Một số tính chất của hàm lồi và ứng dụng

ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
    
TRẦN NGỌC ĐỨC TOÀN
MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM LỒI
VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Giải tích
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP
Cán bộ hướng dẫn
TS. TRƯƠNG VĂN THƯƠNG
Huế, tháng 5 năm 2011
i
LỜI CẢM ƠN
Khóa luận này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình, chu
đáo của TS Trương Văn Thương. Tôi xin phép được gửi đến Thầy sự kính
trọng và lòng biết ơn sâu sắc về sự tận tâm của Thầy đối với bản thân tôi
không những trong thời gian làm khóa luận mà còn trong suốt quá trình
học tập.
Tôi cũng xin phép được gửi lời cám ơn chân thành đến quý Thầy cô
đã giảng dạy lớp Toán B trường ĐHSP Huế cũng như toàn thể quý thầy
cô Khoa Toán trường ĐHSP Huế, những người đã cho tôi kiến thức, quan
tâm động viên, nhiệt tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập cũng
như trong thời gian thực hiện đề tài.
Cuối cùng, tôi xin phép được gửi lời cảm ơn đến những người thân,
bạn bè đã quan tâm động viên giúp đỡ tôi trong suốt quãng đường học
tập vừa qua.
Huế, tháng 5 năm 2011
Trần Ngọc Đức Toàn
ii
MỤC LỤC
Trang phụ bìa i

Lời cảm ơn ii
MỤC LỤC 1
MỞ ĐẦU 2
1 KIẾN THỨC MỞ ĐẦU - HÀM LỒI VÀ HÀM LOGA-LỒI. 4
1.1 Kiến thức mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Hàm lồi và hàm loga-lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN VÀ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN
ĐẾN HÀM LỒI. 13
2.1 Một số tính chất cơ bản của hàm lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Các bất đẳng thức liên quan đến hàm lồi. . . . . . . . . . . . . . . . 31
3 MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA HÀM LỒI VÀ HÀM LOGA-LỒI 39
3.1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 Tổng quan về lớp các hàm loga-lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3 Hàm gamma và bất đẳng thức về hàm gamma . . . . . . . . . . . . . 43
3.4 Hàm zeta và bất đẳng thức về hàm zeta . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.5 Tích phân elliptic - Tích phân elliptic hoàn chỉnh dạng thứ nhất R
K
-
Các bất đẳng thức liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
KẾT LUẬN 54
TÀI LIỆU THAM KHẢO 55
1
MỞ ĐẦU
Lý thuyết về các tập lồi và hàm lồi có một vị trí quan trọng trong toán học,
nó liên quan đến hầu hết các ngành của toán học như giải tích hàm, hình học, toán
kinh tế, giải tích lồi, tối ưu phi tuyến. . . Một cách tổng quát, có hai tính chất cơ bản
của các hàm lồi làm cho chúng được sử dụng rộng rãi trong toán học lý thuyết và
toán ứng dụng, đó là: tính chất đạt giá trị lớn nhất trên biên và bất kỳ cực tiểu địa
phương nào cũng là cực tiểu trên tập xác định. Hơn nữa, một hàm lồi thực sự thì
điểm cực tiểu nếu có là duy nhất.

Có sự tác động qua lại giữa giải tích và hình học trong việc nghiên cứu các hàm
lồi. Hiện nay, người ta còn nghiên cứu một số lớp hàm liên quan như hàm loga-lồi,
hàm lồi nhân tính, hàm siêu điều hòa và các hàm lồi theo nghĩa nhóm con của nhóm
tuyến tính.
Có thể nói, nghiên cứu về tập lồi và các hàm lồi là một đề tài thú vị, nhận
được sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Các vấn đề liên quan đến hàm lồi không
ngừng nảy sinh và có nhiều kết quả đẹp, nhiều kết quả của hàm lồi được ứng dụng
trong toán học và trong thực tế. Khóa luận hướng đến việc trình bày một số vấn đề
lý thuyết liên quan đến hàm lồi, khảo sát các ứng dụng của hàm lồi trong việc tìm
giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, tìm hiểu một số kết quả mới về một số hàm lồi đặc biệt
như hàm gamma, hàm zeta Riemann và tích phân elliptic, từ đó làm rõ thêm về đề
tài thú vị này.
Nội dung của khóa luận chia làm ba chương:
Chương một đưa ra một số thuật ngữ và ký hiệu sẽ được dùng trong suốt khóa
luận, nhắc lại một số kiến thức mở đầu để độc giả có thể theo dõi dễ dàng hơn trong
phần sau. Định nghĩa và tính chất của tập lồi, định nghĩa của hàm lồi, hàm loga-lồi
và ý nghĩa hình học của tính lồi cũng được giới thiệu.
Chương hai trình bày một số vấn đề lý thuyết liên quan đến hàm lồi, từ các
phép toán đối với các hàm lồi đến tính liên tục, khả vi cấp một và cấp hai, giá trị
nhỏ nhất và lớn nhất của hàm lồi. Phần cuối của chương được dành để nói về các bất
đẳng thức liên quan đến hàm lồi, đồng thời giới thiệu một số bất đẳng thức mới về
các hàm lồi.
Chương ba khảo sát một số ứng dụng của hàm lồi như việc tìm giá trị nhỏ nhất
2
- lớn nhất, khảo sát lớp hàm loga-lồi. Thông qua việc tìm hiểu các hàm loga-lồi đặc
biệt, ta cũng sẽ tìm hiểu và thiết lập một vài bất đẳng thức liên quan đến lớp hàm
này.
3
Chương 1
KIẾN THỨC MỞ ĐẦU - HÀM LỒI VÀ

HÀM LOGA-LỒI.
Trong chương này, chúng tôi nêu ra một số ký hiệu sẽ được dùng trong khóa luận, trình
bày ngắn gọn các vấn đề lý thuyết làm cơ sở cho các vấn đề trình bày ở hai chương sau. Các vấn
đề về sự tương đương giữa hai không gian tuyến tính định chuẩn, hàm số liên tục, hàm số khả
vi, giá trị lớn nhất - nhỏ nhất và các bất đẳng thức liên quan đến tích phân, định lý giới hạn
dưới dấu tích phân cũng được nhắc lại. Ta cũng sẽ tìm hiểu sơ qua định nghĩa và các tính chất
của tập lồi. Phần cuối chương một chúng tôi tập trung mô tả các định nghĩa về hàm lồi trên một
tập, hàm loga-lồi cũng như đề cập đến ý nghĩa hình học về tính lồi của một hàm trên một khoảng
của tập số thực.
1.1 Kiến thức mở đầu.
Trong mục 1.1 này, tác giả chỉ xin đưa ra một số thuật ngữ, khái niệm, tính chất
sẽ được sử dụng trong suốt khóa luận. Các khái niệm không gian tuyến tính, chuẩn,
sự hội tụ, ánh xạ tuyến tính, ánh xạ song tuyến tính, số chiều, không gian Banach, sự
đồng phôi, không gian topo, độ đo. . . độc giả có thể tìm thấy ở trong [2] và [1] hoặc
trong bất kỳ giáo trình giải tích hàm nào.
Trong khóa luận này, ta sẽ ký hiệu X, Y là không gian tuyến tính định chuẩn thực.
Chuẩn của một phần tử x ∈ X sẽ được ký hiệu là x.
Ta cũng sẽ ký hiệu I ⊂ R là một khoảng của tập số thực, B(x
0
, ) là hình cầu mở
tâm x
0
bán kính , L(X, Y ) là tập hợp tất cả các ánh xạ tuyến tính liên tục từ X
vào Y .
4
Các tập số cũng được ký hiệu như thường lệ:
N : Tập hợp các số tự nhiên.
N
∗
: Tập hợp các số nguyên dương.

Z : Tập hợp các số nguyên.
Q : Tập hợp các số hữu tỉ.
R : Tập hợp các số thực.
R
+
: Tập hợp các số thực không âm.
R
>
: Tập hợp các số thực dương.
C : Tập hợp các số phức.
Để người đọc theo dõi khóa luận một cách thuận tiện, tôi xin đưa ra một số khái
niệm, định lý và tính chất sau. Bạn đọc có thể dễ dàng tìm thấy hoặc xem chứng
minh một cách đầy đủ trong nhiều tài liệu giải tích hiện nay.
1.1.1. Sự đồng phôi giữa các không gian định chuẩn.
Định nghĩa 1.1.1. [2] Cho X và Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn. Một ánh
xạ A: X → Y được gọi là một phép đồng phôi tuyến tính từ X lên Y nếu A là song
ánh tuyến tính, A liên tục và toán tử ngược A
−1
cũng liên tục.
Khi đó người ta nói hai không gian tuyến tính định chuẩn X và Y là đồng phôi tuyến
tính với nhau.
Định nghĩa 1.1.2. [2] Cho (X,.
1
) và (X,.
2
) là hai không gian tuyến tính định
chuẩn. Ta gọi hai chuẩn này là tương đương nếu ánh xạ đồng nhất id: (X,.
1
) →
(X,.

2
) là phép đồng phôi tuyến tính.
Ta có định lý:
Định lý 1.1.1. [2] Tất cả các không gian định chuẩn n-chiều đều đồng phôi tuyến
tính với nhau. Do đó, tất cả các không gian định chuẩn n-chiều đều đồng phôi tuyến
tính với R
n
.
1.1.2. Ánh xạ liên tục.
Định nghĩa 1.1.3. Cho X, Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn, U là một tập
mở trong X và ánh xạ f : U → Y .
Khi đó, f được gọi là liên tục tại x
0
nếu với mọi  > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi
x ∈ U, x − x
0
 < δ thì f(x) − f(x
0
) < .
Nếu f liên tục tại mọi x
0
∈ U thì ta nói ánh xạ f liên tục trên U.
5
Định nghĩa 1.1.4. [6] Cho U ⊂ X là một tập mở trong không gian tuyến tính định
chuẩn X. Một hàm f : U → R được gọi là Lipschitz địa phương nếu với mỗi x ∈ U,
có một lân cận B(x, ) của x và một số K
x
để bất đẳng thức
|f(y) − f(z)| ≤ K
x

y − z (1.1.1)
đúng với mọi y, z ∈ B(x, ). Nếu bất đẳng thức (1.1.1) đúng với mọi phần tử của tập
V ⊆ U và K độc lập với x, ta nói f Lipschitz trên V .
Nhận xét 1.1.2. Từ (1.1.1) ta suy ra f Lipschitz địa phương trên U thì hàm f liên
tục trên U.
1.1.3. Ánh xạ khả vi.
Định nghĩa 1.1.5. [6] Cho X, Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn, U là tập mở
trong X và ánh xạ f : U → Y . Khi đó f được gọi là khả vi tại x
0
nếu có một ánh xạ
tuyến tính A: X → Y sao cho với h đủ gần điểm 0 ta có
f(x
0
+ h) = f(x
0
) + Ah +h (x
0
, h),
trong đó (x
0
, h) → 0 khi h → 0.
Ánh xạ tuyến tính A được gọi là đạo hàm của ánh xạ f tại điểm x
0
và được ký hiệu
là f

(x
0
).
Nếu ánh xạ f khả vi tại mọi x ∈ U thì ta nói hàm f khả vi trên U.

Nhận xét 1.1.3. Từ Định nghĩa 1.1.5 ta rút ra các nhận xét sau:
1. f

(x
0
) là một ánh xạ tuyến tính.
2. Một cách tương đương, f khả vi tại x
0
nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính A sao cho
lim
h→0
f(x
0
+ h)− f(x
0
) − Ah
h
= 0.
Định nghĩa 1.1.6. [6] Cho X, Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn, U là tập mở
trong X và ánh xạ f : U → Y . Khi đó f được gọi là có đạo hàm tại x
0
theo hướng h
nếu tồn tại giới hạn
lim
t→0
f(x
0
+ th) − f(x
0
)

t
.
Đạo hàm của hàm f tại x
0
theo hướng h được ký hiệu là Df(x
0
, h).
Nhận xét 1.1.4. Cho f : U → R là hàm khả vi trên một tập mở U của không gian
tuyến tính định chuẩn X. Khi đó, với mọi x ∈ U ta luôn có Df(x, h) = f

(x)(h).
6
Thật vậy, cố định h ∈ X, h = 0. Do f khả vi tại x ∈ U nên ta có
f(x + th)− f(x) = f

(x)(th) +◦(||th||),
trong đó ◦(||th||) → 0 khi ||th|| → 0.
Do đó
f(x + th) − f(x)
t
= f

(x)(h) +
◦(||th||)
t
.
Chuyển qua giới hạn, cho t → 0 ta được Df(x, h) = f

(x)(h).
Đặc biệt, khi X ≡ R

n
và h trùng với vectơ đơn vị e
i
= (0, . . . , 1 . . . , 0) thì
Df(x
0
, e
i
) được gọi là đạo hàm riêng thứ i của ánh xạ f và ta viết
∂f
∂x
i
(x
0
) = f

i
(x
0
) = Df(x
0
, e
i
).
Ta có định lý
Định lý 1.1.5. [6] Cho U là tập mở của không gian định chuẩn R
n
. Nếu ánh xạ
f : U −→ R
m

(x
1
, . . . , x
n
) −→ (f
1
(x
1
, . . . , x
n
), . . . , f
m
(x
1
, . . . , x
n
))
khả vi tại x ∈ U thì tất cả các đạo hàm riêng của hàm f đều tồn tại và
[f

(x)] =






∂f
1
∂x

1
(x) . . .
∂f
1
∂x
n
(x)
.
.
.
.
.
.
∂f
m
∂x
1
(x) . . .
∂f
m
∂x
n
(x)






Định lý 1.1.6. [6] Cho U là một tập mở của không gian tuyến tính định chuẩn R

n
.
Ánh xạ f : U → R
m
có các đạo hàm riêng theo hướng liên tục trên U. Khi đó f

(x)
tồn tại và được xác định như trong Định lý 1.1.5.
Bây giờ, cho U là tập mở trong không gian tuyến tính định chuẩn thực X. Nếu
hàm f : U → R có đạo hàm trên U thì ta có ánh xạ đạo hàm f

.
Nếu ánh xạ đạo hàm f

có đạo hàm tại x ∈ U thì ta cũng nói hàm f có đạo hàm cấp
hai tại x và ký hiệu là f

(x).
Với h ∈ X ta có f

(x)(h) là ánh xạ tuyến tính đi từ X → R. Ta suy ra [f

(x)(h)](k)
là một phần tử của R (k ∈ X). Ta có [f

(x)(h)](k) tuyến tính theo cả h và k. Vì
vậy, ta xem f

(x) là một ánh xạ song tuyến tính từ X × X vào R và [f


(x)(h)](k)
sẽ được ký hiệu là f

(x)(h, k) (h, k ∈ X).
7
Định nghĩa 1.1.7. [6] Cho X là một không gian tuyến tính thực.
Một ánh xạ song tuyến tính B : X × X → R được gọi là đối xứng nếu B(h, k) =
B(k, h) ∀ h, k ∈ X.
B được gọi là xác định không âm (xác định dương) nếu với mọi h ∈ X khác 0, ta có
B(h, h) ≥ 0 (B(h, h) > 0).
Ta có định lý
Định lý 1.1.7. [6] Cho X, Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn và U là một
tập mở trong X, f : X → Y là ánh xạ khả vi liên tục trên U. Khi đó f

(x) là đối xứng
tại những điểm mà f

tồn tại.
Để thuận tiện trong chứng minh ở chương sau, trong phần này ta cũng sẽ giới thiệu
khai triển Taylor với phần dư Lagrange thể hiện trong định lý dưới đây:
Định lý 1.1.8. [5] Giả sử f : [a; b] → R có đạo hàm liên tục tới cấp n trên [a; b] và
có đạo hàm cấp n + 1 trên (a; b). Khi đó tồn tại c ∈ (a; b) sao cho
f(b) =
n

k=0
f
(k)
(a)
k!

(b − a)
k
+
f
(n+1)
(c)
(n + 1)!
(b − a)
n+1
.
1.1.4. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu.
Định nghĩa 1.1.8. Cho U là một tập con của không gian tuyến tính định chuẩn X.
Hàm f : U → R được gọi là đạt cực đại (cực tiểu) địa phương tại x
0
∈ U nếu có một
hình cầu mở B(x
0
, ) ⊂ U để f(x) ≤ f(x
0
) (f(x) ≥ f(x
0
)) với mọi x ∈ B(x
0
, ).
Nếu f(x) ≤ f(x
0
) (f(x) ≥ f(x
0
)) với mọi x ∈ U thì f được gọi là đạt cực đại (cực
tiểu) trên U.

1.1.5. Bất đẳng thức H¨older - giới hạn dưới dấu tích phân.
Định lý 1.1.9. [2] (Bất đẳng thức H¨older).
Cho E là một tập khác trống và (E, F, µ) là một không gian độ đo. Giả sử f, g là các
hàm số thực đo được trên E. Khi đó

E
|f.g|dµ ≤


E
|f|
p
dµ

1/p


E
|g|
q
dµ

1/q
với p, q ∈ R
>
, 1/p + 1/q = 1.
Bây giờ, nếu f và g là các hàm số thực dương, với λ ∈ (0, 1), áp dụng bất đẳng
thức H¨older ta có

E

f
λ
.g
1−λ
dµ ≤


E
fdµ

λ


E
gdµ

1−λ
.
8
Nếu λ ∈ {0, 1} và

E
fdµ > 0,

E
gdµ > 0 thì bất đẳng thức trên vẫn đúng. Ta có hệ
quả:
Hệ quả 1.1.10. Cho E là một tập khác trống và (E, F, µ) là một không gian độ đo.
Giả sử f, g là các hàm số thực dương đo được trên E,


E
fdµ > 0,

E
gdµ > 0. Khi
đó với λ ∈ [0; 1] ta có

E
f
λ
.g
1−λ
dµ ≤


E
fdµ

λ


E
gdµ

1−λ
.
Hệ quả trên vẫn đúng nếu f, g là các hàm số thực dương hầu khắp nơi trên E.
Định lý 1.1.11. [1] (Levi)
Cho E là một tập khác trống và (E, F, µ) là một không gian độ đo. Nếu dãy hàm (f
n

)
trong đó 0 ≤ f
n
là các hàm số thực đo được trên E đơn điệu tăng và dần về hàm f
thì
lim
n→∞

E
f
n
dµ =

E
fdµ.
Từ Định lý 1.1.11 ta có hệ quả sau:
Hệ quả 1.1.12. [1] Cho E là một tập khác trống và (E, F, µ) là một không gian độ
đo. Nếu f
n
là các hàm số thực không âm đo được trên E với mọi n ∈ N
∗
thì

E
∞

n=1
f
n
dµ =

∞

n=1

E
f
n
dµ.
1.1.6. Tập lồi và các tính chất của tập lồi.
Định nghĩa 1.1.9. [6] Một tập U của một không gian tuyến tính thực X được gọi là
tập lồi nếu nó chứa mọi đoạn thẳng
[x, y] = {λx + (1 − λ)y|λ ∈ [0, 1]}
nối bất kỳ hai điểm x, y ∈ U.
Đặc biệt, nếu X ≡ R thì tập lồi là một khoảng, một đoạn nay nửa khoảng.
Nếu α
1
, . . . , α
n
là các số thực không âm,
n

i=1
α
i
x
i
= 1 thì
x =
n


i=1
α
i
x
i
được gọi là một tổ hợp lồi của x
1
, . . . , x
n
.
Định lý 1.1.13. [6] Một tập U ⊂ X là tập lồi nếu và chỉ nếu mọi tổ hợp lồi của các
điểm của U đều nằm trong U.
9
Định lý 1.1.14. [6] Nếu {U
i
}, i ∈ J là một họ các tập lồi thì U = ∩
i∈J
U
i
là một tập
lồi.
Định nghĩa 1.1.10. Cho U là một tập con của X. Khi đó, bao lồi của U ký hiệu là
co(U), là giao của tất cả các tập lồi chứa U.
Bao lồi của U là một tập lồi.
Định lý 1.1.15. [6] Cho U là một tập con của X. Khi đó bao lồi của U là tập tất
cả các tổ hợp lồi của các phần tử của U.
Định nghĩa 1.1.11. [6] Một điểm x
0
của tập lồi U được gọi là điểm cực biên nếu x
0

không là điểm trong của bất cứ đoạn thẳng nào nằm trong U. Tức là không tồn tại
hai điểm x
1
, x
2
∈ U và λ ∈ (0; 1) để x
0
= λx
1
+ (1 − λ)x
2
.
Ta có định lý:
Định lý 1.1.16. [6] Cho U ⊆ R
n
là một tập lồi, compact. Khi đó U là bao lồi của
tất cả các điểm cực biên của nó.
1.2 Hàm lồi và hàm loga-lồi.
Các hàm lồi được định nghĩa trên các tập lồi.
Định nghĩa 1.2.1. [9] Cho I là một khoảng chứa trong R và hàm f : I → R.
1. f được gọi là hàm lồi nếu
f(λx + (1 − λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y) (1.2.1)
với mọi x, y ∈ I và với mọi λ ∈ [0; 1].
2. f được gọi là hàm lồi thực sự (chặt) nếu (1.2.1) là bất đẳng thức ngặt với các
điểm x, y phân biệt và λ ∈ (0; 1).
3. Nếu −f là hàm lồi (lồi thực sự) thì ta nói f là hàm lõm (lõm thực sự).
4. Nếu f vừa là hàm lồi vừa là hàm lõm thì ta nói f là hàm affine.
Thực ra, tại λ = 0 và λ = 1 thì (1.2.1) luôn đúng nên để cho tiện, đôi khi ta chỉ
cần xét λ ∈ (0; 1).
Trong trường hợp tổng quát, với U là một tập lồi trong không gian tuyến tính định

chuẩn thực X. Một hàm f : U → R được gọi là lồi nếu
f(λx + (1 − λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y)
10
với mọi x, y ∈ U và với mọi λ ∈ [0; 1].
Các khái niệm hàm lồi thực sự, hàm lõm, lõm thực sự cũng được định nghĩa tương
tự như trong Định nghĩa 1.2.1.
Định nghĩa 1.2.2. Cho I là một khoảng của tập số thực và f : I → (0,∞). Khi đó
1. f được gọi là hàm loga-lồi nếu ln f là hàm lồi. Nói cách khác
f(λx + (1 − λ)y) ≤ f(x)
λ
f(y)
1−λ
∀x, y ∈ I, λ ∈ [0, 1].
2. f được gọi là hàm loga-lõm nếu ln f là hàm lõm. Nói cách khác
f(λx + (1 − λ)y) ≥ f(x)
λ
f(y)
1−λ
∀x, y ∈ I, λ ∈ [0, 1].
Trong phần cuối của chương 2 ta sẽ chỉ ra rằng hàm loga-lồi cũng là một hàm lồi.
Ví dụ 1.2.1. Các hàm sau đây là hàm lồi:
1. f : R → R, f(x) = ax + b với a, b là các số thực bất kỳ.
Thật vậy, với bất kỳ a, b ∈ R, x, y ∈ R, λ ∈ [0, 1], ta có
f(λx + (1 − λ)y) = a(λx + (1 − λ)y) + b = λ(ax + b) + (1 − λ)(ay + b)
thỏa mãn định nghĩa của hàm lồi.
2. Ánh xạ chuẩn . : X → R với X là một không gian tuyến tính định chuẩn
thực.
Thật vậy, với x, y ∈ X, λ ∈ [0; 1] ta có
λx + (1 − λy) ≤ λx + (1 − λ)y ≤ λx + (1 − λ)y
thỏa mãn định nghĩa của hàm lồi.

3. Hàm khoảng cách d
U
: R
n
→ R, d
U
(x) = d(x, U) = inf
z∈U
x − z với U là tập lồi
không rỗng của R
n
.
Thật vậy, d
U
là hàm lồi do với x, y ∈ R
n
, λ ∈ [0; 1] ta có
d
U
(λx + (1 − λ)y) = inf
z∈U
λx + (1 − λ)y − z
= inf
z∈U
λ(x − z) + (1 − λ)(y − z)
≤ inf
z∈U
λ(x − z) + inf
z∈U
(1 − λ)(y − z)

≤ λ inf
z∈U
x− z + (1 − λ) inf
z∈U
y − z
= λd
U
(x) + (1 − λ)d
u
(y).
11
Các tính chất của hàm lồi và tiêu chuẩn đạo hàm cấp hai trong chương 2 sẽ cho
ta nhiều công cụ hơn để chứng minh một hàm nào đó là hàm lồi.
Bây giờ, cho f : I → R là một hàm lồi trên một
khoảng I ⊂ R. Với u, v ∈ I phân biệt và x ∈ [u; v].
Khi đó tồn tại một số λ ∈ [0; 1] để
x = λu + (1 − λ)v.
Ta có
x − u
v − u
=
λu + (1 − λ)v − u
v − u
=
(1− λ)(v − u)
v − u
= 1 − λ. (1.2.2)
(u,f(u))
(v,f(v))
xO

y
(x,f(x))
Do đó,
f(x) ≤ λf(u) + (1 − λ)f(v)
= f(u) + (1 − λ)(f(v)− f(u))
= f(u) +
f(v) − f(u)
v − u
(x − u) (theo (1.2.2)).
Ta có f(u) +
f(v) − f(u)
v − u
(x− u) = 0 chính là đường thẳng đi qua hai điểm (u, f(u))
và (v, f(v)).
Nói cách khác, các điểm trên đồ thị của hàm f|
[u;v]
nằm dưới dây cung nối hai điểm
(u, f(u)) và (v, f(v)), với mọi u, v ∈ I, u < v. Đây chính là ý nghĩa hình học về tính
lồi của hàm f.
12
Chương 2
MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN VÀ CÁC
BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN
HÀM LỒI.
Trong chương này, chúng ta sẽ bắt đầu với một số tính chất đặc trưng cơ bản của hàm lồi.
Đầu tiên là các phép toán liên quan đến hàm lồi như tổng của hai hàm lồi, tích của hàm số với
một số thực dương, các phép toán lấy giới hạn cũng như hợp của hai hàm lồi. Tiếp đến, ta sẽ tìm
hiểu một số tính chất đặc biệt của hàm lồi như tính liên tục, tính khả vi và các định lý liên quan
đến giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm lồi. Phần cuối của chương này được dành để nói
về một số bất đẳng thức của hàm lồi cũng như thiết lập một vài bất đẳng thức mới về chủ đề này.

2.1 Một số tính chất cơ bản của hàm lồi.
Định lý 2.1.1. (Các phép toán với các hàm lồi)
Cho U là một tập lồi trong không gian tuyến tính định chuẩn thực X. Khi đó
1. Nếu f và g là các hàm lồi trên U thì f + g cũng là hàm lồi trên U. Nếu f hoặc
g là hàm lồi thực sự thì tổng f + g cũng là hàm lồi thực sự.
2. Nếu f là hàm lồi (lồi thực sự) trên U và µ là một số thực dương thì µf là một
hàm lồi (lồi thực sự) trên U.
3. Nếu f là một hàm lồi (lồi thực sự) trên U và V là tập con lồi của U. Khi đó
hạn chế f|
V
của hàm f lên V cũng là một hàm lồi (lồi thực sự) trên V .
Chứng minh định lý này khá đơn giản. Ta sẽ không chứng minh định lý này.
Nhận xét 2.1.2. Từ Định lý 2.1.1 ta có nhận xét sau:
13
1. Cho ϕ là hàm lồi (lồi thực sự) trên R thì hàm f(x
1
, . . . , x
n
) =
n

k=1
ϕ(x
k
) là hàm
lồi (lồi thực sự) trên R
n
.
2. Một hàm nhiều biến có thể là hàm lồi theo mỗi biến khi cố định các biến còn lại
nhưng không phải là hàm lồi. Chẳng hạn như hàm f(x, y) = xy, (x, y) ∈ R

2
.
Định lý 2.1.3. [9] Cho I, J ⊂ R là các tập lồi. Nếu f là một hàm lồi (lồi thực sự)
trên I và g là một hàm lồi không giảm (hàm lồi tăng) trên tập lồi J, f(I) ⊂ J thì
g ◦ f là một hàm lồi (lồi thực sự).
Chứng minh. Với x, y ∈ I, λ ∈ [0; 1] ta có
g(f(λx + (1 − λ)y)) ≤ g(λf(x) + (1 − λ)f(y)) (do g là hàm lồi không giảm)
≤ λg(f(x)) + (1 − λ)g(f(y))
= λ(g ◦ f)(x) + (1 − λ)(g ◦ f)(y).
hay g ◦ f là hàm lồi.
Nếu f là hàm lồi thực sự, g là hàm lồi tăng thì với x = y, λ ∈ (0; 1), thực hiện như
trên ta thu được bất đẳng thức ngặt, hay g ◦ f là hàm lồi thực sự.
Định lý 2.1.4. [9] Cho hàm f : U → R xác định trên tập lồi U của không gian tuyến
tính định chuẩn X. Khi đó, f là hàm lồi (lồi thực sự) trên U nếu và chỉ nếu các hàm
ϕ
x,y
: [0, 1] → R, ϕ
x,y
(t) := f(tx + (1 − t)y) với x, y ∈ U, t ∈ [0, 1]
là hàm lồi (lồi thực sự).
Chứng minh. ⇒) Giả sử f là hàm lồi thực sự trên U.
Với x, y ∈ U cho trước, với mọi u, v ∈ [0; 1] và λ ∈ [0; 1] ta có
ϕ
x,y
(λu + (1 − λ)v) = f( (λu + (1 − λ)v)x + (1 − [λu + (1 − λ)v])y )
= f( λ[ux + (1 − u)y] + (1 − λ)[vx + (1 − v)y] )
≤ λf(ux + (1 − u)y) + (1 − λ)f(vx + (1 − v)y)
= λϕ
x,y
(u) + (1 − λ)ϕ

x,y
(v),
hay ϕ
x,y
là hàm lồi.
Nếu f là hàm lồi thực sự thì theo trên, với u = v và λ ∈ (0; 1) ta thu được bất đẳng
thức ngặt, ϕ
x,y
là hàm lồi thực sự.
14
⇐) Giả sử các hàm ϕ
x

,y

là các hàm lồi (x

, y

∈ U).
Với mọi x, y ∈ U, với mọi λ ∈ [0; 1] ta có
f(λx + (1 − λ)y) = ϕ
x,y
(λ) = ϕ
x,y
(λ.1 + (1 − λ)0)
≤ λϕ
x,y
(1) + (1 − λ)ϕ
x,y

(0) (do ϕ
x,y
là hàm lồi)
= λf(x) + (1 − λ)f(y).
Vậy, f là hàm lồi.
Nếu ϕ
x,y
là các hàm lồi thực sự thì theo trên, với x = y và λ ∈ (0; 1) ta thu được bất
đẳng thức ngặt, hay f là hàm lồi thực sự.
Định lý 2.1.5. Cho U là một tập lồi trong khôn gian tuyến tính định chuẩn thực X.
Nếu dãy (f
n
) (trong đó f
n
: U → R) là một dãy hàm lồi hội tụ điểm hữu hạn đến một
hàm f trên U thì f là hàm lồi.
Chứng minh. Với x, y ∈ U, λ ∈ [0; 1], với mọi n ∈ N
∗
ta có
f
n
(λx + (1 − λ)y) ≤ λf
n
(x) + (1 − λ)f
n
(y).
Chuyển qua giới hạn ta được
f(λx + (1 − λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y).
Vậy, f là hàm lồi.
Về tính liên tục của hàm lồi, ta có các tính chất sau:

Bổ đề 2.1.6. Cho X là một không gian tuyến tính định chuẩn, B(x
0
, ) là hình cầu
mở tâm x
0
bán kính . Khi đó:
1. αB(x
0
, ) = {αx|x ∈ B(x
0
, )} là hình cầu mở B(αx
0
, α) với α là số thực
dương.
2. B(x
0
, ) + y = {x + y|x ∈ B(x
0
, )} là hình cầu mở B(x
0
+ y, ) với y là một
điểm bất kỳ của X.
3. Tồn tại một số µ > 1 sao cho z = µx
0
∈ B(x
0
, ).
Chứng minh. 1. Lấy z = αx ∈ αB(x
0
, ) (x ∈ B(x

0
, )). Ta có
z − αx
0
 = αx − αx
0
 = αx − x
0
 < α,
15
hay z ∈ B(αx
0
, α).
Do đó, αB(x
0
, ) ⊂ B(αx
0
, α).
Ngược lại, với z

∈ B(αx
0
, α) ta có


z

− αx
0



=




α

z

α
− x
0





< α
hay




z

α
− x
0





< .
Suy ra z

/α ∈ B(x
0
, ) hay z

∈ αB(x
0
, ).
Do đó, B(αx
0
, α) ⊂ αB(x
0
, ).
Vậy, αB(x
0
, ) = B(αx
0
, α).
2. Lấy z = x + y ∈ B(x
0
, ) + y (x ∈ B(x
0
, )). Ta chứng minh z ∈ B(x
0
+ y, ).

Ta có
z − (x
0
+ y) = x + y − (x
0
+ y) = x − x
0
 < .
Suy ra z ∈ B(x
0
+ y, ).
Do đó, B(x
0
, ) + y ⊂ B(x
0
+ y, ).
Ngược lại, với z

∈ B(x
0
+ y, ) ta có


z

− (x
0
+ y)



< 
hay


(z

− y) − x
0


< .
Suy ra z

− y ∈ B(x
0
, ) hay z

∈ B(x
0
, ) + y.
Do đó, B(x
0
+ y, ) ⊂ B(x
0
, ) + y.
Vậy, B(x
0
, ) + y = B(x
0
+ y, ).

3. Với z = µx
0
ta có z − x
0
 = µx
0
− x
0
 = (µ − 1)x
0
.
Chọn µ > 1 sao cho µ − 1 đủ nhỏ, ta có z − x
0
 = (µ − 1)x
0
 <  hay
z ∈ B(x
0
, ).
Bổ đề được chứng minh.
Bây giờ, cho f là hàm lồi trên một tập lồi mở U của không gian tuyến tính định
chuẩn X và x
0
∈ U.
Đặt V = {x ∈ X : (x + x
0
) ∈ U}. Suy ra 0 ∈ V .
Khi đó, với mọi x, y ∈ V , với mọi λ ∈ [0; 1] ta có x + x
0
, y + x

0
∈ U và
λx + (1 − λ)y + x
0
= λ(x + x
0
) + (1 − λ)(y + x
0
). (2.1.1)
16
Do x + x
0
và y + y
0
thuộc U, U lồi nên từ (2.1.1) ta suy ra λx + (1 − λ)y ∈ V hay
V là tập lồi.
Với mọi x ∈ V , ta có x + x
0
∈ U. Do U là tập lồi mở nên tồn tại một lân cận
B(x + x
0
, δ) của x + x
0
nằm trong U. Khi đó B(x, δ) = B(x + x
0
, δ)− x
0
là một lân
cận của x. Rõ ràng B(x, δ) ⊂ V .
Mỗi điểm x trong V đều tồn tại một lân cận B(x, δ) nằm trong V nên V là tập mở.

Vậy, V là tập lồi mở trong X.
Ta xét hàm g : V → R xác định bởi g(x) = f(x + x
0
). Ta có g là một hàm lồi trên V .
Thật vậy, với mọi x, y ∈ V , với mọi λ ∈ [0; 1] ta có
g(λx + (1 − λ)y) = f(λx + (1 − λ)y + x
0
)
= f(λ(x + x
0
) + (1 − λ)(y + x
0
))
≤ λf(x + x
0
) + (1 − λ)f(y + x
0
)
= λg(x) + (1 − λ)g(y).
Nhận xét 2.1.7. Với hàm f và hàm g xác định như trên, ta có các nhận xét sau:
1. Hàm f bị chặn trên trong hình cầu mở B(x
0
, ) ⊂ U tương đương với hàm g bị
chặn trên trong hình cầu mở B(0, ) ⊂ V .
Thật vậy, f bị chặn trên trong B(x
0
, ) khi và chỉ khi tồn tại số M sao cho
f(x) ≤ M, ∀ x ∈ B(x
0
, ).

Vì B(x
0
, ) = B(0, ) + x
0
nên với mọi y ∈ B(0, ) ta có y + x
0
∈ B(x
0
, ) và
g(y) = f(y + x
0
) ≤ M,
hay g bị chặn trên trong B(0, ).
Ngược lại, giả sử g bị chặn trên trong B(0, ) tức tồn tại M để
f(y) ≤ M, ∀ y ∈ B(0, ).
Vì B(0, ) = B(x
0
, ) − x
0
nên với mọi x ∈ B(x
0
, ) ta có x − x
0
∈ B(0, ) và
f(x) = g(x − x
0
) ≤ M,
hay f bị chặn trên trong B(x
0
, ).

2. Nếu hàm f bị chặn dưới ta cũng có kết quả tương tự.
Ta suy ra hàm f bị chặn trong hình cầu mở B(x
0
, ) ⊂ U tương đương với hàm
g bị chặn trong hình cầu B(0, ) ⊂ V .
17
3. Tương tự, hàm f liên tục tại x
0
∈ U tương đương với hàm g liên tục tại 0.
Thật vậy, giả sử hàm f liên tục tại x
0
. Khi đó với mọi  > 0, tồn tại δ > 0 sao
cho với mọi x ∈ U, x − x
0
 < δ ta suy ra f(x) − f(x
0
) < .
Suy ra
g(x − x
0
) − g(0) = f(x) − f(x
0
) <  với mọi x ∈ U,x − x
0
 < δ.
(2.1.2)
Đặt y = x − x
0
. Vì x ∈ U nên y = x − x
0

∈ V , (2.1.2) trở thành
g(y) − g(0) <  với mọi y ∈ V,y < δ.
Suy ra hàm g liên tục tại điểm 0.
Ngược lại, giả sử g liên tục tại 0. Khi đó với mọi  > 0, tồn tại δ > 0 sao cho
với mọi x ∈ V, x < δ ta suy ra g(x) − g(0) < .
Suy ra
f(x + x
0
) − f(x
0
) = g(x) − g(0) <  với mọi x ∈ V,x < δ. (2.1.3)
Đặt y = x + x
0
. Vì x ∈ V nên y = x + x
0
∈ U, (2.1.3) trở thành
f(y) − f(x
0
) <  với mọi y ∈ U,y − x
0
 < δ.
Hay f liên tục tại x
0
.
4. Ta cũng có thể chứng minh hàm f khả vi tại điểm x
0
tương đương hàm g khả
vi tại điểm 0.
Giả sử f là hàm lồi xác định trên tập lồi U. Theo Nhận xét 2.1.7, nếu f bị chặn trên
(bị chặn) trong một hình cầu mở B(x

0
, ) ⊂ U thì không mất tính tổng quát, ta có
thể giả sử 0 ∈ U và f bị chặn trên (bị chặn) trong hình cầu B(0, ).
Tương tự, f liên tục (khả vi) tại điểm x
0
∈ U, không mất tính tổng quát, ta có thể
giả sử 0 ∈ U và hàm f liên tục (khả vi) tại điểm 0.
Định lý 2.1.8. [6] Cho f là hàm lồi trên một tập lồi mở U của không gian tuyến
tính định chuẩn X. Nếu f bị chặn trên trong một lân cận của điểm x
0
∈ U thì f bị
chặn địa phương, tức là mỗi x ∈ U có một lân cận mà trên đó f bị chặn.
Chứng minh. Định lý được chứng minh theo hai bước:
Bước 1: Giả sử f bị chặn trên trong một lân cận của điểm x
0
∈ U. Ta chứng minh f
bị chặn trong lân cận đó.
18
Theo Nhận xét 2.1.7, ta có thể xem 0 ∈ U và f bị chặn trên tại điểm 0.
Khi đó tồn tại một hình cầu mở B(0, ) ⊂ U và một số N sao cho
f(x) ≤ N, ∀ x ∈ B(0, ).
Bây giờ, ta chứng minh f bị chặn trong B(0, ).
Với x ∈ B(0, ), vì 0 =
1
2
x +
1
2
(−x) nên ta có
f(0) ≤

1
2
f(x) +
1
2
f(−x)).
Do đó,
f(x) ≥ 2f(0) − f(−x)).
Vì x ∈ B(0, ) nên ||− x|| < , do đó −f(−x) ≥ −N hay f(x) ≥ 2f(0) − N.
Vậy, f bị chặn dưới trong B(0, ) hay f bị chặn trong B(0, ) bởi
M = max{|N|,|2f(0) − N|}.
Bước 2: Ta chứng minh f bị chặn địa phương trong U (0 ∈ U), tức là với y ∈ U bất
kỳ, ta sẽ chứng minh f bị chặn trong một lân cận nào đó của y.
Trường hợp y = 0 đã được xét ở bước 1, ta xét y = 0.
Do U mở, y ∈ U nên y thuộc một hình cầu mở B(y, 

) tâm y bán kính 

chứa trong
U. Theo Bổ đề 2.1.6, tồn tại µ > 1 sao cho z = µy ∈ B(y, 

) ⊂ U. Đặt λ = 1/µ. Suy
ra 0 < λ < 1. Khi đó, theo Bổ đề 2.1.6 thì tập
A = {v ∈ X : v = (1 − λ)x + λz, x ∈ B(0, )}
là một hình cầu mở tâm y = λz với bán kính (1 − λ).
Với v ∈ A ta có
f(v) ≤ (1 − λ)f(x) + λf(z) ≤ (1 − λ)M + λ|f(z)| ≤ M +|f(z)|.
Hay f bị chặn trên trong A, theo bước 1 ta suy ra f bị chặn trong A.
Vậy, với mỗi y ∈ U đều tồn tại một lân cận để f bị chặn trong lân cận đó. Nói cách
khác, f bị chặn địa phương trong U.

Định lý 2.1.9. [6] Cho f là một hàm lồi trên tập lồi mở U ⊆ X. Nếu f bị chặn trên
trong một lân cận của một điểm thuộc U, thì f là Lipschitz địa phương trên U.
Chứng minh. Theo Định lý 2.1.8 ta suy ra f bị chặn địa phương trong U.
Do đó, với x
0
∈ U ta có thể tìm được một lân cận B(x
0
, 2) ⊆ U và một số M > 0
sao cho
|f(x)| ≤ M, ∀x ∈ B(x
0
, 2).
19
Giả sử f không thỏa mãn điều kiện Lipschitz trên B(x
0
, ).
Khi đó tồn tại x
1
, x
2
∈ B(x
0
, ), x
1
= x
2
để
f(x
2
) − f(x

1
) >
2M

x
2
− x
1
 .
hay
f(x
2
) − f(x
1
)
x
2
− x
1

>
2M

(2.1.4)
Vì x
1
= x
2
nên x
1

− x
2
 > 0, ta chọn α > 0 sao cho α(x
1
− x
2
) =  và đặt
x
3
= x
2
+ α(x
2
− x
1
).
Suy ra
x
3
− x
2
 = α(x
2
− x
1
) =  (2.1.5)
và
x
3
− x

0
 = x
2
− x
0
+ α(x
2
− x
1
) ≤ x
2
− x
0
 + α(x
2
− x
1
) <  +  = 2.
Hay x
3
∈ B(x
0
, 2).
Cũng từ x
3
= x
2
+ α(x
2
− x

1
) ta có
x
2
=
α
1 + α
x
1
+
1
1 + α
x
3
.
Do f là hàm lồi nên
f(x
2
) ≤
α
1 + α
f(x
1
) +
1
1 + α
f(x
3
) hay (1 + α)f(x
2

) ≤ αf(x
1
) + f(x
3
).
Suy ra
f(x
3
) − f(x
2
) ≥ α(f(x
2
) − f(x
1
)). (2.1.6)
Từ (2.1.4), (2.1.5) và (2.1.6) ta có
f(x
3
) − f(x
2
)
x
3
− x
2

=
f(x
3
) − f(x

2
)
α(x
2
− x
1
)
≥
α(f(x
2
) − f(x
1
))
α(x
2
− x
1
)
=
f(x
2
) − f(x
1
)
x
2
− x
1

>

2M

.
Vì x
3
− x
2
 =  (theo (2.1.5)) nên f(x
3
) − f(x
2
) > 2M, mâu thuẫn với |f| ≤ M
trên B(x
0
, 2). Định lý được chứng minh.
Định lý 2.1.10. [6] Cho f là một hàm lồi trên một tập lồi mở U ⊆ X. Nếu f bị
chặn trên trong một lân cận của một điểm của U thì f liên tục trên U.
Chứng minh. Từ Định lý 2.1.9 ta suy ra f Lipschitz địa phương trên U. Do đó f liên
tục trên U theo Nhận xét 1.1.2.
20
Đặc biệt, nếu U ⊆ R
n
ta có định lý sau:
Định lý 2.1.11. [6] Cho f là một hàm lồi trên một tập lồi mở U ⊆ R
n
. Khi đó f
liên tục trên U.
Chứng minh. Theo Nhận xét 2.1.7 ta có thể giả sử 0 ∈ U. Chọn α > 0 đủ nhỏ để bao
lồi
V = co({0, αe

1
, ..., αe
n
}) ⊆ U.
Trước hết ta chứng minh V có phần trong
◦
V khác rỗng.
Thật vậy, lấy một phần tử x ∈ V bất kỳ. Khi đó x được biểu diễn dưới dạng
x = λ
0
.0 + λ
1
.αe
1
+ . . . + λ
n
.αe
n
(λ
0
+ λ
1
+ . . . + λ
n
= 1) (2.1.7)
Đặt x
0
=
0 + αe
1

+ . . . + αe
n
n + 1
.
Khi đó x
0
∈ co({0, αe
1
, ..., αe
n
}).
Do các λ
i
(i =
0, n) trong biểu diễn của x
0
đều bằng
1
n+1
> 0 và việc giải các phương
trình (2.1.7) để tìm λ
0
, λ
1
, . . . , λ
n
quy về việc giải một hệ phương trình tuyến tính
với các λ
i
(i =

0, n) phụ thuộc liên tục vào các thành phần tọa độ của x nên tồn tại
số δ > 0 sao cho nếu x ∈ B(x
0
, δ) thì các λ
i
> 0 ∀ i = 0, n.
Suy ra B(x
0
, δ) ⊂ co({0, αe
1
, ..., αe
n
}) là một lân cận của x
0
.
Vậy,
◦
V = ∅.
Với x ∈ V bất kỳ ta có biểu diễn
x = λ
0
0 + λ
1
(αe
1
) + ... + λ
n
(αe
n
)

trong đó λ
i
≥ 0 ∀ i =
0, n,
n

i=0
λ
i
= 1. Khi đó:
f(x) ≤ λ
0
f(0) +
n

i=1
λ
i
f(αe
i
) ≤ max{f(0), f(αe
1
), ..., f(αe
n
)}.
Do đó f bị chặn trên trong tập mở
◦
V khác rỗng.
Theo Định lý 2.1.10 ta có điều phải chứng minh.
Về tính khả vi của hàm lồi, ta có các tính chất sau:

Định lý 2.1.12. [6] Giả sử hàm f xác định trên một tập lồi mở U ⊆ X. Nếu f là
hàm lồi trên U và khả vi tại x
0
, thì với x ∈ U, ta có
f(x) − f(x
0
) ≥ f

(x
0
)(x − x
0
) (2.1.8)
Nếu f khả vi trên U, thì f là hàm lồi nếu và chỉ nếu f thỏa (2.1.8) với mọi x, x
0
∈ U.
Hơn nữa, f lồi thực sự nếu và chỉ nếu bất đẳng thức (2.1.8) là bất đẳng thức ngặt.
21
Chứng minh. Nếu f là hàm lồi thì với mọi t ∈ (0; 1),
f(x
0
+ t(x − x
0
)) = f((1 − t)x
0
+ tx) ≤ (1 − t)f(x
0
) + tf(x)
Đặt h = x − x
0

ta có
f(x
0
+ th) − f(x
0
) ≤ t[f(x
0
+ h) − f(x
0
)] (2.1.9)
Trừ f

(x
0
)(th) vào hai vế của (2.1.9) rồi chia cho t với chú ý
f

(x
0
)(th)
t
= f

(x
0
)(h)
(do f

(x
0

) là ánh xạ tuyến tính) ta được
f(x
0
+ th) − f(x
0
) − f

(x
0
)(th)
t
≤ f(x
0
+ h) − f(x
0
) − f

(x
0
)(h)
Cho t → 0, vế trái của biểu thức trên dần đến 0, vế phải độc lập với t vẫn không đổi.
Ta suy ra (2.1.8) đúng.
Nếu f lồi thực sự, (2.1.9) là bất đẳng thức ngặt, kết hợp với (2.1.8) trong đó x = x
0
+th
ta có
t[f(x
0
+ h) − f(x
0

)] > f(x
0
+ th) − f(x
0
) ≥ f

(x
0
)(th)
Chia hai vế cho t ta được f(x
0
+ h) − f(x
0
) > f

(x
0
)(h), (2.1.8) trở thành bất đẳng
thức ngặt.
Ngược lại, giả sử f khả vi và thỏa mãn (2.1.8) trên U. Với x
1
, x
2
∈ U, t ∈ (0; 1), ta
đặt
x
0
= tx
1
+ (1 − t)x

2
.
Ta có t(x
1
− x
0
) + (1 − t)(x
2
− x
0
) = tx
1
+ (1 − t)x
2
− x
0
= x
0
− x
0
= 0.
Khi đó
f(x
0
) = f(x
0
) + f

(x
0

)[t(x
1
− x
0
) + (1 − t)(x
2
− x
0
)]
= t[f(x
0
) + f

(x
0
)(x
1
− x
0
)] + (1 − t)[f(x
0
) + f

(x
0
)(x
2
− x
0
)].

Bất đẳng thức (2.1.8) đúng với x = x
1
và x = x
2
, vì vậy
f(x
0
) ≤ tf(x
1
) + (1 − t)f(x
2
) (2.1.10)
Điều này chứng tỏ f là hàm lồi trên U.
Nếu (2.1.8) là bất đẳng thức ngặt thì (2.1.10) là bất đẳng thức ngặt, f là hàm lồi
thực sự trên U.
Định nghĩa 2.1.1. [6] Cho I ⊂ R là một khoảng và hàm f : I → R là hàm khả vi trên
I. Khi đó, f

(x) được gọi là đơn điệu tăng nếu
(f

(x) − f

(y))(x − y) ≥ 0, ∀ x, y ∈ I.
22
Nếu với mọi x, y ∈ I, x = y, (f

(x)− f

(y))(x− y) > 0 thì f


(x) được gọi là đơn điệu
tăng thực sự.
Xem f

là ánh xạ tuyến tính, ta có định nghĩa tổng quát hơn:
Định nghĩa 2.1.2. [6] Cho U ⊂ X là một tập mở và f : U → R là hàm khả vi trên U.
Khi đó, f

(x) được gọi là hàm đơn điệu tăng nếu
(f

(x) − f

(y))(x − y) ≥ 0, ∀ x, y ∈ U.
Nếu bất đẳng thức trên là bất đẳng thức ngặt khi x = y thì f

được gọi là đơn điệu
tăng thực sự trên U.
Định lý 2.1.13. [4] Nếu f(x) là hàm số khả vi trên khoảng I ⊂ R thì f(x) là hàm
lồi trên I khi và chỉ khi f

(x) là hàm đơn điệu tăng trên I.
Chứng minh. Giả sử f(x) là hàm lồi trên I. khi đó với x
1
< x < x
2
(x, x
1
, x

2
∈ I),
ta có
x
2
− x
x
2
− x
1
> 0,
x − x
1
x
2
− x
1
> 0,
x
2
− x
x
2
− x
1
+
x − x
1
x
2

− x
1
= 1
và do đó
f(x) ≤
x
2
− x
x
2
− x
1
f(x
1
) +
x − x
1
x
2
− x
1
f(x
2
) (2.1.11)
⇔

x
2
− x
x

2
− x
1
+
x − x
1
x
2
− x
1

f(x) ≤
x
2
− x
x
2
− x
1
f(x
1
) +
x − x
1
x
2
− x
1
f(x
2

)
⇔
f(x) − f(x
1
)
x − x
1
≤
f(x
2
) − f(x)
x
2
− x
. (2.1.12)
Trong (2.1.12), cho x → x
1
ta thu được
f

(x
1
) ≤
f(x
2
) − f(x
1
)
x
2

− x
1
. (2.1.13)
Tương tự, trong (2.1.12), cho x → x
2
ta thu được
f(x
2
) − f(x
1
)
x
2
− x
1
≤ f

(x
2
). (2.1.14)
Từ (2.1.13) và (2.1.14) ta nhận được f

(x
1
) ≤ f

(x
2
) tức f


(x) là hàm đơn điệu tăng.
Ngược lại, giả sử f

(x) là hàm số đơn điệu tăng và x
1
< x < x
2
(x, x
1
, x
2
∈ I). Theo
định lý Lagrange, tồn tại x
3
, x
4
với x
1
< x
3
< x < x
4
< x
2
sao cho
f(x) − f(x
1
)
x − x
1

= f

(x
3
),
f(x
2
) − f(x)
x
2
− x
= f

(x
4
).
Vì f

(x) là hàm đơn điệu tăng nên f

(x
3
) ≤ f

(x
4
), ta suy ra
f(x) − f(x
1
)

x − x
1
≤
f(x
2
) − f(x)
x
2
− x
, (2.1.15)
23