Tuyển tập bất đẳng thức pps
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (427.85 KB, 22 trang )
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng
4
III. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki
1. Chứng minh: (ab + cd)
2
£ (a
2
+ c
2
)(b
2
+ d
2
) BĐT Bunhiacopxki
2. Chứng minh: +£
sinxcosx2
3. Cho 3a – 4b = 7. Chứng minh: 3a
2
+ 4b
2
³ 7.
4. Cho 2a – 3b = 7. Chứng minh: 3a
2
+ 5b
2
³
725
47
.
5. Cho 3a – 5b = 8. Chứng minh: 7a
2
+ 11b
2
³
2464
137
.
6. Cho a + b = 2. Chứng minh: a
4
+ b
4
³ 2.
7. Cho a + b ³ 1 Chứng minh:
+³
22
1
ab
2
Lời giải:
I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản:
1. Cho a, b > 0 chứng minh:
++
æö
³
ç÷
èø
3
33
abab
22
(*)
(*) Û
++
æö
-³
ç÷
èø
3
33
abab
0
22
Û
()( )
+-³
2
3
abab0
8
. ĐPCM.
2. Chứng minh:
++
£
22
abab
22
(«)
÷ a + b £ 0 , («) luôn đúng.
÷ a + b > 0 , («) Û
+++
-£
2222
ab2abab
0
42
Û
()
-
³
2
ab
0
4
, đúng.
Vậy:
++
£
22
abab
22
.
3. Cho a + b ³ 0 chứng minh:
++
³
33
3
abab
22
Û
()
++
£
3
33
abab
82
Û
( )
(
)
£
22
3baab0
Û
()( )
+£
2
3baab0
, ĐPCM.
4. Cho a, b > 0 . Chứng minh: +³+
ab
ab
ba
(«)
(«) Û +³+
aabbabba
Û
()()
³
abaabb0
Û
()
(
)
³
abab0
Û
( )( )
-+³
2
abab0
, ĐPCM.
5. Chứng minh: Với a ³ b ³ 1: +³
+
++
22
112
1ab
1a1b
(«)
Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức
1
PHẦN I: LUYỆN TẬP CĂN BẢN
I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản:
1. Cho a, b > 0 chứng minh:
++
æö
³
ç÷
èø
3
33
abab
22
2. Chứng minh:
++
£
22
abab
22
3. Cho a + b ³ 0 chứng minh:
++
³
33
3
abab
22
4. Cho a, b > 0 . Chứng minh: +³+
ab
ab
ba
5. Chứng minh: Với a ³ b ³ 1: +³
+
++
22
112
1ab
1a1b
6. Chứng minh:
( )
+++³++
222
abc32abc
; a , b , c Î R
7. Chứng minh:
( )
++++³+++
22222
abcdeabcde
8. Chứng minh: ++³++
222
xyzxyyzzx
9. a. Chứng minh:
++++
³³
abcabbcca
;a,b,c0
33
b. Chứng minh:
++++
æö
³
ç÷
èø
2
222
abcabc
33
10. Chứng minh: ++³-+
2
22
a
bcabac2bc
4
11. Chứng minh:
++³++
22
ab1abab
12. Chứng minh: ++³-+
222
xyz2xy2xz2yz
13. Chứng minh:
+++³-++
4422
xyz12xy(xyxz1)
14. Chứng minh: Nếu a + b ³ 1 thì:
+³
33
1
ab
4
15. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh:
a. ab + bc + ca £ a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ca).
b. abc ³ (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a)
c. 2a
2
b
2
+ 2b
2
c
2
+ 2c
2
a
2
– a
4
– b
4
– c
4
> 0
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng
2
II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI:
1. Chứng minh:
+++³³
(ab)(bc)(ca)8abc;a,b,c0
2. Chứng minh:
++++³³
222
(abc)(abc)9abc;a,b,c0
3. Chứng minh:
( )( )( )
( )
+++³+
3
3
1a1b1c1abc
với a , b , c ³ 0
4. Cho a, b > 0. Chứng minh:
+
æöæö
+++³
ç÷ç÷
èøèø
mm
m1
ab
112
ba
, với m Î Z
+
5. Chứng minh:
++³++³
bccaab
abc;a,b,c0
abc
6. Chứng minh:
+
³-³
69
23
xy
3xy16;x,y0
4
7. Chứng minh:
+³-
+
42
2
1
2a3a1
1a
.
8. Chứng minh:
( )
>-
1995
a1995a1
, a > 0
9. Chứng minh:
(
)
(
)
(
)
+++++³
222222
a1bb1cc1a6abc
.
10. Cho a , b > 0. Chứng minh:
æö
++£++
ç÷
èø
+++
222222
abc1111
2abc
abbcac
11. Cho a , b ³ 1 , chứng minh:
³-+-
abab1ba1
.
12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. Chứng minh: xyz ³ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1)
13. Cho a > b > c, Chứng minh:
( )( )
³
3
a3abbcc
.
14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh:
a) b + c ³ 16abc.
b) (1 – a)(1 – b)(1 – c) ³ 8abc
c)
æöæöæö
+++³
ç÷ç÷ç÷
èøèøèø
111
11164
abc
15. Cho x > y > 0 . Chứng minh:
( )
+³
-
1
x3
xyy
16. Chứng minh:
a)
+
³
+
2
2
x2
2
x1
,"x Î R b)
+
³
-
x8
6
x1
, "x > 1 c)
+
³
+
2
2
a5
4
a1
17. Chứng minh:
++
++£>
+++
abbccaabc
;a,b,c0
abbcca2
18. Chứng minh:
+£
++
22
44
xy1
4
116x116y
, "x , y Î R
19. Chứng minh:
++³
+++
abc3
bcacab2
; a , b , c > 0
Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức
3
20. Cho a , b , c > 0. C/m:
++£
++++++
333333
1111
abc
ababcbcabccaabc
21. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh:
a. +++³
4
abcd4abcd
với a , b , c , d ³ 0 (Côsi 4 số)
b. ++³
3
abc3abc
với a , b , c ³ 0 , (Côsi 3 số )
22. Chứng minh: ++³++
333222
abcabcbaccab
; a , b , c > 0
23. Chứng minh: ++³
39
4
2a3b4c9abc
24. Cho =+
x18
y
2x
, x > 0. Định x để y đạt GTNN.
25. Cho
=+>
-
x2
y,x1
2x1
. Định x để y đạt GTNN.
26. Cho
=+>-
+
3x1
y,x1
2x1
. Định x để y đạt GTNN.
27. Cho
=+>
-
x51
y,x
32x12
. Định x để y đạt GTNN.
28. Cho =+
-
x5
y
1xx
, 0 < x < 1 . Định x để y đạt GTNN.
29. Cho
+
=
3
2
x1
y
x
, x > 0 . Định x để y đạt GTNN.
30. Tìm GTNN của
++
=
2
x4x4
f(x)
x
, x > 0.
31. Tìm GTNN của =+
2
3
2
f(x)x
x
, x > 0.
32. Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x)
33. Cho y = x(6 – x) , 0 £ x £ 6 . Định x để y đạt GTLN.
34. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 £ x £
5
2
. Định x để y đạt GTLN
35. Cho y = (2x + 5)(5 – x) ,
-££
5
x5
2
. Định x để y đạt GTLN
36. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) ,
-
1
2
£ x £
5
2
. Định x để y đạt GTLN
37. Cho =
+
2
x
y
x2
. Định x để y đạt GTLN
38. Cho
( )
=
+
2
3
2
x
y
x2
. Định x để y đạt GTLN
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng
8
7. Chứng minh:
+³-
+
42
2
1
2a3a1
1a
(«)
(«) Û ++++³
+
4422
2
1
aaa14a
1a
.
Áp dụng BĐT Côsi cho 4 số không âm: +
+
442
2
1
a,a,a1,
1a
( )
++++³+=
++
4424422
4
22
11
aaa14aaa14a
1a1a
8. Chứng minh:
( )
>-
1995
a1995a1
(«) , a > 0
(«) Û >-Û+>
19951995
a1995a1995a19951995a
+>+=++++³=
14243
1995
1995199519951995
1994soá
a1995a1994a11 11995a1995a
9. Chứng minh:
(
)
(
)
(
)
+++++³
222222
a1bb1cc1a6abc
.
°
(
)
(
)
(
)
+++++=+++++
222222222222222
a1bb1cc1aaabbbccca
÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 6 số không âm:
° +++++³=
6
222222222666
aabbbccca6abc6abc
10. Cho a , b > 0. Chứng minh:
æö
++£++
ç÷
èø
+++
222222
abc1111
2abc
abbcac
° £=
+
22
aa1
2ab2b
ab
, £=
+
22
bb1
2bc2c
bc
, £=
+
22
cc1
2ac2a
ac
° Vậy:
æö
++£++
ç÷
èø
+++
222222
abc1111
2abc
abbcac
11. Cho a , b ³ 1 , chứng minh:
³-+-
abab1ba1
.
°
( ) ( )
=-+³-=-+³-
aa112a1,bb112b1
°
³-³-
ab2ba1,ab2ab1
°
³-+-
abab1ba1
12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. C/m: xyz ³ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1)
°
(
)
(
)
=-+=-+++-
xx11x1xyz3
( )( )
( )
( )
( )
( )
( )
=-+-+-+-³
2
4
x1x1y1z14x1y1z1
Tương tự:
( )
( )
( )
³
2
4
y4x1y1z1
;
( )
( )
( )
³
2
4
z4x1y1z1
Þ xyz ³ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1).
13. Cho a > b > c, Chứng minh:
( )( )
³
3
a3abbcc
.
°
( ) ( ) ( )( )
=-+-+³
3
aabbcc3abbcc
Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức
5
Û
+ ³
++
++
22
1111
0
1ab1ab
1a1b
Û
( )
( )
( )
( )
+³
++++
22
22
abaabb
0
1a1ab1b1ab
Û
(
)
( )
( )
(
)
( )
( )
+³
++++
22
ababab
0
1a1ab1b1ab
Û
-
æö
-³
ç÷
+
++
èø
22
baab
0
1ab
1a1b
Û
( )( )
æö
-+
³
ç÷
ç÷
+
++
èø
22
22
baaabbba
0
1ab
1a1b
Û
( )( )
( )
( )( )
³
+++
2
22
baab1
0
1ab1a1b
, ĐPCM.
÷ Vì : a ³ b ³ 1 Þ ab ³ 1 Û ab – 1 ³ 0.
6. Chứng minh:
( )
+++³++
222
abc32abc
; a , b , c Î R
Û
( ) ( ) ( )
-+-+-³
222
a1b1c10
. ĐPCM.
7. Chứng minh:
( )
++++³+++
22222
abcdeabcde
Û
-++-++-++-+³
2222
2222
aaaa
abbaccaddaee0
4444
Û
æöæöæöæö
-+-+-+-³
ç÷ç÷ç÷ç÷
èøèøèøèø
2222
aaaa
bcde0
2222
. ĐPCM
8. Chứng minh: ++³++
222
xyzxyyzzx
Û
++ ³
222
2x2y2z2xy2yz2zx0
Û
( )
( )
( )
-+-+-³
22
2
xyxzyz0
9. a. Chứng minh:
++++
³³
abcabbcca
;a,b,c0
33
÷ ++³++
222
abcabbcca
÷
+++++++++
æö
=³
ç÷
èø
2
222
abcabc2ab2bc2caabbcca
393
Û
++++
³
abcabbcca
33
b. Chứng minh:
++++
æö
³
ç÷
èø
2
222
abcabc
33
÷
(
)
(
)
++=+++++
222222222
3abcabc2abc
( )( )
³+++++=++
2
222
abc2abbccaabc
Þ
++++
æö
³
ç÷
èø
2
222
abcabc
33
10. Chứng minh: ++³-+
2
22
a
bcabac2bc
4
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng
6
Û
( )
++-³
2
22
a
abcbc2bc0
4
Û
( )
æö
³
ç÷
èø
2
a
bc0
2
.
11. Chứng minh:
++³++
22
ab1abab
Û
++ ³
22
2a2b22ab2a2b0
Û
-+++++++³
2222
a2abba2a1b2b10
Û
( ) ( ) ( )
-+-+-³
222
aba1b10
.
12. Chứng minh: ++³-+
222
xyz2xy2xz2yz
Û
++-+-³
222
xyz2xy2xz2yz0
Û (x – y + z)
2
³ 0.
13. Chứng minh:
+++³-++
4422
xyz12x(xyxz1)
Û
+++-+ ³
442222
xyz12xy2x2xz2x0
Û
( )
( ) ( )
-+-+-³
2
22
22
xyxzx10
.
14. Chứng minh: Nếu a + b ³ 1 thì:
+³
33
1
ab
4
° a + b ³ 1 Þ b ³ 1 – a Þ b
3
= (1 – a)
3
= 1 – a + a
2
– a
3
Þ a
3
+ b
3
=
æö
-+³
ç÷
èø
2
111
3a
244
.
15. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh:
a. ab + bc + ca £ a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ca).
÷ ab + bc + ca £ a
2
+ b
2
+ c
2
Û (a – b)
2
+ (a – c)
2
+ (b – c)
2
÷
>->->-
abc,bac,cab
Þ
>-+
222
ab2bcc
,
>-+
222
ba2acc
,
>-+
222
ca2abb
Þ a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ca).
b. abc ³ (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a)
÷
( )
>
2
22
aabc
Þ
( )( )
>+-+-
2
aacbabc
÷
( )
>
2
22
bbac
Þ
( )( )
>+-+-
2
bbcaabc
÷
( )
>
2
22
ccab
Þ
( )( )
>+-+-
2
cbcaacb
Þ
( )( )( )
>+-+-+-
222
222
abcabcacbbca
Û
(
)
(
)
(
)
>+-+-+-
abcabcacbbca
c. 2a
2
b
2
+ 2b
2
c
2
+ 2c
2
a
2
– a
4
– b
4
– c
4
> 0
Û 4a
2
b
2
+ 2c
2
(b
2
+ a
2
) – a
4
– b
4
– 2a
2
b
2
– c
4
> 0
Û 4a
2
b
2
+ 2c
2
(b
2
+ a
2
) – (a
2
+ b
2
)
2
– c
4
> 0
Û (2ab)
2
– [(a
2
+ b
2
) – c
2
]
2
> 0 Û [c
2
– (a – b)
2
][(a + b)
2
– c
2
] > 0
Û (c – a + b)(c + a – b)(a + b – c)(a + b + c) > 0 . đúng
° Vì a , b , c là ba cạnh của tam giác
Þ c – a + b > 0 , c + a – b > 0 , a + b – c > 0 , a + b + c > 0.
Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức
7
II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI:
1. Chứng minh:
+++³³
(ab)(bc)(ca)8abc;a,b,c0
÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm:
Þ +³
ab2ab
, +³
bc2bc
, +³
ac2ac
Þ
( )( )( )
+++³=
222
abbcac8abc8abc
.
2. Chứng minh:
++++³³
222
(abc)(abc)9abc;a,b,c0
÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm:
Þ ++³
3
abc3abc
, ++³
3
222222
abc3abc
Þ
( )
(
)
++++³=
3
222333
abcabc9abc9abc
.
3. Chứng minh:
( )( )( )
( )
+++³+
3
3
1a1b1c1abc
, với a , b , c ³ 0.
÷
(
)
(
)
(
)
+++=+++++++
1a1b1c1abcabacbcabc.
÷ ++³
3
abc3abc
, ++³
3
222
abacbc3abc
÷
( )( )( )
( )
+++³+++=+
3
3
222
33
1a1b1c13abc3abcabc1abc
4. Cho a, b > 0. Chứng minh:
+
æöæö
+++³
ç÷ç÷
èøèø
mm
m1
ab
112
ba
, với m Î Z
+
÷
+
æöæöæöæöæö
+++³++=++
ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷
èøèøèøèøèø
³=
mmmmm
mm1
ababba
1121.122
babaab
242
5. Chứng minh:
++³++>
bccaab
abc;a,b,c0
abc
÷ Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm:
+³=
2
bccaabc
22c
abab
,
+³=
2
bcbabac
22b
acac
,
+³=
2
caababc
22a
bcbc
Þ
++³++
bccaab
abc
abc
.
6. Chứng minh:
+
³-³
69
23
xy
3xy16;x,y0
4
(«)
(«) Û ++³
6923
xy6412xy
Û
( )
( )
++³
3 3
23323
xy412xy
Áp dụng BĐT Côsi cho ba số không âm:
()
()
++³=
33
2332323
xy43xy412xy
.
Tuyn tp Bt ng thc Trn S Tựng
12
Du = xy ra
( )
=
ộ
-
=-=
ờ
=
ở
2
x3
x12
x14
x1(loaùi)
2x1
Vy: Khi x = 3 thỡ y t GTNN bng
5
2
26. Cho
=+>-
+
3x1
y,x1
2x1
. nh x y t GTNN.
ữ
+
=+-
+
3(x1)13
y
2x12
ữ p dng bt ng thc Cụsi cho hai s khụng õm
(
)
+
+
3x11
,
2x1
:
( ) ( )
++
=+--=-
++
3x1133x1133
y2.6
2x122x122
Du = xy ra
( )
( )
ộ
=-
ờ
+
ờ
=+=
ờ
+
=
ờ
ở
2
6
x1
3x112
3
x1
2x13
6
x1(loaùi)
3
Vy: Khi
=-
6
x1
3
thỡ y t GTNN bng
-
3
6
2
27. Cho
=+>
-
x51
y,x
32x12
. nh x y t GTNN.
ữ
-
=++
-
2x151
y
62x13
ữ p dng bt ng thc Cụsi cho hai s khụng õm
-
-
2x15
,
62x1
:
+
=+++=
2x1512x151301
y2.
62x1362x133
Du = xy ra
( )
ộ
+
=
ờ
-
ờ
=-=
ờ
-
-+
=
ờ
ở
2
301
x
2x15
2
2x130
62x1
301
x(loaùi)
2
Vy: Khi
+
=
301
x
2
thỡ y t GTNN bng
+
301
3
28. Cho =+
-
x5
y
1xx
, 0 < x < 1 . nh x y t GTNN.
Trn S Tựng Tuyn tp Bt ng thc
9
14. Cho: a , b , c > 0 v a + b + c = 1. Chng minh:
a) b + c 16abc.
+
ổử
ỗữ
ốứ
2
bc
bc
2
( )
+-
ổửổử
Ê==-
ỗữỗữ
ốứốứ
22
2
bc1a
16abc16a16a4a1a
22
( )( )
(
)
( ) ( )
ộự
-= = Ê-=+
ởỷ
22
2
4a1a1a4a4a1a112a1abc
b) (1 a)(1 b)(1 c) 8abc
(1 a)(1 b)(1 c) = (b + c)(a + c)(a + b) =
2bc.2ac.2ab8abc
c)
ổửổửổử
+++
ỗữỗữỗữ
ốứốứốứ
111
11164
abc
+++
ổửổử
+=
ỗữỗữ
ốứốứ
4
2
1aabc4abc
1
aaa
+
4
2
14abc
1
bb
+
4
2
14abc
1
cc
ữ
ổửổửổử
+++
ỗữỗữỗữ
ốứốứốứ
111
11164
abc
15. Cho x > y > 0 . Chng minh:
( )
+
-
1
x3
xyy
ữ
( )
( )
( )
( )
-
=-++=
3
xyy
1
VTxyy33
xyyxyy
16. Chng minh:
a)
+
+
2
2
x2
2
x1
++
22
x22x1
+++
22
x112x1
b)
+
-
x8
x1
=
-+
=-+-=
x1999
x12x16
x1x1x1
c.
( ) ( )
+++=+
222
a1424a14a1
+
+
2
2
a5
4
a1
17. Chng minh:
++
++Ê>
+++
abbccaabc
;a,b,c0
abbcca2
Vỡ : +
ab2ab
ị Ê=
+
ababab
ab2
2ab
, Ê=
+
bcbcbc
bc2
2bc
, Ê=
+
acacac
ac2
2ac
++++
abcabbcca
, da vo: ++++
222
abcabbcca
.
++++
++ÊÊ
+++
abbccaabbcacabc
abbcca22
Tuyn tp Bt ng thc Trn S Tựng
10
18. Chng minh:
+Ê
++
22
44
xy1
4
116x116y
, "x , y ẻ R
( )
=Ê=
+
+
222
422
xxx1
8
116x2.4x
14x
( )
=Ê=
+
+
222
422
yyy1
8
116y2.4y
14y
ữ
+Ê
++
22
44
xy1
4
116x116y
19. Chng minh:
++
+++
abc3
bcacab2
; a , b , c > 0
t X = b + c , Y = c + a , Z = a + b.
a + b + c =
1
2
(X + Y + Z)
+-+-+-
===
YZXZXYXYZ
a,b,c
222
ộự
ổửổửổử
++=+++++-
ỗữỗữỗữ
ờỳ
+++ốứốứốứ
ởỷ
abc1YXZXZY
3
bcacab2XYXZYZ
[ ]
++-=
13
2223
22
.
Cỏch khỏc:
ổửổửổử
++=+++++-
ỗữỗữỗữ
++++++
ốứốứốứ
abcabc
1113
bcacabbcacab
( )( )( )
[ ]
ổử
=+++++++-
ỗữ
+++
ốứ
1111
abbcca3
2bcacab
ữ p dng bt ng thc Cụsi cho ba s khụng õm:
( ) ( ) ( )
[ ]
ổử
+++++++-=
ỗữ
+++
ốứ
111193
abbcca3
2bcacab22
20. Cho a , b , c > 0. C/m:
++Ê
++++++
333333
1111
abc
ababcbcabccaabc
( )
(
)
( )
+=+-++
3322
ababaabaabab
ị
( ) ( )
++++=++
33
ababcabababcababc
, tng t
( ) ( )
++++=++
33
bcabcbcbcabcbcabc
( ) ( )
++++=++
33
caabccacaabccaabc
ữ
( ) ( ) ( )
++
ổử
Ê++=
ỗữ
++++++++
ốứ
1111abc
VT
ababcbcabccaabcabcabc
Trn S Tựng Tuyn tp Bt ng thc
11
21. p dng BT Cụsi cho hai s chng minh:
a. +++
4
abcd4abcd
vi a , b , c , d 0 (Cụsi 4 s)
ữ ++
ab2ab,cd2cd
ữ
( )
(
)
+++
4
abcd2abcd22ab.cd4abcd
b. ++
3
abc3abc
vi a , b , c 0 , (Cụsi 3 s )
ữ
++++
+++
4
abcabc
abc4.abc
33
++++
4
abcabc
abc
33
++++
ổử
ỗữ
ốứ
4
abcabc
abc
33
++
ổử
ỗữ
ốứ
3
abc
abc
3
++
3
abc3abc
.
22. Chng minh: ++++
333222
abcabcbaccab
; a , b , c > 0
+
32
aabc2abc
, +
32
babc2bac
, +
32
cabc2cab
(
)
+++++
333222
abc3abc2abcbaccab
ị
(
)
(
)
++++
333222
2abc2abcbaccab
,
vỡ : ++
333
abc3abc
Vy: ++++
333222
abcabcbaccab
23. Chng minh: ++
39
4
2a3b4c9abc
ữ p dng bt ng thc Cụsi cho 9 s khụng õm:
=++++++++
3339
4444
VTaabbbcccc9abc
24. Cho =+
x18
y
2x
, x > 0. nh x y t GTNN.
ữ p dng BT Cụsi cho hai s khụng õm:
=+=
x18x18
y2.6
2x2x
Du = xy ra
===
2
x18
x36x6
2x
, chn x = 6.
Vy: Khi x = 6 thỡ y t GTNN bng 6
25. Cho
=+>
-
x2
y,x1
2x1
. nh x y t GTNN.
ữ
-
=++
-
x121
y
2x12
ữ p dng bt ng thc Cụsi cho hai s khụng õm
-
-
x12
,
2x1
:
=+++=
x121x1215
y2.
2x122x122
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng
16
°
( )
æö
-£++
ç÷
èø
22
2349
3a5b3a5b
35
35
Û 3a
2
+ 5b
2
³
735
47
.
5. Cho 3a – 5b = 8. Chứng minh: 7a
2
+ 11b
2
³
2464
137
.
÷ -=-
35
3a5b7a11b
711
÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số -
35
,7a,,11b
711
:
°
( )
æö
-£++
ç÷
èø
22
35925
7a11b7a11b
711
711
Û 7a
2
+ 11b
2
³
2464
137
.
6. Cho a + b = 2. Chứng minh: a
4
+ b
4
³ 2.
÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski:
°
( )
( )
=+£++
22
2ab11ab
Û a
2
+ b
2
³ 2
°
( )
( )
( )
£+£++
2244
2ab11ab
Û a
4
+ b
4
³ 2
7. Cho a + b ³ 1 Chứng minh:
+³
22
1
ab
2
°
( )
( )
£+£++Û+³
222222
1
1ab11abab
2
Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức
13
°
( )
-+
=+=++³+=+
x51x5xxx1x1x
f(x)55255255
1xx1xx1xx
Dấu “ = ‘ xảy ra Û
æö
=Û=Û=
ç÷
èø
2
x1xx55
55x
1xx1x4
(0 < x < 1)
° Vậy: GTNN của y là
+
255
khi
-
=
55
x
4
29. Cho
+
=
3
2
x1
y
x
, x > 0 . Định x để y đạt GTNN.
°
+
=+=++³=
3
3
22223
x11xx1xx13
x3
2222
4
xxxx
° Dấu “ = ‘ xảy ra Û ==
2
xx1
22
x
Û =
3
x2
.
° Vậy: GTNN của y là
3
3
4
khi =
3
x2
30. Tìm GTNN của
++
=
2
x4x4
f(x)
x
, x > 0.
°
++
=++³+=
2
x4x444
x42x.48
xxx
° Dấu “ = ‘ xảy ra Û
=
4
x
x
Û x = 2 (x > 0).
° Vậy: GTNN của y là 8 khi x = 2.
31. Tìm GTNN của =+
2
3
2
f(x)x
x
, x > 0.
°
æö
æö
+=++++³=
ç÷
ç÷
èø
èø
3
2
2222
2
5
33335
2xxx11x15
x5
3333
27
xxxx
° Dấu “ = ‘ xảy ra Û =Û=
2
5
3
x1
x3
3
x
Û x = 2 (x > 0).
° Vậy: GTNN của y là
5
5
27
khi =
5
x3
.
32. Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x)
° f(x) = –10x
2
+ 11x – 3 =
æöæö
= +£
ç÷ç÷
èøèø
2
2
11x1111
10x310x
10204040
° Dấu “ = “ xảy ra Û =
11
x
20
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng
14
° Vậy: Khi =
11
x
20
thì y đạt GTLN bằng
1
40
.
33. Cho y = x(6 – x) , 0 £ x £ 6 . Định x để y đạt GTLN.
÷ Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm x và 6 – x (vì 0 £ x £ 6):
°
( ) ( )
=+-³-
6x6x2x6x
Þ x(6 – x) £ 9
° Dấu “ = “ xảy ra Û x = 6 – x Û x = 3
° Vậy: Khi x = 3 thì y đạt GTLN bằng 9.
34. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 £ x £
5
2
. Định x để y đạt GTLN.
÷ y = (x + 3)(5 – 2x) =
1
2
(2x + 6)(5 – 2x)
÷ Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 6 và 5 – 2x ,
æö
-££
ç÷
èø
5
3x
2
:
°
( ) ( ) ( )( )
=++-³+-
112x652x22x652x
Þ
1
2
(2x + 6)(5 – 2x) £
121
8
° Dấu “ = “ xảy ra Û 2x + 6 = 5 – 2x Û
=-
1
x
4
° Vậy: Khi
=-
1
x
4
thì y đạt GTLN bằng
121
8
.
35. Cho y = (2x + 5)(5 – x) ,
-££
5
x5
2
. Định x để y đạt GTLN.
÷ y = (2x + 5)(5 – x) =
1
2
(2x + 5)(10 – 2x)
÷ Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 5 , 10 – 2x ,
æö
-££
ç÷
èø
5
x5
2
:
°
( ) ( ) ( )( )
++-³+-
2x5102x22x5102x
Þ
1
2
(2x + 5)(10 – 2x) £
625
8
° Dấu “ = “ xảy ra Û 2x + 5 = 10 – 2x Û
=
5
x
4
° Vậy: Khi
=
5
x
4
thì y đạt GTLN bằng
625
8
36. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) ,
-
1
2
£ x £
5
2
. Định x để y đạt GTLN
÷ y = 3(2x + 1)(5 – 2x)
÷ Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 1 , 5 – 2x ,
æö
-££
ç÷
èø
15
x
22
:
°
( ) ( ) ( )( )
++-³+-
2x152x22x152x
Þ (2x + 1)(5 – 2x) £ 9
° Dấu “ = “ xảy ra Û 2x + 1 = 5 – 2x Û x = 1
Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức
15
° Vậy: Khi x = 1 thì y đạt GTLN bằng 9.
37. Cho =
+
2
x
y
x2
. Định x để y đạt GTLN
° +³=
22
2x22x2x2
Û ³
+
2
1x
22
2x
Þ £
1
y
22
° Dấu “ = “ xảy ra Û =Þ
2
x2vàx>0x=2
° Vậy: Khi =
x2
thì y đạt GTLN bằng
1
22
.
38. Cho
( )
=
+
2
3
2
x
y
x2
. Định x để y đạt GTLN
° +=++³
3
222
x2x113x.1.1
Û
( )
( )
+³Þ£
+
2
3
22
3
2
x1
x227x
27
x2
° Dấu “ = “ xảy ra Û
=Û=±
2
x1x1
° Vậy: Khi
=±
x1
thì y đạt GTLN bằng
1
27
.
III. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki
1. Chứng minh: (ab + cd)
2
£ (a
2
+ c
2
)(b
2
+ d
2
) («) BĐT Bunhiacopxki
(«) Û ++£+++
222222222222
ab2abcdcdabadcbcd
Û
+-³
2222
adcb2abcd0
Û
( )
-³
2
adcb0
.
2. Chứng minh: +£
sinxcosx2
÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 1 , sinx , 1 , cosx :
°
+=
sinxcosx
( )
( )
+£++=
2222
1.sinx1.cosx11sinxcosx2
3. Cho 3a – 4b = 7. Chứng minh: 3a
2
+ 4b
2
³ 7.
÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số
3,3a,4,4b
:
°
( )
( )
+=+£++
22
3a4b3.3a4.4b343a4b
Û 3a
2
+ 4b
2
³ 7.
4. Cho 2a – 3b = 7. Chứng minh: 3a
2
+ 5b
2
³
725
47
.
÷ -=-
23
2a3b3a5b
35
÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số -
23
,3a,,5b
35
:
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng
20
++
++£
222
abc
xyz
2R
(a, b, c là các cạnh của DABC, R là
bán kính đường tròn ngoại tiếp). Dấu “=” xảy ra khi nào?
36. (Đại học 2002 dự bị 3)
Giả sử x, y là hai số dương thay đổi thoả mãn điều kiện x + y =
5
4
. Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = +
41
x4y
37. (Đại học 2002 dự bị 5)
Giả sử a, b, c, d là 4 số nguyên thay đổi thoả mãn 1 ≤ a < b < c < d ≤ 50.
Chứng minh bất đẳng thức:
++
+³
2
acbb50
bd50b
và tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức: S =
+
ac
bd
.
38. (Đại học 2002 dự bị 6)
Cho tam giác ABC có diện tích bằng
3
2
. Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các
cạnh BC, CA, AB và h
a
, h
b
, h
c
tương ứng là độ dài các đường cao kẻ từ
các đỉnh A, B, C. Chứng minh rằng:
æö
æö
++++³
ç÷
ç÷
èø
èøabc
111111
3
abchhh
39. (Đại học khối A 2003)
Cho x, y, z là 3 số dương và x + y + z £ 1. Chứng minh rằng:
+++++³
222
222
111
xyz82
xyz
40. (Đại học khối A 2003 dự bị 1)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = sin
5
x +
3
cosx
41. (Đại học khối A 2003 dự bị 2)
Tính các góc của tam giác ABC, biết rằng:
-£
ì
ï
í
-
=
ï
î
4p(pa)bc(1)
ABC233
sinsinsin(2)
2228
trong đó BC = a, CA = b, AB = c, p =
++
abc
2
.
42. (Đại học khối A 2005)
Cho x, y, z là các số dương thoả mãn :
++=
111
4
xyz
.
Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức
17
PHẦN II. ĐỀ THI ĐẠI HỌC
1. (CĐGT II 2003 dự bị)
Cho 3 số bất kì x, y, z. CMR: ++++³+
222222
xxyyxxz+zyyz+z
2. (CĐBC Hoa Sen khối A 2006)
Cho x, y, z > 0 và xyz = 1. Chứng minh rằng: x
3
+ y
3
+ z
3
³ x + y + z.
3. (CĐKTKT Cần Thơ khối A 2006)
Cho 3 số dương x, y, z thoả x + y + z £ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức: A = x + y + z +
++
111
xyz
4. (CĐSPHCM khối ABTDM 2006)
Cho x, y là hai số thực dương và thoả x + y =
5
4
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức: A = +
41
x4y
.
5. (CĐKTKT Cần Thơ khối B 2006)
Cho 4 số dương a, b, c, d. Chứng minh bất đẳng thức:
+++
++++++++
abcd
abcbcdcdadab
< 2
6. (CĐKT Cao Thắng khối A 2006)
Chứng minh rằng nếu x > 0 thì (x + 1)
2
æö
++
ç÷
èø
2
12
1
x
x
³ 16.
7. (CĐKTKTCN1 khối A 2006)
Cho 3 số dương a, b, c. Ch. minh rằng:
++++++
++³
abcabcabc
9
abc
8. (CĐKTYTế1 2006)
Cho các số thực x, y thay đổi thoả mãn điều kiện: y £ 0; x
2
+ x = y + 12.
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: A = xy + x + 2y + 17
9. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)
Cho x, y, z > 0; x + y + z = xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = xyz.
10. (Học viện BCVT 2001)
Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c thoả mãn điều kiện: a + b + c = 1
thì:
æö
++³++
ç÷
èø
abcabc
111abc
3
333333
11. (ĐH Đà Nẵng khối A 2001 đợt 2)
Cho ba số dương a, b, c thoả a
2
+ b
2
+ c
2
= 1. Chứng minh:
++³
+++
222222
abc33
2
bccaab
12. (ĐH Kiến trúc HN 2001)
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng
18
Cho các số a, b, c thoả:
ì
++=
ï
í
++=
ï
î
222
abc2
abbcca1
Chứng minh:
-££-££-££
444444
a;b;c
333333
13. (Học viện NH TPHCM khối A 2001)
Cho DABC có 3 cạnh là a, b, c và p là nửa chu vi. Chứng minh rằng:
æö
++³++
ç÷
èø
111111
2
papbpcabc
14. (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001)
Cho 3 số x, y, z > 0. Chứng minh rằng:
++£++
+++
323232222
2y
2x2z111
xyyzzxxyz
15. (ĐH PCCC khối A 2001)
Ch. minh rằng với a ≥ 2, b ≥ 2, c ≥ 2 thì:
+++
++>
bccaab
logalogblogc1
16. (ĐH Quốc gia HN khối D 2001)
Ch. minh rằng với mọi x ≥ 0 và với mọi a > 1 ta luôn có: x
a
+ a – 1 ≥ ax.
Từ đó chứng minh rằng với 3 số dương a, b, c bất kì thì:
++³++
333
333
abcabc
bca
bca
17. (ĐH Thái Nguyên khối D 2001)
Cho a ≥ 1, b ≥ 1. Chứng minh rằng: -+-£
ab1ba1ab
(*)
18. (ĐH Vinh khối A, B 2001)
Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi
bằng 3 thì: 3a
2
+ 3b
2
+ 3c
2
+ 4abc ≥ 13
19. (ĐH Y Thái Bình khối A 2001)
Cho a, b, c là những số dương và a + b = c. Ch. minh rằng: +>
222
333
abc
20. (ĐHQG HN khối A 2000)
Với a, b, c là 3 số thực bất kì thoả điều kiện a + b + c = 0. Chứng minh
rằng: 8
a
+ 8
b
+ 8
c
≥ 2
a
+ 2
b
+ 2
c
21. (ĐHQG HN khối D 2000)
Với a, b, c là 3 số thực dương thoả điều kiện: ab + bc + ca = abc. Chứng
minh rằng:
+++
++³
222222
b2ac2ba2c
3
abbcca
22. (ĐH Bách khoa HN khối A 2000)
Cho 2 số a, b thoả điều kiện a + b ≥ 0. Ch. minh rằng:
++
æö
³
ç÷
èø
3
33
abab
22
23. (ĐHSP TP HCM khối DE 2000)
Cho 3 số a, b, c bất kì. Chứng minh các BĐT:
Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức
19
a) a
2
+ b
2
+ c
2
≥ ab + bc + ca b) (ab + bc + ca)
2
≥ 3abc(a + b + c)
24. (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000)
Cho 3 số dương a, b, c thoả điều kiện abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức: P = ++
+++
222222
bccaab
abacbcbacacb
25. (ĐH Thuỷ lợi II 2000)
Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c ta đều có:
(a + 1).(b + 1).(c + 1) ≥
(
)
+
3
3
1abc
26. (ĐH Y HN 2000)
Giả sử x, y là hai số dương thoả điều kiện
+=
23
6
xy
. Tìm giá trị nhỏ nhất
của tổng x + y.
27. (ĐH An Giang khối D 2000)
Cho các số a, b, c ≥ 0. Chứng minh: a
c + 1
+ b
c + 1
≥ ab(a
c – 1
+ b
c – 1
)
28. (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000)
CMR với mọi x, y, z dương và x + y + z = 1 thì xy + yz + zx >
+
18xyz
2xyz
29. (ĐH An Ninh khối A 2000)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 3 ta đều có: n
n + 1
> (n + 1)
n
30. (CĐSP Nha Trang 2000)
Cho 2 số thực a, b thoả điều kiện: a, b ≥ –1 và a + b = 1. Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức: A =
+++
a1b1
31. (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)
Chứng minh BĐT sau đây luôn luôn đúng với mọi số thực x, y, z bất kì
khác không:
++³
++
222222
1119
xyzxyz
BĐT cuối cùng luôn đúng Þ BĐT cần chứng minh đúng.
32. (ĐH Y Dược TP HCM 1999)
Cho 3 số a, b, c khác 0. Chứng minh:
++³++
222
222
abcabc
bca
bca
33. (ĐH Hàng hải 1999)
Cho x, y, z ≥ 0 và x + y + z ≤ 3. Chứng minh rằng:
++££++
+++
+++
222
xyz3111
21x1y1z
1x1y1z
34. (ĐH An ninh HN khối D 1999)
Cho 3 số x, y, z thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0;1]. Chứng minh rằng:
2(x
3
+ y
3
+ z
3
) – (x
2
y + y
2
z + z
2
x) ≤ 3 (*)
35. (Đại học 2002 dự bị 1)
Gọi x, y, z là khoảng cách từ điểm M thuộc miền trong của DABC có 3 góc
nhọn đến các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng:
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng
24
+<+=
++++++
bdbd
1
bcddabbdbd
Cộng vế theo vế các BĐT trên ta được đpcm.
6. (CĐKT Cao Thắng khối A 2006)
Ta có: (x + 1)
2
æö
++
ç÷
èø
2
12
1
x
x
³ 16 (1) Û (x + 1)
2
æö
+
ç÷
èø
2
1
1
x
³ 16
Û (x + 1)
æö
+
ç÷
èø
1
1
x
³ 4 (do x > 0) Û (x + 1)
2
³ 4x Û (x – 1)
2
³ 0 (2)
(2) luôn đúng nên (1) được chứng minh.
7. (CĐKTKTCN1 khối A 2006)
Xét vế trái của BĐT đã cho: VT =
++++++++
bcacab
111
aabbcc
= 3 +
æöæöæö
+++++
ç÷ç÷ç÷
èøèøèø
bacacb
abacbc
Do a, b, c > 0 nên theo BĐT Côsi ta có:
+³=
baba
2.2
abab
;
+³=
bcbc
2.2
cbcb
;
+³=
caca
2.2
acac
Khi đó: VT ³ 3 + 2 + 2 + 2 = 9 (đpcm).
8. (CĐKTYTế1 2006)
y £ 0, x
2
+ x = y + 12 Þ x
2
+ x – 12 £ 0 Þ – 4 £ x £ 3
y = x
2
+ x – 12 Þ A = x
3
+ 3x
2
– 9x – 7
Đặt f(x) = A = x
3
+ 3x
2
– 9x – 7 với – 4 £ x £ 3
f¢(x) = 3x
2
+ 6x – 9 ; f¢(x) = 0 Û x = 1 hoặc x = – 3
f(–4) = 13, f(–3) = 20, f(1) = –12, f(3) = 20
Vậy maxA = 20 (x = 3, y = 0), minA = –12 (x = 1, y = –10).
9. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)
Ta có: x + y + z ³ 3
3
xyz
Û xyz ³ 3
3
xyz
Û (xyz)
2
³ 27 Û xyz ³ 3
3
Dấu "=" xảy ra Û x = y = z =
3
.
Vậy minA = 3
3
.
10. (Học viện BCVT 2001)
Ta có hàm số f(x) =
x
1
3
là hàm nghịch biến nên:
(a – b)
æö
-
ç÷
èø
ab
11
33
≤ 0, "a, b.
Þ +£+
abab
abba
3333
, "a, b. (1)
Tương tự: +£+
bccb
bcbc
3333
(2)
Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức
21
Chứng minh rằng:
++£
++++
111
1
2x+y+zx2yzxy2z
43. (Đại học khối B 2005)
Chứng minh rằng với mọi x Î R, ta có:
æöæöæö
++³++
ç÷ç÷ç÷
èøèøèø
xxx
xxx
121520
345
543
Khi nào đẳng thức xảy ra?
44. (Đại học khối D 2005)
Cho các số dương x, y, z thoả mãn xyz = 1. Chứng minh rằng:
++++
++
++³
3333
33
1xy1yz
1zx
33
xyyzzx
Khi nào đẳng thức xảy ra?
45. (Đại học khối A 2005 dự bị 1)
Cho 3 số x, y, z thoả x + y + z = 0. CMR: +++++
xyz
343434
³ 6
46. (Đại học khối A 2005 dự bị 2)
Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 ta có:
( )
æö
æö
+++
ç÷
ç÷
ç÷
èø
èø
2
y9
1x11
x
y
³ 256
Đẳng thức xảy ra khi nào?
47. (Đại học khối B 2005 dự bị 1)
Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn: a + b + c =
3
4
. Chứng minh rằng:
+++++£
333
a3bb3cc3a3
Khi nào đẳng thức xảy ra?
48. (Đại học khối B 2005 dự bị 2)
Chứng minh rằng nếu 0 £ y £ x £ 1 thì
-£
1
xyyx
4
.
Đẳng thức xảy ra khi nào?
49. (Đại học khối D 2005 dự bị 2)
Cho x, y, z là 3 số dương và xyz = 1. CMR:
++³
+++
222
xyz3
1y1z1x2
50. (Đại học khối A 2006)
Cho 2 số thực x ≠ 0, y ≠ 0 thay đổi và thoả mãn điều kiện:
(x + y)xy = x
2
+ y
2
– xy.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =
+
33
11
xy
.
51. (Đại học khối B 2006)
Cho x, y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A =
( ) ( )
-+++++-
22
22
x1yx1yy2
Tuyn tp Bt ng thc Trn S Tựng
22
LI GII
1. (CGT II 2003 d b)
Trong mt phng to Oxy, xột cỏc im:
A
ổử
+
ỗữ
ỗữ
ốứ
y3
x;z
22
, B
ổử
+
ỗữ
ỗữ
ốứ
33
0;yz
22
, C
ổử
-
ỗữ
ốứ
yz
;0
22
Ta cú: AB =
ổử
ổử
++=++
ỗữ
ỗữ
ỗữ
ốứ
ốứ
2
2
22
y3
xyxxyy
22
AC =
ổử
ổử
++=++
ỗữ
ỗữ
ỗữ
ốứ
ốứ
2
2
22
z3
xzxxzz
22
BC =
ổử
ổử
-++=+
ỗữ
ỗữ
ỗữ
ốứ
ốứ
2
2
22
yz3
(yz)yyz+z
222
Vi 3 im A, B, C ta luụn cú: AB + AC BC
ị +++++
222222
xxyyxxz+zyyz+z
2. (CBC Hoa Sen khi A 2006)
x
3
+ y
3
+ z
3
3
333
3
xyz
ị 2(x
3
+ y
3
+ z
3
) 6
x
3
+ 1 + 1 3
3
3
x
ị x
3
+ 2 3x (1)
Tng t: y
3
+ 1 + 1 3
3
3
y
ị y
3
+ 2 3y (2)
z
3
+ 1 + 1 3
3
3
z
ị z
3
+ 2 3z (3)
Cng (1), (2), (3) v theo v suy ra bt ng thc cn chng minh.
3. (CKTKT Cn Th khi A 2006)
ã Cỏch 1:
Theo BT Cụsi: 1 x + y + z 3
3
xyz
> 0
++
3
1113
xyz
xyz
T ú: A 3
3
xyz
+
3
3
xyz
t: t =
3
xyz
, iu kin: 0 < t Ê
1
3
Xột hm s f(t) = 3t +
3
t
vi 0 < t Ê
1
3
Trn S Tựng Tuyn tp Bt ng thc
23
fÂ(t) = 3
2
3
t
=
-
2
2
3(t1)
t
< 0, "t ẻ
ổự
ỗ
ỳ
ốỷ
1
0;
3
Bng bin thiờn:
1
3
T bng bin thiờn ta suy ra: A 10. Du "=" xy ra khi x = y = z =
1
3
Vy A
min
= 10 t c khi x = y = z =
1
3
.
ã Cỏch 2:
Theo BT Cụsi: 1 x + y + z 3
3
xyz
> 0
3
1
xyz
3
x +
12
9x3
, y +
12
9y3
, z +
12
9z3
T ú: A=
ổửổử
ổửổử
++++++++
ỗữỗữ
ỗữỗữ
ốứốứ
ốứốứ
1118111
xyz
9x9y9z9xyz
2 +
3
83
9
xyz
10
Du "=" xy ra khi x = y = z =
1
3
.Vy A
min
= 10 t c khi x = y = z =
1
3
4. (CSPHCM khi ABT 2006)
Ta cú: x + y =
5
4
4x + 4y 5 = 0
A = +
41
x4y
=
++-
41
4x+4y5
x4y
ị A 2
4
.4x
x
+ 2
1
.4y
4y
5
ị A 5
Du "=" xy ra
ỡ
=
ù
ù
ù
=
ù
ớ
ù
ù
+=
ù
ù
>
ợ
4
4x
x
1
4y
4y
5
xy
4
x,y0
=
ỡ
ù
ớ
=
ù
ợ
x1
1
y
4
. Vy A
min
= 5.
5. (CKTKT Cn Th khi B 2006)
Vỡ a, b, c, d > 0 nờn ta luụn cú:
+<+=
++++++
acac
1
abccdaacac
Tuyn tp Bt ng thc Trn S Tựng
28
ộự
ổửổửổử
ờỳ
++
ỗữỗữỗữ
ờỳ
ốứốứốứ
ờỳ
ởỷ
333
222
1abc3
2bca2
Cng 4 BT trờn, v theo v, ta cú:
ộự
ổửổửổửộự
ờỳ
++++++
ỗữỗữỗữ
ờỳ
ờỳ
ốứốứốứởỷ
ờỳ
ởỷ
333
222
3abc33abc3
2bca22bca2
Suy ra:
ổửổửổử
++++
ỗữỗữỗữ
ốứốứốứ
333
222
abcabc
bcabca
17. (H Thỏi Nguyờn khi D 2001)
BT (*)
+Ê
ab1ba1
1
abab
ổửổử
-+-Ê
ỗữỗữ
ốứốứ
1111
111
bbaa
(1)
Theo BT Cụsi ta cú:
ổử
+-
ỗữ
ổử
ốứ
-Ê=
ỗữ
ốứ
11
1
111
bb
1
bb22
ổử
+-
ỗữ
ổử
ốứ
-Ê=
ỗữ
ốứ
11
1
111
aa
1
aa22
Cng 2 BT li ta c BT cn chng minh.
Du = xy ra
ỡ
=-=
ù
ù
ớ
ù
=-=
ù
ợ
111
1
bb2
111
1
aa2
a = b = 2.
18. (H Vinh khi A, B 2001)
Ta cú: 3 2a = a + b + c 2a = b + c a > 0.
Do ú theo BT Cụsi ta cú:
(3 2a)(3 2b)(3 2c)
-+-+-
ổử
ỗữ
ốứ
3
32a32b32c
3
= 1
ị 27 9(2a + 2b + 2c) + 3(4ab + 4bc + 4ca) 8abc 1
27 54 + 12(ab + bc + ca) 8abc 1
4abc 6(ab + bc + ca) 14
3(a
2
+ b
2
+ c
2
) + 4abc 3(a
2
+ b
2
+ c
2
) + 6(ab + bc + ca) 14
= 3(a + b +c)
2
14 = 13
ng thc xy ra 3 2a = 3 2b = 3 2c a = b = c = 1.
19. (H Y Thỏi Bỡnh khi A 2001)
T gi thit ta cú:
+
ab
cc
= 1 ị 0 <
ab
,
cc
< 1 ị
ổửổử
+>+
ỗữỗữ
ốứốứ
22
33
abab
cccc
= 1
Trn S Tựng Tuyn tp Bt ng thc
25
+Ê+
caca
caac
3333
(3)
Mt khỏc: ++=++
abcabc
abcabc
333333
(4)
Cng (1), (2), (3), (4) v theo v ta c:
ổửổử
++Ê++++
ỗữỗữ
ốứốứ
abcabc
abc111
3(abc)
333333
Hay
ổử
++Ê++
ỗữ
ốứ
abcabc
abc111
3
333333
(vỡ a + b + c = 1)
Du = xy ra a = b = c =
1
3
.
11. (H Nng khi A 2001 t 2)
Do a
2
+ b
2
+ c
2
= 1 nờn ==
+
2
2222
aaa
bc1aa(1a)
(1)
M 2a
2
.(1 a
2
)
2
ổử
+-+-
ổử
=
ỗữ
ỗữ
ỗữ
ốứ
ốứ
3
3
222
2a(1a)(1a)2
33
ị a
2
.(1 a
2
)
2
4
27
ị a(1 a
2
)
2
33
(2)
T (1), (2) suy ra:
+
2
22
a33
a
2
bc
Do ú: ++++=
+++
222
222222
abc3333
(abc)
22
bccaab
Du = xy ra
ỡ
=-
ù
ù
=-
ớ
ù
=-
ù
ợ
22
22
22
2a1a
2b1b
2c1c
a = b = c =
1
3
.
12. (H Kin trỳc HN 2001)
Ta cú:
ỡ
++=
ù
ớ
++=
ù
ợ
222
abc2
abbcca1
ỡ
+-=-
ù
ớ
++=
ù
ợ
22
(ab)2ab2c
c(ab)ab1
Ta xem õy l h phng trỡnh ca a, b v t
+=
ỡ
ớ
=
ợ
abS
abP
(S
2
4P 0)
Ta c h:
ỡ
-=-
ù
ớ
ù
ợ
22
S2P2c(1)
cS+P=1(2)
T (2) ị P = 1 cS, thay vo (1) ta c:
Tuyn tp Bt ng thc Trn S Tựng
26
S
2
2(1 cS) = 2 c
2
S
2
+ 2cS + c
2
4 = 0
=
ộ
ờ
=-+
ở
Sc2
Sc2
ã Vi S = c 2 ị P = 1 + c(c + 2) = c
2
+ 2c + 1
BT: S
2
4P 0 (c 2)
2
4(c
2
+ 2c + 1) 0
3c
2
4c 0
-ÊÊ
4
c0
3
(3)
ã Vi S = c + 2 ị P = 1 c(c + 2) = c
2
2c + 1
BT: S
2
4P 0 (c + 2)
2
4(c
2
2c + 1) 0
3c
2
+ 4c 0
ÊÊ
4
0c
3
(4)
T (3), (4) ta c:
-ÊÊ
44
c
33
Tng t ta chng minh c:
-ÊÊ
44
a,b,c
33
13. (Hc vin NH TPHCM khi A 2001)
Trc ht, ta d dng chng minh c nu x, y > 0 thỡ:
+
+
114
xyxy
(1)
Du = xy ra x = y.
p dng (1) ta c:
+=
+-
1144
papbpapbc
+=
+-
1144
pbpcpbpca
+=
+-
1144
pcpapcpab
Cng 3 BT trờn v theo v, ta c:
ổử
ổử
++++
ỗữ
ỗữ
ốứ
ốứ
111111
24
papbpcabc
pcm
Du = xy ra a = b = c.
14. (H Nụng nghip I HN khi A 2001)
p dng BT Cụsi cho 2 s dng x
3
, y
2
ta cú:
x
3
+ y
2
2 =
32
xy2xyx
ị Ê=
+
32
2x2x1
xy
2xyx
xy
p dng BT Cụsi cho 2 s dng
22
11
,
xy
ta cú:
Trn S Tựng Tuyn tp Bt ng thc
27
ổử
Ê+
ỗữ
ỗữ
ốứ
22
1111
xy2
xy
ị
ổử
Ê+
ỗữ
ỗữ
+
ốứ
3222
2x111
2
xyxy
Tng t ta cng cú:
ổử
Ê+
ỗữ
ỗữ
+
ốứ
3222
2y
111
2
yzyz
;
ổử
Ê+
ỗữ
+
ốứ
3222
2z111
2
zxzx
Suy ra: ++Ê++
+++
323232222
2y
2x2z111
xyyzzxxyz
Du = xy ra
ỡỡỡ
===
ùùù
ớớớ
===
ùùù
ợợợ
323232
xyyzzx
vaứvaứ
xyyzzx
x = y = z = 1
15. (H PCCC khi A 2001)
Trc ht chỳ ý rng nu a > 1, x > 1 thỡ hm s y =
a
logx
l ng bin
v dng.
Do ú hm s y = log
x
a =
a
1
logx
l nghch bin.
Vỡ vai trũ ca a, b, c l nh nhau, nờn ta cú th gi thit a b c. Ta
c:
VT=
+++++++
++++=
bccaababababab
logalogblogclogalogblogclogabc
Vỡ a, b, c 2 nờn abc 2ab = ab + ab > a + b
Do ú VT log
a+b
abc > log
a+b
(a + b) = 1.
16. (H Quc gia HN khi D 2001)
ã Xột f(x) = x
a
ax + a 1 (x 0)
fÂ(x) = a(x
a
1
1); fÂ(x) = 0 x = 1
Vy vi "x 0 v a > 1 thỡ f(x) 0 hay x
a
+ a 1 ax.
ã BT cn chng minh:
ổửổửổử
++++
ỗữỗữỗữ
ốứốứốứ
333
222
abcabc
bcabca
p dng BT ó chng minh vi a =
3
2
, ta cú:
ổử
+
ỗữ
ốứ
3
2
a13a
.
b22b
;
ổử
+
ỗữ
ốứ
3
2
b13b
.
c22c
;
ổử
+
ỗữ
ốứ
3
2
c13c
.
a22a
Mt khỏc, theo BT Cụsi ta cú:
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng
32
31. (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)
BĐT cần chứng minh Û
æöæöæö
++++++++
ç÷ç÷ç÷
ç÷ç÷ç÷
èøèøèø
222222
222222
yzxzxy
111
xxyyzz
≥ 9
Û 3 +
æöæöæö
+++++
ç÷ç÷ç÷
ç÷ç÷ç÷
èøèøèø
222222
222222
yzxzxy
xxyyzz
≥ 9
32. (ĐH Y Dược TP HCM 1999)
Áp dụng BĐT Côsi ta có:
*
++³=
222222
3
222222
abcabc
3 3
bcabca
(1)
* +³
2
2
aa
12
b
b
; +³
2
2
bb
12
c
c
; +³
2
2
cc
12
a
a
Þ
æö
++³++-
ç÷
èø
222
222
abcabc
23
bca
bca
(2)
Kết hợp (1) và (2) ta được:
æö
æö
++³++
ç÷
ç÷
ç÷
èø
èø
222
222
abcabc
22
bca
bca
Þ
++³++
222
222
abcabc
bca
bca
33. (ĐH Hàng hải 1999)
· Do (x – 1)
2
≥ 0 nên x
2
+ 1 ≥ 2x Û
+
2
2x
1x
≤ 1
Tương tự ta cũng có:
+
2
2y
1y
≤ 1;
+
2
2z
1z
≤ 1
Do đó:
+
2
2x
1x
+
+
2
2y
1y
+
+
2
2z
1z
≤ 3
Hay:
++£
+++
222
xyz3
2
1x1y1z
(1)
· Áp dụng BĐT Côsi cho 3 số không âm ta có:
++
+++
³=
+++
+++
3
3
111
11
1x1y1z
3(1x)(1y)(1z)
(1x)(1y)(1z)
Þ
£+++
++
+++
3
3
(1x)(1y)(1z)
111
1x1y1z
≤
+++++
(1x)(1y)(1z)
3
≤ 2
Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức
29
Từ đó suy ra: +>
222
333
abc
20. (ĐHQG HN khối A 2000)
Đặt x = 2
a
, y = 2
b
, z = 2
c
thì x, y, z > 0.
Đ.kiện a + b + c = 0 Û xyz = 2
a+b+c
= 1, do đó theo BĐT Côsi: x + y + z ≥ 3
Mặt khác: x
3
+ 1 + 1 ≥ 3x Þ x
3
≥ 3x – 2
Tương tự: y
3
≥ 3y – 2; z
3
≥ 3z – 2
Þ x
3
+ y
3
+ z
3
≥ 3(x + y + z) – 6 = (x + y + z) + 2(x + y + z – 3) ≥ x + y + z
Þ 8
a
+ 8
b
+ 8
c
≥ 2
a
+ 2
b
+ 2
c
21. (ĐHQG HN khối D 2000)
Ta có:
++
==+
2222
2222
b2ab2a11
2.
ab
abab
Đặt x =
1
a
; y =
1
b
; z =
1
c
thì
giả thiết
>
ì
í
++=
î
a,b,c0
abbccaabc
Û
>
ì
í
++=
î
x,y,z0
xyz1
và đpcm Û +++++³
222222
x2yy2zz2x3
Theo BĐT Bunhiacopxki ta có:
3(x
2
+ 2y
2
) = 3(x
2
+ y
2
+ y
2
) ≥ (x + y + y)
2
Þ +³+
22
1
x2y(x2y)
3
Viết 2 BĐT tương tự, rồi cộng lại, ta có:
+++++³++=
222222
1
x2yy2zz2x(3x3y3z)3
3
Đẳng thức xảy ra Û x = y = z =
1
3
Û a = b = c = 3
22. (ĐH Bách khoa HN khối A 2000)
Ta có:
++
æö
³
ç÷
èø
3
33
abab
22
Û 4(a
3
+ b
3
) ≥ (a + b)
3
Û (a + b) [4(a
2
+ b
2
– ab) – (a
2
+ b
2
+ 2ab)] ≥ 0
Û (a + b)(3a
2
+ 3b
2
– 6ab) ≥ 0 Û (a + b)(a – b)
2
≥ 0
BĐT cuối cùng này đúng, nên BĐT cần chứng minh là đúng.
Đẳng thức xảy ra Û a = ± b.
23. (ĐHSP TP HCM khối DE 2000)
a) a
2
+ b
2
≥ 2ab; b
2
+ c
2
≥ 2bc; c
2
+ a
2
≥ 2ca
Þ a
2
+ b
2
+ c
2
≥ ab + bc + ca.
Đẳng thức xảy ra Û a = b = c
b) (ab + bc + ca)
2
= (ab)
2
+ (bc)
2
+ (ca)
2
+ 2(abbc + bcca + caab) ≥
≥ abbc + bcca + caab + 2abc(a + b + c) = 3abc(a + b + c)
24. (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000)
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng
30
Ta có: ===
æö
++
+
+
ç÷
èø
2
222
2
1
bcbc1
a
11
11
abaca(bc)
a
bc
bc
Đặt x =
1
a
; y =
1
b
; z =
1
c
thì
giả thiết
ì
í
î
a, b, c > 0
abc = 1
Û
>
ì
í
î
x,y,z0
xyz=1
và P = ++
+++
222
xyz
yzzxxy
Theo BĐT Bunhiacopxki ta có:
(y + z + z + x + x + y).P ≥
æö
+++++
ç÷
ç÷
+++
èø
2
xyz
yz.zx.xy.
yzzxxy
Þ 2(x + y + z).P ≥ (x + y + z)
2
Þ P ≥
1
2
(x + y + z) ≥ =
3
11
.3xyz.3
22
Þ P ≥
3
2
Nếu P =
3
2
thì x = y = z = 1 Þ a = b = c = 1
Đảo lại, nếu a = b = c = 1 thì P =
3
2
. Vậy minP =
3
2
25. (ĐH Thuỷ lợi II 2000)
(a + 1).(b + 1).(c + 1) = 1 + a + b + c + ab + bc + ca + abc ≥
≥ 1 + 3 +
3
222
3
abc3abc
+ abc =
(
)
+
3
3
1abc
Đẳng thức xảy ra Û a = b = c > 0.
26. (ĐH Y HN 2000)
( )
æö
æö
+=+£++
ç÷
ç÷
ç÷
èø
èø
2
2
2323
23.x.y(xy)
xyxy
= 6(x + y)
Þ x + y ≥
(
)
+
2
23
6
Giá trị
(
)
+
2
23
6
đạt được Û
( )
ì
=
ï
ï
í
ï
+
ï
+=
î
2
23
:x:y
xy
23
xy
6
Û
ì
+
=
ï
ï
í
+
ï
=
ï
î
2(23)
x
6
3(23)
y
6
Vậy min(x + y) =
+
526
6
Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức
31
27. (ĐH An Giang khối D 2000)
Giả sử a ≥ b ≥ 0 Þ a
c
(a – b) ≥ b
c
(a – b) Þ a
c + 1
+ b
c + 1
≥ ab(a
c – 1
+ b
c – 1
)
28. (ĐH Tây Nguyên khối AB 2000)
Áp dụng BĐT Côsi cho 6 số dương ta có:
2 = x + y + z + x + y + z ≥ 6
3
xyz
(1)
và xy + yz + zx ≥ 3
222
3
xyz
(2)
Nhân các BĐT (1) và (2) vế theo vế ta được:
2(xy + yz + zx) ≥ 18xyz (3)
Mặt khác ta có: xyz(xy + yz + zx) > 0 (4)
Cộng các BĐT (3) và (4) vế theo vế ta được:
(xy + yz + zx)(2 + xyz) > 18xyz Þ xy + yz + zx >
+
18xyz
2xyz
(vì 2 +xyz > 0)
29. (ĐH An Ninh khối A 2000)
Ta có: 3
4
= 81, 4
3
= 64 Þ 3
4
> 4
3
Þ BĐT cần chứng minh đúng với n = 3.
Với n > 3, đpcm Û n >
+
æö
ç÷
èø
n
n1
n
Û
æö
+
ç÷
èø
n
1
1
n
< n (1)
Ta có:
æö
+
ç÷
èø
n
1
1
n
=
=
å
n
k
n
k
k0
1
C
n
=
= 1 +
+
+++
2n
nn(n1)1n(n1) (nn1)1
n2!n!
nn
= 1 + 1 +
-
æöæöæöæö
-++
ç÷ç÷ç÷ç÷
èøèøèøèø
11112n1
1 11 1
2!nn!nnn
<
< 1 + 1 +
++
11
2!n!
< 1 + 1 +
-
++
n1
11
2
2
<
< 1 + 1 +
-
++
n1
11
2
2
+ … = 1 +
-
1
1
1
2
= 3
Þ
æö
+
ç÷
èø
n
1
1
n
< 3 < n Þ (1)
30. (CĐSP Nha Trang 2000)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho hai cặp số (1, 1), (
++
a1,b1
), ta có:
A =
+++
1.a11.b1
≤
++++
(11)(a1b1)
mà a + b = 1 nên A ≤
6
Dấu “=” xảy ra Û
+=+
a1b1
Û a = b Û a = b =
1
2
( do a + b = 1)
Vậy maxA =
6
khi a = b =
1
2
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng
36
Đặt Q(t) = 9t +
9
t
ÞQ¢(t) = 9 –
2
9
t
< 0, "tỴ
ỉù
ç
ú
èû
1
0;
9
ÞQ(t) giảm trên
ỉù
ç
ú
èû
1
0;
9
Þ Q(t) ³ Q
ỉư
ç÷
èø
1
9
= 82. Vậy P ³ ³
Q(t)82
Dấu "=" xảy ra Û x = y = z =
1
3
.
· Cách 2: Ta có:
(x + y + z)
2
+
ỉư
++
ç÷
èø
2
111
xyz
= 81(x + y + z)
2
+
ỉư
++
ç÷
èø
2
111
xyz
– 80(x + y + z)
2
³ 18(x + y + z).
ỉư
++
ç÷
èø
111
xyz
– 80(x + y + z)
2
³ 162 – 80 = 82
Vậy P ³
82
Dấu "=" xảy ra Û x = y = z =
1
3
.
40. (Đại học khối A 2003 dự bị 1)
· Tìm max: y = sin
5
x +
3
cosx ≤ sin
4
x +
3
cosx (1)
Ta chứng minh: sin
4
x +
3
cosx ≤
3
, "x Ỵ R (2)
Û
3
(1 – cosx) – sin
4
x ≥ 0 Û
3
(1 – cosx) – (1 – cos
2
x)
2
≥ 0
Û (1 – cosx).[
3
– (1 – cosx)(1 + cosx)
2
] ≥ 0 (3)
Theo BĐT Cơsi ta có:
(1 – cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) =
1
2
(2 – 2cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) ≤
≤
ỉư
=<
ç÷
èø
3
1432
3
2327
Vậy BĐT (3) đúng Þ (2) đúng Þ y ≤
3
, "x. Dấu “=” xảy ra khi cosx = 1
Û x = k2p. Vậy maxy =
3
.
· Tìm min: Ta có y = sin
5
x +
3
cosx ≥ – sin
4
x +
3
cosx.
Tương tự như trên, ta được miny = –
3
, đạt được khi x = p + k2p.
41. (Đại học khối A 2003 dự bị 2)
(1) Û
+++-
£
(abc)(bca)
1
bc
Û
+-
£
22
(bc)a
1
bc
Û
+
£
2bc(1cosA)
1
bc
Û
£
2
A1
cos
24
Û
³
2
A3
sin
24
Û ³
A3
sin
22
(do 0 <
<
p
A
22
) (3)
Biến đổi vế trái của (2) như sau:
ỉư
=-
ç÷
èø
ABC1AB-CB+C
sinsinsinsincoscos
2222222
≤
ỉư
-
ç÷
èø
1AA
sin1sin
222
=
Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức
33
Û £++
+++
3111
21x1y1z
(2)
Kết hợp (1) và (2) ta được BĐT cần chứng minh.
34. (ĐH An ninh HN khối D 1999)
Vì 0 ≤ x, y, z ≤ 1 nên x
2
≥ x
3
; y
2
≥ y
3
; z
2
≥ z
3
.
Suy ra: 2(x
3
+ y
3
+ z
3
) – (x
2
y + y
2
z + z
2
x) ≤ 2(x
2
+ y
2
+ z
2
) – (x
2
y + y
2
z + z
2
x)
Do đó nếu ta chứng minh được:
2(x
2
+ y
2
+ z
2
) – (x
2
y + y
2
z + z
2
x) ≤ 3 (1)
thì (*) đúng.
Ta có: (1 – y)(1 + y – x
2
) ≥ 0 Û x
2
+ y
2
– x
2
y – 1 ≤ 0 (2)
Dấu “=” ở (2) xảy ra Û
=
é
ê
=
ì
ê
í
ê
=
ỵ
ë
y1
x1
y0
Tương tự ta cũng có: x
2
+ z
2
– z
2
x – 1 ≤ 0 (3)
y
2
+ z
2
– y
2
z – 1 ≤ 0 (4)
Cộng (2), (3), (4) vế theo vế ta được:
2(x
2
+ y
2
+ z
2
) – (x
2
y + y
2
z + z
2
x) ≤ 3
Vậy (1) đúng Þ (*) đúng
Nhận xét: Dấu “=” ở (*) xảy ra Û (x; y; z) Ỵ
{
}
(1;1;1),(1;1;0),(1;0;1),(0;1;1)
35. (Đại học 2002 dự bị 1)
++=++
111
xyz.ax.by.cz
abc
≤
ỉư
++
ç÷
èø
111
(ax+by+cz)
abc
≤
ỉư
++
ç÷
èø
111
.2S
abc
=
ỉư
++
ç÷
èø
111abc
abc2R
=
++
abbcca
2R
≤
++
222
abc
2R
Dấu “=” xảy ra Û
==
ì
í
==
ỵ
abc
xyz
Û
ìD
í
D
ỵ
ABCđều
MtrùngvớitrọngtâmGcủaABC
36. (Đại học 2002 dự bị 3)
· Cách 1: S =
++++³
5
111115
xxxx4y
x.x.x.x.4y
≥
++++
5.5
xxxx4y
= 5
minS = 5 Û
ì
=
ï
ï
ï
=
í
ï
ï
+=
ï
ỵ
11
x4y
x4y
5
xy
4
Û
=
ì
ï
í
=
ï
ỵ
x1
1
y
4
Tuyn tp Bt ng thc Trn S Tựng
34
ã Cỏch 2: S = +
-
41
x54x
= f(x), 0 < x <
5
4
fÂ(x) =
-+
-
22
44
x(54x)
; fÂ(x) = 0
ỡ
=-
ù
ớ
<<
ù
ợ
22
x(54x)
5
0x
4
x = 1
Lp bng xột du fÂ(x), suy ra minS = 5.
ã Cỏch 3: 2 +
=+
121
x.y.
2
x2y
++
41
xy.
x4y
(3)
Du = (3) xy ra
ỡ
=
ù
ù
ớ
ù
+=
ù
ợ
21
x.x2y.y
5
xy
4
=
ỡ
ù
ớ
+=
ù
ợ
x4y
5
xy
4
=
ỡ
ù
ớ
=
ù
ợ
x1
1
y
4
(3)
ổử
ổử
Ê+
ỗữ
ỗữ
ốứ
ốứ
2
5541
.
24x4y
+
41
x4y
5
Vy minS = 5.
37. (i hc 2002 d b 5)
Vỡ a 1, d 50 v c > b (c, b ẻ N) nờn c b + 1 thnh th:
S =
+
ac
bd
+
+
1b1
b50
=
++
2
bb50
50b
Vy BT ca ra ó c chng minh.
Du = xy ra
=
ỡ
ù
=
ớ
ù
=+
ợ
a1
d50
cb1
tỡm minS, ta t
++
2
bb50
50b
= ++
b11
50b50
v xột hm s cú bin s
liờn tc x:
f(x) = ++
x11
50x50
(2 x 48)
fÂ(x) =
-
-=
2
22
11x50
50
x50x
; fÂ(x) = 0
ỡ
=
ù
ớ
ÊÊ
ù
ợ
2
x50
2x48
=
x52
Bng bin thiờn:
52
Chuyn v biu thc f(b) =
++
2
bb50
50b
(2 b 48, b ẻ N)
Trn S Tựng Tuyn tp Bt ng thc
35
T BBT suy ra khi b bin thiờn t 2 n 7, f(b) gim ri chuyn sang tng
khi b bin thiờn t 8 n 48. Suy ra minf(b) = min[f(7); f(8)].
Ta cú f(7) =
+
=
495753
350175
; f(8) =
+
=>
64586153
400200175
Vy minS =
53
175
khi
=
ỡ
ù
=
ù
ớ
=
ù
ù
=
ợ
a1
b7
c8
d50
38. (i hc 2002 d b 6)
Ta cú din tớch tam giỏc: S = ==
abc
111
ahbhch
222
ị h
a
=
2S
a
; h
b
=
2S
b
; h
c
=
2S
c
ị
++=++
abc
1111
(abc)
hhh2S
ị
ổử
ổửổử
++++=++++
ỗữ
ỗữỗữ
ốứốứ
ốứabc
1111111111
(abc)
abchhh2Sabc
p dng BT Cụsi ta cú: (a + b + c)
ổử
++
ỗữ
ốứ
111
abc
9
v vỡ S =
3
2
, nờn ta cú:
ổử
ổử
++++=
ỗữ
ỗữ
ốứ
ốứabc
1111119
3
abchhh3
39. (i hc khi A 2003)
Vi mi
rr
u,v
ta cú:
+Ê+
rrrr
uvuv
(*)
t
ổử
ổửổử
===
ỗữ
ỗữỗữ
ốứốứ
ốứ
rrr
111
ax;;by;;cz;
xyz
p dng bt ng thc (*), ta cú:
++++++
rrrrrrrrr
abcabcabc
Vy P = +++++
222
222
111
xyz
xyz
ổử
+++++
ỗữ
ốứ
2
2
111
(xyz)
xyz
ã Cỏch 1:
Ta cú: P
ổử
+++++
ỗữ
ốứ
2
2
111
(xyz)
xyz
( )
ổử
+
ỗữ
ỗữ
ốứ
2
2
3
3
1
3xyz3
xyz
=
+
9
9t
t
vi t =
2
3
(xyz)
ị 0 < t Ê
++
ổử
Ê
ỗữ
ốứ
2
xyz1
39
Tuyn tp Bt ng thc Trn S Tựng
40
49. (i hc khi D 2005 d b 2)
Ta cú:
++
+=
++
22
x1yx1y
2.x
1y41y4
++
+=
++
22
y1zy1z
2.y
1z41z4
++
+=
++
22
z1xz1x
2.z
1x41x4
Cng 3 bt ng thc trờn, v theo v, ta cú:
ổửổửổử
+++
+++++++
ỗữỗữỗữ
ỗữỗữỗữ
+++
ốứốứốứ
222
x1yy1zz1x
xyz
1y41z41x4
++
++ +++
+++
222
xyz3xyz
xyz
1y1z1x44
++
-
3(xyz)3
44
-=-=
33933
.3
44442
(vỡ x + y + z 3
3
xyz
= 3)
Vy:
++
+++
222
xyz3
1y1z1x2
.
50. (i hc khi A 2006)
ã Cỏch 1:
T gi thit suy ra:
+=+-
22
11111
xyxy
xy
.
t
1
x
= a,
1
y
= b, ta cú: a + b = a
2
+ b
2
ab (1)
A = a
3
+ b
3
= (a + b)(a
2
ab + b
2
) = (a + b)
2
T (1) suy ra: a + b = (a + b)
2
3ab.
Vỡ ab
+
ổử
ỗữ
ốứ
2
ab
2
nờn a + b (a + b)
2
+
2
3
(ab)
4
ị (a + b)
2
4(a + b) 0 ị 0 a + b 4
Suy ra: A = (a + b)
2
16
Vi x = y =
1
2
thỡ A = 16. Vy giỏ tr ln nht ca A l 16.
ã Cỏch 2:
t S = x + y, P = xy vi S
2
4P 0. T gi thit ị S, P ạ 0.
Ta cú: SP = S
2
3P P =
+
2
S
S3
A =
+
33
11
xy
=
+
33
33
xy
xy
=
++-
22
33
(xy)(xyxy)
xy
=
+
2
33
(xy)xy
xy
=
+
2
22
(xy)
xy
Trn S Tựng Tuyn tp Bt ng thc
37
=
ổử
-
ỗữ
ốứ
2
1AA
sinsin
222
=
ộự
ổử
ờ ỳ
ỗữ
ốứ
ờỳ
ởỷ
2
1A11
sin
2224
=
ổử
ỗữ
ốứ
2
11A1
sin
8222
Do (3) suy ra:
ổử
Ê
ỗữ
ỗữ
ốứ
2
ABC1131
sinsinsin
2228222
=
11
(423)
88
=
-
233
8
Du = xy ra
ỡ
=
ù
ỡ
=
ùù
ớớ
==
ù
ù
ợ
=
ù
ợ
0
0
B-C
cos1
A120
2
A3
BC30
sin
22
42. (i hc khi A 2005)
Vi a, b > 0 ta cú:
4ab Ê (a + b)
2
+
Ê
+
1ab
ab4ab
ổử
Ê+
ỗữ
+
ốứ
1111
ab4ab
Du "=" xy ra khi v ch khi a = b.
p dng kt qu trờn ta cú:
ổử
Ê+
ỗữ
+
ốứ
1111
2x+y+z42xyz
Ê
ộự
ổử
++
ờỳ
ỗữ
ốứ
ởỷ
11111
42x4yz
=
ổử
++
ỗữ
ốứ
1111
8x2y2z
(1)
Tng t:
ổử
Ê+
ỗữ
+++
ốứ
1111
x2yz42yxz
Ê
ộự
ổử
++
ỗữ
ờỳ
ốứ
ởỷ
11111
42y4xz
=
ổử
++
ỗữ
ốứ
1111
8y2z2x
(2)
ổử
Ê+
ỗữ
+++
ốứ
1111
xy2z42zxy
Ê
ộự
ổử
++
ờỳ
ỗữ
ốứ
ởỷ
11111
42z4xy
=
ổử
++
ỗữ
ốứ
1111
8z2x2y
(3)
Vy:
ổử
++Ê++
ỗữ
++++
ốứ
111111
1
2x+y+zx2yzxy2z4xyz
= 1
Ta thy trong cỏc bt ng thc (1), (2), (3) thỡ du "=" xy ra khi v ch
khi
x = y = z. Vy ng thc xy ra khi v ch khi x = y = z =
3
4
.
43. (i hc khi B 2005)
p dng bt ng thc Cụsi cho 2 s dng ta cú:
ổửổửổửổử
+
ỗữỗữỗữỗữ
ốứốứốứốứ
xxxx
12151215
2.
5454
ị
ổửổử
+
ỗữỗữ
ốứốứ
xx
1215
54
2.3
x
(1)
Tng t ta cú:
ổửổử
+
ỗữỗữ
ốứốứ
xx
1220
53
2.4
x
(2)
ổửổử
+
ỗữỗữ
ốứốứ
xx
1520
43
2.5
x
(3)
Tuyn tp Bt ng thc Trn S Tựng
38
Cng cỏc bt ng thc (1), (2), (3), chia 2 v ca bt ng thc nhn
c cho 2 ta cú pcm.
ng thc xy ra (1), (2), (3) l cỏc ng thc x = 0.
44. (i hc khi D 2005)
p dng bt ng thc Cụsi cho 3 s dng ta cú:
1 + x
3
+ y
3
3
33
3
1.x.y
= 3xy
++
33
1xy
3
xy
xy
(1)
Tng t:
++
33
1yz
3
yz
yz
(2);
++
33
1zx3
zx
zx
(3)
Mt khỏc ++
3
333333
3
xyyzzxxyyzzx
ị ++
333
33
xyyzzx
(4)
Cng cỏc bt ng thc (1), (2), (3), (4) ta cú pcm.
ng thc xy ra (1), (2), (3), (4) l cỏc ng thc x = y = z = 1.
45. (i hc khi A 2005 d b 1)
Ta cú: 3 + 4
x
= 1 + 1 + 1 + 4
x
4
4
x
4
ị +=
8
4
xxx
342424
Tng t: +
8
yy
3424
; +
8
zz
3424
Vy +++++
xyz
343434
2
ộự
++
ờỳ
ởỷ
888
xyz
444
3
8
xyz
64.4.4
6
++
24
xyz
4 = 6
46. (i hc khi A 2005 d b 2)
Ta cú: 1 + x = 1 + ++
3
4
3
xxxx
4
333
3
1 +
y
x
= 1 + ++
3
4
33
yyyy
4
3x3x3x
3x
1 +
9
y
= 1 + ++
3
4
3
3333
4
yyy
y
ị
ổử
+
ỗữ
ỗữ
ốứ
2
6
4
3
93
116
y
y
Vy:
( )
ổử
ổử
+++
ỗữ
ỗữ
ỗữ
ốứ
ốứ
2
y9
1x11
x
y
256
336
4
3333
xy3
33xy
= 256
47. (i hc khi B 2005 d b 1)
ã Cỏch 1:
Trn S Tựng Tuyn tp Bt ng thc
39
Ta cú:
+++
+Ê=++
3
a3b111
(a3b).1.1(a3b2)
33
+++
+Ê=++
3
b3c111
(b3c).1.1(b3c2)
33
+++
+Ê=++
3
c3a111
(c3a).1.1(c3a2)
33
Suy ra:
[ ]
+++++Ê+++
333
1
a3bb3cc3a4(abc)6
3
Ê
ộự
+
ờỳ
ởỷ
13
4.6
34
= 3
Du "=" xy ra
ỡ
++=
ù
ớ
ù
+=+=+
ợ
3
abc
4
a3bb3cc3a=1
a = b = c =
1
4
ã Cỏch 2:
t x = +
3
a3b
ị x
3
= a + 3b; y = +
3
b3c
ị y
3
= b + 3c;
z = +
3
c3a
ị z
3
= c + 3a
ị x
3
+ y
3
+ z
3
= 4(a + b + c) = 4.
3
4
= 3. BT cn ch. minh x + y + z Ê 3
Ta cú: x
3
+ 1 + 1 3
3
3
x.1.1
= 3x; y
3
+ 1 + 1 3
3
3
y.1.1
= 3y;
z
3
+ 1 + 1 3
3
3
z.1.1
= 3z
ị 9 3(x + y + z) (vỡ x
3
+ y
3
+ z
3
= 3)
Vy x + y + z Ê 3
Du "=" xy ra
ỡ
===
ù
ớ
++=
ù
ợ
333
xyz1
3
abc
4
+=+=+
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
a3bb3cc3a=1
3
a+b+c=
4
a = b = c =
1
4
48. (i hc khi B 2005 d b 2)
Ta cú: 0 Ê x Ê 1 ị
x
x
2
-Ê
1
xyyx
4
Ê+
1
xyyx
4
(1)
Theo BT Cụsi ta cú: ++=
22
111
yxyx2yx.xy
444
ị
-Ê
1
xyyx
4
Du "=" xy ra
ỡ
ÊÊÊ
ù
=
ỡ
ù
ù
=
ớớ
=
ùù
ợ
ù
=
ợ
2
2
0yx1
x1
xx
1
y
1
4
yx
4
Trn S Tựng Tuyn tp Bt ng thc
43
Trn S Tựng Tuyn tp Bt ng thc
41
ị A =
+
ổử
=
ỗữ
ốứ
2
2
SS3
S
P
k: S
2
4P 0 S
2
+
2
4S
S3
0 S
2
-
ổử
ỗữ
+
ốứ
S1
S3
0
-
+
S1
S3
0 (vỡ Sạ0)
<-
ộ
ờ
ở
S3
S1
(*)
t h = f(S) =
+
S3
S
ị h =
-
2
3
S
< 0, "S tho (*)
T bng bin thiờn, ta cú: 0 < h Ê 4 v h ạ 1, "S tho (*).
M A = h ị MaxA = 16 khi x = y =
1
2
(S = 1, P =
1
4
).
ã Cỏch 3:
(x + y)xy =
ổử
-+
ỗữ
ốứ
2
2
y3y
x
24
> 0 ị
+
+=
11xy
xyxy
> 0
A =
+
33
11
xy
=
+
33
33
xy
xy
=
ổử
+
ỗữ
ốứ
2
11
xy
ị
=+
11
A
xy
D chng minh c:
++
ổử
Ê
ỗữ
ốứ
3
33
abab
22
(vi a + b > 0)
du "=" xy ra khi a = b.
p dng vi a =
1
x
, b =
1
y
, ta cú:
ổử
ổử
ổử
+
+
ỗữỗữ
ỗữ
ốứ
ốứ
ỗữ
Ê
ỗữ
ỗữ
ốứ
3
3
3
11
11
xy
xy
22
ổử
Ê
ỗữ
ỗữ
ốứ
3
AA
22
A Ê 16.
Du "=" xy ra khi
==
11
2
xy
. Vy Max A = 16.
ã Cỏch 4:
A =
2
2
S
P
, suy ra ==
-
2
S3S
A
P
SSP
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng
42
S
2
– 4P ³ 0 Û S
2
– 4
-
2
SSP
3
³ 0 Û
-
-
P
1
S
14
3
³ 0 Û
³
P1
S4
(chia cho S
2
)
Nên: A =
2
2
S
P
£ 16. Vậy Max A = 16 (khi x = y =
1
2
).
51. (Đại học khối B 2006)
Trong mpOxy, xét M(x – 1; –y), N(x + 1; y).
Do OM + ON ≥ MN nên:
( ) ( )
-++++³+=+
22
2222
x1yx1y44y21y
Do đó: A ≥ 2
++-
2
1yy2
= f(y)
· Với y ≤ 2 Þ f(y) = 2 +
2
1y
+ 2 – y Þ f¢(y) =
+
2
2y
y1
– 1
f¢(y) = 0 Û 2y = +
2
1y
Û
³
ì
ï
í
=+
ï
î
22
y0
4y1y
Û y =
1
3
Do đó ta có bảng biến thiên như trên
· Với y ≥ 2 Þ f(y) ≥ 2 +
2
1y
≥ 2
5
> 2 +
3
.
Vậy A ≥ 2 +
3
với mọi số thực x, y.
Khi x = 0 và y =
1
3
thì A = 2 +
3
Nên giá trị nhỏ nhất của A là 2 +
3
.
