Tài liệu (Luyện thi cấp tốc Toán) Chuyên đề khảo sát hàm số_Bài tập và hướng dẫn giải docx

TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 12 tháng 06 năm 2010
BÀI TẬP VỀ NHÀ
(Chuyên đề khảo sát hàm số)
Câu I : Cho hàm số
1
2 1
x
y
x
− +
=
+
(C)
I.1 . Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm M(2 ; 3) đến (C)
I.2 . Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua giao điểm của 2
đường tiệm cận.
I.3 . Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm
( )
M C∈
, biết tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo
thành 1 tam giác có diện tích bằng 1.
I.4 . Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm
( )
M C∈
, biết tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo
thành 1 tam giác cân.
Câu II : Cho hàm số
( )
1m x m

y
x m
− +
=
−

( )
m
C

II.1 . CMR đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định tại 1 điểm cố định.
II.2 . Tiếp tuyến tại
( )
m
M C∈
cắt 2 tiệm cận tại A, B. CMR M là trung điểm của AB
II.3 . Cho điểm
( )
0 0
M x , y ∈
( )
3
C
. Tiếp tuyến của
( )
3
C
tại M

cắt các tiệm cận của (C) tại các

điểm A và B. Chứng minh diện tích tam giác AIB không đổi, I là giao của 2 tiệm cận.
Tìm M để chu vi tam giác AIB nhỏ nhất.

Câu III:
Cho hàm số
2 2
2 1 3x mx m
y
x m
+ + −
=
−
. Tìm tham số m để hàm số có:
1. Hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung.
2. Hai điểm cực trị cùng với gốc tọa độ O lập thành tam giác vuông tại O
3. Hai điểm cực trị cùng với điểm M(0; 2) thẳng hàng.
4. Khoảng cách hai điểm cực trị bằng
10m
.
5. Cực trị và tính khoảng cách từ điểm cực tiểu đến TCX.
6. Cực trị và thỏa mãn:
2 3
CD CT
y y
+ >
.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2010

Câu IV : Cho hàm số
1
2 1
x
y
x
− +
=
+
(C)
Tìm m để (C) cắt đường thẳng
( )
: 2 1
m
d y mx m= + −
tại 2 điểm phân biệt A, B:
a. Thuộc 2 nhánh của đồ thị (C)
b. Tiếp tuyến tại A, B vuông góc với nhau
c. Thỏa mãn điều kiện
4 . 5OAOB
=
uuur uuur
Câu V : Cho hàm số
( )
2
3 3
2 1
x x
y
x

− + −
=
−
(1)
a. Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (1) tại A và B sao cho
AB=2
b. Tìm m để đường thẳng d:
( )
2 3y m x
= − +
và đường cong (1) cắt nhau
tại A, B phân biệt sao cho M(2; 3) làm trung điểm của AB.
Câu VI :
Cho hàm số
( )
1m x m
y
x m
− +
=
−

( )
m
C
Dựa vào đồ thị hàm số, tùy theo m hãy biện luận số nghiệm của phương
trình:
a.
2
2 3

1 log
3
x
m
x
+
− =
−

b.
2 3
2 1 0
3
x
m
x
+
− + =
−

Câu VII : Cho hàm số
( )
2
3 3
2 1
x x
y
x
− + −
=

−
(1)
a. Tìm trên đồ thị 2 điểm A, B thuộc 2 nhánh sao cho AB min.
b. Tính diện tích tam giác tạo bởi tiệm cận xiên và các trục tọa độ.
Page 2 of 16
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2010
Câu VIII : Cho hàm số
1
2 1
x
y
x
− +
=
+
(C)
a. Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 trục
tọa độ đạt GTNN
b. Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm
cận đạt GTNN
c. Tìm 2 điểm A; B thuộc 2 nhánh của đồ thị hàm số sao cho AB min.

………………….Hết…………………
BT Viên môn Toán hocmai.vn
Trịnh Hào Quang
Page 3 of 16
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408

Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2010
HDG CÁC BTVN
Câu I : Cho hàm số
1
2 1
x
y
x
− +
=
+
(C)
I.1 . Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm M(2 ; 3) đến (C)
I.2 . Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua giao điểm của 2
đường tiệm cận.
I.3 . Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm
( )
M C∈
, biết tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo
thành 1 tam giác có diện tích bằng 1.
I.4 . Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm
( )
M C∈
, biết tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo
thành 1 tam giác cân.
HDG
Tập xác định:
1
\
2

D R
 
= −
 
 
. Ta có:
( )
2
3
' 0,
2 1
y x D
x
−
= < ∀ ∈
+
Bài 1:
Vì đường thẳng x = 2 không là tiếp tuyến của (C), nên phương trình đường thẳng đi qua
M (2; 3) có hệ số góc k có dạng:
( )
2 3y k x
= − +
tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ:
( )
( )
2
1
2 3
2 1
3

2 1
x
k x
x
k
x
− +

= − +

+


−

=
+


có nghiệm
Thế k từ pt thứ hai vào pt đầu ta được:

( )
( )
2
2
1 3
2 3 7 4 4 0
2 1
2 1

x
x x x
x
x
− + −
= − + ⇔ + + =
+
+
: Vô nghiệm
Vậy không có tiếp tuyến nào đi qua M đến (C)
Bài 2:
Hàm số có: TCĐ:
1
2
x = −
; TCN:
1
2
y
= −
1 1
;
2 2
I
 
⇒ − −
 ÷
 
Page 4 of 16
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE

P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2010
Vì đường thẳng
1
2
x
= −
không là tiếp tuyến của (C), nên phương trình đường thẳng đi qua
1 1
;
2 2
I
 
− −
 ÷
 
có hệ số góc k có dạng:
1 1
2 2
y k x
 
= + +
 ÷
 
tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ:
( )
2
1 1 1
2 1 2 2
3

2 1
x
k x
x
k
x
− +
 
= + +
 ÷

+
 


−

=

+

có nghiệm
Thế k từ pt thứ hai vào pt đầu ta được:

( )
( )
2
1 3 1 1 3 3
2 1 2 2 2 1 2 2 1
2 1

x
x
x x x
x
− + − −
 
= + − ⇔ =
 ÷
+ + +
 
+
:Vô nghiệm
Vậy không có tiếp tuyến nào đi qua I đến (C)
Bài 3:
Gọi
( )
0
0
1 3 1
;
2 4 2
M x C
x
 
− − ∈
 ÷
 
. Tiếp tuyến tại M có dạng:
( )
0

2 2
0 0 0 0
3 3 1 3 3 1
:
4 4 2 4 2 2
d y x x x
x x x x
− −
= − + − = + −
Giả sử
Ox;A d B d Oy
= ∩ = ∩
suy ra:
( )
0 0
0
0
2 3
3
;0 ; 0;
3
x x
x
A B
x
− 
 
−
 ÷
 ÷

 
 
OAB
∆
vuông tạo O
( )
2
0
1 2
. 3 1
2 3
OAB
S OAOB x
∆
⇒ = = − =

0 0
6 6 6
3
2 2
x x
±
⇒ − = ± ⇒ =
Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn là:
3 4 6
20
40 12 6
y x
− −
= +

−
hay
3 4 6
20
40 12 6
y x
− +
= −
+
Bài 4:
Tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo thành một tam giác cân nên hệ số góc của tiếp tuyến là
1k = ±
. Gọi
( ) ( )
0 0
;M x y C∈
là tiếp điểm
Page 5 of 16
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2010
- Nếu
( )
0 0
2
0
3 1 3
1 1 2 1 3
2
2 1

k x x
x
− − ±
= − ⇒ = − ⇒ + = ± ⇒ =
+
Với
0 0
1 3 1 3
2 2
x y
− − − −
= ⇒ = ⇒
tiếp tuyến là:
1 3y x
= − − −

Với
0 0
1 3 1 3
2 2
x y
− + − +
= ⇒ = ⇒
tiếp tuyến là:
1 3y x
= − − +
- Nếu
( )
( )
2

0
2
0
3
1 1 2 1 3
2 1
k x
x
−
= − ⇒ = ⇒ + = −
+
: Vô nghiệm
Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn bài toán là:
1 3y x
= − − −
và
1 3y x
= − − +
Câu II : Cho hàm số
( )
1m x m
y
x m
− +
=
−

( )
m
C

II.1 . CMR đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định tại 1 điểm cố định.
II.2 . Tiếp tuyến tại
( )
m
M C∈
cắt 2 tiệm cận tại A, B. CMR M là trung điểm của AB
II.3 . Cho điểm
( )
0 0
M x , y ∈
( )
3
C
. Tiếp tuyến của
( )
3
C
tại M

cắt các tiệm cận của (C) tại các
điểm A và B. Chứng minh diện tích tam giác AIB không đổi, I là giao của 2 tiệm cận.
Tìm M để chu vi tam giác AIB nhỏ nhất.
HDG
Bài 1:
Gọi
( )
0 0
;M x y
là điểm cố định của hàm số

( )
0
0
0
1
;
m x m
y m
x m
− +
⇒ = ∀
−

( ) ( )
0 0 0 0 0
0 0 0
0 0 0 0
1 0;
1 0 0
0 1
m x y x x y m
x y x
x x y y
⇔ + + − + = ∀
+ + = =
 
⇔ ⇔
 
+ = = −
 

Với
( )
0; 1M
−
, tiếp tuyến tại M là:
( )
' 0 1 1y y x x= − = − −
Vậy đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định
1y x
= − −
tại
( )
0; 1M
−
.
Bài 2:
Ta có:
2
1
m
y m
x m
= − + ⇒
−
TCĐ:
x m
=
và TCN:
1y m
= −

Page 6 of 16