Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Sử dụng một số kiến thức cơ sở của lý thuyết nhóm khảo sát các tính chất nghiệm của đa thức xn - 1 và vận dụng vào việc khai thác các bài toán ở trường phổ thông" doc

trờng Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVII, số 2A-2008



5
Sử DụNG MộT Số KIếN THứC CƠ Sở CủA Lý THUYếT NHóM KHảO
SáT CáC TíNH CHấT NGHIệM CủA ĐA THứC
x
n
-
1 Và VậN DụNG
VàO VIệC KHAI THáC CáC BàI TOáN ở TRƯờNG PHổ THÔNG

PHAN ANH
(a)


Tóm tắt. Trong bài báo này, chúng tôi khai thác một số bài toán phổ thông, qua
nghiên cứu tập nghiệm của đa thức
1
n
x
dựa trên quan điểm nhóm. Qua đó định
hớng sự vận dụng Toán học cao cấp vào việc khám phá các vấn đề thuộc lĩnh vực
toán học phổ thông, nhằm nâng cao chất lợng đào tạo sinh viên ngành s phạm
toán.

Việc nhìn nhận Toán học phổ thông theo quan điểm của Toán học hiện đại

đợc nhiều nhà khoa học s phạm chú ý đến. Trong giáo trình Toán phổ thông, các
tác giả nh Văn Nh Cơng, Đoàn Quỳnh, Hoàng Xuân Sính, Nguyễn Xuân Liêm
đã đa ý tởng đó xuyên suốt các cấp học. Thể hiện rất rõ là: các đơn vị kiến thức
đợc xây dựng trên nền tảng của lý thuyết tập hợp; việc mở rộng hệ thống số theo
quan điểm của cấu trúc đại số; khái niệm hàm ngày càng hoàn chỉnh và là "sợi chỉ
đỏ xuyên suốt các cấp học"; việc đại số hoá hình học Bởi vậy, việc dạy học các môn
toán cơ bản, nhất là Đại số đại cơng (ĐSĐC) ở các trờng đại học s phạm cần có sự
thay đổi nhất định nhằm đảm bảo thích ứng với việc dạy và học ở trờng phổ thông.
Trong [4], tác giả đã "phiên dịch" một lớp các bài toán trong ĐSĐC sang ngôn ngữ
"sơ cấp". Trong bài viết này, chúng tôi sẽ trình bày việc vận dụng một số kiến thức cơ
sở của lý thuyết nhóm nhằm khảo sát các tính chất nghiệm của đa thức
1
n
x
và
vận dụng vào việc khai thác các bài toán ở trờng phổ thông.
I. Tính chất tập nghiệm của đa thức
1
n
x

Giả sử
U
là tập nghiệm của đa thức
1
n
x
trên trờng số phức , n ,
n > 1. Khi đó
1. Ký hiệu

{
}
1| == xCxA
, thì A là một nhóm đối với phép nhân và
U
là
nhóm con của nhóm A.
2.
U
là nhóm xiclíc cấp n sinh bởi

, trong đó
n
i
n



2
sin
2
cos +=
.
3. Nếu

là phần tử khác 1 của nhóm xiclic
U
thì
0 1
12

=++++
n

.
4. Nếu n là số nguyên tố thì
U
là nhóm xiclic cấp n sinh bởi nghiệm bất kỳ
khác 1 của đa thức
1
n
x
.
II. Các bài toán phổ thông đợc khai thác
Chúng ta bắt đầu từ một bài toán phổ thông đơn giản sau đây:
Bài toán 1. Phân tích đa thức
1
5
x
thành nhân tử trên [x].
Dễ dàng chúng ta thu nhận đợc

Nhận bài ngày 19/12/2007. Sửa chữa xong 05/6/2008.



PHAN ANH Sử DụNG MộT Số KIếN THứC ở TRƯờNG PHổ THÔNG, Tr. 5-10



6

)1)(1(1
2345
++++= xxxxxx . (1)
Tuy nhiên, sự phân tích ở trên là cha đợc mĩ mãn. Để ý rằng tập nghiệm của đa
thức
1
5
x
là nhóm
{
}
432
,,,,1

=U ,trong đó
5
2
sin
5
2
cos



i+= . Trong nhóm
U , ta có
234
;

== . Bởi vậy:

))()()()(1(1
4325

= xxxxxx

[
]
[
]
))(()(()1(
324

= xxxxx

[
]
[
]
))(())(()1(
22

= xxxxx

)1
5
4
cos2)(1
5
2
cos2)(1(

22
++=


xxxxx .
Từ sự phân tích trên, ta tìm ra lời giải bài toán trên ở bậc phổ thông. Đặt
)1)(1(1
22234
++++=++++ bxxaxxxxxx .
Bằng cách đồng nhất hệ số bất định dẫn đến
2
51
;
2
51
=
+
= ba
hoặc
2
51
;
2
51 +
=

= ba
.
Do đó
)1

2
51
)(1
2
51
)(1(1
225
+

++
+
+= xxxxxx
.
Suy luận trên đây và kết quả của bài toán 1 giúp chúng ta giải các bài
toán sau.
Bài toán 2. Tính
5
4
cos,
5
2
cos



Theo bài toán 1 ta có:
1
5
x

)1
5
4
cos2)(1
5
2
cos2)(1(
22
++=


xxxxx
.
Mặt khác
)1
2
51
)(1
2
51
)(1(1
225
+

++
+
+= xxxxxx
.
Để ý rằng
0

5
4
cos;0
5
2
cos <>


nên suy ra
4
51
5
2
cos;
4
51
5
4
cos
+
=
+
=

.
Lời giải bài toán 2 gợi ý cho chúng ta cách tìm giá trị các hàm lợng giác của
một số góc dạng nh
9
2
cos,

7
2
cos



Bài toán 3 (Vô địch Bungari vòng 3, 1982). Xét xem phơng trình sau đây có
nghiệm thực hay không?
019801978198219791981
234
=++++ xxxx
.
Đặt f(x) =
19801978198219791981
234
++++ xxxx
.
Ta có
132)1(1979)(
24234
+++++++= xxxxxxxxf


132)1
5
4
cos2)(1
5
2
cos2(1979

2422
+++++= xxxxxxx






trờng Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVII, số 2A-2008



7
Dễ dàng nhận thấy
1
5
4
cos2;1
5
2
cos2
22
++


xxxx
,
13
2
+ xx

nhận
các giá trị dơng với mọi x và 02
4
x với mọi x . Bởi vậy 0)(
>
xf với mọi
x . Do đó phơng trình đã cho không có nghiệm thực.
Ta cũng có thể sử dụng cấu trúc nhóm U dể giải quyết bài toán sau đây
trong [3].
Bài toán 4. Trong vành [x], đa thức 1)( =
n
xxf chia hết cho đa thức
1)( =
m
xxg khi và chỉ khi m là ớc của n.
Thực vậy, ký hiệu
nm
UU , thứ tự là các tập nghiệm của các đa thức
)(),( xgxf . Nếu
)()( xgxf
trong [x] thì
nm
UU . Vì
nm
UU , là các nhóm nên ta
suy ra
m
U là nhóm con của
n
U . Do cấp của

m
U là m, cấp của
n
U là n nên theo định
lý Lagrange m là ớc của n. Nguợc lại, giả sử m là ớc của n, ta đặt n = tm,
t
*
. Nếu
1
=
t thì hiển nhiên
)()( xgxf
trong [x]. Nếu
1
>
t thì:
]1 )())[(1(11)(
21
++++===

mtmtmmmtn
xxxxxxxf .
Bởi vậy
)()( xgxf
trong [x]. Do đó, đa thức f(x) chia hết cho g(x) trong [x]
khi và chỉ khi m là ớc của n.
Sử dụng các tính chất của tập nghiệm đa thức
1
n
x

, chúng ta có thể phát
biểu các bài toán sau.
Bài toán 5. Giả sử n là số nguyên dơng lớn hơn 1. Chứng minh các hệ thức:
0
2
sin;0
2
1
1
1
1
1
==+


=

=
n
k
n
k
n
k
n
k
osc


Theo tính chất 2 tập nghiệm của đa thức

1
n
x
là nhóm
{
}
132
, ,,,,1

=
n
U

, trong đó
n
k
i
n
k
k



2
sin
2
cos +=
,
1,0 =
nk . Do

là
nghiệm khác 1 của đa thức
1
n
x
nên
0 1
12
=++++

n

. Bởi vậy

0
2
sin)
2
cos1(
1
1
1
1
=++


=

=

n
k
n
k
n
k
i
n
k

.
Từ đó suy ra
0
2
sin;0
2
1
1
1
1
1
==+


=

=
n
k
n

k
n
k
n
k
osc

.
Bài toán 6. Cho p là một số nguyên tố, m là số nguyên không chia hết cho p. Chứng
minh các hệ thức:
0
2
sin,;0
2
1,
1
1
1
1
==+


=

=
p
k
p
k
p

km
b
p
km
scoa

.
Tập nghiệm của đa thức
1
p
x
là
{
}
132
, ,,,,1

=
p
U

. U là nhóm xiclic
cấp p sinh bởi

, với
p
i
p

2
sin
2
cos +=
. Vì p là số nguyên tố nên theo tính chất 4,



PHAN ANH Sử DụNG MộT Số KIếN THứC ở TRƯờNG PHổ THÔNG, Tr. 5-10



8
U sinh bởi phần tử bất kỳ khác đơn vị. Do m không chia hết cho p nên
1
m

. Bởi
vậy, U sinh bởi
m

và
{
}
)1(32
, ,,,,1

=
pmmmm

U

, trong đó
1,0,
2
sin
2
cos =+=
pk
p
km
i
p
km
km



.
Vì
0 1
)1(2
=++++
pmmm

, nên
0
2
sin)
2

cos1(
1
1
1
1
=++


=

=
p
k
p
k
p
km
i
p
km

.
Do đó
0
2
sin;0
2
1
1
1

1
1
==+


=

=
p
k
p
k
p
km
p
km
sco

.
Trong
[
]
2
, tác giả đã cho chúng ta bài tập sau đây: Cho X là nhóm xiclic cấp
n, sinh bởi phần tử a; b = a
k
. Chứng minh rằng cấp của phần tử b bằng n /d; trong đó
d = (k,n). Sử dụng kết quả này, chúng ta có thể thu đợc bài toán phổ thông
sau đây.
Bài toán 7. Cho k và n là hai số nguyên dơng, (k,n) = d, k không chia hết cho n.

Chứng minh rằng:
0
2
sin,;0
2
1,
1
1
1
1
11
==+


=

=
d
t
d
t
n
kt
b
n
kt
scoa

, trong đó
d

n
d
=
1
.
Ta có tập nghiệm của đa thức
1
n
x
là
{
}
132
, ,,,,1

=
n
U

là nhóm xiclic cấp n,
sinh bởi
n
i
n



2
sin
2

cos +=
. Do (k,n) = d nên theo kết quả đã chỉ ra ở trên, ta có
cấp của
k

là
1
d . Bởi vậy
{
}
kd
kkk
A
)1(
2
1
, ,,,1

>==<

, trong đó
1,0;
2
sin
2
cos
1
=+=
dt
n

tk
i
n
tk
tk




là tập nghiệm của đa thức
1
1

d
x . Vì k không chia hết cho n nên
1
k

. Do đó
0 1
)1(
2
1
=++++
kd
kk

. Tơng tự nh trên ta có đợc
0
2

sin;0
2
1
1
1
1
1
11
==+


=

=
d
t
d
t
n
kt
n
kt
sco

.
Vận dụng tính chất đồng cấu nhóm, chúng ta có thể giải các bài toán hình học
sau đây.
Bài toán 8. Cho
n
AAA

21
là đa giác đều tâm O. Chứng minh rằng
OOAOAOA
n
=+++
21

Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết đa giác
n
AAA
21
nội tiếp
trong đờng tròn đơn vị, có tia
1
OA
trùng với tia Ox. Các điểm
n
AAA , ,,
21
thứ tự
nằm trên đờng tròn đơn vị ngợc chiều với chiều quay kim đồng hồ. Ta biết rằng
ánh xạ f từ nhóm cộng các số phức đến nhóm cộng các véc tơ buộc tại gốc toạ độ, biến
số phức
iba
+
=

thành véc tơ
),( bav

là đẳng cấu nhóm. Các véc tơ



trờng Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVII, số 2A-2008



9
n
OAOAOA , ,,
21
lần lợt là ảnh của các số phức
12
, ,,,1

n

trong nhóm
U
. Do
đó
)( )()()1() 1(
1212

++++=++++
nn
fffff

n
OAOAOA +++=
21
.
Mặt khác:
0 1
12
=++++

n

và f là đồng cấu nhóm nên
Of
n
=++++

) 1(
12

.
Từ đó suy ra

OOAOAOA
n
=+++
21
.
Bài toán 9. Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều khi và chỉ khi trọng tâm và
tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác đó trùng nhau.

Hiển nhiên nếu tam giác ABC đều thì tâm đờng tròn ngoại tiếp và trọng
tâm của nó trùng nhau. Ta chỉ cần chứng minh nếu trọng tâm và tâm đờng tròn
ngoại tiếp tam giác ABC trùng nhau thì tam giác ABC là tam giác đều. Không mất
tính tổng quát ta giả thiết rằng tam giác ABC nội tiếp trong đờng tròn đơn vị trên
mặt phẳng toạ độ; tia OA trùng với Ox. Các điểm A, B, C thứ tự nằm trên đờng
tròn ngợc chiều với chiều quay của kim đồng hồ. Qua đẳng cấu f (đã chỉ ra trong bài
toán 8), ta có
OAf =)1(
. Giả sử
OCfOBf == )(,)(

, ta có
OCOBOAfff ++=++ )()()1(

.
Vì f là đồng cấu nhóm nên
OCOBOAf ++=++ )1(

.
Mặt khác
OOCOBOA =++
(do O là trọng tâm tam giác ABC)
nên
Of =++ )1(

.
Từ f là đơn cấu nhóm suy ra:
01
=
+

+


, do đó
)1(


+

=
. Vậy
11 =+==

.
Đặt
02;sincos
>
>
+
=





i
. Từ

+= 1
suy ra

3
2


=
. Bởi vậy
3
2
sin
3
2
cos



i+=
.
Để chứng minh tam giác ABC đều, ta cần chứng minh
{
}

,,1
chính là nhóm
U
của đa thức
1
3
x
. Thực vậy,
2

3
2
1
)
3
2
sin
3
2
cos1()1( ii =++=+=


;
2
3
2
1
)
3
2
sin
3
2
(cos
22
ii =+=


.

PHAN ANH Sử DụNG MộT Số KIếN THứC ở TRƯờNG PHổ THÔNG, Tr. 5-10



10
Do đó
{
}
{
}
2
,,1,,1

=
, với
3
2
sin
3
2
cos



i+=

là tập nghiệm của đa thức
1

3
x
. Từ đó suy ra điều cần chứng minh.
Nh vậy, chúng tôi đã dùng một số kiến thức cơ sở của lý thuyết nhóm khai
thác, "phiên dịch", "chế biến" các bài toán sơ cấp. Thông qua các bài toán ở trên, bớc
đầu đã bắc đợc một chiếc cầu nối giữa toán học cao cấp và toán học phổ thông.
Chúng tôi thiết nghĩ rằng: kết hợp đợc một cách nhuần nhuyễn giữa toán học cao
cấp và toán học phổ thông là một việc làm rất cần thiết trong quá trình đào tạo sinh
viên s phạm Toán. Thực hiện tốt đợc vấn đề này là chúng ta đã gắn đào tạo với
thực tiễn, giúp sinh viên thích ứng với nghề nghiệp trong tơng lai.

Tài liệu tham khảo

[1] Nguyễn Bá Kim,Vũ Dơng Thuỵ, Phơng pháp dạy học môn toán, NXB Giáo dục,
Hà Nội, 2000.
[2] Hoàng Xuân Sính, Trần Phơng Dung, Đại số đại cơng, NXB Đại học s phạm,
Hà Nội, 2004, tr. 28.
[3] Đỗ Đức Thái, Những bài toán chọn lọc cho trờng chuyên lớp chọn, NXB Giáo
dục, Hà Nội, 1996.
[4] Đặng Quang Việt, Dùng kiến thức, cách nhìn của Đại số đại cơng về sáng tạo đề
toán hoặc chế biến lời giải phù hợp trình độ học sinh phổ thông, Tạp chí Giáo dục,
Số 155, kỳ1-2/2007, tr. 31.

SUMMARY

USING SOME BASIC KNOWLEDGE OF THE GROUP THEORY IN THE
INVESTIGATION OF SOLUTION PROPERTIES OF THE POLYNOMIAL x
n
-1 AND
APPLYING TO THE EXPLORATION OF MATHS PROBLEMS IN SECONDARY

SCHOOLS

In this article, we explore mathematics problems in secondary schools
through studying a set of solutions of the polynomial x
n
-1 on the basis of the group
theory perspective. Then, we initially applied advanced mathematics to the
investigations of secondary mathematics in order to improve the training quality for
students majoring in pedagogical mathematics.

(a)
Khoa S phạm Tự nhiên, Trờng Đại học Hà Tĩnh.