Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Một số tính chất của phân thớ con Lagrăng của phân thớ vectơ symplectic" doc

5
Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXV, số 1A-2006


Một số tính chất của phân thớ con Lagrăng của phân
thớ vectơ symplectic


Nguyễn Duy Bình
(a)


Tóm tắt. Trong bài này chúng tôi nghiên cứu một số tính chất của phân thớ con
Lagrăng của một phân thớ vectơ symplectic trong mối quan hệ với cấu trúc hầu phức
trên phân thớ vectơ symplectic và đồng cấu phân thớ symplectic.

1. Phân thớ vectơ symplectic và phân thớ con Lagrăng
Cho E(B, p) là phân thớ vectơ khả vi 2n chiều trên đa tạp B, một cấu trúc
symplectic trên E là một nhát cắt của phân thớ Ê
2
a
(E, R) các dạng song tuyến
tính phản xứng trên E thỏa mãn điều kiện: đối với mỗi điểm x của đáy B,
x
là
một dạng symplectic trên thớ E
x
. Phân thớ vectơ cùng với một cấu trúc symplectic
trên nó đợc gọi là phân thớ vectơ symplectic. Phân thớ con F của phân thớ vectơ
symplectic đợc gọi là phân thớ con Lagrăng nếu F

x
là không gian con Lagrăng
của không gian vectơ symplectic (E
x
,
x
), tức
x
| F
x
= 0 và dimF
x
= n (dimE
x
= 2n),
với mọi x B. Ta biết rằng mỗi không gian vectơ symplectic luôn tồn tại không
gian con Lagrăng, tuy nhiên không phải mọi phân thớ vectơ symplectic đều có
phân thớ con Lagrăng. Chẳng hạn, phân thớ tiếp xúc của mặt cầu S
2
không tồn
tại phân thớ con một chiều (xem [3]), cho nên không tồn tại phân thớ con
Lagrăng của TS
2
. Tuy nhiên, nếu phân thớ vectơ symplectic có phân thớ con
Lagrăng thì tồn tại phân thớ con bù với nó (phân thớ con F '(B, p/F ') và phân thớ
F(B, p/F) gọi là bù nhau nếu F
x
+ F
x
' = E

x
với mọi x B). Về biểu diễn địa phơng
của nhát cắt qua các phân thớ con Lagrăng bù nhau chúng ta có kết quả sau:
Mệnh đề 1.1. Cho L, L' là hai phân thớ con Lagrăng bù nhau của phân thớ
vectơ symplectic E(B, p) có chiều 2n. Khi đó với mọi x B có lân cận U, trên đó
xác định một họ các nhát cắt địa phơng s
1
, s
2
,

, s
n
của L* và s
n+1
,

, s
2n
của
(L')* sao cho trên U ta có
= s
1

s
n+1
+ + s
n

s

2n
,
ở đây L*, (L')* tơng ứng là các phân thớ đối ngẫu của L và L'.
Chứng minh: Từ tính chất tầm thờng địa phơng của các phân thớ suy ra
với mỗi x B tồn tại lân cận U sao cho trên U có các nhát cắt địa phơng


1
, ,


n

của L
*
(phân thớ đối ngẫu của L) và


n+1
, ,


2n
của (L')
*
(phân thớ đối ngẫu của
L'), mà tại mỗi y U xác định các cơ sở của (L
y
)
*

và (
'
y
L
)
*
tơng ứng. Ta có
Nhận bài ngày 03/10/2005. Sửa chữa xong 09/12/2005

6

Nguyễn Duy Bình Một số tính chất của phân thớ , tr. 5-9


=

< nji 21
a
ij



i



j
.

Vì L, L' là không gian con Lagrăng nên

=

=
n
ji 1,
a
ij


i



n+j
.
Đặt
s
n+i
=

=
n
j 1
a
ij


n+j
, s
i

=


i
,
ta có s
n+1
, , s
2n
là các nhát cắt của (L')
*
và
= s
1

s
n+1
+ + s
n

s
2n
.


2. Cấu trúc hầu phức và mối quan hệ với các phân thớ con
Lagrăng bù nhau
Khái niệm cấu trúc hầu phức trên phân thớ vectơ symplectic đã đợc đề cập
trong [1], ở đây chúng ta chỉ ra mối quan hệ của nó với các không gian con
Lagrăng bù nhau.

Cho không gian vectơ V, cấu trúc phức trên V là đồng cấu J : V V sao cho
J
2
= -1. Cho phân thớ vectơ symplectic E(B, p), nếu với mỗi x B xác định cấu
trúc phức J
x
: E
x
E
x
phụ thuộc vào x một cách khả vi thì ta nói rằng có cấu trúc
hầu phức J trên phân thớ đã cho. Cấu trúc hầu phức và cấu trúc symplectic
trên phân thớ gọi là tơng thích nếu với mỗi x B, ánh xạ g
x
: E
x
ìE
x
R, xác
định bởi
g
x
(u, v) =
x
(u, J
x
v)
là tích vô hớng trên E
x
và phụ thuộc khả vi vào x. Khi đó tơng ứng g : x g

x

gọi là dạng Riman trên phân thớ E(B, p).
Về mối quan hệ giữa và cấu trúc hầu phức tơng thích ta có kết quả sau:
Mệnh đề 2.1. (Định lý 14.3 [1]). Sự tồn tại một cấu trúc symplectic trên phân
thớ vectơ thực hạng 2n tơng đơng với sự tồn tại trên phân thớ này một cấu trúc
hầu phức. Hơn nữa mọi cấu trúc symplectic trên phân thớ vectơ có cấu trúc hầu
phức tơng thích.
Sử dụng kết quả trên, ta chỉ ra rằng nếu trên phân thớ vectơ symplectic có
phân thớ con Lagrăng thì có phân thớ con Lagrăng bù với nó.
Mệnh đề 2.2. Cho L là phân thớ con Lagrăng của phân thớ vectơ symplectic
và J là cấu trúc hầu phức tơng thích. Khi đó phân thớ con JL (với thớ
(JL)
x
= J
x
(L
x
)) là phân thớ con Lagrăng bù của L.


7
Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXV, số 1A-2006


Chứng minh. Gọi g là dạng Riman xác định bởi g
x
(u, v) =
x
(u, J

x
v). Ta có

x
(J
x
u, J
x
v) = g
x
(J
x
u,v) = g
x
(v, J
x
u) =
x
(v, J
x
J
x
u) =
x
(v, -u)
=
x
(u, v) = 0,
với mọi u, v L
x

hay với mọi J
x
u, J
x
v J
x
L
x
, do đó phân thớ JL là Lagrăng.
Cũng suy từ trên ta có g
x
(J
x
u, v) = 0, với mọi J
x
u

J
x
L
x
và mọi v L
x
, tức
J
x
L
x
và L
x

trực giao, cho nên E
x
= J
x
L
x
+ L
x
, tức các phân thớ con JL và L là bù
nhau.
Để xét đảo lại của mệnh đề trên, chúng ta sử dụng kết quả sau đây về sự
phân tích cực của một toán tử tuyến tính.
Mệnh đề 2.3 (Mệnh đề 10.10 [1]). Trong một không gian vectơ thực V cho
một cấu trúc Ơclit xác định bởi dạng song tuyến tính đối xứng G. Khi đó:
1) Mọi đẳng cấu A của V đợc phân tích một cách duy nhất dới dạng
A = KJ,
ở đây J là trực giao và K là đối xứng, xác định dơng.
2) Hơn nữa, nếu trên V có một dạng symplectic và nếu A là toán tử xác
định bởi
G(Ax, y) = (x, y), với mọi x, y V
thì toán tử A là phản đối xứng và khi đó toán tử trực giao J là toán tử phức tơng
thích với và thỏa mãn hệ thức
JK = KJ.
Với giả thiết ở trên suy ra AA* là đối xứng xác định dơng và phép chứng
minh mệnh đề chỉ ra toán tử K đợc xác định bởi hệ thức
K = exp
2
*)log(AA
,
ở đây ánh xạ mũ là một vi phôi giải tích từ không gian vectơ thực các toán tử đối xứng

lên đa tạp con các toán tử đối xứng xác định dơng của GL(V) và lôgarit là ánh xạ
ngợc của nó. Sự phân tích của A ở 1) trong mệnh đề trên gọi là sự phân tích cực.
Mệnh đề 2.4. Cho L, L' là hai phân thớ con Lagrăng bù nhau của phân thớ
vectơ symplectic E(B, p). Khi đó tồn tại cấu trúc hầu phức tơng thích J của phân
thớ sao cho JL = L'.
Chứng minh. Với mỗi x B có lân cận U
x
và dạng Riman g trên phân thớ
vectơ p
-1
(U)(U, p) sao cho L
x
và L'
x
trực giao với mỗi x U
x
. Gọi g là dạng Riman
trên phân thớ E(B, p) xác định nhờ các dạng địa phơng g
x
và phép phân hoạch
đơn vị
g =

x

x
g
x.
.
Khi đó L

x
và L'
x
cũng trực giao đối với g.
Với mỗi x B, vì
x
và g
x
không suy biến, các ánh xạ

8

Nguyễn Duy Bình Một số tính chất của phân thớ , tr. 5-9


u E
x


x
(u, .) (E
x
)
*
,
w E
x

g
x

(w, .) (E
x
)
*

xác định đẳng cấu tuyến tính A
x
: E
x
E
x
bởi hệ thức

x
(u, v) = g
x
(A
x
u, v)
phụ thuộc khả vi vào x.
Theo Mệnh đề 4, toán tử A
x
có sự phân tích A
x
= K
x
J
x
, trong đó toán tử J
x

là
cấu trúc phức trực giao tơng thích với dạng symplectic
x
và K
x
là toán tử đối
xứng và xác định dơng. Từ sự phân tích cực A = KJ, ta có J = K
-1
A với
K = exp
2
*)log(AA
,
suy ra J phụ thuộc khả vi vào A. Do toán tử A
x
ở trên phụ thuộc khả vi vào x nên
J
x
cũng vậy. ánh xạ J : x J
x
xác định cấu trúc hầu phức trên phân thớ E(B, p).
Vì toán tử J trực giao nên JL trực giao với L, mặt khác L' cũng trực giao với L
cùng với một dạng Riman g, suy ra JL = L'.
3. Đồng cấu phân thớ vectơ symplectic
Cho E(B, p) và E'(B, p') là các phân thớ vectơ symplectic trên B với các cấu
trúc symplectic và ' tơng ứng. ánh xạ khả vi f : E E' thỏa mãn p'.f = p và
f thu hẹp trên mỗi thớ E
x
là đồng cấu tuyến tính symplectic từ E
x

vào E'
x
đợc gọi
là một đồng cấu phân thớ symplectic. Dễ thấy rằng đồng cấu phân thớ symplectic
biến phân thớ con Lagrăng thành phân thớ con Lagrăng, biến hai phân thớ con
Lagrăng bù nhau thành hai phân thớ con Lagrăng bù nhau.
Sau đây chúng ta xem xét điều kiện để một ánh xạ khả vi f : E E' là một
đồng cấu phân thớ symplectic. Trên phân thớ vectơ tích EìE'(B, pìp') của hai
phân thớ vectơ E(B, p) và E'(B, p') đa vào các cấu trúc symplectic sau đây: gọi
p* và p'*' là nhát cắt của phân thớ tích xác định bởi p*
x
((u, u'), (v, v')) =
x
(u, v)
và p'*'
x
((u,u'),(v,v')) = '
x
(u', v') .
Bổ đề 3.1. EìE'(B, pìp') là phân thớ vectơ symplectic với cấu trúc symplectic
p* - p'*'.
Chứng minh. Tính song tuyến tính phản xứng của (p* - p'*')
x
là dễ dàng.
Sử dụng tính tầm thờng địa phơng, tính khả vi của nhát cắt p* - p'*' của
phân thớ EìE'(B, pìp') suy từ tính khả vi của nhát cắt của phân thớ tầm thờng
xác định trên mỗi lân cận cảm sinh từ nhát cắt ban đầu. Phân thớ tầm thờng có
thớ là tích của hai không gian vectơ, tơng ứng đẳng cấu với thớ của E(B, p) và
của E'(B, p'). Tính khả vi của nhát cắt cảm sinh của phân thớ tầm thờng suy từ
tính khả vi của các hàm hệ số của dạng song tuyến tính phản xứng trên tích của

hai không gian, mà đối với cơ sở (e
1
, 0), ,(e
2n
, 0), (0, e'
1
), , (0, e'
2n
) trên không
gian tích các hàm này bằng 0 hoặc bằng các hàm hệ số của các dạng song tuyến
tính phản xứng trên mỗi không gian cảm sinh từ các nhát cắt khả vi và '.

9
Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXV, số 1A-2006


Tiếp theo, vì (p*)
x
m
= 0 và (p'*')
x
m
= 0 với mọi m n+1, ta có
(p* - p'*')
x
2n
=(-1)
n
C
n

n2
(p*)
x
n

(p'*')
x
n
0,
do đó p* - p'*' là dạng symplectic.
Liên quan tới phân thớ vectơ symplectic ở bổ đề trên và đồng cấu từ E(B, p)
vào E'(B, p'), ta có kết quả sau:
Mệnh đề 3.2. ánh xạ khả vi f : E E' là đồng cấu phân thớ symplectic từ
E(B, p) vào E'(B, p') khi và chỉ khi đồ thị của f trong EìE' xác định phân thớ con
Lagrăng của phân thớ vectơ symplectic EìE'(B, pìp') với cấu trúc symplectic
p*- p'*'.
Chứng minh: Đồ thị của f trong E
ì
E' xác định phân thớ con Lagrăng của
EìE'(B, pìp') khi và chỉ khi với bất kỳ (u, f(u)), (v, f(v))

EìE' ta có
(p* - p'*')
x
(((u, f(u), (v, f(v))) = 0
hay
p*
x
((u, f(u)), (v, f(v))) = p'*'
x

((u, f(u)), (v, f(v))).
Điều này tơng đơng với

x
(u, v) = '
x
(f(u), f(v)),
có nghĩa f là đồng cấu symplectic.


Tài liệu tham khảo

[1] P. Libermann, C. Marle, Geometrie symplectique bases theoriques de la
mecanique, Tome I, Publications Mathematiques de l'universite Paris VII, 1986.
[2] A. Cannas da Silva, Lectures on Symplectic Geometry, Lecture Notes in
Mathematics, Springer, 2001.
[3] A. T.
oeo,
Toooece oe
, eco ocoocoo
ece, 1984.


SUMMARY

some properties of lagrangian subbundles
of a symplectic vector bundle
In this report we study some properties of Lagrangian subbundles of a
symplectic vector bundle in the relation with the almost complex structure on the
symplectic vector bundle and the symplectic bundle homomorphism.

(a) Khoa toán, Trờng Đại học Vinh