Chương 3: biến ngẫu nhiên và phương pháp xác suất pps

Gv. Cao Hào Thi
CHƯƠNG 3
BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
(Random Variables and Probability Distributons)
3.1. ĐỊNH NGHĨA BIẾN NGẪU NHIÊN
3.1.1. Đònh nghóa
• Biến ngẫu nhiên là những biến mà giá trò của nó được xác đònh một cách ngẫu
nhiên.
• Về mặt toán học, nếu mỗi biến cố sơ đẳng A thuộc tập hợp biến cố ω nào đấy
có thể đặt tương ứng với một đại lượng xác đònh X = X(A) thì X được gọi là một
biến cố ngẫu nhiên. Biến ngẫu nhiên X có thể xem như hàm của biến cố A với
miền xác đònh là ω.
• Các biến ngẫu nhiên được ký hiệu bằng các chữ lớn X, Y, Z,… còn các giá trò
của chúng được ký hiệu bằng các chữ nhỏ x, y, z
3.1.2. Phân loại
Biến ngẫu nhiên được chia làm hai loại biến ngẫu nhiên rời rạc và biến ngẫu nhiên
liên tục.
3.1.2.1. Biến ngẫu nhiên rời rạc (Discrete Random Variable)
Nếu giá trò của biến ngẫu nhiên X có thể lập thành dãy rời rạc các số x
1
, x
2
, …, x
n

(dãy hữu hạn hay vô hạn) thì X được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc.
3.1.2.2. Biến ngẫu nhiên liên tục (Continuous Random Variable)
Nếu giá trò của biến ngẫu nhiên X có thể lấp đầy toàn bộ khoảng hữu hạn hay vô
hạn (a,b) của trục số 0x thì biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên liên tục.
Thí dụ
• Lượng khách hàng đến cửa hàng trong ngày là biến ngẫu nhiên rời rạc.

• Nhiệt độ trong ngày ở Sài Gòn là biến ngẫu nhiên liên tục.
3.2. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐỐI VỚI BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC
(Probability Distribution for Discrete Variable)
3.2.1. Hàm xác suất (Probability Function)
Hàm xác suất P
x
(x) của biến ngẫu nhiên rời rạc X dùng diễn tả xác suất để cho
biến ngẫu nhiên X đạt giá trò x. P
X
(x) là hàm của giá trò x
P
X
(x) = P(X=x)
Thí dụ
Trong thí nghiệm thảy 1 con xúc sắc, ta có
Gv. Cao Hào Thi
2
P(X=1) = P(X=2) = … = P(X=6) = 1/6
Ỵ Hàm xác suất là
P
X
(x) = P(X=x) = 1/6 với x =1, 2, 3, 4, 5, 6
3.2.2. Phân phối xác suất (Probability Distribution)
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X thể hiện sự tương quan giữa các giá trò x
i
của X và các xác suất của x
i
, sự tương quan có thể trình bày bằng bảng đồ thò hoặc
bằng biểu thức.
Thí dụ

Trong thí nghiệm thảy 1 con xúc sắc, phân phối xác suất là:
Trình bày bằng bảng:
X 1 2 3 4 5 6
P
X
(x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
Trình bày bằng đồ thò :








3.2.3. Hàm xác suất tích lũy (Cumulative Probalility Function).
3.2.3.1. Đònh nghóa
Hàm xác suất tích lũy F
X
(x
o
) của biến ngẫu nhiên rời rạc x thể hiện xác suất để X
không vượt quá giới hạn x
o
. F
X
(x
o
) là hàm của x
o

F
X
(x
o
) = P (X≤x
o
)
3.2.3.2. Tính chất
Ta có các tính chất sau:
a. F
X
(x
o
) =
∑
≤xox
X
)x(P
P
X
(x)


1/6

0 1 2 3 4 5 6 x
Gv. Cao Hào Thi
3
∑
≤xox
X
)x(P : tổng của tất cả các giá trò có thể có của x với điều kiện x≤x
o

b. 0 ≤ F
X
(x
o
) ≤ 1 ∀x
o


c. Nếu x
1
< x
2
thì F
X
(x
1
) ≤ F
X
(x
2

)
Thí dụ
Trong thí nghiệm thảy 1 con xúc sắc, ta có hàm xác suất tích lũy như sau
F
X
(x
o
) =







≥
=+<≤
<
61
5211
6
10
0
0
0
x nếu
), ,,j(jx j nếu
j
x nếu

F
X
(x≤ 2.5) = P
X
(1) + P
X
(2) = 1/6 + 1/6 = 1/3
• Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc hàm xác suất tích lũy luôn có dạng bậc thang
bắt đầu từ 0 và tận cùng bằng 1.
3.2.4. Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên rời rạc (Expected Value of Discrete Random
Variable)
3.2.4.1. Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên
• Kỳ vọng, E(X), của biến ngẫu nhiên rời rạc X được đònh nghóa như sau:
E(X) =
∑
x
x
)x(P.x
1
5/6
4/6

3/6
2/6
1/6

F
X
(x
o
)
0 1 2 3 4 5 6
x
Gv. Cao Hào Thi
4
•
∑
x
:Tổng tất cả các giá trò có thể có của x
• Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên được gọi là số trung bình (mean) và được ký hiệu
là µ
x


E(X) = µ
x
Thí dụ
Gọi X là số lỗi có trong 1 trang sách. Hàm xác suất của biến ngẫu nhiên X được
cho bởi: P
X
(0) = 0.81, P
X

(1) = 0.17, P
X
(2) = 0.02.
Tìm số lỗi trung bình có trong 1 trang sách ?
Giải
µ
x
= E(X) =
∑
x
X
)x(P*x
= 0 * 0.81 + 1 * 0.17 + 2 * 0.02
= 0.21 lỗi /1 trang









3.2.4.2 Kỳ vọng của hàm số của biến ngẫu nhiên
Gọi X là biến ngẫu nhiên rời rạc với hàm xác suất P
X
(x)
g(X) là một hàm số của biến ngẫu nhiên X
Kỳ vọng của hàm số g(X) được đònh nghóa như sau :
E[g(x)] =

∑
x
X
)x(P)x(g
3.2.5. Phương sai (Variance)
Gọi X là biến ngẫu nhiên rời rạc.
P
X
(x)


0.8


0.4


0
0 1 2 x

µ
x
= 0.21
Gv. Cao Hào Thi
5
Gọi µ
X
là số trung bình của biến ngẫu nhiên
• Phương sai của biến ngẫu nhiên X chính là kỳ vọng của (X - µ
x

)² và được ký
hiệu
2
X
σ
.
2
X
σ = E[(X - µ
X
)²] =
(
)
∑
µ−
x
XX
)x(P*x
2


• Phng sai
2
X
σ có thể tính theo công thức :
2
X
σ = E(X²) -
2
X

µ =
22
X
x
X
)x(Px µ−
∑

Chứng minh
2
X
σ =
)x(P)x(
XX
x
2
µ−
∑
=
∑∑∑∑
µ+µ+µ−
xx
X
x
XX
x
X
Px)x(P.x)x(Px
222
2

2
X
σ
=
22
X
x
X
)x(Px µ−
∑

3.2.6. Độ lệch chuẩn σ
x
(Standard Deviation)
Độ lệch chuẩn được ký hiệu σ
x

σ
X
=
2
X
σ

Thí dụ
Cho hàm xác suất của số lỗi X có trong 1 trang sách là
P
X
(0) = 0.81, P
X

(1) = 0.17, P
X
(2) = 0.02
Tìm độ lệch chuẩn của số lỗi có trong 1 trang sách ?
Giải
Trong thí dụ trước ta có µ
X
= 0.21
•
Kỳ vọng của X²
E(X²) =
∑
x
X
)x(Px
2

= 0² * 0.81 + 1² * 0.17 + 2² * 0.02
E(X²) = 0.25
•
Phương sai
2
X
σ = E(X²) -
2
X
µ = 0.25 - (0.21)² = 0.2059
•
Độ lệch chuẩn
σ

x
= 4538020590
2

X
==σ
Gv. Cao Hào Thi
6
MOMEN
Momen gốc cấp k (Momen of Order k)
m
k
= E [X
k
] = )x(Px
X
x
k
∑

•
k = 1
m
1
= E[X] =
XX
x
)x(Px µ=
∑

m
1
= µ
X

•
k = 2
m
2
= E[X²]
Momen trung tâm cấp k (Central Momen of Order k)
M
k
= E[(X-µ
X
)
k
] = )x(P.)x(
X
k
X
µ−
∑

•
k = 2
2
X
σ = E[(X - µ
X

)²]
2
X
σ = m
2
-
2
1
m
• M
1
= E [(X - µ)] = 0
M
2
= E [(X - µ)² ] = σ² (Variance)
M
3
= E [(X - µ)³] = γ (Skewness : độ lệch)
M
4
= E [(X - µ)
4
] = KM
2
² = Kσ
4

K : hệ số Kurtorsis

Gv. Cao Hào Thi
7
3.2.7. Phân phối xác suất nhò thức (Binomial Probability Distubutions)
3.2.7.1 Hàm xác suất của phân phối nhò thức (Probability Function of Binomial
Distribution).
Tiến hành n phép thử độc lập.
Gọi p là
xác suất thành công trong mỗi phép thử độc lập => q = (1-p) là xác suất
thất bại trong mỗi phép thử độc lập.
Xác suất để có số lần phần thử thành công là x trong những phép thử độc lập được
cho bởi hàm xác suất như sau :
Px(x) = [n!/ (x!(n - x)!)].[p
x
(1 - p)
n-x
]

với x = 0,1,2,…, n
hay
P
x
(x) =
x
n
Cp
x

q
n-x
với q = 1 - p

Ghi chú
• Phân phối của số lần phép thử thành công là x được gọi là phân phối nhò thức
• Hàm xác suất P
X
(x) là hàm xác suất của phân phối nhò thức.
3.2.7.2. Số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của phân phối nhò thức
Gọi X là số lần thành công trong n phép thử, mỗi phép thử có xác suất thành công
là p. X tuân theo phân phối nhò thức với số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn
được tính theo các công thức sau:
Số trung bình
µ
X
= E(X) = np
Phương sai
2
X
σ

= E[(X - µ
x
)²] = np(1-p)
Hay
2
X
σ

= npq với q = 1-p
Độ lệch chuẩn
σ
x
=
npq

Thí dụ
Một người đi bán hàng đi tiếp xúc để chào hàng với 5 khách hàng. Xác suất để bán
được hàng trong mỗi lần chào hàng là 0.4.
a) Tìm phân phối xác suất của số lần bán được hàng.
b) Tìm số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của số lần bán được hàng.
c) Tìm xác suất của số lần bán được hàng trong khoảng 2 đến 4 lần.
Gv. Cao Hào Thi
8
Giải
a. Xác suất của số lần bán được hàng tuân theo phân phối nhò thức :

P
X
(x) =
x
n
C P
x
q
n-x
P
X
(x) =

x
C
5
* (0.4)
x
* (0.6)
5-x
P
X
(x) =
)!x(!x
!
−5
5
* (0.4)
x
* (0.6)
5-x
x = 0 => P
X
(0) = 0.078
(không bán được)
x = 1 => P
X
(1) = 0.259
x = 2 => P
X
(2) = 0.346
x = 3 => P
X

(3) = 0.230
x = 4 => P
X
(4) = 0.077
x = 5 => P
X
(5) = 0.010
(trong 5 lần bán được cả 5)


b. Số trung bình của số lần bán được hàng
µ
x
= np = 5 * 0.4 = 2
Phương sai
2
X
σ = np(1-p) = 5 * 0.4 * 0.6 = 1.2
Độ lệch chuẩn
σ
x
= 12. = 1.10
c. P(2 < X < 4) = P
X
(2) + P
X
(3) + P
X
(4) = 0.653

3.2.8 Phân phối xác suất Poisson
3.2.8.1. Phân phối Poisson
Biến ngẫu nhiên X được gọi tuân theo phân phối Poisson nếu hàm xác suất của X
có dạng
P
X
(x) =
!x
e
x
λ
λ−
với λ > 0, ∀λ
x = 0,1,2,…

3.2.8.2. Số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của phân phối Poisson
• Số trung bình của phân phối Poisson

µ
x
= E(x) = λ

P
X
(x)
0.4
0.2
0
0 1 2 3 4 5 X
số lần thành công

Gv. Cao Hào Thi
9

• Phương sai.
σ²
x
= E[(x-µ
x
)²] = λ
• Độ lệch chuẩn
σ
x
= λ
Thí dụ
Một trạm điện thoại tự động nhận được trung bình 300 lần gọi trong 1 giờ. hỏi xác
suất để trạm đó nhận được đúng 2 lần gọi trong 1 phút cho trước.
Giải
Số lần nhận được trung bình trong 1 phút
300/60 = 5 lần/1phút =>
λ = 5
Xác suất để nhận được đúng 2 lần trong 1 phút.
P
X
(2) = (5² * e
-5
)/2! = 25/2e
5
≈ 0.09
3.3. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐỐI VỚI BIẾN NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC
(Probability Distributions For Continuous Random Variables)

Phân phối của biến ngẫu nhiên liên tục được xác đònh bởi hàm mật độ xác suất.
3.3.1. Hàm mật độ xác suất (Probability Density Function)
Gọi X là biến ngẫu nhiên liên tục, gọi x là giá trò bất kỳ nằm trong miền các giá trò
có thể có của X.
Hàm mật độ xác suất f
X
(x) của biến ngẫu nhiên liên tục là hàm có những tính chất
sau :
• f
X
(x) ≥ 0 , ∀x
• Xác suất P(a<X<b) để giá trò của biến ngẫu nhiên X rơi vào khoảng (a,b) được
xác đònh bởi đẳng thức.

P(a<X<b) =
∫
b
a
X
dx)x(f
Ghi chú
• Đồ thò của hàm mật độ xác suất f
X
(x) được gọi là đường cong mật độ xác suất
(probability density curve) hay đường cong tần số (frequency curve) hay cũng
còn được gọi đường cong phân phối xác suất đối với biến ngẫu nhiên liên tục.
Tung độ của mỗi điểm trên đường cong gọi là mật độ xác suất.

• Về mặt hình học xác suất để biến ngẫu nhiên rơi vào khỏang (a,b) bằng diện
tích hình thang cong giới hạn bởi đường cong phân phối xác suất, trục 0x, x = a,

x = b.


Gv. Cao Hào Thi
10
F
X
(x)
2


1







P(a<X<b) = S

∫
∞
∞−
=1dx)x(f
x
==> Toàn bộ diện tích của hình thang cong là 1

* f
X

(x) là hàm mật độ phân phối cần thỏa mãn 2 điều kiện
• F
X
(x) ≥ 0, ∀x
•
∫
∞
= 1dx)x(f
x

Thí dụ
Biến ngẫu nhiên X tuân theo luật phân phối với mật độ f
X
(x), trong đó
f
X
(x) =







>
≤≤
<
1x nếu 0
1x0 nếu 2x
0x nếu 0

Tìm xác suất để X rơi vào khoảng (0.5, 0.75)
Giải
P[0.5<X<0.75] =
]
750
50
2
750
50
750
50
2
.
.
.
.
.
.
xxdxdx)x(f ==
∫∫

= (0.75)
2
– (0.5)
2
= 0.3125

F
X
(x)
S
a b x
F
X
(x)
Gv. Cao Hào Thi
11




0.5 0.75 1 x
Kiểm tra điều kiện của hàm mật độ phân phối
• f
X
(x) ≥ 0, ∀x
• 1020
1
1
0
0
=++=
∫∫∫∫
∞
∞−

+∞
∞−
dxxdxdxdx)x(f
Thí dụ
Cho hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên có dạng :

f
x
(x) =









>
≤≤+
<≤+
<
1x nếu 0
1x0 nếu aax-
0x1- nếu aax
-1x nếu 0



a. Tìm a

b. Tìm xác suất để biến ngẫu nhiên X có giá trò ở trong khoảng (1/2,1) và ở trong
khoảng (-1/3,1/3)

c. Tìm P(X=1/2)
Giải
a. Tìm a:
S =
∫
−
==−−==>=
1
1
111
2
1
1 a))((aSdx)x(f
X

b. Tìm xác suất
P(1/2≤X≤1) =
∫
+−=+−
1
21
1
21
2
2
1
/

/
]x
x
dx)x(
f
x
(x)
a
-1 0 1/2 1 x
Gv. Cao Hào Thi
12
= [-
1
2
1
12
2
12
22
+−− +][
(/ )
/]
= 1/2-[-1/8+1/2] = 1/8
P(-1/3≤X≤1/3) = 2P(0≤X≤1/3)=2
0
13
1
/
()
∫

−+xdx
= 2
[
-x²/2+x
]
0
13/

= 2 [-1/18+1/3] = 5/9
c. P(X = ½) = 0
21
21
=
∫
dx)x(f
X
/
/

Thí dụ
Cho hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X




1



Tìm

a)
P (X ≤ 3/4)
b) P (X > 1/2)
c) P (1/4 ≤ X ≤
4
1
1 )
Giải

a. P (X ≤ 3/4) = dx)x(fdx)x(fdx)x(f
X
/
X
/
X
/
∫∫∫
+=
43
0
21
0
43
0

= 1/2(1/2 *1) + 1 (1(3/4 - 1/2) = 0.5
b. P (X > 1/2) =
dx)x(f
x
∫

2
1
1
2
1

= 1(1-1/2) + 1/2 (1)(1
1
2
1−
) = 0.75
1/2
f
X
(x)
0 ¼ ½ ¾ 1
1
1
4

1
1
2
x
Gv. Cao Hào Thi
13
c. P (1/4
≤X≤1
1
4

) = dx)x(f
x
4
1
1
∫
4
1

= 1-2 [1/2 * 1/4 * 1/2] = 7/8
3.3.2. Hàm phân phối tích lũy (Cumulative Distribution Function)
Hàm phân phối tích lũy
còn được gọi là hàm phân tích hay hàm phân phối xác suất
3.3.2.1. Đònh nghóa
Hàm phân phối tích lũy, F
X
(x) của biến ngẫu nhiên liên tục X thể hiện xác suất để
X không vượt quá giá trò x. F
X
(x) là hàm của x.

F
x
(x) = P(X ≤ x)
3.3.2.2. Tính chất
a.
F
x
(x) =
∫

∞−
x
X
dx)x(f với f
X
(x) là hàm mật độ xác suất.
b.
F
X
(x)dx = f ’
X
(x) = dF
X
(x)/dx
c.
F
X
(x) là hàm không giảm => F
X
(x + ∆x) ≥ F
X
(x)
d.
0 ≤ F
X
(x) ≤ 1
e.
F(-∝ ) = 0
f.
F(+∝ ) =1

g.
P (a < X < b) = F
X
(b) – F
X
(a)






Thí dụ
Biến ngẫu nhiên X được cho bởi hàm phân phối
F
X
(x) =
0
12
1
()/
x −






F
X

(x)
1
F
X
(x)
+
∝ x 1
-
∝
Nếu x <1
Nếu 1
≤ x ≤ 3
Nếu x >1
Gv. Cao Hào Thi
14
Tính xác suất để biến ngẫu nhiên X nằm trong khoảng (1.5, 2.5) và khoảng (2.5,
3.5)
Giải
P(1.5 < X < 2.5) = F(2.5) - F(1.5)
= (2.5 - 1)/2 - (1.5 -1)/2
= 0.5
P(2.5 < X < 3.5) = F(3.5) - F(2,5)
= 1 - (2,5 -1)/2
= 0.25
3.3.3. Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên liên tục
3.3.3.1. Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên
Kỳ vọng E(X) của biến ngẫu nhiên liên tục X được đònh nghóa như sau :
E(X) =
dx)x(xf
x

∫
∞
∞−

Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên được gọi là số trung bình ký hiệu là
µ
x

E(X) =
µ
x

3.3.3.2. Kỳ vọng của hàm số của biến ngẫu nhiên
dx)x(f)x(g)]x(g[E
X
∫
∞
∞−
=

3.3.4. Phương sai

σ² = E[X - µ
x
)²]

σ² =
−∞
∞
∫

[x - µ
x
)²]f
X
(x)dx
hay
σ² = E(X²) - µ²
x

3.3.5.
Độ lệch chuẩn :
σ² =
2
x
σ
Gv. Cao Hào Thi
15
3.3.6. Hàm phân phối chuẩn (The Normal Distribution)
3.3.6.1. Hàm mật độ xác suất của phân phối chuẩn
Nếu hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X có dạng
f
X
(x) =
2
2
2
2
2
1
σ

µ−
−
σΠ
)x(
e
Với

- ∝ < µ < +∝
0 <
σ² < +∝
Thì biến ngẫu nhiên X được gọi là tuân theo luật phân phối chuẩn.
3.3.6.2. Tính chất của phân phối chuẩn
Gọi X là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn với các tham số
µ và σ².
Ta có các tính chất sau
a.
Số trung bình của biến ngẫu nhiên X tuân theo luật phân phối chuẩn là µ.
E(X) =
µ
b.
Phương sai của biến ngẫu nhiên X là σ²
Var(X) = E[(X -
µ)²] = σ²
c.
Đường cong của hàm mật độ xác suất có dạng hình chuông đối xứng qua trò số
trung bình
µ và được gọi là đường cong chuẩn (normal curve)

f
X
(x)
σσ
µ
f
X
(x)
Gv. Cao Hào Thi
16







• Phân phối chuẩn có phương sai giống nhau nhưng số trung bình khác nhau

• Phân phối chuẩn có số trung bình giống nhau nhưng phương sai khác nhau
d. Ký hiệu: Nếu biến ngẫu nhiên X tuân theo phân phối chuẩn có số trung bình là
µ và phương sai là σ², ta ký hiệu
X ~ N (
µ,σ²)
3.3.6.3. Hàm phân phối tích lũy của phân phối chuẩn (Cumulative Distribution
Function of Normal Distribution)
Đònh nghóa
Cho X ~ N (
µ,σ²). Hàm phân phối tích lũy của biến ngẫu nhiên X tuân theo phân
phối chuẩn được đònh nghóa như sau :
F
X
(x) = P(X<x) = dxe
x
)x(
∫
∞−
σ
µ−
−
πσ
2
2
2
2
2

1

Thí dụ
σ²
3

σ²
2
σ²
1
σ²
3
> σ²
2
> σ²
1

Gv. Cao Hào Thi
17







Diện tích S =
∫
∞−
xo

X
dx)x(f
F
X
(x
o
) = P (X≤x
o
) = S








P[a<X<b] = F
X
(b) - F
X
(a)
3.3.7. Phân phối chuẩn chuẩn hoá (Standard Normal Distribution)
3.3.7.1. Đònh nghóa
Phân phối chuẩn chuẩn hóa là phân phối chuẩn có số trung bình là 0 (zero) và
phương sai là 1.
Ghi chú
• Biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối chuẩn chuẩn hóa được gọi là biến ngẫu
nhiên chẩn hóa (standard normal variable) và được ký hiệu là Z
Z ~ N(0,1)

• Đường cong của hàm mật độ xác suất của phân phối chuẩn chuẩn hóa gọi là
đường cong chuẩn chuẩn hóa (standard normal variable)
Diện tích
S
F
X
(x
o
)
F
X
(x)

µ x
o
x
1
F
X
(x)
F
X
(x)
Đường cong phân phối tích lũy
x
o
x
F
X
(x)

S
a
µ b x
1
F
X
(b)
F
X
(x)

F
X
(x)
Đường cong phân phối tích lũy
a b x
Gv. Cao Hào Thi
18

0.5





Tung độ của 1 điểm bất kỳ trên đường cong chuẩn sẽ được xác đònh từ phương trình
của hàm mật độ xác suất của phân phối chuẩn.
F
X
(x) =

2
2
2
2
2
1
σ
µ−
−
πσ
)x(
e
Với
µ = 0 , σ = 1 và x = z
• Giá trò của hàm phân phối tích lũy của phân phối chuẩn chuẩn hóa (cũng bằng
diện tích nằm dưới đường cong chuẩn) được lập thành bảng và được cho sẵn
trong các phụ lục của sách thống kê. Các bảng này cho giá trò của
F
Z
(z) = P (Z ≤ z) =
∫
∞−
z
Z
dz)z(f

Một số bảng lập sẵn, chỉ cho ta diện tích nằm dưới đường cong chuẩn từ 0 đến z.




F
Z
(z)
S
0 z z
F
Z
(z)
-2 -1 0 1 z
o
2 Z
2
2
2
0
2
1
z
e
−
πσ

F

Z
(z)
F
Z
(z)
F
Z
(z)
0 z

z
Gv. Cao Hào Thi
19



Dựa vào bảng này ta có thể tính được xác suất để cho biến ngẫu nhiên Z nằm trong
khoảng nào đó. Cụ thể.
P[Z < a]
P[a
≤ Z ≤ b]
P[Z > b]
3.3.7.2. Chuẩn hóa biến ngẫu nhiên (Standardization of Variable)
Nếu biến ngẫu nhiên X có số trung bình là
µ và phương sai là σ², thì biến ngẫu
nhiên
Z = (X-µ)/σ sẽ có số trung trung bình là 0 và phương sai là 1.
Z được gọi là biến ngẫu nhiên được chuẩn hóa (standardized).
Nếu X tuân theo phân phối chuẩn thì Z tuân theo phân phối chuẩn chuẩn hóa và Z
được gọi là biến ngẫu nhiên chuẩn chuẩn hóa (Standard normal variable). Khi đó :

P(a < X < b) = P[(a-
µ)/σ < Z < (b-µ)/σ







Thí dụ

Cho Z ~N(0,1). Tìm xác suất để giá trò của Z
a)
Nhỏ hơn - 1.25
b)
Nằm trong khoảng (-0.50 , 0.75)
c)
Lớn hơn 1
Giải
a.
P(Z ≤ - 1.25) = F
Z
(-1.25)
= 1 - F
Z
(1.25)
F
Z
(1.25)
-1.25 0 1.25 z

-3 -2 -1 0 1 2 3 Z

µ-3σ µ-2σ µ-σ µ µ+σ µ+2σ µ+3σ X
Gv. Cao Hào Thi
20
= 1 - 0.8944
= 1 - 0.1056


Ghi chú
F
Z
(-z
o
) = 1 – F
Z
(z
o
)

b. P(-0.50 ≤ Z ≤0.75)= F
Z
(0.75) – F
Z
(-0.50)
= F
Z
(0.75) - [1 – F
Z

(0.50)]
= 0.7734 - [1 - 0.6915)]
= 0.4649
c. P(Z > 1) = 1 - P(Z ≤ 1)
= 1 – F
Z
(1)
= 1 - 0.8413
= 0.1587

Thí dụ
Cho X ~ N(15,16). Tìm xác suất để X có giá trò lớn hơn 18
Giải
P (X >18) = P(Z> [(18 -
µ)/σ]
= P(Z> [(18 - 15)/4]
= P(Z> 0.75)
= 1 - P(Z<0.75)
= 1 – F
Z
(0.75)
= 1 - 0.7734
P(X>18) = 0.2266
Thí dụ
Nếu X là biến ngẫu nhiên tuân theo phân phôi chuẩn có số trung bình là 3 và độ
lệch chuẩn là 2. Tìm P(4<X<6)
Giải
P(0.50<Z<0.75)
-0.50 0 0.75 Z
0 1 Z

Gv. Cao Hào Thi
21
P (4 <X<6) = P(4-3)/2 < Z(6 - 3)/2]
= P(0.5< Z<1.5)
= F
Z
(1.5)- F
Z
(0.5)
= 0.9332 - 0.6915
= 1 – F
Z
(0.75)
= 0.2417
Thí dụ
Tìm giá trò của b biết rằng P (-b < Z < b) = 0.9010
Giải




F
Z
(b) = 1 - (1-0.9010)/2 = 1 - 0.0990/2 = 1 - 0.0495
F
Z
(b) = 0.9505 ==> b = 1.65
3.3.8. Sự gần đúng của phân phối chuẩn đối với phân phối nhò thức
(Normal Approximaton to the Binomial Distribution)

Gọi X là số lần thành công trong những phép thử và xác suất thành công trong mỗi
phép thử là p
Nếu n lớn và p không quá gần 0 hay quá gần 1 thì ta có thể dùng phân phối chuẩn
để tính toán gần đúng cho phân phối nhò thức.
Biến ngẫu nhiên X tuân theo luật phân phối nhò thức được chuẩn hóa theo công
thức
0.9010
X
Số lần thành công
P
x
(x)
Gv. Cao Hào Thi
22
Z =
)p(np
npX
−
−
1

Với số trung bình của phân phối nhò thức
µ = np và độ lệch chuẩn )p(np −=σ 1
Khi đó :

• P(a ≤ X ≤ b) ≈ P(
)p(np
npb
Z
)p(np
npa
−
−
≤≤
−
−
11
Điều kiện n ≥ 50
Nếu kể đến sự hiệu chỉnh liên tục
(continuity correction)
•
P(a ≤ X ≤ b) ≈ P(
)p(np
np.b
Z
)p(np
np.a
−
−+
≤≤
−
−−
1
50
1

50
Điều kiện 20≤ n ≤ 50
•
P(X=a) = P(a-0.5 ≤ X ≤ a+0.5) ≈ (
)p(np
np.a
Z
)p(np
np.a
−
−+
≤≤
−
−−
1
50
1
50

3.3.9. Sự gần đúng của phân phối chuẩn đối với phân phối Poisson
Gọi X là biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối Poisson có số trung bình là λ.
Nếu λ lớn thì ta có thể dùng phân phối chuẩn để tính toán gần đúng cho phân phối
Poisson.
Biến ngẫu nhiên X được chuẩn hóa theo công thức.
Z =
λ
λ−X


P(a≤ X ≤ b) ≈ P

)
.b
Z
.a
(
λ
λ
−
+
≤≤
λ
λ
−
−
5050


P(X=a) ≈ P (a-0.5 ≤ X ≤ a+0.5)

Thí dụ
Một người bán hàng đi chào hàng với 100 khách hàng. Theo kinh nghiệm hy vọng
bán được hàng cho mỗi một khách hàng là 40%. Tìm xác suất để số khách hàng sẽ
mua hàng nằm trong khoảng 45 đến 50.
Giải
Gọi X là số khách hàng sẽ mua hàng X tuân theo luật phân phối nhò thức với µ = np
= 100 * 4 = 40, độ lệch σ =
2460401001 ==− .*.*)p(np
Dùng cách tính gần đúng của phân phối chuẩn
Gv. Cao Hào Thi
23

P(45 ≤ X ≤ 50) = P[
24
4050
24
4045
−
≤≤
−
Z]
= P[1.02≤ Z ≤ 2.04]
= F
Z
(2.04) – F
Z
(1.02)
= 0.9793 - 0.8461
= 0.1332
Nếu kể đến sự hiệu chỉnh liên tục.
P(45 ≤ X ≤ 50) = P[
24
40550
24
4045
−
≤≤
−
.
Z]
= P[0.92≤ Z ≤ 2.14]
= F

Z
(2.04) – F
Z
(1.02)
= 0.9838 - 0.8212
= 0.1626
Ghi chú : Nếu tính trực tiếp bằng phân phối nhò thức.
P(45≤X≤50) = P
X
(45) + P
X
(46) + P
X
(46) + P
X
(47) + P
X
(48) + P
X
(49) + P
X
(50)
Các bảng nhò thức ứng với n ≤ 20.
Thí dụ
Một nhà máy sản xuất thử một loại sản phẩm mới. Mỗi sản phẩm sản xuất có xác
suất bò hư là 0.16. Tìm xác suất để có đúng 20 sản phẩm bò hư trong 80 sản phẩm.
Giải
Gọi X là số sản phẩm bò hư. X tuân thủ theo luật phân phối nhò thức với.
µ = np = 80 * 0.16 = 12.8
σ =

2793840160801 *.*)p(np ==−
P(X = 20 ) = P(19.5 <X<20.5)
= P(19.5-12.8)/3.279 <Z<(20.5-12.8)/3.279
= P(2.04 <Z<2.35)
= F
Z
(2.35)-F
Z
(2.05)
= 0.9906 - 0.9793
P(X = 20 ) = 0.113
Ghi chú :
Lời giải chính xác
P(X = 20 ) =
C
80
20
P
20
q
80-20
= 0.122
Gv. Cao Hào Thi
24
3.3.10. Sự gần đúng của phân phối chuẩn đối với tỉ số của số lần thành công của
biến ngẫu nhiên X tuân theo luật phân phối nhò thức
Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số lần thành công trong n phép thử.
Gọi f = X/n là tỉ số của số lần thành công.
Gọi p là xác suất thành công của 1 lần thử.
•

Kỳ vọng của f
E(f) = p
•
Phương sai của f

2
f
σ = p(1-p)/n

• Độ lệch chuẩn của f
σ
f
=
n
)p(p
f
−
=σ
1
2

• Sự chuẩn hóa của biến ngẫu nhiên f
Z =
n
)p(p
pf
−
−
1

Thí dụ
Giả sử n = 100, p = 0.36. Tìm xác suất sao cho số f của số lần thành công trong n
phép thử nằm trong khoảng 0.24 và 0.42.
Giải
E(f) = p = 0.36
Var(f) =
2
f
σ

= p(1-p)/n = 0.36 * 0.64/100 = 0.002304
σ
f
=
2
f
σ = 0.048
Biến ngẫu nhiên f được chuẩn hóa dưới dạng
Z = (f - 0.36)/0.048
P(0.24 ≤ f ≤ 0.42 = P[(0.24 - 0.36)/0.048 ≤ (f -0.36)/0.048 ≤ (0.42 - 0.36)/0.048]
= P(-25 ≤ Z ≤ 1.25)
= 0.4938 + 0.3944
= 0.8881 ≈ 0.89
Ghi chú
P(0.24 ≤ f ≤ 0.42) = P(24 ≤ X ≤ 42)