Báo cáo nghiên cứu khoa học: " Một tương tự của định lý ABC cho hàm nhiều biến" potx

TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC HUẾ, Số 50-2009
MỘT TƯƠNG TỰ CỦA ĐỊNH LÝ ABC CHO CÁC HÀM NHIỀU BIẾN
Nguyễn Thị Phương Nhung
Trường Đại học Vinh
Tóm tắt.Trong bài báo này, bằng kỹ thuật Wronskian trên đa thức chúng tôi
chứng được một kết quả tương tự của định lý abc cho các hàm nhiều biến.
1. Giới thiệu:
Giả sử F là một trường đóng đại số có đặc số 0 và f (z) là một hàm khác hằng
số với hệ số thuộc F . Ký hiệu r(f) là số các không điểm phân biệt của f. Định lý
abc cho hàm một biến được phát biểu như sau:
Định lý abc([3]). Giả sử a(z), b(z), c(z) là các đa thức trên F không đồng thời là
hằng số sao cho a + b = c. Khi đó
max {deg(a), deg(b), deg(c)} ≤ r(abc) − 1.
Trong [2], Hu-Yang đã chứng minh một kết quả suy rộng của định lý trên, trong
đó đẳng thức a + b = c được thay bởi f
0
+ · · · + f
n+1
= 0 Trong bài báo này, chúng
tôi chứng minh được một kết quả tương tự của định lý abc cho các hà m nhiều biến.
Giả sử f là một đa thức nhiều biến với hệ số trong F và f có sự phân tích:
f =
s

i=1
p
α
i
i
,
trong đó các đa thức p

i
là bất khả quy, phân biệt, và α
i
> 0 là các số nguyên. Định
nghĩa
N
0
(f) = deg(
s

i=1
p
i
).
Kết quả chính của bài báo là định lý sau đây:
Định lý:Giả sử f
0
, , f
n+1
là n + 2 đa thức nhiều biến trong vành F [x
1
, , x
l
]
không có không điểm chung sao cho f
0
, , f
n
độc lập tuyến tính. Giả sử rằng
f

0
+ · · · + f
n+1
= 0. (1)
97
Khi đó
max
0≤i≤n+1
deg f
i
≤
n(n + 1)
2
(N
0
(f
0
· · · f
n+1
) − 1).
2. Chứng minh Định lý:
Giả sử f là một hàm hữu tỉ nhiều biến, ta viết f dưới dạng:
f =
f
1
f
2
,
trong đó f
1

, f
2
là các đa thức khác không và nguyên tố cùng nhau trong vành đa
thức F [x
1
, , x
l
]. Bậc của f, ký hiệu deg f , được định nghĩa bởi deg f
1
− deg f
2
.
Giả sử p là một đa thức bất khả quy, ta viết f dưới dạng:
f = p
α
g
1
g
2
,
trong đó g
1
, g
2
là các đa thức sao cho p không là ước của tích g
1
g
2
. Khi đó, số nguyên
α được gọi là bậc của f tại p và được ký hiệu bởi µ

p
f
. Chúng ta có một số tính chất
đơn giản của µ
p
f
sau đây.
Bổ đề 2.1.Giả sử f, g là hai đa thức và p ∈ F [x
1
, , x
l
] là một đa thức bất khả
quy, ta có:
a) µ
p
f+g
≥ min(µ
p
f
, µ
p
g
),
b)µ
p
fg
= µ
a
f
+ µ

p
g
,
c) µ
p
f
g
= µ
p
f
− µ
p
g
.
Cho ∆ là một toán tử vi phân dạng
∆ = (µ
1
· · · µ
m
)
−1
∂
µ
1
∂x
µ
1
1
· · ·
∂

µ
m
∂x
µ
m
m
,
trong đó µ
i
≥ 0 là các số nguyên. Ta ký hiệu hạng của ∆ bởi:
ρ(∆) =
m

i=1
µ
i
.
Bổ đề 2.2. Giả sử ϕ là một đa thức nhiều biến thỏa mãn ∆ϕ ≡ 0, p là một đa
thức bất khả quy. Khi đó
µ
p
∆ϕ
≥ −ρ(∆) + µ
p
ϕ
.
Chứng minh: Giả sử µ
p
ϕ
= m, khi đó tồn tại đa thức f sao cho ϕ = p

m
f. Ta có
∂ϕ
∂x
i
= p
m−1
(p
∂f
∂x
i
+ mf
∂p
∂x
i
).
98
Từ đó ta có
µ
p
∂ϕ
∂x
i
≥ m − 1.
Do đó
µ
p
∂ϕ
∂x
i

≥ −1 + µ
p
ϕ
.
Từ đó ta thu được
µ
p
∆ϕ
≥ −ρ(∆) + µ
p
ϕ
.
Cho ∆
0
, , ∆
s
sao cho ρ(∆
i
) ≤ i và các đa thức h
0
, , h
s
trong F[x
1
, , x
l
],
Wronskian suy rộng có dạng
W [h
0

, , h
s
] = det |∆
i
h
j
|
0≤i,j≤s
. (2)
Một kết quả (xem [7, 8]) khẳng định rằng nếu các hàm h
i
độc lập tuyến tính trên
F thì tồn tại Wronskian suy rộng (2) không triệt tiêu.
Chứng minh định lý: Theo giả thiết f
0
, , f
n
độc lập tuyến tính, khi đó tồn tại
một Wronskian suy rộng W của f
0
, , f
n
không triệt tiêu. Ta đặt
P =
W (f
0
, , f
n
)
f

0
f
n
,
Q =
f
0
f
n+1
W (f
0
, , f
n
)
.
Từ đó ta có
f
n+1
= P Q. (3)
Trước hết, ta chứng minh rằng
deg Q ≤ ρN
0
(f
0
· · · f
n+1
)
trong đó ρ =

n

j=0
ρ(∆
j
).
Giả sử rằng p là một ước của f
0
f
1
· · · f
n+1
và p là một đa thức bất khả quy. Từ
giả thiết này ta suy ra tồn tại một chỉ số ν, 0 ≤ ν ≤ n + 1 sao cho p không là ước
của f
ν
. Từ giả thiết f
0
+ · · · + f
n
+ f
n+1
= 0 ta có
µ
p
f
0
···f
n+1
W (f
0
, ,f

n
)
= µ
p
f
0
···f
ν−1
f
ν+1
···f
n+1
W (f
0
, ,f
ν−1
,f
ν+1
, ,f
n+1
)
=
n+1

j=0
µ
p
f
j
− µ

p
W (f
0
, ,f
ν−1
,f
ν+1
, ,f
n+1
)
trong đó W (f
0
, , f
ν−1
, f
ν+1
, , f
n+1
) là một tổng của các hạng tử
δ∆
0
f
α
0
∆
1
f
α
1
· · · ∆

n
f
α
n
,
99
α
i
∈ {0, n + 1}\{ν}, δ = ±1. Từ các Bổ đề 2.1, 2.2 chúng ta có
µ
p
∆
0
f
α
0
∆
1
f
α
1
···∆
n
f
α
n
≥
n

j=0

µ
p
f
α
j
−
n

j=0
ρ(∆
j
)
= µ
p
n
j=0
f
α
j
− ρ.
Theo Bổ đề 2.1 ta có
µ
p
W (f
0
, ,f
ν−1
,f
ν+1
, f

n+1
)
≥ µ
p
n
j=0
f
α
j
− ρ.
Do đó
µ
p
f
0
···f
n+1
W (f
0
, ,f
n
)
≤ ρ.
Theo định nghĩa bậc của hàm hữu tỉ, ta có:
deg Q ≤ ρN
0
(f
0
· · · f
n+1

). (4)
Tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh rằng
deg P ≤ −ρ.
Ta có định thức P là tổng của các hạng tử sau
δ
∆
0
f
β
0
∆
1
f
β
1
∆
2
f
β
2
∆
n
f
β
n
f
β
0
f
β

1
f
β
2
f
β
n
.
Với mỗi hạng tử ta có
deg

∆
0
f
β
O
∆
1
f
β
1
∆
2
f
β
2
∆
n
f
β

n
f
β
0
f
β
1
f
β
2
f
β
n

= deg

∆
0
f
β
O
f
β
0

+ deg

∆
1
f

β
1
f
β
1

+ · · · + deg

∆
n
f
β
n
f
β
n

≤ −ρ(∆
0
) − ρ(∆
1
) − · · · − ρ(∆
n
)
= −ρ.
Do đó
deg P ≤ −ρ. (5)
Từ (3), (4), (5) chúng ta có
deg f
n+1

= deg P + deg Q
≤ ρ (N
0
(f
0
· · · f
n+1
) − 1) .
100
Từ ρ(∆
i
) ≤ i, ta có ρ ≤ 1 + 2 + · · · + n =
n(n+1)
2
. Do đó
deg f
n+1
≤
n(n + 1)
2
(N
0
(f
0
· · · f
n+1
) − 1).
Tuơng tự đối với các đa thức f
0
, f

1
, , f
n
, ta có
max
0≤i≤n+1
deg f
i
≤
n(n + 1)
2
(N
0
(f
0
· · · f
n+1
) − 1).
Định lý được chứng minh.
Tài liệu tham khảo
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Browkin, J. and Brzezinski, J., Some remarks on the abc conjecture, Mathe-
matics of Computation, 62, (1994), 931-939.
[2] P.C. Hu and C.C.Yang, Notes on a generalized abc-conjecture over function
fields, Ann. Math. Blaise Pascal 8 (2001), No. 1, 61-71.
[3] Lang, S., Old and new conjectured Diophantine inequalities, Bull. Amer. Math.
Soc. 23 (1990), 3775.
[4] Leonid N. Vaserstein and Ethel R. Wheland, Vanishing polynomial sums, Com-
munications in Algebra, 31, No. 2, (2003), 751-772.
[5] Mason, R. C., Equations over function fields, Lecture Notes in Math. 1068

(1984), 149-157, Springer.
[6] Mason, R.C., Diophantine equations over function fields, London Math. Soc.
Lec-ture Note Ser. 96, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1984.
[7] K. F. Roth, Rational approximation to algebraic numbers, Mathematika 2,
(1955), 1-20.
[8] T. Schneider, Einfuhrung in die tranzsendenten Zahlen, Berlin, (1957), 15-16.
[9] H.N. Shapiro and G.H. Sparer, Extension of a Theorem of Mason, Comm. Pure
and Appl. Math., 47 (1994), 711-718.
AN ANALOG TO ABC-THEOREM FOR
FUNCTIONS OF SEVERAL VARIABLES
Nguyen Thi Phuong Nhung
Department of Mathematics,Vinh University
SUMMARY
In this paper we prove an analog to abc theorem for functions of several variables.
101