Giáo trình và bài tập ví dụ về môn phương pháp tính cùng 1 số cách bấm máy tính fx570 ES 2
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (937.92 KB, 81 trang )
GV: Huỳnh Hữu Dinh – Trường Đại học Công Nghiệp TPHCM Email:
1
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP HCM
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
BÀI GIẢNG
PHƯƠNG PHÁP TÍNH
GV: HUỲNH HỮU DINH
TP HỒ CHÍ MINH 2/2011
GV: Huỳnh Hữu Dinh – Trường Đại học Công Nghiệp TPHCM Email:
2
Chương 0. SỐ XẤP XỈ, SAI SỐ
0.1. Số gần đúng và sai số
Trong thực tế, khi muốn biết giá trị đại lượng nào đó người ta tiến hành đo đạc, tính toán bằng
một số phương pháp nhất định. Nhiều khi chúng ta không thể nhận được chính xác giá trị thật của đại
lượng cần biết mà chỉ nhận được số gần đúng (hoặc xấp xỉ) với giá trị thật. Việc đánh giá độ chính
xác của giá trị xấp xỉ và sai số của phép đo hoặc phương pháp tính toán là hết sức cần thiết. Điều đó
dẫn tới việc đưa ra khái niệm về số xấp xỉ và sai số nhận được. Nội dung dưới đây sẽ trình bày những
khái niệm này.
Định nghĩa 0.1.1: Giả sử
A
là số đúng,
a
là số gần đúng của
A
(trong trường hợp
A
là số
vô tỷ như số
e
hay số
hoặc số hữu tỷ với phần thập phân vô hạn tuần hoàn như số
1
6
). Ta gọi hiệu
số
a A a
là sai số xấp xỉ của số gần đúng
a
. Khi đó các đại lượng ;a a
A
ta lần
lượt gọi là sai số tuyệt đối và sai số tương đối của
a
.
Rõ ràng ta có:
a A a
hoặc
A a
Nếu
A
không phải là số có hữu hạn chữ số thì lẽ đương nhiên ta cần
a
là số có hữu hạn chữ
số và khi đó
sẽ có cùng dạng với
A
. Chẳng hạn, lấy
; 3,14
A a
thì
0, 0015926
Định nghĩa 0.1.2: Sai số tuyệt đối giới hạn của số xấp xỉ
a
là số không nhỏ hơn sai số tuyệt
đối của
a
.
Kí hiệu sai số tuyệt đối giới hạn là
a
thì:
a
Theo định nghĩa này thì sai số tuyệt đối giới hạn không là đơn trị.
Từ định nghĩa ta suy ra
a a
a A a
Trong thực tế, người ta thường chọn sai số tuyệt đối giới hạn
a
là số nhỏ nhất có thể trong
các sai số tuyệt đối giới hạn, và qui ước viết:
a
A a
Định nghĩa 0.1.3: Sai số tương đối giới hạn của số xấp xỉ
a
, kí hiệu là
a
, là số không nhỏ
hơn sai số tương đối giới hạn của
a
.
GV: Huỳnh Hữu Dinh – Trường Đại học Công Nghiệp TPHCM Email:
3
Có nghĩa là:
a
a
hay
a
A
Từ đây
a
A
Theo định nghĩa sai số tuyệt đối giới hạn, ta có thể chọn
a a
A
Nhưng trong thực tế ta không biết được chính xác giá trị
A
và vì
a
là số xấp xỉ của
A
nên
người ta thường dùng công thức:
a a
a
Từ đây ta có công thức
1
a
A a
0.2. Sai số làm tròn số
Giả sử cho số
1 0 1 2 1
,
m m m n m n
A s s s s s s s
. Chữ số thứ
n
của
A
là số
1
m n
s
tính từ
trái qua phải. Kí hiệu
1 0 1 2 1
,
m m m n
a s s s s s s
là số làm tròn đến chữ số thứ
n
từ số
A
. Qui tắc
làm tròn như sau:
. Nếu
5
m n
s
thì
1 1
1
m n m n
s s
;
. Nếu
5
m n
s
thì
1 1
;
m n m n
s s
. Nếu
5
m n
s
thì
1 1
1
m n m n
s s
khi
1
m n
s
là số lẻ,
1 1
m n m n
s s
khi
1
m n
s
là số
chẵn
Từ qui tắc làm tròn ở trên ta thấy, sai số tuyệt đối giới hạn là:
1
1
5.10 10
2
m n m n
a
0.3. Số chữ số đáng tin cậy
Xét hai số
A
và
a
như mục trên. Ta nói tất cả
n
chữ số của
a
đều tin cậy, nếu ta có:
1
1
5.10 10
2
m n m n
a
a A a
Chẳng hạn
2, 7183
a
là số làm tròn đến năm chữ số của số
e
nên ta có
0, 00001 0, 00005
nên
a
có năm chữ số tin cậy với số cuối cùng đã được làm tròn.
Với số
A
và
a
nói trong mục 0.2, ta sẽ thấy
1
1 1
2 10
n
m
a
s
, do đó có thể lấy:
GV: Huỳnh Hữu Dinh – Trường Đại học Công Nghiệp TPHCM Email:
4
1
1 1
2 10
n
a
m
s
(1)
Theo công thức này thì số
2, 7183
a
có sai số tương đối giới hạn so với số
e
là:
5 1
1 1
0, 0025%
2 2 10
a
Ví dụ
Phải tính
3
29
với bao nhiêu chữ số thập phân để có
0,1%
a
. Ta thấy phần nguyên của số
này là 3. Do vậy áp dụng (1) ta được:
1
10
0, 001 4
6
n
n
Ta chọn
4
n
, nghĩa là phải lấy bốn chữ số thập phân, do đó
3
29 3, 072
.
Đôi khi người ta nói số
a
nào đó có
q
chữ số đáng tin cậy sau dấu phẩy, hàm ý rằng
q
chữ số
phần thập phân là đáng tin cậy. Khi đó đương nhiên tất cả các chữ số phần nguyên của số
a
cũng là
tin cây. Giả sử số
a
cũng có
p
chữ số phần nguyên. Khi đó ta có:
1
m p
và
n p q
. Khi đó
ta được
0, 5.10
q
a
0.4. Sai số thực hiện các phép toán
0.4.1. Sai số của phép cộng
Xét tổng
1 2
n
u x x x
với
i
x
là các số gần đúng với sai số tương ứng là
i
x
. Hiển
nhiên là ta phải có:
1 2
n
u x x x
và do đó:
1 2
n
u x x x
Từ đây suy ra:
1 2
n
u x x x
(2)
Ta có qui tắc cộng các số có sai số tuyệt đối khác nhau như sau:
. Giữ nguyên các số hạng có số chữ số sau dấu phẩy là ít nhất;
. Các số hạng khác làm tròn đến một hoặc hai số sau dấu phẩy nhiều hơn các số hạng đã
chọn ở bước trên.
. Cộng tất cả các số còn lại với nhau rồi làm tròn tổng, bớt đi một chữ số thập phân.
Liên quan đến
u
, trong trường hợp
i
x
cùng dấu thì có thể thấy:
1 2
max , , ,
n
u x x x
GV: Huỳnh Hữu Dinh – Trường Đại học Công Nghiệp TPHCM Email:
5
Từ đây ta suy ra
1 2
max , , ,
n
u x x x
0.4.2. Sai số của phép trừ
Về nguyên tắc đánh giá (2) đúng cả cho phép trừ. Tuy nhiên, chúng ta xét riêng trường hợp
này để nhấn mạnh một điều rất cần chú ý khi lập trình. Xét hiệu số
1 2
u x x
Dễ dàng thấy rằng, khi
1
x
và
2
x
cùng dấu và
1 2
x x
thì
1 2
,
u x x
do
1 2
1
x x
. Hơn thế nữa, trên các máy tính có độ chính xác không đủ cao,
u
sẽ được đặt bằng
không. Trong trường hợp như thế ta cần tránh phép trừ trực tiếp mà thay nó bằng một phép tính tương
đương. Chẳng hạn, ta muốn tính hiệu số
10 99, 99 0, 0005000125
u
ta phải lấy căn của
99, 99
tới 10 chữ số thập phân.
0.4.3. Sai số của phép nhân
Xét tích số
1 2
n
u x x x
với
0
i
x
. Giả sử
0, 1,
i
x i n
. Khi đó ta có
1 2
ln ln ln ln
n
u x x x
Mặt khác, ta cũng có
ln ln ln ln 1
z z
z z z z
z z
khi
1
z
z
. Do
đó ta có thể viết
1 2
1 2
n
n
u x x x
u x x x
Từ đây ta có:
1 2
1 2
n
n
u x x x
u x x x
Hay là:
1 2
n
u x x x
Do vậy ta có thể lấy
1 2
n
u x x x
0.4.4. Sai số trong phép chia
Xét thương số
1
2
x
u
x
. Giả thiết rằng hai số đều dương. Khi đó ta có:
1 2
ln ln ln
u x x
GV: Huỳnh Hữu Dinh – Trường Đại học Công Nghiệp TPHCM Email:
6
Lí luận như trên, ta nhận được
1 2
u x x
0.4.5. Sai số trong trường hợp tổng quát
Giả sử ta có mối quan hệ
1 2
, ,
n
u f x x x
, trong đó các sai số tuyệt đối
i
x
đã cho. Ta cần
đánh giá sai số tuyệt đối
u
qua các
i
x
. Coi các
i
x
là các đại lượng nhỏ, ta có thể dùng công
thức Taylor để đánh giá:
1 1 1
1 1
, , , ,
n n
n n n i i
i i
i i
f f
u f x x x x f x x x x
x x
Từ đây ta có thể lấy:
1
n
i
i
i
f
u x
x
Hoặc là:
1
i
n
u x
i
i
f
x
(3)
Cũng từ biểu thức này, ta có thể nhận được
1
ln
n
i
i
i
u
u x
x
hay là
1
ln
i
n
u x
i
i
u
x
Ví dụ:
Một hình cầu có đường kính
12,2
d cm
. Hãy tính sai số tuyệt đối và tương đối của thể tích
hình cầu
Giải
Trong trường hợp này ta có
0, 05
d
cm
. Lấy
3,14
, khi đó
0, 0016
. Ta có:
2 3
1
0, 5 233, 68; 302, 64
6
V V
d d
d
Sử dụng (3) ta được:
3
233, 68 0, 05 302, 64 0, 0016 12,2
12,2
1,3%
950, 3
V
V
V
cm
V
0.4.6. Bài toán xác định sai số ngược
GV: Huỳnh Hữu Dinh – Trường Đại học Công Nghiệp TPHCM Email:
7
Lại xét mối quan hệ tổng quát
1 2
, ,
n
u f x x x
. Giả sử cho trước
u
. Ta cần xác định các
i
x
để đảm bảo có được
u
như đã cho.
Ta có một biểu thức (3) lấy làm phương trình để xác định các
i
x
nên lời giải không phải là
duy nhất. Vì vậy chúng ta sẽ xét ba trường hợp cụ thể, có ý nghĩa ứng dụng thực tế:
Trường hợp 1: Giả thiết rằng
; ; , 1,
i j
x x i j i j n
. Khi đó từ (3) ta dễ dàng có:
1
; 1,
i
u
x
n
i
i
i n
u
x
Trường hợp 2: Giả sử ta có
; , 1,
i j
x x
i j
u u
i j n
x x
. Khi đó từ (3) ta dễ dàng có:
; 1,
i
u
x
i
i n
u
n
x
Trường hợp 3: Nếu
; , 1,
i j
x x
i j n
, thay
i
x i
x
vào (3) ta được:
1 1
i
u i
u
x
n n
i i
i i
i i
x
u u
x x
x x
Ví dụ
Một hình trụ có bán kính đáy
2
r m
, chiều cao
3
h m
. Cần xác định sai số của
r
và
h
để sai số tuyệt đối giới hạn của thể tích là
3
0,1
m
.
Giải
Ta có công thức
2
V r h
. Ta lấy
3,14
. Do đó:
2 2
2 37,68; 12, 56; 12; 37, 68
V V V
rh r r h V
r h
Sử dụng (5) ta có:
0, 0009
3
V
r
m
V
r
Tương tự, ta tính được
0, 0027 ; 0, 0028
h
m m
GV: Huỳnh Hữu Dinh – Trường Đại học Công Nghiệp TPHCM Email:
8
Chương 1. PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ SIÊU VIỆT
Bài 1. MỞ ĐẦU
Trong mục này, ta tìm hiểu những phương pháp giải một số phương trình đại số dạng:
0
f x
(*), với
f x
là một hàm phi tuyến.
Phương trình trên, trừ một vài trường hợp đặc biệt, có công thức giải đúng, còn nói chung
không có công thức giải đúng (các công trình của nhà Toán học Abel đã khẳng định điều đó). Ở khía
cạnh khác, các hệ số của
f x
trong nhiều trường hợp cũng chỉ là các số gần đúng hoặc nghiệm của
f x
là một biểu thức rất phức tạp, cho nên vấn đề giải đúng phương trình (*) cũng không thật sự
cần thiết. Do đó, chúng ta cần quan tâm đến những phương pháp giải gần đúng, nhất là những
phương pháp có thể dùng máy tính hỗ trợ.
Để giải gần đúng phương trình (*), ta tiến hành các bước sau:
. Thứ nhất là tách nghiệm, nghĩa là tìm một khoảng
,
a b
đủ nhỏ sao cho phương trình (*) có
nghiệm duy nhất
*
,
x a b
.
. Thứ hai là chính xác hóa nghiệm gần đúng đến độ chính xác cần thiết.
Cơ sở để tách nghiệm là những kết quả sau đây mà bạn có thể bắt gặp ở tất cả các cuốn sách
về Giải tích.
Định lí 1.1.1. Giả sử
f x
liên tục trên
,
a b
và
0
f a f b
. Khi đó phương trình
0
f x
tồn tại ít nhất một nghiệm trong khoảng
,
a b
.
Định lí 1.1.2. Nếu
f x
liên tục trên
,
a b
và
0
f a f b
, hơn nữa, hàm số
f x
có đạo
hàm
f x
liên tục trên đoạn
,
a b
và
f x
không đổi dấu trên
,
a b
thì nghiệm nói trên là duy
nhất.
Bước tách (li) nghiệm thường được tiến hành nhờ phương pháp chia đôi hoặc phương pháp đồ
thị.
Nguyên tắc thực hiện phương pháp chia đôi như sau:
Xác định
0
f a f b
, sau đó chia đôi đoạn
,
a b
và gọi
1 1
,
a b
là một trong hai nữa ở trên
sao cho
1 1
0
f a f b
. Lại chia đôi đoạn
1 1
,
a b
và gọi
2 2
,
a b
là một trong hai đoạn con mà
GV: Huỳnh Hữu Dinh – Trường Đại học Công Nghiệp TPHCM Email:
9
2 2
0
f a f b
; quá trình cứ thế tiếp tục, (nếu tại
i
a
mà
0
i
f a
hoặc
i
b
mà
0
i
f b
thì ta nói
giá trị đó là nghiệm đúng của phương trình
0
f x
)
Nguyên tắc của phương pháp đồ thị như sau: Nghiệm của phương trình
0
f x
là hoành độ
giao điểm của đồ thị hàm số
y f x
với trục hoành; hoặc ta biến đổi
0
f x
về dạng
x x
. Khi đó nghiệm của phương trình
0
f x
là hoành độ giao điểm của hai đồ thị
y x
và
y x
.
Sau khi đã tách được nghiệm thì công việc tiếp theo là chính xác hóa nghiệm đến độ chính xác
cần thiết. Để thực hiện bước này, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau: phương pháp lặp,
phương pháp dây cung, phương pháp tiếp tuyến, phương pháp Muller, phương pháp Laguerre,…Tất
cả phương pháp được nêu chúng ta đều có thể lập trình bằng ngôn ngữ Matlab hoặc Fortran. Nhưng
trong phạm vi bài giảng này, chúng ta sẽ bỏ qua hai phương pháp Muller và Laguerre. Phương pháp
Muller cần sử dụng công cụ số phức còn phương pháp Laguerre thì cơ sở toán học chưa thật chặt chẽ.
Sau đây chúng ta sẽ đi vào từng nội dung cụ thể.
GV: Huỳnh Hữu Dinh – Trường Đại học Công Nghiệp TPHCM Email:
10
Bài 2. PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN
Xét phương trình
0
f x
(1)
có khoảng li nghiệm là
,
a b
.
Ta biến đổi phương trình (1) về dạng tương đương:
x x
(2)
Với xấp xỉ ban đầu
0
x
thuộc khoảng
,
a b
đã cho, ta xây dựng dãy
0,
n
n
x
nhờ vào hệ thức:
1
, 0
n n
x x n
.
Nếu dãy
0,
n
n
x
có giới hạn
*
lim
n
n
x x
thì
*
x
chính là nghiệm đúng của phương trình (2)
và cũng là nghiệm của (1)
Tiếp theo, ta tìm hiểu một số điều kiện để dãy
0,
n
n
x
hội tụ.
Định lí 1.2.1. Giả sử hàm số
y x
khả vi liên tục trên
,
a b
và với mọi
,
x a b
thì
,
x a b
. Khi đó, nếu ta có
1
x L
với mọi
,
x a b
thì dãy số
0,
n
n
x
được xây
dựng bởi hệ thức
1
, 0
n n
x x n
hội tụ đến nghiệm
*
x
của phương trình
0
f x
và ta có
các ước lượng
* *
0
n
n
x x L x x
*
1
1
n n n
L
x x x x
L
*
0 1
1
n
n
L
x x x x
L
Nhận xét: Phương pháp lặp đơn có tính chất tự điều chỉnh, nghĩa là nếu tại một vài bước tính
toán trung gian ta mắc phải sai số thì dãy
0,
n
n
x
vẫn hội tụ đến
*
x
, tất nhiên chỉ một vài bước sai
và sai số mắc phải không vượt ra ngoài đoạn.
Một tính chất đặc biệt của phép lặp này là có thể đánh giá ngay từ đầu số bước lặp mà ta cần
phải làm để có được độ chính xác theo yêu cầu. Thật vậy, từ biểu thức
*
0 1
1
n
n
L
x x x x
L
GV: Huỳnh Hữu Dinh – Trường Đại học Công Nghiệp TPHCM Email:
11
nếu ta muốn có nghiệm gần đúng với sai số
thì ta sẽ dừng lại ở bước lặp thứ
n
sao cho:
0 1
1
n
L
x x
L
Từ đây ta có đánh giá cho
n
1 0
1
ln / ln
q
n q
x x
Từ định lí 1.2.1 cho thấy, nếu
L
càng nhỏ thì tốc độ hội tụ càng nhanh, và tốc độ hội tụ của
phương pháp này rất chậm khi
L
càng gần 1.
Trên đây ta nhắc đến việc chuyển từ (*) sang dạng tương đương (**) sao cho điều kiện
' 1, ;
x L x a b
được thỏa mãn. Về vấn đề này có mấy nhận xét sau:
. Giả sử
0 '
m f x M
(với trường hợp
' 0
M f x m
ta làm tương tự). .
. Ta có thể chuyển từ (*) sang dạng tương đương sau:
x x f x x
với
1
M
(***)
. Rõ ràng ta có:
1 1 1 1, ;
f x m
x f x x a b
M M
. Do đó phép lặp được xây dựng trên (***) sẽ hội tụ đến nghiệm cần tìm
Ví dụ: Tìm nghiệm lớn nhất của phương trình
3
1000 0
x x
(1)
Giải
Đặt
3
1000
f x x x
thì ta thấy
9 . 10 0
f f
. Mặt khác
2
3 1 0, 9,10
f x x x
nên ta suy ra
9,10
là khoảng tách (li) nghiệm của phương trình (1). Có ba cách đưa (1) về dạng
x x
như sau:
.
3
1000
x x
, vậy
3
1
1000
x x
.
2
1000
x
x
x
, vậy
2
2
1000
x
x
x
.
3
1000
x x
, vậy
3
3
1000
x x
Rõ ràng trong trường hợp 3,
3
3
1000
x x
có
GV: Huỳnh Hữu Dinh – Trường Đại học Công Nghiệp TPHCM Email:
12
3
2
3
1 1
200
3 1000
x L
x
Chọn
0 3
10, 9,9667
x x
với độ chính xác không quá
4
10
, ta có thể coi
*
3
x x
.
Bài 3. PHƯƠNG PHÁP NEWTON (PHƯƠNG PHÁP TIẾP TUYẾN)
Trong mục này, ta xét lại phương trình
0
f x
.
Giả sử rằng ta đã tìm được một khoảng li nghiệm của phương trình trên là khoảng
,
a b
, đồng
thời
,
f x f x
liên tục và không đổi dấu trên đoạn
,
a b
. Khi đó, với
0
x
là xấp xỉ ban đầu được
chọn, ta xây dựng dãy
0,
n
n
x
theo công thức:
1
0
n
n n
n
f x
x x
f x
n
Ta có thể chứng minh được, với một số điều kiện thích hợp phương pháp Newton hội tụ,
chẳng hạn với điều kiện sau
Định lí 1.3.1. Nếu phương trình
0
f x
có
,
a b
là khoảng li nghiệm, đồng thời
,
f x f x
liên tục và không đổi đấu trên đoạn
,
a b
, với
0
,
x a b
sao cho
0 0
. 0
f x f x
(
0
x
,được gọi là điểm Fourier, thường được chọn là một trong hai đầu mút a hoặc b). Khi đó dãy
0,
n
n
x
xây dựng như trên hội tụ đến nghiệm
*
x
của phương trình
0
f x
và ta có ước lượng
2
*
1 1
2
n n n
M
x x x x
m
với
,
m M
là hai hằng số thỏa mãn
0 , ,
m f x x a b
, ,
f x M x a b
Nhận xét: Nếu như việc tính toán
f x
tại mỗi điểm quá phức tạp và ta thấy
f x
không
thay đổi lớn thì ta thay dãy xấp xỉ ở trên như dãy dưới đây, thường được gọi là phương pháp Newton
cải tiến:
GV: Huỳnh Hữu Dinh – Trường Đại học Công Nghiệp TPHCM Email:
13
1
0
0
n
n n
f x
x x
f x
n
Định lý 1.3.1 còn cho thấy phương pháp Newton có tốc độ hội tụ bậc hai. Vì thế, nếu phương
pháp Newton làm việc thì nó hội tụ đến nghiệm nhanh hơn bất kì phương pháp nào khác.
Ví dụ: Dùng phương pháp Newton giải phương trình
3
2 10 0
x x
với độ chính xác
3
10
, biết khoảng li nghiệm là
2, 3
.
Giải
Đặt
3
2 10
f x x x
. Khi đó ta có:
2
3 2
6
f x x
f x x
Dễ thấy rằng
3 3 0
f f
nên ta chọn
0
3
x
. Ta xây dựng dãy
1,
n
n
x
như sau:
3
1
2
2 10
' 3 2
0
n
n n
n n n
n n
f x
x x
x x x
f x x
n
Với
0
3
x
, ta tính được
1 1
2.5600 1.6572
x f x
2 1
2.4662 0, 0668
x f x
4
3 3
2.4621 1.2501.10
x f x
Chọn
10, 18
m M
khi đó
2
2
* 3
3 3 2
18
0.0041 10
2 20
M
x x x x
m
Vì thế ta có thể chọn
*
3
x x
.
GV: Huỳnh Hữu Dinh – Trường Đại học Công Nghiệp TPHCM Email:
14
Bài 4. PHƯƠNG PHÁP DÂY CUNG (THAM KHẢO)
Trong mục này, ta phương trình
0
f x
.
Giả sử rằng ta đã tìm được một khoảng li nghiệm của phương trình trên là khoảng
,
a b
, đồng
thời
,
f x f x
liên tục và không đổi dấu trên đoạn
,
a b
. Không giảm tổng quát, ta giả sử
0
f x
trên
,
a b
. Khi đó đồ thị
y f x
nằm phía dưới dây cung
AB
với
, , ,
A a f a B b f b
.
Trường hợp 1: Nếu
0
f a
, ta xây dựng dãy
0,
n
n
x
theo hệ thức:
0
1
n
n n n
n
x b
f x
x x x a
f x f a
n
Khi đó ta sẽ có dãy
0,
n
n
x
đơn điệu giảm, bị chặn và:
*
1 0
n n
a x x x x b
Trường hợp 2: Nếu
0
f a
, ta xây dựng dãy
0,
n
n
x
theo hệ thức:
0
1
n
n n n
n
x a
f x
x x x b
f x f b
n
Khi đó ta sẽ có dãy
0,
n
n
x
đơn điệu giảm, bị chặn và:
*
0 1 1
n n
a x x x x x b
Định lý 1.4.1: Nếu phương trình
0
f x
có
,
a b
là khoảng li nghiệm, đồng thời
f x
liên
tục và không đổi đấu trên đoạn
,
a b
,
f x
liên tục và dương trên đoạn
,
a b
. Khi đó dãy
0,
n
n
x
xây dựng như trên hội tụ đến nghiệm
*
x
của phương trình
0
f x
và ta có ước lượng
*
1 1
n n n
M m
x x x x
m
với
,
m M
là hai hằng số thỏa mãn
GV: Huỳnh Hữu Dinh – Trường Đại học Công Nghiệp TPHCM Email:
15
0 , ,
m f x M x a b
Ví dụ:
Giải phương trình
3 2
1 0
x x x
bằng phương pháp dây cung biết khoảng li nghiệm là
0,1
với sai số không quá
3
10
.
Giải
Đặt
3 2
1
f x x x x
. Khi đó ta có:
2
3 2 1
6 2 0, 0,1
f x x x
f x x x
Từ đây ta suy ra
1 6
f x
.
Dễ thấy
0 1 0
f
. Ta xét dãy
0,
n
n
x
được xây dựng như sau:
0
2
1
2
0
2 1
1
1 2 3
0,
n
n n
n n n
n n n
x
f x
x x
x x x
f x f x x
n
Từ đây ta tính được
6 7 8
0, 5428763, 0,543428, 0, 543605
x x x
.
Ta đánh giá sai số của
8
x
so với nghiệm đúng
* 4 3
8 8 7
6 1
0, 543605 0, 543428 8, 85.10 10
1
M m
x x x x
m
Vậy ta lấy
*
8
x x
.
GV: Huỳnh Hữu Dinh – Trường Đại học Công Nghiệp TPHCM Email:
16
Chương 2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Bài 1. MỞ ĐẦU
Nhiều vấn đề của khoa học kĩ thuật, kinh tế, môi trường quy về việc giải hệ phương trình
tuyến tính:
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
Đặt
ij
m n
A a
là ma trận hệ số,
m
b
là vector cột hệ số tự do cho trước,
n
x
là
vector cột phải tìm, thì hệ trên có thể được viết dưới dạng
Ax b
Về phương diện lí thuyết, hệ phương trình trên có thể giải bằng công thức Cramer trong
trường hợp
m n
và
det 0
A
. Cụ thể hơn, ta có:
det
det
j
j
A
x
A
Trong đó
j
A
là ma trận nhận được từ
A
bằng cách thay cột thứ
j
của
A
bằng ma trận cột hệ số tự do
b
. Tuy nhiên, ý nghĩa sử dụng thực tế công thức này chỉ có đối với
n
đủ nhỏ
2, 3
n n
, vì khi
n
đủ lớn thì chỉ riêng phép tính nhân đã tăng lên mức
1 1 !
n n n
(tại sao ?), đến nỗi chỉ cần
một hệ phương trình có 30 ẩn đã mất 378.080 tỉ năm để tính nghiệm theo công thức trên bằng máy
tính có tốc độ 20 ngàn tỷ/giây. Nhưng quan trọng hơn là sau gần 400 ngàn tỷ năm ta nhận được một
lời giải không phải là nghiệm của hệ đó nữa, đơn giản là vì phép tính quá lớn nên chỉ riêng sai số làm
tròn số đã cho ta một kết quả chẳng liên quan gì đến hệ phương trình đã cho. Ví dụ này có lẽ đủ nói
lên tầm quan trọng của phương pháp số.
Nếu
det 0
A
thì ta nói hệ phương trình gần như suy biến. Khi đó việc làm tròn số trong quá
trình tính nghiệm, dù bằng phương pháp tốt nhất hiện có, cũng dễ dẫn đến hệ suy biến và làm ta
không thể nhận được lời giải mà đáng lẽ ra chúng phải tồn tại. Nói chung, có thể chỉ ra rằng, nếu ta
lấy đại lượng:
GV: Huỳnh Hữu Dinh – Trường Đại học Công Nghiệp TPHCM Email:
17
1
0
0
sup . inf
x
x
Ax Ax
cond A
x x
làm đặc trưng cho ma trận
A
thì hệ phương trình với
cond A
lớn được gọi là hệ có thể trạng yếu sẽ
rất nhạy cảm với những thay đổi của vế phải, dù là rất nhỏ, nghĩa là thay đổi về nghiệm sẽ rất lớn dù
rằng thay đổi vế phải rất nhỏ (như làm tròn số). Ta sẽ làm rõ điều này bằng những phân tích sau đây
Giả sử
*
x
là nghiệm của hệ phương trình
Ax b
,
** * *
x x x
là nghiệm của hệ phương
trình
'
Ax b
với
'
b b b
. Khi đó ta có :
1 1 1
* * *
0 0 0 0
inf inf inf inf
x x x x
Ax Ax Ax Ax
x x A x b
x x x x
Mặt khác
1 1 1
* * *
0 0 0 0
sup sup sup sup
x x x x
Ax Ax Ax Ax
x x Ax b
x x x x
Từ đó, ta nhận được
1
*
*
0
0
sup . inf
x
x
x
Ax Ax b b
cond A
x x b b
x
Ước lượng trên chứng tỏ sai số tương đối của nghiệm có thể bằng tích của
cond A
với sai số
ở vế phải. Từ đó suy ra rằng với ma trận
A
thể trạng yếu thì nghiệm của nó thay đổi nhiều so với
những thay đổi nhỏ ở hệ số và các hạng số tự do. Như vây, giải hệ phương trình tuyến tính thể trạng
yếu là bài toán khó của toán học tính toán.
Các phương pháp giải hệ có thể phân làm hai nhóm chính: nhóm các phương pháp trực tiếp và
nhóm các phương pháp lặp. Đối với các phương pháp trực tiếp thì số các phép toán có thể dự đoán
trước được, còn đối với phương pháp lặp thì nói chung không thể dự đoán trước được số lần cần lặp
để có được nghiệm xấp xỉ với sai số mong muốn. Các phương pháp lặp thường được sử dụng đối với
hệ có số ẩn và số phương trình lớn, hệ gần suy biến hay thể trạng yếu. Sau đây, ta sẽ đi vào một số
phương pháp thông dụng để giải hệ phương trình.
GV: Huỳnh Hữu Dinh – Trường Đại học Công Nghiệp TPHCM Email:
18
Bài 2. PHƯƠNG PHÁP KHỬ GAUSS
Tư tưởng của phương pháp Gauss là đưa hệ phương trình
Ax b
về dạng tam giác hoặc dạng
hình thang, lúc đó nghiệm tìm được nhờ quá trình thế ngược. Cụ thể hơn ta sẽ dùng phương pháp
Gauss để giải hệ phương trình:
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
Không mất tổng quát, chúng ta luôn giả thuyết
11
0
a
. Để ma trận
A
có dạng tam giác hoặc
là hình thang, đầu tiên, chúng ta làm cho các phần tử ở cột thứ nhất, dòng thứ hai trở đi biến thành
0
bằng cách nhân dòng một với
1
11
i
a
a
rồi cộng vào dòng
2, 3,
i i m
, sau
1
m
phép biến đổi như
vậy chúng ta thu được hệ phương trình tương đương
11 1 12 2 1 1
' ' '
22 2 2 2
' ' '
2 2
n n
n n
m mn n m
a x a x a x b
a x a x b
a x a x b
(*)
Trong đó:
'
1
1
11
i
ij ij j
a
a a a
a
'
1
1
11
i
i i
a
b b b
a
Ở đây, ta còn nói “ khử ẩn
1
x
” , tiếp theo bằng cách tương tự chúng ta “khử ẩn
2
x
” từ phương
trình thứ ba trở đi đối với hệ (*). Sau đó, ta lại “ khử ẩn
3
x
” từ phương trình thứ tư trở đi (nếu có)…
Quá trình khử ẩn ở trên là quá trình lặp, sau hữu hạn bước biến đổi quá trình sẽ dừng lại ở một trong
các trường hợp sau:
1. Hệ nhận được có dạng tam giác (hệ có duy nhất nghiệm) hay ma trận
A
có dạng tam giác
2. Hệ nhận được có dạng bậc thang (hệ có vô số nghiệm) hay ma trận hệ số có dạng bậc thang.
3. Trong hệ xuất hiện phương trình có dạng
GV: Huỳnh Hữu Dinh – Trường Đại học Công Nghiệp TPHCM Email:
19
1 2
0 0 0
n
x x x b
với
0
b
Khi đó hệ vô nghiệm
Chú ý:
1. Trong quá trình biến đổi trong hệ xuất hiện phương trình dạng
1 2
0 0 0 0
n
x x x
Khi đó, chúng ta có thể loại bỏ phương trình này ra khỏi hệ phương trình
2. Về mặt thực hành, để giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp khử ẩn liên tiếp, ta
làm như sau:
. Xác định ma trận hệ số mở rộng
|
A A b
. Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để biến đổi sao cho ma trận hệ số
A
chuyện thành dạng tam giác hoặc bậc thang.
. Giải hệ phương trình bằng quá trình ngược.
Ví dụ
1. Giải hệ phương trình
1 2 3
1 2 3
1 3
2 3 4
2 0
3 2 1
x x x
x x x
x x
Giải
Bước 1: Lập ma trận hệ số mở rộng
A
2 1 3
4
| 1 2 1 0
3 0 2 1
A A b
Bước 2: Biến đổi
A
để đưa ma trận
A
về dạng tam giác hoặc hình thang:
1 2
2 1 3 4
| 1 2 1 0
3 0 2 1
d d
A A b
1 2 1 0
2 1 3 4
3 0 2 1
GV: Huỳnh Hữu Dinh – Trường Đại học Công Nghiệp TPHCM Email:
20
3 3 2
2 2 1
3 3 1
6
2
5
3
0 0
1 2 1 1 2 1
0 5 5 4 0 5 5 4
0 6 5 1 0 0 1 29
5
d d d
d d d
d d d
Bước 3: Khôi phục lại hệ phương trình
1 2 3
2 3
3
2 0
5 5 4
29
5
x x x
x x
x
Hệ có nghiệm duy nhất là:
1 2 3
19 24 29
; ;
5 5 5
x x x
GV: Huỳnh Hữu Dinh – Trường Đại học Công Nghiệp TPHCM Email:
21
Bài 2. PHƯƠNG PHÁP PHÂN RÃ (DECOMPOSITION METHOD)
Xét lại phương trình
Ax b
với
A
là ma trận vuông cấp
n
. Giả sử ma trận
A
có thể biểu
diễn dưới dạng
A LU
trong đó
11
21 22
1 2
0 0
0
n n nn
l
l l
L
l l l
là một ma trận tam giác dưới, còn
U
là ma trận tam giác trên:
11 12 1
22 2
0
0 0
n
n
nn
u u u
u u
U
u
Khi đó ta có
b Ax LUx Ly
với
y Ux
. Vậy hệ ban đầu được phân rã thành hai hệ
sau đây:
Ly b
Ux y
Vấn đề giải hệ phương trình trên rất đơn giản, đầu tiên là giải hệ
Ly b
để tìm
y
, sau đó với
y
vừa tìm được, ta giải hệ
Ux y
Trường hợp riêng :
a. Giải hệ bằng phương pháp Crout
Với phương pháp Crout thì ta cho
1, 1,
ii
u i n
, từ đó tìm các phần tử còn lại của ma trận
L
và
U
.
Sau đây ta sẽ dùng phương pháp Crout để phân rã ma trận cấp 3. Ta có
11
12 13
11 12 13
21 22 23 21 22 23
31 32 33
31 32 33
0 0
1
0 0 1
0 0 1
l
a a
a a a
a a a l l a
a a a
l l l
GV: Huỳnh Hữu Dinh – Trường Đại học Công Nghiệp TPHCM Email:
22
11 11 12 11 13
11 12 13
21 22 23 21 21 12 22 21 13 22 23
31 32 33
31 31 12 32 31 13 32 23 33
l l u l u
a a a
a a a l l u l l u l u
a a a
l l u l l u l u l
Từ đây ta suy ra:
11 11
21 21
31 31
l a
l a
l a
12
11 12 12 12
11
a
l u a u
l
21 12 22 22 22 22 21 12
l u l a l a l u
31 12 32 32 32 32 31 12
l u l a l a l u
13
11 13 13 13
11
a
l u a u
l
23 21 13
21 13 22 23 23 23
22
a l u
l u l u a u
l
31 13 32 23 33 33 33 33 31 13 32 23
l u l u l a l a l u l u
Bằng cách tương tự, ta có thể phân rã ma trận vuông cấp
n
. Cụ thể hơn, nếu
A
là một ma trận
vuông cấp
n
được cho bởi
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
n n nn
a a a
a a a
A
a a a
thì các phần tử của hai ma trận
,
L U
được xác định như sau:
1 1
1
1
11
, 1,2, ,
, 2, 3, ,
i i
j
j
l a i n
a
u j n
l
Với
2, 3, , 1
j n
1
1
, , 1, ,
j
ij ij ik kj
k
l a l u i j j n
1
1
1
, 1, 2, ,
j
jk jk ji ik
i
jj
u a l u k j j n
l
và
GV: Huỳnh Hữu Dinh – Trường Đại học Công Nghiệp TPHCM Email:
23
1
1
n
nn nn nk kn
k
l a l u
Ví dụ: Giải hệ phương trình:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 4
4 3 6
3 2 2 15
x x x
x x x
x x x
Giải
Áp dụng phương pháp Crout phân rã ma trận cấp 3 ta được:
2 0 0
4 5 0
7 13
3
2 5
L
và
1 1
1
2 2
3
0 1
5
0 0 1
U
Trước hết ta giải hệ
1 1
2 2
3 3
2
2 0 0 4
2
4 5 0 6
5
7 13 15
4
3
2 5
y y
Ly b y y
y y
Tiếp theo, ta giải hệ
1 1
2 2
3 3
1 1
1
2
2 2
1
3 2
0 1 2
5 5
4
0 0 1 4
x x
x x
x x
b. Phương pháp Choleski cho ma trận đối xứng
GV: Huỳnh Hữu Dinh – Trường Đại học Công Nghiệp TPHCM Email:
24
Phương pháp Choleski là phương pháp phân rã ma trận đối xứng xác định dương. Với một ma
trận đối xứng xác định dương bất kì ta luôn có sự phân rã duy nhất
T
A U U
trong đó
11 12 1
22 2
0
0 0
n
n
nn
u u u
u u
U
u
Đồng nhất hai vế ta được
11 11
1
1
11
1
2
1
1
1
, 2, 3, ,
, 2, 3, ,
1
, 2, 3, , ; 1, 2, ,
j
j
i
ii ii ki
k
i
ij ij ki kj
k
ii
u a
a
u j n
u
l a u j n
u a u u i n j i i n
u
Chú ý: Ma trận
A
có thể được phân rã như sau:
T
A LL
với
L
là ma trận tam giác dưới
Mở rộng: Phương pháp Choleski cũng là một phương pháp hữu hiệu để tìm ma trận nghich
đảo của một ma trận đối xứng
A
cho trước. Thật vậy, nếu
T
A U U
thì
1 1
1 1 1 1
T
T T
A U U U U U U
với
U
là một ma trận tam giác trên. Vì
U
là một ma
trận tam giác trên nên
1
U
cũng là một ma trận tam giác. Ta giả sử
1
ij
U
, ta dễ dàng tính được
các phần tử của
1
U
như sau:
1
1
1
,
0,
ii
ii
j
ij ik kj
k i
ii
ij
u
u i j
u
i j
GV: Huỳnh Hữu Dinh – Trường Đại học Công Nghiệp TPHCM Email:
25
Bài 3. PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN
2.3.1. Phương pháp: Trong
n
người ta thường xét hai chuẩn quen thuộc sau:
1
1
1
max
i
i n
n
i
i
x x
x x
Với ma trận vuông
ij
n
A a
ta sẽ có các chuẩn tương ứng:
1
1
1
1
1
max
max
n
ij
i n
j
n
ij
j n
i
A a
A a
Để giải hệ phương trình
Ax b
(1) bằng phương pháp lặp đơn, ta biến đổi (1) về dạng:
x Bx g
(2)
Sau đó với
0
n
x
, ta thiết lập dãy
k
x
bằng cách đặt:
1
0
k k
x Bx g
k
(3)
Với một số điều kiện về ma trận
B
, dãy
k
x
sẽ hội tụ đến nghiệm đúng
*
x
của hệ (1).
Phương pháp lặp xác định theo hệ thức (3) để giải hệ phương trình (1) được gọi là phương pháp lặp
đơn.
Sau đây ta xét một số điều kiện của ma trận
B
để dãy
k
x
hội tụ đến nghiệm đúng
*
x
của
(1).
2.3.2. Các định lí cơ bản:
Định lí 2.3.2.1 : Nếu
1
1
B
(hoặc
1
B
) thì với mọi
0
n
x
, dãy
k
x
xác định
bởi (1) hội tụ đến nghiệm duy nhất
*
x
của hệ (1), hơn nữa ta có:
i)
1 1*
1
1 1
1
1
k k k
B
x x x x
B
hoặc
1 1*
1
k k k
B
x x x x
B
với
0
k
