Phương trình trên nhóm Abel hữu hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN
*********
HÀ DUY NGHĨA
PHƯƠNG TRÌNH
TRÊN NHÓM ABEL HỮU HẠN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Quy Nhơn - 2011
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN
*********
HÀ DUY NGHĨA
PHƯƠNG TRÌNH
TRÊN NHÓM ABEL HỮU HẠN
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60 46 05
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học
TS. NGUYỄN AN KHƯƠNG
Quy Nhơn - 2011
i
MỤC LỤC
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1 đặc trưng của nhóm abel hữu hạn 3
1.1 Khái niệm và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Hệ thức trực giao của các đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Thặng dư bậc hai, kí hiệu Legendre . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Đặc trưng trên trường hữu hạn F
q
, tổng Gauss . . . . . . . . . 10

1.5 Đặc trưng môđun k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Chương 2 phương trình trên nhóm abel hữu hạn 16
2.1 Biến đổi Fourier trên nhóm Abel hữu hạn . . . . . . . . . . . 16
2.1.1 Khái niệm và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . 16
2.1.2 Luật thuận nghịch bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.3 Biến đổi Fourier của hàm đặc trưng . . . . . . . . . . . 24
2.2 Phương trình x
1
  x
2
  ☎ ☎ ☎   x
k
✏ a . . . . . . . . . . . . . . . 27
Chương 3 phương trình đồng dư bậc cao 32
3.1 Tổng Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.1.1 Khái niệm và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . 32
3.1.2 Một số dạng mở rộng của tổng Jacobi . . . . . . . . . 36
3.2 Phương trình α
1
x
k
1
1
  ☎ ☎ ☎   α
n
x
k
n
n
✏ α . . . . . . . . . . . . . . 43

3.3 Phương trình đồng dư A
1
x
m
1
1
  A
2
x
m
2
2
✑ A ♣mod pq . . . . . . 46
3.3.1 Số nghiệm của phương trình A
1
x
3
1
  A
2
x
3
2
✑ A ♣mod pq 46
3.3.2 Số nghiệm của phương trình A
1
x
4
1
  A

2
x
4
2
✑ A ♣mod pq 53
ii
3.3.3 Điều kiện đủ để phương trình A
1
x
m
1
1
  A
2
x
m
2
2
✑ A ♣mod pq
có nghiệm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
1
LỜI MỞ ĐẦU
Một trong những bài toán trung tâm của lý thuyết số là tìm nghiệm và
xét tính chất nghiệm hữu tỉ của phương trình. Nghiệm của một phương trình
trên các nhóm Abel hữu hạn (đặc biệt là trên các trường hữu hạn) có quan
hệ mật thiết với nghiệm hữu tỉ cũng như nghiệm phức của phương trình đó.
Phương trình trên nhóm Abel hữu hạn là một đối tượng đã được các nhà
toán học nghiên cứu từ lâu và đến nay vẫn còn được quan tâm rộng rãi.

Một trong các khía cạnh nghiên cứu của vấn đề này là bài toán xác định số
nghiệm của phương trình trên nhóm Abel hữu hạn. Luận văn Phương trình
trên nhóm Abel hữu hạn nhằm tìm hiểu về nghiệm của phương trình trên
nhóm Abel hữu hạn và nghiệm của các phương trình đồng dư trên vành các
số nguyên.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia
thành ba chương, trong đó nội dung chính của luận văn được trình bày ở
Chương 2 và Chương 3.
Trong phần đầu của Chương 1 chúng tôi trình bày khái niệm các đặc trưng
của nhóm hữu hạn và các khái niệm cần thiết cho các phần sau. Tiếp theo
chúng tôi trình bày chi tiết về nhóm các đặc trưng và hệ thức trực giao của
các đặc trưng. Ngoài ra, chúng tôi còn trình bày một số đặc trưng cụ thể trên
trường hữu hạn F
q
cũng như ý nghĩa của nó qua tổng Gauss trên trường hữu
hạn (các Mệnh đề 1.4.9, 1.4.11).
Trong Chương 2 chúng tôi trình bày về phép biến đổi Fourier trên nhóm
Abel hữu hạn và một số ứng dụng. Chúng tôi bắt đầu từ việc xây dựng các
định nghĩa, ví dụ cũng như những tính chất cơ bản của phép biến đổi Fourier
trên nhóm Abel hữu hạn (Đẳng thức Parseval, các Mệnh đề 2.1.10, 2.1.12).
Sau đó chúng tôi đã sử dụng các tính chất của biến đổi Fourier để chứng
2
minh Luật thuận nghịch bậc hai và giải bài toán tìm số nghiệm của phương
trình trên nhóm Abel hữu hạn. Phần cuối của chương là chứng minh Định lý
Fermat trên trường hữu hạn.
Trong Chương 3 chúng tôi trình bày về tổng Jacobi và ứng dụng của nó.
Phần đầu chúng tôi giới thiệu khái niệm và các tính chất cơ sở của tổng Jacobi.
Từ đó chúng tôi làm rõ được với mỗi số nguyên tố p có dạng p ✏ 4f   1 đều
là tổng của bình phương của hai số nguyên. Phần sau chúng tôi sử dụng tổng
Jacobi để tìm số nghiệm của phương α

1
x
k
1
1
  ☎ ☎ ☎   α
n
x
k
n
n
✏ α trên trường F
p
.
Đồng thời giải một số bài toán về số nghiệm của phương trình đồng dư dạng
A
1
x
m
1
1
  A
2
x
m
2
2
✑ A ♣mod pq trên vành các số nguyên. Ngoài ra, chúng tôi
còn sử dụng phần mềm Maple để kiểm tra lại các kết quả tính toán từ các
ví dụ minh họa.

Cuối cùng, cho phép tôi được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy TS.
Nguyễn An Khương, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi thực hiện luận
văn này. Nhân đây, tôi xin chân thành cảm ơn đến Ban Giám Hiệu, Phòng
Sau Đại học, Khoa Toán Trường Đại học Quy Nhơn; Trường THPT Phan
Đình Phùng -ĐăkLăk đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành khóa học.
Tôi xin trân trọng cảm ơn quý thầy cô Khoa Toán đã giảng dạy và giúp đỡ
tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu khoa học cũng như thực hiện đề tài.
Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp đã cùng chia sẻ, động viên và
giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn.
Mặc dù bản thân đã rất cố gắng và được sự hướng dẫn nhiệt tình của
thầy giáo hướng dẫn, nhưng do năng lực của bản thân và thời gian còn hạn
chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận
được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.
3
Chương 1
ĐẶC TRƯNG CỦA NHÓM ABEL HỮU HẠN
Cho G là một nhóm Abel hữu hạn cấp n. Trong chương này chúng tôi
trình bày các khái niệm, tính chất cơ bản về đặc trưng của G. Bên cạnh đó,
chúng tôi cũng giới thiệu một đặc trưng môđun k của vành các số nguyên Z
và các đặc trưng của trường hữu hạn F
q
. Kiến thức trong chương này được
chúng tôi trình bày dựa trên các tài liệu [4], [5], [9], [10].
1.1 Khái niệm và các tính chất cơ bản
Định nghĩa 1.1.1. Cho G là một nhóm Abel hữu hạn cấp n viết theo lối
cộng. Một đặc trưng của nhóm G là một đồng cấu từ G vào nhóm nhân C
✝
các số phức khác không. Nói cách khác, một đặc trưng của nhóm G là một
hàm χ : G ÝÑ C
✝

thỏa mãn χ♣a   bq ✏ χ♣aqχ♣bq với mọi a, b  G.
Kí hiệu là χ
0
là đặc trưng tầm thường, tức là χ
0
♣aq ✏ 1 với mọi a  G.
Chú ý 1.1.2. Từ định nghĩa ta có χ♣aq
n
✏ χ♣naq ✏ χ♣0q ✏ 1 với a  G. Do
đó χ♣aq chính là căn bậc n của đơn vị và χ♣✁aq ✏ χ♣aq
✁1
✏ χ♣aq.
Định nghĩa 1.1.3. Giả sử χ và χ
✶
là hai đặc trưng của nhóm G. Tích của
hai đặc trưng χ và χ
✶
là ánh xạ được xác định bởi
χχ
✶
: G ÝÑ C
✝
a ÞÝÑ χχ
✶
♣aq :✏ χ♣aqχ
✶
♣aq.
Rõ ràng ánh xạ này cũng là một đặc trưng của G. Hơn nữa, tập hợp tất
cả các đặc trưng của G lập thành một nhóm giao hoán với phép toán nhân
như trên. Cụ thể, ta có định lý sau.

4
Định lý 1.1.4. Tập các đặc trưng của nhóm G lập thành một nhóm giao
hoán, kí hiệu là
♣
G, với phép toán nhân được xác định như trên.
Chứng minh. Dễ dàng chứng minh được
♣
G là một nhóm giao hoán với đơn
vị là χ
0
.
Định nghĩa 1.1.5. Nhóm
♣
G được gọi là nhóm đối ngẫu của nhóm G.
Ví dụ 1.1.6 (Đặc trưng của nhóm Z
n
). Gọi ω ✏ e
2πi
n
là căn bậc n của đơn vị,
các ánh xạ χ
j
: Z
n
ÝÑ C
✝
xác định bởi χ
j
♣aq ✏ ω
ja

, j  Z là các đặc trưng
của Z
n
. Thật vậy, ta có χ
j
♣aq  C
✝
và χ
j
♣a  bq ✏ ω
j♣a bq
✏ χ
j
♣aqχ
j
♣bq, j  Z.
Nên χ
j
là đặc trưng của Z
n
. Ngoài ra ta có các sự kiện sau.
♣iq χ
j
✏ χ
k
nếu và chỉ nếu j ✑ k ♣mod nq. Thật vậy, vì χ
j
✏ χ
k
nên χ

j
♣1q ✏ χ
k
♣1q. Do đó ω
j
✏ ω
k
hay j ✑ k ♣mod nq. Ngược lại, nếu
j ✑ k ♣mod nq thì ω
J
✏ ω
k tn
✏ ω
k
. Hay χ
j
✏ χ
k
.
♣iiq χ
j
✏ χ
j
1
. Thật vậy, với mọi a  Z
n
ta có
χ
j
♣aq ✏ ω

ja
✏ ♣ω
a
q
j
✏ ♣χ
1
♣aqq
j
.
Do đó ta có χ
j
✏ χ
j
1
.
♣iiiq
①
Z
n
✏ tχ
0
, ..., χ
n✁1
✉. Thật vậy, ta chỉ cần chứng minh
①
Z
n
là nhóm
xyclic cấp n. Ta có χ

1
là phần tử sinh của nhóm
①
Z
n
và χ
n
✏ e
2πi
✏ 1 ✏ χ
0
.
Ngoài ra, giả sử tồn tại 0 ➔ n
✶
➔ n sao cho χ
n
✶
✏ χ
0
. Khi đó n⑤n
✶
. Điều này
vô lý. Vậy
①
Z
n
là nhóm xyclic cấp n, hay
①
Z
n

✏ tχ
0
, ..., χ
n✁1
✉.
♣ivq
①
Z
n
✕ Z
n
. Từ ♣iiiq ta có đẳng cấu trong ♣ivq.
Mệnh đề 1.1.7. Cho h : G
1
ÝÑ G
2
là một đồng cấu nhóm và χ là một đặc
trưng của nhóm G
2
. Đồng cấu nối của χ bởi h được kí hiệu là h
✍
χ xác định
bởi h
✍
✏ χ ✆ h (hợp thành của χ và h) là một đặc trưng của nhóm G
1
.
Chứng minh. Suy ra trực tiếp từ quy tắc hợp thành của hai đồng cấu.
5
Mệnh đề 1.1.8. Nếu G

1
, G
2
là hai nhóm Abel hữu hạn và đẳng cấu với nhau
thì hai nhóm đối ngẫu
①
G
1
,
①
G
2
tương ứng của chúng cũng đẳng cấu với nhau.
Chứng minh. Giả sử h : G
1
ÝÑ G
2
là một đẳng cấu và χ
2
là đặc trưng của
nhóm G
2
, xét sơ đồ
G
1
h
//
χ
1
!!

C
C
C
C
C
C
C
C
G
2
χ
2

C
✝
Theo Mệnh đề 1.1.7, ta có đồng cấu nối χ
2
✆ h là đặc trưng của nhóm G
1
,
nên mỗi đặc trưng χ
1
của nhóm G
1
là đồng cấu nối nào đó giữa χ
2
và h. Khi
đó ánh xạ
h
✍

:
①
G
2
Ñ
①
G
1
χ
2
ÞÝÑ h
✍
♣χ
2
q :✏ χ
2
✆ h
là toàn ánh.
Bây giờ ta cần chứng h
✍
là một đồng cấu và đơn ánh. Thật vậy, theo định
nghĩa của đặc trưng h
✍
ta có h
✍
♣χ
2
χ
✶
2

q ✏ h
✍
♣χ
2
qh
✍
♣χ
✶
2
q nên suy ra h
✍
là một
đồng cấu. Hơn nữa với mỗi j ✏ t1, 2✉ gọi χ
0
j
là đặc trưng tầm thường của
G
j
, khi đó nếu h
✍
χ
2
✏ χ
0
1
thì χ
2
✆ h♣aq ✏ 1 với mỗi a  G
1
, vì h song ánh

nên suy ra χ
2
✏ χ
0
2
. Do đó Ker ♣h
✍
q ✏ Id
①
G
2
là ánh xạ đồng nhất .
Vậy h
✍
là một đẳng cấu.
Mệnh đề 1.1.9. Gọi G ✏ G
1
✂ G
2
là tích trực tiếp của hai nhóm G
1
và G
2
.
Khi đó các nhóm đối ngẫu tương ứng
♣
G,
①
G
1

,
①
G
2
thỏa mãn
♣
G ✏
①
G
1
✂
①
G
2
.
Chứng minh. Ta có G ✏ t♣x
1
, x
2
q; x
1
 G
1
, x
2
 G
2
✉. Khi đó với χ
1


①
G
1
,
χ
2

①
G
2
xét tương ứng
χ : G ÝÑ C
✝
♣x
1
, x
2
q ÞÝÑ χ♣x
1
, x
2
q :✏ χ
1
♣x
1
qχ
2
♣x
2
q.

6
Dễ thấy χ là một ánh xạ. Ta sẽ chứng minh χ là một đặc trưng của G. Thật
vậy, với mọi ♣x
1
, x
2
q, ♣y
1
, y
2
q  G ta có
χ♣♣x
1
, x
2
q   ♣y
1
, y
2
qq ✏ χ♣x
1
  y
1
; x
2
  y
2
q ✏ χ
1
♣x

1
  y
1
qχ
2
♣x
2
  y
2
q
✏ χ
1
♣x
1
qχ
2
♣x
2
qχ
1
♣y
1
qχ
2
♣y
2
q ✏ χ♣x
1
; x
2

qχ♣y
1
; y
2
q.
Vậy χ là một đặc trưng của nhóm G.
Tiếp theo ta chứng minh ánh xạ
Φ :
①
G
1
✂
①
G
2
ÝÑ
♣
G
♣χ
1
, χ
2
q ÞÝÑ Φ♣χ
1
, χ
2
q :✏ χ
là một đẳng cấu. Trước hết ta thấy rằng Φ là một toàn cấu. Thật vậy, với
mọi χ 
♣

G ta có χ♣x
1
, x
2
q ✏ χ♣x
1
, 0qχ♣0, x
2
q ✏ χ
1
♣x
1
qχ
2
♣x
2
q, do đó luôn tồn
tại ♣χ
1
, χ
2
q 
①
G
1
✂
①
G
2
sao cho Φ♣χ

1
, χ
2
q ✏ χ. Hay Φ là một toàn cấu. Hơn
nữa, với ♣χ
1
, χ
2
q, ♣χ
✶
1
, χ
✶
2
q 
①
G
1
✂
①
G
2
, giả sử ♣χ
1
, χ
2
q ✏ ♣χ
✶
1
, χ

✶
2
q ta có
χ♣x
1
, x
2
q ✏ χ
1
♣x
1
qχ
2
♣x
2
q ✏ χ
✶
1
♣x
1
qχ
✶
2
♣x
2
q ✏ χ
✶
♣x
1
, 0qχ

✶
♣0, x
2
q ✏ χ
✶
♣x
1
, x
2
q.
Do đó χ ✏ χ
✶
, hay Φ là đơn cấu. Từ đó suy ra được Φ là một đẳng cấu.
Hệ quả 1.1.10. G ✕
♣
G.
Chứng minh. Vì G là một nhóm hữu hạn nên G ✕ Z
n
1
✂ ☎ ☎ ☎ ✂ Z
n
k
và theo
Mệnh đề 1.1.9 ta có nhóm đối ngẫu
♣
G ✕
②
Z
n
1

✂ ☎ ☎☎ ✂
②
Z
n
k
. Do đó G ✕
♣
G.
1.2 Hệ thức trực giao của các đặc trưng
Mệnh đề 1.2.1 ([4, Proposition 1.1]). Với mọi đặc trưng không tầm thường
χ của G ta luôn có
➳
aG
χ♣aq ✏ 0.
7
Chứng minh. Đặt S ✏
➦
aG
χ♣aq. Ta sẽ chứng minh S ✏ 0. Thật vậy, chọn
b  G sao cho χ♣bq ✘ 1, với mọi χ ✘ χ
0
. Khi đó ta có
χ♣bqS ✏
➳
aG
χ♣aqχ♣bq ✏
➳
aG
χ♣a   bq ✏
➳

a bG
χ♣a   bq ✏ S.
Từ đó suy ra
S♣χ♣bq ✁ 1q ✏ 0 hay S ✏ 0.
Hệ quả 1.2.2. Cho G là một nhóm Abel hữu hạn cấp n. Khi đó
(i) Nếu χ là một đặc trưng của G thì
➦
xG
χ♣xq ✏
✩
✬
✫
✬
✪
n, nếu χ ✏ χ
0
,
0, nếu χ ✘ χ
0
.
(ii) Nếu x  G thì
➦
χ
♣
G
χ♣xq ✏
✩
✬
✫
✬

✪
n, nếu x ✏ 0,
0, nếu x ✘ 0.
Chứng minh. ♣iq Nếu χ ✏ χ
0
thì
➦
xG
χ
0
♣xq ✏
➦
xG
1 ✏ n ✏ ⑤G⑤. Nếu χ ✘ χ
0
thì theo Mệnh đề 1.2.1 ta suy ra được
➦
xG
χ♣xq ✏ 0.
♣iiq Với x  G, xét ánh xạ
ϕ :
♣
G ÝÑ C
✝
χ ÞÝÑ ϕ♣χq :✏ χ♣xq.
Dễ thấy ϕ là một đặc trưng của
♣
G và do đó theo trên ta có
➦
χ

♣
G
ϕ♣χq ✏
✩
✬
✫
✬
✪
✞
✞
✞
♣
G
✞
✞
✞
, nếu ϕ ✏ ϕ
0
,
0, nếu ϕ ✘ ϕ
0
✏
✩
✬
✫
✬
✪
n, nếu χ♣xq ✏ χ
0
♣xq,

0, nếu χ♣xq ✘ χ
0
♣xq
✏
✩
✬
✫
✬
✪
n, nếu χ♣xq ✏ 1,
0, nếu χ♣xq ✘ 1
✏
✩
✬
✫
✬
✪
n, nếu x ✏ 0,
0, nếu x ✘ 0.
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Hệ quả 1.2.3 (Hệ thức trực giao tổng quát). Cho G là một nhóm Abel hữu
hạn cấp n. Khi đó
8
(i) Nếu χ, ψ 
♣
G thì
➦
aG
χ♣aqψ♣aq ✏
✩

✬
✫
✬
✪
n, nếu χ ✏ ψ,
0, nếu χ ✘ ψ.
(ii) Nếu a, b  G thì
➦
χ
♣
G
χ♣aqχ♣bq ✏
✩
✬
✫
✬
✪
n, nếu a ✏ b,
0, nếu a ✘ b.
Chứng minh. ♣iq Nếu χ ✏ ψ thì χ♣aqχ♣aq ✏ χ♣aq
✁1
χ♣aq ✏ 1. Do đó
➳
aG
χ♣aqψ♣aq ✏ n.
Nếu χ ✘ ψ thì χψ là một đặc trưng không tầm thường. Do đó theo Mệnh
đề 1.2.1 ta có điều phải chứng minh.
♣iiq Nếu a ✏ b thì
➦
χ

♣
G
χ♣aqχ♣bq ✏
➦
χ
♣
G
⑤χ♣aq⑤
2
✏ n. Nếu a ✘ b thì
➳
χ
♣
G
χ♣aqχ♣bq ✏
➳
χ
♣
G
χ♣b ✁ aq ✏ 0.
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
1.3 Thặng dư bậc hai, kí hiệu Legendre
Định nghĩa 1.3.1. Cho m là một số nguyên dương, số a được gọi là thặng
dư bậc hai theo môđun m nếu ƯCLN♣a, mq ✏ 1 và phương trình đồng dư
x
2
✑ a ♣mod mq có nghiệm. Nếu ngược lại ta nói a không là thặng dư bậc hai
theo môđun m.
Định nghĩa 1.3.2. Gọi a là một số nguyên và p là một số nguyên tố lẻ. Kí
hiệu Legendre là số được xác định như sau

✂
a
p
✡
✏
✩
✬
✬
✬
✬
✬
✫
✬
✬
✬
✬
✬
✪
0, nếu p⑤a,
1, nếu phương trình x
2
✑ a ♣mod pq có nghiệm,
✁1, nếu phương trình x
2
✑ a ♣mod pq vô nghiệm.
9
Mệnh đề 1.3.3. Gọi a, p là những số như trên. Khi đó ta có
(i)
✁
a

p
✠
✑ a
p✁1
2
♣mod pq ♣Tiêu chuẩn Eulerq;
(ii)
✁
1
p
✠
✏ 1,
✁
✁1
p
✠
✏ ♣✁1q
p✁1
2
;
(iii)
✁
a
p
✠ ✁
b
p
✠
✏
✁

ab
p
✠
;
(iv) Nếu a ✑ b ♣mod pq thì
✁
a
p
✠
✏
✁
b
p
✠
.
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh ♣iq, các kết quả ♣iiq, ♣iiiq, ♣ivq được suy
ra từ ♣iq.
Để chứng minh ♣iq trước hết ta chứng minh rằng phương trình x
2
✑ a ♣mod pq
có nghiệm nếu và chỉ nếu a
p✁1
2
✑ 1 ♣mod pq. Thật vậy, giả sử phương trình
x
2
✑ a ♣mod pq có nghiệm x. Khi đó
x
p✁1
✑ a

p✁1
2
♣mod pq.
Từ đó suy ra
a
p✁1
2
✑ x
p✁1
♣mod pq.
Ngoài ra, theo Định lý Fermat nhỏ ta có x
p✁1
✑ 1 ♣mod pq nên suy ra được
a
p✁1
2
✑ 1 ♣mod pq. Ngược lại, ta giả sử a
p✁1
2
✑ 1 ♣mod pq và gọi b là phần tử
sinh của nhóm ♣Z④pZq
✝
, khi đó luôn tồn tại số n sao cho a ✏ b
n
. Do đó ta có
b
n♣p✁1q
2
✑ 1 ♣mod pq.
Hơn nữa, b là phần tử sinh của nhóm ♣Z④pZq

✝
nên
n♣p✁1q
2
phải chia hết cho
♣p ✁ 1q tức là
n
2
phải là số chẵn. Do đó b
n
2
là nghiệm của phương trình
x
2
✑ a ♣mod pq.
Tiếp theo ta chứng minh cho hai trường hợp còn lại đó là phương trình
x
2
✑ a ♣mod pq vô nghiệm và p⑤a.
Trường hợp 1: Với p⑤a ta có
✁
a
p
✠
✏ 0. Suy ra a
p✁1
2
✑ 1 ♣mod pq.
10
Trường hợp 2: Với

✁
a
p
✠
✏ ✁1 tức là phương trình x
2
✑ a ♣mod pq vô nghiệm.
Khi đó với mỗi 1 ➝ i ➝ p ✁ 1 tồn tại duy nhất j với 1 ➝ j ➝ p ✁ 1 sao cho
i.j ✑ a ♣mod pq. Hiển nhiên là i ✘ j, nên ta có thể nhóm các số 1, ..., p ✁ 1
thành
p✁1
2
cặp sao cho tích từng cặp đồng dư a theo môđun p. Từ đó suy ra
♣p ✁ 1q! ✑ a
p✁1
2
♣mod pq.
Do đó, theo Định lý Wilson ta có ✁1 ✑ a
p✁1
2
♣mod pq.
1.4 Đặc trưng trên trường hữu hạn F
q
, tổng Gauss
Cho F
q
là trường hữu hạn với q là lũy thừa của một số nguyên tố. Ngoài
đặc trưng của nhóm Abel ♣F
q
,  q và đặc trưng trên nhóm giao hoán ♣F

✝
q
, .q
đã được đề cập, trong phần này ta sẽ xét đặc trưng trên trường F
q
. Cụ thể
ta có các định nghĩa sau.
Định nghĩa 1.4.1. Một đặc trưng cộng tính của trường F
q
là đặc trưng của
nhóm ♣F
q
,  q, tức là với mỗi χ 
♣
F
q
và với mọi a, b  F
q
ta có
♣iq χ♣a   bq ✏ χ♣aqχ♣bq;
♣iiq χ♣0q ✏ 1;
♣iiiq χ♣✁aq ✏ χ♣aq.
Ví dụ 1.4.2. Cho F
p
là trường hữu hạn với p phần tử và F
q
là trường hữu
hạn với p
k
phần tử (p nguyên tố, q ✏ p

k
q, với mỗi x  F
q
ta định nghĩa
tr♣xq :✏ x   x
p
  x
p
2
  ☎ ☎☎   x
p
k✁1
.
Khi đó hàm ψ
a
♣xq ✏ e
tr♣axq
p
với a  F
q
là đặc trưng cộng tính của F
q
. Thật
vậy, ta có ψ
a
♣xq  C
✝
với mỗi x  F
r
và ψ

a
♣0q ✏ 1. Ngoài ra, ta có
tr♣a♣x
1
  x
2
qq ✏ a♣x
1
  x
2
q   a
p
♣x
1
  x
2
q
p
  ☎ ☎☎   a
p
k✁1
♣x
1
  x
2
q
p
k✁1
✏
11

✏ a♣x
1
  x
2
q   a
p
♣x
p
1
  x
p
2
q   ☎ ☎ ☎   a
p
k✁1
♣x
p
k✁1
1
  x
p
k✁1
2
q
✏ tr♣ax
1
q   tr♣ax
2
q.
Từ đó suy ra

ψ
a
♣x
1
  x
2
q ✏ ψ
a
♣x
1
qψ
a
♣x
2
q.
Vậy ψ
a
là đặc trưng cộng tính của trường F
q
.
Định nghĩa 1.4.3. Một đặc trưng nhân tính của trường F
q
là đặc trưng ψ
của nhóm nhân ♣F
✝
q
, .q mở rộng lên F
q
bằng cách đặt ψ♣0q ✏ 0 với ψ ✘ ψ
0

.
Tức là với mỗi ψ ✘ ψ
0
và với mọi a, b  F
q
ta có
♣iq ψ♣abq ✏ ψ♣aqψ♣bq;
♣iiq ψ♣1q ✏ 1, ψ♣0q ✏ 0;
♣iiiq ψ♣a
✁1
q ✏ ψ♣aq.
Ví dụ 1.4.4. Cho p là một số nguyên tố. Kí hiệu Legendre ψ♣aq ✏
✁
a
p
✠
là
đặc trưng nhân tính của Z
p
. Thật vậy, trước hết ta thấy rằng ψ♣xq hoàn toàn
xác định trên Z
p
. Ngoài ra, với mọi a, b  Z
p
ta có
ψ♣abq ✏
✂
ab
p
✡

✏
✂
a
p
✡ ✂
b
p
✡
✏ ψ♣aqψ♣bq,
ψ♣1q ✏
✂
1
p
✡
✏ 1, ψ♣0q ✏ 0,
ψ♣a
✁1
q ✏ ψ♣1q♣ψ♣aqq
✁1
✏ ψ♣aq ✏ ψ♣aq.
Vậy ψ là đặc trưng nhân tính của Z
p
. Hơn nữa đặc trưng ψ có cấp hai.
Định nghĩa 1.4.5 (Tổng Gauss). Gọi χ là đặc trưng cộng tính và ψ là đặc
trưng nhân tính của trường F
q
. Khi đó tổng
G♣χ, ψq ✏
➳
aF

q
χ♣aqψ♣aq
được gọi là tổng Gauss trên trường F
q
.
12
Mệnh đề 1.4.6. Với hai đặc trưng χ và ψ được xác định như trên ta có
(i) G♣χ
0
, ψ
0
q ✏ q ✁ 1;
(ii) G♣χ
0
, ψq ✏ 0 nếu ψ ✘ ψ
0
;
(iii) G♣χ, ψ
0
q ✏ ✁1 nếu χ ✘ χ
0
.
Chứng minh. ♣iq Ta có ψ
0
♣0q ✏ 0 nên từ định nghĩa ta suy ra
G♣χ
0
, ψ
0
q ✏ q ✁ 1.

♣iiq Ta có G♣χ
0
, ψq ✏
➦
aF
q
ψ♣aq. Do đó nếu ψ ✘ ψ
0
thì theo Mệnh đề 1.2.1
ta suy ra G♣χ
0
, ψq ✏ 0.
♣iiiq Tương tự, nếu χ ✘ χ
0
thì
G♣χ, ψ
0
q ✏
➳
aF
✝
q
χ♣aq ✏
✄
➳
aF
q
χ♣aq
☛
✁ χ♣0q ✏ ✁1.

Định lý 1.4.7 ([4, Theorem 6.6]). Nếu χ và ψ lần lượt là hai đặc trưng cộng
tính và đặc trưng nhân tính không tầm thường thì
⑤G♣χ, ψq⑤ ✏
❄
q.
Chứng minh. Ta có
⑤G♣χ, ψq⑤
2
✏ ⑤G♣χ, ψq⑤⑤G♣χ, ψq⑤ ✏
➳
aF
q
➳
bF
q
χ♣aqχ♣bqψ♣aqψ♣bq
✏
➳
aF
✝
q
➳
bF
✝
q
χ♣b ✁ aqψ♣ba
✁1
q ✏
➳
aF

✝
q
➳
bF
✝
q
χ♣ac ✁ aqψ♣cq, c ✏ ba
✁1
.
✏
➳
aF
✝
q
ψ♣cq
➳
bF
✝
q
χ♣a♣c ✁ 1qq.
Do vậy, khi c ✘ 1 ta có
➦
aF
q
χ♣a♣c ✁ 1qq ✏ 0. Suy ra
➦
aF
✝
q
χ♣a♣c ✁ 1qq ✏ ✁1.

Khi c ✏ 1, thay vào trên ta được
⑤G♣χ, ψq⑤
2
✏ ψ♣1q♣q ✁ 1q ✁
➳
cF
✝
q
c✘1
ψ♣cqq ✁
➳
cF
✝
q
ψ♣cq ✏ q.
13
Từ đó suy ra
⑤G♣χ, ψq⑤ ✏
❄
q.
Định nghĩa 1.4.8. Cho p là một số nguyên tố. Khi đó tổng
g
a
✏
p✁1
➳
t✏1
✂
t
p

✡
e
2πiat
p
được gọi là tổng Gauss bậc hai trên trường F
p
.
Với những kí hiệu như trên, các mệnh đề sau giúp ta hiểu rõ hơn tổng
Gauss đặc biệt này.
Mệnh đề 1.4.9. g
a
✏ ♣
a
p
qg
1
.
Chứng minh. Nếu a ✑ 0 ♣mod pq thì e
2πia
p
t
✏ 1, do đó
p✁1
➦
t✏1
✁
t
p
✠
✏ 0, ngoài ra

khi a ✑ 0 ♣mod pq ta cũng có
✁
a
p
✠
✏ 0.
Nếu a ✙ 0 ♣mod pq thì ta có
✂
a
p
✡
g
a
✏
p✁1
➳
t✏0
✂
a
p
✡ ✂
t
p
✡
e
2πia
p
t
✏
p✁1

➳
t✏0
✂
at
p
✡
e
2πia
p
t
✏
p✁1
➳
at✏0
✂
at
p
✡
e
2πia
p
t
✏
p✁1
➳
x✏0
✂
x
p
✡

e
2πi
p
x
✏ g
1
.
Từ đó suy ra
g
a
✏
✂
a
p
✡
g
1
.
Định nghĩa 1.4.10. Cho m là một số nguyên. Khi đó tổng
G
p
♣mq ✏
p✁1
➳
k✏0
e
2πi
p
mk
2

được gọi là tổng Gauss trên vành các số nguyên theo môđun p.
Mệnh đề 1.4.11. Nếu m là một số nguyên dương không chia hết cho số
nguyên tố lẻ p thì
G
p
♣mq ✏
p✁1
➳
k✏0
e
2πi
p
mk
2
✏
p✁1
➳
k✏0
✂
k
p
✡
e
2πi
p
mk
✏ g
m
.
14

Chứng minh. Gọi Q
1
là tập con của Z
p
bao gồm những phần tử là thặng dư
bậc hai, Q
0
là tập con của Z
p
bao gồm những phần tử không là thặng dư bậc
hai. Khi đó ⑤Q
1
⑤ ✏
♣p✁1q
2
, ⑤Q
0
⑤ ✏
♣p✁1q
2
và
➳
kZ
p
e
2πi
p
mk
2
✏ 1   2

➳
kQ
1
e
2πi
p
mk
.
Ngoài ra, ta có
➳
kZ
p
e
2πi
p
mk
✂
k
p
✡
✏
➳
kQ
1
e
2πi
p
mk
✁
➳

kQ
0
e
2πi
p
mk
✏ 1   2
➳
kQ
1
e
2πi
p
mk
✁
✄
1  
➳
kQ
1
e
2πi
p
mk
 
➳
kQ
0
e
2πi

p
mk
☛
✏ 1   2
➳
kQ
1
e
2πi
p
mk
✁
➳
kZ
p
e
2πi
p
mk
✏
p✁1
➳
k✏0
e
2πi
p
mk
2
,
✄

vì
➳
kZ
p
e
2πi
p
mk
✏ 0
☛
.
Từ đó suy ra
p✁1
➳
k✏0
e
2πi
p
mk
2
✏
p✁1
➳
k✏0
✂
k
p
✡
e
2πi

p
mk
.
1.5 Đặc trưng môđun k
Định nghĩa 1.5.1. Cho a và k là các số nguyên dương nguyên tố cùng
nhau. Khi đó số nguyên dương nhỏ nhất x thỏa mãn phương trình đồng dư
a
x
✑ 1 ♣mod kq gọi là bậc của a theo môđun k, kí hiệu là x ✏ ord
k
a.
Định nghĩa 1.5.2. Cho r và k → 0 là hai số nguyên tố cùng nhau. Nếu
φ♣kq ✏ ord
k
r thì r gọi là căn nguyên thủy của đơn vị theo môđun k, tức là
r
φ♣kq
✑ 1 ♣mod kq và φ♣kq là số nguyên t bé nhất thỏa r
t
✑ 1 ♣mod kq.
Ví dụ 1.5.3. Số 2 là căn nguyên thủy của đơn vị theo môđun 5. Vì ta có
2
φ♣5q
✑ 1 ♣ mod 5q và φ♣5q ✏ 4 là số nguyên dương nhỏ nhất để 2
4
✑ 1 ♣mod 5q.
15
Định nghĩa 1.5.4. Cho ψ là một đặc trưng của nhóm ♣Z④kZq
✝
, với k  Z.

Hàm χ : Z ÝÑ C được xác định bởi
χ♣aq ✏
✩
✬
✫
✬
✪
ψ♣a   kZq, nếu ƯCLN(a,k) ✏ 1,
0, nếu ƯCLN(a,k) → 1
được gọi là một đặc trưng môđun k.
Chú ý 1.5.5. 1q Đặc trưng môđun k còn được gọi là đặc trưng Dirichlet
môđun k.
2q Cho χ : Z ÝÑ C là một đặc trưng môđun k. Khi đó ta có
♣iq Nếu m ✑ n ♣mod kq thì χ♣mq ✏ χ♣nq;
♣iiq χ là một đặc trưng nhân tính, nghĩa là χ♣mnq ✏ χ♣mqχ♣nq với mọi
m, n  Z.
3q Tồn tại một song ánh giữa tập các đặc trưng môđun k và tập các đặc
trưng của nhóm ♣Z④kZq
✝
.
Ví dụ 1.5.6. Đặc trưng ψ♣aq ✏
✁
a
p
✠
là một đặc trưng môđun p.
16
Chương 2
PHƯƠNG TRÌNH TRÊN NHÓM ABEL HỮU HẠN
Nội dung chính được chúng tôi trình bày trong chương này là sử dụng

tính chất của biến đổi Fourier trên nhóm Abel hữu hạn để chứng minh Luật
thuận nghịch bậc hai, giải bài toán về số nghiệm của phương trình trên nhóm
Abel hữu hạn cũng như chứng minh Định lý Fermat cuối cùng trên trường
hữu hạn. Kiến thức trong chương này được chúng tôi trình bày dựa trên các
tài liệu [4], [14].
2.1 Biến đổi Fourier trên nhóm Abel hữu hạn
2.1.1 Khái niệm và các tính chất cơ bản
Cho G là một nhóm Abel hữu hạn cấp n. Gọi C
G
✏ tf ⑤ f : G ÝÑ C✉ là
tập tất cả các hàm từ G vào C. Dễ thấy rằng C
G
là một không gian vectơ n
chiều. Trong không gian này ta định nghĩa tích vô hướng
①f, g② ✏
1
n
➳
aG
f♣aqg♣aq. (2.1)
Khi đó với tích vô hướng đã được định nghĩa, không gian C
G
trở thành không
gian Euclid phức (không gian Unita). Hơn nữa ta sẽ thấy
♣
G là một cơ sở trực
giao của không gian này.
Mệnh đề 2.1.1.
♣
G là một cơ sở trực giao của C

G
.
Chứng minh. Với mọi χ, ψ 
♣
G, ta có
①χ, ψ② ✏
1
n
➳
aG
χ♣aqψ♣aq ✏ 0, χ ✘ ψ.
17
Do đó hệ các vectơ của
♣
G là độc lập tuyến tính. Ngoài ra dimC
G
✏ ⑤G⑤ ✏ n
nên
♣
G là cơ sở trực giao của C
G
.
Mệnh đề 2.1.2. Nếu f  C
G
thì f ✏
➦
χ
♣
G
①f, χ② χ.

Chứng minh. Vì hệ
tχ
i
✉
n✁1
i✏0
là cơ sở trực giao của C
G
nên mỗi hàm f  C
G
ta có thể viết dưới dạng f ✏
n✁1
➦
i✏0
α
i
χ
i
, α
i
 C. Ngoài ra, ta có
①
f, χ
j
②
✏
❈
n✁1
➳
i✏0

α
i
χ
i
, χ
j
●
✏
n✁1
➳
i✏0
α
j
①
χ
i
, χ
j
②
✏ α
j
.
Từ đó suy ra
f ✏
➳
χ
♣
G
①
f, χ② χ.

Hệ số ①f, χ② gọi là hệ số Fourier của hàm f.
Bây giờ ta xét hàm δ
s
♣tq ✏
✩
✬
✫
✬
✪
1, nếu s ✏ t,
0, nếu s ✘ t.
Khi đó tập ∆
s
✏ tδ
s
, s  G✉ là cơ sở trực chuẩn của C
G
. Từ đó suy ra rằng
tồn tại một ánh xạ tuyến tính ❋ : C
G
ÝÑ C
G
biểu diễn mối liên hệ giữa χ 
♣
G
và δ
s
 ∆
s
. Ánh xạ đặc biệt này được gọi là một "phép biến đổi Fourier" trên

C
G
, cụ thể ta có định nghĩa sau.
Định nghĩa 2.1.3. Biến đổi Fourier của hàm f  C
G
là hàm
♣
f :
♣
G ÝÑ C
được xác định bởi
ˆ
f♣χq ✏
➦
aG
f♣aqχ♣aq ✏ ①f, χ② , χ 
♣
G.
Ví dụ 2.1.4. Xét hàm δ  C
G
xác định bởi
δ♣aq ✏
✩
✬
✫
✬
✪
1, nếu a ✏ 0,
0, nếu a ✘ 0.
(2.2)

Ta có biến đổi Fourier của hàm δ như sau
♣
δ♣χq ✏
➳
aG
δ♣aqχ♣aq ✏ χ♣0q ✏ 1.
18
Định nghĩa 2.1.5. Biến đổi Fourier ngược của hàm
♣
f là hàm f được xác
định bởi
f♣aq ✏
1
n
➳
χ
♣
G
ˆ
f♣χqχ♣aq.
Ví dụ 2.1.6. Biến đổi Fourier ngược của hàm
♣
δ trong Ví dụ 2.1.4 là
δ♣aq ✏
1
n
➳
χ
♣
G

♣
δ♣χqχ♣aq ✏
1
n
➳
χ
♣
G
χ♣aq.
Mệnh đề 2.1.7 (Đẳng thức Parseval).
①f, g② ✏
1
n
❆
ˆ
f, ˆg
❊
.
Chứng minh. Theo công thức tích vô hướng (2.1), ta có
❆
ˆ
f, ˆg
❊
✏
➳
χ
♣
G
ˆ
f♣χqˆg♣χq ✏

➳
χ
♣
G
➳
aG
f♣aqχ♣aq
➳
bG
g♣bqχ♣bq
✏
➳
χ
♣
G
➳
aG
➳
bG
f♣aqχ♣aqg♣bqχ♣bq ✏
➳
aG
f♣aq
➳
bG
g♣bq
➳
χ
♣
G

χ♣aqχ♣bq
✏
➳
aG
f♣aqg♣aqn ✏ n ①f, g② .
Vậy ①f, g② ✏
1
n
❆
ˆ
f, ˆg
❊
.
Từ Mệnh đề 2.1.7, ta có hệ quả sau.
Hệ quả 2.1.8.
❄
n ⑥f⑥ ✏
✎
✎
✎
ˆ
f
✎
✎
✎
.
Định nghĩa 2.1.9. Cho hai hàm f, g  C
G
. Tích chập của hai hàm f và g
là một hàm trong C

G
được xác định như sau, với mỗi x  G
♣f ✝ gq♣xq ✏
➳
yG
f♣yqg♣x ✁ yq.
Mệnh đề 2.1.10. Biến đổi Fourier của tích chập hai hàm f và g bằng tích
của hai biến đổi Fourier tương ứng của hai hàm đó. Tức là
④
♣f ✝ gq♣χq ✏
♣
f♣χq
♣
g♣χq, với χ 
♣
G.
19
Chứng minh. Theo công thức biến đổi Fourier, ta có
④
♣f ✝ gq♣χq ✏
➳
aG
♣f ✝ gq♣aqχ♣aq ✏
➳
aG
χ♣aq
➳
bG
f♣bqg♣a ✁ bq
✏

➳
cG
➳
bG
χ♣cqχ♣bqf♣bqg♣cq ✏
➳
cG
χ♣cqg♣cq
➳
bG
χ♣bqf♣bq
✏
♣
f♣χqˆg♣χq.
Vậy
④
♣f ✝ gq♣xq ✏
♣
f♣χq
♣g♣χq, với χ 
♣
G.
Định nghĩa 2.1.11. Với mỗi x  G, toán tử tịnh tiến của f với s  G được
định nghĩa là f
s
♣xq ✏ f♣x   sq.
Mệnh đề 2.1.12.
ˆ
f
s

♣χq ✏ χ♣sq
ˆ
f♣xq.
Chứng minh. Theo công thức biến đổi Fourier, ta có
ˆ
f
s
♣χq ✏
➳
aG
f
s
♣aqχ♣aq ✏
➳
aG
f♣a   sqχ♣aq
✏
➳
tG
f♣tqχ♣t ✁ sq ✏
➳
tG
f♣tqχ♣tqχ♣✁sq
✏
➳
tG
f♣tqχ♣tqχ♣sq ✏ χ♣sq
♣
f♣xq.
Từ đó suy ra

ˆ
f
s
♣χq ✏ χ♣sq
ˆ
f♣xq.
2.1.2 Luật thuận nghịch bậc hai
Luật tương hỗ bậc hai hay còn gọi là Luật thuận nghịch bậc hai là một
định lý quan trọng trong lý thuyết số. Định lý đã được nêu ra bởi Euler và
Legendre và lần đầu tiên được chứng minh hoàn toàn bởi Gauss. Gauss đã
gọi đó là định lý vàng và rất tự hào về nó, đến mức ông tiếp tục tìm ra tám
chứng minh khác cho nó cho đến cuối đời. Tài liệu [7] đã nêu ra thư mục cho
196 chứng minh khác nhau đã được công bố của định lý này. Sau đây là một
cách phát biểu và chứng minh định lý dựa trên phép biến đổi Fourier.
20
Định lý 2.1.13 ([14, Quadratic Reciprocity Law]). Nếu p, q là hai số nguyên
tố lẻ thì
✂
p
q
✡ ✂
q
p
✡
✏ ♣✁1q
p✁1
2
q✁1
2
.

Để chứng minh định lý, trước hết chúng tôi xây dựng biến đổi Fourier của
hàm f xác định trên nhóm G ✏ ♣Z④pZq và chứng minh một số bổ đề liên
quan giữa tổng Gauss và biến đổi Fourier trên nhóm này. Sau đó chúng tôi
sử dụng các bổ đề này vào việc chứng minh chi tiết định lý.
Dễ thấy rằng tập giá trị của χ 
①
Z
p
có dạng
✧
✁
e
2πi
p
✠
j
, j  Z
p
✯
. Do đó ta
định nghĩa biến đổi Fourier của hàm f xác định trên Z
p
như sau.
Định nghĩa 2.1.14. Với mỗi x  Z
p
, biến đổi Fourier của hàm f xác định
trên Z
p
xác định bởi công thức
♣

f♣xq ✏
p✁1
➳
a✏0
f♣aqe
✁2πiax
p
.
Bổ đề 2.1.15. Cho p là một số nguyên tố lẻ và hàm h
p
♣xq cho bởi công thức
h
p
♣xq ✏
✁
x
p
✠
. Khi đó
♣
h
p
♣✁xq ✏ h
p
♣xq
♣
h
p
♣✁1q.
Chứng minh. Trước hết ta thấy rằng hàm h

p
♣xq xác định trên nhóm Z④pZ.
Ngoài ra định nghĩa của phép biến đổi Fourier ta có
♣
h
p
♣✁xq ✏
p✁1
➳
a✏0
h
p
♣aqe
2πiax
p
✏
p✁1
➳
a✏0
✂
a
p
✡
e
2πiax
p
.
Do đó, nếu x ✘ 0 thì ta đặt b ✏ ax với a, b  ♣Z④pZq
✝
. Khi đó ta có

♣
h
p
♣✁xq ✏
p✁1
➳
b✏1
✂
x
✁1
b
p
✡
e
2πib
p
✏
✂
x
✁1
p
✡
p✁1
➳
b✏1
✂
b
p
✡
e

2πib
p
.
Từ đó suy ra
♣
h
p
♣✁xq ✏
✁
x
p
✠
♣
h
p
♣✁1q ✏ h
p
♣xq
♣
h
p
♣✁1q. Ngoài ra, nếu x ✏ 0 thì
♣
h
p
♣✁xq ✏
p✁1
➳
a✏1
✂

a
p
✡
✏ 0 và h
p
♣0q ✏ 0.
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
21
Nhận xét 2.1.16. Vì
ˆ
h
p
♣xq ✏
➦
yZ
P
e
✁2πixy
p
✁
y
p
✠
nên theo Mệnh đề 1.4.11 ta
có
♣iq
ˆ
h
p
♣✁xq ✏

✩
✬
✫
✬
✪
G
p
♣xq, nếu x ✘ 0,
0, nếu x ✏ 0.
♣iiq g
1
✏
♣
h
p
♣✁1q.
Mệnh đề 2.1.17. g
2
1
✏ ♣✁1q
p✁1
2
p.
Chứng minh. Theo công thức biến đổi Fourier ngược, ta có
ph
p
♣xq ✏
p✁1
➳
a✏0

♣
h
p
♣aqe
2πiax
p
✏
♣
♣
h
p
♣✁xq ✏
♣
h
p
♣xq
♣
h
p♣✁1q
.
Lấy x ✏ ✁1 ta được g
2
1
✏ ph
p
♣✁1q ✏ p
✁
✁1
p
✠

✏ ♣✁1q
p✁1
2
p.
Bổ đề 2.1.18. Với g
1
xác định như trên, nếu p, q là hai số nguyên tố lẻ phân
biệt thì
g
q✁1
1
✑
✂
g
2
1
q
✡
♣mod qq.
Chứng minh. Bổ đề này được suy ra trực tiếp từ tiêu chuẩn Euler.
Bổ đề 2.1.19. Nếu p và q là hai số nguyên tố lẻ phân biệt thì
♣
♣
h
p
♣xqq
q
✑
♣
h

p
♣qxq ♣mod qq,
trong đó đồng dư được xét trên vành Zre
2πi
p
s.
Chứng minh. Với mọi số nguyên dương u, v ta đều có
♣u   vq
q
✑ ♣u
q
  v
q
q ♣mod qq.
Do đó áp dụng tính chất này trên vành Zre
2πi
p
s ta cũng có
♣
♣
h
p
♣xqq
q
✏
✄
p✁1
➳
a✏1
✂

a
p
✡
e
✁2πiax
p
☛
q
✑
p✁1
➳
a✏1
✂✂
a
p
✡
e
✁2πiax
p
✡
q
♣mod qq