tập hợp :
Cách 1:

Cách liệt kê : Liệt kê tất cả các phần tử của tập hợp.

Hình L1


Ví dụ : A = {a, b, c} — tập hợp gồm 3 phần tử.
Cách 2 :
Cách đặc trưng : Gọi p là tính chất đặc trưng của tất cả các phần tử của
tập hợp A, ta viết :
A=

{x | x, có tính chất p}

Ví đụ : Tập hợp các số chẵn p = {[m | m = 2n, n nguyên}.

1.3. Các tập hợp số thường gặp
1) Tập hợp các số tự nhiên :
N={0,1,2,3,

cò l;N*=(1,2,3,..

2) Tập hợp các số nguyên :
Z=(..,—n,... —2, ~1, 0, 1,2, ...,n,...}
3) Tạp hợp các số hữu tỷ :

Q={

Ỹ | p. q là các số nguyên
q # 0}

Các số hữu tỷ có thể viết thành các số thập phân hữu hạn, hay vơ hạn

tuần hồn.

Chẳng hạn ; = 0,75 ; = = -1,333...=-1, (3)
4) Một số vô tỷ là một số thể viết dưới dạng số thập phân vơ hạn khơng

tuần hồn.

Chẳng hạn V2= 1,414213563..., x = 3,14159...
3) Tập hợp tất cả các số hữu tỷ và vô tỷ gọi là tập số thực, ký hiệu là R.

1.4. Quan hộ giữa cóc tộp hợp

1. Tập hợp con

* A.]à tập hợp con của B khi mọi phần tử của Á đều thuộc về B.

Ký hiệu : A CB.
Đọc :

* Á bao hàm trong B

+ B chứa A
* A là tập con của B


tập tất cả
học sinh lớp 10 bao hàm trong
hợp
Tap
;
CR
CQ
CZ
:N
Vídụ
ng Long.
học sinh trường Trung học Thă
* Theo quy ước Ø C Á

* Tính bắc cầu :

AcB

BcC

AcC

=

-

2. Sự bằng nhau của 2 tập hợp
hợp B và ngượo
tập hợp A đều thuộc về tập
của
kỳ
bất
tử
n
phầ
một
Nếu
ta nói Á va B
B đều thuộc về tập hợp Á thì

lại mỗi phần tử của tập hợp
bằng nhau :

A=Bc
Ví dụ :

AcB
BCA

A}
A=tx,1,...,
A}
B= {1,....%,

1.5. Các phép loón về tập hợp
1, Phép hợp

hgp tao
Hợp cia hai tap A va B 1a tap
Á hoặc thuộc
. bởi tất cả các phần tử thuộc
B (hinh 1.2).

Ky hie: AUB;
Doc: Ahop B.

‘KE AUB

©(x 6Á hoặc xe B)

Ví dụ :

A={a,b,c.d}

eet

Tính chất 1.1 :
)AUOA=A

2AOB=BU

As

\2BxÍa,b,c,d,e,Ÿ

{

(tính lũy đẳng)
A

3) AU BUC =(AUB YC
4ØUA=AÙ=A

{tính giao hốn)

(tính kết hợp)

}


2. Phép giao
Giao của 2 tập A và B là tập hợp tạo bởi các
phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B (hình 1.3).
Ký hiệu : A¬ B;
Đọc : A giảo B
(Œ%x€A“B)©(xe

AvàxceB)

Tính chất 1.2 :

Hink 13

IANASA

(tính lũy đẳng)

2AaB=B“A

{tính giao hốn)

3) AN(BAC)=(ANB)ACZANBNAC

(tính kết hợp)

4Øn¬A=AnØ=Ø
>

Chá ý : Khi A

B = Ø thì ta nói À và B rời nhau.

Tính chất chung 1.3 của V và 71:
1)AO(Bn)

=(A 2B)

(A © C) : tính phân phối của t2 đối với 7.

2) An(BŒC

=(Á ñ B) Q2 (Á 5 C) : tính phân phối của ¬ đối với t2.

Chứng minh tính chất (1) :

xeA
xeAU(BnaC)

=

xeA

(hoặc

=

xe(ŒBnC)
xeA

=>

hoặc

xeB

hoặc

xeC

(hoặc
xeB

và

xeC)

va
xeA

=x€

(AtB)

và x e (Á 2 €) —x

€ [CA t2 B) nì (Á tý ©]

2AU(Bna@)c
(Ä 2B) n (A ¿2 C)
* Ngược lại :

xe(AUB)

xe(AUB)n(A
2C) >

{va

xe(AuC)

xe€Ấ

=>

hoặc

xeB

VVÀ
xeA

xeA

=>
hoặc

xeC

{VÀ
xeB

hoặc

xeC,

=2xeAn(BUŒ)=(AvB)n(ACC©)CAo(B
2©


3. Hiéu cia 2 tap hop

Hiệu của tập A và tập B là tập
tạo bởi tất cả các phần tử thuộc A

mà khơng thuộc B (hình 1.4)

Ký hiệu : AXBA và xc
¢ B)

4. Tập bù

Hình 1.4

Khi A c E thì E\ A gọi là bù

của A trong E ký hiệu CgA hay A

(hình 1.5).
Vi du : Goi A 1a tap nghiem cia
phuong trinhx?~3x4+2=0
(1)

—

E

>!

A

Gọi 8 là tập nghiệm của phương

trình x” — 4x + 3=0

(2)

Hình 15

Giải ():a+b+c=0=xi=l,xy=2=ÁA=

{1/2}

Giải

{1,3}

2): a+b+c

=0 = xi =1,xạ=3=B=

=>AVB=({1,2,3};

ANB=

{1}; A\B=

Tập nghiệm của phương trình:

{2}

(x? ~ 3x +2)(x? - 4x + 3) = 0 là AUB={1,2,3}

Lu
Deật
Morgan :

ti

>I

Ø

(1.1)

(1.2)

>!

a

œ

>

|

>

UB=

wl

VA
Be E,tacé
, :

@

Chứng mỉnh (1.1) :

xe AUB

>x¢(AUB)>(x¢Avax
¢B)
>(xe

AvàxeB)=xeAnB

5. Tích của hai tập hợp
Tích của tập hợp A với tập hợp B (theo thứ tự ấy) là tập hợp bao gồm tất
cả các cặp thứ tự (x,y) với x e A và y c€B(hình 1.6).


——

AxB

-

‡

Yj
°

5

x

Hình 1.6. Mặt phẳng tọa độ xOy được đồng nhất với tích Đề các RĐ x R
Ký hiệu : A x B hoặc A.B
Đọc : A nhân B
(Œ,y)eAxB©(xeAvàyeB)
>

Chú ý : Tích của hai tập hợp khơng có tính giao hốn.

VI (x,y) # (y,x) nếu x # y (2,3) 4 (3,2)
Ví đụ :

A={i,3},

B= (2,x}

Ax B= {(1,2), (1.x), (3,2), (3,x)}
6. Phân hoạch

Ta nói các tap con Ay, Ag, ....An của tập X tạo nên một phân hoạch của
X nếu :
a

1) VA)
i=l

=X

2) AinAi=Ø

1zj

1.ó. Biểu diễn các tập hợp trên móy lính
phần
việc
tính
giới

Có nhiều cách để biểu diễn các tập hợp trên máy tính. Nếu lưu trữ các
tử của tập hợp theo cách khơng sắp
tính giao, hợp hoặc hiệu của hai tập
đó địi hỏi một lượng tìm kiếm rất
thiệu một phương pháp lưu trữ các

thứ tự thì ít phải chuẩn bị. Tuy nhiên
hợp sẽ rất mất thời gian, vì mỗi phép
lớn đối với các phần tử. Dưới đây sẽ
phần tử bằng cách đùng sự sắp tùy ý

các phần tử của tập toàn thể. Phương pháp biểu diễn tập hợp này sẽ làm cho
việc tính những tổ hợp trở nên dễ dàng hơn.
10

——

AxB

Ị

fo)
Hình 1.6. Mặt phẳng tọa độ xOy được đẳng nhất với tich Dé cdc R xR
Ký hiệu : A x B hoặc A.B

Đọc : A nhân B
(xy)

eAxB«e>(xe

A và y eB)

.

> Chú ý : Tích của hai tập hợp khơng có tính giao hốn.
Vì (x,y) # (y,x) nếu x # y (2,3) # (3,2)

Ví dụ :

A= (13),

B= {2x}

AxB=([(1,2), (1,x), (3,2), (3.4)}

6. Phân hoạch

Ta nói các tập con Ai, À2, .
X nếu :

ạ của tập X tạo nên một phân hoạch của

n

1) UA, =X
i=l

2AiAi=Ø

izj

1.6. Biểu diễn các tập hợp trên máy tính
phần
việc
tính
giới

Có nhiều cách để biểu diễn các tập hợp trên máy tính. Nếu lưu trữ các
tử của tập hợp theo cách khơng sắp
tính giao, hợp hoặc hiệu của hai tập
đó địi hơi một lượng tìm kiếm rất
thiệu một phương pháp lưu trữ các

thứ tự thì ít phải chuẩn bị. Tuy nhiên
hợp sẽ rất mất thời gian, vì mỗi phép

lớn đối với các phần tử. Dưới đây sẽ
phần tứ bằng cách dùng sự sắp tùy ý

các phần tử của tập toàn thể. Phương pháp biểu diễn tập hợp này sẽ làm cho
việc tính những tổ hợp trở nên đễ dàng hơn.
10


Giả sử tập toàn thể U được dùng là hữu hạn (và có kích thước hợp lý để số
phần tử của U không lớn hơn dung lượng bộ nhớ của máy tính mà ta đang
dùng). Trước hết, hãy chỉ rõ sự sắp tùy ý các phần tử của U, ví dụ ai, a2, .... ân

sau đó biểu dién tap con A của U bằng một x4u bit có chiều đài n, trong đó bit
thứ ¡ ở xâu này là 1 nếu a¡ e A và là Ö nếu a¡ £ A. Vi du sau day sé minh hoa
kỹ thuật này.
Ví dụ : Cho U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} va su sap các phần tử trong Ú theo

thứ tự tăng dân ; tức là a¡ = ¡. Xác định xâu bít biểu điễn tập con các số
nguyên lẻ trong U, tập con các số nguyên chắn trong U và tập con các số
nguyên không quá 5 trong U,

Giải : Xâu bit biểu diễn tập hợp các số nguyên lẻ trong U, cụ thể là tập
{1,3,5,7,9}, có bit 1 ở các vị trí thứ nhất, thứ ba, thứ năm, thứ bảy và thứ chín,
va bit 0 ở các vị trí cịn lại. Đó là :

10101 01010
(Ở đây chúng ta đã tách xâu có chiểu dài là 10 này thành hai khối,

mỗi khối có chiều dài là 5 để dé đọc vì các xâu bit đài rất khó đọc). Tương

tự, ta biểu diễn tập con tất cả các số nguyên chẩn trong U, cụ thể là tập

{2,4,6,8,10} bang xau :
01010 10101

Tập con tất các số nguyên

trong U không

{11,2,3,4,5} được biểu điễn bởi xâu :

vượt quá 5, cụ thể là tập

11111 00000

Bằng cách dùng các xâu bit để biểu diễn các tập hợp, ta dé đàng tìm được
phần bù của các tập hợp, cũng như hợp, giao và hiệu của chúng. Để tìm xâu
bit cho phần bù của một tập hợp từ xâu bit cha tập hợp đó ta chỉ việc thay mỗi

1 thành 0 và thay mỗi 0 thành 1, vì x e A nếu và chỉ nếu x £ A. Chú ý rằng
phép toán này tương ứng với việc lấy phủ định của mỗi bit khi ta gắn một bit
với một giá trị chân lý : 1 ứng với đúng và 0 ứng với sai.
Ví du :.Ta đã biết xau bit d6i với tập hợp {1,3,5,7,9} (với tập hợp toàn thể

{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10})
1a

10101 01010
Xác định xâu bịt đối với phần bù của tập tày.
1l

Gidi : Xau bit d6i v6i phần bù của tập này sẽ nhận được bằng cách thay

đổi các số 0 thành 1 và ngược lại. Sau khi làm như vậy ta được xâu :

01010 10101
tương ứng với tập (2, 4, 6, 8, 10}.

Để nhận được các xâu bit cho các hợp và giao của hai tập hợp, chúng ta sé
thực hiện các phép toán Boole trên các xâu bit biểu diễn hai tập hợp đó. Bit &

vị trí ¡ trong xâu bit của hợp là 1 (hoặc cả hai là 1) và là 0 khi cả 2 bịt đó là 0.
Từ đó suy ra rằng xâu bịt đối với hợp là OR bit của hai xâu bịt tương ứng với
hai tập số. Cịn bit ở vị trí thứ ¡ trong xâu bịt của giao sẽ là Í khi cdc bit 6 vị
trí tương ứng trong hai xâu bit déu bang 1 và đều bằng 0 khi một trong hai bit
bằng O (hoặc cả hai bằng 0). Từ đó suy ra rằng xâu bit đối với giao là một

AND bít của hai xâu bit biểu diễn hai tập đã cho.

Ví dụ : Xâu bịt đối với các tập hop {1,2,3,4,5} va {1,3,5,7,9} 1a 11111
00000 và 10101 01010. Dùng các xâu bit để tìm hợp và giao của hai tập trên.
Giải : Xâu bịt đối với hợp của bai tập là :

„

-_ 11111 00000 v 10101 01010 = 11111 01010
và xâu này tương ứng với tập { 1,2.3,4,5,7,9}
Xâu bit đối với giao của hai tập này là ;
11111 0000 A 10101 01010 = 10101 00000

và xâu này tương ứng với tập {1,3,5}.

1.7. Số phức
1. Khái niệm số phức

a) Mở đầu : Mọi số thực, trừ số 0, bình phương lên đều dương. Riêng số 0

bình phương lên bằng 0. Vì vậy, nếu ta chỉ biết các số thực thì phương trình :
x? 41=Ohayx?=-1

sẽ vơ nghiệm. Do đó người ta phải nghiên cứu thêm một loại số mới gọi là
số phức.
b) Đơn vị ảo — số đo : Trước hết ta đưa vào số ¡ sao cho

i? = -1 nghia là i= V1
và gọi nó là đơn vị ảo.
12


Với đơn vị ảo ¡, phương trình x? =-1 06 hai nghiệm là ¡ và ~i.
Sau đó mọi số đạng bi với b là số thực, sẽ có bình phương

(bi)? = b?i? = —b?
là số âm, người ta gọi chúng là các số ảo thuần túy.

c) Số phức : Bây giờ số z có đạng :
z=a+bi

(1.3)

trong đó a và b là các số thực z, được gọi là một số phức.
a gọi là phần thực của số phức, viết là Re(2) :
a=Re(z)

"b gọi là phần ảo của số phức, viết là Im(2) :
b=

Im(z)

Khi b = 0, z = a là một số thực. Vậy số thực là một trường hợp riêng của
số phức.
.
Khi a = 0, z = bi là một số ảo thuần túy.
đ) Số phức không : Khi a = 0, b = 0, số phức z = 0 + 0i, cũng viết là z = 0.
e) Hai số phức bằng nhau : Hai số phức z = a + bì và z' = a` + bì gọi là
bằng nhau nếu a = a' và b = b và ngược lại.
†) Số phức liên hợp : Hai số phức z = a + bì, Z = a — bị gọi là hai số phức
liên hợp.
Ví dụ :
z=2~3i thì Z =2
+ 3i

.2. Các phép tính về số phức
a) Pháp cộng số phúc : Tổng của hai số phức z\ = a

+ Ìbị và Z2 = a2 + iby

là một số phức cỏ phần thực là tổng của các phần thực, phần ảo bằng tổng các
phần ảo của chúng.

Zy + Zz = (a; + iby) + (az + iby) = (ay + ag) + Í(bị + bạ)

(1.4)

Các tính chất của phép cộng :

*Œ|+72)+z4=zq +(Zạ+7za) — (tính kết hợp)
ote

2

=z2+z
22+

(tính giao hốn)
13


*®z+0=z

(0 là số phức z = 0)

*®z+Cz) =0

(z là số phức đối của số phức z)

nghĩa là nếu z = a + ib thì ; ~z = —a + (~b)i = -a — ib

Từ tính chất cuối cùng ta suy ra phép trừ hai số phức z¡ và z¿ là :

21 ~ Zz = 2 + (-2q) = (ay ~ ag) + Ì(bị — bạ)

Ví dụ : 2 =2 + 3Ì, zạ = 1= 5ï
thì

2 # Z2 = (2 + 3i) + (1 ~ 5Ù = (2 + 1) + (3 — 5)¡ = 3 — 2i

và

Z4 —Z2 = 2 + 3Ð - (1= 5Ù = (2— 1) +(3 + 5)¡ =1 + 8i

b) Pháp nhân số phức : Tích của hai số phức 2) = a; + iby và Z; = a2 +
iby

là số phức có được bằng cách nhân chúng như nhân bai nhị thức với
nhau và

chú ý rằng iˆ = ~1.

2122 = (ay + iby)(ag + iby) = (ayay — byby) + i(ayby + agb,) (1.5)

Các tính chất của phép nhân :

*Œ| Z2)Za = zI(2; Z3) — (tính kết hợp)

*Z172

“Z7

*®z.1

(tính giao hốn)

=1.z=1

(1 là số phức đơn vị)

Nếu z z 0 thì tổn tại số z ! để z 'z = „z1 <1
thì :

z1 được gọi là số phức nghịch đảo của số phức z, nghĩa là nếu z =
a + ib # 0

rit.

tả CỔ :

Aa+ib

a=ib

(a+ibÌa-ib)

__ a-ib

42452

m= eng
n I

Từ tính chất cuối cùng ta suy ra phép chía hai số phức
ZỊ = 2123nz! (Z_ #0)
a

Ví dự : 2) = 2 + 3i,2 = Ì— 2i
thi

14

Z¡Z2 = (2 + 3i) (1 - 2i) = (2 + 6) + (3 - 4) = 8-1


*'

2

=m * Galea)
“54 $4717,
"Ter es
Fs

a?

©) Liên hệ giữa phép cộng và pháp nhân
(2¡ +22)
23 = 7| 24 + Z2 24
Z|(Z¿ + 23) = Z4 Z2 + Z| Z3

Ví dụ 1 : Tìm x, y là các số thực thỏa mãn phương trình :

(1 + 2i)x + (3 - 5i)y = L— 3i

Gidi : Do x, y là những số thực ta thực hiện các phép tính ở vế trái thì có :

5y) =1-— 3i
(Œ%+3y)+(2x—
Vì khi hai số phức bằng nhau ta suy ra phân thực của chúng bằng nhau và

phần ảo của chúng bằng nhau, nên có :
x+3y

=1

2x — Sy
= -3
Giải hệ này ta được:

— 11 yod11

Ví dụ 2 : Tính A = (x~ 1—j)(x—1+i)Œ%+1+jŒ%+l~-j)

Giải : Ta có [@ — 1) = 11 [(x- +i]=@-1)?+1
Còn [Œœ +1) +i]fŒ& + D-i]=(e+
1)? +1
- ĐỀ + 1] Í@œ + ĐÊ+ 11= (x? + 2 - 2x) (x? +2 + 2x)
VayA =[Œ
=Gˆ+2)2—
4x2 =x +4
Chú thích :

— Ta có :

=-1;jŸ=

— Với z= a + bì thì :

15


3. Dạng lượng giác của số phức

Mỗi điểm M(x,y) ứng với một vếc tơ
OM và ngược lại, nên mỗi số phức

Z=X + iy tng với một véc tơ OM

có gốc

tại gốc tọa độ, ngọn là điểm M(x,y). Ta
đưa vào các định nghĩa sau ;
T= |OMI =

x2 ey?

của số phức
z = x + iy.

gọi là mơ đun

Hình L7

.

@(Ox, OM) là góc lượng giác tạo bởi véc tơ OM với hướng đương của

trục Ox, được xác định sai khác 2km, k nguyên.

Góc ọ gọi là Argu-men của z, ký hiệu @ = Arg z.
Nếu lấy —m < ọ < œ thì dùng ký hiệu @ = argz.

Dé thay : x =r cosg, y =r sing, do vậy
Z=xk+iy =r(cos@ + ising)

`

(1.6)

Dạng (1.6) gọi là dạng lượng giác của số phức.
Phần tử đối của số phức z = x + iy là —z = ~x — iy.
Với cách biểu điễn lượng giác là ~z = r[cos(@ + x) + i sin(@ + œ)] với
@ = Arg z.

Số phức Z = x - iy gọi là số phức Hên hợp của z = x + iy.
Có cách biểu diễn lượng giác là Z = r[cos(—) + ¡ sin(~@)] với ảnh là véc

tơ OM' đối xứng với véc tơ OM qua trục Ox.
4. Công thức Moivre
Cho hai số phức :

ZỊ =TI(COS@+ + Ì sing¡) = XỊ +iy|

Z2 = T;(COS02 + i sinQ2) = X¿ + Íy2
Khi đó số phức :

2452 # (XX¿ — YIY2) + Ì(XIY2 + X21)
sẽ có cách biểu diễn lượng giác là :
Z¡Z2 = FIT2[(CO5@1€0S02 + sin@¡sin@2) + i(Cos@¡cos@+ + singsine2)]
ZIZ2 = Tira[cos(01 + 02) + ¡ sin(0¡ + @2)]
16

(1.7)


Néu z, # 0 thi tén tai sO phite 23! = z

2

và tích z=zyz2! = a

2

goi 1a

thuong ciia z) v6i 25.
Từ (1.7) suy ra:

‘

2

2=F

CN

ng gt
— 92) |
= Rfeos(or - 92) +i sin(@

Phép chứng minh các hệ thức (1.7), (1.8) không có gì khó, xem

bài tập.

(1.8)
như

Từ (1.7) suy ra zZ =rẺ = |z‡?
Với n là số nguyên dương bất kỳ, ta đặt z” = z.Z..z sẽ có :

"

z" = r°(cos ng +isin ng)

(1.9)

.gọi là lũy thừa bậc n của số phức z.
Nói riêng khi r = 1, từ (1.9) ta được :

(cos ng +i sin ng)" = cos ng + i sin ng

(1.10)

Công thức (1.10) gọi là công thức Moivre. Nhờ đó có thể thu được các biểu

thức của cos nọ và sỉn nọ bởi phép khai triển vế trái của (1.10) theo công thức

Newton và sự bằng nhau giữa các số phức (lưu ý : ÍÊ = ~1, iŸ = ~i, i* = 1,...).
4. Căn bậc n của số phức
Cho n là số tự nhiên, n > 2, œ là số phức cho trước.

Nếu có số phức z sao cho z” = a thi z gọi là căn bac n của œ, ký hiệu

z=Wa.

Nhờ cách viết số phức dưới đạng lượng giác, ta sẽ thấy rằng mỗi số phức
œ có đúng n nghiệm phức phân biệt (trong đó có thể có những nghiệm thực).

That vay, gid st’

. a =r(cosp + i sing)

Ta tìm số phức z đưới dạng z = p(cos6 + i sin®)

thỏa mãn đẳng thức z" = a hay :
p"(cos nO + i sin nO) = r(cos @+isin @)

17


Từ đó :

n_

p =T

nƠ=@+2km,

tức là:p= ĐT ;

kez

o= etme

Khi k lần lượt nhận các giá trị nguyên k = 0, 1, 2,...,n-1 tacé n giá trị
của z, các giá trị phức này có cùng mơ đun là p = wr, cịn các arg sai kém

2
a
Nếu k nhận trị nguyên khác bộ trị {0, 1, 2,..., n — 1} thì đễ đàng thấy z

lại có giá trị trùng với một trong n giá trị trên do tính chất tuần hồn của cịs
va sin.
Vay tén tai n căn bậc n của số phức œ, xác định bởi :

Zp = WF cos(2*2)
ke(0,1,2,.,n—

cn(# T2

|

q1)

1}

Trên mặt phẳng phức, chúng là các đỉnh của đa giác đều n cạnh nội tiếp

đường trịn tâm 0, bán kính p = Yr.
5. Giải phương trình bậc hai và bậc cao
a) Xét phương trình :
ax2 +bx+c=0

a,b,ceR

Ta da biết rằng nếu Á = bỶ — 4ac > 0 thì phương trình có nghiệm thực. Bây
giờ ta xét trường hợp A < 0. Phương trình đã cho viết được đưới dạng :

(x+2) 2 _ ĐT 2_ So
hay là :

2a

(-$Ï--Đ
2

2a

4a?

Lựa

4a

đã

Suy ra :

b
xin

18

. V~A
=ii——
“2a

ae

Ỷ


Vay khi A < 0 phuong trinh bac hai có 2 nghiệm phức dạng liên hợp :

Ví dụ 1 : Phương
trình x” + x + 1 =0
có 2 nghiệm :
_ml+ i3
x1 =——›
b) Giải phương trình bậc cao:
Khi giải phương trình bậc cao trong trường số phức thì việc dùng dang
lượng giác tẻ ra thuận tiện.
VE du 2 : Gidi phương trình trong tập số phức C :

z2~z2+z?—~z+1=0

Chú ý hệ thức :

z7+1=Œ+
1Œ —z2+z2— z+ 1)

Ta viết lại phương trình dưới dạng :
Z 5 +l_
nà 5 _
Pa
=0@27=-i
hay

_
(z#-1)

vi =cosn+isinz

(z#-1).

t+2krn

. . m+2kn

© zx =c0s———— +isin——z——
5
$
k = 0,1,2,3,4

y

k#2

Vay ngồi nghiệm z = —1, phương trình
có 4 nghiệm oho bởi :
Z

=cos=+isine

pees

5

72==

cos

cos“

+ isin

Zz.

cos

cosy

+ isin

3S=

= coe oe

24 = Cos

5

5
=~ cos 2 + isin 2

is n

icin

+1sin

sang

Oe
5

(cos

3m.
5

+ isin

Bn

2)

Hình 18

19