ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH ppsx

1
C. V ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
1. ĐỊNH NGHĨA:
a. Định nghĩa:
Cho hai không gian vectơ E, F trên K.
Một ánh xạ
:
f
EF

 được gọi là ánh xạ tuyến tính nếu
có các tính chất sau:
i.
,()()()
x
xEfxx fx fx
 
  

ii.
() ()
x
EK fxfx


   


 Ánh xạ tuyến tính còn được gọi là đồng cấu không gian
vectơ.
 Tập hợp tất cả ánh xạ tuyến tính từ E đến F được ký hiệu

là
(,)
H
om E F
hay
(,)
E
F
L
.
 Đặc biệt, một ánh xạ tuyến tính từ E đến E được gọi là
phép biến đổi tuyến tính của E.
Ta ghi
()
H
om E thay cho (,)
H
om E E .
 Một ánh xạ tuyến tính đơn ánh được gọi là đơn cấu.
 Một ánh xạ tuyến tính toàn ánh được gọi là toàn cấu
 Một ánh xạ tuyến tính song ánh được gọi là đẳng cấu.
b. Thí dụ:
 Td1: Ánh xạ đồng nhất
:
E
Id E E


là 1 phép biến
đổi tuyến tính của E.

 Td2: Ánh xạ không

0:
0
F
E
F
x



 Td3: Ánh xạ

|
23
:
(, ) ( ,2, 3)
g
x
yxyxxy

  



là một phép biến đổi tuyến tính của
3
 .
2
Vì:



2
(, ), ( , )uxyvxy

  


( ) [( , ) ( , )] [( , )]
g
uv
g
x
y
x
yg
xx
yy


    





= ( ) ( ), 2( ), ( ) 3( )
x
xyyxxxx yy
 

   


(,2,3)( ,2,3)
xy
xx
y
x
y
xx
y

 
    



() ()
g
u
g
v



2
(, )uxy

  

() [(, )]( ,2, 3)
g
u
g
x
y
x
y
xx
y

     
 


(,2,3) ()
x
yxx y gu


 

2. TÍNH CHẤT
a. Mệnh đề 1
:
Cho (,)
f
Hom E F , khi đó:
i)

(0) 0
f
 vì () (0) 0()
f
O
f
O
f
OO

)
ii)
() ()
f
xfx

iii)


11
11
,, ,,
() ()
nn
nn
ii i i
ii
x
xE K
fx fx





 





b. Mệnh đề 2:
Cho
(,)
f
Hom E F .
Nếu f là 1 đẳng cấu thì
1
f

cũng là đẳng cấu (từ F vào E).

c. Mệnh đề 3:
Cho hai không gian vectơ E, F trên K.

Giả sử
1
, ,
n
aa là 1 cơ sở của E, và
1

, ,
n
bb là n vectơ nào
đó của F.
Khi đó, có một ánh xạ tuyến tính duy nhất f từ E vào F thỏa

()
1, ,
ii
f
ab
in






3
Chứng minh:

1
n
ii
i
x
Ex ta

 


,
đặt
1
()
n
ii
i
f
xtb



. Dễ thấy
(, )
f
Hom E F

.
 Nếu có (,)
g
Hom E F thỏa
()
1, ,
ii
ga b
in






thì :

1
11 1
,
() ( ) ( ) ()
n
ii
i
nn n
ii i i ii
ii i
xEx ta
gx g ta tga tb f x



 


 

Vậy
gf
 .

d. Mệnh đề 4:
Nếu
(, )

f
Hom E F
và
(,)gHomFG

thì
(,)gf HomEG

.

Thí dụ:
Trong không gian vectơ
3

, cho các vectơ
(1,1, 0), (1, 0, 1), (0,1, 2)ab c và
(1, 1,0), ( 1,0,0)uv  .
a)
Chứng minh a,b,c là cơ sở của
3
 .
b)
Gọi f là phép biến đổi tuyến tính của
3

mà
() , () , ()
f
av
f

buv
f
cu.
Tính
(, ,)
f
x
y
z .
Bài làm:
a) ta có

110 110
101 0 11 10
012012
D 

nên a, b, c độc lập tuyến tính.
Mà
3
dim 3
, nên a, b, c là cơ sở của
3
 .

4
b)

3
(,,)uxyz 

(2)(22)( )ux
y
za x
y
zb x
y
zc       
nên

(, ,) (( 2 ) (2 2 ) ( ))
f
x
y
z
f
x
y
za x
y
zb x
y
zc

(2)( (2 2 ) ) )()()(
x
yz x yz x
f
fczaby

f
       

(2)(22)[]( )
x
yzv x yzuv xyzu        


(2 3 2 , 3 3 3 ,0)
xy
zx
y
z

3. ẢNH VÀ HẠT NHÂN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH.
a. Ảnh của ánh xạ tuyến tính.

Cho ánh xạ tuyến tính
(, )
f
Hom E F

.
Tập hợp
() {()/ }
f
EfxxE
được gọi là ảnh của ánh xạ
tuyến tính f.
Ký hiệu:

Im
f


Thí dụ:
Im0 {0} 0, Im
E
Id E




Mệnh đề 5:

Im
f
là một không gian con của F.

 Mệnh đề 6:
Cho (, )
f
Hom E F .
Nếu
1
, ,
n
aa là một họ sinh của E thì
1
( ), , ( )
n

f
afa là một
họ sinh của
Im
f
.
Chứng minh:
Hiển nhiên
1
(), ,( )Im
n
f
afa f

.
Ngoài ra,
Im ( )
yf
xE
yf
x  
Vì
x
E nên
1
n
ii
i
x
a





, suy ra

1
() ( )
n
ii
i
yfx fa




.
Vậy
1
( ), , ( )
n
f
afa là một họ sinh của Im
f
.

5
NHẬN XÉT:
f
toàn ánh



Im
f
F




Thí dụ:
Cho phép biến đổi tuyến tính

33
:f 


(, ,) ( 2, , )
xy
zx
yy
zx
y
z



Tìm một cơ sở của
Im
f
.

Giải:
Vì cơ sở tự nhiên

123
(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)ee e
là 1 họ sinh của
3

nên

12 3
( ) (1,0,1), ( ) ( 2,1, 1), ( ) (0,1,1)fe fe fe
là một họ sinh của
Im
f
.
Do đó, một bộ phận độc lập tuyến tính tối đại của
12 3
( ) (1,0,1), ( ) ( 2,1, 1), ( ) (0,1,1)fe fe fe
sẽ là 1 cơ sở của
Im
f
.
Ta có:

1
2
3
() 1 0 1 101 1 01

() 21 1 011 011
()0 1 1 011 000
fe
fe
fe


 



,

suy ra một bộ phận độc lập tuyến tính tối đại của
12 3
(),( ), ()
f
efe fe là
12
(),( )
f
efe.
Đây là 1 cơ sở của
Im
f
.

 HẠNG CỦA AXTT:

Cho (, )

f
Hom E F .
Số chiều của Im
f
được gọi là hạng của f.
Ký hiệu rank( )
f
.
Tóm lại:
rank( ) dimIm
ff



b. Hạt nhân của ánh xạ tuyến tính.
Cho ánh xạ tuyến tính
(, )
f
Hom E F

.