Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Luật mạnh số lớn cho mảng phù hợp các phần tử ngẫu nhiên trong không gian Banach p-trơn đều" potx

Luật mạnh số lớn cho mảng phù hợp các phần tử ngẫu
nhiên trong không gian Banach p-trơn đều
Nguyễn Văn Quảng
(a)
, Nguyễn Trần Thuận
(b)
Tóm tắt. Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu luật mạnh số lớn cho mảng phù
hợp các phần tử ngẫu nhiên trong không gian Banach p-trơn đều. Một số kết quả chúng
tôi đa ra là tổng quát hơn các kết quả trớc đó.
1 Mở đầu
Năm 1973, Smythe [8] đã thu đợc luật mạnh số lớn Kolmogorov cho mảng
nhiều chỉ số các biến ngẫu nhiên. Luật số lớn Marcinkiewicz-Zygmund đối với mảng
nhiều chiều đợc Gut [2], Klesov [3], thiết lập. Năm 2005, L. V. Thanh [9] đã mở
rộng Luật mạnh số lớn Kolmogorov cho mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên (nhận
giá trị thực) trong trờng hợp không cùng phân phối. Luật mạnh số lớn cho mảng hai
chỉ số các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian Banach Rademacher dạng
p đã đợc A. Rosalsky và L. V. Thanh nghiên cứu trong [6] và [7]. Tuy nhiên các kết
quả trên chỉ xét cho mảng nhiều chiều các phần tử ngẫu nhiên độc lập kì vọng không.
Bằng việc giới thiệu khái niệm mảng phù hợp và mảng các hiệu martingale, chúng
tôi đã thiết lập đợc luật mạnh số lớn cho mảng phù hợp - một dạng mở rộng của
Luật mạnh số lớn Kolmogorov - và luật mạnh số lớn kiểu Marcinkiewicz-Zygmund
cho mảng phù hợp các phần tử ngẫu nhiên.
Trong bài báo này, ta luôn giả sử (, F, P) là không gian xác suất đầy đủ cố
định. Với a, b R, max{a, b} và min{a, b} đợc kí hiệu lần lợt là a b và a b. Kí hiệu
C là một hằng số dơng, nhng hằng số đó không nhất thiết phải giống nhau trong
các lần xuất hiện. Kí hiệu log chỉ logarit cơ số 2 và log
+
x = log(1 x). Với x 0, kí
hiệu [x] là số nguyên lớn nhất không vợt quá x.
Định nghĩa 1.1. Không gian Banach khả li X đợc gọi là không gian Banach p-trơn
đều (1 p 2) nếu

() = sup

x + y + x y
2
1; x, y X ; x = 1, y =

C
p
với C là một hằng số nào đó.
Ví dụ. Mọi không gian Hillbert thực, khả li là không gian Banach 2-trơn đều. Các
không gian
p
, L
p
với 1 < p < là các không gian p 2-trơn đều.
Định lý sau đây của Assouad đa ra điều kiện cần và đủ để một không gian Banach
khả li X là không gian Banach p-trơn đều.
Định lý 1.2. (Assouad [10]) Không gian Banach khả li X là p-trơn đều (1 p 2) nếu
và chỉ nếu với mọi q 1, tồn tại hằng số C > 0 sao cho với mọi martingale {S
n
, F
n
, n 1}
nhận giá trị trên X đều có
ES
n

q
CE

n

i=1
S
i
S
i1

p

q/p
, n N. (1.1)
(Bất đẳng thức Marcinkiewicz - Zygmund)
1
Nhận bài ngày 01/6/2009. Sửa chữa xong 05/8/2009.
Định lý 1.3. (Assouad, Hoffmann Jrgensen [10]) Không gian Banach thực X là p-
trơn đều (1 p 2) khi và chỉ khi tồn tại số dơng L sao cho với mọi x, y X , ta
có
x + y
p
+ x y
p
2x
p
+ Ly
p
. (1.2)
Cho (, F, P) là không gian xác suất, X là không gian Banach khả li và B(X ) là
-đại số tất cả các tập Borel trong X . Cho mảng hai chiều {F
mn

, m 1, n 1} các -đại
số con của F với chỉ số trong N ì N. Khi đó mảng hai chiều {X
mn
, F
mn
, m 1, n 1}
đợc gọi là mảng phù hợp nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
1. X
mn
là F
mn
/B(X ) đo đợc.
2. Với mỗi n N và m
2
> m
1
thì F
m
1
n
F
m
2
n
, với mỗi m N và n
2
> n
1
thì
F

mn
1
F
mn
2
.
Chú ý rằng định nghĩa mảng phù hợp ở đây của chúng tôi khác với định nghĩa mảng
phù hợp đã đợc nêu trong [4] và [5]. Trong các định nghĩa đó, khái niệm mảng phù
hợp đợc xây dựng dựa trên quan hệ thứ tự tần số trên N
2
.
Kí hiệu F

mn
= (F
m1

F
n1
) với F
n
= (

m1
F
mn
) và F
m
= (

n1
F
mn
). Ta
quy ớc rằng F
0
= F
0
= {, }.
Một mảng phù hợp {X
mn
, F
mn
; m 1, n 1} đợc gọi là mảng các hiệu martingale nếu
E{X
mn
|F

mn
} = 0 hầu chắc chắn (h.c.c) m, n N.
Ví dụ sau đây cho chúng ta thấy đợc sự tồn tại của khái niệm mảng các hiệu
martingale.
Ví dụ 1. Cho {X
mn
, m 1, n 1} là mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập có kì vọng 0.
Với mọi m 1, n 1, gọi F
mn
là -đại số sinh bởi X
mn
, khi đó E(X

mn
|F

mn
) = EX
mn
= 0
và {X
mn
, F
mn
; m 1, n 1} lập thành một mảng các hiệu martingale.
Ví dụ 2. Cho dãy (X
n
, F
n
, n 1) là một hiệu martingale nào đó nhng (X
n
, n 1)
không độc lập. Với mọi n 1, đặt
X
mn
= X
n
nếu m = 1 và X
mn
= 0 nếu m > 1;
F
mn
= F

n
, m 1.
Ta có
X
mn
F
mn
với mọi m 1, n 1;
F

mn
= F
n1
nếu m = 1; F

mn
=



n=1
F
n

nếu m > 1.
Khi đó {X
mn
, F
mn
, m 1, n 1} là mảng các hiệu martingale nhng không là mảng

các phần tử ngẫu nhiên độc lập kì vọng 0.
Từ hai ví dụ trên ta thấy rằng tập hợp tất cả mảng các hiệu martingale thực sự
rộng hơn tập hợp tất cả mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập kì vọng 0.
Mảng các phần tử ngẫu nhiên {X
mn
, m 1, n 1} bị chặn ngẫu nhiên bởi phần tử
ngẫu nhiên X nếu tồn tại hằng số C < thỏa mãn
P{X
mn
> t} CP{X > t}, với mọi t 0, m 1, n 1.
Từ điều kiện trên chúng ta dễ dàng thấy rằng nếu {X
mn
, m 1, n 1} là mảng
các phần tử ngẫu nhiên cùng phân phối thì nó bị chặn ngẫu nhiên bởi phần tử ngẫu
nhiên X
11
và khi đó C = 1.
Bổ đề sau đây cho ta một cách chứng minh sự hội tụ hầu chắc chắn của mảng các
phần tử ngẫu nhiên và nó rất hay đợc sử dụng trong quá trình chứng minh sự hội
tụ hầu chắc chắn của mảng các phần tử ngẫu nhiên.
Bổ đề 1.4. Giả sử {X
mn
, m 1, n 1} là mảng hai chiều các phần tử ngẫu nhiên.
1. Với > 0 bất kì, nếu


m=1


n=1

P(X
mn
> ) < ,
thì X
mn
0 h.c.c khi m n .
2. Với p > 0, nếu


m=1


n=1
EX
mn

p
< ,
thì X
mn
0 h.c.c và trong L
p
khi m n .
Chứng minh. Với mỗi > 0, đặt
A
k
() =


mn=k

(X
mn
> ), k 1,
khi đó dãy {A
k
(), k 1} là dãy giảm các biến cố, đặt
A() =


k=1
A
k
() và A =

>0
A() =


l=1
A

1
l

.
1. Với mọi k 1, vì chuỗi kép


m=1

n=1
P(X
mn
> ) hội tụ nên phần đuôi

mnk
P{X
mn
> } của nó sẽ dần tới 0 khi k . Ta có:
P(A
k
()) = P{ sup
mnk
X
mn
> }

mnk
P{X
mn
> } 0 khi k .
Từ đây ta suy ra
P(A()) = lim
k
P(A
k
()) = lim
k
P{ sup

mnk
X
mn
> } = 0,
điều này kéo theo P(A(
1
l
)) = 0 với l 1. Do đó ta có P(A) = 0.
Nếu / A thì / A(
1
l
) với l 1, từ đây ta suy ra rằng ứng với mỗi l N, tồn tại
k
l
sao cho X
mn
()
1
l
với mọi m n k
l
, điều này kéo theo lim
mn
X
mn
() = 0.
Vì P(A) = 0 nên X
mn
0 h.c.c khi m n .
2. Với p > 0, do chuỗi kép

m=1


n=1
EX
mn

p
hội tụ nên hiển nhiên suy ra EX
mn

p

0 khi m n . Do đó X
mn
0 trong L
p
khi m n .
Mặt khác, với mọi k 1 và áp dụng bất đẳng thức Markov ta có


m=1


n=1
P(X
mn
> )

1

p


m=1


n=1
EX
mn

p
< . (do giả thiết)
Theo ý thứ nhất ta suy ra X
mn
0 h.c.c khi m n .
2 Luật mạnh số lớn cho mảng phù hợp các phần tử ngẫu nhiên
trong không gian Banach p-trơn đều
Bổ đề sau sẽ thiết lập bất đẳng thức cực đại cho mảng các hiệu martingale trong
không gian Banach p-trơn đều.
Bổ đề 2.1. Cho 0 < p 2. Cho {X
ij
; 1 i m, 1 j n} là họ mn phần tử ngẫu nhiên
trong không gian Banach khả li. Khi 1 < p 2 ta giả thiết thêm {X
ij
, F
ij
; 1 i m, 1
j n} là mảng các hiệu martingale trong không gian Banach p-trơn đều thì

E

max
1km
1ln



k

i=1
l

j=1
X
ij




p
C
m

i=1
n

j=1
EX
ij

p
, (2.1)
với hằng số C không phụ thuộc vào m và n.
Chứng minh. Trong trờng hợp 1 < p 2 :
Đặt S
kl
=

k
i=1

l
j=1
X
ij
, Y
l
= max
1km
S
kl
với mỗi l = 1, 2, , n. Nếu
l
là -đại số sinh
bởi {X
ij
; 1 i m, 1 j l} thì
l
F

i l+1
với mọi i 1, điều này kéo theo
E(X
i l+1
|
l
) = E(E(X
i l+1
|F

i l+1
)|
l
) = 0 h.c.c.
Do đó ta có
E(S
k l+1
|
l
) = E(S
kl
+ X
1 l+1
+ ã ã ã + X
k l+1
|
l
)
= E(S

kl
|
l
) + E(X
1 l+1
|
l
) + ã ã ã + E(X
k l+1
|
l
) = S
kl
h.c.c.
Suy ra {S
kl
,
l
; 1 l n} là martingale. Vì {S
kl
,
l
; 1 l n} là martingale dới
không âm với mỗi k = 1, 2, , m nên { max
1km
S
kl
= Y
l
,

l
; 1 l n} là martingale dới
không âm. Theo bất đẳng thức Doob (xem [1], tr. 255)
E

max
1km
1ln
S
kl


p
= E( max
1ln
Y
l
)
p
CEY
p
n
. (2.2)
Mặt khác, vì {S
kn
, F

k+1 1
}
m

k=1
là martingale nên {S
kn
, F

k+1 1
}
m
k=1
là martingale dới
không âm. Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức Doob ta có
EY
p
n
= E

max
1km
S
kn


p
CES
mn

p
. (2.3)
Ta lại có {S
ml

, F

1 l+1
}
n
l=1
và {

k
i=1
X
il
, F

k+1 l
}
m
k=1
(với mỗi l = 1; ; n) là các martingale.
Vì vậy theo Định lý 1.2 ta có
ES
mn

p
=E



n

l=1
(S
ml
S
m l1
)



p
C
n

l=1
ES
ml
S
m l1

p
= C
n

l=1
E



m

k=1
X
kl



p
C
m

k=1
n

l=1
EX
kl

p
. (2.4)
Kết hợp (2.2), (2.3) và (2.4) cho ta (2.1).
Trờng hợp còn lại 0 < p 1, ta có
E

max
1km
1ln



k

i=1
l

j=1
X
ij




p
E

max
1km
1ln
k

i=1
l

j=1
X
ij


p
= E

m

i=1
n

j=1
X
ij


p

m

i=1
n

j=1
EX
ij

p
.
Ta cũng nhận đợc (2.1).
Bổ đề đợc chứng minh hoàn toàn.
Định lý sau đây sẽ thiết lập luật mạnh số lớn cho mảng phù hợp - một dạng mở
rộng của Luật mạnh số lớn Kolmogorov trong trờng hợp không cùng phân phối.
Định lý 2.2. Cho > 0, > 0 và 1 p 2. Cho {X
ij
, F

ij
; i 1, j 1} là mảng phù hợp
trong không gian Banach p-trơn đều X . Nếu


i=1


j=1
EX
ij

p
(i

j

)
p
< , (2.5)
thì
1
m

n

m

i=1
n

j=1

X
ij
E{X
ij
|F

ij
}

0 h.c.c khi m n . (2.6)
Chứng minh. Theo giả thiết, {X
ij
, F
ij
; i 1, j 1} là mảng phù hợp nên

X
ij

E{X
ij
|F

ij
}, F
ij
; i 1, j 1

lập thành mảng các hiệu martingale.
Theo Định lý 1.3 và sử dụng bất đẳng thức Jensen cho kì vọng có điều kiện ta có
EX
ij
E{X
ij
|F

ij
}
p
E

2X
ij

p
+ LE{X
ij
|F

ij
}
p

2EX
ij

p

+ L E

E{X
ij

p
|F

ij
}

= (L + 2)EX
ij

p
. (2.7)
Đặt
S
mn
=
m

i=1
n

j=1

X
ij
E{X

ij
|F

ij
}

và T
kl
= max
2
k
m<2
k+1
2
l
n<2
l+1




S
mn
m

n


S
2

k
2
l
(2
k
2
l
)




.
Víi mäi ε > 0, theo bÊt ®¼ng thøc Markov ta cã
∞

k=1
∞

l=1
P





S
2
k
2

l
(2
αk
2
βl
)




> ε


∞

k=1
∞

l=1
1
(2
αk
2
βl
)
p
ε
p
ES
2

k
2
l

p
 C
∞

k=1
∞

l=1

2
k
i=1

2
l
j=1
EX
ij
− E{X
ij
|F
∗
ij
}
p
(2

αk
2
βl
)
p
(do (2.4))
 C
∞

k=1
∞

l=1

2
k
i=1

2
l
j=1
EX
ij

p
(2
αk
2
βl
)

p
(do (2.7))
 C
∞

i=1
∞

j=1
∞

k=[logi]
∞

l=[logj]
EX
ij

p
(2
αk
2
βl
)
p
 C
∞

i=1
∞


j=1
EX
ij

p
(2
α[logi]
2
β[logj]
)
p
 C
∞

i=1
∞

j=1
EX
ij

p
(i
α
j
β
)
p
< ∞. (theo (2.5))

Theo Bæ ®Ò 1.4 ta thu ®−îc
S
2
k
2
l
(2
αk
2
βl
)
−→ 0 h.c.c khi k ∨ l → ∞. (2.8)
TiÕp theo, víi ε > 0 tïy ý, ta cã
P{|T
kl
| > ε}  P

S
2
k
2
l

(2
αk
2
βl
)
>
ε

2

+ P

max
2
k
m<2
k+1
2
l
n<2
l+1
S
mn

m
α
n
β
>
ε
2

 P

S
2
k
2

l

(2
αk
2
βl
)
>
ε
2

+ P

max
2
k
m<2
k+1
2
l
n<2
l+1
S
mn

(2
αk
2
βl
)

>
ε
2

 P

S
2
k
2
l
 >
(2
αk
2
βl
)ε
2

+ P

max
1m2
k+1
1n2
l+1
S
mn
 >
(2

αk
2
βl
)ε
2


2
p
(2
αk
2
βl
)
p
ε
p
ES
2
k
2
l

p
+
2
p
(2
αk
2

βl
)
p
ε
p
E

max
1m2
k+1
1n2
l+1
S
mn


p

C2
p
(2
αk
2
βl
)
p
ε
p
2
k


i=1
2
l

j=1
EX
ij

p
+
C2
p
(2
αk
2
βl
)
p
ε
p
2
k+1

i=1
2
l+1

j=1
EX

ij

p
(do Bæ ®Ò 2.1 vµ (2.7))
 C
2
k

i=1
2
l

j=1
EX
ij

p
(2
αk
2
βl
)
p
+ C
2
k+1

i=1
2
l+1


j=1
EX
ij

p
(2
α(k+1)
2
β(l+1)
)
p
 C
2
k+1

i=1
2
l+1

j=1
EX
ij

p
(2
α(k+1)
2
β(l+1)
)

p
.
Điều này kéo theo


k=1


l=1
P{|T
kl
| > } C


k=1


l=1
2
k+1

i=1
2
l+1

j=1
EX
ij

p

(2
(k+1)
2
(l+1)
)
p
C


i=1


j=1
EX
ij

p
(i

j

)
p
< .
Theo Bổ đề 1.4 ta thu đợc
T
kl
0 h.c.c khi k l . (2.9)
Mặt khác, với 2
k

m < 2
k+1
và 2
l
n < 2
l+1
ta có
S
mn

m

n





S
mn
m

n


S
2
k
2
l

2
k
2
l



+



S
2
k
2
l
2
k
2
l



T
kl
+



S

2
k
2
l
2
k
2
l



. (2.10)
Khi cho k l thì m n .
Kết hợp (2.8) và (2.9) với (2.10) ta có (2.6).
Hệ quả sau đây đợc suy trực tiếp từ Định lý 2.2.
Hệ quả 2.3. Cho > 0, > 0 và 1 p 2. Cho {X
ij
, F
ij
; i 1, j 1} là mảng các hiệu
martingale trong không gian Banach p-trơn đều X . Nếu


i=1


j=1
EX
ij

p
(i

j

)
p
< ,
thì
1
m

n

m

i=1
n

j=1
X
ij
0 h.c.c khi m n . (2.11)
Nhận xét 1. Trờng hợp 0 < p 1, ta cũng nhận đợc (2.11) trong Hệ quả 2.3 mà
không cần đến điều kiện hình học của không gian Banach và điều kiện E{X
mn
|F

mn
} =

0.
Nhận xét 2. Khi = = 1 và X = R (tơng ứng p = 2), Định lý 2.2 chính là một mở
rộng đối với dạng hai chỉ số của định lý Kolmogorov đã đợc Smythe [8] chứng minh.
Định lý tiếp theo sẽ thiết lập kiểu luật mạnh số lớn Marcinkiewicz-Zygmund cho
mảng hai chiều các phần tử ngẫu nhiên.
Định lý 2.4. Cho 1 < r < p 2 và {X
mn
, F
mn
; m 1, n 1} là mảng phù hợp trong
không gian Banach p-trơn đều X . Giả sử {X
mn
, m 1, n 1} bị chặn ngẫu nhiên bởi
phần tử ngẫu nhiên X. Nếu EX
r
log
+
X < thì
1
(mn)
1
r
m

i=1
n

j=1

X

ij
E{X
ij
|F

ij
}

0 h.c.c khi m n . (2.12)
Chứng minh. Gọi F là hàm phân phối của X, d(k) là số ớc số dơng của số
nguyên dơng k. Đặt X

ij
= X
ij
I(X
ij
(ij)
1
r
), X

ij
= X
ij
I(X
ij
> (ij)
1
r

).
Khi đó với mỗi i và j ta có
X
ij
E{X
ij
|F

ij
} = (X

ij
E{X

ij
|F

ij
}) + (X

ij
E{X

ij
|F

ij
}). (2.13)
Đầu tiên ta chứng minh rằng
1

(mn)
1
r
m

i=1
n

j=1

X

ij
E{X

ij
|F

ij
}

0 h.c.c khi m n . (2.14)
Sử dụng


k=i
d(k)
k
p
r

= O(i
1
p
r
log i) ta có các đánh giá


i=1


j=1
EX

ij

p
(ij)
p
r
C


i=1


j=1
1
(ij)
p
r

(ij)
1
r
0
x
p
dF (x) = C


k=1
d(k)
k
p
r

k
1
r
0
x
p
dF (x)
= C


k=1
d(k)
k
p

r
k

i=1

i
1
r
(i1)
1
r
x
p
dF (x) = C


i=1



k=i
d(k)
k
p
r


i
1
r

(i1)
1
r
x
p
dF (x)
C


i=1
logi
i
p
r
1

i
1
r
(i1)
1
r
x
p
dF (x) C


i=1

i

1
r
(i1)
1
r
x
p
(x
p
r
1
)
r
log
+
x dF (x)
C


0
x
r
log
+
x dF (x) CEX
r
log
+
X < .
Theo Định lý 2.2 khi = =

1
r
ta thu đợc (2.14).
Tiếp theo ta sẽ chứng minh
1
(mn)
1
r
m

i=1
n

j=1
(X

ij
E{X

ij
|F

ij
}) 0 h.c.c khi m n . (2.15)
Thật vậy, sử dụng

n
k=1
d(k)
k

1
r
= O( n
1
1
r
log n) ta có các đánh giá


i=1


j=1
EX

ij

(ij)
1
r
C


i=1


j=1
1
(ij)
1

r


(ij)
1
r
|x| dF (x) C


k=1
d(k)
k
1
r


k
1
r
|x|dF (x)
C


i=1

i

k=1
d(k)
k

1
r


(i+1)
1
r
i
1
r
|x|dF (x) C


i=1
i
1
1
r
logi

(i+1)
1
r
i
1
r
|x|dF (x)
C

1
|x|
r
log
+
|x| dF (x) CEX
r
log
+
X < .
Theo Định lý 2.2 khi = =
1
r
và p = 1 ta thu đợc (2.15).
Kết hợp (2.13) và (2.14) với (2.15) ta có (2.12).
tµi liÖu tham kh¶o
[1] Y. S. Chow and H. Teicher, Probability Theory: Independence, Interchangeability,
Martingales, 3rd Ed. Springer-Verlag, New York, 1997.
[2] A. Gut, Marcinkiewicz laws and convergence rates in the law of large numbers for
random variables with multidimensional indices, Ann. Probab., 6, 1978, pp. 469-482.
[3] O. I. Klesov, The law of large numbers for multiple sums of independent identically
distributed random variables, Theory Probab. Math. Statist, 50, 1995, pp. 77-87.
[4] N. V. Quang and N. V. Huan, On the weak law of large numbers for double arrays of
Banach space valued random elements, Journal of Probability and Statistical Science,
6, No. 2, 2008, pp. 125-134.
[5] N. V. Quang and N. N. Huy, Weak law of large numbers for adapted double arrays
of random variables, J. Korean Math. Soc. 45, No 3, 2008, pp. 795-805.
[6] A. Rosalsky and L. V. Thanh, Strong and weak law of large numbers for double
sums of independent random elements in Rademacher type p Banach spaces, Stochas-
tic Analysis and Applications, 24, 2006, pp. 1097-1117.

[7] A. Rosalsky and L. V. Thanh, On almost sure and mean convergence of normed
double sums of Banach space valued random elements, Stochastic Analysis and Ap-
plications, 25, 2007, pp. 895-911.
[8] R. T. Smythe, Strong law of large numbers for r-dimensional arrays of random
variables, Ann. Probab 1, 1973, pp. 164-170.
[9] L. V. Thanh, Strong law of large numbers and L
p
-convergence for double arrays
of independent random variables, Acta Math Vietnam, 30, No. 3, 2005, pp. 225-232.
[10] W. A. Woyczynski, Geometry and martingale in Banach spaces II. Independent
increments, Marcel Dekker, Press New York, 1978.
Summary
strong law of large numbers for adapted double arrays
of random elements of p-uniformly smooth Banach space
In this paper, we study the strong law of large numbers for adapted double arrays
of random elements in a p-uniformly smooth Banach space. Some our results are more
general than well-known ones.
(a) Khoa To¸n, tr−êng §¹i häc Vinh
(b) 46A To¸n, tr−êng §¹i häc Vinh.