Khảo sát hàm số

GV: Nguyễn Văn Huy Tài liệu tham khảo ôn tập thi TN THPT 2011

1.KHẢO SÁT HÀM BẬC BA: y = ax
3
+bx
2
+cx+d
Ví dụ 1: Khảo sát hàm số y = x
3
+ 3x
2
– 4.
Ví dụ 2: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
3
2
1
3
x
y x x= − + +
Ví dụ 3: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
3 2
3 4 2y x x x= − + − +
Giải Ví dụ 1:
Nội dung Bài giải Giải thích – ghi nhớ cho HS
Tập xác định D =
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số
y’ = 3x
2
+ 6x
y’ = 0 ⇔ 3x
2

+ 6x = 0 ⇔ x(3x + 6) = 0 ⇔ x = 0; x = - 2
Bước 2:Tìm y’ và lập phương trình y’ =
0 tìm nghiệm ( nếu có thì ghi ra nếu vô
nghiệm thì nêu vô nghiệm – vì chủ yếu
là để Tìm dấu của y’ sử dụng trong
bảng biến thiên
Giới hạn:
lim
x
y
→+∞
= +∞
;
lim
x
y
→−∞
= −∞
Bước 3:Chỉ cần tìm giới hạn của số
hạng có mũ cao nhất, ở đây là tìm
3
lim ??
x
x
→±∞
=

Bảng biến thiên:
x -∞ -2 0 +∞
y' + 0 - 0 +

y 0 +∞
-∞ - 4
Bước 4:BBT luôn gồm có “ 3 dòng”:
dành cho x, y’ và y
Điểm cực đại: x = - 2 ; y = 0
Điểm cực tiểu: x = 0; y = -4
y’’ = 6x + 6
y’’ = 0 ⇔ 6x + 6 = 0 ⇔ x = 1 ( điểm uốn I(1;-2))
Bước 5:Phải nêu điểm cực đại; điểm
cực tiểu (nếu không có thì không nêu
ra)
Đồ thị hàm số:
Giao điểm với Ox:
y = 0 ⇒ x = -2; x = 1
Giao điểm với Oy:
x = 0 ⇒ y = - 4
Bước 6:Vẽ đồ thị cần thực hiện theo thứ
tự gợi ý sau:
 Vẽ hệ trục tọa độ Oxy
 Xác định các điểm cực đại, cực tiểu,
điểm uốn, giao điểm với Ox,Oy
 Nhận xét hàm số có bao nhiêu dạng
đồ thị và áp dụng dạng đồ thị phù hợp
cho bài toán của mình
(tham khảo các dạng đồ thị ở sau mỗi
dạng hàm số)

– 0909 64 65 97
Trang 1
CĐ

CT
Chuyên đề 2
KHẢO SÁT HÀM SỐ
GV: Nguyễn Văn Huy Tài liệu tham khảo ôn tập thi TN THPT 2011
Bốn dạng đồ thị hàm số bậc 3
KHẢO SÁT HÀM TRÙNG PHƯƠNG : y = ax
4
+bx
2
+c
Ví dụ 4: Khảo sát hàm số y = x
4
- 2x
2
– 3.
Ví dụ 5: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
4
2
3
2 2
x
y x
= − − +
Ví dụ 6: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
4 2
2 2y x x
= − + −
Giải Ví dụ 4:
Nội dung Bài giải Giải thích – ghi nhớ cho HS
Tập xác định D =

Bước 1:Tìm tập xác định của hàm
số
y’ = 4x
3
- 4x
y’ = 0 ⇔ 4x
3
- 4x = 0 ⇔ x(4x
2
– 4) = 0⇔ x = 0; x = 1; x = - 1
Bước 2:
Giới hạn:
lim
x
y
→+∞
= +∞
;
lim
x
y
→−∞
= +∞
Bước 3: Chỉ cần tìm giới hạn của số
hạng có mũ cao nhất, ở đây là tìm
4
lim ??
x
x
→±∞

=

Bảng biến thiên:
x -∞ -1 0 1 +∞
y' - 0 + 0 - 0 +
y +∞ -3 +∞
-4 -4
Bước 4: BBT luôn gồm có “ 3
dòng”: dành cho x, y’ và y
Điểm cực đại: x = 0 ; y = -3
Điểm cực tiểu: x = -1; y = -4
x = 1; y = -4
Bước 5: Phải nêu các điểm cực đại;
các điểm cực tiểu
Đồ thị hàm số:
Giao điểm với Ox:
x = ; y = 0
x = - ; y = 0
Giao điểm với Oy:
x = 0 ; y = - 3
Bước 6:Vẽ đồ thị cần thực hiện theo
thứ tự gợi ý sau:
 Vẽ hệ trục tọa độ Oxy
 Xác định các điểm cực đại, cực
tiểu, điểm uốn, giao điểm với Ox,Oy
 Dựa vào BBT và dạng đồ thị để
vẽ đúng dạng
(tham khảo các dạng đồ thị ở sau
đây)
– 0909 64 65 97

Trang 2
x
y
O
•
I
x
y
O
•
I
a < 0
a > 0
Dạng 2: hàm số không có cực trị ⇔ ?
x
y
O
•
I
x
y
O
•
I
a < 0
a > 0
Dạng 1: hàm số có 2 cực trị ⇔ ?
CĐ
CT CT
GV: Nguyễn Văn Huy Tài liệu tham khảo ôn tập thi TN THPT 2011

Học sinh giải ví dụ 5 và ví dụ 6
Bốn dạng đồ thị hàm số trùng phương
KHẢO SÁT HÀM NHẤT BIẾN:
ax b
y
cx d
+
=
+
( tử và mẫu không có nghiệm chung)
Ví dụ 7: Khảo sát hàm số
2
1
x
y
x
− +
=
+
.
Ví dụ 8: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2
2 1
x
y
x
−
=
+
Ví dụ 9: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

1 2
2 4
x
y
x
−
=
−
Giải Ví dụ 7:
Nội dung Bài giải Giải thích – ghi nhớ cho HS
Tập xác định D = \{-1}
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm
số
y’ =
2
3
( 1)x
−
+
< 0 ∀x∈D.
Hàm số luôn luôn giảm trên mỗi khoảng xác định
Bước 2:Tìm y’ và dựa vào tử số để
khẳng định luôn luôn âm (hay luôn
luôn dương) từ đó suy ra:
Hàm số luôn luôn giảm ( hay luôn
luôn tăng ).
Giới hạn và tiệm cận:
Tiệm cận đứng x = - 1 vì
1
lim

x
y
−
→−
= −∞
;
1
lim
x
y
+
→−
= +∞
Tiệm cận ngang: y = - 1 vì
lim 1
x
y
→−∞
= −
lim 1
x
y
→+∞
= −
Bước 3: Hàm số luôn có 2 tiêm cận
là tiệm cân đứng và tiệm cận ngang
Bảng biến thiên:
x -∞ -1 +∞
y' - -
y -1 +∞

-∞ -1
Bước 4: BBT luôn gồm có “ 3
dòng”:
Hàm số không có cực trị Bước 5:luôn không có cực trị
Đồ thị hàm số:
Giao điểm với Ox:
y = 0 ⇒ x = 2
Giao điểm với Oy:
x = 0 ⇒ y = 2
Bước 6:Vẽ đồ thị cần thực hiện theo
thứ tự gợi ý sau:
 Vẽ hệ trục tọa độ Oxy và xác
định giao điểm với Ox,Oy.
 Vẽ 2 đường tiệm cận đứng và
ngang.
 Nhận xét hàm số có bao nhiêu
dạng đồ thị và áp dụng dạng đồ thị
phù hợp cho bài toán của mình
– 0909 64 65 97
Trang 3
x
y
O
x
y
O
a < 0
a > 0
Dạng 1: hàm số có 1 cực trị ⇔ pt y’ = 0 có 1 nghiệm
duy nhất x = 0

x
y
O
x
y
O
a < 0
a > 0
Dạng 1: hàm số có 3 cực trị ⇔ pt y’ = 0 có 3 nghiệm phân
biệt
GV: Nguyễn Văn Huy Tài liệu tham khảo ôn tập thi TN THPT 2011
(tham khảo các dạng đồ thị ở sau
mỗi dạng hàm số)
Học sinh giải ví dụ 8 và ví dụ 9
Hai dạng đồ thị hàm số nhất biến
CÁC BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1) Cho hàm số y = x
3
– mx + m + 2 có đồ thị là (Cm)
a) Khảo sát hàm số khi m = 3.
b) Dùng đồ thị (C3), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x
3
– 3x – k +1 = 0
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng (D): y = 3.
Bài 2) Cho hàm số y = x
3
– 2x
2
– (m - 1)x + m = 0
a) Xác định m để hàm số có cực trị.

b) Khảo sát hàm số trên. Gọi đồ thị là (C).
c) Tiếp tuyến của (C) tại O cắt lại (C) tại một điểm A. Tính diện tích hình phẳng giới
hạn bởi (C) và đoạn OA.
Bài 3) Cho hàm số y = (x +1)
2
(x –1)
2
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo n số nghiệm của phương trình :
(x
2
– 1)
2
– 2n + 1 = 0
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành.
Bài 4) Cho hàm số
mx
mxm
y
−
+−
=
)1(
(m khác 0) và có đồ thị là (Cm)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C
2
).
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C
2
), tiệm cận ngang của nó và các đường

thẳng x = 3, x = 4.
– 0909 64 65 97
Trang 4
y
I
x
y
O
Dạng 2: hsố nghịch biếnDạng 1: hsố đồng biến
x
O
I
GV: Nguyễn Văn Huy Tài liệu tham khảo ôn tập thi TN THPT 2011
Bài 5 Cho hàm số:
2 4
2y x x
= −
(C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) .
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành.
c) Dùng đồ thị (C) tìm điều kiện của
k
để phương trình:
4 2
2 0 (*)x x k
− + =
có 4
nghiệm phân biệt.
Bài 6) Cho hàm số:
4 2

2y x mx
= − +
, có đồ thị (C
m
), ( m là tham số)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi
1m
=
.
b) Lập phương trình tiếp tuyến của (C
1
) tại điểm A(
2
;0).
c) Xác định m để hàm số (C
m
) có 3 cực trị.
Bài 7) Biện luận số giao điểm của đồ thị (C):
3 2
2
3 2
x x
y x= + −
và đường thẳng
(T):
13 1
( )
12 2
y m x− = +
. KQ: 1 giao điểm ( m ≤

27
12
−
), 3 giao điểm ( m >
27
12
−
)
Bài 8) Định a để đường thẳng (d): y = ax + 3 không cắt đồ thị hàm số
3 4
1
x
y
x
+
=
−
.
KQ: -28 < a ≤ 0
Bài 9 ) Cho hàm số:
2 3
1
x
y
x
−
=
−
có đồ thị là (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và hai trục toạ độ.
c) Viết phương trình các đường thẳng song song với đường thẳng:
3y x
= − +
và tiếp
xúc với đồ thị (C).
Bài 10) Định tham số m để hàm số y =
3 2
1
( 6) 1
3
x mx m x
+ + + −
có cực đại và cực tiểu.
Kết quả: m < - 2 hay m > 3
Bài 11) Tìm tham số m để hsố y =
2
2
1
x mx
mx
+ −
−
có cực trị.
Kết quả: - 1 < m < 1
Bài 12) Tìm tham số m để hàm số y = 2x
3
– 3(2m + 1)x
2
+ 6m(m + 1)x + 1 có cực đại và cực

tiểu tại x
1
, x
2
và khi đó x
2
– x
1
không phụ thuộc tham số m.
Kết quả : ∀m và x
2
– x
1
= 1
– 0909 64 65 97
Trang 5