Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Các phương pháp số để giải phương trình lan truyền xung" pdf

trờng Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVII, số 3A-2008



47

các phơng pháp số
để giải phơng trình lan truyền xung


Đinh Xuân Khoa
(a)
, Nguyễn Việt Hng
(b)
,
Bùi Đình Thuận
(a)
, Hoàng Thị Hồng Thanh
(c)


Tóm tắt. Trong bài báo này chúng tôi trình bày những cơ sở của phơng pháp số
để giải gần đúng phơng trình lan truyền xung. Bằng cách sử dụng phơng pháp số,
chúng tôi khảo sát sự tơng tác giữa các soliton.
I. Mở đầu
Xuất phát từ phơng trình Schrodinger phi tuyến suy rộng [1]:
( )
.

2
2
22
2
3
3
3
2
2













++


+


=

U
UUUiSUUiN
UUiU
R
(1)
trong đó
(
)

,U
là hàm bao phức của xung, các tham số đặc trng cho các hiện
tợng tán sắc bậc ba, tự dựng xung và tự dịch chuyển tần số tơng ứng là
3

, S và
R

. Trong trờng hợp tổng quát, việc tìm lời giải giải tích cho phơng trình (1) là rất
khó và đến nay vẫn cha thực hiện đợc. Chỉ với một vài trờng hợp riêng ngời ta
mới tìm đợc các nghiệm soliton của nó mà thôi. Mặt khác, cần lu ý rằng phơng
trình (1) chỉ là một trong số rất nhiều các dạng gần đúng của phơng trình lan
truyền xung [1,2]. Khi tính đến các số hạng tán sắc và phi tuyến bậc cao hơn,
phơng trình lan truyền xung sẽ trở nên rất phức tạp và việc tìm các phơng pháp
giải tích chung cho các phơng trình này là không thể thực hiện đợc.

Do những khó khăn đó, ngời ta đã áp dụng nhiều phơng pháp khác nhau để
tìm các lời giải gần đúng của phơng trình lan truyền xung. Phơng pháp số đã đợc
sử dụng rất hiệu quả cho mục đích này. Nhiều tác giả đã đa ra các thuật toán khác
nhau [4, 5, 6] nhng về nguyên tắc chung có thể phân ra hai loại, đó là các phơng
pháp sai phân hữu hạn và các phơng pháp giả phổ [7]. Phơng pháp giả phổ dựa
vào phép biến đổi Fourier để tính gần đúng các đạo hàm riêng, do đó đã chuyển bài
toán giải phơng trình đạo hàm riêng về bài toán giải phơng trình vi phân thờng.
Trong bài này chúng tôi nghiên cứu hai thuật toán quan trọng để giải gần đúng
phơng trình lan truyền xung theo phơng pháp giả phổ, đó là thuật toán split - step
và Runge - Kutta bậc bốn. Các phần còn lại của bài đợc bố cục nh sau: Phần II
trình bày nguyên tắc của việc rời rạc hoá bài toán lan truyền xung theo các thuật
toán trên, Phần III thực hiện một số tính toán để kiểm chứng độ chính xác của các
phơng pháp đối với vài trờng hợp đặc biệt, Phần IV là các kết luận.

Nhận bài ngày 02/5/2008. Sửa chữa xong 12/6/2008.




Đ. X. Khoa, N. V. Hng, B. Đ. Thuận, H. T. H. Thanh lan truyền xung, Tr. 47-53



48
II. Các phơng pháp số
1. Thuật toán split - step bậc hai
Đầu tiên, chúng tôi trình bày thuật toán split - step để giải gần đúng phơng
trình lan truyền xung. Phơng trình (1) có thể biểu diễn ở dạng:

( )

(
)
,

UUNL
U
+=



(2)
trong đó
L

và
N

tơng ứng là các toán tử tuyến tính và phi tuyến tác dụng lên hàm
bao:
( )
( )
.
1

2

2
22
2
3

3
3
2
2













+=


+


=

U
UUU
U
iSUiNUN
i
L
R
(3)
Lấy tích phân phơng trình (2) theo biến trong khoảng + , ta đợc [9]:
(
)
(
)
(
)

,exp, UBAU +=+
(4)
với:
( )( ) ( )( )


+
++
=
===

,

','


'

'

UNdUNB
LdLdLA
(5)
Khi khoảng chia của quãng đờng lan truyền là đủ nhỏ, sử dụng công thức Baker
- Campbell - Hausdorff cho toán tử hàm mũ trong (4) chúng ta có thể biểu diễn dạng
gần đúng của nó nh sau [2, 3, 6]:
( ) ( )
.
2
expexp
2
expexp

+
A
B
A
BA
(6)
Trong phép gần đúng này, chúng ta đã xem rằng các toán tử A và B là giao hoán khi
nhỏ. Sai số của công thức (6) vào bậc ()
2
.
Thay các biểu thức trên vào (4) ta có biểu thức mô tả thuật toán split - step bậc
hai cho bài toán (2) nh sau:

( ) ( )( )
(
)
( )
.,

2
exp,

exp

2
exp,





ULUNLU















+
(7)
Biểu thức này cho phép xác định giá trị gần đúng của hàm bao tại vị trí + khi
đã biết hàm bao tại vị trí .
2. Biến đổi Fourier rời rạc

trờng Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVII, số 3A-2008



49
Để tính đợc giá trị hàm bao theo (7) chúng ta cần biết cách tính tác dụng của
các toán tử tuyến tính và phi tuyến lên hàm bao. Chúng ta sẽ giới hạn biến thời gian
trong khoảng hữu hạn [a, b] đủ lớn để các biên không ảnh hởng đến kết quả tính
toán. Giả thiết rằng hàm bao
(
)

,U
thoả mãn điều kiện biên tuần hoàn
(
)
(
)
bUaU ,,

=
với
[
]
0
,0

. Để tiện lợi, chúng ta đổi biến số để chuẩn hoá
khoảng [a, b] về khoảng [0, 2] và chia khoảng này thành N điểm với khoảng cách
giữa các điểm bằng nhau và bằng = 2/N. Kí hiệu các biến thời gian là:
N
j
j


2
=
, j
= 0, 1, 2, , N. Ta có biến đổi Fourier rời rạc của dãy
(
)
j
U

, là:
( )
( )
[ ]
( ) ( )
1
22
,exp,
1
,,
1
0
==

=
NN
iU
N
UFU
k
N
j
jkjjk

(8)
Biến đổi Fourier ngợc đợc xác định nh sau:
( )
( )
[ ]
( )
( )
., ,2,1,0,exp,,,
12/
2/
1
NjiUUFU
N
Nk
jkkkjj
===

=


(9)
ở đây F là ký hiệu biến đổi Fourier và F
-1
là biến đổi ngợc của nó. Các tính toán
trong (8) và (9) đợc thực hiện rất hiệu quả nhờ sử dụng thuật toán tính nhanh FFT
[8]. Các đạo hàm riêng theo thời gian của hàm bao trong cả toán tử tuyến tính và phi
tuyến (3) đều có thể tính đợc dễ dàng bằng cách nhân vào phía trớc các hệ số
Fourier
(
)
k
U

, các luỹ thừa của lợng (
k
i


) tơng ứng với cấp của đạo hàm và
sau đó áp dụng biến đổi Fourier ngợc. Chẳng hạn, đạo hàm cấp hai của hàm bao ở
(
)
j

, đợc tính theo công thức:
( )
[

]
[
]
.,
21
jkkj
UFF




3. Thuật toán Runge - Kutta bậc bốn
Phơng trình (1) cũng có thể đợc tính gần đúng nhờ thuật toán Runge Kutta.
ở đây, chúng tôi sử dụng thuật toán Runge Kutta bậc bốn, là thuật toán thờng
dùng để giải các phơng trình vi phân [4,5,8].
Sau khi sử dụng phép biến đổi Fourier để tính các đạo hàm riêng theo thời gian
nh phần trên thì phơng trình (1) trở thành:
[ ]
( ) ( ) ( )
[ ]
( )( )
[ ][ ]
( )
[ ][ ][ ]

++
+






+=

2
1
2
2
3
32
1
2
UFiUFFUUFiiSiN
UFi
i
iUF
d
d
R



(10)
Đặt:

[ ]
,
2
3
3
2
UFi
i
exxpV
















=


(11)
chúng ta có thể viết lại (1) nh sau:

Đ. X. Khoa, N. V. Hng, B. Đ. Thuận, H. T. H. Thanh lan truyền xung, Tr. 47-53



50
( )
,,Uf
d
dV


= , (12)
trong đó:
( ) ( )
[ ]
( )
[ ]

++
















=

2

1
2
3
3
2
2
1
2
exp, UFiUFFUUFSi
i
iNUf
R



(13)
Sử dụng thuật toán Runge - Kutta bậc bốn cho phơng trình (12), giá trị của
hàm V tại vị trí ( + ) đợc tính nh sau [8]:
( ) ( ) ( )
[ ]
,2
6
1
4321
KKKKVV ++++=+

(14)
ở đây các hệ số K
i
đợc xác định theo:

(
)
(
)
( )
( )
( )( )
.,,.
,
2
1
,,
2
.
,
2
1
,,
2
.
,,,.
34
23
12
1
KUfK
KUfK
KUfK
UfK
++=

+

+=






+

+=

=

(15)
Từ (14) và (11) chúng ta tính đợc giá trị hàm bao tại vị trí



+
:
( ) ( ) ( )
.
2
exp
3
3
2
1

+








++=+




i
i
VFU (16)
Sai số khi tính theo (16) sẽ có bậc vào cỡ
(
)
5

. So với cách tính theo (7) thì (16) có
độ chính xác cao hơn, tuy nhiên thời gian tính sẽ dài hơn vì số lợng các phép tính
theo (13) và (15) là rất lớn.
III. Các kết quả tính toán bằng số
1. Các soliton quang học
Để khẳng định tính chính xác của các tính toán theo các phơng pháp số trình bày ở

trên, đầu tiên chúng tôi tiến hành so sánh với một số trờng hợp riêng đã đợc thực
hiện theo phơng pháp giải tích. Theo phơng pháp tán xạ ngợc, khi các tham số
bậc cao
3

, S và
R

trong phơng trình (1) bằng không thì với điều kiện các xung vào
là hàm dạng secant hyperbolic, phơng trình sẽ có các nghiệm soliton. Các soliton có
tính tuần hoàn theo chu kỳ trong quá trình lan truyền. Bậc của soliton đợc xác
định qua tham số N trong (1), với các giá trị N càng lớn, tức là soliton bậc càng cao,
thì khi lan truyền trong mỗi chu kỳ, hàm bao càng biến đổi phức tạp. Chúng tôi tính
toán cho các trờng hợp lan truyền của soliton khi mà N = 1 và 10 với xung vào dạng
secant hyperbolic [7]:
(
)
(
)
.sec,0

hU =
. (17)



trờng Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVII, số 3A-2008

51
Kết quả đợc trình bày trên hình 1.


Hình 1. Biến đổi của cờng độ trong quá trình lan truyền của soliton cơ bản (a) và
soliton bậc 10 (b) trong một chu kỳ
2


= .
ở hình 1(a), hàm bao của xung không thay đổi dạng trong quá trình lan truyền, nó
vẫn giữ dạng (17) của xung vào ban đầu. Trong hình 1(b), tuy hàm bao có những
biến đổi phức tạp khi lan truyền nhng đến cuối chu kỳ thì nó lại trở về dạng ban
đầu và quá trình lại lặp lại trong các chu kỳ tiếp theo. Các kết quả này phù hợp rất
tốt với kết quả giải tích về tính chất biến đổi tuần hoàn theo chu kỳ của hàm bao.
Với các soliton bậc cao thì biểu thức giải tích của chúng vô cùng phức tạp nên chỉ
soliton bậc hai và ba thì mới viết đợc ở dạng tờng minh [10] còn nh soliton bậc 10
ở trên thì thờng chỉ có thể đợc biểu diễn bằng các kết quả tính toán bằng số mà
thôi.
2. Va chạm giữa các soliton
Tiếp theo, chúng tôi xét trờng hợp lan truyền của nhiều soliton. Hệ các soliton
đi vào môi trờng có thể biểu diễn nh sau:
(
)
(
)
(
)
[
]

(
)

irhrhU expsecsec,0
21
++=
, (18)
với r là liên hệ về biên độ còn là liên hệ về pha của chúng [4, 7]. Các kết quả giải
tích [10] đã chỉ ra rằng do các hiện tợng phi tuyến nên trong quá trình lan truyền
các soliton sẽ có tơng tác với nhau. Các tính toán sau đây của chúng tôi tiến hành
cho quá trình va chạm của các soliton cơ bản và các soliton bậc cao. Các tham số
trong (18) đợc chọn là, 0,1
=
=

r và
21

=
. Kết quả tính toán biểu diễn ở hình 2.
Hình 2(a) mô tả quá trình va chạm giữa hai soliton cơ bản. Trong khi lan
truyền, mới đầu hai soliton này hút nhau và tiến lại gần trong khi cờng độ tăng
dần lên, ở vị trí hai soliton gần nhau nhất, cờng độ gấp 4 lần giá trị ban đầu, sau đó
chúng lại đẩy nhau ra xa và cờng độ giảm dần về các giá trị ban đầu. Quá trình hút
và đẩy giữa các soliton do ảnh hởng của các hiện tợng tán sắc và phi tuyến đợc
lặp đi lặp lại theo chu kỳ, sau mỗi lần va chạm nh vậy dạng của hàm bao xung vẫn
không thay đổi. Kết quả tơng tự cũng xẩy ra với các soliton bậc cao. Trong hình 2(b)

Đ. X. Khoa, N. V. Hng, B. Đ. Thuận, H. T. H. Thanh lan truyền xung, Tr. 47-53



52

Hình 2. Va chạm của hai soliton cơ bản trên quãng đờng lan truyền

=90 (a)
và giữa hai soliton bậc 2 trên quãng đờng lan truyền

=10 (b).

chúng tôi xét va chạm của hai soliton bậc hai. Do khoảng cách giữa hai soliton gần
hơn trờng hợp trớc nên quá trình va chạm diễn ra nhanh hơn. Các soliton hút và
đẩy nhau vẫn theo chu kỳ nhng biến đổi của hàm bao là khá phức tạp. Chúng tôi
cũng tiến hành các tính toán tơng tự cho các soliton bậc cao hơn và nhận thấy rằng
biến đổi của hàm bao trong mỗi chu kỳ của va chạm càng phức tạp với các soliton
bậc càng cao. Các kết quả thu đợc phù hợp rất tốt với các tính toán trong [9].
IV. Kết luận
Trong bài này chúng tôi nghiên cứu các thuật toán split step và Runge Kutta
bậc bốn để giải phơng trình lan truyền xung. Qua một số tính toán có tính chất
kiểm tra đối với một số trờng hợp riêng, độ chính xác của các phơng pháp này đã
đợc khẳng định. Trong bài tiếp theo chúng tôi sẽ áp dụng để tính toán cho quá
trình lan truyền của các xung femtô giây.


Tài liệu tham khảo

[1] Cao Long Vân, Nguyễn Việt Hng, Marek Trippenbach, Đinh Xuân Khoa,

Propagation technique for ultrashort pulses I. Tạp chí khoa học, Trờng Đại học
Vinh, 3A, Tập 36, 2007, trang 47-54.
[2] Cao Long Vân, Đinh Xuân Khoa, Marek Trippenbach, Nhập môn Quang học phi
tuyến, Vinh - 2003.
[3] Cao Long Vân, Marek Trippenbach, Đinh Xuân Khoa, Nguyễn Việt Hng, Phan
Xuân Anh, National Conference on Theoretical Physics, Sam son, Vietnam, 12 -
14 August 2003; Journal of Science, Vinh University 1A, 50, 2003.
[4] G. M. Muslu, H. A. Erbay, Mathematics and Computers in Simulation, 67, 2005,
pp. 581 - 595.



tr−êng §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVII, sè 3A-2008



53
[5] J. D. Hoffman, Numerical Methods for Engineers and Scientists, Marcel Dekker -
2001.
[6] T. Hohage, F. Schmidt, On the Numerical Solution of Nonlinear Schrodinger
Type Equations in Fiber Optics, Berlin, 2002.
[7] G. P. Agrawal, Nonlinear Fiber Optics, Academic, San Diego, 2003.
[8] W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, B. P. Flannery, Numerical
Recipes in Fortran 77 - The Art of Scientific Computing, Cambridge University
Press, 1992.
[9] U. Bandelow, A. Demircan and M. Kesting, Simulation of Pulse Propagation in
Nonlinear Optical Fibers, WIAS, 2003.
[10] A. L. Maimistov, A. M. Basharov, Nonlinear optical waves, Kluwer Academic,
1999.

summary

Numerical methods to solve
the pulse propagation equation

In this paper, we presented numerical techniques to solve approximately the
pulse propagation equation. By them we also investigate interactions of solitons.

(a)
Tr−êng §¹i Häc Vinh

(b)
Nghiªn cøu sinh ViÖn hµn l©m khoa häc Ba Lan

(c)
Häc viªn cao häc 14- Quang häc, Tr−êng §¹i häc Vinh.