Một số vấn đề về hình học giả Euclide

MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU..............................................................................................2
PHẦN NỘI DUNG..........................................................................................4
CHƯƠNG I : KHÔNG GIAN VECTƠ GIẢ EUCLIDE.................................4
1.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN...........................................................................................4
1.2. TRỰC GIAO VÀ TRỰC CHUẨN..................................................................................9
1.3. CÁC KHÔNG GIAN VECTƠ CON CỦA KHÔNG GIAN VECTƠ GIẢ EUCLIDE
................................................................................................................................................13
1.4. PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH LIÊN HỢP...............................................................20
1.5. PHÉP BIẾN ĐỔI TRỰC GIAO....................................................................................25
1.6. PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG DẠNG..................................................................................32
CHƯƠNG II : KHÔNG GIAN GIẢ EUCLIDE............................................41
2.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN.........................................................................................41
2.2. CÁC PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN GIẢ EUCLIDE.............................................43
2.3. PHÉP DỜI......................................................................................................................45
2.4. PHÉP ĐỒNG DẠNG.....................................................................................................48
2.5. SIÊU MẶT BẬC HAI – SIÊU CẦU TRONG KHÔNG GIAN GIẢ EUCLIDE.........52
2.6. MÔ HÌNH XẠ ẢNH CỦA KHÔNG GIAN GIẢ EUCLIDE.......................................56
PHẦN KẾT LUẬN........................................................................................64
TÀI LIỆU THAM KHẢO.............................................................................65
Trang 1
PHẦN MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
“Hình học cao cấp” là mảng kiến thức quan trọng được xây dựng trên nền “Đại
số tuyến tính” và đã được Bộ môn Toán, Khoa Sư phạm chọn làm các môn học chính
thức để giảng dạy cho sinh viên chuyên ngành Sư phạm Toán, Toán – Tin. Đây là
những môn học rất hay, thú vị, kích thích được lòng say mê học và nghiên cứu Toán của
sinh viên. Nhưng trong khuôn khổ chương trình quy định, thầy cô không thể giới thiệu
hết tất cả những vấn đề về hình học cho sinh viên mà chỉ dạy những kiến thức trọng
tâm, cơ bản nhất làm tiền đề cho việc tự nghiên cứu của sinh viên sau này.
Do vậy, được sự gợi ý của Giáo viên hướng dẫn cùng với sự yêu thích tìm hiểu

về các loại hình học, mối liên hệ cùng những điểm giống và khác nhau giữa chúng, em
đã quyết định chọn đề tài “Một số vấn đề về hình học giả Euclide” để thực hiện luận
văn tốt nghiệp của mình.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Luận văn với đề tài “Một số vấn đề về Hình học giả Euclide” nhằm làm rõ định
nghĩa và một số tính chất của các khái niệm cơ bản trong Hình học giả Euclide. Đồng
thời, luận văn đi vào tìm hiểu một số bất biến của Hình học giả Euclide, mối liên hệ
giữa Hình học giả Euclide với Hình học Euclide và với Hình học xạ ảnh.
Ngoài ra, việc thực hiện đề tài cũng giúp em có dịp củng cố những kiến thức về
Đại số tuyến tính, Hình học Afin, Hình học Euclide, Hình học xạ ảnh và bước đầu làm
quen với việc nghiên cứu các vấn đề mới của Toán học.
3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
• Đọc lại và nắm vững những vấn đề trọng tâm, cơ bản của Không gian vectơ, Hình
học Afin, Hình học Euclide, Hình học xạ ảnh.
• Phân tích kỹ định nghĩa và tìm hiểu một số tính chất của các khái niệm cơ bản trong
hình học giả Euclide.
• Dựa vào một số định lý, mệnh đề trong Hình học Euclide, phân tích, so sánh để rút
ra các định lý, mệnh đề có liên quan đến các khái niệm trong Hình học giả Euclide. Sau
đó chứng minh lại một cách đầy đủ, rõ ràng và có hệ thống.
• Dựa vào cách xây dựng mô hình xạ ảnh của không gian Afin và không gian Euclide
để rút ra cách xây dựng mô hình xạ ảnh của không gian giả Euclide. Trên cơ sở đó, tìm
Trang 2
hiểu mối liên hệ giữa Hình học giả Euclide với Hình học Euclide và với Hình học xạ
ảnh.
4. PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu một số khái niệm cơ bản trong không gian vectơ giả Euclide, không
gian giả Euclide n chiều chỉ số k thông qua tìm hiểu lý thuyết tổng quát.
5. NỘI DUNG CỦA LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP
• Chương I: Trình bày các định nghĩa và tính chất của tích vô hướng, không gian
vectơ giả Euclide n chiều chỉ số k, cơ sở trực chuẩn và tọa độ trực chuẩn, các không

gian con, các phép biến đổi trực giao và các phép biến đổi đồng dạng nhằm tạo nền tảng
kiến thức cho phần tiếp theo.
• Chương II: Trình bày các định nghĩa và tính chất của không gian giả Euclide n chiều
chỉ số k, tọa độ trực chuẩn, các không gian con, khoảng cách và góc, các phép dời hình
và các phép đồng dạng, siêu mặt bậc hai, mô hình xạ ảnh của không gian giả Euclide; từ
đó rút ra mối liên hệ giữa hình học giả Euclide và hình học xạ ảnh.
Trang 3
PHẦN NỘI DUNG
CHƯƠNG I : KHÔNG GIAN VECTƠ GIẢ EUCLIDE
1.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1.1. Định nghĩa
Cho không gian vectơ n chiều V
n
trên trường số thực R.
Một ánh xạ: V
n
× V
n
→ R

( , ) *a b a b
r r
r r
a
được gọi là một tích vô hướng trên V
n
nếu nó thỏa mãn các tiên đề sau:
(E
1
*

)
* * , ,
n
a b b a a b V
= ∀ ∈
r r r
r r r
.
(E
2
*
)
*( ) * * , , ,
n
a b c a b a c a b c V
+ = + ∀ ∈
r
r r
r r r r r r r
.
(E
3
*
)
( )* .( * ) , , ,
n
a b a b R a b V
λ λ λ
= ∀ ∈ ∀ ∈
r

r r
r r r
.
(E
4
*
) Có n vectơ
( 1, )
i
a i n
=
r
sao cho:
* 0
i i
a a
>
r r
, với i ≤ k.
* 0
i i
a a
<
r r
, với i > k.
* 0
i j
a a
=
r r

, với i ≠ j.
Khi đó, không gian vectơ V
n
được gọi là không gian vectơ giả Euclide n chiều
chỉ số k, ký hiệu là V
n
k
.
1.1.2. Tính chất
a)
k
n
( )* * * , , , Va b c a b b c a b c
+ = + ∀ ∈
r
r r r
r r r r r r
.
Thật vậy:
* * *
1 2 1
( ) ( ) ( )
( )* *( ) * * * *
E E E
a b c c a b c a c b a c b c
+ = + = + = +
r r r r
r r r r r r r r r r
b)
k

n
*( ) .( * ) , , , Va b a b R a b
λ λ λ
= ∀ ∈ ∀ ∈
r r r
r r r
.
Thật vậy:
*
* *
3
1 1
( )( ) ( )
*( ) ( )* ( * ) .( * )
EE E
a b b a b a a b
λ λ λ λ
= = =
r r r r
r r r r
c)
k
n
*0 0* 0 , Va a a
= = ∀ ∈
r r
r r r
.
Thật vậy:
Trang 4

*
3
( )
0* (0. )* 0.( * ) 0
E
a b a b a
= = =
r
r r
r r r
, với
k
n
Vb
∈
r
.
)
*0 *(0. ) 0.( * ) 0
Do b
a a b a b
= = =
r
r r
r r r
, với
k
n
Vb
∈

r
d)
k
n
( )* * * , , , Va b c a c b c a b c
− = − ∀ ∈
r r r
r r r r r r r
.
Thật vậy:
*
3
( )
)
( )* ( ( ))* * ( )* * *
E
Do b
a b c a b c a c b c a c b c
− = + − = + − = −
r r r r
r r r r r r r r r r
e)
k
n
*( ) * * , , , Va b c a b a c a b c
− = − ∀ ∈
r r r
r r r r r r r
.
Thật vậy:

* *
1 1
( ) ( )
)
*( ) ( )* * * * *
E E
Do d
a b c b c a b a c a a b a c
− = − = − = −
r r r r
r r r r r r r r r r
1.1.3. Nhận xét
1.1.3.1. n vectơ
1,
{ }
i
n
a
r
nói trong tiên đề (E
4
*
) là cơ sở của V
n
k
.
Thật vậy:
Từ (E
4
*

) ta suy ra
0, 1, .
i
a i n
≠ ∀ =
r
r
(Vì nếu ∃i sao cho
0
i
a
=
r
r
thì ta có
* 0
i i
a a
=
r r
, mâu thuẫn với tiên đề (E
4
*
))
Xét:
1
0.
n
i i
i

k a
=
=
∑
r
r
Nhân vô hướng hai vế với
( 1, )
j
a j n
=
r
, ta được:
1
*( ) 0, 1, .
n
j i i
i
a k a j n
=
= =
∑
r r
1
( * ) 0, 1, .
n
i j i
i
k a a j n
=

⇒ = =
∑
r r
( * ) 0, 1, .
j j j
k a a j n
⇒ = =
r r
(Vì
* 0
j i
a a
=
r r
, với i ≠ j)
0, 1, .
j
k j n
⇒ = =
(Vì
* 0
j j
a a
≠
r r
)
Vậy
1,
{ }
i

n
a
r
độc lập tuyến tính trong V
n
k
.
Do hệ n vectơ
1,
{ }
i
n
a
r
độc lập tuyến tính trong không gian vectơ n chiều V
n
k
nên
ta suy ra
1,
{ }
i
n
a
r
là cơ sở của V
n
k
.
1.1.3.2. Không gian vectơ giả Euclide n chiều chỉ số n chính là không gian vectơ

Euclide.
Thật vậy:
Trang 5
Xét V
n
n
là một không gian vectơ giả Euclide n chiều chỉ số n. Vì tích vô hướng
trên V
n
n
thỏa các tiên đề (E
1
*
), (E
2
*
), (E
3
*
) của không gian vectơ giả Euclide nên nó cũng
thỏa các tiên đề (E
1
), (E
2
), (E
3
) của không gian vectơ Euclide. Do đó ta chỉ cần chứng
minh tích vô hướng trên V
n
n

thỏa tiên đề (E
4
) của không gian vectơ Euclide, tức là
chứng minh
x
∀
r
∈ V
n
n
thì
* 0x x
≥
r r
và
* 0 0x x x
= ⇔ =
r
r r r
.
Theo câu a) ta có hệ
1,
{ }
i
n
a
r
nêu trong tiên đề (E
4
*

) là cơ sở của V
n
n
thỏa
* 0 ( 1, )
i i
a a i n
> ∀ =
r r
và
* 0, .
i j
a a i j
= ∀ ≠
r r
Từ đó:
x
∀
r
∈ V
n
n
thì
x
r
có dạng:
1
n
i i
i

x k a
=
=
∑
r r
, với k
i
∈ R
( 1, )i n
∀ =
.
2
1 1 , 1 1
* ( )*( ) . ( * ) ( * ) 0.
n n n n
i i j j i j i j i i i
i j i j i
x x k a k a k k a a k a a
= = = =
⇒ = = = ≥
∑ ∑ ∑ ∑
r r r r r r r r
Dấu “=” xảy ra
2
1
( * ) 0
n
i i i
i
k a a

=
⇔ =
∑
r r
0, 1,
i
k i n
⇔ = ∀ =
0x
⇔ =
r
r
Vậy tích vô hướng trên V
n
n
thỏa tiên đề (E
4
) nên V
n
n
là không gian vectơ Euclide
n chiều.
1.1.4. Ví dụ
a) Trường các số phức C là một không gian vectơ giả Euclide 2 chiều chỉ số 1 với tích
vô hướng:
* ( )*( )x y a ib c id ac bd
= + + = −
r r
, trong đó
x a ib C

= + ∈
r
,
y c id C= + ∈
r
.
b) Không gian R
4
là một không gian vectơ giả Euclide 4 chiều chỉ số 3 với tích vô
hướng:
1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 2 2 3 3 4 4
* ( , , , )*( , , , )x y x x x x y y y y x y x y x y x y
= = + + −
r r
, trong đó
4
1 2 3 4
( , , , ) Rx x x x x
= ∈
r
,
4
1 2 3 4
( , , , ) Ry y y y y= ∈
r
.
Khi đó R
4
được gọi là không gian Minkowski hay không gian Không gian – Thời
gian. Người ta thường dùng mô hình không gian này khi nghiên cứu về hình học vũ trụ.

c) Không gian R
n
là một không gian vectơ giả Euclide n chiều chỉ số k với tích vô
hướng:
1 1
*
k n
i i j j
i j k
x y x y x y
= = +
= −
∑ ∑
r r
, trong đó
n
1
( ,..., ) R
n
x x x
= ∈
r
,
n
1
( ,..., ) R
n
y y y= ∈
r
.

1.1.5. Module của vectơ
Ta định nghĩa module của vectơ
u
r
là số
u
r
sao cho:
Trang 6
*u u u
=
r r r
, nếu
* 0u u
≥
r r
*u i u u
= −
r r r
, nếu
* 0u u
<
r r
, trong đó
i
là đơn vị ảo.
Trong cả hai trường hợp, ta đều ký hiệu
*u u u
=
r r r

. Như vậy module của một
vectơ có thể là một số thực dương, bằng 0 hoặc một số thuần ảo.
Nhận xét:
u
∀
r
∈V
n
k
,
λ
∀
∈R thì:
2
( )*( ) ( * ) .u u u u u u
λ λ λ λ λ
= = =
r r r r r r
.
Vectơ
u
r
được gọi là vectơ đơn vị nếu
1u
=
r
hoặc
u i
=
r

.
1.1.6. Góc giữa hai vectơ trong không gian vectơ giả Euclide
1.1.6.1. Định nghĩa
Cho hai vectơ
a
r
và
b
r
thỏa
0a
≠
r
,
0b
≠
r
. Số phức
ϕ
xác định bởi công thức:
*
cos
.
a b
a b
ϕ
=
r
r
r

r
(1) được gọi là số đo góc của hai vectơ
a
r
và
b
r
. Ký hiệu:
( , )a b
ϕ
r
r
.
Từ công thức (1), ta suy ra
cos
ϕ
có thể là số thực hoặc là số thuần ảo.
Ta có các trường hợp:
 Trường hợp 1:
cos
ϕ
là số thực. Ta xét:
•
1 cos 1
ϕ
− ≤ ≤
: Khi đó
ϕ
là số thực và ta quy ước chọn
ϕ

∈ [0,π].
•
cos 1
ϕ
>
: Khi đó ta đặt:
cosa
ϕ
=
(1; )a⇒ ∈ +∞
.
Nhận thấy: hàm chx là một hàm số thực liên tục trên R và nhận giá trị trên
[1;+∞) nên với
(1; )a∈ +∞
thì tồn tại số thực
θ
sao cho:
cos a ch
ϕ θ
= =
.
Mà
cosch i
θ θ
=
nên suy ra:
cos cosi
ϕ θ
=
.

Do đó ta chọn
i
ϕ θ
=
và nhận thấy trong trường hợp này
ϕ
là số thuần ảo.
•
cos 1
ϕ
< −
: Khi đó
cos 1
ϕ
− >

Do đó tương tự như trên ta có: tồn tại số thực
θ
sao cho:
cos ch
ϕ θ
− =
.
cos cos cos( ).ch i i
ϕ θ θ π θ
⇒ = − = − = −
Ta chọn
i
ϕ π θ
= −

và nhận thấy trong trường hợp này
ϕ
là số phức.
 Trường hợp 2:
cos
ϕ
là số thuần ảo. Lúc này ta có thể viết:
cos ib
ϕ
=
, với
b
∈R.
Nhận thấy: hàm shx là một hàm số thực liên tục và nhận giá trị trên R nên với
b
∈R thì tồn tại số thực
θ
sao cho:
b sh
θ
=
.
cos sin cos( ).
2
ib ish i i
π
ϕ θ θ θ
⇒ = = = = −
Trang 7
Do đó ta chọn

2
i
π
ϕ θ
= −
và nhận thấy trong trường hợp này
ϕ
là số phức.
Vậy: Trong không gian vectơ giả Euclide, ngoài các góc có số đo thực còn có các
góc có số đo thuần ảo hay phức với phần thực là
π
hoặc
2
π
.
1.1.6.2. Tính chất
i)
( , ) ( , )a b b a
ϕ ϕ
=
r r
r r
.
Thật vậy:
* *
cos ( , ) cos ( , )
. .
a b b a
a b b a
a b b a

ϕ ϕ
= = =
r r
r r
r r
r r
r r
r r
( , ) ( , )a b b a
ϕ ϕ
⇒ =
r r
r r
.
ii) Với p, q ∈ R thì:
( , ), 0.
( , )
( , ), 0.
a b pq
pa qb
a b pq
ϕ
ϕ
π ϕ

>

=

− <



r
r
r
r
r
r
Thật vậy:
( )*( ) ( * )
cos ( , ) .cos ( , )
. .
pa qb pq a b pq
pa qb a b
pq
pa qb pq a b
ϕ ϕ
= = =
r r
r r
r r
r r
r r
r r
Do đó:
+ Nếu pq > 0 thì:
cos ( , ) cos ( , )pa qb a b
ϕ ϕ
=
r r

r r
( , ) ( , ).pa qb a b
ϕ ϕ
⇒ =
r r
r r
+ Nếu pq < 0 thì:
cos ( , ) cos ( , ) cos( ( , ))pa qb a b a b
ϕ ϕ π ϕ
= − = −
r r r
r r r
( , ) ( , )pa qb a b
ϕ π ϕ
⇒ = −
r r
r r
.
iii)
a
r
cùng phương với
b
r
cos ( , ) 1a b
ϕ
⇔ =
r
r
Thật vậy:

a
r
cùng phương với
b
r
a pb
⇔ =
r
r
, với p∈R.
2
* ( )* *
cos ( , ) .
. .
a b pb b p b b p
a b
p p
a b pb b
b
ϕ
⇔ = = = =
r r r r r
r
r
r
r r r
r
r
cos ( , ) 1a b
ϕ

⇔ =
r
r
.
iv)
( , ) * 0.
2
a b a b
π
ϕ
= ⇔ =
r r
r r
Trang 8
Thật vậy:
*
( , ) cos ( , ) 0 0 * 0
2
.
a b
a b a b a b
a b
π
ϕ ϕ
= ⇔ = ⇔ = ⇔ =
r
r
r r r
r r r
r

r
.
1.2. TRỰC GIAO VÀ TRỰC CHUẨN
1.2.1. Định nghĩa
Hai vectơ
a
r
,
b
r
∈ V
n
k
được gọi là trực giao (vuông góc) với nhau nếu
* 0a b
=
r
r
.
Ký hiệu:
a b
⊥
r
r
.
Ta thấy rằng có những vectơ khác
0
r
mà lại vuông góc với chính nó, những vectơ
như vậy gọi là vectơ đẳng hướng. Ví dụ: vectơ

1
1 1
* *
n
n n
a a
v
a a a a
= +
−
r r
r
r r r r
(trong đó
1
a
r
,
n
a
r
là các vectơ nói trong tiên đề (E
4
*
)) là một vectơ đẳng hướng.
Hệ vectơ
1,
{ }
i
m

b
r
gồm các vectơ
0
i
b
≠
r
r
thuộc V
n
k
được gọi là hệ trực giao nếu
* 0 ( 1, )
i i
b b i m
≠ ∀ =
r r
và
* 0 ( ; , 1, )
i j
b b i j i j n
= ∀ ≠ =
r r
(tức là chúng từng đôi một trực
giao với nhau).
Hệ trực giao gồm các vectơ đơn vị được gọi là hệ trực chuẩn.
Nhận xét: Theo định nghĩa, hệ
1,
{ }

i
n
a
r
nói trong tiên đề (E
4
*
) là một cơ sở trực
giao của V
n
k
.
1.2.2. Định lý
Mọi hệ trực giao đều là hệ độc lập tuyến tính.
Chứng minh:
Giả sử hệ
1,
{ }
i
m
b
r
là hệ trực giao.
Xét:
1
0.
m
i i
i
k b

=
=
∑
r
r
Nhân vô hướng hai vế với
( 1, )
j
b j m
=
r
, ta được:
1
*( ) 0, 1, .
m
j i i
i
b k b j m
=
= =
∑
r r
1
( * ) 0, 1, .
m
i j i
i
k b b j m
=
⇒ = =

∑
r r
( * ) 0, 1, .
j j j
k b b j m
⇒ = =
r r
(Vì
* 0
j i
b b
=
r r
, với i ≠ j)
Trang 9
0, 1, .
j
k j m
⇒ = =
(Vì
* 0
j j
b b
≠
r r
)
Vậy
1,
{ }
i

m
b
r
độc lập tuyến tính trong V
n
k
.
1.2.3. Định lý
Trong V
n
k
, nếu ta có n vectơ
( 1, )
i
b i n
=
r
sao cho
* 0 ( 1, )
i i
b b i n
≠ ∀ =
r r
và
* 0 ( )
i j
b b i j
= ∀ ≠
r r
thì ta sẽ có đúng k vectơ

i
b
r
sao cho
* 0
i i
b b
>
r r
và (n – k) vectơ
j
b
r

sao cho
* 0
j j
b b
<
r r
.
Chứng minh:
Theo đề bài ta suy ra hệ
1,
{ }
i
n
b
r
là cơ sở trực giao của V

n
k
, do đó
1,
{ }
i
n
b
r
độc lập
tuyến tính trong V
n
k
. Không mất tổng quát giả sử
* 0,
i i
b b i l
> ∀ ≤
r r
và
* 0,
i i
b b j l
< ∀ >
r r
.
Ta sẽ chứng minh l = k.
• Nếu l > k:
Dễ thấy rằng l vectơ
1

b
r
,
2
b
r
, ...,
l
b
r
độc lập tuyến tính trong V
n
k
(Vì
1,
{ }
i
n
b
r
độc lập
tuyến tính). Vì vậy chúng sinh ra một không gian vectơ con l chiều V
l
. Tương tự, gọi V
n-
k
là không gian vectơ con sinh bởi (n – k) vectơ độc lập tuyến tính
1k
a
+

r
,
2k
a
+
r
, ...,
n
a
r
nói
trong tiên đề (E
4
*
).
Vì l > k nên V
l
và V
n-k
sẽ giao nhau theo một không gian vectơ có số chiều ít nhất
là l – k. Gọi
l n k
c V V
−
∈ ∩
r
và
0c
≠
r

r
thì:
1 1
l n
i i j j
i j k
c b a
λ µ
= = +
= =
∑ ∑
r
r r
.
Do đó:
2
1 1 , 1 1
* ( )*( ) ( * ) ( * ) 0
l l l l
i i j j i j i j i i i
i j i j i
c c b b b b b b
λ λ λλ λ
= = = =
= = = >
∑ ∑ ∑ ∑
r r r r r r
r r
(1)
và

2
1 1 , 1 1
* ( )*( ) ( * ) ( * ) 0
n n n n
i i j j i j i j i i i
i k j k i j k i k
c c a a a a a a
µ µ µ µ µ
= + = + = + = +
= = = <
∑ ∑ ∑ ∑
r r r r r r r r
(2)
(1) và (2) mâu thuẫn nhau nên l > k là không thể được.
• Nếu l < k:
Gọi V
n-l
là không gian vectơ con sinh bởi (n – l) vectơ độc lập tuyến tính
1l
b
+
r
,
2l
b
+
r
, ...,
n
b

r
.
Trang 10
Gọi V
k
là không gian vectơ con sinh bởi k vectơ độc lập tuyến tính
1
a
r
,
2
a
r
, ...,
k
a
r

nói trong tiên đề (E
4
*
).
Chứng minh tương tự như trường hợp l > k, ta nhận thấy trường hợp l < k là
không thể được.
Vậy l = k và ta có điều phải chứng minh.
1.2.4. Định lý
Trong không gian V
n
k
luôn tồn tại một cơ sở trực chuẩn.

Chứng minh:
Gọi
1,
{ }
i
n
a
r
là hệ vectơ nói trong tiên đề (E
4
*
). Khi đó,
1,
{ }
i
n
a
r
là cơ sở trực giao
của V
n
k
.
Ta chọn các vectơ
i
e
ur
sao cho:
, .
*

, .
*
i
i
i i
i
i
i i
a
e i k
a a
a
e i k
a a

= ≤




= >

−

r
r
r r
r
r
r r

Khi đó ta có:
*
* 1
*
i i
i i
i i
a a
e e
a a
= =
r r
r r
r r
, với i ≤ k.
*
* 1
*
i i
i i
i i
a a
e e
a a
= = −
−
r r
r r
r r
, với i > k.

*
* 0
* . *
i j
i j
i i j j
a a
e e
a a a a
= =
r r
r r
r r r r
; với i ≠ j và
i, j = 1,n
.
Do đó
1,
{ }
i
n
e
r
là một cơ sở trực chuẩn của V
n
k
.
Trong cơ sở trực chuẩn này có k vectơ
i
e

r
sao cho
* 1
i i
e e
=
r r
và (n – k) vectơ
j
e
r

sao cho
* 1
j j
e e
= −
r r
. Điều này cũng đúng với mọi cơ sở trực chuẩn khác (vì suy ra từ
định lý ở trên).
Từ đây, khi nhắc đến cơ sở trực chuẩn
1,
{ }
i
n
u
r
bất kỳ của V
n
k

, nếu không nói rõ thì
ta quy ước cơ sở trực chuẩn đó phải thỏa
* 1
i i
u u
=
r r
, với i≤k,
* 1
j j
u u
= −
r r
, với j>k và
* 0
i j
u u
=
r r
, với i ≠ j và
i, j = 1,n
.
1.2.5. Tọa độ trực chuẩn
Trang 11
Tọa độ của vectơ
x
r
∈ V
n
k

đối với một cơ sở trực chuẩn được gọi là tọa độ trực
chuẩn của
x
r
trong V
n
k
.
Giả sử
1,
{ }
i
n
e
r
là một cơ sở trực chuẩn trong V
n
k
thỏa
* 0
i i
e e
>
r r
, với i ≤ k. Khi đó:
với
x
r
,
y

r
∈ V
n
k
thì:
1
1,
( ,..., ) /{ }
n i
n
x x x e
=
r r
1
1,
( ,..., ) /{ }
n i
n
y y y e
=
r r
Suy ra:
1 1 , 1 1
1 1
* ( )*( ) ( * ) ( * )
n n n n
i i j j i j i j i i i i
i j i j i
k n
i i j j

i j k
x y x e y e x y e e x y e e
x y x y
= = = =
= = +
= = =
= −
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑
r r r r r r r r
2 2
1 1
k n
i j
i j k
x x x
= = +
= −
∑ ∑
r
1.2.6. Ý nghĩa của tọa độ trực chuẩn
Giả sử
1,
{ }
i
n
e
r
là một cơ sở trực chuẩn trong V
n

k
. Với
x
r
∈V
n
k
thì:
1
1,
( ,..., ) /{ }
n i
n
x x x e
=
r r
Nhận thấy:
1 1
* ( )* ( * ) ( * )
n n
i m m i m m i i i i i
m m
x e x e e x e e x e e x
= =
= = = =
∑ ∑
r r r r r r r r
, với i ≤ k.
1 1
* ( )* ( * ) ( * )

n n
j m m j m m j j j j j
m m
x e x e e x e e x e e x
= =
= = = = −
∑ ∑
r r r r r r r r
, với j > k.
Vậy: nếu
1
1,
( ,..., ) /{ }
n i
n
x x x e
=
r r
thì:
*
i i
x x e
=
r r
, với i ≤ k.
*
j j
x x e
= −
r r

, với j > k.
 Nhận xét : Từ trên ta có: nếu
x
r
∈V
n
k
thỏa mãn
* 0x y
=
r r
,
y
∀
r
∈V
n
k
thì
0x
=
r
r
.
Thật vậy:
Vì
x
r
∈V
n

k
nên
1
1,
( ,..., ) /{ }
n i
n
x x x e
=
r r
, với
1,
{ }
i
n
e
r
là một cơ sở trực chuẩn trong
V
n
k
.
Mà
* 0x y
=
r r
,
y
∀
r

∈V
n
k
nên:
* 0
i i
x x e
= =
r r
, với i ≤ k.
Trang 12
* 0
j j
x x e
= − =
r r
, với j > k
Do đó:
1 1
0. 0
n n
i i i
i i
x x e e
= =
= = =
∑ ∑
r
r r r
1.2.7. Công thức đổi cơ sở trực chuẩn

Gọi
1,
{ }
i
n
e
r
,
1,
{ '}
i
n
e
r
là các cơ sở trực chuẩn trong V
n
k
.
Dựa vào công thức đổi cơ sở trong không gian vectơ, ta có công thức đổi cơ sở
trực chuẩn trong V
n
k
là:
x
[x] = A [x']
hoặc
x -1
[x'] = (A ) [x]
Trong đó:
A là ma trận chuyển cơ sở từ

1,
{ }
i
n
e
r

sang
1,
{ '}
i
n
e
r
[x], [x’] lần lượt là ma trận cột tọa độ
của vectơ
x
r
∈V
n
k
đối với cơ sở
1,
{ }
i
n
e
r
,
1,

{ '}
i
n
e
r
.
1.3. CÁC KHÔNG GIAN VECTƠ CON CỦA KHÔNG GIAN VECTƠ GIẢ
EUCLIDE
1.3.1. Định nghĩa
 Định nghĩa 1 : Giả sử P là không gian vectơ con của V
n
k
. Khi đó trong P xác
định hai phép toán cộng các vectơ và nhân một số với một vectơ, đó chính là hai phép
toán cộng và nhân trong V
n
k
. Ta lấy tích vô hướng * đã định nghĩa trong V
n
k
áp dụng
cho P, khi đó trên P ánh xạ * thỏa 3 tiên đề (E
1
*
), (E
2
*
), (E
3
*

). Nếu ánh xạ * thỏa thêm
tiên đề (E
4
*
) thì trên P xác định được một tích vô hướng, do đó P sẽ là một không gian
vectơ giả Euclide. Khi đó ta gọi P là không gian con của V
n
k
.
Nhận xét: Từ định nghĩa, ta nhận thấy không phải mọi không gian vectơ con của
V
n
k
đều là không gian vectơ giả Euclide. Ví dụ: không gian vectơ con một chiều của V
n
k
sinh bởi vectơ đẳng hướng
1 n
v e e
= +
r r r
(với
1,
{ }
i
n
e
r
là một cơ sở trực chuẩn trong V
n

k
)
không thỏa tiên đề (E
4
*
) nên không là không gian vectơ giả Euclide.
 Định nghĩa 2 : Cho P là không gian vectơ con của V
n
k
. Khi đó P được gọi là xác
định dương (không âm, đẳng hướng, không dương, âm) nếu
* 0x x
>
r r
(
* 0x x
≥
r r
,
* 0x x
=
r r
,
* 0x x
≤
r r
,
* 0x x
<
r r

), với mọi vectơ
x
r
∈P,
0x
≠
r
r
.
Trang 13
x
r
1,
{ }
i
n
e
r
1,
{ '}
i
n
e
r
[x]
[x']
A
 Định nghĩa 3 : Cho P là không gian vectơ con của V
n
k

. Khi đó P được gọi là
không suy biến nếu có
x
r
∈P và
* 0x y
=
r r
,
y
∀
r
∈P thì ta suy ra được
0x
=
r
r
.
Ngược lại thì P được gọi là suy biến.
 Định nghĩa 4 : Cho P là không gian vectơ con của V
n
k
và vectơ
x
r
∈V
n
k
. Ta nói
rằng

x
r
trực giao với P nếu như
x
r
trực giao với mọi vectơ của P.
 Định nghĩa 5 : Cho P, Q là các không gian vectơ con của V
n
k
. Ta nói rằng P và Q
trực giao với nhau nếu như mọi vectơ của P trực giao với mọi vectơ của Q.
Ký hiệu: Q ⊥ P hay P ⊥ Q.
 Định nghĩa 6 : Cho P là không gian vectơ con của V
n
k
. Đặt:
k
n
Q { V : * 0, P}x x y y
= ∈ = ∀ ∈
r r r r
Ta dễ dàng chứng minh được Q là một không gian vectơ con của V
n
k
và Q trực
giao với P. Khi đó Q được gọi là phần bù trực giao của P.
Ký hiệu: Q = P
⊥
.
Nhận xét 1: Từ định nghĩa ta nhận thấy có duy nhất một không gian vectơ con Q

bù trực giao với không gian vectơ con P đã cho.
Nhận xét 2: Nếu P ⊥ R thì R ⊆ P
⊥
.
1.3.2. Tính chất
1.3.2.1. Mọi không gian vectơ con dương của V
n
k
đều là không gian vectơ giả
Euclide.
Thật vậy:
Gọi P là không gian vectơ con dương của V
n
k
. Vì trên P ánh xạ * thỏa các tiên đề
(E
1
*
), (E
2
*
), (E
3
*
) của không gian vectơ giả Euclide nên nó cũng thỏa các tiên đề (E
1
),
(E
2
), (E

3
) của không gian vectơ Euclide.
Mặt khác, do P dương nên:
x
∀
r
∈P thì
* 0x x
≥
r r
và
* 0 0x x x
= ⇔ =
r
r r r
.
Do đó trên P ánh xạ * thỏa tiên đề (E
4
) của không gian vectơ Euclide.
Vậy P là một không gian vectơ Euclide. Suy ra P là một không gian vectơ giả
Euclide.
Nhận xét: Nếu P dương thì P thỏa tất cả các tính chất của không gian vectơ
Euclide.
1.3.2.2. Mọi không gian vectơ con âm của V
n
k
đều là không gian vectơ giả Euclide.
Thật vậy:
Trang 14
Gọi P là không gian vectơ con âm của V

n
k
. Khi đó trên P ánh xạ * thỏa các tiên
đề (E
1
*
), (E
2
*
), (E
3
*
) của không gian vectơ giả Euclide. Do đó ta sẽ chứng minh * thỏa
tiên đề (E
4
*
) của không gian vectơ giả Euclide.
Gọi m là số chiều của P và
1,
{ }
i
m
x
r
là một cơ sở tùy ý của P.
Vì P âm nên
x
∀
r
∈P,

0x
≠
r
r
thì
* 0x x
<
r r
* 0, 1,
i i
x x i m
⇒ < ∀ =
r r
.
Đặt:
1 1
u x
=
r r
1 1
* 0u u
⇒ <
r r
.
Đặt:
1
1
*
. , 2,
*

i
i j
i i j
j
j j
x u
u x u i m
u u
−
=
= − ∀ =
∑
r r
r r r
r r
Dễ thấy
0 ( 1, )
i
u i m
≠ ∀ =
r
r
do
1,
{ }
i
m
x
r
là hệ độc lập tuyến tính. Ta kiểm tra bằng

quy nạp rằng
h
u
r
trực giao với các vectơ
1
u
r
,
2
u
r
, ...,
1h
u
−
r
.
Thấy:
2 1 2 1 1 1
2 1 2 1 1 2 1
1 1 1 1
* ( * )( * )
* ( . )* * 0
* *
x u x u u u
u u x u u x u
u u u u
= − = − =
r r r r r r

r r r r r r r
r r r r
Giả sử mệnh đề trên đúng tới h-1, ta chứng minh rằng mệnh đề trên cũng đúng
với h.
Với 1 ≤ i ≤ h - 1, ta có:
1 1
1 1
* *
* ( . )* * .( * )
* *
h h
h j h j
h i h j i h i j i
j j
j j j j
x u x u
u u x u u x u u u
u u u u
− −
= =
= − = −
∑ ∑
r r r r
r r r r r r r r r
r r r r
Nhưng theo giả thiết quy nạp thì
* 0 ; ;1 , 1
j i
u u i j i j h= ∀ ≠ ≤ ≤ −
r r

nên hệ thức trên
trở thành:
*
* * .( * ) 0
*
h i
h i h i i i
i i
x u
u u x u u u
u u
= − =
r r
r r r r r r
r r
Vậy
1,
{ }
i
m
u
r
là một cơ sở trực giao của P thỏa
* 0, 1,
i i
u u i m
< ∀ =
r r
. Do đó trên P
ánh xạ * thỏa tiên đề (E

4
*
) của không gian vectơ giả Euclide. Suy ra P là một không gian
vectơ giả Euclide chỉ số 0.
1.3.2.3. Nếu P là không gian vectơ con âm của V
n
k
thì P thỏa bất đẳng thức
Schwarz:
2
( * ) ( * )( * )x y x x y y
≤
r r r r r r
,
x
∀
r
,
y
r
∈P.
Chứng minh: Xét hai trường hợp:
 Trường hợp 1 : Nếu
0x
=
r
r
hoặc
0y
=

r
r
thì hiển nhiên bất đẳng thức được thỏa.
 Trường hợp 2 : Nếu
0x
≠
r
r
và
0y
≠
r
r
thì:
Trang 15
- Nếu
{ , }x y
r r
phụ thuộc tuyến tính thì ∃p≠0 sao cho:
x py
=
r r
Khi đó:
2 2 2 2
( * ) ( * ) ( * ) ( * )( * ) ( * )( * )x y py y p y y py py y y x x y y
= = = =
r r r r r r r r r r r r r r

- Nếu
{ , }x y

r r
độc lập tuyến tính thì :
,x py p R
≠ ∀ ∈
r r
Khi đó do P âm nên:
2
( )*( ) * 2 ( * ) ( * ) 0x py x py x x p x y p y y
− − = − + <
r r r r r r r r r r
Chọn
*
*
x y
p
y y
=
r r
r r
, ta có:
2 2
( * ) ( * )
* 2 0
* *
x y x y
x x
y y y y
− + <
r r r r
r r

r r r r
2
( * )( * ) ( * )
0
*
x x y y x y
y y
−
⇔ <
r r r r r r
r r
2
( * ) ( * )( * )x y x x y y
⇔ <
r r r r r r
(Vì
* 0y y
<
r r
)
Vậy trong cả hai trường hợp ta luôn có:
2
( * ) ( * )( * )x y x x y y
≤
r r r r r r
,
x
∀
r
,

y
r
∈P.
Nhận xét: Bất đẳng thức Schwartz vẫn đúng cho trường hợp P là không gian
vectơ con không dương hoặc không âm. Ta có thể chứng minh điều này dựa vào câu a
của định lý bên dưới và cách chứng minh bất đẳng thức Schwartz dành cho không gian
vectơ con âm ở trên.
1.3.2.4. Số chiều lớn nhất có thể có của một không gian vectơ con dương của V
n
k
là
k.
Thật vậy:
Gọi P là không gian vectơ con dương của V
n
k
. Giả sử dimP > k.
Gọi V
n-k
là không gian vectơ con sinh bởi (n – k) vectơ độc lập tuyến tính
1k
a
+
r
,
2k
a
+
r
, ...,

n
a
r
nói trong tiên đề (E
4
*
). Khi đó dễ thấy V
n-k
là không gian vectơ con âm của
V
n
k
.
Mà dimP + dimV
n-k
> n nên P∩V
n-k
là không gian vectơ con khác không của V
n
k
.
(1)
Mặt khác P dương và V
n-k
âm nên P∩V
n-k
=
{0}
r
. (2)

Từ (1) và (2) suy ra vô lý. Vậy ta có số chiều lớn nhất có thể có của P là k.
1.3.2.5. Số chiều lớn nhất có thể có của một không gian vectơ con âm của V
n
k
là n-
k.
(Chứng minh tương tự tính chất 1.3.2.4.)
1.3.2.6.
{0}
r
trực giao với mọi không gian vectơ con của V
n
k
.
(Tính chất này dễ thấy)
Trang 16
1.3.2.7. Nếu P ⊥ Q thì P∩Q là không gian vectơ con đẳng hướng của V
n
k
hoặc
không gian không.
Thật vậy:
x
∀
r
∈ P∩Q thì do P ⊥ Q nên ta có:
* 0x x
=
r r
Suy ra

x
r
là vectơ đẳng hướng hoặc vectơ không. Do đó ta có điều cần chứng
minh.
1.3.2.8. (P
⊥
)
⊥
= P và dimP + dim P
⊥
= n.
(Tính chất này ta công nhận, không chứng minh)
1.3.2.9. Cho P, Q là các không gian vectơ con của V
n
k
. Khi đó:
(P∩Q)
⊥
= P
⊥
+ Q
⊥
và (P + Q)
⊥
= P
⊥
∩Q
⊥
Nếu P ⊂ Q thì P
⊥

⊃ Q
⊥
(Tính chất này ta dễ dàng chứng minh)
1.3.2.10. P∩P
⊥
=
{0}
r
và P⊕P
⊥
= V
n
k
khi và chỉ khi P không suy biến.
* Chứng minh:
(⇒):
Cho P là không gian vectơ con của V
n
k
thỏa mãn P∩P
⊥
=
{0}
r
và P⊕P
⊥
= V
n
k
.

Khi đó, nếu có
x
r
∈P và
* 0x y
=
r r
,
y
∀
r
∈P thì suy ra:
x
r
∈P
⊥
.
⇒
x
r
∈P∩P
⊥
=
{0}
r
0x
⇒ =
r
r
Do đó P không suy biến.

(⇐):
Cho P là không gian vectơ con không suy biến của V
n
k
.
Khi đó, với
x
r
∈P∩P
⊥
thì do
x
r
∈P
⊥
nên
* 0x y
=
r r
,
y
∀
r
∈P.
Vì P không suy biến nên suy ra:
0x
=
r
r
Vậy P∩P

⊥
=
{0}
r
Mặt khác: dimP + dim P
⊥
= n (theo tính chất 1.3.2.8.) và P⊕P
⊥
⊂ V
n
k
.
Do đó P⊕P
⊥
= V
n
k
.
1.3.2.11. Nếu P là không gian con của V
n
k
thì P không suy biến.
Thật vậy:
Vì P là không gian con của V
n
k
nên P là một không gian vectơ giả Euclide.
Xét
x
r

∈P và
* 0x y
=
r r
,
y
∀
r
∈P thì theo nhận xét ở mục 1.2.6 (phần Ý nghĩa của
tọa độ trực chuẩn) cho không gian vectơ giả Euclide ta suy ra:
0x
=
r
r
Trang 17
Do đó P không suy biến.
1.3.2.12. Nếu P là không gian con của V
n
k
thì P
⊥
không suy biến.
Thật vậy:
Vì P là không gian con của V
n
k
nên P không suy biến (theo tính chất 1.3.2.11.).
Do đó theo tính chất 1.3.2.10 ta có: P∩P
⊥
=

{0}
r
và P⊕P
⊥
= V
n
k
Mặt khác theo tính chất 1.3.2.8 thì: (P
⊥
)
⊥
= P
Suy ra: (P
⊥
)
⊥
∩P
⊥
=
{0}
r
và (P
⊥
)
⊥
⊕P
⊥
= V
n
k

Từ đó ta có P
⊥
không suy biến.
1.3.3. Định lý (Sự phân tích các không gian vectơ con)
a) Mọi không gian vectơ con P của V
n
k
đều có thể biểu diễn thành tổng trực tiếp P
= P
0
⊕P
1
, trong đó P
0
là không gian vectơ con đẳng hướng, P
1
là không gian
vectơ con không suy biến và P
0
⊥ P
1
(trường hợp P không suy biến thì ta xem P
0
=
{0}
r
, trường hợp P đẳng hướng thì ta xem P
1
=
{0}

r
).
b) Mọi không gian vectơ con không suy biến P của V
n
k
đều có thể biểu diễn thành
tổng trực tiếp P = P
+
⊕P
-

, trong đó P
+
là không gian vectơ con dương, P
-
là
không
gian vectơ con âm và P
+
⊥ P
-
(trường hợp P dương (hoặc âm) thì ta xem P
-
=
{0}
r

(hoặc P
+
=

{0}
r
)).
Chứng minh:
a) Đặt P
0
= P∩P
⊥
. Khi đó P
0
là không gian vectơ con đẳng hướng.
Vì P
0
là không gian vectơ con của V
n
k
nên tồn tại không gian vectơ con N của V
n
k
sao cho: P
0
⊕N = V
n
k
Vì vậy: P
0
⊕(N∩P) = P
Đặt P
1
= N∩P. Suy ra: P

1
⊥ P
0
(Vì P
0
⊂ P
⊥
và P
1
⊂ P)
Ta sẽ chứng minh P
1
không suy biến.
Xét vectơ
0
x
r
∈P
1
sao cho
0
* 0x x
=
r r
,
x
∀
r
∈P
1

Nhận thấy:
0
* 0x y
=
r r
,
y
∀
r
∈P
0
(Do P
1
⊥ P
0
)
Vì P
0
⊕P
1
= P nên ta suy ra:
0
* 0x z
=
r
r
,
z
∀
r

∈P
Do đó :
0
x
r
∈P
⊥
⇒
0
x
r
∈ N∩P∩P
⊥
= P
0
∩ P
1
=
{0}
r
Nên:
0
0x
=
r
r
Vậy P
1
không suy biến và ta có điều phải chứng minh.
Trang 18

b) Gọi P
+
là không gian vectơ con dương có số chiều lớn nhất của P. Khi đó P
+
không
suy biến và P
+
⊕(P
+
)
⊥
= V
n
k
.
Vì vậy: P
+
⊕(P∩(P
+
)
⊥
) = P
Đặt P
-

= P∩(P
+
)
⊥
. Suy ra: P

+
⊥ P
-
và P
+
⊕P
-
= P
Ta sẽ chứng minh P
-
âm.
Giả sử tồn tại
x
r
∈P
-
,
0x
≠
r
r
sao cho
* 0x x
>
r r
.
Khi đó
y
∀
r

∈P
+
thì:
* 0x y
=
r r
và
* 0y y
>
r r
( )*( ) * * 2( * ) * * 0x y x y x x y y x y x x y y
⇒ + + = + + = + >
r r r r r r r r r r r r r r
+
{ } Px
⇒ ⊕
r
dương (trái điều kiện P
+
là không gian con dương có số chiều lớn nhất
của P)
Vậy P
-
không dương. Do đó ta có bất đẳng thức Schwarz:
2
( * ) ( * )( * )x y x x y y
≤
r r r r r r
,
x

∀
r
,
y
r
∈P
-
.
Ta xét vectơ
0
x
r
∈P
-
sao cho
0 0
* 0x x
=
r r
Khi đó,
x
∀
r
∈P
-
ta luôn có:
2
0 0 0
( * ) ( * )( * ) 0x x x x x x
≤ =

r r r r r r
Suy ra:
0
* 0x x
=
r r
,
x
∀
r
∈P
-
Mặt khác ta có:
0
* 0x y
=
r r
,
y
∀
r
∈P
+
(Vì P
+
⊥ P
-
)
Do P
+

⊕P
-
= P nên ta suy ra:
0
* 0x z
=
r
r
,
z
∀
r
∈P
Vì P không suy biến nên ta được:
0
0x
=
r
r
Vậy P
-
âm và ta có điều phải chứng minh.
 Hệ quả 1 : Mọi không gian vectơ con P của V
n
k
đều có thể biểu diễn được dưới
dạng P = P
+
⊕P
-

⊕P
0
, trong đó P
+
là không gian vectơ con dương, P
-
là không gian vectơ
con âm và P
0
là không gian vectơ con đẳng hướng.
 Hệ quả 2 : Mọi không gian vectơ con không suy biến P của V
n
k
đều là không gian
vectơ giả Euclide. Từ đó P là không gian con của V
n
k
khi và chỉ khi P không suy biến.
 Hệ quả 3 : Nếu P là không gian con của V
n
k
thì P
⊥
cũng là không gian con của
V
n
k
. Từ đó, nếu P ⊥ Q và P (hoặc Q) là không gian con của V
n
k

thì P ∩ Q =
{0}
r
.
1.3.4. Định lý
Trang 19
Cho P, Q là các không gian con của V
n
k
. Khi đó, điều kiện cần và đủ để P ⊥ Q là
trong P tìm được cơ sở trực chuẩn
1,
{ }
i
p
e
r
và trong Q tìm được cơ sở trực chuẩn
1,
{ '}
i
q
e
r

sao cho
{ }
1,
1,
, '

i p
i j
j q
e e
=
=
r r
là hệ trực chuẩn của V
n
k
.
Chứng minh:
(⇒):
Vì P ⊥ Q và P, Q là các không gian con của V
n
k
nên P ∩ Q =
{0}
r
. Do đó, nếu ta
lấy lần lượt trong P và Q các cơ sở trực chuẩn
1,
{ }
i
p
e
r
và
1,
{ '}

i
q
e
r
thì hệ
{ }
1,
1,
, '
i p
i j
j q
e e
=
=
r r
sẽ là
hệ trực chuẩn trong V
n
k
.
(⇐):
Nếu trong V
n
k
có một hệ trực chuẩn
{ }
1,
1,
, '

i p
i j
j q
e e
=
=
r r
sao cho
1,
{ }
i
p
e
r
,
1,
{ '}
i
q
e
r
lần lượt là
cơ sở trực chuẩn của P và Q thì với
x
r
∈ P,
y
r
∈ Q, ta có:
1

p
i i
i
x x e
=
=
∑
r r
,
1
'
q
j j
j
y y e
=
=
∑
r r
1 1 1 1
* ( )*( ') ( * ') 0
p q p q
i i j j i j i j
i j i j
x y x e y e x y e e
= = = =
⇒ = = =
∑ ∑ ∑∑
r r r r r r
Vậy

x y
⊥
r r
. Do đó P ⊥ Q.
1.4. PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH LIÊN HỢP
1.4.1. Dạng song tuyến tính
1.4.1.1. Định nghĩa
Cho không gian vectơ V trên trường số thực R. Khi đó ánh xạ:
:
( , ) ( , )
S V V R
x y S x y
× →
r r r r
a
được gọi là một dạng song tuyến tính nếu
1 2 1 2
, ; , , , , ,R x x x y y y V
λ µ
∀ ∈ ∀ ∈
r r r r r r
thì:
(i)
1 2 1 2
( , ) ( , ) ( , )S x x y S x y S x y
λ µ λ µ
+ = +
r r r r r r r
(ii)
1 2 1 2

( , ) ( , ) ( , )S x y y S x y S x y
λ µ λ µ
+ = +
r r r r r r r
1.4.1.2. Biểu thức tọa độ
Trong V
n
cho cơ sở
1,
{ }
i
n
c
r
và S là một dạng song tuyến tính.
Trang 20
Đặt
( , ) , , 1,
i j ij
S c c c i j n
= ∀ =
r r
.
Với
x
r
,
y
r
∈V

n
thì
x
r
,
y
r
có dạng:
1
n
i i
i
x x c
=
=
∑
r r
,
1
n
j j
j
y y c
=
=
∑
r r
Khi đó:
1 1 , 1 , 1
( , ) ( , ) ( , )

n n n n
i i j j i j i j i j ij
i j i j i j
S x y S x c y c x y S c c x y c
= = = =
= = =
∑ ∑ ∑ ∑
r r r r r r
(1)
Gọi
[ ]x
,
[ ]y
lần lượt là ma trận cột tọa độ của
x
r
,
y
r
và
[ ]
ij n n
C c
×
=
thì từ (1) ta
có:
( , ) [ ] [ ]
x
S x y x C y

=
r r
(2)
Dạng (2) được gọi là dạng ma trận của dạng song tuyến tính S. Ma trận C được
gọi là ma trận của dạng song tuyến tính S đối với cơ sở
1,
{ }
i
n
c
r
.
1.4.2. Sự liên hệ giữa dạng song tuyến tính và phép biến đổi tuyến tính trong
không gian vectơ giả Euclide n chiều chỉ số k
1.4.2.1. Liên hệ giữa dạng song tuyến tính và phép biến đổi tuyến tính
 Cho phép biến đổi tuyến tính
:
k k
n n
V V
ϕ
→
.
Xét ánh xạ
:
k k
n n
S V V R
× →

( , ) ( , ) ( )*x y S x y x y
ϕ
=
r r r r r r
a
Dễ dàng nhận thấy S là một dạng song tuyến tính và S xác định duy nhất (do tính
duy nhất của
ϕ
và tích vô hướng xác định trên V
n
k
).
Giả sử
1,
{ }
i
n
e
r
là một cơ sở trực chuẩn trong V
n
k
, A là ma trận của phép biến đổi
tuyến tính
ϕ
đối với cơ sở trực chuẩn đó. Ta tìm ma trận C của dạng song tuyến tính
liên hợp S đối với cơ sở trực chuẩn
1,
{ }
i

n
e
r
.
Ta có:
( , ) ( )* , , 1,
ij i j i j
c S e e e e i j n
ϕ
= = ∀ =
r r r r
.
Mà
( )
i
e
ϕ
r
∈V
n
k
nên:
1
( )
n
i mi m
m
e a e
ϕ
=

=
∑
r r
, với
[ ]
ij n n
A a
×
=
Suy ra:
1 1
( )* ( * ) ( * )
n n
ij mi m j mi m j ji j j ji
m m
c a e e a e e a e e a
= =
= = = =
∑ ∑
r r r r r r
, với j ≤ k.
1 1
( )* ( * ) ( * )
n n
ij mi m j mi m j ji j j ji
m m
c a e e a e e a e e a
= =
= = = = −
∑ ∑

r r r r r r
, với j > k.
Trang 21
Vậy: Nếu có một phép biến đổi tuyến tính
ϕ
của V
n
k
thì xác định duy nhất một
dạng song tuyến tính S sao cho
( , ) ( )*S x y x y
ϕ
=
r r r r
,
x
∀
r
,
y
r
∈V
n
k
. Khi đó nếu
ϕ
có ma trận
ij n×n
A=[a ]
đối với một cơ sở trực chuẩn đã chọn thì S có ma trận

ij n×n
C=[c ]
thỏa
ij ji
c =a
, với j ≤ k, và
ij ji
c =-a
, với j > k.
 Ngược lại, cho một dạng song tuyến tính S trong V
n
k
thì tồn tại duy nhất một
phép biến đổi tuyến tính
:
k k
n n
V V
ϕ
→
sao cho
( , ) ( )*S x y x y
ϕ
=
r r r r
.
Thật vậy:
Giả sử
1,
{ }

i
n
e
r
là một cơ sở trực chuẩn trong V
n
k
. Gọi
[ ]
ij n n
C c
×
=
là ma trận của
S đối với cơ sở trực chuẩn đó.
Xét phép biến đổi tuyến tính
:
k k
n n
V V
ϕ
→
sao cho
ϕ
có ma trận đối với cơ sở
1,
{ }
i
n
e

r
là
ij n×n
A=[a ]
thỏa mãn
ij ji
a =c
, với i ≤ k, và
ij ji
a = -c
, với i > k.
Dễ dàng thấy rằng:
( , ) ( )*S x y x y
ϕ
=
r r r r
.
Ta sẽ chứng minh
ϕ
là duy nhất
Thật vậy: Giả sử tồn tại phép biến đổi tuyến tính
:
k k
n n
V V
ψ
→
sao cho
( , ) ( )*S x y x y
ψ

=
r r r r
Khi đó:
( )* ( , ) ( )*x y S x y x y
ϕ ψ
= =
r r r r r r
Nên:
( ( ) ( ))* 0x x y
ϕ ψ
− =
r r r
,
y
∀
r
∈V
n
k
.
Theo nhận xét ở mục 1.2.6, ta suy ra:
( ) ( ) 0x x
ϕ ψ
− =
r
r r
hay
( ) ( )x x
ϕ ψ
=

r r
,
x
∀
r
∈V
n
k
.
Vậy
ϕ ψ
=
hay
ϕ
là duy nhất.
Do trên nên ta có định lý:
 Định lý : Công thức
( , ) ( )*S x y x y
ϕ
=
r r r r
thiết lập trong V
n
k
một sự tương ứng 1 – 1
giữa các dạng song tuyến tính và các phép biến đổi tuyến tính.
1.4.2.2. Có thể xác định sự liên hệ giữa dạng song tuyến tính với phép biến đổi
tuyến tính theo một cách khác như sau:
 Cho phép biến đổi tuyến tính
:

k k
n n
V V
ϕ
→
và dạng song tuyến tính
( , )S x y
r r
tương
ứng. Ta xác định phép biến đổi tuyến tính
*
ϕ
bởi điều kiện:
*
( , ) * ( )S x y x y
ϕ
=
r r r r
(3)
Thật vậy: Giả sử
1,
{ }
i
n
e
r
là một cơ sở trực chuẩn trong V
n
k
.

Đặt:
*
1
( )
n
i mi m
m
e d e
ϕ
=
=
∑
r r
, trong đó d
mi
là các số cần xác định.
Trang 22
Ta có:
*
( , ) * ( ), , 1,
ij i j i j
c S e e e e i j n
ϕ
= = ∀ =
r r r r
Nên:
1 1
*( ) ( * ) ( * )
n n
ij i mj m mj i m ij i i ij

m m
c e d e d e e d e e d
= =
= = = =
∑ ∑
r r r r r r
, với i ≤ k.
1 1
*( ) ( * ) ( * )
n n
ij i mj m mj i m ij i i ij
m m
c e d e d e e d e e d
= =
= = = = −
∑ ∑
r r r r r r
, với i > k.
Đặt
ij n×n
D=[d ]
. Suy ra:
11 21 k1 (k+1)1 n1
12 22 k2 (k+1)2 n2
1k 2k kk (k+1)k nk
1(k+1) 2(k+1) k(k+1) (k+1)(k+1) n(k+1)
1n 2n kn (k+1)n n
a a ... a -a ... -a
a a ... a -a ... -a
... ... ... ... ... ... ...

a a ... a -a ... -a
D=
-a -a ... -a a ... a
... ... ... ... ... ... ...
-a -a ... -a a ... a
n
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Đặt:
k
1 0 ... 0 0 ... 0
0 1 ... 0 0 ... 0
... ... ... ... ... ... ...
I =
0 0 ... 1 0 ... 0
0 0 ... 0 -1 ... 0
... ... ... ... ... ... ...
0 0 ... 0 0 ... -1
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
Ta nhận thấy:
x
k k
D = I A I
và
-1
k k
I = (I )
Vậy: nếu
*
ϕ
là phép biến đổi tuyến tính của V
n
k
thỏa mãn điều kiện (3) thì ma
trận D của
*
ϕ
thỏa mãn
x
k k
D = I A I

. Do đó
*
ϕ
là duy nhất.
 Kết luận : Cho một phép biến đổi tuyến tính
:
k k
n n
V V
ϕ
→
thì tồn tại duy nhất một
phép biến đổi tuyến tính
*
:
k k
n n
V V
ϕ
→
thỏa mãn
*
( )* * ( )x y x y
ϕ ϕ
=
r r r r
và ngược lại.
1.4.3. Định nghĩa
Cho phép biến đổi tuyến tính
:

k k
n n
V V
ϕ
→
. Khi đó phép biến đổi tuyến tính
*
:
k k
n n
V V
ϕ
→
thỏa mãn
*
( )* * ( )x y x y
ϕ ϕ
=
r r r r
,
x
∀
r
,
y
r
∈V
n
k
được gọi là phép biến đổi

tuyến tính liên hợp của
ϕ
.
Trang 23
n – k dòng
k dòng
1.4.4. Tính chất
a)
* *
( )
ϕ ϕ
=
Thật vậy:
Gọi A, A’, A” lần lượt là ma trận của
ϕ
,
*
ϕ
và
* *
( )
ϕ
đối với cơ sở trực chuẩn
đã chọn thì theo trên ta có:
x
k k
A' = I A I
Suy ra:
x x x x x x x
k k k k k k k k k k

A'' = I A' I = I (I A I ) I = I I (A ) I I = (A ) = A
b)
*
( )id id
=
, trong đó id là ánh xạ đồng nhất từ
k k
n n
V V
→
.
Thật vậy:
Ánh xạ đồng nhất id có ma trận đối với cơ sở trực chuẩn đã chọn là I thỏa
x
k k k k
I I I = I I = I
c)
* * *
( )
ϕ ψ ϕ ψ
+ = +
Thật vậy:
Gọi A, B lần lượt là ma trận của
ϕ
,
ψ
đối với cơ sở trực chuẩn đã chọn. Khi đó
A + B là ma trận của
ϕ ψ
+

đối với cơ sở trực chuẩn đã chọn. Nhận thấy:
Ma trận của
*
( )
ϕ ψ
+
là:
x
k k
I (A+B) I
Ma trận của
* *
ϕ ψ
+
là:
x x x x x x
k k k k k k k k k
I A I + I B I = I (A I + B I ) = I (A + B )I
Mà:
x x x
k k k k
I (A + B )I = I (A+B) I
Nên ta suy ra:
* * *
( )
ϕ ψ ϕ ψ
+ = +
d)
* * *
( )

ϕ ψ ψ ϕ
=
o o
Thật vậy:
* * * * *
(( )( ))* ( ( ))* ( )* ( ) * ( ( )) *(( )( ))x y x y x y x y x y
ϕ ψ ϕ ψ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ
= = = =
r r r r r r r r r r
o o
Mặt khác:
*
(( )( ))* *(( ) ( ))x y x y
ϕ ψ ψ ϕ
=
r r r r
o o
Suy ra:
* * *
*(( ) ( ) ( )( )) 0,
k
n
x y y x V
ψ ϕ ψ ϕ
− = ∀ ∈
r r r r
o o
Do đó theo nhận xét ở bài 2 ta có:
* * *
( ) ( ) ( )( ) 0y y

ψ ϕ ψ ϕ
− =
r
r r
o o
Vậy:
* * *
( ) ( ) ( )( ),
k
n
y y y V
ψ ϕ ψ ϕ
= ∀ ∈
r r r
o o
e)
* *
( ) , .k k k R
ϕ ϕ
= ∀ ∈
Thật vậy:
Trang 24
* *
*
(( )( ))* ( ( ))* ( )* ( )* ( ) *( ( ))
*(( )( ))
k x y k x y kx y kx y x k y
x k y
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ

= = = =
=
r r r r r r r r r r
r r
Mặt khác:
*
(( )( ))* *(( ) ( ))k x y x k y
ϕ ϕ
=
r r r r
Suy ra:
* *
*(( )( ) ( ) ( )) 0,
k
n
x k y k y x V
ϕ ϕ
− = ∀ ∈
r r r r
Do đó:
* *
( )( ) ( ) ( ) 0k y k y
ϕ ϕ
− =
r
r r
Vậy:
* *
( )( ) ( ) ( ),
k

n
k y k y y V
ϕ ϕ
= ∀ ∈
r r r
.
1.5. PHÉP BIẾN ĐỔI TRỰC GIAO
1.5.1. Định nghĩa
Đẳng cấu tuyến tính
: '
k l
n n
V V
ϕ
→
được gọi là đẳng cấu trực giao nếu với
x
r
,
y
r
∈V
n
k
, ta có:
( )* ( ) *x y x y
ϕ ϕ
=
r r r r
, tức là

ϕ
bảo toàn tích vô hướng.
Khi đó ta nói rằng V
n
k
đẳng cấu với V’
n
l
. Ký hiệu: V
n
k
≅ V’
n
l
.
1.5.2. Tính chất của đẳng cấu trực giao
1.5.2.1. Định lý: Hai không gian vectơ giả Euclide đẳng cấu với nhau khi và chỉ khi
chúng có cùng số chiều và cùng chỉ số k.
Chứng minh:
(⇒):
Cho hai không gian vectơ giả Euclide V
n
k
và V’
m
l
.
Nếu V
n
k

≅ V’
m
l
thì n = m và tồn tại một đẳng cấu tuyến tính
: '
k l
n n
V V
ϕ
→
sao
cho
( )* ( ) *x y x y
ϕ ϕ
=
r r r r
,
x
∀
r
,
y
r
∈ V
n
k
.
Gọi
1,
{ }

i
n
e
r
là cơ sở trực chuẩn của V
n
k
. Khi đó:
* 1
i i
e e
=
r r
, với i ≤ k,
* 1
j j
e e
= −
r r
,
với j > k, và
* 0
i j
e e
=
r r
, với i ≠ j.
Vì
ϕ
là đẳng cấu nên

1,
{ ( )}
i
n
e
ϕ
r
là một cơ sở của V’
n
l
.
Mặt khác:
( )* ( ) *x y x y
ϕ ϕ
=
r r r r
,
x
∀
r
,
y
r
∈ V
n
k
nên:
( )* ( ) * 1
i i i i
e e e e

ϕ ϕ
= =
r r r r
, với i ≤ k. (1)
( )* ( ) * 1
j j j j
e e e e
ϕ ϕ
= = −
r r r r
,với j > k.
( )* ( ) * 0
i j i j
e e e e
ϕ ϕ
= =
r r r r
, với i ≠ j.
Trang 25