Bài tập minh họa về các phương pháp giải PT Lôgarit

PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
Phương pháp 1: Đưa về cùng cơ số:
1)
8
4 2
2
1 1
log ( 3) log ( 1) log (4 )
2 4
x x x+ + − =
ĐK: 0<x≠1.
(1)
1

3
( 3)( 1) 4
( 3) 1 4
0 1
2 3 3
( 3)(1 ) 4
x
x
x x x
x x x
x
x

x x x
 >



=
+ − =



⇔ + − = ⇔ ⇔



< <
= −




+ − =



2)

3
3 2 3 2
3 1
log .log log log
2
3
x
x x
x
− = +
ĐK: x>0
2 3 3

1
(2) log (1 2log 6log 2) 0
3
8
x
x x
x
=


⇔ − − = ⇔


=


3)
5
1
2log( 1) logx log
2
x x− = −
ĐK:x>1
2 2
1

(3) log( 1) logx
2
x x⇔ − = ⇔ =
(không thoả mãn đk). Phương trình vô nghiệm
4)
2
2 2
log ( 3) log (6 10) 1 0.
: 3
x x
DK x
− − − + =

>
2 2
2 2
1( )
(4) log ( 3) log (3 5) 3 3 5
2
x l
x x x x
x
=

⇔ − = − ⇔ − = − ⇔


=

5)
2
1
log( 10) logx 2 log4
2
x + + = −
ĐK: -10<x≠0
5
(5) ( 10) 25

5 5 2
x
x x
x
= −

⇔ + = ⇔

= − +

6)
2 2 3

2 2
1
log (2 ) log 3 2
2
x x x x+ − = −
ĐK:x>0
2 3
2
1
(6) log (2 ) 3 2
2
x x x

x
⇔ + = −
Áp dụng BBĐT Côsi cho 2 số dương 2x; 1/2x ta có:
2
1
2 2 log 2 1
2
x VT
x
+ ≥ ⇒ ≥ =
Xét hàm số y=3x
2

-2x
3
trên (0 ;+
∞
) có GTLN là 1 khi x=1.
Do đó pt có nghiệm duy nhất x=1.
7)
3
2
log 12 2
2 2
3 2 log ( 1) log

x
x x x
+
− = + −
ĐK:x>0
2 3
2
1
(7) 3 2 log ( )x x x
x
⇔ − = +
8)

2 2
3 3
log ( 2) log 4 4 9x x x+ + + + =
. ĐS: x=25; x=-29
9)
4
log ( 2).log 2 1
x
x + =
. ĐK: 0<x≠1
4 2 2 2
1( )

1 1
(9) log ( 2) log log ( 2) log
2
log 2 2
x
x l
x x x x
x
= −

⇔ + = = ⇔ + = ⇔


=

10)
2 2
2 2 2
log ( 3 2) log ( 7 12) 3 log 3x x x x+ + + + + = +
. ĐK: x<-4 hoặc -3<x<-2
2 2
(10) ( 1)( 2)( 3)( 4) 24 ( 5 4)( 5 6) 24x x x x x x x x⇔ + + + + = ⇔ + + + + =
Đặt x
2
+5x+5=t phương trình trở thành (t-1)(t+1)=25  t=±5. Giải được x=0 hoặc x=-5.

11)
2
( 5)
( 2)
log ( 3) log ( 3)
x
x x
x x
+
− +
+ = +
. ĐK : x>-3

+) x+3=1 x=-2 là nghiệm của pt
+) x+3≠1x≠-2
2
2
( 3) ( 3)
3
1 1
(11) 2 5
1
log ( 2) log ( 5)
x x
x

x x x
x
x x x
+ +
=

⇔ = ⇔ − + = + ⇔

= −
− + +

Vậy pt có 3 nghiệm.

Phương pháp 2 : Đặt ẩn phụ :
1)
( 1) 2
log 16 log ( 1)
x
x
+
= +
. ĐK : -1<x≠0.
Đặt
2
log ( 1) .x t+ =

Pt trở thành
3
2
4
3
2
4
x
t
t
t
t

x
=

=


= ⇔ ⇒


= −
= −



2)
2 2
2
log 4 .log 12
x
x x =
. ĐK : 0<x≠1.
2
2
2
2 2 2

2
4
log 4
(8) .log 12 (1 log )log 6
1
log
8
x
x
x x x
x
x

=


⇔ = ⇔ + = ⇔

=

3)
2 4
log 4 log 5 0x x− − =
. ĐK
1x ≥

.
2 2
1 1
(9) log 4 log 5 0
2 2
x x⇔ − − =
. Đặt t=
2
1
log
2
x

50
1( )
( 0) 2
5
t l
t x
t
= −

≥ ⇒ ⇒ =

=


Phương pháp 3: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
1)
2
log( 6) log( 2) 4x x x x− − + = + +
> ĐK x>3
(1) log( 3) 4x x⇔ − = −
. Xét Sự BT của 2 hàm số suy ra pt có nghiệm duy nhất x=4
2)
2
2
3

2
1
log 3 2
2 4 3
x x
x x
x x
− +
= − +
− +
.
2 2 2 2

3 3
2 2 2 2
3 3
2
3 3
2
(2) log ( 1) log (2 4 3) (2 4 3) ( 1)
log ( 1) ( 1) log (2 4 3) (2 4 3)
1
(2) :log log
2 4 3
x x x x x x x x

x x x x x x x x
u x x
u u v v
v x x
⇔ − + − − + = − + − − +
⇔ − + + − + = − + + − +

= − +

⇒ + = +

= − +



.
Xét hàm số f(t)=log
3
t+t là HSĐB với t>0
Pt tương đương u=v
1
2
x
x
=


⇒

=

3)







−
=−
−
x
x
xx
1
log22
2
1
. ĐK: 0<x<1
1

2 2
2 log 2 log (1 )
x x
x x
−
⇔ + = + −
Xét hàm số f(t) =2
t
+log
2
t trên (0 ; 1) là HSĐB nên pt  x=1-x  x=1/2
4)

14217
542
3
log
2
2
2
3
++=









++
++
xx
xx
xx
.
2 2 2 2

3 3
2 2 2 2
3 3
2 2 2
log ( 3) log (2 4 5) 7[(2 4 5) ( 3)]
log ( 3) 7( 3) log (2 4 5) (2 4 5)
1
3 2 4 5 3 2 0
2
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x

x x x x x x
x
⇔ + + − + + = + + − + +
⇔ + + + + + = + + + + +
= −

⇔ + + = + + ⇔ + + = ⇔

= −

5)
6

log
2 6
log ( 3 ) log
x
x x+ =
. ĐK : x>0
Đăt t=
6
log x
x=6
t
. phương trình trở thành

3 1
2 6 3 1 3 ( ) 1
2 6
t t t t t
t x= + ⇔ = + ⇒ = − ⇒ =
6)
2 2 2
log 9 log log 32
.3
x
x x x= −
. ĐK x>0

2 2 2 2
log log log log2 2
(3) 9 .3 3 3 1
x x x x
x x⇔ = − ⇔ = −
Đặt log
2
x=t pt trở thành 3
t
+1=4
t
. Pt có nghiệm t=1 x=2.

7)
2 2
3 2
log ( 2 1) log ( 2 )x x x x+ + = +
Đặt
2 2
3 2
log ( 2 1) log ( 2 )t x x x x= + + = +
. Ta có hệ pt
2
2 2
1 3

2 1 3
t
t t
x x
x

+ =

⇒ = − ±

+ =



8)
3 3
3 log log 1 0x x− − =
. ĐS : x=3 ; x=81.
9)
4
6 4
2log ( ) logx x x+ =
. ĐK : x>0
4
6 4 4

1
(6) log ( ) log log
2
x x x x⇔ + = =
Đặt t=
4
log x
. Phương trình trở thành
6
log (4 2 ) 4 2 6 1 16
t t t t t
t t x+ = ⇔ + = ⇒ = ⇒ =

10)
82
3log
log
2 2 5 0
x
x
x x
−
+ − =
. ĐK : x>0
Đặt

2
log 2
t
t x x= ⇒ =
. Pt trở thành
2
2
2
2
2.(2 ) 2.(2 ) 5 0 2.2 5 0 1
1
2

2
t t t t t
t
x
t
x
−
=


+ − = ⇔ + − = ⇒ = ± ⇒


=

11)
2
2 2
log ( 1)log 2 6 0x x x x+ − + − =
.ĐK: x>0
Đặt t=
2
log x
phương trình trở thành
2

2
2
1
log 2
2
( 1) 2 6 0
4
3 log 3
2
x
t
x

t x t x
t x x x
x

= −
= −
=



+ − + − = ⇔ ⇒ ⇒




= − = −


=

12)
5
log ( 3)
2
x

x
+
=
. ĐK: x>-3
Đặt
5
log ( 3) 3 5 5 3
t t
x t x x+ = ⇒ + = ⇒ = −
. Phương trình trở thành
2 1
2 3 5 3. 1 1 2

5 5
t t
t t
t x
   
+ = ⇔ + = ⇒ = ⇒ =
 ÷  ÷
   
13)
2
1
1 2

2 2
2 .log ( 1) 4 .(log 1 1)
x
x
x x
+
+
+ = + +
( )
2
2 1
1 2

2 2
2
2 2
2 log ( 1) 2 .log 2 1
1
1, 0 2 log 2 log
2 1
x
x
u v
x x
u x

u v u v
v x
+
+
⇔ + = +

= +

≥ ≥ ⇒ =

= +



+u>vVT>VP
+u<vVT<VP
+u=v cho nghiệm x=
1 2±
CÁC BÀI TOÁN CÓ THAM SỐ.
Bài 1: Giải và biện luận phương trình :
3 3 3
2log log ( 1) log 0x x m− − − =
.
ĐK:
0

0
x
m
>


>

Phương trình
2
0x mx m⇔ − + =
+0<m<4: phương trình vô nghiệm

+m=4 phương trình có nghiệm x=2
+m>4
1 2
2 2
2 2
S m
x x= > ⇒ > >
nên phương trình đã cho có 2 nghiệm
2
1,2
1
( 4 )

2
x m m m= − ± −
Bài 2; Tìm m để phương trình
2
2 1
2
4(log ) log 0x x m− + =
có nghiệm thuộc (0;1).
ĐK: x>0
2
2 2
log log 0pt x x m⇔ + + =

Đặt t=
2
log x
;
(0;1) ( ;0)x t∈ ⇒ ∈ −∞
. Phương trình trở thành t
2
+t+m=0
S=-1<0 nên pt có nghiệm ẩn t thì sẽ có nghiệm âm . Do đó đk :
1
0
4

m∆ ≥ ⇔ ≤
.
Bài 3 : Tìm m để phương trình
2 2 2
2 1 4
2
log log 3 (log 3)x x m x+ − = −
có nghiệm thuộc
[32; )+∞
.
ĐK: x>0
Đặt

2
log ; [32; ) [5; )t x x t= ∈ +∞ ⇒ ∈ +∞
. Phương trình trở thành:
2
2 3 ( 3)t t m t− − = −
+t=3 không là nghiệm
+t≠3 ta có

2
2
2 3
( ) ; [5; )

3
2
lim ( ) 1; '( ) 0
( 3) 2 3
t
t t
m f t t
t
t
f t f t
t t t
→+∞

− −
= = ∈ +∞
−
−
= = <
− − −
 HSNB trên [5;+∞)
Lập BBT ta có 1<m
3≤
CÁC BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Giải các phơng trình:
a)

( )
4lg
2
16lg
4
1
223lg
4
x
xx
+=

b)
0273lg3lg
2
1
12lg2
1
=

+






++
x

x
c)
( ) ( )
62log14log
3
22
+=+
+
xx
x
d)
( ) ( )

8
1
log14log.44log
2
12
1
2
=++
+
xx
Bài 2: Giải các phơng trình sau:
a)

( )
( )
2
4
1
.271log
12
12
1
xx
x
x

+
=

b)
( )
[ ]
{ }
2
1
log31log1log2log
3234
=++

x
c)
( )
112log.loglog2
33
2
9
+=
xxx
d)
(
)

2
1
213log
2
3
=+
+
xx
x
Bài 3:Tìm x biết
( ) ( )
32lg,12lglg2,

x
+
x
, theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.
Bài 4: Giải các phơng trình:
a)
( ) ( )
155log.15log
1
255
=
+

xx

b)
( ) ( )
3
8
2
2
4
4log4log21log xxx
++=++

c)
( ) ( ) ( ) ( )
1log1log1log1log
24
2
24
2
2
2
2
2
++++=++++

xxxxxxxx
d)
( )
( )
2
9
3
3
2
27
3log
2

3
log.
2
1
65log
+

=+
x
x
xx
Bài 5: Giải các phơng trình:

a)
84log3
log3log
22
3
3
3
3
+

=
xx

x
b)
( )
x
x
=
+
3log
5
2
c)
( )

( )
x
x
x
x
x
3
3
3
2
3
log

1
log
log
3
+
=
d)
( )
xx
32
log1log
=+

e)
( )
xxx
4
4
6
loglog2
=+
f)
( )
xx
57

log2log
=+
g)
( )
( )
xx
2332
loglogloglog
=
h)
(
)

(
)
(
)
1log1log.1log
2
6
2
3
2
2
=+

xxxxxx
Bài 6: Giải các phơng trình sau:
a)
( )
5log2log
3
=+
x
x
b)
( )
( )

7log12log
21
=+

x
x
c)
1lg1lg2
3
=
xx
d)

( ) ( )
654log5.254log3
2
2
2
2
=++++
xxxx
Bài 7: Giải các phơng trình:
a)
( )
5log1log

4x
=+
x
b)
( )
( )
( )
1log2
2log
1
13log
2

3x
2
++=+
+
xx
c)
0log.40log.14log
4
3
16
2
2

x
=+
xxx
xx
d)
( )
2log2log
2
2
=++
+
xx

x
x
Bài 8: Giải các phơng trình:
a)
14217
542
3
log
2
2
2
3

++=








++
++
xx

xx
xx
b)







=

x
x
xx
1
log22
2
1
c)
( )
xx
x
21log13

3
+++=
d)
( )
15log3216
6
+++=
xx
x
e)
23
542

3
log
2
2
2
3
++=

++
++
xx
xx
xx
f)
xx
x
xxx

62
5
log24
2
3
53
2


=