CƠ HỌC ỨNG DỤNG - PHẦN 2 ĐỘNG HỌC - CHƯƠNG 4 doc

Chương 4: CHUYỂN ĐỘNG CƠ BẢN CỦA VẬT RẮN
1. HAI CHUYỂN ĐỘNG CƠ BẢN CỦA VẬT RẮN
1.1. Chuyển động tịnh tiến của vật rắn
1.1.1. Định nghĩa
Một vật được gọi là chuyển động tịnh tiến khi một đoạn thẳng AB
bất kỳ thuộc vật có phương không thay đổi trong quá trình chuyển
động
1.1.2. Định lý
- Quỹ đạo của mọi điểm trên vật rắn chuyển động tịnh tiến là như
nhau.
- Tại mỗi thời điểm vận tốc và gia tốc của mọi điểm là như nhau.
Chứng minh:
BA
BA
AB
ww
vv
BArr







O
A
B
A
B
C

D
A
r

A
v

B
w

B
r

B
v

A
w

- Để khảo sát chuyển động tịnh tiến của một vật ta chỉ cần
khảo sát chuyển động của một điểm là đủ.
1.2. Chuyển động quay của vật rắn quanh trục cố định
1.2.1. Định nghĩa
Chuyển động của vật rắn trong đó có hai điểm luôn cố định
gọi là chuyển động quay của vật rắn quanh trục đi qua hai
điểm cố định đó.
B
A
S

S
O
1.2.2. Khảo sát chuyển động của cả vật
1.2.2.1. Phương trình chuyển động
- Mặt phẳng 
0
gắn cố định với hệ quy chiếu
qua trục quay AB.
- Mặt phẳng di dộng  gắn liền với vật qua AB.
Góc nhị diện  giữa 2 mặt phẳng 
0
và  xác định vị trí của vật
quay.
B
A



0
Phương trình chuyển động của cả vật:  = (t)
1.2.2.2. Vận tốc của cả vật
Vận tốc góc trung bình của vật trong khoảng thời gian t
được xác định như sau:
t
tb






Vận tốc góc tại thời điểm t được xác định như sau
:










dt
d
t
t
t 0
lim)(





2
2
)(
dt
d
dt
d

t
Vận tốc góc của vật bằng đạo hàm bậc nhất của chuyển vị
góc theo thời gian. Thứ nguyên [ góc quay/ thời gian],
thường rad/s.
1.2.2.3. Gia tốc góc của vật
Gia tốc góc của vật tại thời điểm t được tính bằng đạo hàm
bậc nhất của vận tốc góc theo thời gian.
Thứ nguyên [ góc quay/ (thời gian)
2
], thường rad/s
2
.
1.2.2.4. Biểu diễn vận tốc góc và gia tốc góc của vật bằng véc tơ
Người ta biểu diễn vận tốc góc và gia tốc góc bằng véc tơ vận tốc
góc và gia tốc góc .





















1.2.2.5. Phán đoán tính chất chuyển động của vật
Dựa vào tích vô hướng của hai véc tơ và .




1.2.3. Khảo sát chuyển động của điểm thuộc vật
1.2.3.1. Phương trình chuyển động
Quỹ đạo của điểm M là
mộtvòng tròn tâm O, bán
kính OM = r.
Xây dựng hệ toạ độ tự nhiên
lấy M
O
làm gốc.
s = cung M
O
M = s(t) = OM.(t) = r.(t)
1.2.3.2. Vận tốc của điểm
Từ định nghĩa về vận tốc ta có:
Véc tơ vận tốc vuông góc với bán kính quỹ đạo r = OM
tại thời điểm đang xét và có chiều phù hợp với chiều .
Tại mỗi thời điểm vận tốc của các điểm dọc theo bán kính
OM



0

M
0
M
O
M
M
0

)(.)(.)()( trtrtstv







)(tv

phân bố theo quy luật bậc nhất quanh O.
1.2.3.3. Gia tốc của điểm
Hai thành phần gia tốc tiếp và pháp được xác định như sau:
- Gia tốc tiếp tuyến:
Tại thời điểm khảo sát có phương vuông góc với bán
kính quỹ đạo r = OM và có chiều phù hợp với chiều của .
- Gia tốc pháp tuyến:
hướng từ M về O
- Gia tốc toàn phần:



.rvw




w

2
2
.


r
v
w
n

n
w

22
.

 rw
n
www







M
O



w

n
w

Tại mỗi thời điểm gia tốc của các điểm dọc theo bán kónh
OM phân bố theo quy luật bậc nhất quanh O.
1.2.3.4. Biểu diễn vận tốc và gia tốc của điểm dưới dạng véc
tơ
- Biểu thức vận tốc:
- Biểu thức gia tốc
O
M
R
r

v



n

wwvrw
















 
dt
rd
r
dt
d
r
dt
d
dt
vd
w













rv






1.2.3.5. Ví dụ
Một vật rắn thực hiện chuyển động quay quanh một trục cố
định theo quy luật  = 5t
2
+ 7t. Hãy tính vận tốc góc và gia tốc
góc của vật tại thời điểm t = 10 giây. Xác định vận tốc và gia
tốc của một điểm M nằm cách trục quay một khoảng r = 1,5m
tại thời điểm đã cho,
2. HỢP CHUYỂN ĐỘNG
Trong thực tế chuyển động của đối tượng khảo sát đối với một hệ
quy chiếu được xem là cố định thường được khảo sát thông qua
chuyển động của nó đối với một hệ quy chiếu động là hệ chuyển

động so với hệ cố định. Bài toán như thế gọi là bài toán hợp chuyển
động .
Các định nghĩa
- Hệ quy chiếu được xem là cố định gọi là hệ quy chiếu cố định, hệ
toạ độ đề các O
1
x
1
y
1
z
1
được gắn lên hệ quy chiếu này.
- Hệ quy chiếu động gọi là hệ động, hệ tọa độ đề các Oxyz được gắn
lên hệ này.
- Chuyển động của đối tượng khảo sát đối với hệ quy chiếu cố định
gọi là chuyển động tuyệt đối.
-Chuyển động của đối tượng khảo sát đối với hệ quy chiếu động gọi
là chuyển động tương đối.
- Chuyển động của hệ động đối với hệ quy chiếu cố định gọi
là chuyển động theo.
2.1. Hợp chuyển động của điểm
2.1.1. Định lý hợp vận tốc
- Véc tơ vận tốc tuyệt đối của điểm bằng tổng véc tơ vận tốc
theo và vận tốc tương đối.
là vận tốc của M đối với hệ cố định (O
1
x
1
y

1
z
1
) gọi là véc
tơ tuyệt đối.
là vận tốc của điểm M
*
gắn liền với hệ động (Oxyz) và
trùng với điểm M tại thời điểm khảo sát gọi là vận tốc theo.
là vận tốc của điểm M đối với hệ động (Oxyz), gọi là vận
tốc tương đối.
Chứng minh:
Tọa độ của điểm M trong hệ quy chiếu cố định
rea
vvv





a
v

e
v

r
v

O

1
z
1
y
1
x
1
O
x
y
z
0
r

1
r

r

)(
0
1
1
01
kzjyix
dt
d
dt
rd
dt

rd
kzjyixrr
rrr
o














a
v
dt
rd



1
k
dt
dz
j

dt
dy
i
dt
dx
dt
kd
z
dt
jd
y
dt
id
x
dt
rd
v
a








0
e
MM
vkzjyixrrv














0
**
k
dt
dz
j
dt
dy
i
dt
dx
v
r






rea
vvv





Mà:
Vậy định lý được chứng minh
M
O
1
z
1
y
1
x
1
O
x
y
z
0
r

1
r

r


1
u

2
u

O
0
v

Ví dụ:. Một con thuyền qua sông với vận tốc là u
1
so với
mặt nước theo phương vuông góc với dòng nước.Vận tốc
của dòng nước là u
2
. Tìm vận tốc của thuyền so với bờ?
rea
vvv





21
uu





2
2
2
1
uuv
a

2.1.2. Định lý hợp gia tốc của điểm
2.1.2.1. Định lý
Véc tơ gia tốc tuyệt đối bằng tổng các véc tơ gia tốc theo,
gia tốc tương đối và gia tốc côriôlít.
krea
wwww







Chứng minh:
dt
vd
w
a
a
































dt
kd

dt
dz
dt
jd
dt
dy
dt
id
dt
dx
k
dt
zd
j
dt
yd
i
dt
xd
dt
kd
z
dt
jd
y
dt
id
x
dt
rd

w
a









2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
2
Vậy:
2.1.2.2. Biểu thức của gia tốc côriôlít
Xét trường hợp chuyển động của hệ động là chuyển động

quay quanh một trục cố định.
Ta có:
áp dụng công thức trên cho đạo hàm bậc nhất theo thời gian
của véc
tơ đơn vị là , ,
krea
wwww





Me
M
M
r
dt
rd
v






dt
id

dt
jd


dt
kd

i
dt
id
e





j
dt
jd
e





k
dt
kd
e






rx
v
dt
dx

ry
v
dt
dy

rz
v
dt
dz

re
v
dt
kd
dt
dz
dt
jd
dt
dy
dt
id
dt
dx

















22
rek
vw






2
, ,
, ,
2.2. Hợp chuyển động của vật
2.2.1. Hợp hai chuyển động tịnh tiến

Hợp hai chuyển động tịnh tiến đồng thời của một vật rắn là
một chuyển động tịnh tiến với véc tơ vận tốc của một điểm
bất kỳ thuộc vật bằng tổng hình hai véc tơ vận tốc của các
chuyển động thành phần.
3. CHUYỂN ĐỘNG SONG PHẲNG CỦA VẬT RẮN
3.1. Định nghĩa và mô hình
 Định nghĩa: Một vật rắn gọi là chuyển động song phẳng khi
khoảng cách từ một điểm bất kỳ thuộc vật đến một mặt phẳng quy
chiếu nào đó luôn không đổi.
P
P
0
Mặt phẳng quy
chiếu
A
B
s
P
S
Lấy các ví dụ minh họa
 Mô hình:
- Chuyển động song phẳng của vật rắn được coi là tập hợp
của các đường thẳng song song với AB.
y
x
O
- Chuyển động của mỗi đường này là chuyển động tịnh tiến nên chỉ
cần nghiên cứu chuyển động của một điểm.
- Mô hình chuyển động là một tiết diện song song với mặt phẳng quy
chiếu.

3.2. Khảo sát chuyển động của hình phẳng
3.2.1. Phương trình chuyển động
- Hệ quy chiếu
- Thông số định vị
- PT chuyển động:
O
1
O
M
x
0
y
0
x
M
y
M

y
1
x
1
x
y
(S)
- Chuyển động song phẳng của vật rắn là sự tổng hợp hai chuyển
động cơ bản đồng thời đó là: tịnh tiến cùng O (O là điểm bất kỳ
thuộc vật) và quay xung quanh trục qua O.
- Từ đây dễ dàng xác định PTCĐ của một điểm bất kỳ thuộc vật.
)(

)(
)(
00
00
t
tyy
txx




O
1
O
M
x
0
y
0
x
M
y
M

y
1
x
1
x
y

(S)
O
M
0
v

0
v

M
v

0M
v


P
3.2.2.
V
ậ
n
t
ố
c
v
à
gia
t
ố
c

c
ủ
a
v
ậ
t
Từ phương trình chuyển động dễ dàng xác định được vận
tôc, gia tốc của cực O, vận tốc góc và gia tốc góc của hình
phẳng.
)(t




)(t




)(
)(
0
0
0
0
tyv
txv
y
x





)(
)(
0
0
0
0
tyw
txw
y
x




3.3. Khảo sát chuyển động của các điểm thuộc vật
3.3.1. Liên hệ vận tốc giữa hai điểm thuộc vật
 Định lý: Véc tơ vận tốc của điểm M thuộc vật bằng tổng
hình học véc tơ vận tốc của cực O và véc tơ vận tốc của M
trong chuyển động quay tương đối quanh trục đi qua O.
Theo định lý hợp vận tốc của điểm:
,
Vậy
O
M
0
v


0
v

M
v

0M
v


P
e
M
vvv





0
*
aM
vv



MOM
vvv






0
O
M
0
v

0
v

M
v

0M
v


P
O
M
MO
MO
MO
0
w

t
w


n
w

w

0
w

M
w


P
Biểu thức trên vẫn đúng khi O là điểm bất kỳ
3.3.2. Tâm vận tốc tức thời
- Tại mỗi thời điểm trên hình phẳng tồn tại một điểm P có vận
tốc bằng 0 gọi là tâm vận tốc tức thời của hình phẳng.

p
(S)
0P
v

0
v

0
v


O
P
- Tại mỗi thời điểm vận tốc của các
điểm thuộc hình phẳng phân bố
quanh tâm vận tốc tức thời P giống
như trong trường hợp hình phẳng
thuộc vật rắn quay quanh trục cố
định.
3.3.3. Cách xác định tâm vận tốc tức thời
Tâm vận tốc tức thời được xác định khi biết vận tốc của hai
điểm thuộc hình phẳng.
- Khi véc tơ vận tốc của hai điểm song song với nhau.
- Khi véc tơ vận tốc của hai điểm cắt nhau.

p
(S)
0P
v

0
v

0
v

O
P