bài giảng ánh xạ tuyến tính

ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Bài giảng điện tử
TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
Email:
TP. HCM — 2013.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 1 / 67
Nội dung
1
Ánh xạ tuyến tính: nhân và ảnh
2
Ma trận của ánh xạ tuyến tính: liên hệ tọa độ,
cơ sở và số chiều của nhân và ảnh của ánh xạ
tuyến tính.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 2 / 67
Khái niệm tổng quát Ánh xạ
Định nghĩa
Cho 2 tập hợp tùy ý E , F = ∅. Ánh xạ f giữa 2
tập E , F là 1 quy tắc sao cho với mỗi x ∈ E tồn
tại duy nhất y ∈ F sao cho y = f (x).
Định nghĩa
Ánh xạ f được gọi là đơn ánh nếu từ x
1
= x
2
⇒ f (x
1
) = f (x
2
). Ánh xạ f được gọi là toàn ánh

nếu ∀y ∈ F , ∃x ∈ E : y = f (x). Ánh xạ f được
gọi là song ánh nếu f là đơn ánh và toàn ánh.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 3 / 67
Khái niệm tổng quát Ánh xạ tuyến tính
Định nghĩa
Cho E và F là 2 K -kgv. Một ánh xạ f : E → F
được gọi là tuyến tính (hay một đồng cấu)
nếu và chỉ nếu

f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ E
f (λx) = λf (x), ∀λ ∈ K, ∀x ∈ E .
Ta ký hiệu tập hợp các ánh xạ tuyến tính từ E vào
F là L(E , F ).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 4 / 67
Khái niệm tổng quát Ví dụ
Ví dụ
Ánh xạ f : R
2
→ R
3
cho bởi ∀x = (x
1
, x
2
),
f (x) = (3x
1
− x
2
, x

1
, x
1
+ x
2
) là ánh xạ tuyến tính.
∀x = (x
1
, x
2
), y = (y
1
, y
2
) ∈ R
2
,
f(x+y) = (3(x
1
+ y
1
) − (x
2
+ y
2
),
x
1
+ y
1

, (x
1
+ y
1
) + (x
2
+ y
2
)) =
(3x
1
− x
2
, x
1
, x
1
+ x
2
) + (3y
1
− y
2
, y
1
, y
1
+ y
2
) =

f(x)+f(y).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 5 / 67
Khái niệm tổng quát Ví dụ
∀λ ∈ K , ∀x ∈ R
2
,
f (λx) = (3λx
1
− λx
2
, λx
1
, λx
1
+ λx
2
)
= λ(3x
1
− x
2
, x
1
, x
1
+ x
2
) = λf (x)
Ví dụ
Ánh xạ f : R

2
→ R
2
cho bởi ∀x = (x
1
, x
2
),
f (x) = (2x
2
1
− x
2
, x
2
) không là ánh xạ tuyến tính.
Thật vậy, f (λx) = (2(λx
1
)
2
− λx
2
, λx
2
) =
(2λ
2
x
2
1

− λx
2
, λx
2
) = λ(2x
2
1
− x
2
, x
2
), nếu λ = 1
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 6 / 67
Khái niệm tổng quát Ví dụ
Định nghĩa
Cho E là một K -kgv. Một ánh xạ f : E → E được
gọi là tự đồng cấu của E nếu và chỉ nếu f là
ánh xạ tuyến tính.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 7 / 67
Khái niệm tổng quát Nhân và ảnh
Định nghĩa
Cho 2 K -kgv E và F , f ∈ L(E , F ), khi đó
1
Ker(f ) = {x ∈ E\f (x) = 0} = f
−1
(0) là
nhân của ánh xạ f .
2
Im(f ) = {y ∈ F \∃x ∈ E , y = f (x)} = f (E )
là ảnh của ánh xạ f .

Định lý
Cho 2 K -kgv E và F , f ∈ L(E , F ), khi đó
1
Im(f ) là không gian véctơ con của F
2
Ker(f ) là không gian véctơ con của E
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 8 / 67
Khái niệm tổng quát Nhân và ảnh
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 9 / 67
Khái niệm tổng quát Nhân và ảnh
Định nghĩa
Ta gọi dim(Im(f )) là hạng của ánh xạ f , ký hiệu
rank(f ) và dim(Ker(f )) là số khuyết của f .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 10 / 67
Khái niệm tổng quát Ví dụ
Ví dụ
Cho f : P
2
(x) → R xác định bởi
f (p(x)) =
1

0
p(x)dx.
1
Tìm Ker(f )
2
Tìm dim(Ker(f ))
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 11 / 67
Khái niệm tổng quát Ví dụ

1
p(x) = ax
2
+ bx + c ∈ P
2
(x)
⇒ f (p(x)) =
1

0
(ax
2
+ bx + c)dx
=
a
3
+
b
2
+ c = 0 ⇒ c = −
a
3
−
b
2
. Vậy
Ker(f ) = {ax
2
+ bx + (−
a

3
−
b
2
) : ∀a, b ∈ R}
2
Ta có
ax
2
+ bx + (−
a
3
−
b
2
) = a(x
2
−
1
3
) + b(x −
1
2
)
và x
2
−
1
3
, x −

1
2
ĐLTT nên chúng là cơ sở của
Ker(f ) ⇒ dim(Ker(f )) = 2.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 12 / 67
Khái niệm tổng quát Ví dụ
Ví dụ
Cho f : R
4
→ R
3
xác định bởi
f (x
1
, x
2
, x
3
, x
4
) = (x
1
− x
2
, x
2
+ x
3
, x
1

+ x
3
+ 2x
4
)
1
Tìm Ker(f ), cơ sở và số chiều của nó
2
Tìm Im(f ), cơ sở và số chiều của nó
Ker(f ) = {(x
1
, x
2
, x
3
, x
4
) : x
1
− x
2
= 0, x
2
+ x
3
=
0, x
1
+ x
3

+ 2x
4
= 0}. Giải hệ phương trình này ta
được x
4
= 0, x
1
= α, x
2
= α, x
3
= −α, ∀α ∈ R.
Vậy Ker(f ) = {α(1, 1, −1, 0) : ∀α ∈ R}. Cơ sở
của Ker(f ) là (1, 1, −1, 0). Dim(Ker(f )) = 1.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 13 / 67
Khái niệm tổng quát Ví dụ
Bước 1. Chọn cơ sở của E = R
4
là
e
1
= (1, 0, 0, 0), e
2
= (0, 1, 0, 0), e
3
= (0, 0, 1, 0),
e
4
= (0, 0, 0, 1).
Bước 2. Tính f (e

1
) = (1, 0, 1),
f (e
2
) = (−1, 1, 0), f (e
3
) = (0, 1, 1),
f (e
4
) = (0, 0, 2)
Bước 3. Rõ ràng lúc này ta có
f (x
1
, x
2
, x
3
, x
4
) = f (x
1
e
1
+ x
2
e
2
+ x
3
e

3
+ x
4
e
4
) =
x
1
f (e
1
) + x
2
f (e
2
) + x
3
f (e
3
) + x
4
f (e
4
)
⇒ Im(f ) =< f (e
1
), f (e
2
), f (e
3
), f (e

4
) >
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 14 / 67
Khái niệm tổng quát Ví dụ





1 0 1
−1 1 0
0 1 1
0 0 2





→





1 0 1
0 1 1
0 0 2
0 0 0






Vậy (1, 0, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 2) là cơ sở của Im(f )
và dim(Im(f )) = 3 ⇒ Im(f ) = F = R
3
.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 15 / 67
Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính
Định lý
Cho 2 K -kgv E và F , ∀f ∈ L(E , F ), M là một họ
véctơ gồm hữu hạn phần tử của E . Khi đó
f (< M >) =< f (M) >, M = {x
1
, x
2
, . . . , x
n
} ⊂ E
1. Chứng minh f (< M >) ⊂< f (M) > . Với mọi
y ∈ f (< M >) ⇒ ∃x ∈< M >: y = f (x). Do đó
∃λ
1
, λ
2
, . . . , λ
n
∈ K : x =
n


i=1
λ
i
x
i
. Khi đó
y = f (x) = f (
n

i=1
λ
i
x
i
) =
n

i=1
λ
i
f (x
i
) ∈< f (M) > .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 16 / 67
Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính
2. Chứng minh < f (M) >⊂ f (< M >). Với mọi
y ∈< f (M) >⇒ ∃λ
1
, λ
2

, . . . , λ
n
∈ K :
y =
n

i=1
λ
i
f (x
i
) = f (
n

i=1
λ
i
x
i
) ∈ f (< M >).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 17 / 67
Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính
Hệ quả
Nếu f ∈ L(E , F ) là toàn ánh và nếu M sinh ra E
thì f (M) sinh ra F .
Thật vậy, do f là toàn ánh nên F = f (E )
= f (< M >) =< f (M) > .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 18 / 67
Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính
Định lý

Cho 2 K -kgv E và F , ∀f ∈ L(E , F ),
M = {x
1
, x
2
, . . . , x
n
} là một họ véctơ gồm hữu
hạn phần tử của E . Khi đó
1
Nếu M phụ thuộc tuyến tính thì f (M) phụ
thuộc tuyến tính
2
Nếu f (M) độc lập tuyến tính thì M độc lập
tuyến tính.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 19 / 67
Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính
Chứng minh.
1. Nếu M PTTT thì
∃(λ
1
, λ
2
, . . . , λ
n
) = (0, 0, . . . , 0) sao cho
n

i=1
λ

i
x
i
= 0. Khi đó
f (
n

i=1
λ
i
x
i
) = f (0) = 0 =
n

i=1
λ
i
f (x
i
)
⇒ f (M) PTTT.
2. Chứng minh rằng, nếu f (M) độc lập tuyến tính
thì M độc lập tuyến tính. Giả sử M PTTT thì
f (M) PTTT trái với giả thiết f (M) ĐLTT.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 20 / 67
Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính
Định lý
Cho 2 K -kgv E và F , ∀f ∈ L(E , F ),
M = {x

1
, x
2
, . . . , x
n
} là một họ véctơ gồm hữu
hạn phần tử của E . Nếu f là đơn ánh và M độc
lập tuyến tính thì f (M) độc lập tuyến tính.
Chứng minh. Giả sử
n

i=1
λ
i
f (x
i
) = 0
⇒ f (
n

i=1
λ
i
x
i
) = 0 = f (0). Do f là đơn ánh nên
n

i=1
λ

i
x
i
= 0 mà M ĐLTT nên λ
i
= 0, i = 1 n. 
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 21 / 67
Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính
Định lý
Cho 2 K -kgv hữu hạn chiều E và F ,
∀f ∈ L(E , F ). Khi đó nếu f là song ánh thì với
mọi cơ sở B của E ta có f (B) cũng là cơ sở của F .
Chứng minh.
Ta có f là song ánh=toàn ánh+đơn ánh. Vì f là
toàn ánh, B sinh ra E nên f (B) là tập sinh của F .
Vì f là đơn ánh, B ĐLTT nên f (B) ĐLTT. Vậy
f (B) là cơ sở của F .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 22 / 67
Khái niệm tổng quát Ví dụ
Ví dụ
Cho ánh xạ tuyến tính f : R
3
→ R
3
xác định bởi
f (1, 0, 0) = (1, 1, 1), f (−1, 1, 0) = (−2, −1, 0),
f (0, −1, 1) = (2, 1, 3).
Xác định f (x
1
, x

2
, x
3
).
3 véctơ (1, 0, 0), (−1, 1, 0), (0, −1, 1) là cơ sở của
R
3
nên
(x
1
, x
2
, x
3
) = α(1, 0, 0) + β(−1, 1, 0) + γ(0, −1, 1)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 23 / 67
Khái niệm tổng quát Ví dụ
⇔



α −β = x
1
β −γ = x
2
γ = x
3
⇔




α = x
1
+ x
2
+ x
3
β = x
2
+ x
3
γ = x
3
Vậy f (x
1
, x
2
, x
3
) =
αf (1, 0, 0) + βf (−1, 1, 0) + γf (0, −1, 1) =
(x
1
+ x
2
+ x
3
)(1, 1, 1) + (x
2
+ x

3
)(−2, −1, 0) +
x
3
(2, 1, 3) = (x
1
− x
2
+ x
3
, x
1
+ x
3
, x
1
+ x
2
+ 4x
3
)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 24 / 67
Khái niệm tổng quát Ví dụ
Ví dụ
Cho ánh xạ tuyến tính f : R
3
→ R
3
xác định bởi
f (1, 0, 0) = (1, 1, 1), f (−1, 1, 0) = (−2, −1, 0),

f (0, −1, 1) = (2, 1, 3).
Tìm cơ sở và số chiều của Ker(f ).
∀x ∈ Ker(f ) ⇔ f (x) = 0
⇔



x
1
− x
2
+ x
3
= 0
x
1
+ x
3
= 0
x
1
+ x
2
+ 4x
3
= 0
⇔ x
1
= x
2

= x
3
= 0
Ker(f ) = {0}. Dim(Ker(f )) = 0.  cơ sở Ker(f ).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 25 / 67