Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Một lớp bài toán đầu tư tài chính" pdf

Một lớp bài toán đầu t tài chính
Trần Xuân Sinh
(a)
, Nguyễn Thị Thanh Hiền
(a)
Nguyễn Văn Hng
(b)
Tóm tắt. Trong bài báo này, chúng tôi giới thiệu một mô hình bài toán đầu t tài chính
mà việc giải nó đợc quy về bài toán chiếc túi với ràng buộc ngẫu nhiên. Từ đó chúng
tôi xây dựng thuật toán nhằm tìm ra phơng án tối u.
I. Bài toán
Một nhà đầu t có b đơn vị đồng vốn, dự định tham gia đầu t vào n công ty kinh
doanh (ta gọi công ty thứ i là Công ty i, i = 1, , n). Nếu đầu t 1 đơn vị đồng vốn vào
Công ty i thì cho lãi suất là c
i
và chi phí phải trả là a
i
. Hỏi nên đầu t vốn nh thế
nào để có tổng số lãi lớn nhất.
Để thiết lập mô hình toán học, ta ký hiệu I = {1, 2, , n} và x
i
, i I, là sự lựa chọn
của Nhà đầu t vào Công ty i (x
i
= 1 nếu Công ty i đợc lựa chọn đầu t, còn x
i
= 0
là Công ty i không đợc lựa chọn đầu t). Khi đó ta có bài toán
max{f = c.x} (1)
với điều kiện

iI
a
i
x
i
b, (2)
x {0; 1}
n
, (3)
trong đó c = (c
i
), x = (x
i
), c.x =

iI
c
i
x
i
.
Mô hình bài toán nh trên, trùng với mô hình bài toán chiếc túi cổ điển, có thể
giải bằng phơng pháp quy hoạch động (xem [2]).
Với mỗi số nguyên k và h, (k =
1, n, h = 0, b), ta đặt
F
k
(h) = max

k

i=1
c
i
x
i
:
k

i=1
a
i
x
i
h; x
i
{0; 1}, i = 1, k

().
Điều đó có nghĩa rằng F
k
(h) là giá trị lớn nhất của hàm f khi các đồ vật đợc chọn
từ k lần đầu tiên và trọng lợng của cái túi là h.
Với k = 1, ta có
F
1
(h) = max
x
1
{0;1}

{c
1
x
1
} = c
1
.1 = c
1
; h = 0, b.
1)
Nhận bài ngày 28/05/2009. Sửa chữa xong ngày 24/07/2009
Đối với k = 2, n; h = 0, b, công thức (*) có thể viết lại
F
k
(h) = max

k

i=1
c
i
x
i
:
k1

i=1
a
i
x

i
h a
k
x
k
; x
i
{0; 1}, i = 1, k

.
Khi đó ta có
F
k
(h) = max
x
k
{0;1}

c
k
x
k
+ max
x
i
{0;1}

k1

i=1

c
i
x
i

,
với điều kiện
k1

i=1
a
i
x
i
h a
k
x
k
; x
i
{0; 1}, i = 1, k.
Từ đó ta đợc
F
k
(h) = max
x
k
{0;1}
{c
k

x
k
+ F
k1
(h a
k
x
k
)}.
Ký hiệu
F
0
(h) = 0; h =
0, b,
ta có công thức đệ quy nh sau:
F
k
(h) = max
x
k
{0;1}
{c
k
x
k
+ F
k1
(h a
k
x

k
)}, k = 1, n, h = 0, b. ()
Từ công thức (**), ngời ta cũng có thể biến đổi để có đợc công thức đệ quy sau
đây, gọi là Hệ thức Dantzig
F
k
(h) = max{F
k1
(h); c
k
+ F
k1
(h a
k
)}, nếu h = a
k
, b, ( )
Nh vậy, để giải bài toán cái túi đã nêu, ta chia ra các bài toán nhỏ dạng đệ quy
(**) hoặc (***) lần lợt k = 1, 2, , n; h = 0, 1, , b. Kết quả phơng án tối u của bài
toán tơng ứng F
n
(b) = f(x

) thì x

là phơng án tối u cần tìm.
Trong thực tế thị trờng tài chính, các giá trị lãi suất c
i
và chi phí a
i

thờng biến
động ngẫu nhiên. Để giữ cho c
i
cố định, Công ty i, i I có thể điều chỉnh cho a
i
biến
động theo "giá tham chiếu" ngẫu nhiên w
i
với biên độ dao động là w
i
[w
i
, w
i
].
Trong bài viết này, chúng tôi nêu ra một hớng giải quyết bài toán khi có sự biến
động ngẫu nhiên về chi phí nh đã nêu.
II. Các kết quả chính
2.1. Bài toán đầu t tài chính có ràng buộc ngẫu nhiên
Giả sử a
i
, i = 1, , n phụ thuộc đại lợng ngẫu nhiên w
i
, i = 1, , n. Ký hiệu w = (w
i
)
lấy giá trị trong W R
n
+
; độ đo xác suất P trên W là P (w W ) = P (W ) = 1. Khi đó

bài toán (1)(2)(3) trở thành bài toán quy hoạch với ràng buộc ngẫu nhiên
max

f =
n

i=1
c
i
x
i

(4)
với điều kiện
P

n

i=1
w
i
x
i
b

1 (5)
x
i
{0; 1}, i = 1, 2, , n. (6)
trong đó > 0, đủ bé cho trớc nào đó.

Nh vậy bài toán lúc này đặt ra là: Tìm một điểm x

{0; 1}
n
với xác suất
P

n

i=1
w
i
x
i
b

1 sao cho đạt max f.
Do không phải dễ dàng duyệt hết các phơng án của bài toán đặt ra khi n khá
lớn, cho nên chúng ta cần khai thác các tính chất của nó.
2.2. Các giả thiết ban đầu. Để nghiên cứu bài toán (1)(2)(3), trong bài viết này,
chúng tôi đa ra một số giả thiết ban đầu nh sau:
(i) Các đại lợng c
i
, a
i
, i = 1, , n và b nguyên.
(ii) Các đại lợng ngẫu nhiên w
i
[w
i

, w
i
], trong đó w
i
0 là giá trị giao động thấp
nhất có thể đối với giá tham chiếu của Công ty i; còn w
i
là giá giao động cao nhất có
thể đối với giá tham chiếu của Công ty i (xem [1]).
(iii) Các đại lợng w
i
đã đợc sắp xếp không giảm, còn c
i
sắp xếp không tăng. Điều
đó có nghĩa là nếu i < j thì w
i
w
j
và c
i
c
j
.
(iv) Các đại lợng ngẫu nhiên {w
i
}
iI
độc lập và phân bố đều trên đoạn [0, 1].
Lấy {0, 1, , n} và chọn I

I, {0, , |I

|}, S I

có bản số , nghĩa là |S| = .
Ta xét bài toán
max{f = c.x} (7)
với điều kiện

iS
w
i
x
i
+

iI

\S
w
i
x
i
+

i /I

w
i
x

i
b, S I

, (8)
x {(0; 1}
n
. (9)
Bài toán (7)-(9) đã đợc các tác giả D.Bertsimas và M. Sim đề cập tới trong [4] và
O.Klopfenstein và D.Nace nghiên cứu trong [5].
2.3. Tính chất
Định lý 2.3.1. Giả sử với mọi i I, w
i
= w > 0 và (w
i
w
i
) = > 0. Khi đó phơng
án tối u x

của bài toán (7) (9) thoả mãn

iI
x

i
=

min{n; [b /w]}, nếu (w + ) b
[b/(w + )], nếu ngợc lại.
trong đó ký hiệu [a] là phần nguyên của a.

Chứng minh. Trớc hết chúng ta nhận xét rằng mỗi phơng án tối u của bài toán
(7) (9) làm cực đại

iI
x
i
, với x
i
{0; 1}. Giả sử rằng (w + ) b. Điều này có nghĩa
là phơng án tối u x

của (7) (9) có ít nhất phần tử khác 0, tức là

iI
x

i
. Vì
vậy, x

trong thực tế là phơng án tối u của bài toán max


iI
x
i

, với ràng buộc

iI

wx
i
b , x
i
{0; 1}.
Bây giờ nếu (w + ) > b, một phơng án của (7) (9) không thể có nhiều hơn 1
phần tử khác 0. Do đó một phơng án tối u x

của (7) (9) là phơng án tối u của
bài toán max


iI
x
i

, với điều kiện

iI
(w + )x
i
b, x
i
{0; 1}. Nh vậy Định lý
đợc chứng minh.
Lấy tập con V W. Xét bài toán
max
V
(max
x

{f = cx}) (10)
với điều kiện
V W : P (V ) 1 , (11)
w V : w.x b,
x {0; 1}
n
. (12)
Định lý 2.3.2. Phơng án x

của bài toán (4) (6) là tối u khi và chỉ khi tồn tại
V W với P (V ) 1 sao cho (V, x

) là phơng án tối u của bài toán (10) (12).
Chứng minh. Rõ ràng x

là phơng án của bài toán (4) (6), khi và chỉ khi tồn tại
V W : P (V ) 1 sao cho (V, x

) là phơng án của bài toán (10)-(12). Chú ý rằng
nếu V có dạng V = {w W : wx b} thì P(wx b) P (V ). Khi đó (V, x

) là phơng án
tối u của bài toán (10)-(12) khi và chỉ khi x

là phơng án tối u của (4) (6). Đó là
điều phải chứng minh.
Với mỗi i I, ta ký hiệu

i
=

w
i
w
i
w
i
w
i
.
Rõ ràng ta có
i
[0; 1] là một biến ngẫu nhiên.
Lấy {0, 1, , n} là bản số của tập hợp I nào đó, nghĩa là |I| = . Xét bài toán
max

iI
c
i
x
i
(13)
với điều kiện

iI\S
w
i
x
i
+

iS
w
i
x
i
b, S I, |S| = , (14)
x {0; 1}
n
. (15)
Với mỗi x {0; 1}
n
, ta ký hiệu
I(x) = {i I : x
i
= 1}.
Định lý 2.3.3.[5]. Ta có bất đẳng thức
P (w.x b) P


iI

i


,
với mọi phơng án x của bài toán (13) (15)
Lấy I

I và {0, , |I

|}, chúng ta xét bài toán
max{f = c.x} (16)
với điều kiện

iS
w
i
x
i
+

iI

\S
w
i
x
i
+

i /I

w
i
x
i
b, (17)
x {0; 1}
n
, (18)

lấy với mọi S I

, |S| = .
Bài toán (16)-(18) đợc ký hiệu là (RKP (I

, )).
Bài toán (13)-(15) là trờng hợp riêng của (RKP (I

, )) khi I

= I, = n.
Định lý 2.3.4. [5]. Lấy {0, , n}. Giả sử x

là phơng án tối u của (RKP (I, )).
Khi đó
(i) nếu |I(x

)| thì x

là phơng án tối u của (RKP(I(x

), )),
(ii) nếu |I(x

)| thì x

là phơng án tối u của (RKP (I, n)), tức là phơng án tối
u của bài toán (7) (9).
Định lý 2.3.5 [5]. Giả sử rằng i I, w
i

w
i
= > 0, {w
i
/}
iI
và b/ là số nguyên.
Khi đó tồn tại I

I và

{0, , |I

|} sao cho mỗi phơng án tối u của (16) (18)
lấy với I

,

cũng là phơng án tối u của bài toán (4) (6).
Trên cơ sở các Định lý 2.3.1, 2.3.4 và 2.3.5 ta có thể trình bày thuật toán và ví dụ
sau đây để giải bài toán đầu t tài chính với dữ liệu dao động ngẫu nhiên (4)-(6).
2.4. Thuật toán giải bài toán (4)(5)(6)
Trong thuật toán sau đây, giá trị của tăng dần cho tới khi phơng án tối u của
bài toán (7) (9) là phơng án của bài toán (4) (6), tức là khi = k = n.
Bớc 1. Đặt k = 0.
Bớc 2. Giải bài toán (RKP(I, k)). Giả sử đợc phơng án tối u là x
(k)
.
Bớc 3. Đặt I

= I(x
(k)
). Xác định

là giá trị lớn nhất của {0, , |I

|} sao cho
x
(k)
là phơng án của bài toán (RKP(I

,

)).
Bớc 4. Tính cận dới U P


iI

w
i
b

Nếu U 1 , thì x
(k)
là phơng án của (4) (6). Dừng lại.
Ngợc lại, sang bớc 5.
Bớc 5. Gán k :=

+ 1, trở lại bớc 2.

Chú ý
+ Tại Bớc 4, ta có P


iI

w
i
b

= P (w.x
(k)
b). Do vậy thuật toán sẽ dừng chỉ
với một phơng án của (4) (6). Ngoài ra, x
(k)
là phơng án của (RKP (I

, k)) (xem
Định lý 2.3.4), chúng ta có

k. Do vậy, việc tăng chỉ số k tại mỗi vòng lặp đảm
bảo sự hội tụ của thuật toán (thực ra khi k = n = |I| xác suất để x
(k)
là phơng án
bằng 1, lại vì thuật toán dừng ở bớc 4, nên k không thể vợt quá giá trị này). Điều
đó chứng tỏ thuật toán là hữu hạn.
+ Nhờ phơng pháp quy hoạch động (***) có thể giải các bài toán (RKP (I

,

)) và
nhờ Định lý 2.3.5 ta đợc phơng án tối u của bài toán (4)-(6).
+ Để tính cận dới U tại bớc 4, chúng ta có thể tham khảo các ví dụ về cận xác
suất trong [4]. Chất lợng của cận sẽ có ảnh hởng trực tiếp lên số lần lặp của thuật
toán.
Ví dụ. Nhà đầu t tài chính có 82 đơn vị vốn, có thể đầu t vào 9 Công ty, với
mức lãi suất tại Công ty i là c
i
= 10 i, i = 1, , 9. Biên độ giao động về giá đầu t ở
các Công ty nh nhau với mức tối thiểu là w = 8, tối đa là w = 12 đơn vị vốn. Khi đó
ta có mô hình toán học
max

f =
9

i=1
(10 i)x
i

với điều kiện

9
i=1
w
i
x
i
82,
x {0; 1}

9
,
trong đó tất cả giá đầu t w
i
= w phân bố đều trên đoạn [8, 12] và = w
i
w
i
= 4. Giả
sử lấy = 0, 1, tức là chúng ta cần tìm x của bài toán đầu t với xác suất tối thiểu là
0, 9.
Chú ý rằng theo giả thiết xác suất đã nêu, xác suất P


iI

w
i
b

đợc biết theo
sự phân tích đối với tất cả các tập con I

I. Sau đây, ta ký hiệu e
(i)
= (e
(i)
j
) là vectơ
0-1, với e

(i)
i
= 1 và e
(i)
j
= 0, i = j. Ta sử dụng Định lý 2.1, tơng ứng với các giá trị của
k, lần lợt thực hiện thuật toán:
k = 0: Chúng ta có

= 0,

iI
x
(0)
i
= [b/w] = [82/8] = 10, và do vậy x
(0)
=

9
i=1
e
(i)
.
Tiếp tục, tính cận dới (xem [4]) P


9
i=1
w

i
82

U = 0 < 0, 9 (thể hiện tình huống
có thể của w = w
i
, vì

iI
x
(0)
i
= [b/w] = [82/8] = 10 nên mọi x
i
= 1, tơng ứng với khả
năng lớn nhất w
i
= 1 thì bất đẳng thức nêu trên không thể xẩy ra - xác suất bằng 0).
Gán k :=

+ 1 = 0 + 1 = 1, tiếp tục với k = 1.
k = 1:

iI
x
(1)
i
= [(82 4)/8] = 9, và do vậy x
(1)
=

9
i=2
e
(i)
. Chúng ta có

=
min{|I

|; (b

iI

w
i
x
i
)/} = [(82 9 8)/4] = 2, tính cận dới P


9
i=2
w
i
82

U =
0, 001 < 0, 9. Gán k :=

+ 1 = 2 + 1 = 3, tiếp tục với k = 3.
k = 3:

iI
x
(3)
i
= [(82 12)/8] = 8, và do vậy x
(3)
=

9
i=3
e
(i)
. Chúng ta có

=
[(82 8 8)/4] = 4, tính cận dới P


9
i=3
w
i
82

U = 0, 5 < 0, 9.
k = 5:

iI
x
(5)
i
= [(82 20)/8] = 7, và do vậy x
(5)
=

9
i=4
e
(i)
. Tính đợc cận dới
P


9
i=4
w
i
82

U = 0, 99 > 0, 9. Dừng lại. Trả lời x
(5)
là phơng án của (RKP (I, )),
do vậy nó là phơng án tối u của (SKP ).
Từ đó, để tìm x
(5)
= (x
(5)

i
) ta giải bài toán
max{f =
9

i=1
(10 i)x
(5)
i
:
9

i=1
x
(5)
i
= 7; x {0; 1}
9
}.
Dễ dàng ta nhận đợc phơng án tối u là
x

= (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0),
max f = 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 = 24.
Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Thị Mùi, Kinh doanh chứng khoán, NXB Tài chính, 2007.
[2] Trần Xuân Sinh, Lý thuyết tối u, Bài giảng dùng cho Cao học, Chuyên ngành
Công nghệ thông tin, Trờng Đại học Vinh, 2007.
[3] Nguyễn Duy Tiến - Vũ Viết Yên, Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục, Hà Nội, 2001.
[4] D. Bertsimas and M. Sim,The Price of Robustness, Oper. Res., Vol.52, N

o
1(2004),
35-53.
[5] O. Klopfenstein and D. Nace, A Robust Approach to the Chance-constrained Knap-
sack Problem, 60205 Compiègne Cedex, France, 2006.
Summary
A class problem of financial investment
In this paper, we introduced a model for problems of financial investment, the
way of its solving reduced to the knapsack problem with stochastic constrain. Then
we give an algorithm to find an optimal plan.
(a) Khoa Toán, Trờng Đại học Vinh
(b) Khoa Toán, Trờng Đại học Đồng Tháp.