Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Trạng thái nén biến dạng với các dao động tử biến dạng" pptx

Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 1A-2007




9
Trạng thái nén biến dạng với các dao động tử biến dạng


Võ Thanh Cơng
(a)
, Ngũ Văn Dũng
(b)


Tóm tắt. Trong bài báo này chúng tôi phát triển hớng nghiên cứu các toán tử
boson q-biến dạng trong hình thức luận mô hình tổng quát các hệ thức giao hoán biến
dạng. Trạng thái kết hợp với những toán tử này đã bộc lộ một số tính chất thú vị kể cả
trờng hợp cả hai thành phần của hàm trờng cùng đồng thời bị nén. Các kết quả thu
đợc có thể giúp ích cho các thí nghiệm đang nghiên cứu về hiệu ứng q-biến dạng.

1. Trạng thái kết hợp lần đầu tiên đợc Schrodinger và Glauber đề xớng. Xét về
một mặt nào đó, các trạng thái kết hợp có một số tính chất cơ bản giống các dao động
tử điều hoà nh: các trạng thái này đều là hàm riêng của toán tử huỷ, đều có trạng
thái chân không vv Do đó khi nghiên cứu các trạng thái kết hợp, nhiều tác giả đã
sử dụng các kết quả nghiên cứu về dao động tử điều hoà cho các trạng thái kết
hợp[1]. Trong giải pháp này, các trạng thái kết hợp và trạng thái nén đợc xây dựng
trên các hàm riêng của toán tử huỷ. Trong những năm gần đây, hớng nghiên cứu

này đã trở nên hấp dẫn và đợc nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu [6, 7, 8].
Trong những năm gần đây, các nhà vật lý lý thuyết đã đề xớng một giải pháp
gọi là phơng pháp đại số dao động tử biến dạng [2, 3, 4, 5] để nghiên cứu các trạng
thái kết hợp và các trạng thái nén Theo lý thuyết này, ngời ta thay thế đạo hàm
thông thờng bằng đạo hàm biến dạng phụ thuộc vào một thông số biến dạng q. Mặt
khác, các các toán tử trong vật lý lợng tử thờng là các toán tử vi phân. Ví dụ nh
theo [6] dao động tử điều hoà Hamiltonian biến dạng sẽ là:
H = -
m
2
2

2
2
x
q


+
2
1
m

x
2
.


(1)

Nghiệm của phơng trình này (1) khác với nghiệm dao động tử điều hoà thông
thờng ở các điểm sau:
a, Lực tác động trong dao động tử biến dạng khác cùng đại lợng đó trong dao
động tử điều hòa thông thờng:
F
q
= -
x
V
q


= -
.xm
2
]
2
[


Hệ số
2
]2[
là hàm của thông số biến dạng q. Khi q > 1, theo công thức (5) ở phần sau
2
]2[
0, nguyên nhân gây ra chuyển động là lực đàn hồi (ngợc chiều với chuyển
động). Khi q < 1,
2
]2[

< 0, lực gây ra chuyển động lại cùng chiều với chuyển động
(trái với cơ học cổ điển).

Nhận bài ngày 23/10/2006. Sửa chữa xong 11/12/2006.



Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 1A-2007




10
b, Năng lợng của các trạng trạng thái dao động tử cũng khác trờng hợp
thông thờng, bởi vì lúc đó các toán tử sinh a+ và huỷ a đợc định nghĩa lại:

a =
2

m
x +

m2

x
q


, a
+

=
2

m
x -

m2

x
q


.
(2)


Với các giá trị thông số biến dạng q khác nhau, giá trị năng lợng của các trạng
thái dao động tử có giá trị khác nhau. Ta so sánh với thực nghiệm và sử dụng giá trị
của q trong trờng hợp phù hợp để nghiên cứu trạng thái đó trong các bài toán khác.
2. Đại số dao động tử biến dạng và trạng thái nén biến dạng. Có nhiều mô hình
về đại số dao động tử biến dạng. Các mô hình này khác nhau về số lợng thông số
biến dạng và hệ thức giao hoán giữa các toán tử sinh và huỷ, đã đợc nhiều tác giả
đề xớng, ví dụ nh: mô hình tổng quát về đại số dao động tử biến dạng một thông
số đợc Solomon và Dermot trình bày trong [10]. Trong mô hình này các toán tử huỷ
và sinh a, a+ và toán tử số N = a+ a là các vi tử của đại số dao động tử biến dạng với
mối quan hệ giữa chúng:
[N, a ] = -a ; [N , a
+
] = a
+

và aa
+
- f(N)a
+
a = 1.

(3)

Khi f(N) =1 hệ thức (3) là hệ thức giao hoán của đại số Heisenberg-Weyl mô tả các
boson trong dao động tử thông thờng. Khi f(N) =q ta có đại số dao động tử biến
dạng do Arik và Coon đề xớng [8]. Mô hình này đã đợc rất nhiều tác giả áp dụng
nghiên cứu lý thuyết cho các trạng thái kết hợp biến dạng, trạng thái nén biến
dạng Ví dụ nh các công trình của Kulish và Damaskinsky [9], của Jagannathan
[10]
Trong mô hình tổng quát đại số dao động tử biến dạng, hàm riêng của toán tử N
trong Fock biểu diễn sẽ là [4]:
| n >
q
=
!][
1
n
(a
+)n
| 0 >
(4)

trong đó
[n+1] = 1+ f(n)[n]
và

[n] =

1n
1=k
)!k(f
)!1n(f
.
(5)

Với các hàm f(n) khác nhau các biểu thức (3), (4), (5) sẽ khác nhau. Ví dụ: ta xét
trờng hợp f(N)
= q
-2
.
Biểu thức (3) trở thành:
a
+
a = q
-(N-1)
[N] ; aa
+
= q
-N
[N+1]
(6)

a| n >
q
q

-(n-1)/2
[n]
1/2
|n-1>
a
+
| n >
q
q
-n/2
[n+1]
1/2
|n+1>.
(7)

Trạng thái |n >q là hàm riêng của toán tử N thoả mãn N|n >q = n| n >q, với
q<n| m>q= nm và trạng thái chân không biến dạng|0>q thỏa mãn a|0>q = 0.
Trong các công thức trên ta sử dụng ký hiệu [n] =
2
2
1
1




q
q
n
đợc tính ra từ công thức

(5). Trạng thái kết hợp| >q đợc định nghĩa nh là hàm riêng của toán tử huỷ a,



Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 1A-2007




11
a| >q =| >q với giá trị riêng là một số phức [1]. Sau một số phép biến đổi,
trạng thái kết hợp biến dạng đợc biểu diễn dới dạng[6]:
|

>
q
= N


{| 0 > +


=

0
4/)1(
]![
n
nnn
n

q

| n>
q
} = N

e
q
(

a
+
)| 0 >
q
.

(8)

Từ công thức (8) ta có hệ số chuẩn hoá N

= [e
q
(

2
)]
1/2
.
Hàm số e
q

(x) gọi là e mũ biến dạng và đợc định nghĩa:
e
q
(x) = 1+


=

0
4/)1(
]![
n
nnn
n
xq
.
(9)

Khi q 1, e
q
(x) exp(x), hàm e mũ biến dạng trở thành hàm e mũ thông
thờng.
Để xây dựng trạng thái nén biến dạng, ta lấy ví dụ trờng điện từ của trạng
thái đơn mode với tần số

. Trong trờng hợp đó hàm trờng có thể biểu diễn dới
dạng E(t)=E
0
[ae
i

t
+ a
+
e
-i

t
] trong đó a, a
+
là các toán tử sinh và huỷ photon biến
dạng. Ta định nghĩa các trạng thái:
|

,

>
q
= c

(|

>
q


|-

>
q

). (10)
Từ điều kiện chuẩn hoá của |, + >q ta xác định hệ số chuẩn hoá
c
+
=
)]()([2
)(
22
2


+
qq
q
ee
e
.

(11)

Trong hai trạng thái trên, trạng thái |,+>q là trạng thái nén.
Để chứng minh, ta biểu diễn toán tử a dới dạng phức a = a1 + i a2. Lúc đó:
a
1
= (a+a
+
)/2 ; a
2
= (a - a
+

)/2i (12)
[a
1
, a
2
]=
2
i
. (13)
Theo hệ thức bất định của Heisenberg:
[(

a
1
)
2
, (

a
2
)
2
]
16
1
.
Mặt khác ta có:
(

a

1
)
2
=
q
<

,+|
4
)(
2
+
+
aa
|

, + >
q


{
q
<

,+|
2
)(
+
+
aa

|

, + >}
2
.

Kết hợp với các kết quả rút ra từ (10) và (11):
a |

, + >
q
=



+
c
c
|

, + >
q
; a
2
|

, + >
q
=

2
|

, + >
q

ta có kết quả:

(

a
1
)
2
=
4
1
+
4
2

[2 +(1+q
-2
)
)()(
)()(
22
22

+

qq
qq
ee
ee
]. (14)

Tơng tự:



Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVI, số 1A-2007




12
(

a
2
)
2
=
4
1
-
4
2

[2 -(1+q
-2
)
)()(
)()(
22
22


+

qq
qq
ee
ee
]. (15)

Nh vậy, trạng thái |

, + >
q
là trạng thái nén vì (

a
2
)
2
<
4

1
.
Trờng hợp không biến dạng (q=1), ta có:
(

a
2
)
2
=
4
1
-
2
2
2
1


e
+
. (16)

(

a
2
)
2
luôn nhỏ hơn 1/4 có giá trị cực tiểu khi

2
=0.64, lúc đó (

a
2
)
2
= 0.111 < 1/4
(H.1).



H.1 H.2

Để xét trờng hợp trạng thái nén biến dạng, ta cần khảo sát sự phụ thuộc đại
lợng (

a
2
)
2
vào q. Để có ý nghĩa vật lý, thông số biến dạng q cần phải lớn hơn 1 hay:
q = e
f


1
+
(f

0
+
). Chúng tôi lần lợt cho f bằng 0.0001, 0.01 và 0.1 và sử dụng phần
mềm Mathematica 4.0 vẽ sự phụ thuộc (

a
2
)
2
vào

2
. Kết quả đợc trình bày ở H.2.
3. Từ đồ thị ta nhận thấy, với các giá trị

2
< 0.64; (

a
2
)
2
gần nh không phụ thuộc
vào giá trị thông số biến dạng. Trong trờng hợp f

0.1, với các giá trị của 1.35<

2
<1.9; (

a
2
)
2
không phụ thuộc vào giá trị thông số biến dạng và (

a
2
)
2
<1/4 các trạng
thái nén xuất hiện rõ ràng. Với q=1 (trờng hợp không biến dạng), (

a
2
)
2
có giá trị
gần nh không thay đổi và gần bằng 0.25 với các giá trị

2
> 3.5. Tuy nhiên nếu q >1,
khi

2
tăng (

a
2

)
2
lại giảm dần, trạng thái nén biến dạng rõ nét hơn đối với trờng
hợp không biến dạng.













§¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVI, sè 1A-2007




13

Tµi liÖu tham kh¶o

[1] D. F. Walls, G. J. Milburn, Quantum optics, Australia, 1995.
[2] Steven Wesingberg, The General theory of Relativity, Cambridge, 1971.
[3] L. C. Biederhanrn, The quantum group SU
q

(2) and a q-analogue of the boson
operators, Phys. A : Math. Gen. 22, (1989), 873-878.
[4] T. Brezinski, I. L. Egusquiza, A. J. Macfarlane, Generalized harmonic oscillator
systems and their Fock space description, Phys. Lett. B 311, (1993), 202-206.
[5] S. Chaturvedi, R. Simon, Generalized commutation relation for a single mode
oscillator, Phys. Review A 43, (1990), 4545-4559.
[6] Yaping Yang, Zorong Yu, On q- coherent state of q-deformed oscillator, Modern
Physics lethers, Vol. 9, No 36, (1994), 3367-3372.
[7] P. Shanta, S. Chaturvedi, V. Srinivasan and R. Jagannathan, Unifield approach
to the analogue of single-photon and multiphoton coherent state , J.Phys. A.
Math. Gen. 27 (1994), 6433-6442.
[8] P. P. Kulish and E V. Dmanskinsky, The quantum group, Phys. A: Math. Gen.
23, (1990), 415.
[9] Roger J Mc Dermot and A. Solomon, Double squezing in generalized q-coherent
state, J. Phys. A. Math. Gen. 27 (1994), L15-L19.



Summary

On q-squeezing state of q-deformed oscillators

Using a generalization of the q-commutation relation, in this paper we develop
a formalism in which we define q-bosonic operators. The coherent state of these
operators show interesting properties including simultaneous squeezing in both
field components. The qualitative character expose by this q-squeezed state may
provide some evidence about q-deformed effect in current experiment.


(a)

Khoa VËt Lý, tr−êng §¹i Häc Vinh

(b)
Cao Häc 12 quang häc, tr−êng §¹i häc Vinh