Giáo trình phân tích cấu tạo lý thuyết trường và phương thức sử dụng toán tử divergence p1 pdf

Chơng 6. Lý Thuyết Trờng
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 105
Nếu F là trờng chất lỏng thì thông lợng chính là lợng
chất lỏng đi qua mặt cong S theo hớng pháp vectơ n
trong một đơn vị thời gian.

Cho trờng vectơ (D, F ) với F = {X, Y, Z}. Trờng vô hớng
div F =
z
Z
y
Y
x
X


+


+


(6.4.2)
gọi là
divergence
(nguồn) của trờng vectơ
F
.

Ví dụ Cho trờng vectơ
F

= {xy, yz, zx} và điểm A(1, 1, -1)
Ta có
div
F
= y + z + x và div
F
(A) = 1 + 1 - 1 = 2

Định lý
Cho
F
,
G
là các trờng vectơ và u là trờng vô hớng. Divergence có các tính
chất sau đây.
1. div (
F
+
G
) = div
F
+ div
G

2. div (u
F
) = u div
F
+ <
grad

u,
F
>
Chứng minh
Suy ra từ định nghĩa (6.4.2) và các tính chất của đạo hàm riêng.



Giả sử là miền đóng nằm gọn trong miền D và có biên là mặt cong kín S trơn từng
mảnh, định hớng theo pháp vectơ ngoài
n
. Khi đó công thức Ostrogradski đợc viết lại
ở dạng vectơ nh sau.


><
S
dS, nF
=


dVdivF
(6.4.3)
Chọn là hình cầu đóng tâm A, bán kính . Từ công thức (6.4.3) và định lý về trị trung
bình của tích phân bội ba suy ra.
div F(A) =

><

S

0
dS,
V
1
lim nF (6.4.4)
Theo công thức trên, nguồn của trờng vectơ F tại điểm A là lợng chất lỏng đi ra từ
điểm A theo hớng của trờng vectơ F.

Cho trờng vectơ (D, F ) và điểm A D. Nếu div F(A) > 0 thì điểm A gọi là điểm
nguồn. Nếu div F(A) < 0 thì điểm A gọi là điểm thủng.

Ví dụ Cho trờng vectơ F = {xy, yz, zx}
Ta có div F = y + z + x
div F(1, 0, 0) = 1 > 0 điểm (1, 0, 0) là điểm nguồn
div F(-1, 0, 0) = -1 < 0 điểm (-1, 0, 0) là điểm thủng


n

S

Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a

n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P

D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c

k
.
c
o
m
Giỏo trỡnh phõn tớch cu to lý thuyt
trng v phng thc s dng
toỏn t divergence
.
Chơng 6. Lý Thuyết Trờng
Trang 106 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
Đ5. Hoàn lu

Cho trờng vectơ (D, F ) và đờng cong kín, trơn từng khúc, nằm gọn trong miền D,
định hớng theo vectơ tiếp xúc T. Tích phân đờng loại hai
K =


>< ds, TF
=


++ ZdzYdyXdx
(3.5.1)
gọi là
hoàn lu
của trờng vectơ F dọc theo đờng cong kín .
Nếu F là trờng chất lỏng thì hoàn lu là công
dịch chuyển một đơn vị khối lợng chất lỏng dọc
theo đờng cong theo hớng vectơ T.

Cho trờng vectơ (D, F ) với F = {X, Y, Z}. Trờng vectơ
rot F =













z
Y
y
Z
i +

x
Z
z
X
j
+













y
X
x
Y
k
(6.5.2)
gọi là
rotation
(xoáy) của trờng vectơ

F
.

Ví dụ Cho trờng vectơ
F
= {xy, yz, zx} và điểm A(1, 0, -1)
Ta có

rot

F
= {z, x, y} và
rot

F
(A) = {-1, 1, 0}

Định lý
Cho
F
,
G
là các trờng vectơ và u là trờng vô hớng. Rotation có các tính chất
sau đây.
1.
rot
(
F
+
G

) =
rot

F
+
rot

G

2.
rot
(u
F
) = u
rot

F
+ [
grad
u,
F
]
Chứng minh
Suy ra từ định nghĩa (6.5.2) và các tính chất của đạo hàm riêng.



Giả sử S là mặt cong trơn từng mảnh, nằm gọn trong miền D, định hớng theo pháp
vectơ
n

và có biên là đờng cong kín trơn từng khúc, định hớng theo vectơ tiếp xúc
T

phù hợp với hớng pháp vectơ
n
. Khi đó công thức Stokes viết lại ở dạng vectơ nh sau.



>< ds,
TF
=

><
S
dS,
nrotF
(6.5.3)
Chọn S là nửa mặt cầu tâm A, bán kính . Từ công thức (6.5.3) và định lý về trị trung
bình của tích phân mặt loại hai suy ra.
<
rot

F
,
n
>(A) =

>< ds,
S
1
lim
0
TF
(6.5.4)
Theo công thức trên, cờng độ của trờng vectơ
rot

F
theo hớng pháp vectơ
n
tại điểm
A là công tự quay của điểm A theo hớng trục quay
n
.



Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n

g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D

F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k

.
c
o
m
.
Chơng 6. Lý Thuyết Trờng
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 107
Cho trờng vectơ (D, F ) và điểm A D. Nếu < rot F, n >(A) > 0 thì điểm A gọi là
điểm xoáy thuận. Nếu < rot F, n >(A) < 0 thì điểm A gọi là điểm xoáy nghịch.

Ví dụ Cho trờng vectơ F = {xy, yz, zx} và n = {x, y, z}
Ta có rot F = {z, x, y} và < rot F, n > = zx + xy + yz
< rot F, n > (1, 0, 1) = 1 > 0 điểm (1, 0, 1) là điểm xoáy thuận
< rot F, n > (1, 0, -1) = -1 < 0 điểm (1, 0, -1) là điểm xoáy nghịch

Định lý Cho trờng vectơ <D, F > và điểm A D.
1. Max | < rot F, n >(A) | = | rot F(A) | đạt đợc khi và chỉ khi n // rot F
2. Min | < rot F, n >(A) | = 0 đạt đợc khi và chỉ khi n rot F
Chứng minh
Suy ra từ tính chất của tích vô hớng.

Theo kết quả trên thì cờng độ xoáy có trị tuyệt đối lớn nhất theo hớng đồng phơng
với vectơ rot F và có trị tuyệt đối bé nhất theo hớng vuông góc với vectơ rot F.




Đ6. Toán tử Hamilton

Vectơ tợng trng

=
x

i
+
y

j
+
z

k
(6.6.1)
với
x

,
y

và
z

tơng ứng là phép lấy đạo hàm riêng theo các biến x, y, và z gọi là
toán tử Hamilton
.

Tác động toán tử Hamilton một lần chúng ta nhận đợc các trờng
grad
, div và
rot

đ
nói ở các mục trên nh sau.
1. Tích của vectơ với trờng vô hớng u là trờng vectơ
grad
u
u = (
x

i
+
y

j
+
z

k
)u =
x
u


i
+
y
u


j
+

z
u


k
(6.6.2)
2. Tích vô hớng của vectơ với trờng vectơ
F
là trờng vô hớng div
F

F
= (
x

i
+
y

j
+
z

k
)(X
i
+ Y
j
+ Z
k

) =
x
X


+
y
Y


+
z
Z


(6.6.3)
3. Tích có hớng của vectơ với trờng vectơ
F
là trờng vectơ
rot

F
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h

a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!

P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a

c
k
.
c
o
m
.
Chơng 6. Lý Thuyết Trờng
Trang 108 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
ìF = (
x

i
+
y

j
+
z

k
) ì (X
i
+ Y
j
+ Z
k
)
=

z
Y
y
Z
i
+











x

Z
z
X
j
+













y
X
x
Y
k
(6.6.4)

Tác động toán tử Hamilton hai lần chúng ta nhận đợc các toán tử vi phân cấp hai.
4. Với mọi trờng vô hớng (D, u) thuộc lớp C
2
div (
grad

u) = div (
x
u


i
+
y
u


j
+
z
u


k
) =
2
2
x
u


+
2
2
y
u

+
2
2
z
u


= u (6.6.5)
Toán tử
=
2
2
x


i
+
2
2
y

j
+
2
2
z

k

gọi là
toán tử Laplace
.
Tức là u = div (
grad
u) = (u) =
2
u
5. Với mọi trờng vô hớng (D, u) thuộc lớp C
2

rot
(
grad
u) =
rot
(
x
u


i
+
y
u


j

+
z
u


k
) = 0 (6.6.6)
Tức là
rot
(
grad
u) = ìu = 0
6. Với mọi trờng vectơ (D,
F
) thuộc lớp C
2
div (
rot

F
) = div

z
Y
y
Z
i
+











x
Z
z
X
j
+

k
y
X
x
Y
= 0 (6.6.7)
Tức là div (
rot

F
) = ( ì
F
) = 0
7. Với mọi trờng vectơ (D,

F
) thuộc lớp C
2

rot
(
rot

F
) =
rot

















z
Y

y
Z
i
+











x
Z
z
X
j
+

k
y
X
x
Y

=
grad
(div
F
) -
F
(6.6.8)




Đ7. Trờng thế

Trờng vectơ (D,
F
) với
F

= {X, Y, Z} gọi là
trờng thế
nếu có trờng vô hớng
(D, u) sao cho
F
=
grad
u. Tức là
X =
x
u


Y =
y
u


Z =
z
u


(6.7.1)
Hàm u gọi là
hàm thế vị
của trờng vectơ
F
.
Click to buy NOW!

P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a

c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d

o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
.
Chơng 6. Lý Thuyết Trờng
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 109
Từ định nghĩa suy ra nếu trờng vectơ F là trờng thế thì
rot F = rot (grad u) = 0 (6.7.2)
Chúng ta sẽ chứng minh rằng điều ngợc lại cũng đúng.

Định lý Trờng vectơ (D, F ) là trờng thế khi và chỉ khi rot F = 0
Chứng minh
Điều kiện cần suy ra từ công thức (6.7.2). Chúng ta chứng minh điều kiện đủ
Giả sử rot F = 0
Khi đó với mọi đờng cong kín, trơn từng khúc và nằm gọn trong miền D.



++ ZdzYdyXdx
=

><
S
dS, nFrot
= 0
với S là mặt cong trơn từng mảnh, nằm gọn trong miền D và có biên định hớng theo
pháp vectơ n là đờng cong .
Suy ra với mọi A, M D tích phân


++
AM
ZdzYdyXdx

không phụ thuộc vào đờng lấy tích phân.
Cố định điểm A D và đặt
u(M) =

++
AM
ZdzYdyXdx
với M D
Do các hàm X, Y, Z có đạo hàm riêng liên tục nên hàm u có đạo hàm riêng liên tục trên
miền D. Kiểm tra trực tiếp ta có
grad u = F
Từ đó suy ra trờng vectơ F là trờng thế và hàm u là hàm thế vị của nó.



Từ các kết quả ở trên suy ra ý nghĩa cơ học của trờng thế nh sau.

1. Trong trờng thế không có điểm xoáy
rot F = 0
2. Hoàn lu dọc theo đờng cong kín nằm gọn trong miền D luôn bằng không.
K =


>< ds, TF
=

><
S
dS, nFrot
= 0 (6.7.3)
3. Công dịch chuyển bằng thế vị điểm cuối trừ đi thế vị điểm đầu.


><
MN
ds,TF
=

++
MN
ZdzYdyXdx
=

MN
du
= u(N) - u(M) (6.7.4)

u(N)

u(M)

Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w

w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V

i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
.