NGHIÊN CỨU, THIẾT KẾ CHẾ TẠO MÁY KHẢO NGHIỆM MA SÁT, HAO MÒN, BÔI TRƠN DÙNG TRONG NGÀNH KỸ THUẬT TÀU THỦY

- 0 -













LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình của riêng tôi
Kết quả nghiên cứu nêu trong đề tài luận văn này là trung thực
Chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

- 1 -
MỤC LỤC

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT 4
DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU 5
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ 6
ĐẶT VẤN ĐỀ 9
Chương 1: NHỮNG KHÁI NIỆM VỀ MA SÁT, HAO MÒN, BÔI TRƠN. 12
1.1. Ma sát: [5] 12
1.1.1. Khái niệm và phân loại ma sát 12
1.1.2. Các thuyết cơ học về ma sát ngoài 12
1.1.3. Các thuyết phân tử về ma sát ngoài 16

1.1.4. Thuyết năng lượng về ma sát 20
1.1.5. Thuyết ma sát dựa trên các cơ chế mòn diễn ra trên bề mặt tiếp xúc 21
1.2. Khái niệm và phân loại hao mòn [5] 25
1.2.1. Khái niệm hao mòn 25
1.2.2. Phân loại hao mòn 26
1.2.3. Các dạng hao mòn 27
1.3. Bôi trơn ma sát trong điều kiện bôi trơn ướtt khác nhau [6] 31
1.3.1. Khái niệm và phân loại 31
1.3.2. Bôi trơn trong điều kiện ma sát giới hạn R  1 32
1.3.3. Bôi trơn ướt hoàn toàn 5  R  100 32
1.3.4. Bôi trơn trong trường hợp ma sát thuỷ động đàn hồi 1

R

10 33
1.3.5. Bôi trơn điều kiện ma sát hỗn hợp R  5 33
1.3.6. Các yếu tố ảnh hưởng chính đến trạng thái ma sát và bôi trơn 33
1.4. Nhận xét 37
Chương 2: PHƯƠNG PHÁP THỰC NGHIỆM VÀ THIẾT BỊ THÔNG
DỤNG ĐỂ XÁC ĐỊNH HỆ SỐ MA SÁT 39
2.1. Các phương pháp mô phỏng tiếp xúc cặp ma sát của các máy khảo nghiệm
ma sát và tính chất tribology của vật liệu bôi trơn [5, 6] 39
2.1.1. Một số sơ đồ phương pháp đơn giản để xác định giá trị của hệ số ma sát 40
2.1.2. Phương pháp giao thoa ánh sáng 41
2.2. Các tiêu chuẩn khảo nghiệm quy định của ASTM 43
- 2 -
2.3. Các phương pháp và tiêu chuẩn khảo nghiệm xác định hệ số ma sát 44
2.4. Thiết bị thông dụng để khảo nghiệm ma sát, mòn, bôi trơn 47
2.4.1. Máy 4 bi 47
2.4.2. Máy Timken 48

2.4.3. Máy đo lực ma sát KE – 1 49
2.4.4. Máy khảo nghiệm độ mòn TE97 49
2.4.5. Máy thử nghiệm mài mòn ma sát vạn năng model E53SLIM 50
2.4.6. Máy khảo nghiệm ma sát mòn EFM-III-1010 50
2.4.7. Máy đo ma sát – mòn của mẫu thử với các môi trường khác nhau 51
2.4.8. Máy khảo nghiệm theo tiêu chuẩn ASTM-G77 52
2.5. Phương tiện nghiên cứu ma sát, hao mòn, bôi trơn tại Đại học Nha Trang52
2.5.1. Máy khảo nghiêm ma sát MS –TS2 52
2.5.2. Máy khảo nghiêm ma sát MS –TS1 53
2.6. Nhận xét 54
2.7. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 55
2.7.1. Mục đích nghiên cứu 55
2.7.2. Nhiệm vụ nghiên cứu 55
Chương 3: NGHIÊN CỨU THIẾT KẾ CHẾ TẠO VÀ THỬ NGHIỆM
MÁY 56
3.1. Chọn phương án thiết kế 56
3.2. Xác định các yêu cầu kỹ thuật 56
3.3. Xây dựng sơ đồ nguyên lý hoạt động của máy 57
3.3.1. Cấu tạo máy khảo nghiệm ma sát 58
3.3.2. Nguyên lý hoạt động 59
3.4. Thiết kế, chế tạo chi tiết máy [1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13] 59
3.4.1. Tính toán chọn động cơ 59
3.4.2. Tính toán bộ truyền đai 60
3.4.3. Tính toán các chi tiết máy 62
3.5. Thiết kế chế tạo bộ điều khiển điện tử [5, 7, 8, 9, 14, 15, 16, 17, 18]… 74
3.5.1. Sơ đồ khối và chức năng hoạt động của hệ thống 74
3.5.2. Nguyên lý hoạt động của hệ thống điều khiển: 74
3.5.3. Thiết bị: 75
- 3 -
3.5.4. Phương pháp xử lý số liệu [5] 82

3.5.5. Thuật toán điều khiển 86
Chương 4: KẾT QUẢ VÀ BÀN LUẬN 90
4.1. Bản vẽ thiết kế máy 90
4.2. Phần cứng và chương trình điều khiển máy 90
4.2.1. Phần cứng 90
4.2.2. Chương trình điều kiển 94
4.3. Thiết bị khảo nghiệm ma sát 99
4.3.1. Thông số kỹ thuật máy….……………………………………………… 99
4.3.2. Máy khảo nghiệm ma sát…………………………………………… 100
4.4. Kết quả thử nghiệm máy 102
4.4.1. Thử nghiệm đo ma sát ……………………………………………………102
4.4.2. Kết quả đo hệ số ma sát …………………………………………… 105
KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT 104
TÀI LIỆU THAM KHẢO 107
PHỤ LỤC 1
PHỤ LUC 2


- 4 -
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
AC: Dòng điện xoay chiều
ASTM: Tiêu chuẩn thử nghiệm
ATMega32: Vi điều khiển
AVR: Họ vi điều khiển của hãng Atmel
CT: Chi tiết
DC: Dòng điện một chiều
Encoder: Cảm biến quang
GNU : Phần mềm hỗ trợ lập trình
IC (DS18B20): Cảm biến nhiệt độ
Loadcell: Cảm biến đo lực

MCU: Bộ điều khiển trung tâm
OECD: Tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế
PC: Máy tính
PID: Thuật toán
PIC: Họ vi điều khiển của hãng Microchip
- 5 -
DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU
Bảng 1.1: Bảng 1.1: Phân loại mòn dựa trên các thông số đặc trưng
Bảng 2.1: Các thiết bị khảo nghiệm các tính chất tribology và các tiêu chuẩn quy định
của ASTM cho các phân tích
Bảng 2.2: Hệ số ma sát của kim loại trượt trên kim loại ứng với các phương pháp điều
kiện khảo nghiệm khác nhau (môi trường không khí nhiệt độ trong phòng)
Bảng 3.1: Kết quả thực nghiệm về hệ số ma sát của cao su trên nền cứng với các mẫu
thử khác nhau
Bảng 3.2: Giá trị của các đại lượng đặc trưng cho kết quả thực nghiệm đối với ma sát
của cao su trên nền cứng.
Bảng 4.1: Hệ số ma sát của kim loại trượt trên kim loại theo tiêu chuẩn BOR (môi
trường không khí nhiệt độ trong phòng)
Bảng 4.2: Phiếu phân tích kết quả thành phần của thép
- 6 -
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
Hình 1.1: Phân loại các dạng ma sát
Hình 1.2: Thí nghiệm để xác định hệ số
Hình 1.3: Sự tiếp xúc giữa hai bề mặt nhám và mô hình tiếp xúc trực tiếp giữa hai
đỉnh mấp mô.
Hình 1.4: Mô hình của Bowden để tính và giải thích lực ma sát khô
Hình 1.5: Sự lún sâu và dồn nén kim loại khi dịch chuyển các
Hình 1.6: Mô hình của Tomlinson về
lực tương giữa các phân tử
Hình 1.7: Mô hình của Tomlinson về sự cân bằng giữa áp lực pháp tuyến và lực đẩy

Hình 1.8: Mô hình nguyên lý tác dụng giữa các nguyên tử tại vùng ma sát của
Deriagin
Hình 1.9: Các thành phần lực tác dụng tại vùng tiếp xúc ma sát theo Deriagin
Hình 1.10: Các trạng thái biến đổi bề mặt gây tổn hao năng lượng
Hình 1.11: Tiếp xúc tập trung và phân bố ứng suất tại vùng tiếp xúc, nguyên nhân tạo
hao mòn do mỏi.
Hình 1.12: Cách thức hình thành các dạng xói mòn
Hình 1.13: Mô hình lớp bôi trơn giới hạn
Hình 1.14: Mô hình đơn giản của lớp dầu bôi trơn khi bôi trơn ướt.
Hình 1.15: Sự hình thành áp suất thủy động giữa hai bề mặt trượt có hình dạng khác
nhau
Hình 1.16: Ảnh hưởng giữa các thông số p, v, η đến độ dày lớp dầu bôi trơn
Hình 1.17: Sơ đồ phân loại tính lưu biến các lại chất lỏng
Hình 1.18: Mô phỏng chất lỏng chảy lớp và định nghĩa độ nhớt động lực học
Hình 1.19: Đường cong chảy của các chất lỏng khác nhau
Hình 2.1: Các phương án mô phỏng tiếp xúc cặp ma sát của các máy khảo nghiệm ma
sát và tính chất tribology của vật liệu bôi trơn
Hình 2.2: Sơ đồ minh họa một số thiết bị đơn giản thường được sử dụng để xác định
hệ số ma sát
Hình 2.3: Sơ đồ của thiết bị để đo bề dày màng bôi trơn thủy động đàn hôi bằng giao
thoa ánh sáng.
- 7 -
Hình 2.4: Hình ảnh vân giao thoa của độ dày màng dầu bôi trơn tại tiếp xúc trượt của
CaF
2
và thép
Hình 2.5: Máy 4 bi dùng để nghiên cứu ma sát giới hạn
Hình 2.6: Sơ đồ của máy Tim ken.
Hình 2.7: Máy đo lực ma sát KE - 1
Hình 2.8: máy khảo nghiệm độ mòn TE97

Hình 2.9: máy khảo mài mòn ma sát vạn năng TE97
Hình 2.10: Các dạng tiếp xúc
Hình 2.11: Máy khảo nghiệm ma sát mòn EFM-III-1010
Hình 2.12: Máy đo ma sát – mòn của mẫu thử với các môi trường khác nhau
Hình 2.13: Sơ đồ minh họa cấu tạo và nguyên lý làm việc của thiết bị khảo nghiệm ma
sát có sử dụng các cảm biến đo lực tác dụng và lực ma sát đồng thời
Hình 2.14: thiết bị khảo nghiệm ma sát MS –TS2.
Hình 2.15: Sơ đồ nguyên lý làm việc của máy MS –TS1.
Hình 3.1: Sơ cấu tạo, nguyên lý hoạt động của máy khảo nghiệm ma sát
Hình 3.2: Sơ đồ khối hệ thống điều khiển máy khảo nghiệm ma sát
Hình 3.3: Sơ đồ chân và sơ đồ đóng gói của vi điều khiển Atmega32
Hình 3.4: Sơ đồ cấu trúc của vi điều khiển Atmega32
Hình 3.5: Hình dạng bên ngoài cảm biến DS18B20
Hình 3.6: Cấu tạo của DS18B20
Hình 3.7: Cấu tạo của Encoder tương đối
Hình 3.8: Cấu tạo và hình dáng của mắt phát, mắt thu
Hình 3.9: Mạch cầu điện trở cân bằng Wheatstone
Hình 3.10: Một số Loadcell thực tế
Hình 3.11: Loadcell đo lực uốn
Hình 3.12: Sơ đồ mạch khuếch đại vi sai
Hình 3.13: Sơ đồ khối bộ điều khiển PID
Hình 3.14: Đáp ứng tốc độ khi không có phản hồi
Hình 3.15: Đáp ứng tốc độ khi Kp#0
Hình 3.16: Đáp ứng tốc độ khi Kp, Ki, Kd # 0
Hình 3.1: Thay đổi Kp (Ki và Kd không đổi).
Hình 3.18: Thay đổi Ki (Kp và Kd không đổi).
- 8 -
Hình 3.19: Thay đổi Kd (Kp và Ki không đổi)
Hình 4.1:Sơ đồ khối hệ thống điều khiển
Hình 4.2: Nguồn 5VDC

Hình 4.3: Nguồn ±12VDC
Hình 4.4: MCU
Hình 4.5: Mạch cách ly và công suất
Hình 4.6: Mạch in MCU và cách ly
Hình 4.7: Linh kiện trên mạch in MCU và cách ly
Hình 4.8: Mạch nguyên lý khuếch đại tín hiệu vi sai.
Hình 4.9: Mạch in khuếch đại tín hiệu vi sai.
Hình 4.10: Linh kiện trên mạch in khuếch đại tín hiệu vi sai.
Hình 4.11: Dao diện điều khiển
Hình 4.12: Số liệu xử lý theo chương trình và tự động lưu trữ
Hình 4.13: Máy thử nghiệm ma sát
Hình 4.14: Máy thử nghiệm ma sát
Hình 4.15: Kết quả đo lần 1
Hình 4.16: Kết quả đo lần 2
Hình 4.17: Kết quả đo lần 3
- 9 -
ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong các vấn đề chung liên quan đến độ tin cậy, tuổi thọ của máy thì vấn đề
Ma sát, mòn, bôi trơn (Tribology) có vai trò quan trọng. Nó quyết định đến trên 95%
độ tin cậy và tuổi thọ của máy và thiết bị, phần lớn máy móc bị hỏng không phải do
gãy mà do mòn và do hư hỏng bề mặt ma sát trong các mối liên kết động. Phục hồi
máy móc phải tốn phí nhiều tiền của, vật tư, hàng chục vạn công nhân phải tham gia
công việc này, hàng vạn máy công cụ được sử dụng trong các phân xưởng sửa chữa.
Theo một số nhà nghiên cứu có uy tín trên Thế giới, hàng năm ma sát đã lấy đi
của loài người 30 - 35% năng lượng được sản xuất ra [5]. Cũng phải nói thêm rằng,
hàng năm trên Thế giới hàng trăm ngàn các máy móc thiết bị loại ra khỏi dây chuyền
sản xuất do hậu quả của hao mòn. Từ đó ta thấy việc nghiên cứu Tribology và ứng
dụng những kết quả nghiên cứu vào sản xuất có ý nghĩa kinh tế đến nhường nào, nhất
là đối với đất nước ta khi mà trình độ khoa học kỹ thuật nói chung cũng như trình độ
về sử dụng các thiết

bị và máy móc còn nhiều hạn chế nếu như không nói là ở trình độ
thấp
a. Ngoài nước
Trên thế giới, ở các nước công nghiệp phát triển như Mỹ, Anh, Pháp, Nhật, các
nước Tây Âu, Bắc Âu… Kỹ thuật ma sát được hết sức coi trọng từ quan điểm tiết kiệm
về vật liệu và nhân lực, vì vậy thu hút được sự quan tâm của các nhà thiết kế công
nghiệp, người sử dụng và các nhà khoa học. Nhiều giải pháp đã được nghiên cứu và
ứng dụng nhằm nâng cao tuổi thọ của máy móc song giá thành sản phẩm của các thiết
bị nghiên cứu còn quá cao, chưa phù hợp với thị trường ở nước ta tại thời điểm này.
Mặt khác các kết quả nghiên cứu và công nghệ ngày nay thường được giấu, mà chỉ
bán công nghệ mới chuyển giao công nghệ.
b.Trong nước
Từ thập niên 90 của thế kỷ 20 các nhà khoa học của trường đại học Bách khoa
Hà Nội, sau đó là Trường đại học Nha Trang đứng đầu là PGS.TS Quách Đình Liên,
PGS.TS Dương Đình Đối, PGS.TS Nguyễn Văn Ba đã nghiên cứu sáng chế thành
công một số máy khảo nghiệm ma sát, bước đầu đã đạt được nhiều thành công đáng
trân trọng, ứng dụng trong việc giảng dạy, nghiên cứu.
Tuy nhiên do máy được chế tạo từ những năm 90 của thế kỷ trước đã quá cũ mà
các cơ cấu chính của máy và thiết bị đo được chế tạo bằng các cơ cấu cơ khí nên độ tin
- 10 -
cậy chưa cao, vì vậy việc lấy được số liệu chính xác của cặp ma sát nghiên cứu đã và
đang gặp nhiều khó khăn.
Như chúng ta đã biết, tiến bộ không ngừng của các ngành khoa học kỹ thuật nói
chung và ngành Cơ khí, Điện tử, Tin học (Cơ điện tử) nói riêng đang trên đà phát triển
mạnh mẽ. Đã và đang được ứng dụng ít nhiều vào hầu hết các lĩnh vực hoạt động của
xã hội. Đến nay ngành (cơ điện tử) là một ngành khó có thể thiếu được trong xã hội.
Các thiết bị, máy móc do ngành cơ điện tử tạo ra đã trở nên quen thuộc với đời sống
của chúng ta.
Thiết kế, chế tạo thành công máy khảo nghiệm ma sát mòn bôi trơn, nhằm mục
đích phục vụ cho việc giảng dạy, nghiên cứu và ứng dụng, giúp cho các nhà thiết kế,

chế tạo chọn đúng vật liệu cho các cặp ma sát và vật liệu bôi trơn tương ứng. Góp
phần nâng cao chất lượng đào tạo và nghiên cứu, cũng như nâng cao tuổi thọ của máy
móc giảm giá thành sản phẩm.
Với các yêu cầu cấp thiết có cơ sở khoa học và thực tiễn trên, chúng tôi chọn
nghiên cứu đề tài:
“NGHIÊN CỨU, THIẾT KẾ CHẾ TẠO MÁY KHẢO NGHIỆM MA
SÁT, HAO MÒN, BÔI TRƠN DÙNG TRONG NGÀNH KỸ THUẬT TÀU THỦY”.
Hy vọng kết quả nghiên cứu của đề tài sẽ góp phần tạo ra phương tiện nghiên
cứu khảo nghiệm về các đặc trưng ma sát đáp ứng được các yêu cầu kỹ thuật đề ra, có
thể sử dụng một cách tin cậy trong nghiên cứu phối hợp các tính chất của vật liệu kỹ
thuật trang bị trên tàu thuỷ nói riêng và máy móc nói chung, thực hiện chương trình
công nghiệp hoá - hiện đại hoá do Đảng ta phát động. Đồng thời chúng tôi cũng hy
vọng, thiết bị này sẽ đóng góp tích cực cho công tác đào tạo và nghiên cứu khoa học
của nhà trường trong lĩnh vực vật liệu và công nghệ vật liệu mới.
Do tính đa dạng của vấn đề, trong khả năng và điều kiện cho phép chúng tôi chỉ
tập trung vào nghiên cứu thiết kế và chế tạo máy khảo nghiệm ma sát dạng tiếp xúc
mặt và tiếp xúc điểm. với các nội dung chính như sau:
1. Nghiên cứu các kết quả nghiên cứu được công bố ở Việt nam và thế giới.
2. Xác định các yêu cầu kỹ thuậy của máy.
3. Xây dựng sơ đồ động học.
4. Thiết kế chế tạo máy và thử nghiệm máy.
- 11 -
Cho phép tôi trân trọng cảm ơn NGND, PGS. TS Quách Đình Liên đã hướng
dẫn khoa học và tài trợ kinh phí cũng như tạo mọi điều kiện thuận lợi cho việc thực
hiện thành công đề tài luận văn.
Trong quá trình thực hiện đề tài luận văn chúng tôi đã nhận được sự giúp đỡ quí
báu của các bạn đồng nghiệp. Giảng viên Trần Văn Hùng Bộ môn cơ điện tử, Xưởng
thực tập cơ khí, Bộ môn cơ học vật liệu, một số Cán bộ Giảng viên Khoa Cơ khí và
Khoa Kỹ thuật tàu thủy.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành trước sự giúp đỡ chân tình vô cùng quí báu

đó.
Nha Trang, tháng 10 năm 2009
Phan Quang Nhữ
- 12 -
CHƯƠNG 1: NHỮNG KHÁI NIỆM VỀ MA SÁT, HAO MÒN, BÔI TRƠN
1.1. Ma sát: [5]
1.1.1. Khái niệm và phân loại ma sát
Ma sát là khái niệm về các hiện tượng tương tác diễn ra ở khu vực tiếp xúc có
chuyển dịch tương đối giữa các bề mặt của vật thể, dưới tác dụng của lực, kết quả cuả
nó là sự cản trở xu hướng chuyển động của các vật thể.
Thước đo độ lớn của ma sát là lực cản tiếp tuyến với phương chuyển động của
vật thể. Trong trường hợp giữa hai bề mặt tiếp xúc có dịch chuyển tương đối ta có ma
sát động và nếu như vận tốc tương đối giữa 2 bề mặt bằng không ta có ma sát tĩnh. Do
đặc tính tiếp xúc, chuyển động và sự có mặt hay không của môi trường bôi trơn người
ta phân ma sát thành các loại như được trình bày trên (hình 1.1).













1.1.2. Các thuyết cơ học về ma sát ngoài
1.1.2.1. Thuyết Coulomb

Cuối thế kỷ 18 Coulomb đưa ra định luật ma sát khô, được biểu diễn bởi đẳng thức:
T = N + A (1.1)
Trong công thức trên A là phần hiệu đính của công thức Amontons. Nó biểu
diễn một phần lực cản ma sát, phụ thuộc vào tác dụng giữa các phân tử của các bề mặt
tiếp xúc. Coulomb cho rằng A là một hằng số đối với mặt phẳng và không phụ thuộc
vào giá trị của áp lực N cũng như tính chất bề mặt tiếp xúc.
Hình 1.1: Phân loại các dạng ma sát
MA SÁT KHÔNG CÓ LỢI

CÓ LỢI
Theo dạng tiếp
xúc
Theo dạng chuyển
động
Theo tính chất
Chuyển động
Ma sát khô Ma sát tĩnh Ma sát trượt
Ma sát ướt
Ma sát giới hạn
Ma sát hỗn hợp
Ma sát lăn
Ma sát lăn-trượt
Ma sát động
- 13 -
Từ những giả thuyết trên người ta đã đưa ra 3 định luật về ma sát:
- Định luật thứ nhất: Lực ma sát có giá trị tỉ lệ với áp lực pháp tuyến.
- Định luật thứ hai: Lực ma sát không phụ thuộc vào diện tích tiếp xúc.
- Định luật thứ ba: lực ma sát động không phụ thuộc vào vận tốc tượt.
1.1.2.2. Thuyết của Bowden
Lý thuyết xây dựng trên cơ sở phân tích đến đặc tính dẻo của các biến dạng trên

bề mặt tiếp xúc thực tế của vật rắn. Nó được thiết lập nhờ các thực nghiệm các mối
ghép kim loại và được tiến hành trên thiết bị có tên nhà bác học - thiết bị Bowden -
Leben. Trên cơ sở các kết quả rút ra từ thực nghiệm ông đưa ra giả thuyết: Giá trị của
hệ số ma sát cũng như đặc tính phá hoại bề mặt xuất hiện khi chịu ma sát trượt được quyết
định bởi tính chất vật lý của bề mặt các vật tiếp xúc.






Đặc tính tác dụng tương hỗ của các bề mặt tiếp xúc phụ thuộc vào tỉ số độ cứng
của chúng, trong trường hợp giá trị này lớn, công ma sát còn phụ thuộc vào nhiệt độ
tiếp xúc (là hàm của tải trọng và độ cứng của vật liệu) và nhiệt độ nóng chảy của vật
liệu. Bowden đã chia tất cả các trường hợp ma sát trượt ra làm 3 loại:
- Trượt kim loại cứng trên kim loại cứng
- Trượt kim loại mềm trên kim loại cứng
- Trượt tương đối của kim loại có cùng độ cứng
Khi trượt, vật thể rắn có hình chỏm cầu trên bề mặt phẳng (hình 1.4) của vật thể
có độ cứng nhỏ hơn đáng kể, với lực áp dụng pháp tuyến N, lúc đầu sẽ diễn ra sự hằn
sâu của chỏm cầu vào bề mặt mềm, làm tăng diện tích tiếp xúc (hình 1.4). Nếu như bề
mặt tiếp xúc thực đủ lớn để tiếp tục tăng tải trọng biến dạng dẻo sẽ không xảy ra, khi
đó diện tích hình chiếu của mặt tiếp xúc S trên mặt phẳng trượt sẽ được biểu diễn bởi
công thức sau:
S
N
R
e
 (1.2)

Hình 1.2: Thí nghiệm để xác định hệ số
ma sát

- 14 -
Ở đây: Re - giới hạn dẻo của vật liệu mềm.








Để đơn giản Bowden giả thiết rằng: bề mặt tiếp xúc là nhẵn tuyệt đối và diện
tích tiếp xúc thực bằng diện tích danh nghĩa. Giả thiết như vậy là chưa sát thực tế, bởi
vì độ mấp mô của mẫu thử chuyển động có hình hình dạng nửa chỏm cầu. Lực ma sát
theo Bowden bao bồm lực P
s
cần thiết cho cắt các liên kết kim loại được xuất hiện khi ma
sát và lực P
w
tạo ra các vết cày xước trên bề mặt của vật liệu mềm.
T P P
s w


(1.3)
Trong đó lực cắt các liên kết kim loại P
s

có thể tính bằng công thức:
P S
s pt


(1.4)
Ở đây: 
pt
- ứng suất cắt các liên kết kim loại theo phương tiếp tuyến với mặt phẳng
tiếp xúc ma sát; S - hình chiếu của diện tích tiếp xúc trên mặt phẳng trượt .
Lực tạo ra các vết cày xước P
w
: P
w
= S
w
p
w
(1.5)
Ở đây: S
w
- mặt cắt ngang của vết xước;
p
w
- lực cản đơn vị trung bình xuất hiện khi cày xước (giá trị của p
w

chính bằng giới hạn dẻo của kim loại mềm).
Mặt cắt ngang của vết xước ma sát có thể biểu diễn gần đúng bởi mối quan hệ:
S

d
r
w

3
12
(1.6)
Ở đây : d - chiều rộng của vết xước; r - bán kính của vết trượt.
Khi đó lực ma sát có thể biểu diễn bằng công thức: T S S p
pt w w



(1.7)
Suy luận tương tự đã đưa Bowden đến soạn thảo mối quan hệ, từ đó có thể tính
lực ma sát trong trường hợp khi hình dạng của mẫu thử là hình trụ, với các thống số
của nó là bán kính r; chiều dài là l. Lực ma sát được tính :
Hình 1.3: Sự tiếp xúc giữa hai bề mặt nhám v
à mô hình
tiếp xúc trực tiếp giữa hai đỉnh mấp mô.
- 15 -
T ld
d
r
p
pt w
 

3
12

(1.8)






1.1.2.3. Lý thuyết của Epifanow
Epifanow đã phát triển thuyết của Bowden. Ông đã giả thuyết rằng sự cắt kim
loại do dịch chuyển bề mặt thứ nhất trên bề mặt thứ hai xảy ra không chỉ ở các điểm
tiếp xúc trực tiếp mà nó diễn ra trên diện tích S
c
vài lần lớn hơn diện tích tiếp xúc bởi
vì trước vết cày tạo nên sự dồn nén vật liệu, sự trượt không xảy ra trên bề mặt tiếp xúc
thực tế mà diễn ra bên trong bề mặt khi có biến đổi ứng suất pháp trong bề mặt bị cày
xước. Giá trị của mặt cắt thực có thể xác định khi ta nghiên cứu độ sâu và chiều rộng
của vết cày xước do kết quả của ma sát (hình 1.5).







Định luật ma sát được xác định bởi công thức: T =  S
c
(1.9)
Ở đây: T - lực ma sát;

- độ bền cắt;S

c
- tiết diện bị cắt.
Độ bền cắt của vật liệu theo Bridgman có thể xác định bởi công thức:

po
k

 (1.10)
Trong đó:

o
- ứng suất cắt ứng với

p
= 0;


p
- ứng suất pháp trên mặt phẳng cắt;
k - hệ số tăng độ bền cắt khi biến đổi ứng suất pháp.
k
d
d
c



(theo Bridgman, k = 0,01  0,1)

Hình 1.5: Sự lún sâu và dồn nén kim loại khi dịch chuyển các
ph
ần tử

Hình 1.4: Mô hình của Bowden để tính và giải thích lực ma sát khô
- 16 -
Từ đó lực ma sát có thể tính bằng công thức:T = 
0
S
c
+ kS
c

c
(1.11)
Với:

c
c
N
S
 (1.12)
Ta nhận được công thức: T =
o
S
c
+ kN (1.13)
Số hạng thứ nhất của (công thức 1.13) biểu thị sự biến đổi của lực ma sát do sự

thay đổi diện tích bị cắt S
c
với giả thiết độ bền của vật liệu khi chịu ứng suất cắt không
thay đổi.
Số hạng thứ hai biểu thị sự biến đổi sức bền cắt của vật liệu khi tải trọng pháp
tuyến thay đổi.
Theo Epifanow khi tăng tải trọng pháp tuyến N, lực ma sát lúc đầu tăng do sự
tăng bề mặt cắt với độ bền cắt không thay đổi. Nếu bề mặt nào có độ dẻo cao thì S
c
sẽ
tăng tỉ lệ với áp lực pháp tuyến có nghĩa là S
c
=N/

c
và khi đó lực ma sát có thể tính
theo công thức :
T N k
o
c
 








(1.14)

Ở đây :

c
- ứng suất chảy của vật liệu.
Hệ số ma sát theo Epifanow không phụ thuộc vào áp lực pháp tuyến và được
tính theo công thức:



 
o
c
k (1.15)
1.1.3. Các thuyết phân tử về ma sát ngoài
1.1.3.1. Thuyết Tomlinson
Tomlinson đã đưa ra giả thuyết, trong đó Ông cho rằng ma sát là tác dụng của
hấp dẫn và kết dính giữa các điểm có tiếp xúc trực tiếp của hai bề mặt ma sát. Khi có
dịch chuyển tương đối giữa hai bề mặt nhám, khoảng cách giữa các điểm vật chất giữa
hai bề mặt sẽ biến đổi. Một số điểm có thể diễn ra sự tiếp xúc trực tiếp (khoảng cách
giữa hai bề mặt bằng khoảng cách trung bình giữa các phân tử, tại các điểm tiếp xúc
trực tiếp này, các phân tử của hai bề mặt tuỳ theo cự ly giữa chúng mà có thể hút hoặc
đẩy nhau (xa hút, gần đẩy, xa quá lực tương tác bằng không - xem mô hình trên hình
1.6). Khi dịch chuyển khoảng cách tương đối giữa hai bề mặt có xu hướng tách xa dần,
lực tương tác giữa các phân tử sẽ chuyển dần từ đẩy chiếm ưu thế sang hút theo
phương tiếp tuyến tăng dần. Chỉ có một số trường hợp nhất định mới có thể tạo ra sự
dính kết giữa chúng. Tomlinson cho rằng khi bị ép sát vào nhau, tổng lực hút theo
- 17 -
phương pháp tuyến rất nhỏ và có thể bỏ qua, khi đó áp lực pháp tuyến cân bằng với
hợp lực của các lực đẩy hấp dẫn giữa các phân tử của hai bề mặt.
N p

i


(1.16)
Ở đây: p
i
-lực đẩy hấp dẫn phân tử trên một đơn vị diện tích bề mặt
.











Lực ma sát xuất hiện là do có sự chuyển dịch tương đối giữa hai bề mặt làm
việc thay đổi liên tục các phân tử ở gần nhau mà kết quả của nó làm thay đổi chiều của
lực hấp dẫn từ lực đẩy chuyển sang lực hút, làm cản trở chuyển động.
Với sự trượt tương đối một số phân tử thuộc vật thể này rút ra khỏi mối liên kết
với các phân tử của bề mặt thứ hai. Sự thay đổi liên tục các cặp phân tử liên kết này
dẫn đến giải phóng một năng lượng E.
Nếu coi lực đẩy của mỗi cặp phân tử là p và số cặp phân tử có liên kết giữa hai
bề mặt là n thì theo (1.16) ta có: N=nP (1.7)
Nếu như ta biết được khoảng cách giữa các phân tử là l, thì số lần tiếp xúc giữa
các phân tử khi có sự dịch chuyển tương đối giữa hai bề mặt x là k và được tính bởi
công thức: k n

x
l
 (1.8)
Bởi vì số lần tiếp xúc phụ thuộc vào hướng dịch chuyển nên Tomlinson đã đưa
vào công thức (1.8) hệ số hiệu chỉnh b và khi đó:
k bn
x
l

Hình 1.6: Mô hình của Tomlinson về
lực tương giữa các phân tử
Hình 1.7: Mô hình của Tomlinson về sự
cân bằng giữa áp lực pháp tuyến và lực đẩy
- 18 -
Ký hiệu năng lượng trung bình cần thiết để tách rời cặp phân tử là E, có thể tính
được công ma sát L
ms
trên đoạn dịch chuyển x , L
ms
= kE . Giả sử đối với mỗi cặp phân
tử đều tuân theo định luật Amontons, khi đó công ma sát L
ms
sẽ là:
L npx
ms


(1.9)
Mặt khác : L
ms

= kE (1.10)
Từ đó ta có:

 
kE
npx
Eb
lp
(1.11)
Vì n phụ thuộc vào diện tích tiếp xúc thực S
t
:
n=f(S
t
) (1.12)
Nên chúng ta có thể biểu diễn công thức xác định hệ số ma sát dưới dạng sau:



Eb
lN
f S
t
( ) (1.13)
Ở đây ta thấy hệ số ma sát tỉ lệ với diện tích tiếp xúc thực.
Trên cơ sở các nghiên cứu thực nghiệm Tomlinson đã đưa ra công thức xác
định hệ số ma sát dưới dạng:


 0 1810

8
2
3
, . ( )A A
k p
(1.14)
Ở đây: A
k
, A
p
- mô đun phụ thuộc vào tính chất cơ học của vật liệu.
1.1.3.2. Thuyết Deriagrin
Deriagin đã xây dựng thuyết của mình trên cở sở cho rằng: Ma sát có quan hệ
với mấp mô do xếp đặt các phân tử trên bề mặt vật thể. Nó phụ thuộc vào cấu trúc của
vật liệu. Hình dáng và kích thước của các phân tử khi trượt vật thể này lên vật thể kia
là không đổi nên có thể xem quá trình ma sát là quá trình liên tục “chinh phục” các
mấp mô phân tử trên bề mặt tiếp xúc.
Trên hình 1.8, mô tả sự xếp đặt lý tưởng các nguyên tử trên bề mặt phẳng tiếp
xúc giữa hai vật thể. Vật thể phía trên dưới tác dụng của tải trọng pháp tuyến tại thời
điểm đang xét, điểm đặt của nó đặt tại A (1.9).






Hình 1.9: Các thành phần lực tác dụng
tại vùng tiếp xúc ma sát theo Deriagin
Hình 1.8: Mô hình nguyên lý tác dụng giữa
các nguyên tử tại vùng ma sát của Deriagin

- 19 -
Dưới tác dụng của lực F, vật thể trên chuyển dịch sang vị trí mới, khi đó trọng
tâm của nó phải vượt qua được các mấp mô phân tử được biểu diễn bởi cùng ABC
(hình 1.9). Từ điều kiện cân bằng ở vị trí dưới của cung (điểm A) chúng ta nhận được:


tg
N
F
 (1.15)
Nếu :
F
N
tg

max
(

max
- góc nghiêng lớn nhất của đường cong ABC với
phương trượt), thì : F = N. tg
max
=  N (1.16)
Ở đây :

= tg

max
- hệ số ma sát tĩnh.
Nếu như

F
N
tg

max
sự cân bằng sẽ bị phá vỡ, bắt đầu có sự dịch
chuyển tương đối giữa hai bề mặt. Nếu như để ý đến lực hút bám thì định luật ma sát
có thể viết dưới dạng : T =

(N + N
o
) (1.17)
Ở đây: N
o
- lực hút của các phân tử.
Hệ số ma sát tính toán biến đổi cùng với sự thay đổi giá trị của N :








N
N
N
T
o
o

1

(1.18)
Trong đó:

- hệ số ma sát thực có giá trị không đổi.
Các lực hút phân tử N
o
có thể có giá trị xấp xỉ N khi tải trọng nhỏ. Trong
trường hợp tải trọng lớn có nghĩa là mặt tiếp xúc thực rất lớn, giá trị N
o
tăng tỉ lệ thuận
với diện tích tiếp xúc thực.
Giả thiết N
o
= p
o
S
t
, khi đó công thức xác định lực ma sát có thể biểu diễn dưới
dạng sau đây: T =

(N + p
o
S
t
) (1.19)
Trong công thức (1.19):
p
o

- lực hút phân tử trên đơn vị diện tích;
S
t
- diện tích tiếp xúc thực, tăng theo tải trọng N.
Đối với kim loại dẻo có thể nhận :
S
N
p
t
o

'
(1.20)
Ở đây : p'
o
- giá trị lực riêng, nếu thấp hơn giá trị đó, sự biến dạng dẻo của
vật liệu không thể xảy ra.
Như vậy ta có thể biểu diễn lực ma sát :
- 20 -

T
p
p
o
o
 








1
'
(1.21)
Đối với vật liệu dẻo, bề mặt tiếp xúc thực S
t
tăng tỉ lệ bậc nhất với tải trọng
pháp tuyến N. Giá trị của hệ số ma sát không phụ thuộc vào tải trọng pháp tuyến N
cũng như độ mấp mô bề mặt. Còn đối với vật liệu đàn hồi diện tích tiếp xúc thực S
t
không tăng tỉ lệ với tải trọng N, ngược lại nó phụ thuộc vào độ mấp mô bề mặt.
Từ phân tích trên, có thể rút ra kết luận: Thuyết của Deriagin đã không phân
tích đến các tính chất vật lý của bề mặt, để ý đến lực hút các phân tử, nhưng đã không
quan tâm đến sự phá huỷ bề mặt ma sát (sự cọ sát bề mặt).
1.1.4. Thuyết năng lượng về ma sát
Thuyết năng lượng của Kuzniecov dựa trên cơ sở của định luật II nhiệt động
học và các hiện tượng trao đổi năng lượng ma sát của các thành phần lực ma sát và
nhiệt năng. Cơ sở để xây dựng thuyết này là các giả thiết:
1. Trong quá trình ma sát ngoài bình thường cường độ hao mòn là ổn định,
không đổi theo thời gian, tồn tại sự cân bằng động giữa quá trình phá hủy bề mặt và sự
hình thành lớp bề mặt kế tiếp trong quá trình ma sát;
2. Trong quá trình ma sát ngoài có sự chuyển biến năng lượng cơ học sang
nhiệt năng làm tăng nội năng trên lớp bề mặt;
3. Tồn tại mối cân bằng năng lượng trong quá trình ma sát ngoài tuân theo
định luật I nhiệt động học:
A = Q + E (1.22)
Ở đây: A - công của ngoại lực;
Q - nhiệt lượng tỏa ra do hiệu ứng biến dạng bề mặt và lớp bề mặt do ma sát

ngoài gây ra;


E - biến đổi nội năng được hấp phụ của thể tích phần vật liệu trên lớp bề
mặt.
4. Trong quá trình ma sát ngoài luôn luôn tồn tại công của mối liên kết ma sát
của các lực ma sát. Các lực này ta có thể phân ra các nhóm khác nhau:
- Ma sát nội tại trong lớp giới hạn và lớp mỏng trên bề mặt chi tiết xác định
bởi lực T
1
, ngoài ra còn tồn tại lực ma sát T
2
có quan hệ với sự trượt tựa thủy động -
lớp bán trượt;
- 21 -
- Trong quá trình ma sát bình thường tồn tại các lực ma sát do các nguyên
nhân: T
3
- sự trượt lớp giới hạn, T
4
- sự tạo giải lớp bề mặt, T
5
- dao động đàn hồi của
lớp bề mặt;
- Trong quá trình ma sát không bình thường - có sự cố - còn tồn tại các lực
ma sát: T
6
- biến dạng ở thể tích vĩ mô của lớp bề mặt, T
7
- sự phá hủy do dính bám -

dính kết - và các quá trình cơ học khác làm phá hủy vật liệu trên lớp bề mặt. T
8
- tương
tác của các phần tử pha rắn - lực hấp dẫn Van der Walls. Chỉ có thể mô tả được mối
quan hệ giữa các thống và các hiện tượng vật lý trong quá trình ma sát bình thường.
Trong trường hợp ma sát không bình thường điều đó là không thể.
Kostecki dựa trên cơ sở định luật I nhiệt động học đã đưa ra dạng tổng quát của
lý thuyết năng lượng về ma sát như sau:
ET = Q + E
tr
+

E
nt
+

E
p
+E
d
(1.23)
Trong đó: E
t
- công của ma sát ngoài;
Q - nhiệt lượng tỏa ra khi ma sát;
E
tr
- công dịch chuyển và trượt lớp bề mặt;



E
nt -
gia tăng nội năng của kim loại;


E
p
- gia tăng nội năng lớp bề mặt;
E
d -
năng lượng truyền bên trong.
Kostecki đã đề cập đến trong các công bố của mình rất nhiều kết quả nghiên
cứu thực nghiệm về sự cân bằng nhiệt và các hiện tượng liên quan đến quá trình ma
sát. Từ các công trình nghiên cứu ông đã rút ra kết luận: Hầu như toàn bộ công ma sát
chuyển hóa thành nhiệt năng thông qua T
3
, T
5
, công biến dạng dẻo do lực T
4
rất nhỏ,
công do khuyếch tán năng lượng ra ngoài rất nhỏ có thể bỏ qua (T
9
, T
11
).
1.1.5. Thuyết ma sát dựa trên các cơ chế mòn diễn ra trên bề mặt tiếp
xúc
Như đã được định nghĩa, ma sát là lực xuất hiện giữa hai bề mặt tiếp xúc, có tác
dụng chống đối lại sự chuyển động tương đối giữa hai bề mặt và được minh họa trên

(hình 1.1). Theo các giả thuyết đơn giản hiện nay có 4 cơ chế chính điều chỉnh quá
trình ma sát giữa hai bề mặt trượt của vật rắn. Các cơ chế này thường đi đôi với các cơ
chế mòn chủ yếu có liên quan đến sự kết dính giữa hai bề mặt, sự biến dạng chu trình
đơn và biến dạng theo chu kỳ lặp đi lặp lại. Với ma sát, sự mài mòn thường đi đôi với
cơ chế biến dạng đơn (biến dạng một lần), trong khi đó hiện tượng trễ có liên quan đến
- 22 -
sự biến dạng theo chu kỳ lặp đi lặp lại. Khi có chất bôi trơn tồn tại giữa hai bề mặt vật
rắn một cơ chế thứ tư của ma sát xuất hiện đó là sự mất mát năng lượng do nhớt. Các
cơ chế này được minh họa trên (hình 1.10). Giá trị của lực ma sát F
ms
khi đó có thể
biểu diễn bởi công thức:

vishysabadms
FFFFF  (1.24)
Ở đây: F
ad
- lực hao tổn ma sát do dính bám;
F
ab
- lực hao tổn ma sát do mài mòn;
F
hys
- lực hao tổn ma sát do hiện tượng trễ (do biến có chu kỳ);
F
vis
- lực hao tổn ma sát do cản trở nhớt.

Nếu chia lực ma sát tổng cho áp lực pháp tuyến bề mặt ta sẽ được hệ số ma sát
và khi đó hệ số ma sát chung sẽ được biểu thị qua công thức:

vishysabad

 (1.25)
Các khái niệm có liên quan đế cơ chế ma sát được minh họa trên (hình 1.10) .
Khái niệm về lực ma sát dính là lực cần thiết để cắt các mối kết dính giữa các
mấp mô bề mặt bị dính với nhau trong quá trình ma sát giữa hai bề mặt. Tương tự lực
ma sát mài là lực cần thiết gây biến dạng bề mặt có thể là đàn hồi hoặc biến dạng dẻo
tạo ra các vết khía hoặc tạo thành các phoi cắt tạo ra các hạt mòn. Ma sát nhớt là lực
cần thiết để thắng sức cản nhớt trong chất lỏng. Trong ba trường hợp trên, lực cản ma
sát phụ thuộc vào vật liệu của cặp ma sát. Khái niệm về lực ma sát do đàn hồi trễ có
những quan niệm tương đối khác nhau. Khi một bề mặt lăn xung quanh vật khác làm
xuất hiện ứng suất thay đổi có tính chu kỳ trong vật liệu, nói chung vật liệu không phải
là đàn hồi hoàn toàn mà thường có hiệu ứng trễ trong mỗi chu trình biến đổi như vậy.
Năng lượng bị tiêu tán trong mỗi chu trình này và có thể có quan hệ với lực ma sát của
cặp trượt. Năng lượng này có thể biểu diễn qua công thức:
Hình 1.10: Các trạng thái biến đổi bề mặt gây tổn hao năng lượng
- 23 -
LFE
hyshys
 (1.26)
Ở đây: E
hys

- là năng lượng tiêu tán trong một đoạn dịch chuyển có khảng cách L;
F
hys
- là lực ma sát do biến dạng trễ.
Hiệu ứng trễ có thể diễn ra trong phạm vi vi mô hoặc vĩ mô. Trước tiên nó có
quan hệ với sự biến dạng của các mấp mô bề mặt sau đó với sự biến dạng toàn bộ khu
vực tiếp xúc giữa hai vật rắn.
Năng lượng liên quan đến ma sát được tiêu tán bằng hai con đường chính: Phần
lớn năng lượng tiêu tán thành năng lượng nhiệt, phần nhỏ hơn có liên quan đến sự tiêu
hao vật chất hoặc biến dạng, nguyên nhân tạo ra hao mòn. Đa số các nghiên cứu đã chỉ ra
rằng; hơn 90% năng lượng tiêu tốn do ma sát biến thành năng lượng nhiệt. Nhiều mô hình
về cơ chế ma sát đã được đề xướng, nhưng số lượng các mô hình được ứng dụng trọng
thực tế bị hạn chế. Nhìn một cách tổng quát, các mô hình đã chỉ ra tính phức tạp hơn rất
nhiều mô hình của Da Vinci và Amonton.
Đối với ma sát do dính bám, lực ma sát F
ad
được xác định bới công thức:

rad
SF


(1.27)
Ở đây : S
r
- diện tích tiếp xúc thực tế (có sự tiếp xúc trực tiếp giữa hai bề
mặt);


- ứng suất cắt các kết nối của các môi dính giữa hai bề mặt.

S
r
phụ thuộc vào tính chất của vật liệu của các bề mặt tiếp xúc và bị ảnh hưởng
của nhiều tham số như sự ô xy hóa, sự làm sạch bề mặt tiếp xúc, tính khuyếch tán và
độ bền của vật liệu.
Diện tích tiếp xúc thực theo một số tác giả như Raymond G. Bayer trong
Mechenical Wear đã đưa ra công thức ứng dụng cho tiếp xúc chỏm cầu trên bề mặt
phẳng:

mn
r
PCRS  (1.28)
Ở đây: C - thông số phụ thuộc vào tính chất của vật liệu;
R - bán kính của chỏm cầu;
P - áp lực pháp tuyến.
Các tham số n, m là số dương và phụ thuộc cơ bản vào hai yếu tố là hệ ứng suất
của mối nối kết dính và sự phân bố các mấp mô trên bề mặt. Đối với biến dạng dẻo n>0
và m có gía trị nằm trong khoảng từ 0 đến 1 và với biến dạng đàn hồi n>0, m sẽ có giá trị
- 24 -
trong khoảng từ 0 đến 1 đối với sự phân bố mấp mô đơn giản và có giá trị lớn hơn 1 khi
sự phân bố mấp mô bề mặt phức tạp.
Hệ số ma sát dính bám khi đó được xác định theo công thức sau:

1

mn
adad
PRK

(1.29)

Ở đây: C và s được kết hợp trong hệ số K
ad
ẩn trong mối quan hệ này là những
phần phụ thuộc bổ sung về tải và các thông số khác có khả năng ảnh hưởng đến tính
chất ma sát của bề mặt. Nhưng điều này được biểu thị trong giá trị của K
ad
. Ma sát do
mài vật liệu có thể được mô tả bởi mô hình một chóp nón với góc đỉnh bằng Φ trượt
trên mặt vật liệu mềm hơn. Đối với biến dạng dẻo, lực cần thiết để tạo lên các vết cày
xước (vết khía) trên bề mặt F’ được xác định gần đúng bởi công thức:


'cot
'
gP
F  (1.30)
Ở đây: P’- áp lực tác dụng lên mấp mô;
P - là tổng áp lực tác dụng trong vùng tiếp xúc của các mấp mô.
Khi đó lực ma sát do mài (cọ sát) có thể tính theo công thức :
PgKF
abab
.cot

 (1.31)
Ở đây: F
ab
- thành phần lực ma sát sinh ra do quá trình mài giữa hai bề mặt
và được xác định bởi công thức :

iiab
PgPgK




cot.cot
1

(1.32)
Trong biểu thức này,

gcot biểu thị độ sắc nhọn trung bình của các mấp mô
(độ nhám) bề mặt, trong khi
ab
K là thông số có tính đến sự phân bố độ nhám của bề
mặt. Hệ số ma sát do mài bề mặt có thể được xác định qua công thức:


gK
abab
cot
(1.33)
Nếu chóp nón chỉ gây ra sự biến dạng đàn hồi cho bề mặt đối diện, công thức
xác định hệ số ma sát cũng có dạng tương tự nhưng hệ số
ab
K sẽ có giá trị thay đổi.
Tuy nhiên, trong trường hợp này nguyên nhân chính gây ra ma sát là hiện tượng đàn
hồi trễ. Phương trình (1.32) được hiệu đính bởi hệ số ε , thể hiện một phần năng lượng
tiêu hao cho năng lượng cần thiết cho biến dạng. Sự tương tự của phương trình (1.32)

luôn thích hợp cho việc ứng xử với các loại vật liệu chịu biến dạng dẻo và đàn hồi
đồng thời.