Không gian phân nhớ và một vài tính chất

❚r➢ê♥❣ ➤➵✐ ❤ä❝ ❚➞② ◆❣✉②➟♥
❑❤♦❛ ❑❤♦❛ ❤ä❝ tù ♥❤✐➟♥ ✈➭ ❝➠♥❣ ♥❣❤Ö
❇é ♠➠♥ ❚♦➳♥
▲➟ ◆❣ä❝ ❙➡♥
❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♣❤➞♥ t❤í ✈➭
▼ét ✈➭✐ tÝ♥❤ ❝❤✃t
◆❣➭♥❤✿ ❙➢ ♣❤➵♠ ❚♦➳♥
❇▼❚ ✲ ✷✵✶✶

❚r➢ê♥❣ ➤➵✐ ❤ä❝ ❚➞② ◆❣✉②➟♥
❑❤♦❛ ❑❤♦❛ ❤ä❝ tù ♥❤✐➟♥ ✈➭ ❝➠♥❣ ♥❣❤Ö
❇é ♠➠♥ ❚♦➳♥
▲➟ ◆❣ä❝ ❙➡♥
❑❤ã❛ ❧✉❐♥ tèt ♥❣❤✐Ö♣
❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♣❤➞♥ t❤í ✈➭
▼ét ✈➭✐ tÝ♥❤ ❝❤✃t
●❱❉❍✿ ❚s✳ ◆❣➠ ➜×♥❤ ◗✉è❝
❇▼❚ ✲ ✷✵✶✶
▲ê✐ ❝➯♠ ➡♥
➜Ó ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❧✉❐♥ ✈➝♥ tèt ♥❣❤✐Ö♣ ♥➭②✱ t➠✐ ➤➲ ♥❤❐♥ ➤➢î❝ r✃t ♥❤✐Ò✉ sù
q✉❛♥ t➞♠ tõ t❤➬② ❝➠✱ ❣✐❛ ➤×♥❤ ❝ò♥❣ ♥❤➢ ❜➵♥ ❜❒✳
❱í✐ t×♥❤ ❝➯♠ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ✈➭ ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ s➞✉ s➽❝ t➠✐ ①✐♥ ❝➯♠ ➡♥ ❚❙✳ ◆❣➠
➜×♥❤ ◗✉è❝✱ ♥❣➢ê✐ ➤➲ ❞➭♥❤ r✃t ♥❤✐Ò✉ t❤ê✐ ❣✐❛♥ q✉ý ❜➳✉ ✈➭ t➞♠ ❤✉②Õt ➤Ó ❣✐ó♣
➤ì t➠✐ tr♦♥❣ q✉➳ tr×♥❤ ❧➭♠ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳
❚➠✐ ①✐♥ ❝➯♠ ➡♥ t♦➭♥ t❤Ó t❤➬② ❝➠ ❣✐➳♦ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❚➞② ◆❣✉②➟♥ ✲ ♥❤÷♥❣
♥❣➢ê✐ ❜➵♥ ➤➢ê♥❣ tr➟♥ ❤➭♥❤ tr×♥❤ ➤✐ t×♠ tr✐ t❤ø❝✱ ♥❤÷♥❣ ♥❣➢ê✐ ➤➲ ♥❤✐Öt t×♥❤
❞➵② ❞ç ✈➭ tr✉②Ò♥ ➤➵t ❝❤♦ t➠✐ ♥❤÷♥❣ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ q✉ý ❜➳✉ tr♦♥❣ s✉èt q✉➳ tr×♥❤
❤ä❝ t❐♣ t➵✐ tr➢ê♥❣✳
❳✐♥ ❝➯♠ ➡♥ t❐♣ t❤Ó ❧í♣ ❙➢ ♣❤➵♠ ❚♦➳♥ ❑✷✵✵✼ ➤➲ t➵♦ ♠ä✐ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ tèt
♥❤✃t ❝❤♦ t➠✐ tr♦♥❣ q✉➳ tr×♥❤ ❤ä❝ t❐♣ ✈➭ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✳

❈✉è✐ ❝ï♥❣ t➠✐ ①✐♥ ❝➯♠ ➡♥ ❜è ♠Ñ ✈➭ ❝➳❝ ❡♠ t➠✐ ➤➲ ❧✉➠♥ ➤é♥❣ ✈✐➟♥✱ ❣✐ó♣
➤ì t➠✐ tr♦♥❣ ♥❤÷♥❣ ♥➝♠ t❤➳♥❣ ❤ä❝ ➤➵✐ ❤ä❝ ❝ò♥❣ ♥❤➢ tr♦♥❣ q✉➳ tr×♥❤ t➠✐ t❤ù❝
❤✐Ö♥ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✳
❚➳❝ ❣✐➯
✷
▼ô❝ ❧ô❝
❚r❛♥❣ ♣❤ô ❜×❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶
▲ê✐ ❝➯♠ ➡♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷
▼ô❝ ❧ô❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸
❉❛♥❤ s➳❝❤ ❤×♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹
▼ë ➤➬✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺
✵✳✶ ❚Ý♥❤ ❝✃♣ t❤✐Õt✱ ♠ô❝ t✐➟✉ ❝ñ❛ ➤Ò t➭✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺
✵✳✶✳✶ ❚Ý♥❤ ❝✃♣ t❤✐Õt ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺
✵✳✶✳✷ ▼ô❝ t✐➟✉ ❝ñ❛ ➤Ò t➭✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺
✵✳✷ ❚æ♥❣ q✉❛♥ t➭✐ ❧✐Ö✉ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺
✵✳✸ ❈➳❝❤ t✐Õ♣ ❝❐♥✱ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉✱ ♣❤➵♠ ✈✐ ♥❣❤✐➟♥
❝ø✉✱ ♥é✐ ❞✉♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻
✵✳✸✳✶ ❈➳❝ t✐Õ♣ ❝❐♥✱ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻
✵✳✸✳✷ P❤➵♠ ✈✐ ✈➭ ♥é✐ ❞✉♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼
❈❤➢➡♥❣ ✶ ✿ ❑✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤✉➮♥ ❜Þ ✽
✶✳✶ ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ t➠♣➠ ✈➭ T
2
− ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽
✶✳✷ ➳♥❤ ①➵ ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ t➠♣➠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵
✶✳✸ ▲ý t❤✉②Õt ♣❤➵♠ trï ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷
✶✳✹ ➜❛ t➵♣ ❦❤➯ ✈✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹
✶✳✺ ❈❲✲♣❤ø❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽
❈❤➢➡♥❣ ✷ ✿ ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♣❤➞♥ t❤í ✈➭ ♠ét ✈➭✐ tÝ♥❤ ❝❤✃t ✷✵
✷✳✶ ❑❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♣❤➞♥ t❤í ✭♣❤➞♥ t❤í✮ ✈➭ ♠ét sè ✈Ý ❞ô ✷✵
✷✳✷ ◆❤➳t ❝➽t ❝ñ❛ ♣❤➞♥ t❤í ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✸

✷✳✸ ❈✃✉ ①➵ ❝ñ❛ ♣❤➞♥ t❤í ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹
✷✳✹ ❚Ý❝❤ ♣❤➞♥ t❤í ✈➭ t❤í tÝ❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✻
✷✳✺ ❙ù ❤➵♥ ❝❤Õ ✭t❤✉ ❤Ñ♣✮ ❝ñ❛ ♣❤➞♥ t❤í✱ ♣❤➞♥ t❤í ❝➯♠ s✐♥❤ ✳ ✳ ✷✾
✷✳✻ ❚Ý♥❤ ❝❤✃t ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ❝ñ❛ ♣❤➞♥ t❤í ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✺
✷✳✼ ❙ù ♠ë ré♥❣ ❝ñ❛ ♥❤➳t ❝➽t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✽
❑Õt ❧✉❐♥ ✸✾
❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✹✵
✸
❉❛♥❤ s➳❝❤ ❤×♥❤
✶✳✶ ❍×♥❤ ✶✿ ❇➯♥ ➤å ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹
✶✳✷ ❍×♥❤ ✷✿ ❊❧✐♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺
✶✳✸ ❍×♥❤ ✸✿ ❇➯♥ ➤å ♣❤ï ❤î♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻
✶✳✹ ❍×♥❤ ✹✿ ❊❧✐♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻
✷✳✶ ❍×♥❤ ✺✿ P❤➞♥ t❤í ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵
✷✳✷ ❍×♥❤ ✻✿ ❉➯✐ ▼♦❜✐✉s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✶
✷✳✸ ❍×♥❤ ✼✿ P❤➞♥ t❤í t✐Õ♣ ①ó❝✱ ♣❤➞♥ t❤í ❝❤✉➮♥ t➽❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✷
✷✳✹ ❍×♥❤ ✽✿ ◆❤➳t ❝➽t ♣❤➞♥ t❤í ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✸
✹
▼ë ➤➬✉
✵✳✶ ❚Ý♥❤ ❝✃♣ t❤✐Õt✱ ♠ô❝ t✐➟✉ ❝ñ❛ ➤Ò t➭✐
✵✳✶✳✶ ❚Ý♥❤ ❝✃♣ t❤✐Õt
P❤➞♥ t❤í ✈❡❝t➡ ❧➭ ❝➠♥❣ ❝ô q✉❛♥ trä♥❣ tr♦♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❤×♥❤ ❤ä❝✲t➠♣➠✳
➜Ó ❜➢í❝ ✈➭♦ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❍×♥❤ ❤ä❝ t❤× ❜➽t ❜✉é❝ ♥❤➭ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♣❤➯✐ ♥➽♠
✈÷♥❣ ♥❤÷♥❣ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ✈➭ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝ñ❛ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♣❤➞♥ t❤í ✈➭ ♣❤➞♥ t❤í
✈❡❝t➡✳ ❑❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♣❤➞♥ t❤í ❧➬♥ ➤➬✉ t✐➟♥ ①✉✃t ❤✐Ö♥ ❦❤♦➯♥❣ ♥❤÷♥❣
♥➝♠ ✶✾✷✷ ✲ ✶✾✷✺ tr♦♥❣ ❝➳❝ ❝➠♥❣ tr×♥❤ ❝ñ❛ ❊✳❈❛rt❛♥ ✈Ò ❧Ý t❤✉②Õt ❧✐➟♥ t❤➠♥❣
❬✷❪✳ ◆❤÷♥❣ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✈➭ ❦Õt q✉➯ ➤➬✉ t✐➟♥ ✈Ò ♣❤➞♥ t❤í ➤➢î❝ ❍✳❲❤✐t♥❡②✱
❍✳❍♦♣❢ ✈➭ ❊✳❙t✐❡❢❡❧ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ tr♦♥❣ ❝➳❝ ❝➠♥❣ tr×♥❤ ❝ñ❛ ♠×♥❤ tr♦♥❣ ❦❤♦➯♥❣
✶✾✸✺ ✲ ✶✾✹✵ ❬✷❪✳ ❑Ó tõ ➤ã ❧Ý t❤✉②Õt ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♣❤➞♥ t❤í trë t❤➭♥❤ ♠ét
tr♦♥❣ ♥❤÷♥❣ ➤è✐ t➢î♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ q✉❛♥ trä♥❣ ❝ñ❛ t➠♣➠ ➤➵✐ sè✱ ✈➭ ❧➭ ♠ét

❝➠♥❣ ❝ô q✉❛♥ trä♥❣ tr♦♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❤×♥❤ ❤ä❝ ✈✐ ♣❤➞♥✳
➜Ó t❐♣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ✈➭ ❜æ s✉♥❣ ❝➳❝ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❜❛♥ ➤➬✉ ✈Ò ❝❤✉②➟♥ ♥❣➭♥❤
❤×♥❤ ❤ä❝ t➠✐ ➤➲ ❝❤ä♥ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ➤Ò t➭✐✿ ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♣❤➞♥ t❤í ✈➭ ♠ét ✈➭✐
tÝ♥❤ ❝❤✃t✳
✵✳✶✳✷ ▼ô❝ t✐➟✉ ❝ñ❛ ➤Ò t➭✐
✰ ➜Ò t➭✐ tr×♥❤ ❜➭② ❝➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❜❛♥ ➤➬✉ ✈Ò ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♣❤➞♥ t❤í✱ ♥➟✉
♠ét sè ✈Ý ❞ô ✈Ò ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♣❤➞♥ t❤í✳
✰ ❚r×♥❤ ❜➭② ❝➳❝❤ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ♠ét sè tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝ñ❛ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♣❤➞♥ t❤í✳
✵✳✷ ❚æ♥❣ q✉❛♥ t➭✐ ❧✐Ö✉ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉
❑❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♣❤➞♥ t❤í ❧➬♥ ➤➬✉ t✐➟♥ ①✉✃t ❤✐Ö♥ ❦❤♦➯♥❣ ♥❤÷♥❣
♥➝♠ ✶✾✷✷ ✲ ✶✾✷✺ tr♦♥❣ ❝➳❝ ❝➠♥❣ tr×♥❤ ❝ñ❛ ❊✳❈❛rt❛♥ ✈Ò ❧Ý t❤✉②Õt ❧✐➟♥ t❤➠♥❣
❬✷❪✳ ◆❤÷♥❣ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✈➭ ❦Õt q✉➯ ➤➬✉ t✐➟♥ ✈Ò ♣❤➞♥ t❤í ➤➢î❝ ❍✳❲❤✐t♥❡②✱
✺
✻
❍✳❍♦♣❢ ✈➭ ❊✳❙t✐❡❢❡❧ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ tr♦♥❣ ❝➳❝ ❝➠♥❣ tr×♥❤ ❝ñ❛ ♠×♥❤ tr♦♥❣ ❦❤♦➯♥❣
✶✾✸✺ ✲ ✶✾✹✵ ❬✷❪✳ ❑Ó tõ ➤ã ❧Ý t❤✉②Õt ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♣❤➞♥ t❤í trë t❤➭♥❤ ♠ét tr♦♥❣
♥❤÷♥❣ ➤è✐ t➢î♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ q✉❛♥ trä♥❣ ❝ñ❛ t➠♣➠ ➤➵✐ sè✱ ✈➭ ❧➭ ♠ét ❝➠♥❣ ❝ô
q✉❛♥ trä♥❣ tr♦♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❤×♥❤ ❤ä❝ ✈✐ ♣❤➞♥✳ ◆➝♠ ✶✾✺✵✱ ❙t❡❡♥r♦❞ ➤➲ ❤Ö
t❤è♥❣ ❧➵✐ ❝➳❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ✈Ò ♣❤➞♥ t❤í tr♦♥❣ ❣✐❛✐ ➤♦➵♥ ➤ã ❬✹❪✳ ◆➝♠ ✶✾✺✺✱
▼✐❧♥♦r ➤➢❛ r❛ ❝✃✉ tró❝ ❝❤✉♥❣ ❝ñ❛ ♣❤➞♥ t❤í ❝❤♦ ♠ét ♥❤ã♠ t➠♣➠ ❜✃t ❦× ❬✹❪✳
❚õ ✶✾✺✵✲✶✾✺✺✱ ❍✐r③❡❜r✉❝❤ ➤➲ ❧➭♠ s➳♥❣ tá ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❧í♣ ➤➷❝ tr➢♥❣ ❝ñ❛ ♣❤➞♥
t❤í ✈➭ sö ❞ô♥❣ ♥ã ➤Ó ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➤Þ♥❤ ❧Ý ❘✐❡♠❛♥♥✲❘♦❝❤ ❝❤♦ ➤➵✐ sè ➤❛ t➵♣
❬✹❪✳ ❱✃♥ ➤Ò ➤ã ➤➲ ➤➢î❝ ①✉✃t ❜➯♥ tr♦♥❣ ❝✉è♥ ❊r❣❡❜♥✐ss❡ ▼♦♥♦❣r❛♣❤ ❝ñ❛
➠♥❣ t❛✳ ◆❤÷♥❣ ♥➝♠ ➤➬✉ t❤❐♣ ❦û ✶✾✻✵ ●r♦t❤❡♥❞✐❡❝❦✱ ❆t✐②❛❤ ✈➭ ❍✐r③❡❜r✉❝❤
➤➲ ♣❤➳t tr✐Ó♥ ❑ ✲❧ý t❤✉②Õt✱ ♠ét ❧ý t❤✉②Õt ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ò✉ tæ♥❣ q✉➳t ➤➢î❝ ①➳❝
➤Þ♥❤ ❜ë✐ ❝➳❝ ❧í♣ æ♥ ➤Þ♥❤ ❝ñ❛ ♣❤➞♥ t❤í ✈❡❝t➡✳ ➜Þ♥❤ ❧Ý t✉➬♥ ❤♦➭♥ ❇♦tt ➤➲
➤➢î❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ♥❤➢ ♠ét ➤Þ♥❤ ❧Ý tr♦♥❣ ❑ ✲ ❧ý t❤✉②Õt ✈➭ ❆❞❛♠s ➤➲ ❣✐➯✐
q✉②Õt ✈✃♥ ➤Ò tr➢ê♥❣ ✈❡❝t➡ tr➟♥ q✉➯ ❝➬✉ ❜➺♥❣ ❝➳❝❤ sö ❞ô♥❣ ❑ ✲❧ý t❤✉②Õt ❬✹❪✳
✵✳✸ ❈➳❝❤ t✐Õ♣ ❝❐♥✱ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉✱ ♣❤➵♠ ✈✐ ♥❣❤✐➟♥
❝ø✉✱ ♥é✐ ❞✉♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉

✵✳✸✳✶ ❈➳❝ t✐Õ♣ ❝❐♥✱ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉
✰ ❙➢✉ t➬♠ t➭✐ ❧✐Ö✉ tr♦♥❣ ✈➭ ♥❣♦➭✐ ♥➢í❝ ❝ã ❧✐➟♥ q✉❛♥ ➤Õ♥ ➤Ò t➭✐ ë ❝➳❝ t❤➢
✈✐Ö♥✱ ♠✉❛ s➳❝❤ ❜➳♦ ë ❝➳❝ ♥❤➭ ①✉✃t ❜➯♥✱ ❝➳❝ t➵♣ ❝❤Ý tr➟♥ ✐♥t❡r♥❡t✳✳✳
✰ ◆❣❤✐➟♥ ❝ø✉ t➭✐ ❧✐Ö✉✱ t×♠ ❝➳❝❤ tr×♥❤ ❜➭② ❝➳❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❦❤➳❝ ❝➳❝ tÝ♥❤
❝❤✃t ➤➲ ❝ã ❤♦➷❝ ❝❤➢❛ t❤✃② ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ë ➤➞✉✳
✰ ❙ö ❞ô♥❣ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ t♦➳♥ ❤ä❝✱ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ♥❣❤✐➟♥
❝ø✉ ❧ý t❤✉②Õt✳
✼
✵✳✸✳✷ P❤➵♠ ✈✐ ✈➭ ♥é✐ ❞✉♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉
✰ ❚r×♥❤ ❜➭② ❝➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❝ñ❛ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♣❤➞♥ t❤í ✭➤Ò t➭✐ ❝❤Ø ①Ðt ♣❤➞♥
t❤í tæ♥❣ q✉➳t✮ ✈➭ ♠ét sè tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝ñ❛ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♣❤➞♥ t❤í✳
✰ ❚r×♥❤ ❜➭② ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❦❤➳❝ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝ñ❛ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♣❤➞♥ t❤í✳

ế tứ ị
t T
2

ị ĩ r t ợ X ọ T t ủ X
ợ ọ ột t ế tỏ ề ệ s
T
1
, X T
T
2
ế G

T , I tì

I
G

T
T
3
ế G
1
, G
2
T tì G
1
G
2
T
ó (X, T ) ợ ọ ột t t ợ tộ T
ợ ọ t ở tr X ố ớ t T T ở
í ụ r
sử X ột t tù ý T = {X, } ó T ột t tr X
ó ợ ọ t t tr X (X, T ) ợ ọ t
t
sử X = R í ệ
T =


iI
(a
i
, b
i
)|a
i

, b
i
R, a
i
b
i

ó T ột t tr X ợ ọ t t tờ
t tự tr X
X ột t t ì í ệ T = P(X)t tt t ủ
X ó T ột t tr X (X, T ) ợ ọ
t rờ r


ị ĩ r t (X, T ), A X
U ủ t X ợ ọ ột ủ t A ế tr
U ó ột t ở ứ A ể ột ủ tử x X
ủ t {x}
ị ĩ r A ủ t X ợ ọ
t ó ế ù ủ A tr X t ở
í ụ r
ét t t X ó t ó t X ồ tờ ừ
t ó ừ t ở
ét R ớ t tự tì ỗ (a, b) = {x : a < x < b}
ột t ở ỗ [a, b] = {x : a x b} ột t ó
ị ĩ r (X, T ) ột t Y X
ó ọ U = {U Y : U = Y V, V T } ột t tr Y
U ợ ọ t s ở t T tr Y (Y, U) ợ
ọ ủ t (X, T )
ị ĩ r t X ợ ọ T

2

sr ế ớ ọ x, y X x = y tồ t
U
x
ủ x V
y
ủ y s U
x
V
y
=
í ụ
ọ tr ề sr
t sử X ột tr t ì a, b X, a = b
ó t ó d(a, b) = > 0
ét ì ở G = S(a,

3
), H = S(b,

3
) ứ
G H = t ế tồ t p G H tì t ó d(a, p) <

3

d(b, p) <

3

t t ó
d(a, b) d(a, p) + d(b, p)
r


3
+

3
=
2
3
( í )
X sr
r t rờ r sr
tụ tr t
ị ĩ r (X, T ), (Y, U) t
ột f : (X, T ) (Y, U) ợ ọ tụ t ể x
0
X ế
ớ ỗ W ủ f(x
0
) tồ t V ủ x
0
s f(V ) W
ế f tụ ớ ọ x X tì f ợ ọ tụ tr
ị í r X, Y t f : X Y
ó f tụ t x X ỉ ớ ỗ W ủ

f(x) tì f
1
(W ) ủ x
ứ r sử f : X Y tụ t x X W
ột ủ f(x) ó f tụ t x tồ t V ủ x
s f(V ) W s r V f
1
(W ) ó f
1
(W ) ột ủ
x
ợ sử W ột ủ f(x) tết f
1
(W )
ột ủ x
t V = f
1
(W ) ó V ột ủ x f(V ) W f
tụ t x
ị í r (X, T ), (Y, U) t
f : X Y ó ệ ề s t
f tụ

ị ủ ỗ t ở t ở
ị ủ ỗ t ó t ó
A X f(A) f(A)
B Y f
1
(B
0

) (f
1
(B))
0

ứ r
(a) (b) sử G ột t ở tr Y G = ớ ỗ x f
1
(G)
t ó f(x) G f tụ tồ t V ủ x s f(V )
G x V f
1
(G) ó f
1
(G) ột ủ x f
1
(G)
ủ ọ ể tộ ó f
1
(G) t ở
(b) (c) ét F ột t ó tr Y ó Y \F t ở t (b) t
ó f
1
(Y \F ) = X\f
1
(F ) t ở ó f
1
(F ) t ó
(c) (d) ớ ọ A X t (c) t ó f
1

(f(A)) t ó t
f(A)
f(A) A f
1
(f(A)) ó f(A) f(A)
(d) (e) ớ ọ B Y t (d) t ó
f(f
1
(B)) f(f
1
(B)) B
r f
1
(B) f
1
(B) ó B Y t ó
X\f
1
(B) = f
1
(Y \B) f
1
(Y \B)
r
f
1
(B
0
) = X\f
1

(Y \B) X\X\f
1
(B) = (f
1
(B))
0
(e) (a) ớ ỗ x X ọ W ở ủ f(x) tết t
ó
x f
1
(W ) = f
1
(W
0
) (f
1
(W ))
0

t V = (f
1
(W ))
0
t ó V ột ủ x f(V ) W ó f
tụ t x s r f tụ tr X
ị í r (X, T
X
), (Y, T
Y
), (Z, T

Z
)
t f : X Y, g : Y Z tụ ó g

f : X
Z tụ
ứ r ớ ọ G T
Z
g tụ g
1
(G) T
Y

f tụ f
1
(g
1
(G)) T
X
g

f tụ
ị ĩ r X, Y t
f : X Y ợ ọ ột é ồ ế f ột s f
tụ f
1
tụ
ó X Y ợ ọ ồ ớ
t t
ị ĩ r X, Y t f : X

Y ó f ợ ọ ở ó ế ớ ọ t A ở ó
tr X tì f(A) ở ó tr Y
ý tết trù
ị ĩ r ột trù C ợ ở
ột ớ ố tợ ủ C í ệ Ob(C) ỗ tử ủ Ob(C)
ột t ủ C
t A, B Ob(C) ị ợ ột t ợ Mor
C
(A, B)
ợ ọ từ A B tỏ ế (A, B), (C, D)
t ủ C (A, B) = (C, D) tì
Mor
C
(A, B) Mor
C
(C, D) =

ớ ỗ ộ (A, B, C) Ob(C) ị ợ ột
Mor
C
(B, C) ì Mor
C
(A, B) Mor
C
(A, C)
(, )
ợ ọ é tỏ tí t s
Mor
C
(A, B), Mor

C
(B, C), Mor
C
(C, D) t ó
() = ()
A Ob(C), Id
A
Mor
C
(A, A) s f Mor
C
(A, B),
g Mor
C
(C, A) t ó
(f)Id
A
= f, Id
A
(g) = g
í ệ Mor(C) =

A,BOb(C)
Mor
C
(A, B)
í ụ r
P trù t ợ í ệ t ồ ỗ t ột t ợ ỗ
ột é é ợ t

P trù t í ệ ồ ỗ t ột
t ỗ ột tụ é
é ợ t
P trù t í ệ t ồ ỗ t ột
t ỗ ột tế tí é
é ợ t
P trù t ợ ớ ể sở ồ ỗ t ột (A, x
0
), x
0

A ột ữ t (A, x
0
) (B, y
0
) ột f : A B

tỏ f(x
0
) = y
0
é é ợ t

t
ị ĩ r t t ột t (X, T )
ợ ọ ột t t n ề ế X sr tỏ t ề
ế ợ tứ ồ ị ớ R
n

ị ĩ r M ột t t n ề ột

ồ ị ệ tọ ộ ị ủ M ột (U, ) ớ
U ột t ở rỗ tr M ột ồ từ U tớ t ở
(U) tr R
n

ì ồ
í ụ ét (E) :
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1 (a > b > 0)
t U = {A(x, y) (E)|y > 0} U = (a, a) ét
: U U
A(x, y) x
ó t ó (U, ) ột ồ ủ (E) t t ó