Giáo trình các tập hợp số.pdf

CÁC TẬP HỢP SỐ


113
Chủ đề 3
TẬP SỐ HỮU TỈ VÀ TẬP SỐ THỰC
MỤC TIÊU
A. KIẾN THỨC
Cung cấp cho người học những kiến thức về:
– Xây dựng tập số hữu tỉ không âm và các phép toán trong tập số hữu tỉ không âm;
– Tập số thập phân và các phép toán trong tập số thập phân;
– Cơ sở toán học của nội dung dạy phân số và số thập phân ở Tiểu học;
– Xây dựng tập số hữu tỉ và tập số thực.
B. KĨ NĂNG
Hình thành và rèn cho người học các kĩ năng:
– Giải toán trong tập số hữu tỉ không âm và số thập phân không âm;
– Giải toán về phân số và số thập phân ở Tiểu học.
C. THÁI ĐỘ
Chủ động tìm tòi khám phá và phát hiện những cơ sở toán học của việc dạy học phân số và số
thập phân ở Tiểu học
D. GIỚI THIỆU CHỦ ĐỀ 3
STT Tên tiểu chủ đề Trang
1 Xây dựng tập số hữu tỉ không âm 114
2
Các phép toán trong tập số hữu tỉ không âm
120
3 Quan hệ thứ tự trong tập số hữu tỉ không âm 129
4
Tập số hữu tỉ không âm và phân số trong chương trình
môn Toán ở Tiểu học
133

5 Tập số thập phân không âm 142
6 Số thập phân trong chương trình môn Toán ở Tiểu học 152
7 Tập số hữu tỉ 164
8 Tập số thực 171
CÁC TẬP HỢP SỐ


114
TIỂU CHỦ ĐỀ 3.1. XÂY DỰNG TẬP SỐ HỮU TỈ KHÔNG ÂM
THÔNG TIN CƠ BẢN
Trong toán học và trong cuộc sống hàng ngày ta thường gặp các bài toán:
– Tìm thương của phép chia:
a) 25 : 6;
b) 3 : 5;
c) 17 : 7;
. . .
– Dùng đơn vị là mét để biểu diễn các số đo: 1m, 2dm, 5cm hoặc 25cm.
– Dùng đơn vị là kilôgam để biểu diễn số đo: 14kg, 5g hoặc 1245g.
Trong phạm vi tập các số tự nhiên, các bài toán trên đều không có lời giải. Do đòi hỏi, nhu
cầu của thực tiễn toán học, đời sống lao động và sản xuất, chúng ta thường xuyên phải tìm lời
giải cho các bài toán trên (theo một nghĩa nào đấy).
Vì vậy, đặt ra cho chúng ta nhiệm vụ phải mở rộng tập hợp số tự nhiên thêm những số mới,
để trong tập hợp số mới nhận được này, chúng ta sẽ tìm được lời giải của các bài toán thuộc
các dạng nêu trên.
Khi tính toán, chúng ta thường xuyên vận dụng các tính chất của các phép toán trên phân số,
số thập phân. Chẳng hạn:
– Tính chất giao hoán
a + b = b + a và a × b = b × a.
– Tính chất kết hợp
(a + b) + c = a + (b + c); (a × b) × c = a × (b × c).

– Tính chất phân phối
a × (b + c) = a × b + a × c; a × (b – c) = a × b – a × c.
– Tính chất của số 0
a + 0 = a.
– Tính chất của số 1
a × 1 = a.
v.v…
Những tính chất, quy tắc thực hành tính toán trên đây học sinh thường tiếp nhận bằng hình
thức thừa nhận, áp đặt mà không chứng minh được một cách chặt chẽ. Giáo viên thường minh
hoạ tính đúng đắn của chúng thông qua một số ví dụ cụ thể. Chẳng hạn, thông qua bài toán:
CÁC TẬP HỢP SỐ


115
Tính rồi so sánh kết quả (xem [1], trang 65).
a b c (a + b) x c a x c + b x c
2,4 3,8 1,2
6,5 2,7 0,8
8,2 1,8 14,7
Từ bài toán này, giáo viên rút ra cho học sinh quy tắc: Muốn nhân một tổng với một số, ta có
thể nhân từng số hạng của tổng với số đó rồi cộng kết quả lại
hay:
(a + b) × c = a × c + b × c.
Bằng cách này, học sinh phải tiếp thu một cách thụ động, không nắm được cơ sở lí luận của
những quy tắc đó.
Tuy nhiên, với giáo sinh, những người sẽ ra giảng dạy ở phổ thông sau này, việc nắm được cơ
sở lí luận của những vấn đề nêu trên là điều thiết thực và bổ ích.
Vì hai lí do nêu trên, chúng ta cần mở rộng tập số tự nhiên thêm những số mới để trong tập
hợp số mới này (mà dưới đây ta sẽ gọi là tập các số hữu tỉ không âm), các phép chia số tự
nhiên (cho một số tự nhiên khác 0) đều thực hiện được, số đo của các phép đo đại lượng đều

biểu diễn được, các quy tắc thực hành tính toán với phân số và số thập phân đều được chứng
minh chặt chẽ.
Ta sẽ sử dụng kí hiệu N (hoặc N
*
) để chỉ tập số tự nhiên (hoặc tập số tự nhiên khác 0).
– Cho phân số
1
2
. Từ phổ thông ta biết:
1
2
=
2
4
=
3
6
=
4
8
= …
Như vậy, các phân số bằng phân số
1
2
tạo thành một lớp {
1
2
;
2
4

;
3
6
;
4
8
;…}.
– Tương tự, cho phân số
3
4
. Ta cũng có:
36 912
4 8 12 16
== =
= …
Như vậy, các phân số bằng phân số
3
4
cũng tạo thành một lớp {
3
4
;
6
8
;
9
12
;
12
16

;...}.
Bằng cách này, ta phân chia các phân số thành các lớp mà mỗi lớp gồm những phân số bằng
nhau.
CÁC TẬP HỢP SỐ


116
Ý tưởng trên đây được thể hiện bằng ngôn ngữ của toán học hiện đại như sau:
Mỗi cặp sắp thứ tự (a; b), trong đó a
∈
N và b
∈
N
*
ta gọi là một phân số không âm (hay để
cho gọn, ta sẽ gọi là phân số).
Tập tất cả các phân số kí hiệu là P. Như vậy: P = N
×
N
*
.
Để cho tiện, ta sẽ sử dụng kí hiệu
a
b
để chỉ phân số (a; b), trong đó a là tử số, b là mẫu số của
phân số đó. Như vậy: P = {
a
b
với a
∈

N và b
∈
N
*
}.
Trên tập P, ta định nghĩa quan hệ hai ngôi “e” như sau: với
a
b
;
c
d

∈
P, ta nói phân số
a
b

tương đương với phân số
c
d
, kí hiệu
a
b
e
c
d
, khi và chỉ khi: ad = bc.
Ví dụ:
a)
1

2
e
6
12
vì 1
×
12 = 2
×
6 (= 12);
b)
9
12
e
15
20
vì 9
×
20 = 12
×
15 (= 180);
c)
6
12
ỗ
9
12
vì 6
×
12 ≠ 12
×

9.
Từ định nghĩa ta có:
– Rõ ràng là
a
b
e
a
b
hay quan hệ hai ngôi e có tính chất phản xạ (1).
– Nếu
a
b
e
c
d
thì ad = bc. Suy ra cb = da. Vậy
c
d
e
a
b
.
Từ đó suy ra quan hệ e có tính chất đối xứng (2).
– Giả sử
a
b
e
c
d
và

c
d
e
m
n
. Từ định nghĩa ta có: ad = bc và cn = dm. Nhân hai vế của đẳng
thức thứ nhất với n ta có: adn = bcn.
Từ đó suy ra: adn = bdm hay an = bm. Thành thử
a
b
e
m
n
.
Kết quả trên cho ta thấy quan hệ hai ngôi e có tính chất bắc cầu (3).
Từ (1); (2); (3) ta suy ra e là một quan hệ tương đương xác định trên tập các phân số P.
CÁC TẬP HỢP SỐ


117
Áp dụng định lí về tập thương (xem [2]), ta có thể phân chia tập P theo quan hệ tương đương
e và nhận được tập thương P/e.
Ta sẽ gọi tập thương P/e là tập các số hữu tỉ không âm và kí hiệu là Q
+
. Mỗi phần tử của tập
Q
+
ta gọi là một số hữu tỉ không âm (để cho gọn, ta sẽ gọi là số hữu tỉ).
– Giả sử r
∈

Q
+
. Như vậy r xác định bởi một lớp các phân số tương đương với phân số
a
b

nào đó, tức là r = C(
a
b
) hay r = {
m
n

∈
P và
m
n
e
a
b
}. Một phân số thuộc lớp C(
a
b
) ta gọi là
một đại diện của số hữu tỉ r.
Mặt khác, ta lại thấy:
a
b
e
c

d
khi và chỉ khi phân số
a
b
bằng phân số
c
d
(theo nghĩa ta vẫn
hiểu ở trường phổ thông). Thành thử, mỗi số hữu tỉ r = C(
a
b
) là một lớp những phân số bằng
phân số
a
b
cho trước. Chẳng hạn:
C(
1
2
) = {
1
2
;
2
4
;
3
6
;
4

8
;. . . . }; C(
3
4
) = {
3
4
;
6
8
;
9
12
;
12
16
;…}.
Để cho gọn, ta sẽ dùng kí hiệu
a
b
để chỉ số hữu tỉ r = C(
a
b
). Chẳng hạn, ta kí hiệu
1
2
để chỉ
số hữu tỉ r = C(
1
2

),
7
8
để chỉ số hữu tỉ r = C(
7
8
).
– Giả sử hai phân số tối giản
p
q
và
p'
q'
đều là đại diện của số hữu tỉ r. Suy ra,
p
q
e
p'
q'
hay pq’ =
qp’, trong đó UCLN(p, q) = UCLN(p’, q’) = 1.
Vì p | pq’ nên p | qp’; mà UCLN(p, q) = 1 nên p | p’. Mặt khác, p’ | qp’ nên p’ | pq’, mà
UCLN(p’, q’) = 1 nên p’ | p. Từ đó, ta suy ra p = p’ và q = q’.
Vậy mỗi số hữu tỉ không âm có duy nhất một phân số đại diện là phân số tối giản. Khi nói đến
phân số đại diện của một số hữu tỉ, ta thường hiểu là phân số tối giản nói trên.
– Mỗi số tự nhiên a có thể biểu diễn dưới dạng một phân số
1
a
, vì vậy, mỗi số tự nhiên a cũng
xác định duy nhất một số hữu tỉ r có phân số đại diện là

1
a
. Thành thử, tập số tự nhiên N có
thể coi là bộ phận của tập số hữu tỉ Q
+
.
Ta quy ước: số hữu tỉ xác định bởi C(
1
0
) là 0 và xác định bởi C(
1
1
) là 1.
CÁC TẬP HỢP SỐ


118
HOẠT ĐỘNG 1. TÌM HIỂU SỰ CẦN THIẾT PHẢI XÂY DỰNG TẬP SỐ HỮU TỈ
KHÔNG ÂM
NHIỆM VỤ
Sinh viên tự đọc thông tin cơ bản để thực hiện các nhiệm vụ nêu trong các hoạt động dưới
đây. Trên lớp giáo viên tổ chức cho sinh viên trình bày rồi tổng kết chung cho cả lớp.
NHIỆM VỤ 1:
Nêu các hạn chế trong thực hành phép chia các số tự nhiên.
NHIỆM VỤ 2:
Nêu các hạn chế của tập số tự nhiên trong việc biểu diễn số đo của các phép đo đại lượng.
NHIỆM VỤ 3:
Nêu những khó khăn trong việc chứng minh các tính chất, quy tắc thực hành các phép tính,
thực hành so sánh các số thập phân và so sánh các phân số ở trường phổ thông.
ĐÁNH GIÁ

Nêu các lí do phải mở rộng tập số tự nhiên để được tập số hữu tỉ không âm.

HOẠT ĐỘNG 2.
TÌM HIỂU PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG TẬP SỐ HỮU TỈ KHÔNG ÂM
Q
+
TỪ TẬP SỐ TỰ
NHIÊN
N
.
NHIỆM VỤ
NHIỆM VỤ 1:
Đọc tài liệu để hiểu các khái niệm về phân số không âm.
NHIỆM VỤ 2:
Vẽ lược đồ biểu diễn quá trình xây dựng tập số hữu tỉ không âm Q
+
.
NHIỆM VỤ 3:
Đọc tài liệu để hiểu:
+ Khái niệm về số hữu tỉ, tập số hữu tỉ, phân số đại diện của một số hữu tỉ;
CÁC TẬP HỢP SỐ


119
+ Bản chất của số hữu tỉ, tập số hữu tỉ và cách kí hiệu một số hữu tỉ;
+ Mối quan hệ giữa tập số tự nhiên và tập số hữu tỉ.
ĐÁNH GIÁ
1. Điền Đ (đúng) hoặc S (sai) vào các ô trống
a)
3

5
e
15
21
F b)
9
7
e
14
18
F
c) 7e
14
2
F d)
9
5
e
45
25
F
2. Xác định tập hợp các phân số xác định số hữu tỉ
a) r =
3
5
; b) r =
7
4
;
c) r = 0; d) r = 1.

3. Chứng minh rằng trong các phân số cùng bằng phân số
a
b
cho trước, chỉ có duy nhất một
phân số là tối giản.


CÁC TẬP HỢP SỐ


120
TIỂU CHỦ ĐỀ 3.2.
CÁC PHÉP TOÁN TRONG TẬP SỐ HỮU TỈ KHÔNG ÂM

THÔNG TIN CƠ BẢN
3.2.1. Phép cộng và phép nhân
Cho hai phân số
4
7
và
3
5
. Từ trường phổ thông ta đã biết:

4
7
+
3
5
=

4537×+×
×
75
=
41
35


4
7
×
3
5
=
43
75
×
×
=
12
35

v.v...
Từ đây ta đi đến bài toán: Cho hai số hữu tỉ r = C(
4
7
); s = C(
3
5
). Ta có thể tìm tổng, hiệu,

tích, thương của hai số hữu tỉ này theo một nghĩa nào đó không?
Như phần trên ta đã biết, mỗi số hữu tỉ C(
4
7
) (hoặc C(
3
5
)) được xác định bởi một lớp các
phân số bằng phân số
4
7
(hoặc
3
5
). Chọn một trong các phân số trong lớp đó ta được một đại
diện của số hữu tỉ đó. Ngược lại, khi có một phân số đại diện của một số hữu tỉ thì số hữu tỉ
đó cũng hoàn toàn được xác định bởi phân số đại diện này.
Từ phân tích trên đây, ta đi đến ý tưởng tìm tổng của hai số hữu tỉ như sau:
C(
4
7
) + C(
3
5
) = C(
4
7
+
3
5

) = C(
41
35
).
Hay tổng của hai số hữu tỉ r = C(
4
7
) và s = C(
3
5
) là một số hữu tỉ có phân số đại diện bằng
tổng của các phân số đại diện của hai số hữu tỉ đó.
Tương tự, ta tìm hiệu, tích, thương của hai số hữu tỉ này.
Một cách tổng quát, ta đi đến định nghĩa dưới đây.
CÁC TẬP HỢP SỐ


121
Định nghĩa 2.1:
Cho hai số hữu tỉ r và s có phân số đại diện là
a
b
và
c
d
tương ứng. Ta gọi:
a) Tổng của hai số hữu tỉ r và s là một số hữu tỉ t, kí hiệu t = r + s, trong đó, số hữu tỉ t có
phân số đại diện là
+ad bc
bd

hay C(
a
b
) + C(
c
d
) = C(
+ad bc
bd
).
* Quy tắc cho tương ứng mỗi cặp số hữu tỉ r và s với một số hữu tỉ t nói trên gọi là
phép cộng

các số hữu tỉ không âm, trong đó r và s gọi là các
số hạng
, t gọi là
tổng.

b) Tích của hai số hữu tỉ r và s là một số hữu tỉ p, kí hiệu p = r × s (hoặc r.s hoặc rs), trong đó,
số hữu tỉ p có phân số đại diện là
ac
bd
hay C(
a
b
) × C(
c
d
) = C(
ac

bd
).
* Quy tắc cho tương ứng mỗi cặp số hữu tỉ r và s với một số hữu tỉ p nói trên gọi là
phép nhân

các số hữu tỉ không âm, trong đó r và s gọi là các
thừa số
, p gọi là
tích.

Ta có:

1
2
=
4
8
và
5
3
=
10
6


1
2
+
5
3

=
+×
×
3 5 2
2 3
=
13
6


4
8
+
10
6
=
×+ ×
×
4 6 10 8
8 6
=
104
48

Vậy
13
6
=
104
48

.
Như vậy phải chăng
C(
1
2
) + C(
5
3
) = C(
4
8
) + C(
10
6
)?
Một cách tổng quát, giả sử
a
b
và
a'
b'
là hai phân số đại diện của cùng một số hữu tỉ r;
c
d
và
c'
d'
là hai phân số đại diện của cùng một số hữu tỉ s. Theo định nghĩa:

a

b
e
a'
b'
và
c
d
e
c'
d'

Hay ab’ = a’b và cd’ = c’d.
Nhân hai vế của đẳng thức thứ nhất với dd’ và đẳng thức thứ hai với bb’ ta được:
ab’dd’ = a’bdd’
CÁC TẬP HỢP SỐ


122
cd’bb’ = c’dbb’
Cộng vế với vế của hai đẳng thức trên ta được
(ac + bc)b’d’ = (a’d’ + b’c’)bd.
Hay C(
+
ad bc
bd
) = C(
+
a'd' b'c'
b'd'
). Vậy C(

a
b
) + C(
c
d
) = C(
a'
b'
) + C(
c'
d'
).
Từ các kết quả trên, ta rút ra:
– Tính chất 2.1:
Tổng của hai số hữu tỉ không phụ thuộc vào việc lựa chọn phân số đại
diện của chúng.
Tương tự như trên ta cũng có:
–
Tính chất 2.2:
Tích của hai số hữu tỉ không phụ thuộc vào việc lựa chọn phân số đại diện của chúng.
Ví dụ 2.1:
Cho hai số hữu tỉ r =
4
15
và s =
25
12
.
Ta có:
r + s =

4
15
+
25
12
=
×+×
×
4 12 25 15
15 12
=
273
180
=
91
60

r × s =
4
15
×
25
12
=
100
180
=
5
9
.

Định lí 2.1:

Tính chất của phép cộng và phép nhân các số hữu tỉ không âm.
Phép cộng và phép nhân các số hữu tỉ không âm thoả mãn các tính chất sau:
a) Tính giao hoán:
r + s = s + r và rs = sr với mọi r, s
∈
Q
+
.
b) Tính kết hợp:
(r + s) + t = r + (s + t) và (rs)t = r(st) với mọi r, s, t
∈
Q
+
.
c) Phần tử trung lập:
Tồn tại duy nhất một số hữu tỉ 0 và một số hữu tỉ 1 sao cho r + 0 = r và r
×
1 = r.
Ta gọi 0 là phần tử trung hoà của phép cộng và 1 là phần tử đơn vị của phép nhân.
d) Luật giản ước:
Nếu r + t = s + t thì r = s với mọi t
∈
Q
+
và nếu rt = st thì r = s với mọi t
∈
Q
+

, t
≠
0.
e) Tính chất phân phối:
r(s + t) = rs + rt với mọi r, s, t
∈
Q
+
.
f) Phần tử nghịch đảo:
CÁC TẬP HỢP SỐ


123
Với mọi số hữu tỉ r
≠
0 tồn tại duy nhất một số hữu tỉ r
–1
sao cho rr
–1
= 1. Ta gọi r
–1
là phần
tử nghịch đảo của r.
g) Tích của hai số hữu tỉ bằng 0 khi và chỉ khi ít nhất một trong hai số đó bằng 0.

Chứng minh:
a) Giả sử r, s ∈
Q
+

trong đó r =
m
n
; s =
m'
n'
, theo tính chất giao hoán của phép cộng và phép
nhân các số tự nhiên ta có:
+
mn' nm'
nn'
=
+
m'n n'm
n'n
.
Mặt khác, theo định nghĩa phép cộng số hữu tỉ thì
+
mn' nm'
nn'
là phân số đại diện của r + s và
+
m'n n'm
n'n
là phân số đại diện của s + r.
Từ đó suy ra r + s = s + r.
b) Giả sử
m
n
;

m'
n'
và
m''
n''
theo thứ tự là phân số đại diện của các số hữu tỉ r, s và t. Áp dụng
tính chất của các phép toán trên tập số tự nhiên ta có:

++(mn' nm')m'' (nn')m''
(nn')n''
=
+ +m(n'n'') n(m'n'' n'm'')
n(n'n'')
.
Mặt khác, theo định nghĩa phép cộng của số hữu tỉ thì

++(mn' nm')m'' (nn')m''
(nn')n''
và
+ +m(n'n'') n(m'n'' n'm'')
n(n'n'')
theo thứ tự là phân số đại diện
của (r + s) + t và r + (s + t). Từ đó suy ra (r + s) + t = r + (s + t).
Tương tự cũng có:

(mm')m''
(nn')n''
=
m(m'm'')
n(n'n'')

.
Từ đó suy ra (rs)t = r(st).
c) Giả sử 0 là số hữu tỉ có phân số đại diện là
0
1
.
Với mọi số hữu tỉ r =
m
n
ta có: r + 0 =
× +×
×
m 1 0 n
n 1
=
m
n
= r
Giả sử 1 là số hữu tỉ có phân số đại diện là
1
1
. Rõ ràng là
×
×
m 1
n 1
=
m
n
.

Từ đó suy ra r
×
1 = r với mọi r =
m
n
.
CÁC TẬP HỢP SỐ


124
Giả sử 0 và 0’ (hoặc 1 và 1’) là hai phần tử trung hoà (hoặc đơn vị) của phép cộng và phép
nhân. Theo tính chất của 0 (hoặc 1) ta có:
0 + 0’ = 0’ (hoặc 1
×
1’ = 1’).
Mặt khác, theo tính chất của 0’ (hoặc 1’) ta có:
0’ + 0 = 0 (hoặc 1’
×
1 = 1).
Từ đó suy ra 0 = 0’ và 1 = 1’.
d) Giả sử
m
n
;
m'
n'
;
m''
n''
theo thứ tự là phân số đại diện của các số hữu tỉ r, s, t và

r + t = s + t.
Theo định nghĩa phép cộng các số hữu tỉ ta có:

+
mn'' m''n
nn''
=
+
m'n'' m''n'
n'n''

hay
mn''n' + m''nn'
nn'n''
=
+
m'nn'' m''nn'
nn'n''

Từ đó suy ra mn’’n’ = m’nn’’
Áp dụng luật giản ước đối với phép nhân các số tự nhiên ta có mn’ = m’n
suy ra
m
n
e
m'
n'
hay r = s.
Tương tự, ta chứng minh luật giản ước đối với phép nhân các số hữu tỉ không âm.
e) Giả sử

m
n
;
m'
n'
;
m''
n''
theo thứ tự là phân số đại diện của các số hữu tỉ r, s, t.
Ta có: r(s + t) =
+m(m'n'' n'm'')
n(n'n'')

rs + st =
mm'
nn'
+
mm''
nn''
=
+mm'n'' mm''n'
n(n'n'')
=
+m(m'n'' n'm'')
n(n'n'')
.
Từ đó suy ra r(s + t) = rs + rt.
f) Giả sử r là số hữu tỉ không âm khác 0 có phân số đại diện là
m
n

. Gọi r
–1
là số hữu tỉ có phân
số đại diện là
n
m
. Khi đó, r r
–1
= 1.
Giả sử số hữu tỉ r’ cũng có tính chất r r’ = 1.
Vậy ta có r r
–1
= r r’. Suy ra r
–1
= r’.
CÁC TẬP HỢP SỐ


125
g) Điều kiện cần: Giả sử r =
m
n
và s =
m'
n'
. Trong đó rs = 0.
Theo định nghĩa ta có
mm'
nn'
= 0. Suy ra mm’ = 0. Vậy m = 0 hoặc m’ = 0. Suy ra r = 0 hoặc s = 0.

Điều kiện đủ: hiển nhiên.

3.2.2. Phép trừ
Định nghĩa 2.2:
Cho hai số hữu tỉ r và s có phân số đại diện là
a
b
và
c
d
tương ứng. Ta gọi
hiệu của số hữu tỉ r trừ đi s là số hữu tỉ u (ký hiệu u = r – s) trong đó u là số hữu tỉ có phân số
đại diện là
−
ad cb
bd
; nếu ad – cb là số tự nhiên.
Hay C(
a
b
) – C(
c
d
) = C(
−
ad cb
bd
).
* Quy tắc cho tương ứng với mỗi cặp số hữu tỉ r và s với một số hữu tỉ u nói trên ta gọi là

phép trừ
các số hữu tỉ không âm. Trong đó r là
số bị trừ
, s là
số trừ
và u là
hiệu số.
Ví dụ 2.2:
Cho r =
9
11
; s =
2
7
. Ta có:
r – s =
×−×
×
9 7 2 11
11 7
=
41
77
trong khi đó s – r không thực hiện được
vì 2
×
11 – 9
×
7 không phải là số tự nhiên.
Định lí 2.2:

Phép trừ các số hữu tỉ không âm thoả mãn các tính chất sau:
a) r – s = u khi và chỉ khi u + s = r.
b) r(s –t) = rs – rt nếu một trong hai vế có nghĩa.
Chứng minh tương tự định lí 2.1
3.2.3. Phép chia
Định nghĩa 2.3:
Cho r và s là hai số hữu tỉ không âm, trong đó s
≠
0. Ta gọi thương của số
hữu tỉ r chia cho s là số hữu tỉ q, kí hiệu r : s = q, thoả mãn điều kiện q
×
s = r.
* Quy tắc cho tương ứng mỗi cặp số hữu tỉ r và s với mỗi số hữu tỉ q nói trên ta gọi là
phép
chia
các số hữu tỉ không âm
,
trong đó r là
số bị chia
, s là
số chia
và q là
thương số.
CÁC TẬP HỢP SỐ


126
Nhận xét:
Giả sử r, s
∈

Q
+
, s
≠
0. Theo định lí 2.1, tồn tại duy nhất số nghịch đảo s
–1
của s.
Đặt q = r
×
s
–1
, ta có qs = (rs
–1
)s = r(s
–1
s) = r.1 = r .
Như vậy, phép chia cho một số hữu tỉ khác 0 luôn thực hiện được. Áp dụng luật giản ước của
phép nhân ta suy ra thương đó là duy nhất.
Ví dụ 2.3:
Tìm thương của r chia s biết r =
20
9
và s =
4
15
.
Ta có s
–1
có phân số đại diện là

15
4
vậy r : s =
20
9

×

15
4
=
25
3
.
Nhận xét:
Từ các kết quả trên ta thấy:
1. Phép cộng và phép nhân các số hữu tỉ không âm luôn thực hiện được;
2. Phép trừ các số hữu tỉ không âm không phải bao giờ cũng thực hiện được;
3. Phép chia cho một số hữu tỉ khác 0 luôn thực hiện được.


HOẠT ĐỘNG 1. TÌM HIỂU PHÉP CỘNG VÀ PHÉP NHÂN CÁC SỐ HỮU TỈ
KHÔNG ÂM
NHIỆM VỤ
Sinh viên đọc thông tin cơ bản rồi thảo luận theo nhóm 3, 4 người để thực hiện các nhiệm vụ
nêu trong các hoạt động dưới đây. Sau đó mỗi nhóm cử đại diện trình bày. Cuối cùng giáo
viên tổng kết chung theo từng nội dung đã trình bày:
NHIỆM VỤ 1:
Phát biểu định nghĩa phép cộng, các thành phần của phép cộng và quy tắc thực hành phép
cộng các số hữu tỉ không âm.

NHIỆM VỤ 2:
Phát biểu định nghĩa phép nhân, các thành phần của phép nhân và quy tắc thực hành phép
nhân các số hữu tỉ không âm.
NHIỆM VỤ 3:
Chứng minh rằng với hai số hữu tỉ cho trước, chỉ có duy nhất một số hữu tỉ là tổng và một số
hữu tỉ là tích của chúng.
CÁC TẬP HỢP SỐ


127
NHIỆM VỤ 4:
Xác định điều kiện để phép cộng (phép nhân) hai số hữu tỉ thực hiện được.

ĐÁNH GIÁ
1. Cho r và s là hai số hữu tỉ có phân số đại diện theo thứ tự là
7
12
và
4
21
.
Tìm r + s và r
×
s.
2. Thực hiện các phép tính sau bằng cách nhanh nhất (giải thích cách làm):
a)
139
213
+
37

75
+
48
49
+
259
213
+
38
75
+
241
213
+
50
49

b)
2010
2011

×

2017
2012

×

2013
2017

×

1006
1005

×

2011
2003

c) (
2001
2002
×

2003
2004
–
2005
2006
)
×
(
2007
2008
×

107
105

–
49
73

×

52
31
)
×
(
84
60
×

75
29
–
17
29
×
210
34
).
3. Điền số thích hợp vào ô trống:
a) C(
13
35
) = C(
35

+
7
+
5
)
b) C(
11
16
) = C(
16
+
8
+
2
)
c) C(
11
21
) = C(
21
+
1
+
3
)

HOẠT ĐỘNG 2. TÌM HIỂU PHÉP TRỪ VÀ PHÉP CHIA CÁC SỐ HỮU TỈ
KHÔNG ÂM
NHIỆM VỤ
NHIỆM VỤ 1:

Phát biểu định nghĩa phép trừ, các thành phần của phép trừ và quy tắc thực hành phép trừ các
số hữu tỉ không âm.
NHIỆM VỤ 2:
CÁC TẬP HỢP SỐ


128
Phát biểu định nghĩa phép chia, các thành phần của phép chia và quy tắc thực hành phép chia
các số hữu tỉ không âm.
NHIỆM VỤ 3:
Phát biểu mối quan hệ giữa:
– Phép cộng và phép trừ;
– Phép nhân và phép chia các số hữu tỉ không âm.
NHIỆM VỤ 4:
Phát biểu và chứng minh tính chất phân phối của phép nhân đối với phép trừ các số hữu tỉ
không âm.
NHIỆM VỤ 5:
Xác định điều kiện để phép trừ (phép chia) hai số hữu tỉ không âm thực hiện được.

ĐÁNH GIÁ
1. Cho r và s là hai số hữu tỉ có phân số đại diện tương ứng là
7
12
và
4
21
.
Tìm r – s; s – r; r : s.
2. Thực hiện phép tính sau bằng cách nhanh nhất (giải thích cách làm)
(

541
641
×

713
711
+
1254
37
)
×
(
249
43
–
452
17
:
391
193
)
×
(
66
7
–
20
14
– 8).
3. Cho r, s, t

∈

Q
+
, t ≠ 0. Chứng minh rằng:
(rs) : t = (r : t)s = r(s : t)
Phát biểu tính chất tương ứng của phép chia phân số ở Tiểu học
4. Cho r, s, t
∈

Q
+
, với t ≠ 0. Chứng minh rằng:
(r + s) : t = r : t + s : t
Phát biểu tính chất tương ứng của phép chia phân số ở Tiểu học.

CÁC TẬP HỢP SỐ


129
TIỂU CHỦ ĐỀ 3.3.
QUAN HỆ THỨ TỰ TRONG TẬP SỐ HỮU TỈ KHÔNG ÂM
THÔNG TIN CƠ BẢN
Từ trường phổ thông ta đã biết
5
11
<
7
11
. Vậy có thể so sánh hai số hữu tỉ r = C(

5
11
) và s = C(
7
11
)
được không?
Cũng như vậy
3
5
=
21
35
;
4
7
=
20
35
mà
21
35
>
20
35
nên
3
5
>
4

7
.
Vậy có thể so sánh hai số hữu tỉ r = C(
3
5
) và s = C(
4
7
) được không?
Một cách tổng quát: Có thể thiết lập một quy tắc để so sánh hai số hữu tỉ r = C(
a
b
) và
s = C(
c
d
) được không?
Ta có định nghĩa dưới đây:
Cho r và s là hai số hữu tỉ không âm có phân số đại diện là
a
b
và
c
d
tương ứng. Ta nói rằng r
nhỏ hơn hoặc bằng s, kí hiệu là r
≤
s nếu: ad
≤
bc.

Ta nói r nhỏ hơn s, kí hiệu là r < s, nếu r
≤
s và r
≠
s.
Ta nói r lớn hơn hoặc bằng s (và viết r
≥
s) nếu s
≤
r; r lớn hơn s (và viết r > s) nếu s < r.
Các hệ thức r
≤
s hoặc r
≥
s ta gọi là bất đẳng thức, hệ thức r < s hoặc r > s ta gọi là bất đẳng
thức nghiêm ngặt.
Như vậy, việc so sánh các số hữu tỉ được đưa về so sánh các số tự nhiên (thông qua các phân
số đại diện của chúng).
Ví dụ 3.1:
C(
5
11
) < C(
7
11
) vì 5
×
11 < 7
×
11.

Ví dụ 3.2:
C(
3
5
) > C(
4
7
) vì 3
×
7 > 4
×
5.
Ví dụ 3.3
: C(
13
9
) > C(
23
19
) vì 13
×
19 = 247 > 207 = 23
×
9.
Giả sử
a
b
và
a'

b'
là hai phân số đại diện của cùng số hữu tỉ r;
c
d
và
c'
d'
là hai phân số đại diện
của cùng số hữu tỉ s, trong đó ad
≤
bc. Ta sẽ chứng minh được a’d’
≤
b’c’. Như vậy, việc so
CÁC TẬP HỢP SỐ


130
sánh hai số hữu tỉ không phụ thuộc vào việc lựa chọn các phân số đại diện của chúng.
Thật vậy, theo giả thiết ta có ab’ = a’b và cd’ = c’d. Giả sử a’d’ > c’b’, áp dụng tính chất của
tập số tự nhiên ta có:
a’bcd’ = ab’c’d và adc’b’ < bca’d’ (ta có thể xem c
≠
0).
Điều này là vô lí. Vậy ta có điều phải chứng minh.
Từ định nghĩa ta dễ dàng chỉ ra rằng quan hệ “
≤
” có tính chất phản xạ và phản đối xứng.
Giả sử các số hữu tỉ r, s, t có các phân số đại diện là
a
b

;
c
d
và
m
n
tương ứng. Giả sử r
≤
s và
s
≤
t. Ta có ad
≤
bc và cn
≤
md.
Nhân vế với vế của hai bất đẳng thức trên ta được adcn
≤
bcmd.
Suy ra an
≤
bm hay r
≤
s. Vậy quan hệ “
≤
” có tính chất bắc cầu.
Giả sử r và s là hai số hữu tỉ có phân số đại diện là
a
b
và

c
d
tương ứng. Từ tính toàn phần của
quan hệ thứ tự trong tập số tự nhiên, ta suy ra chỉ xảy ra một và chỉ một trong ba quan hệ
ad < bc hoặc ad = bc hoặc ad > bc. Điều đó chứng tỏ chỉ xảy ra một trong ba khả năng r < s
hoặc r = s hoặc r > s.
Từ các kết quả trên đây, ta suy ra tập
Q
+
cùng với quan hệ “
≤
” là tập sắp thứ tự toàn phần.
Định lí 3.1:

Quan hệ thứ tự trong tập số hữu tỉ không âm thoả mãn tính chất:
a) Tính đơn điệu: Nếu ta cộng hoặc nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số
hữu tỉ không âm thì bất đẳng thức không đổi chiều.
Hay r ≤ s
⇒
r + t ≤ s +t và rt ≤ st với mọi r, s, t
∈
Q
+
Đặc biệt, nếu r < s và t
≠
0 thì rt < st.
b) Tính trù mật: Xen giữa hai số hữu tỉ khác nhau tồn tại vô số các số hữu tỉ khác chúng.
c) Tiên đề Acsimet: Mọi số hữu tỉ đều bị chặn trên bởi một số tự nhiên.
Hay với mọi số hữu tỉ r, tồn tại số tự nhiên a sao cho r < a.

Chứng minh:
a) Giả sử
m
n
;
m'
n'
và
m''
n''
theo thứ tự là các phân số đại diện của các số hữu tỉ r, s và t, trong
đó r
≤
s. Theo định nghĩa ta có mn’
≤
m’n, áp dụng tính chất của tập số tự nhiên ta có:
mn’
≤
m’n
⇒
mn’n’’
≤
m’nn’’
⇒
mn’n’’ + nm’’n’
≤
m’nn’’ + nm’’n’
⇒
(mn’’ + nm’’) n’
≤

(m’n’’ + m’’n’)n
⇒
(mn’’ + nm’’)n’n’’
≤
(m’n’’ + m’’n’)nn’’
CÁC TẬP HỢP SỐ


131
Từ đó suy ra r + t
≤
s + t.
Tương tự, ta chứng minh được rt
≤
st.
Giả sử r < s và t ≠ 0 suy ra m’’ ≠ 0. Ta có mn’ < m’n
⇒
mn’m’’n’’ < m’nm’’n’’
⇒
rt < st.
b) Giả sử r < s. Đặt t
1
=
+r s
2
thế thì ta có r < t
1
< s.
Tương tự ta có t
2

; t
3

∈

Q
+
sao cho r < t
2
< t
1
< t
3
< s. Tiếp tục lập luận trên đây, ta được điều
phải chứng minh
c) Giả sử số hữu tỉ r có phân số đại diện là
m
n
. Theo nguyên lí Acsimet, trong tập số tự nhiên
tồn tại a
∈

N
sao cho m < na. Từ đó suy ra r < a.


HOẠT ĐỘNG. TÌM HIỂU TÍNH SẮP THỨ TỰ TRÊN TẬP SỐ HỮU TỈ
NHIỆM VỤ
Sinh viên tự đọc thông tin cơ bản. Bằng hệ thống câu hỏi phát vấn, giáo viên tổ chức cho sinh
viên trao đổi theo từng nhiệm vụ nêu trong các hoạt động dưới đây, rồi tổng kết chung cho cả lớp:

NHIỆM VỤ 1:
Phát biểu định nghĩa quan hệ thứ tự trong tập số hữu tỉ không âm. Xác định quy tắc thực hành
so sánh các số hữu tỉ.
NHIỆM VỤ 2:
So sánh các tính chất sắp thứ tự toàn phần, tính đơn điệu, tính trù mật và tính bị chặn trong
tập số hữu tỉ không âm với các tính chất tương ứng trong tập số tự nhiên.
ĐÁNH GIÁ
1.
Điền dấu >; < hoặc = vào ô trống:
a) C(
3131
7373
)
F
C(
31
73
)
b) C(
3131
7070
)
F
C(
31
73
)
CÁC TẬP HỢP SỐ

132
c) C(
123123
315315
)
F
C(
41
105
)
d) C(
123123
315315
)
F
C(
43
105
)
e) C(
343434
515151
)
F
C(
2
3
)
f) C(
363636

515151
)
F
C(
2
3
)
2.
Khoanh tròn vào chữ đặt trước câu trả lời đúng.
Cho hai số hữu tỉ r = C(
5
6
) và s = C(
5
7
) . Xen giữa hai số r và s:
A. Không có số hữu tỉ nào
B. Chỉ có một số hữu tỉ
C. Chỉ có năm số hữu tỉ
D. Có vô số số hữu tỉ
Hãy viết năm số hữu tỉ nằm giữa chúng.
3.
Điền chữ thích hợp vào chỗ chấm
a) Khi cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . thì bất đẳng thức không đổi chiều
b) Khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức nghiêm ngặt với cùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . thì bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c) Khi cộng (hoặc nhân) hai vế của một bất đẳng thức với cùng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . thì ta được. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.
Cho 0 < r < s. Điền dấu >; < hoặc = vào ô trống
1
r

F

1
s
.

CÁC TẬP HỢP SỐ


133
TIỂU CHỦ ĐỀ 3.4.
TẬP SỐ HỮU TỈ KHÔNG ÂM VÀ PHÂN SỐ
TRONG CHƯƠNG TRÌNH MÔN TOÁN Ở TIỂU HỌC

THÔNG TIN CƠ BẢN
I. CHƯƠNG TRÌNH MÔN TOÁN TIỂU HỌC (CTTTH) ĐƯỢC TẠO THÀNH TỪ NĂM
MẠCH KIẾN THỨC
+ Số học;
+ Đại lượng và các phép đo đại lượng;
+ Một số yếu tố hình học;
+ Một số yếu tố thống kê;
+ Giải toán có lời văn.
Trong đó, mạch số học là nội dung cốt lõi của chương trình. Mạch số học bao gồm bốn nội
dung lớn: số học các số tự nhiên, số học các phân số, số học các số thập phân và một s

ố yếu tố
đại số. Như vậy, số học các phân số là một trong bốn nội dung cốt lõi của môn Toán Tiểu học,
nó được xem như chiếc cầu nối giữa kiến thức toán học trong nhà trường và ứng dụng của nó
trong đời sống, lao động sản xuất và khoa học kĩ thuật.
II. NỘI DUNG DẠY PHÂN SỐ Ở TRƯỜNG TIỂU HỌC
Phân số được trình bày trong hai lớp cuối của bậc Tiểu học với các nội dung:
+ Hình thành khái niệm phân số;
+ So sánh các phân số;
+ Bốn phép toán về phân số: gồm hình thành ý nghĩa phép toán, giới thiệu tính chất và
quy tắc thực hành bốn phép tính, rèn kĩ năng thực hành tính toán về phân số;
+ Giải toán về phân số.
3.4.1. Hình thành khái niệm phân số
Thông qua thao tác chia một quả cam thành 4 phần bằng nhau, lấy đi ba phần, hình thành cho
học sinh khái niệm phân số
a
b
, trong đó mẫu số b (là số tự nhiên khác 0) chỉ số phần đơn vị
được chia ra và tử số a (là một số tự nhiên) chỉ số phần được lấy đi.
Bằng con đường này, chỉ hình thành khái niệm của những phân số nhỏ hơn 1. Bằng cách bổ sung
thêm bài toán: “Chia đều 5 quả cam cho 4 người. Tìm phần cam của mỗi người”. Hình thành cho
học sinh khái niệm: phân số
a
b
còn được hiểu là thương của phép chia số tự nhiên a cho b.
CÁC TẬP HỢP SỐ


134
Cuối cùng ta cho học sinh rút ra nhận xét:
– Mỗi số tự nhiên a có thể viết thành một phân số (mà bản thân nó không phải là phân số) có

mẫu số bằng 1.
– Phân số có tử số nhỏ hơn mẫu số thì nhỏ hơn 1.
– Phân số có tử số lớn hơn mẫu số thì lớn hơn 1.
3.4.2. So sánh phân số
Khi so sánh phân số ta hướng tới hai tình huống:
– Kết luận chúng bằng nhau. Ở Tiểu học gọi là rút gọn phân số.
– Kết luận phân số này lớn hơn hoặc nhỏ hơn phân số kia. Ở Tiểu học gọi là so sánh phân số.
Để đi đến kết luận trong tình huống thứ nhất, học sinh vận dụng quy tắc:
* Nếu ta nhân cả tử và mẫu số của một phân số với cùng một số tự nhiên khác 0 thì được một
phân số bằng phân số đã cho.
* Nếu ta chia cả tử và mẫu số của một phân số cho cùng một số tự nhiên khác 0 thì được một
phân số bằng phân số đã cho.
Khái niệm “hai phân số bằng nhau” được hình thành thông qua các mô hình trực quan. Trong
Tiểu chủ đề 3.1 ta xây dựng khái niệm hai phân số tương đương thay cho hai phân số bằng
nhau (tại sao vậy?)
Để đi đến kết luận trong tình huống thứ hai, học sinh vận dụng quy tắc:
* Trong hai phân số có cùng mẫu số, phân số nào có tử số lớn hơn sẽ lớn hơn. (1)
* Muốn so sánh hai phân số không cùng mẫu số, ta quy đồng mẫu số rồi vận dụng quy tắc (1)
3.4.3. Các phép toán về phân số
Khi dạy bốn phép toán về phân số, sách giáo khoa Toán 4 đều sử dụng cách lựa chọn thống
nhất: từ một bài toán thực tế, hình thành cho học sinh ý nghĩa phép toán. Qua phân tích trên
các thao tác đối với bài toán nêu trên, rút ra cho học sinh quy tắc thực hành phép tính.
Chẳng hạn, xuất phát từ bài toán: “Có một băng giấy màu, bạn Nam lấy
3
8
băng giấy, bạn
Tùng lấy
2
8
băng giấy. Hỏi cả hai bạn đã lấy bao nhiêu phần của băng giấy?”

Sách giáo khoa đã dẫn dắt học sinh đến ý nghĩa của phép cộng phân số. Từ phân tích trong lời
giải bài toán, rút ra cho học sinh quy tắc:
“Muốn cộng hai phân số có cùng mẫu số, ta cộng
hai tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số”.
Hoặc xuất phát từ bài toán: “Hình chữ nhật ABCD có diện tích
7
15
m
2
, chiều rộng là
2
3
m.
Tính chiều dài hình đó”.
CÁC TẬP HỢP SỐ


135
Sách giáo khoa dẫn học sinh đến với phép chia phân số. Từ phân tích trong lời giải bài toán
rút ra cho học sinh quy tắc:
“Muốn chia hai phân số, ta lấy phân số thứ nhất nhân với phân
số thứ hai đảo ngược”.

Vì trong tập số tự nhiên học sinh đã được học các tính chất và quy tắc thực hành 4 phép tính
(giao hoán, cộng một tổng với một số, nhân một số với một tổng,...) một cách hệ thống, cho
nên trong tập phân số, sách giáo khoa dành cho học sinh tự rút ra những tính chất này thông
qua những ví dụ cụ thể. Chẳng hạn:
– Khi nhân một tích hai phân số với phân số thứ ba, ta có thể nhân phân số thứ nhất với tích
của hai phân số còn lại.
– Khi nhân một tổng hai phân số với phân số thứ ba, ta có thể nhân từng phân số của tổng

với phân số thứ ba rồi cộng kết quả lại.
3.4.4. Giải toán về phân số
Các bài toán về phân số có thể phân ra thành mấy dạng cơ bản:
– Các bài toán về cấu tạo phân số (tìm một phân số khi biết mối quan hệ giữa tử số và mẫu số
của phân số đó).
– Các bài toán về so sánh phân số (bao gồm rút gọn phân số và sắp xếp các phân số theo thứ
tự cho trước).
– Các bài toán về rèn kĩ năng thực hành bốn phép tính về phân số (tính giá trị biểu thức bằng
cách hợp lí nh
ất, tìm thành phần chưa biết của phép tính,...).
– Giải toán có văn về phân số (bao gồm các bài toán có lời văn với các số liệu cho trong đề
bài là phân số).
Sau đây, ta sẽ đề cập tới một số bài toán:
Dạng 1: Các bài toán về cấu tạo phân số
Khi giải các bài toán có dạng này, ta có thể đưa về dạng toán có văn điển hình (tìm hai số khi
biết tổng và tỉ, hiệu và tỉ, tổng và hiệu) hoặc dùng phương pháp thử chọn. Ngoài ra, có thể bổ
sung thêm một số tính chất sau:
Tính chất 4.1:
Khi cộng thêm vào cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số tự nhiên thì
hiệu giữa tử và mẫu của phân số đó không thay đổi.
Tính chất 4.2:
Khi bớt đi ở tử và mẫu của một phân số với cùng một số tự nhiên thì hiệu giữa
tử và mẫu của phân số đó không thay đổi.
Tính chất 4.3:
Khi thêm vào (hoặc bớt đi) ở tử số, đồng thời bớt đi (hoặc thêm vào) mẫu
số của một phân số cùng một số tự nhiên thì tổng của tử số và mẫu số của phân số đó
không thay đổi.
Ví dụ 4.1:
CÁC TẬP HỢP SỐ

136
Tổng của tử số và mẫu số của một phân số nhỏ hơn 1 bằng 10. Nếu chia cả tử và mẫu cho 2 ta
được phân số tối giản. Tìm phân số đó.
Giải:
Ta có bảng phân tích 10 thành tổng của các cặp số sau:
0 1 2 3 4 5
10
10 9 8 7 6 5
Các phân số nhỏ hơn 1 có tổng của tử và mẫu bằng 10 là:
0
10
;
1
9
;
2
8
;
3
7
;
4
6

Bằng phương pháp thử chọn, ta nhận được hai phân số cần tìm là
2
8
và
4

6
.
Ví dụ 4.2:
Tích của tử số và mẫu số của một phân số lớn hơn 1 bằng 315. Tử số lớn hơn mẫu số 6 đơn
vị. Tìm phân số đó.
Giải:
Ta có bảng phân tích số 315 thành tích của các cặp số sau


Các phân số lớn hơn 1 có tích của tử và mẫu bằng 315 là:
315
1
;
105
3
;
63
5
;
45
7
;
35
9
;
21
15

Bằng phương pháp thử chọn, ta nhận được phân số cần tìm là
21

15
.
Ví dụ 4.3:
Tổng của tử số và mẫu số của một phân số bằng 156. Sau khi rút gọn ta được phân số
5
7
. Tìm
phân số đó.
Giải:
Theo đề bài ta có sơ đồ:
Tử số
Mẫu số
1 3 5 7 9 15
315
315 105 63 45 35 21
?
?
156
CÁC TẬP HỢP SỐ


137
Tử số của phân số cần tìm là
156 : (5 + 7)
×
5 = 65.
Mẫu số của phân số cần tìm là
156 – 65 = 91.
Phân số cần tìm là
65

.
91

Ví dụ 4.4:
Khi cộng thêm vào cả tử và mẫu của phân số
3
7
với cùng một số tự nhiên, ta được một phân
số bằng
101
103
. Tìm số tự nhiên đó.
Giải: Hiệu giữa tử và mẫu của phân số
3
7
là: 7 – 3 = 4.
Theo tính chất 4.1 ta có sơ đồ sau:
Tử số mới
Mẫu số mới
Tử số của phân số mới là
4: (103 – 101)
×
101 = 202.
Số tự nhiên cần tìm là
202 – 3 = 199.
Ví dụ 4.5:
Khi bớt đi ở cả tử và mẫu của phân số
73
49
với cùng một số tự nhiên, ta nhận được một phân

số bằng
7
4
. Tìm số tự nhiên đó.
Giải:
Hiệu giữa tử số và mẫu số của phân số
73
49
là: 73 – 49 = 24.
Theo tính chất 4.2 ta có sơ đồ:
Tử số mới
Mẫu số mới
4
103 phần
?
101 phần
24