Đo độ và tích phân.pdf

GIẢI TÍCH (CƠ SỞ)
Phần 3. Độ Đo Và Tích Phân
Chuyên ngành: Giải Tích, PPDH Toán
§1. Độ Đo
(Phiên bản đã chỉnh sửa)
PGS TS Nguyễn Bích Huy
Ngày 18 tháng 4 năm 2005
1 PHẦN LÝ THUYẾT
1. Không gian đo được
Định nghĩa :
1) Cho tập X = ø; một họ F các tập con của X được gọi là một σ−đại số nếu nó thỏa
mãn các điều kiện sau :
i. X ∈ F và nếu A ∈ F thì A
c
∈ F, trong đó A
c
= X \ A.
ii. Hợp của đếm được các tập thuộc F cũng là tập thuộc F .
2) Nếu F là σ−đại số các tập con của X thì cặp (X, F ) gọi là một không gian đo được
; mỗi tập A ∈ F gọi là tập đo được (đo được với F hay F − đo được)
Tính chất
Giả sử F là σ−đại số trên X. Khi đó ta có :
1) ø ∈ X.
Suy ra hợp của hữu hạn tập thuộc F cũng là tập thuộc F .
2) Giao của hữu hạn hoặc đếm được các tập thuộc F cũng là tập thuộc F.
3) Nếu A ∈ F, B ∈ F thì A \ B ∈ F.
2. Độ đo
Định nghĩa :
Cho một không gian đo được (X, F )
1) Một ánh xạ µ : F −→ [0, ∞] được gọi là một độ đo nếu :
i. µ(ø) = 0

ii. µ có tính chất σ−cộng, hiểu theo nghĩa
∀{A
n
}
n
⊂ F, (A
n
∩ A
m
= ø, n = m) ⇒ µ(
∞

n=1
A
n
) =
∞

n=1
µ(A
n
)
2) Nếu µ là một độ đo xác định trên σ−đại số F thì bộ ba (X, F, µ) gọi là một không
gian độ đo
1
Tính chất :
Cho µ là một độ đo xác định trên σ−đại số F; các tập được xét dưới đây đều giả thiết
là thuộc F .
1) Nếu A ⊂ B, thì µ(A) ≤ µ(B), hơn nữa nếu µ(A) < ∞ thì ta có
µ(B \ A) = µ(B) − µ(A)

2) µ(
∞

n=1
A
n
) ≤
∞

n=1
µ(A
n
).
Do đó, nếu µ(A
n
) = 0 (n ∈ N
∗
) thì µ(
∞

n=1
A
n
) = 0
3) Nếu A
n
⊂ A
n+1
(n ∈ N
∗

) thì µ(
∞

n=1
A
n
) = lim
n→∞
µ(A
n
)
4) Nếu A
n
⊃ A
n+1
(n ∈ N
∗
) và µ(A
1
) < ∞ thì
µ(
∞

n=1
A
n
) = lim
n→∞
µ(A
n

)
Quy ước về các phép toán trong R
Giả sử x ∈ R, a = +∞ hoặc a = −∞. Ta quy ước :
1) −∞ < x < +∞
2) x + a = a, a + a = a
3) x.a =

a , nếu x > 0
−a , nếu x < 0
, a.a = +∞, a.(−a) = −∞
4)
x
a
= 0
Các phép toán a − a, 0.a,
a
0
,
x
0
,
∞
∞
không có nghĩa.
Khi thực hiện các phép toán trong R ta phải hết sức cẩn trọng. Ví dụ, từ x + a = y + a
không suy ra được x = y (nếu a = ±∞).
Định nghĩa
Độ đo µ xác định trên σ−đại số F các tập con của X được gọi là :
1) Độ đo hữu hạn nếu µ(X) < ∞.
2) Độ đo σ− hữu hạn nếu tồn tại dãy {A

n
} ⊂ F sao cho
X =
∞

n=1
A
n
, µ(A
n
) < ∞ ∀n ∈ N
∗
3) Độ đo đủ nếu nó có tính chất
(A ⊂ B; B ∈ F, µ(B) = 0) ⇒ A ∈ F
3. Độ đo Lebesgue trên R
Tồn tại một σ−đại số F các tập con của R mà mỗi A ∈ F gọi là một tập đo dược theo
Lebesgue (hay (L)− đo được) và một độ đo µ xác định trên F (gọi là độ đo Lebesgue
trên R ) thỏa mãn các tính chất sau :
1) Các khoảng (hiểu theo nghĩa rộng), tập mở, tập đóng, ... là (L)−đo được. Nếu I là
khoảng với đầu mút a, b (−∞ ≤ a ≤ b ≤ t) thì µ(I) = b − a
2) Tập hữu hạn hoặc đếm được là (L)−đo được và có độ đo Lebesgue bằng 0.
2
3) Tập A ⊂ R là (L)−đo được khi và chỉ khi với mọi ε > 0, tồn tại tập đóng F , tập mở
G sao cho
F ⊂ A ⊂ G, µ(G \ F ) < ε
4) Nếu A là tập (L)−đo được thì các tập x + A, xA cũng là (L)−đo được và :
µ(x + A) = µ(A) µ(xA) = |x|µ(A)
5) Độ đo Lebesgue là đủ, σ− hữu hạn
2 PHẦN BÀI TẬP
1. Bài 1 Cho không gian độ đo (X, F, µ), tập Y = ø và ánh xạ ϕ : X −→ Y Ta định nghĩa :

A = {B ⊂ Y : ϕ
−1
(B) ∈ F }
Chứng minh A là σ−đại số trên Y và γ là độ đo xác định trên F
Giải
• Ta kiểm tra A thỏa hai điều kiện của σ−đại số :
i. Ta có Y ∈ A vì ϕ
−1
(Y ) = X ∈ F
Giả sử B ∈ A, ta cần chứng minh B
c
= Y \ B ∈ A. Thật vậy, ta có

ϕ
−1
(Y \B) = ϕ
−1
(Y )\ϕ
−1
(B) = X\ϕ
−1
(B)
ϕ
−1
(B) ∈ F ( do B ∈ A) nên X \ ϕ
−1
(B) ∈ F
⇒ ϕ
−1
(Y \ B) ∈ F hay Y \ B ∈ A

ii. Giả sử B
n
∈ A(n ∈ N
∗
) và B =
∞

n=1
B
n
. Ta có
ϕ
−1
(B) =
∞

n=1
ϕ
−1
(B
n
)
ϕ
−1
(B
n
) ∈ F (n ∈ N
∗
)




⇒ ϕ
−1
(B) ∈ F hay B ∈ A.
• Tiếp theo ta kiểm tra γ là độ đo.
Với B ∈ A ta có ϕ
−1
(B) ∈ F nên số µ[ϕ
−1
(B)] xác định, không âm. Vậy số γ(B) ≥ 0,
xác định.
i. Ta có γ(ø) = µ[ϕ
−1
(ø)] = µ(ø) = 0
ii. Giả sử B
n
∈ A (n ∈ N
∗
), B
n
∩ B
m
= ø (n = m) và B =
∞

n=1
B
n
.Ta có

ϕ
−1
(B) =
∞

n=1
ϕ
−1
(B
n
),
ϕ
−1
(B
n
) ∩ ϕ
−1
(B
m
) = ϕ
−1
(B
n
∩ B
m
) = ø (n = m).
⇒ µ[ϕ
−1
(B)] =
∞


n=1
µ [ϕ
−1
(B
n
)] (do tính σ−cộng của µ)
⇒ γ(B) =
∞

n=1
γ(B
n
)
3
2. Bài 2 Cho không gian độ đo (X, F, µ) và các tập A
n
∈ F (n ∈ N
∗
). Đặt :
B =
∞

k=1

∞

n=k
A
n


(Tập các điểm thuộc mọi A
n
từ một lúc nào đó)
B =
∞

k=1

∞

n=k
A
n

(Tập các điểm thuộc vô số các A
n
).
Chứng minh
1) µ(B) ≤ lim
n→∞
µ(A
n
)
2) µ(C) ≥ lim
n→∞
µ(A
n
) Nếu có thêm điều kiện µ(
∞


n=1
A
n
) < ∞
Giải
2) Đặt C
k
=
∞

n=k
ta có :
C
k
∈ F (k ∈ N
∗
), C
1
⊃ C
2
⊃ . . . , µ(C
1
) < ∞; C =
∞

k=1
C
k
Do đó : µ(C) = lim

k→∞
µ(C
k
) (1)
Mặt khác ta có C
k
⊃ A
k
nên
µ(C
k
) ≥ µA
k
∀k ∈ N
∗
và
lim
k→∞
µ(C
k
) ≥ lim
k→∞
µ(A
k
) (2)
Từ (1), (2) ta có đpcm.
3. Bài 3 : Cho σ−đại số F và ánh xạ :
µ : F −→ [0, ∞]
thỏa mãn các điều kiện sau :
i. µ(ø) = 0

ii. Nếu A
1
, A
2
∈ F, A
1
∩ A
2
= ø thì µ(A
1
∪ A
2
) = µ(A
1
) + µ(A
2
)
(Ta nói µ có tính chất cộng hữu hạn)
iii. Nếu A
n
∈ F (n ∈ N
∗
), A
1
⊃ A
2
⊃ . . . và
∞

n=1

A
n
= ø thì lim
n→∞
µ(A
n
) = 0 Chứng
minh µ là độ đo.
Giải
Giả sử B
n
∈ F (n ∈ N
∗
), B
n
∩ B
m
= ø (n = m) và B =
∞

n=1
B
n
, ta cần chứng minh
µ(B) =
∞

n=1
µ(B
n

) (1)
4
Đặt
C
k
=
∞

n=k
B
n
(k = 1, 2 . . .),
ta có
C
k
∈ F, C
1
⊃ C
2
⊃ . . .
và
B = B
1
∪ . . . ∪ B
n
∪ C
n+1
∞

k=1

C
k
= ø (Xem ý nghĩa tập C, bài 2 và giả thiết về các B
n
)
⇒



µ(B) =
n

k=1
µ(B
k
) + µ(C
n+1
) (2) ( do tính chất ii.)
lim
m→∞
µ(C
n
) = 0 ( do tính chất iii.)
Cho n → ∞ trong (2) ta có (1).
4. Bài 4 : Ký hiệu µ là độ đo Lebesgue trên R. Cho A ⊂ [0, 1] là tập (L)−đo được và
µ(A) = a > 0. Chứng minh rằng trong A có ít nhất một cặp số mà hiệu của chúng là số
hữu tỷ.
Giải
Ta viết các số hữu tỷ trong [0, 1] thành dãy {r
n

}
n
và đặt A
n
= r
n
+ A (n ∈ N
∗
). Ta chỉ
cần chứng minh tồn tại n = m sao cho A
n
∩ A
m
= ∅. Giả sử trái lại, điều này không
đúng. Khi đó ta có
µ(
∞

n=1
A
n
) =
∞

n=1
µ(A
n
) (1)
Mặt khác, ta có
µ(A

n
) = µ(A) = a,
∞

n=1
A
n
⊂ [0, 2]
Do đó vế phải của (1) bằng +∞ còn vế trái ≤ 2, vô lý
5. Bài 5 : Cho tập (L)− đo được A ⊂ R. Chứng minh A có thể viết thành dạng A = B \ C
với B là giao của đếm được tập mở và C là tập (L)−đo được, có độ đo Lebesgue bằng 0.
Giải
Do tính chất 3) của độ đo Lebesgue, với mỗi n ∈ N
∗
ta tìm được tập mở G
n
⊃ A sao cho
µ(G
n
\ A) <
1
n
Đặt B =
∞

n=1
G
n
và C = B \ A.
Ta có B là (L)− đo đưực và do đó C cũng là (L)− đo được. Vì

C ⊂ G
n
\ A ∀n = 1, 2, . . .
nên ta có :
µ(C) ≤
1
n
∀n = 1, 2, . . .
Vậy µ(C) = 0.
5