Báo cáo nghiên cứu khoa học: "ss-ảnh 1-phủ dãy của không gian mê" pptx

Báo cáo nghiên cứu
khoa học:

"Sự hội tụ trong
không gian của
mảng nhiều chiều
các toán tử đo
được khả tích đều"
SS-ảnh 1-phủ dãy của không gian mêtric khả ly địa phơng
Lơng Quốc Tuyển
(a)
, Nguyễn Duy Nam
(b)
, Nguyễn Thị Toàn
(c)
Tóm tắt. Trong bài viết này, chúng tôi nghiên cứu một số tính chất của họ bảo tồn
bao đóng di truyền, bảo tồn bao đóng di truyền yếu, một số bất biến của không gian có
sn-lới đếm đợc địa phơng qua ánh xạ đóng phủ-dãy và đặc trng của không gian có
sn-lới đếm đợc địa phơng qua các ánh xạ 1-phủ-dãy.
mở đầu
Các khái niệm về phủ đã đợc nhiều nhà toán học nh E. Michael, K. Nagami,
Y. Tanaka, L. Foged, . . . quan tâm từ những năm 70 của thế kỉ XX. Đặc biệt, trong
những năm gần đây, các vấn đề về k-lới, cs

-lới, cs-lới, sn-lới, cơ sở yếu, . . . có
tính chất phủ nào đó đã đợc nhiều ngời nghiên cứu về tôpô quan tâm và nghiên
cứu sâu hơn. Ngời ta đã đa ra đợc nhiều kết quả đẹp về mối quan hệ của các loại
lới trên không gian tôpô tổng quát và một số không gian đặc biệt. Hơn thế nữa, họ

còn nghiên cứu tính bất biến của các loại lới này qua một số ánh xạ, nghiên cứu đặc
trng của không gian với lới có tính chất phủ nào đó bởi ảnh của các không gian
mêtric qua một số ánh xạ nh ánh xạ phủ-dãy, 1-phủ-dãy, mở-yếu, . . . và đặc trng
ảnh của không gian mêtric qua các ánh xạ đó.
Trong bài viết này, chúng tôi nghiên cứu một số tính chất của họ bảo tồn bao
đóng di truyền, họ bảo tồn bao đóng di truyền yếu trên k

-không gian, k-không gian,
nghiên cứu tính bất biến của không gian có sn-lới (cơ sở yếu) đếm đợc địa phơng
qua các ánh xạ Lindelăof, ánh xạ đóng, ánh xạ phủ-dãy, ánh xạ 1-phủ-dãy, . và đặc
trng các không gian có sn-lới (cơ sở yếu) đếm đợc địa phơng bởi ss-ảnh 1-phủ-dãy,
phủ-compact (ss-ảnh mở-yếu, phủ-compact) của không gian mêtric khả li địa phơng.
Trong toàn bộ bài viết này, khi nói đến các không gian X, Y , . . . , thì ta hiểu
rằng X, Y là các không gian tôpô và chúng tôi quy ớc rằng tất cả các không gian là
Hausdorff, các ánh xạ đều liên tục và toàn ánh, còn các khái niệm, thuật ngữ khác,
nếu không nói gì thêm thì đợc hiểu thông thờng. Ngoài ra còn dùng thêm các kí
hiệu: f (P) = {f(P ) : P P}, P = {P : P P},

P =

{P : P P}, N = {1, 2, 3, . . . }.
1. Không gian với k-lới -bảo tồn bao đóng di truyền yếu
1.1. Định nghĩa. Giả sử P = {P

: } là họ gồm các tập con của X.
(1) Ta nói P là họ bảo tồn bao đóng di truyền hay đơn giản HCP , nếu

{A

: J} =

{A

: J},
với mọi J và A

P

, với mọi J.
(2) P đợc gọi là họ bảo tồn bao đóng di truyền yếu hay đơn giản W HCP , nếu
{x(P ) P : P P} là họ HCP .
1
Nhận bài ngày 03/11/2008. Sửa chữa xong 16/04/2009.
(3) P đợc gọi là họ -bảo tồn bao đóng di truyền (-bảo tồn bao đóng di truyền
yếu) hay đơn giản là -HCP (tơng ứng, -W HCP ), nếu P =

{P
n
: n N}
với mỗi P
n
là họ HCP (tơng ứng, W HCP ).
(4) P là họ đếm đợc địa phơng, nếu với mỗi x X, tồn tại lân cận V của x sao
cho V giao với không quá đếm đợc phần tử của P.
1.2. Định nghĩa. Giả sử P là họ gồm các tập con của X.
(1) P là lới, nếu với mọi x X và U là lân cận bất kì của x, tồn tại P P sao
cho x P U.
(2) P là k-lới, nếu với mọi tập con K compact và với mọi U là lân cận của K
trong X, tồn tại họ con hữu hạn F P sao cho K

F U .
(3) P là cfp-phủ của K, nếu P là phủ của K trong X và P có cái mịn hữu hạn
gồm các tập con đóng của K phủ K.
(4) P là cfp-lới, nếu với mọi tập con compact K X và K U với U mở trong
X, tồn tại họ con hữu hạn F P sao cho F là cfp-phủ của K và

F U .
(5) P là k-lới đóng, nếu P là k-lới và mỗi phần tử của P là đóng trong X.
(6) P là cs-lới, nếu với mọi dãy {x
n
} hội tụ đến x X và U là lân cận bất kì của
x, tồn tại m N và P P sao cho {x}

{x
n
: n m} P U.
(7) P là cs

-lới, nếu với mọi dãy {x
n
} hội tụ đến x X và U là lân cận bất kì
của x, tồn tại dãy con {x
n
i
: i N} của {x
n
} và P P sao cho {x}

{x
n

i
: i
N} P U .
(8) P là wcs

-lới, nếu với mọi dãy {x
n
} hội tụ đến x X và U là lân cận bất kì của
x, tồn tại dãy con {x
n
i
: i N} của {x
n
} và P P sao cho {x
n
i
: i N} P U.
1.3. Định nghĩa. Giả sử X là không gian tôpô.
(1) X đợc gọi là k-không gian, nếu U X là mở (đóng) trong X khi và chỉ khi
với mọi tập compact K X ta đều có U K là mở (tơng ứng, đóng) trong
không gian con K.
(2) X đợc gọi là k

-không gian, nếu với mọi tập con không đóng H X và với
mọi điểm x H \ H, tồn tại tập compact K X sao cho x H K.
(3) X đợc gọi là không gian dãy, nếu với tập hợp A X, A là đóng trong X khi
và chỉ khi không có dãy nào trong A hội tụ đến điểm nằm ngoài A.
(4) X đợc gọi là không gian Fr

echet, nếu với mọi H X và với mọi x H, tồn

tại dãy trong H hội tụ đến x.
(5) X đợc gọi là
0
-không gian, nếu nó có cs-lới đếm đợc.
(6) X đợc gọi là không gian Lasnev nếu X là ảnh đóng của một không gian
mêtric.
1.4. Nhận xét. (1) Fr

echet k

-không gian k-không gian.
(2) Fr

echet dãy k-không gian.
1.5. Định lí. Giả sử X là k-không gian và P là họ gồm các tập con đóng của X. Khi
đó, các khẳng định sau là tơng đơng
(1) P là họ W HCP ;
(2) P là họ HCP .
Chứng minh. (1) (2). Giả sử P = {P

: } là họ W HCP của X. Ta cần chứng
minh rằng P là họ HCP . Thật vậy, giả sử ngợc lại rằng P không là họ HCP . Khi
đó, tồn tại và mỗi tồn tại F

P

thoả mãn


F

=


F

. Do đó,


F

không đóng trong X. Mặt khác, vì X là k-không gian nên tồn tại tập compact
K X sao cho K



F


không đóng trong K. Bây giờ, ta sẽ chứng tỏ rằng
F(K) = {F K : F F} hữu hạn, trong đó F = {F

: }. Thật vậy, giả sử
ngợc lại rằng F(K) = {R

: } hữu hạn, trong đó là tập vô hạn. Ta chọn dãy
{x
n
} K nh sau: Lấy
1

và x
1
R

1
. Khi đó, ắt tồn tại
2
\ {
1
} sao cho
tồn tại x
2
R

2
\ {x
1
}, vì nếu ngợc lại ta suy ra rằng R

= {x
1
} với mọi \{
1
}.
Điều này mâu thuẫn với giả thiết phản chứng rằng vô hạn. Tiếp tục quá trình
trên ta sẽ xây dựng đợc các dãy phân biệt {x
n
: n N} K và {
n
: n N}

thoả mãn mỗi x
n
R

n
. Bây giờ, với mỗi n N ta lấy F

n
F sao cho R

n
= F

n
K.
Khi đó, x
n
F

n
và {F

n
: n N} là dãy phân biệt trong F. Từ tính chất W HCP của
F ta suy ra {x
n
: n N} là tập đóng và rời rạc trong tập compact K. Điều này mâu
thuẫn. Vì thế, F(K) hữu hạn và ta có thể đặt F(K) = {A
1
, . . . , A

m
}.
Cuối cùng, vì K



F


=


(K F

) =
m

i=1
A
i
và các A
i
đóng trong X nên
m

i=1
A
i
là tập con đóng trong X. Do đó, K

F


là tập con đóng của K. Điều này
mâu thuẩn với K



F


không là tập con đóng trong K. Vậy F là họ HCP của
X.
(2) (1). Hiển nhiên.
1.6. Hệ quả. Giả sử P là họ gồm các tập con đóng của k-không gian X. Khi đó, các
khẳng định sau là tơng đơng
(1) P là họ -W HCP ;
(2) P là họ -HCP .
1.7. Hệ quả ([1]). Giả sử P là họ gồm các tập con đóng của không gian dãy X. Khi
đó, các khẳng định sau là tơng đơng
(1) P là họ -W HCP ;
(2) P là họ -HCP .
1.8. Định lí. Giả sử P là họ gồm các tập con của k

-không gian X. Khi đó, các khẳng
định sau là tơng đơng
(1) P là họ W HCP ;
(2) P là họ HCP ;

(3) P là họ HCP ;
(4) P là họ W HCP .
Chứng minh. (1) (2). Giả sử P = {P

: } là họ W HCP của X ta cần chứng
minh rằng P là họ HCP của X. Thật vậy, giả sử ngợc lại rằng P không là họ
HCP của X. Khi đó, tồn tại họ con và với mỗi tồn tại F

P

sao cho


F

=


F

. Do đó, ắt tồn tại x


F

\


F

F

\


F

. Suy ra


F

không đóng trong X. Mặt khác, vì X là k

-không gian nên tồn tại tập con compact
K X sao cho
x K



F


.
Bây giờ, ta đặt F(K) = {F K : F F}, trong đó F = {F

: }. Tơng tự

nh chứng minh trong phần (1) (2) của Định lí 1.5 ta suy ra rằng F(K) là tập hữu
hạn. Vì thế, ta có thể đặt F(K) = {A
1
, . . . , A
m
}. Khi đó, vì x K



F


ta có
x K



F


=


(K F

) =
m

i=1
A

i
=
m

i=1
A
i



F

.
Điều này mâu thuẫn với x /


F

. Vậy P là họ HCP .
(2) (3). Nhờ Bổ đề 2 trong [9].
(3) (4) (1). Hiển nhiên.
1.9. Hệ quả. Giả sử P là họ gồm các tập con của k

-không gian X. Khi đó, các khẳng
định sau là tơng đơng
(1) P là họ -W HCP ;
(2) P là họ -HCP ;
(3) P là họ -HCP ;
(4) P là họ -W HCP .
1.10. Hệ quả ([9]). Giả sử P là họ gồm các tập con của không gian Fr

echet X. Khi
đó, các khẳng định sau là tơng đơng
(1) P là họ -W HCP ;
(2) P là họ -HCP ;
(3) P là họ -HCP ;
(4) P là họ -W HCP .
1.11. Định lí. Các khẳng định sau là tơng đơng đối với không gian chính quy X
(1) X là không gian Lasnev;
(2) X là k

-không gian với k-lới -HCP ;
(3) X là k

-không gian với k-lới đóng -HCP ;
(4) X là k

-không gian với k-lới -W HCP ;
(5) X là k

-không gian với k-lới đóng -W HCP .
Chứng minh. (1) (2). Nhờ Bổ đề 3 trong [9] và Nhận xét 1.4(1).
(2) (3) (4) (5). Nhờ Hệ quả 1.9 với chú ý rằng, trong không gian chính
quy, nếu P là k-lới của X, thì P cũng là k-lới của X.
(5) (1). Giả sử X là k

-không gian và P là k-lới -WHCP của X. Trớc hết
ta chứng tỏ rằng X là không gian Fr

echet. Thật vậy, giả sử A X và x A.

(1) Giả sử x A. Khi đó, ta lấy S = {x
n
= x : n N}. Hiển nhiên rằng S là dãy
hội tụ đến x.
(2) Giả sử x A \ A. Khi đó, vì X là k

-không gian nên tồn tại tập compact K sao
cho x K A K. Vì X là không gian có k-lới -WHCP nên nhờ Mệnh đề 3 và Bổ
đề 7 trong [9] ta suy ra K là không gian con khả mêtric, kéo theo K là không gian
con thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ nhất. Bây giờ ta sẽ chứng tỏ rằng tồn tại dãy
{x
n
: n N} K A, hội tụ đến x. Thật vậy, vì K là không gian con thoả mãn tiên
đề đếm đợc thứ nhất nên tồn tại cơ sở lân cận đếm đợc {V
n
: n N} của x trong
không gian con K thoả mãn V
n+1
V
n
, với mọi n N. Mặt khác, vì x
K A nên
với mỗi n N, tồn tại x
n
V
n
(K A). Do đó, ta đợc dãy {x
n
: n N} K A.
Hiển nhiên rằng {x

n
} là dãy hội tụ đến x trong không gian con K, kéo theo {x
n
} hội
tụ đến x trong X. Vậy X là không gian Fr

echet.
Cuối cùng, nhờ Hệ quả 2 trong [9] ta suy ra điều phải chứng minh.
1.12. Mệnh đề. Các khẳng định sau là tơng đơng đối với không gian X
(1) X có lới W HCP ;
(2) X có k-lới W HCP ;
(3) X có wcs

-lới W HCP .
Chứng minh. (1) (2). Giả sử P là lới W HCP , K là tập con compact và U là
lân cận của K trong X. Khi đó, theo cách chứng minh trong Định lí 1.5 ta suy ra
P(K) = {P K = : P P} hữu hạn. Bây giờ, với mỗi x K, do P là lới nên
tồn tại P
x
P sao cho x P
x
U. Suy ra họ {P
x
: x X} là một phủ của K và
{P
x
K : x X} P(K). Vì thế ta có thể đặt {P
x
K : x X} = {A
1

, . . . , A
n
}
và K
n

i=1
A
i
. Bây giờ với mỗi i {1, 2, . . . , n}, ta lấy P
x
i
{P
x
: x X} sao cho
P
x
i
K = A
i
. Hiển nhiên lúc đó K
n

i=1
P
x
i
U, kéo theo P là k-lới của X. Vậy P
là k-lới W HCP của X.
(2) (3) (1). Hiển nhiên.

1.13. Hệ quả. Đối với k-không gian X, các khẳng định sau là tơng đơng
(1) X có lới đóng HCP ;
(2) X có lới đóng W HCP ;
(3) X có k-lới đóng HCP ;
(4) X có k-lới đóng W HCP ;
(5) X có wcs

-lới đóng HCP ;
(6) X có wcs

-lới đóng W HCP .
1.14. Hệ quả. Đối với k

-không gian X, các khẳng định sau là tơng đơng
(1) X có lới đóng HCP ;
(2) X có lới W HCP ;
(3) X có k-lới đóng HCP ;
(4) X có k-lới W HCP ;
(5) X có wcs

-lới đóng HCP ;
(6) X có wcs

-lới W HCP .
Chứng minh. Suy trực tiếp từ Định lí 1.8 và Bổ đề 1.12.
2. Một số bất biến qua các ánh xạ
2.1. Định nghĩa. Giả sử f : X Y là một ánh xạ.
(1) f là ss-ánh xạ, nếu với mỗi y Y , tồn tại lân cận U của y sao cho f
1
(U) là

tập con khả li của X.
(2) f là -ánh xạ, nếu X là không gian mêtric sao cho với mỗi y Y và U là lân
cận bất kì của y ta có d(f
1
(y), X \ f
1
(U)) > 0.
(3) f là ánh xạ Lindelăof (compact), nếu f
1
(y) là tập con Lindelăof (tơng ứng,
compact) của X với mọi y Y .
(4) f là ánh xạ phủ-dãy, nếu mỗi dãy hội tụ trong Y là ảnh của dãy hội tụ nào
đó trong X.
(5) f là ánh xạ 1-phủ-dãy, nếu với mỗi y Y , tồn tại x
y
f
1
(y) sao cho mỗi dãy
hội tụ đến y là ảnh của dãy nào đó hội tụ đến x
y
.
(6) f là ánh xạ phủ-dãy con hữu hạn, nếu với mỗi y Y , tồn tại tập con hữu hạn
F f
1
(y) sao cho mỗi dãy S Y hội tụ đến y, tồn tại dãy L X hội tụ đến
x
y
F và f(L) là dãy con của S.
(7) f là ánh xạ phủ-compact, nếu mỗi tập con compact trong Y là ảnh của tập
compact nào đó trong X.

(8) f là ánh xạ thơng, nếu U là tập mở (đóng) trong Y khi và chỉ khi f
1
(U) là
tập mở (tơng ứng, đóng) trong X.
(9) f là ánh xạ mở-yếu, nếu tồn tại một cơ sở yếu B =

{B
y
: y Y } của Y và với
mỗi y Y tồn tại x
y
f
1
(y) thoả mãn với mỗi lân cận mở U của x
y
, tồn tại
B
y
B
y
sao cho B
y
f(U ).
2.2. Nhận xét. (1) ánh xạ compact ánh xạ Lindelăof.
(2) ánh xạ 1-phủ dãy ánh xạ phủ-dãy.
(3) ánh xạ 1-phủ-dãy ánh xạ phủ-dãy con hữu hạn.
(4) ánh xạ đóng ánh xạ thơng.
2.3. Định nghĩa. Giả sử P là tập con của không gian X và x X. Ta nói P là lân
cận dãy của x, nếu với mọi dãy {x
n

} hội tụ đến x, tồn tại m N sao cho
{x}

{x
n
: n m} P.
2.4. Định nghĩa. Giả sử P =

{P
x
: x X} là một phủ của không gian X và với mỗi
x X, P
x
thoả mãn hai điều kiện (i) và (ii) sau đây
(i) P
x
là lới của x, nghĩa là với U là lân cận của x, tồn tại P P
x
sao cho
x P U ;
(ii) Nếu P
1
, P
2
P
x
, tồn tại P P
x
sao cho P P
1

P
2
.
(1) P là cơ sở yếu của X, nếu tập G X là mở khi và chỉ khi với mỗi x G, tồn
tại P P
x
sao cho P G. Khi đó, mỗi P
x
đợc gọi là cơ sở lân cận yếu tại x.
(2) P là sn-lới của X, nếu mỗi phần tử của P
x
là lân cận dãy của x với mọi x X.
(3) X là gf-đếm đợc (snf-đếm đợc), nếu X có cơ sở yếu (tơng ứng, sn-lới)
P =

{P
x
: x X} thoả mãn P
x
đếm đợc với mọi x X.
2.5. Nhận xét. (1) Cơ sở yếu sn-lới. Vì thế, gf -đếm đợc snf-đếm đợc.
(2) Trong không gian dãy, sn-lới cơ sở yếu và snf-đếm đợc gf -đếm đợc.
2.6. Định lí. Giả sử f : X Y và X là không gian có sn-lới đếm đợc địa
phơng. Khi đó, nếu một trong các tính chất sau thoả mãn, thì Y có sn-lới đếm
đợc địa phơng
(1) f là ánh xạ Lindelăof, đóng, phủ-dãy con hữu hạn.
(2) f là ánh xạ Lindelăof, đóng, 1-phủ-dãy.
Chứng minh. (1) Giả sử f : X Y là ánh xạ Lindelăof đóng, phủ-dãy con hữu hạn
và P là sn-lới đếm đợc địa phơng của X. Khi đó, vì X có sn-lới đếm đợc địa
phơng và f là ánh xạ phủ-dãy con hữu hạn nên nhờ Bổ đề 3.11 [10] ta suy ra Y là

không gian snf-đếm đợc. Mặt khác, vì f là ánh xạ Lindelăof đóng nên nhờ Bổ đề
3.12 [10], f(P) là họ đếm đợc địa phơng của Y . Hơn nữa, vì f là ánh xạ phủ-dãy
con hữu hạn và P là sn-lới của X nên ta dễ dàng chứng minh đợc rằng f (P) là
cs

-lới của Y . Vì thế, nhờ Mệnh đề 1.2.10 [8] ta suy ra rằng Y có sn-lới đếm đợc
địa phơng.
(2) Suy trực tiếp từ (1) và Nhận xét 2.2(2).
2.7. Hệ quả. Cơ sở yếu đếm đợc địa phơng đợc bảo tồn qua ánh xạ Lindelăof đóng,
phủ-dãy con hữu hạn.
Chứng minh. Giả sử f : X Y là ánh xạ đóng, phủ-dãy con hữu hạn và X là không
gian có cơ sở yếu đếm đợc địa phơng. Khi đó, nhờ Nhận xét 2.5(1) và Định lí 2.6(1)
ta suy ra Y là không gian có sn-lới đếm đợc địa phơng. Mặt khác, vì ánh xạ
thơng bảo tồn không gian dãy nên nhờ Nhận xét 2.2(4) và Nhận xét 2.5(2) ta suy
ra điều phải chứng minh.
2.8. Định lí. Cơ sở yếu đếm đợc địa phơng đợc bảo tồn qua ánh xạ đóng, phủ-dãy.
Chứng minh. Giả sử f : X Y là ánh xạ đóng, phủ-dãy và P là cơ sở yếu đếm đợc
địa phơng của X. Vì mọi họ đếm đợc địa phơng là họ đếm đợc theo điểm và f
là ánh xạ đóng phủ-dãy nên nhờ Bổ đề 3.1 [6] ta suy ra Y là gf-đếm đợc. Do đó,
nhờ Hệ quả 10 [11] ta suy ra Y không chứa bản copy nào của S

. Mặt khác, vì X là
không gian có cơ sở yếu đếm đợc theo điểm và f là ánh xạ đóng nên nhờ Bổ đề 3.2
[6] ta suy ra mỗi f
1
(y) là tập con compact của X.
Bây giờ ta chứng minh khẳng định () sau đây
() y Y là điểm cô lập của Y khi và chỉ khi f
1
(y) = .

Thật vậy, giả sử y là điểm cô lập của Y . Khi đó, {y} là tập mở trong Y , kéo theo
f
1
(y) là tập mở trong X. Mặt khác, vì f
1
(y) f
1
(y) và
f
1
(y) = intf
1
(y) = f
1
(y) \ f
1
(y)
nên ta suy ra f
1
(y) = . Ngợc lại, giả sử f
1
(y) = . Khi đó, vì
intf
1
(y) = f
1
(y) \ f
1
(y) = f
1

(y)
nên f
1
(y) là tập hợp mở, kéo theo f
1
(y) là lân cận mở của f
1
(y). Mặt khác, vì f
là ánh xạ đóng, f
1
(y) là lân cận mở của f
1
(y) nên tồn tại lân cận mở V của y sao
cho f
1
(V ) f
1
(y). Điều này chứng tỏ rằng {y} = V , kéo theo y là điểm cô lập của
Y .
Bây giờ với mỗi y Y , ta chọn x
y
f
1
(y) và đặt
D =

{f
1
(y) : y Y }

{x
y
: y là điểm cô lập của Y }.
Ta sẽ chứng tỏ rằng D là tập con đóng của X. Thật vậy, giả sử x X \ D. Khi đó, ắt
tồn tại y Y sao cho x f
1
(y). Nếu y là điểm cô lập của Y , thì nhờ () ta suy ra
U = f
1
(y) \ {x
y
} = intf
1
(y) \ {x
y
}
là lân cận mở của x và U D = . Nếu y không là điểm cô lập của Y , thì nhờ () ta
suy ra f
1
(y) = và x intf
1
(y). Lúc đó, nếu ta đặt U = intf
1
(y), thì U là lân
cận mở của x và U D = . Vậy với mỗi x X \ D, tồn tại lân cận U của x sao cho
U D = . Điều này chứng tỏ rằng D là tập con đóng của X.
Đặt F = {P D : P P}. Nhờ Bổ đề 2.1 trong [6], ta suy ra F là cơ sở yếu đếm
đợc địa phơng của D. Hơn nữa, nếu đặt g = f|
D
, thì nhờ () suy ra rằng với mỗi

y Y , ta có
g
1
(y) =

{x
y
} nếu y là điểm cô lập của Y
f
1
(y) nếu y không là điểm cô lập của Y.
Do đó, g là ánh xạ compact. Mặt khác, vì D là tập con đóng của X và f là ánh xạ
đóng nên g là ánh xạ đóng. Cuối cùng, ta có
(i) g(F) là họ đếm đợc địa phơng của Y , vì nhờ Bổ đề 3.12 [10], g là ánh xạ
compact, đóng và F là họ đếm đợc địa phơng.
(ii) g(F) là cs

-lới của Y . Giả sử {y
n
} là dãy trong Y hội tụ đến y và U là lân cận
bất kì của y, ta có thể giả thiết rằng các y
n
phân biệt. Vì D có cơ sở yếu đếm đợc địa
phơng nên D là không gian dãy. Mặt khác, vì A = {y
n
: n N} không đóng trong Y
và g là ánh xạ thơng nên B = g
1
(A) không là tập đóng trong X. Hơn nữa, vì X là
không gian dãy nên tồn tại dãy {x

n
} B hội tụ đến điểm x / B. Do đó, {g(x
n
)} là
dãy con của {y
n
}. Cuối cùng, vì {x
n
} hội tụ đến x, g
1
(U) là lân cận của x và F là cơ
sở yếu của D nên tồn tại P F và m N sao cho {x}

{x
n
: n m} P g
1
(U).
Vì thế, {y}

{g(x
n
) : n m} g(P ) U. Bởi vì {g(x
n
)} là dãy con của {y
n
} nên ta
suy ra g(F) là cs

-lới của Y .

(iii) Y là không gian có cơ sở yếu đếm đợc địa phơng, vì nhờ Mệnh đề 1.2.11
trong [8], Y là không gian gf -đếm đợc và g(F) là cs

-lới đếm đợc địa phơng.
Từ Định lí 2.8, Hệ quả 2.4 trong [2] và Nhận xét 2.2(2) ta có các hệ quả sau
2.9. Hệ quả ([5], Theorem 4.6). Cơ sở yếu đếm đợc đợc bảo tồn qua ánh xạ đóng và
mở.
2.10. Hệ quả ([5], Theorem 4.7). Cơ sở yếu đếm đợc địa phơng đợc bảo tồn qua
ánh xạ đóng và mở.
3. ss-ảnh 1-phủ-dy của không gian mêtric khả li địa phơng
3.1. Bổ đề. Các khẳng định sau là tơng đơng, đối với không gian X.
(1) X có sn-lới đếm đợc;
(2) X là ảnh 1-phủ-dãy, phủ-compact của không gian mêtric khả li;
(3) X là ảnh 1-phủ-dãy của không gian mêtric khả li.
Chứng minh. (1) (2). Giả sử X có sn-lới đếm đợc. Khi đó, X là
0
-không gian.
Do vậy, nhờ Định lí 12 [3], tồn tại ánh xạ phủ-dãy, phủ-compact f : M X, trong
đó M là không gian mêtric khả li. Mặt khác, vì M là không gian mêtric khả li nên
f là s-ánh xạ. Hơn nữa, vì X là không gian có sn-lới đếm đợc nên X là snf-đếm
đợc. Do đó, nhờ Mệnh đề 2.2 [2] ta suy ra f là ánh xạ 1-phủ-dãy. Vậy X là ảnh
1-phủ-dãy, phủ-compact của không gian mêtric khả li.
(2) (3). Hiển nhiên.
(3) (1). Giả sử f : M X là ánh xạ 1-phủ-dãy. Khi đó, vì M là không gian
mêtric khả li nên nó có cơ sở đếm đợc B. Mặt khác, vì f là ánh xạ 1-phủ-dãy nên
với mỗi y X, tồn tại x
y
f
1
(y) sao cho với mọi dãy trong X, hội tụ đến y là ảnh

của dãy trong M hội tụ đến x
y
. Bây giờ chúng ta đặt
P
y
= {f(B) B : x
y
B}, P =

{P
y
: y Y }.
Ta có
(i) P
y
là lới tại y. Thật vậy, giả sử y U, với U mở trong X. Vì f là ánh xạ
liên tục nên f
1
(U) là lân cận mở của x
y
. Mặt khác, vì B là cơ sở của M nên tồn tại
B B sao cho x
y
B f
1
(U). Suy ra f(B) U. Vậy P
y
là lới tại y.
(ii) Giả sử P
1

, P
2
P
y
. Khi đó, tồn tại B
1
, B
2
B sao cho x
y
B
1
B
2
và
P
1
= f(B
1
), P
2
= f(B
2
). Vì B là cơ sở của M và B
1
B
2
là lân cận của x
y
nên tồn tại

B B sao cho x
y
B B
1
B
2
. Đặt P = f(B), ta có P P
y
và P P
1
P
2
.
(iii) Mỗi phần tử của P
y
là lân cận dãy của y. Thật vậy, giả sử P P
y
và {y
n
} là
dãy hội tụ đến y trong X. Vì P P
y
nên tồn tại B B sao cho x
y
B và P = f(B).
Mặt khác, vì f là ánh xạ 1-phủ-dãy nên tồn tại dãy {x
n
} trong M hội tụ đến x
y
sao

cho x
n
f
1
(y
n
). Hơn nữa, vì x
y
B và B mở trong M nên tồn tại m N sao cho
{x
y
}

{x
n
: n m} B. Suy ra {y}

{y
n
: n m} f(B) = P . Do đó, P là lân cận
dãy của y.
Từ (i), (ii) và (iii) ta suy ra P là sn-lới của X.
Cuối cùng, vì B là đếm đợc nên ta suy ra P là sn-lới đếm đợc của X.
Từ Bổ đề 3.1, Mệnh đề 1.2.11 [8] và Hệ quả 2.3 [2], ta có hệ quả sau
3.2. Hệ quả. Các khẳng định sau là tơng đơng, đối với không gian X
(1) X có cơ sở yếu đếm đợc;
(2) X là ảnh mở-yếu, phủ-compact của không gian mêtric khả li;
(3) X là ảnh 1-phủ-dãy, phủ-compact, thơng của không gian mêtric khả li;
(4) X là ảnh mở-yếu của không gian mêtric khả li.
3.3. Định lí. Các khẳng định sau là tơng đơng đối với không gian X

(1) X có sn-lới đếm đợc địa phơng;
(2) X là ss-ảnh 1-phủ-dãy, phủ-compact của không gian mêtric khả li địa phơng;
(3) X là ss-ảnh 1-phủ-dãy của không gian mêtric khả li địa phơng.
Chứng minh. (1) (2). Giả sử F =

{F
x
: x X} là sn-lới đếm đợc địa phơng
của X. Vì F là họ đếm đợc địa phơng nên với mỗi x X, tồn tại lân cận mở V
x
chỉ giao với đếm đợc phần tử của F. Với mỗi x X, đặt P
x
= {P F
x
: P V
x
} và
P =

{P
x
: x X}. Hiển nhiên rằng P là sn-lới đếm đợc địa phơng của X. Bây
giờ, giả sử rằng P = {P

: }. Khi đó, với mỗi , đặt P
,x
= {P

F : F P
x

}
và P

=

{P
,x
: x X}. Dễ dàng kiểm tra đợc rằng mỗi P

là sn-lới đếm đợc
của P

. Do đó, nhờ Bổ đề 3.1 ta suy ra rằng, với mỗi , tồn tại không gian mêtric
khả li M

và ánh xạ 1-phủ-dãy, phủ-compact g

: M

P

. Đặt
M =


M

, g =

g

:


M

:


P

,
h :


P

X là ánh xạ tự nhiên và f = h g. Khi đó, M là không gian mêtric khả
li địa phơng. Hơn nữa,
(i) f là ss-ánh xạ. Bởi vì M =


M

nên nó có cơ sở B =

{B

: }, trong

đó mỗi B

là cơ sở đếm đợc của M

. Bây giờ, với mỗi x X, vì V
x
chỉ giao đếm đợc
phần tử của P nên ta có thể đặt {P P : P V
x
= } = {P

i
: i N}. Lúc đó ta có
f
1
(V
x
) f
1


iN
P

i



iN
M

i
.
Mặt khác, vì f
1
(V
x
) là tập con mở trong tập con khả li

iN
M

i
nên f
1
(V
x
) khả li
trong M. Vậy f là ss-ánh xạ.
(ii) f là ánh xạ 1-phủ-dãy. Với mỗi x X, ta lấy (x) sao cho x P
(x)
P
x
.
Vì g
(x)
là ánh xạ 1-phủ-dãy nên tồn tại z
x
g
1

(x)
(x) sao cho với mọi dãy S hội tụ
đến x trong P
(x)
, tồn tại dãy L hội tụ đến z
x
trong M
(x)
thoả mãn g
(x)
(L) = S. Bây
giờ giả sử {x
n
} là dãy hội tụ đến x trong X. Khi đó, vì P
(x)
là lân cận dãy của x nên
tồn tại m N sao cho {x}

{x
n
: n m} P
(x)
. Mặt khác, vì {x
n
: n m} là dãy
hội tụ đến x trong P
(x)
nên tồn tại dãy {z
n
: n m} hội tụ đến z

x
trong M
(x)
sao
cho với mỗi n m ta có g
(x)
(z
n
) = x
n
, kéo theo f(z
n
) = x
n
với mọi n m. Cuối cùng,
với mỗi n = 1, 2, . . . , m 1, ta lấy z
n
M sao cho f (z
n
) = x
n
. Hiển nhiên rằng {z
n
} là
dãy hội tụ đến z
x
trong M và f(z
n
) = x
n

với mọi n N. Vậy f là ánh xạ 1-phủ-dãy.
(iii) f là ánh xạ phủ-compact. Giả sử K là tập compact trong X. Vì P là sn-lới
đếm đợc địa phơng và mọi họ đếm đợc địa phơng là compact-đếm đợc nên nhờ
Mệnh đề 1.2.15 [8] ta suy ra rằng P là cfp-lới của X. Do đó, ắt tồn tại họ hữu hạn
sao cho mỗi tồn tại tập con đóng C

P

thoả mãn K

{C

: }.
Bây giờ, với mỗi , đặt K

= K C

. Hiển nhiên rằng mỗi K

là tập con compact
của P

. Cuối cùng, vì mỗi , g

là ánh xạ phủ-compact nên tồn tại tập compact
L

M

sao cho K

= g

(L

). Đặt L =


L

. Khi đó, L là tập con compact của M
và f(L) = K. Vậy f là ánh xạ phủ-compact.
Từ chứng minh trên ta suy ra rằng X là ss-ảnh 1-phủ-dãy, phủ-compact của
không gian mêtric khả li địa phơng.
(2) (3). Hiển nhiên.
(3) (1). Giả sử f : M X là ss-ánh xạ 1-phủ-dãy và M là không gian mêtric
khả li địa phơng. Khi đó, vì M là không gian mêtric nên nó có một cơ sở đếm đợc
theo điểm B. Mặt khác, vì f là ss-ánh xạ nên với mỗi x X, tồn tai lân cận V
x
của x
sao cho f
1
(V
x
) khả li. Hơn nữa, vì B là cơ sở đếm đợc theo điểm và f
1
(V
x
) khả li
với mọi x X nên với mỗi x X, f

1
(V
x
) chỉ giao với đếm đợc phần tử của B. Điều
này chứng tỏ rằng f(B) là họ đếm đợc địa phơng.
Bởi vì f là ánh xạ 1-phủ-dãy nên với mỗi x X, tồn tại z
x
f
1
(x) sao cho mỗi
dãy hội tụ đến x là ảnh của dãy nào đó hội tụ đến z
x
. Cuối cùng, với mỗi x X,
ta đặt P
x
= {f(B) : B B, z
x
B} và đặt P =

{P
x
: x X}. Khi đó, vì P f(B)
và f(B) là họ đếm đợc địa phơng nên P là họ đếm đợc địa phơng. Hơn nữa, dễ
dàng kiểm tra đợc rằng, P là sn-lới của X.
Vậy X là không gian có sn-lới đếm đợc địa phơng.
Từ Định lí 3.3, Mệnh đề 1.2.11 [8] và Hệ quả 2.3 [2], ta có hệ quả sau
3.4. Hệ quả. Các khẳng định sau là tơng đơng, đối với không gian X
(1) X có cơ sở yếu đếm đợc địa phơng;
(2) X là ss-ảnh mở-yếu, phủ-compact của không gian mêtric khả li địa phơng;
(3) X là ss-ảnh mở-yếu của không gian mêtric khả li địa phơng.

3.5. Ví dụ. Tồn tại không gian với cơ sở yếu đếm đợc địa phơng không là , ss-ảnh
mở-yếu của không gian mêtric.
Chứng minh. Giả sử với mỗi n N, C
n
là dãy hội tụ gồm cả điểm giới hạn của nó
và thoả mãn C
n
C
m
= với mỗi m = n. Giả sử Q = {q
n
: n N} là tập tất cả các
số hữu tỷ của tập số thực R. Đặt M = (

{C
n
: n N}) R và giả sử X là không
gian thơng thu đợc từ M bởi đồng nhất mỗi p
n
trong C
n
với q
n
trong R. Khi đó,
nhờ chứng minh trong Ví dụ 3.1 [4] ta suy ra rằng X là không gian với cơ sở yếu đếm
đợc địa phơng và X không là -ảnh thơng phủ-dãy của không gian mêtric. Ta
sẽ chứng tỏ X không là , ss-ảnh mở-yếu của không gian mêtric. Thật vậy, giả sử
ngợc lại rằng X là , ss-ảnh mở-yếu của không gian mêtric. Khi đó, vì X là không
gian mêtric nên nhờ Hệ quả 2.1.25 [8] và Nhận xét 2.2(2) ta suy ra rằng X là -ảnh
thơng, phủ-dãy của không gian mêtric. Điều này mâu thuẫn.

tài liệu tham khảo
[1] Tran Van An and Nguyen Thi Le, Spaces with -hereditarily closure-preserving k-
networks, pseudo bases, Tạp chí khoa học Đại học Vinh, Tập 34, 1A, 2005, 5-15.
[2] Tran Van An, Luong Quoc Tuyen, Further properties of 1-sequence-covering maps,
Comment. Math. Univ. Carolin., 49 (3), 2008, 477-484.
[3] Y. Ge,
0
-spaces and images of separable metric spaces, Seberian Electronic Math.
Rep., 2, 2005, 62-67.
[4] Y. Ge, S. Lin, g-metrizable spaces and the images of semi-metric spaces. Czechoslovak
Math J., 57 (132), 2007, 1141-1149.
[5] C. Liu and M. Dai, Spaces with a locally countable weak base*, Math. Japonica., 41
(2), 1995, 261-267.
[6] C. Liu, On weak bases. Topology and its Applications, 150, 2005, 91-99.
[7] Y. Tanaka and Y. Ge, Around quotient compact images of metric space, and symmetric
spaces, Houston J. Math., 32 (1), 2006, 99-117.
[8] Lơng Quốc Tuyển, Không gian với k-lới và s-ảnh phủ-compact của không gian
mêtric, Luận văn thạc sĩ toán học, Vinh 2007.
[9] Lơng Quốc Tuyển, Nguyễn Thị Huyền Nga và Nguyễn Thị Toàn, Không gian với
k-lới -bảo tồn bao đóng di truyền yếu, Tạp chí khoa học, Trờng Đại học Vinh, Tập
35, 4A, 2006, 112-122.
[10] X. Ge, Spaces with a locally countable sn-network, Lobachevskii J. Math., 26, 2007,
33-49.
[11] P. Yan, S. Lin, Point-countable k-networks, cs

-network and
4
-spaces, Topology Proc.,
24, 1999, 345-354.
summary

1-sequence-covering ss-images of locally separable metric
spaces
In this paper, we investigated some properties of weakly hereditarily closure
preserving, hereditarily closure preserving families, some invariants of spaces with
locally countable sn-networks by sequence-covering closed maps, and characterized
spaces with locally countable sn-networks by 1-sequence-covering maps.
(a) Khoa Toán, trờng Đại Học S phạm Đà Nẵng
(b) Cao học 14, chuyên ngành Giải tích, trờng Đại Học Vinh
(c) Khoa Toán, trờng Đại Học Vinh.