Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Một số kết quả về tổng trực tiếp các CS - môđun " pptx

Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 1A-2007




123
Một số kết quả về tổng trực tiếp các CS - môđun

Ngô Sỹ Tùng
(a)
,
Nguyễn Tiến Dũng
(b)

Tóm tắt. Trong bài báo này chúng tôi đa ra một số kết quả về tổng trực tiếp các
CS - môđun. Các kết quả chính của bài báo là: Nếu M =
i

I
M
i
, trong đó M
i
là các môđun
đều và có độ dài lớn nhất bằng 2 với mọi i I, thì M là CS - môđun nếu và chỉ nếu mọi
môđun M
i
M

j
, trong đó M
i
và M
j
cùng có độ dài 2 với mọi i j I là CS - môđun. Ngoài
ra nếu M = M
1
M
2
M
n
, trong đó M
i
là các môđun đều với 1 i n là sự phân tích
bù hạng tử trực tiếp đều và giả thiết rằng mọi đơn cấu M
i
M
j
là đẳng cấu với mọi 1 i
j n, thì môđun M là CS - môđun nếu và chỉ nếu mọi hạng tử trực tiếp M
i
M
j
là CS -
môđun với mọi 1 i j n.

I. Mở đầu
Vấn đề đặc trng CS - môđun (tơng ứng (1 - C
1

) môđun) qua điều kiện tổng
trực tiếp các môđun đều đã đợc nhiều tác giả nghiên cứu (chẳng hạn xem [2], [3],
[5], [6]). Trong [6, Theorem 11], Kamal và Muller đã chỉ ra rằng đối với một miền
giao hoán xoắn tự do rút gọn R; R - môđun M là CS khi và chỉ khi M = M
1
M
2

M
n
là một tổng trực tiếp hữu hạn của những môđun đều U
i
(1 i n) sao cho U
i
U
j

là một CS - môđun với mọi 1 i j n. Tiếp đó trong [3, Theorem 3], hai tác giả
Haramanci và Smith sau khi chỉ ra rằng, một R - môđun M là CS - môđun khi và chỉ
khi M là một tổng trực tiếp hữu hạn của các môđun con đều và mọi hạng trực tiếp
của M có chiều đều 2 là một CS - môđun, đã đặt câu hỏi Cho M = M
1
M
2
M
n

là một tổng trực tiếp hữu hạn của những môđun đều U
i
(1 i n) sao cho U

i
U
j
là
một CS - môđun với mọi 1 i j n khi đó M có là CS - môđun không?. Trong bài
báo này chúng tôi trả lời một phần câu hỏi đặt ra ở trên. Chúng tôi chứng tỏ rằng R -
môđun M =
i

I
M
i
trong đó I không nhất thiết hữu hạn, M
i
là các môđun đều có độ
dài lớn nhất bằng hai với mọi i I là CS - môđun nếu và chỉ nếu mọi môđun M
i
M
j

trong đó M
i
và M
j
cùng có độ dài hai là CS - môđun. Ngoài ra một R - môđun M = M
1
M
2
M
n

trong đó M
i
là môđun đều với mọi 1 i n và sự phân tích là bù hạng
tử trực tiếp đều là CS - môđun nếu và chỉ nếu mọi môđun M
i
M
j
là CS - môđun với
mọi 1 ij n.
II. Định nghĩa và ký hiệu
Các vành R xét trong bài này đợc giả thiết là vành kết hợp có đơn vị, mọi R -
môđun là R - môđun phải unita. Các ký hiệu K M, K

M, K M chỉ ra rằng K là
môđun con, hạng tử trực tiếp và môđun con cốt yếu của môđun M tơng ứng, độ dài
của một môđun M đợc ký hiệu là l(M).
Ta xét điều kiện sau đối với một môđun M:
(C
1
): Mọi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M. Nói
.


Nhận bài ngày 24/10/2005. Sửa chữa xong 12/9/2006.



Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 1A-2007

124
cách khác mọi môđun con đóng của M là một hạng tử trực tiếp của M .
Một môđun M đợc gọi là CS - môđun nếu M thoả mãn điều kiện (C
1
). Môđun M
đợc gọi là có tính chất (U) hay (1 - C
1
) - môđun nếu mọi môđun con đóng đều của M
là hạng tử trực tiếp của M.
Một sự phân tích M =


i

I
M
i
các môđun con của môđun M đợc gọi là bù hạng tử
trực tiếp nếu với mọi hạng tử trực tiếp U của M, tồn tại tập con J I sao cho
M = U (

j

J
M
j
).
Một sự phân tích M =

i

I
M
i
các môđun con của môđun M đợc gọi là bù hạng tử
trực tiếp đều nếu với mọi hạng tử trực tiếp đều U của M, tồn tại tập con J I sao cho
M = U (

j

J
M
j
).
Một sự phân tích bù hạng tử trực tiếp là bù hạng tử trực tiếp đều.
Cho M là một môđun khác không. Một tập hợp hữu hạn n+1 môđun con của M
M = M
0
>M
1
> > M
n
= 0
đợc gọi là một dãy hợp thành độ dài n của M với điều kiện rằng môđun M
i-1
/M
i

là
đơn (i = 1, 2, , n).
Độ dài của môđun M ( l(M)) đợc định nghĩa:
l(M) =

III. Tổng trực tiếp các CS - môđun
Bổ đề 3.1. Hạng tử trực tiếp bất kỳ của một CS ( tơng ứng (1 - C
1
)) - môđun là
một CS ( tơng ứng (1 - C
1
)) - môđun.
Chứng minh. Gọi K là một hạng tử trực tiếp của một môđun M và N là một
môđun con đóng (tơng ứng đóng đều) trong một môđun K. Theo [2, 1.10(4)] N là
môđun con đóng (tơng ứng đóng đều) trong M (vì K

M nên K đóng trong M).
Điều này dẫn đến N

M (do M là CS (tơng ứng (1 - C
1
)), nghĩa là M = N X với X
là môđun con nào đó của M. Do N K và K

M nên theo luật modula ta có K = N
(K X) hay K là CS - môđun (tơng ứng (1-C
1
)).
Bổ đề 3.2. Cho R là một vành và M là một R - môđun sao cho M=M
1

M
2



M
n

là một tổng trực tiếp hữu hạn những môđun M
i
(1

i

n) nội xạ lẫn nhau. Khi đó M
là một CS - môđun nếu và chỉ nếu M
i
là một CS - môđun với mỗi 1

i

n.
Chứng minh. Xem [3, Theorem 8].
Định lý 3.3. Cho R là vành và một R - môđun phải M = M
1


M
2

M
n
là
một tổng trực tiếp hữu hạn những môđun nội xạ lẫn nhau có độ dài 2. Khi đó M là
CS - môđun.
Chứng minh. Trớc hết ta sẽ chứng minh rằng môđun M
i
là một CS - môđun với
mọi 1 i n.
0 nếu M =0

n nếu M có một dãy hợp thành độ dài n.




Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 1A-2007




125
Thật vậy, nếu M
i
(1 i n) là môđun không phân tích đợc, thì lấy bất kỳ các
môđun con A M
i

và B M
i
sao cho A B = 0. Khi đó ta có dãy hợp thành:
0 A A B M
i
.
Theo giả thiết môđun M
i
có l(M
i
) = 2 nên ta có A = A B hay B = 0. Nh vậy
.
A M
i
và điều này dẫn đến M
i
là môđun đều. Vậy M là môđun CS - môđun.
Nếu M
i
là môđun phân tích đợc thì theo [1, The Krull - Schmit Theorem 12.9] ta
có sự phân tích môđun M
i
= M
1
i
M
2
i
, trong đó M
1

i
và M
2
i
là những môđun đơn
(vì l(M) =2 dẫn đến l(M
1
i
) = l(M
2
i
) = 1). Nh vậy M
i
là môđun nửa đơn và dẫn đến
là CS - môđun.
Theo Bổ đề 3.2 ta có M là CS - môđun.
Định lý 3.4. Cho R là vành và M là một R - môđun phải sao cho M =
i
Ii
M


là
một tổng trực tiếp các môđun đều có độ dài lớn nhất bằng hai. Khi đó các phát biểu
sau là tơng đơng:
(i) M là CS - môđun;
(ii) M
i

M

j
mà l(M
i
) = l(M
j
) = 2 là CS - môđun, i

j

I.
Chứng minh. (i) (ii): Là hiển nhiên theo Bổ đề 3.1.
(ii) (i): Giả sử A = M
i
M
j
mà l(M
i
) = l(M
j
) = 2 là CS - môđun với i j I. Khi
đó A là (1- C
1
) - môđun. Do M
i
, M
j
là các môđun đều, có độ dài hữu hạn nên theo
.
[1, Lemma 12.8], ta có End(M
i

) và End(M
j
) là những vành địa phơng. Từ đó áp
dụng [1, Corollary 12.7], sự phân tích A = M
i
M
j
là bù hạng tử trực tiếp và dẫn đến
là bù hạng tử trực tiếp đều. Từ giả thiết l(M
i
) = l(M
j
) suy ra M
i
không thể nhúng thực
sự trong M
j
(vì nếu nh vậy thì l(M
i
) l(M
j
)) nên áp dụng [7, Theorem 2.(ii iii)] ta
có, M
i
là M
j
nội xạ. Nh vậy môđun M
i
(i I) với l(M
i

)= 2 là nội xạ lẫn nhau. Theo
.
[2, Lemma 8.14] ta có M là CS - môđun.
Mệnh đề 3.5. Cho R là vành và một R - môđun phải M = M
1

M
2
là một tổng
trực tiếp của một môđun đơn và một môđun có độ dài 2 khi đó M là CS - môđun.
Chứng minh. Thật vậy, giả sử môđun M = M
1
M
2
với M
1
là môđun đơn và M
2
có
độ dài 2 (khi đó M có độ dài 3). Gọi K là một môđun con đóng trong M, thì từ M
1
là
môđun đơn nên hoặc K M
1
= 0 hoặc K M
1
= M
1

Trờng hợp 1. K M

1
= M
1
, thì rõ ràng K

M.
Trờng hợp 2. K M
1
= 0. Gọi : M
1
M
2
M
2
là phép chiếu và gọi = |
K
. Khi
đó với phần tử bất kỳ x K: x = x
1
+ x
2
với x
1
M
1
, x
2
M
2
. Cho (x) = 0 thì dẫn đến

(x
1
+ x
2
) = (x
1
) + (x
2
) = x
2
= 0, và bởi vì K M
1
= 0 nên suy ra x
1
= 0 hay x = 0.
Vậy là một đơn cấu và ta có K (K) M
2
. Do K là môđun con thực sự của M (có
l(M) = 3) nên l(K) 2.



Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 1A-2007




126
Nếu l(K) = l(M
2

) = 2 thì đơn cấu là một đẳng cấu và nh vậy ta có M = M
1
K.
Nếu l(K) = 1 (K là môđun đơn) thì K (K) là một môđun con thực sự của M
2
. Vì
l(M) = 3 nên nếu nh K M
2
= 0 thì dễ thấy M = K M
2
(vì nếu không thì từ K
M
2
M hay 3 = l(K M
2
) < l(M) = 3, mâu thuẫn), hay K

M. Nếu KM
2
0 thì dễ
thấy K = (K) M
2
. Do K đóng trong M nên dẫn đến K đóng trong M
2
(M
2
là CS -
môđun theo chứng minh của Định lý 3.3), suy ra K

M

2


M.
Vậy M là CS - môđun.
Ví dụ dới đây chỉ ra rằng Mệnh đề 3.5 không còn đúng trong trờng hợp M là
tổng trực tiếp của một môđun đơn và một môđun có độ dài lớn hơn 2.
Ví dụ 3.6. Xét ằ - môđun M = (ằ/ằp
3
) ((ằp
2
/ằp
3
)/( ằp/ằp
3
)), trong đó (ằ/ằp
3
) là
một môđun đều (CS - môđun) có độ dài bằng 3 và (ằp
2
/ằp
3
)/(ằp/ằp
3
) là một môđun
đơn.
Nhận xét rằng End(ằ/ằp
3
) và End((ằp
2

/ằp
3
)/(ằp/ằp
3
)) là những vành tự đồng cấu
địa phơng theo [1, Lemma 12.8]. Giả sử M là CS - môđun. Đặt
: ằp
2
/ằp
3
(ằp
2
/ằp
3
)/(ằp/ằp
3
)
là phép chiếu tự nhiên, thì rõ ràng không đơn cấu. Từ [2, Lemma 7.3.(i)], có thể
đợc mở rộng tới một đồng cấu
f : ằ/ằp
3
(ằp
2
/ằp
3
)/(ằp/ằp
3
).
Do (ằp
2

/ằp
3
)/(ằp/ằp
3
) là môđun đơn nên Imf =(ằp
2
/ằp
3
)/(ằp/ằp
3
) hoặc Imf = 0, và điều
đó dẫn đến
(ằ/ằp
3
)/ker(f) (ằp
2
/ằp
3
)/(ằp/ằp
3
) hoặc Ker(f) = ằ/ằp
3
.
Khi đó Ker(f) = (ằp
2
/ằp
3
) hoặc Ker(f) = ằ/ằp
3
, và điều này mâu thuẫn với và f là các

đồng cấu khác đồng cấu không.
Vậy M không là CS - môđun.
Định lý 3.7. Giả sử R là một vành và M là một R - môđun phải sao cho
.
M = M
1


M
2



M
n
là tổng trực tiếp của những môđun đều M
i
và sự phân tích là
bù hạng tử trực tiếp đều. Giả thiết rằng với mọi 1

i

j

n, mọi đơn cấu M
i


M
j

là
một đẳng cấu. Khi đó các phát biểu sau là tơng đơng :
(i) M là CS - môđun;
(ii)M
i


M
j
là CS - môđun với mọi 1

i

j

n.
Chứng minh. (i) (ii) là hiển nhiên theo Bổ đề 3.1.
(ii) (i) Giả sử mọi môđun A = M
i
M
j
là CS - môđun với 1 i j n. Gọi
.
K M
i
(K là môđun đều) và f : K M
j
là một đồng cấu . Đặt
U = {x - f(x) : x K} M
i

M
j
,
thì U K (do phép chiếu tự nhiên : M
i
M
j
M
i
có (U) = K) là một môđun con
đều của A. Lấy y U M
j
thì tồn tại x K sao cho y = x - f(x).



Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 1A-2007




127
Suy ra
.
x = y + f(x) M
j
K = 0. Do đó y = 0 và dẫn đến U M
j
= 0. Bởi vì A là CS -
môđun (suy ra A là (1 -C

1
) - môđun) nên tồn tại môđun con U

A sao cho U U.
Do sự phân tích là bù hạng tử trực tiếp đều nên chúng ta có:
A = U M
i
hoặc A = U M
j
.
Trờng hợp 1. A = U M
i
. Gọi
i
là phép chiếu từ U M
i
đến M
i
và gọi
.
=
i
|
j
M
. Khi đó vì U U nên U đóng đều trong A và khi đó U M
j
= 0. Nh vậy
là một đơn cấu, và từ giả thiết suy ra là một đẳng cấu. Điều đó có nghĩa
.

A = U M
j
. Khi đó với mọi x K, x = f(x) + (x - f(x)), trong đó f(x) M
j
và (x - f(x))
U. Từ đó ta có
(x) =
i
|
i
M
(x) =
i
|
i
M
( f(x) + (x - f(x)) =
i
|
i
M
(f(x)) +
i
|
i
M
(x - f(x)) = f(x), nghĩa là
là một mở rộng của f, hay M
j
là M

i
nội xạ.
Trờng hợp 2. A = U M
j
. Gọi
j
: U M
j
M
j
là phép chiếu và gọi =
j
|
i
M
.
Khi đó với mọi x M
i
, x = (x - f(x) + f(x) trong đó f(x) M
j
và x - f(x) U. Từ đó ta
có:
(x) = [(x - f(x)) + f(x)] = f(x) .
Suy ra là một mở rộng của f, hay M
j
là M
i
nội xạ.
Nh vậy, môđun M
i

(1 i n) là nội xạ lẫn nhau và do đó áp dụng Bổ đề 3.2 thì
ta có M là CS - môđun.
Hệ quả 3.8. Giả sử R là một vành và M là một R - môđun sao cho

.
M = M
1


M
2



M
n
là tổng trực tiếp hữu hạn của những môđun đều M
i
có cùng
độ dài và sự phân tích là bù hạng tử trực tiếp đều. Khi đó M là CS - môđun nếu và
chỉ nếu mọi hạng tử trực tiếp M
i


M
j
là CS - môđun với mọi 1

i

j

n.
Chứng minh. Do các môđun M
i
và M
j
với 1 i j n có cùng độ dài nên mọi đơn
cấu M
i
M
j
luôn là một đẳng cấu (vì nếu không thì l(M
i
) l(M
j
)). Theo Định lý 3.6
ta có điều cần chứng minh.


tài liệu tham khảo
[1] F. W Anderson and K. R. Fuller, Rings and Categories of Modules, Springer -
Verlag, New York - Heidelberg - Berlin, 1974.
[2] Ng. V. Dung - D. V. Huynh - P. F. Smith and R. Wisbauer, Extending Modules,
Pitman, London, 1994.
[3] A. Harmanci and P. F. Smith, Finite direct sum of CS - modules, Houston J.
Math 19 (1993), 523 - 532.
[4] D. V. Huynh - S. K. Jain and S.R. López Permouth, Rings characterized by
direct sums of CS modules, Comm. Algebra, 28 (9), (2000), 4219 - 4222.

§¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVI, sè 1A-2007




128
[5] M. A. Kamal and B. J. Muller, The structure of extending modules over
noetherian rings, Osaka J. Math. 25 (1988), 539 - 551.
[6] M. A. Kamal and B. J. Muller, Extending modules over commutative domains,
Osaka J. Math. 25 (1988), 531 - 538.
[7] Ngo Sy Tung, Some results on quasi - continous modules, Acta Mathematica
Vietnamica, Vol. 19. N
0
.2 (1994), 13 - 17.
[8] R. Wisbauer, Foundations of Modules and Ring theory, Gordon and Breach,
Reading, 1991.



Summary

Some results on direct sums of CS – modules

In this paper, we give some results on sums of CS - modules. It shows that if
.
M = ⊕i∈IMi, where Mi is a uniform module of length at most 2 (for all i∈I), then M
is a CS - module if and only if every direct summand Mi ⊕ Mj, where the length of
both Mi and Mj are 2, is a CS - module. And if M = M1 ⊕ M2 ⊕…⊕ Mn is a

decomposition such that: (i) Mi is a uniform module (1 ≤ i ≤ n); (ii) this
decomposition of M complements uniform direct summands; and (iii) every
monomorphsim Mi → Mj is a isomorphsim. Then M is a CS - module if and only if
every direct summand Mi ⊕ Mj is a CS - module for all 1 ≤ i ≠ j ≤ n.

(a)
khoa to¸n, tr−êng ®¹i häc vinh
(b)
khoa gi¸o dôc tiÓu häc, tr−êng ®¹i häc vinh