Đại lượng ngẫu nhiên và phân phối xác suất

Chu’ ong
’ 2
ˆ˜ NHIEN
ˆ VA
` PHAN
ˆ PHOI
ˆ´ XAC
´ SUAT
ˆ´
NGAU
¯DA.I LU’ONG
.’
˜ NHIEN
ˆ
ˆ
¯DA
. I LU’ O
.’ NG NGAU

1.
1.1

a˜u nhiˆ
en
Kh´
ai niˆ
e.m d
¯a.i lu’ o.’ng ngˆ

’
2 ¯Di.nh nghi˜a 1 ¯Da.i lu’o.’ng ngˆ

a˜u nhiˆen l`a d¯a.i lu’o.’ng biˆe´n d¯ˆ
o’i biˆe’u thi. gı´
a tri. kˆe´t qua
’ mˆ
cua
o.t ph´ep thu’’ ngaˆ˜u nhiˆen.
Ta d`
ung c´ac chu˜’ c´ai hoa nhu’ X, Y, Z, ... d¯ˆe’ k´ı hiˆe.u d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen.
• V´ı du. 1 Tung mˆo.t con x´
uc xa˘´c. Go.i X l`a sˆ
o´ chˆ
a´m xuˆ
a´t hiˆe.n trˆen m˘
a.t con x´
uc xa˘´c
th`ı X l`
a mˆo.t d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen nhˆ
a.n c´
ac gi´
a tri. c´
o thˆe’ l`a 1, 2, 3, 4, 5, 6.

1.2

`’ ra.c
a˜u nhiˆ
en roi
¯Da.i lu’ o.’ng ngˆ

`’ ra.c

a) ¯Da.i lu’ o.’ng ngˆ
a˜u nhiˆ
en roi
`’ ra.c nˆe´u n´o chi’ nhˆa.n mˆo.t sˆ
2 ¯Di.nh nghi˜a 2 ¯Da.i lu’o.’ng ngˆ
a˜u nhiˆen d¯u’o.’c go.i l`a roi
o´
˜’ ha.n ho˘
huu
a.c mˆo.t sˆo´ vˆo ha.n d¯ˆe´m d¯u’o.’c c´
ac gi´
a tri..
`’ ra.c x1 , x2 , . . . , xn .
’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen roi
Ta c´o thˆe’ liˆe.t kˆe c´ac gi´a tri. cua
Ta k´ı hiˆe.u d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen X nhˆa.n gi´a tri. xn l`a X = xn v`a x´ac suˆa´t d¯ˆe’ X nhˆa.n
gi´a tri. xn l`a P (X = xn ).
• V´ı du. 2 Sˆo´ chˆa´m xuˆa´t hiˆe.n trˆen m˘
a.t con x´
uc xa˘´c, sˆ
o´ ho.c sinh va˘´ng m˘
a.t trong mˆo.t
`’ ra.c.
buˆ
o’i ho.c...l`a c´ac d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen roi
’
b) Bang
phˆ
an phˆ
o´i x´

ac suˆ
a´t
’
’ d¯a.i lu’o.’ng
Bang
phˆan phˆo´i x´ac suˆa´t d`
ung d¯ˆe’ thiˆe´t lˆa.p luˆa.t phˆan phˆo´i x´ac suˆa´t cua
’
´
´
˜
`
`’ ra.c, n´o gˆom 2 h`ang: h`ang thu’ nhˆat liˆe.t kˆe c´ac gi´a tri. c´o thˆe x1 , x2 , . . . , xn
ngˆau nhiˆen roi
´’ p1 , p2 , . . . , pn
’
cua d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen X v`a h`ang thu´’ hai liˆe.t kˆe c´ac x´ac suˆa´t tu’ong
’ ung
’ c´ac gi´a tri. c´o thˆe’ d¯o´.
cua
27


Chu’ong
’ 2. ¯Da.i lu’ong
ngˆ
a˜u nhiˆ
en v`
a phˆ
an phˆ

o´i x´
ac suˆ
a´t
’

28

x2
p2

X x1
P p1

. . . xn
. . . pn

’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen X gˆo`m h˜
Nˆe´u c´ac gi´a tri. c´o thˆe’ cua
uu ha.n sˆo´ x1 , x2 , . . . , xn th`ı
c´ac biˆe´n cˆo´ X = x1 , X = x2 , . . . , X = xn lˆa.p th`anh mˆo.t nh´om c´ac biˆe´n cˆo´ d¯ˆa`y d¯u’ xung
`’ d¯ˆoi.
kha˘´c tung
n
X

Do d¯´o

pi = 1.

i=1

• V´ı du. 3 Tung mˆo.t con x´
uc xa˘´c d¯ˆo`ng chˆ
a´t. Go.i X l`a sˆ
o´ chˆ
a´m xuˆ
a´t hiˆe.n trˆen m˘
a.t con
´
´
´
˜
’
`’ ra.c c´
x´
uc xa˘c th`ı X l`a d¯a.i lu’o.’ng ngˆau nhiˆen roi
o phˆ
an phˆ
oi x´ac suˆ
at cho boi:
’
X
P

1

2

3

4

5

6

1
6

1
6

1
6

1
6

1
6

1
6

a˜u nhiˆ
en liˆ
en tu.c v`
a h`
am mˆ
a.t d

¯ˆ
o. x´
ac suˆ
a´t
¯Da.i lu’ o.’ng ngˆ

1.3

a) ¯Da.i lu’ o.’ng ngˆ
a˜u nhiˆ
en liˆ
en tu.c
’
2 ¯Di.nh nghi˜a 3 ¯Da.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen d¯u’o.’c go.i l`a liˆen tu.c nˆe´u c´ac gi´a tri. c´
o thˆe’ cua
’ trˆen tru.c sˆo´.
n´
o lˆ
a´p d¯aˆ`y mˆo.t khoang
• V´ı du. 4

`’ d¯iˆe’m n`ao d¯´
- Nhiˆe.t d¯ˆo. khˆong kh´ı o’’ mˆo˜i thoi
o.
`’ mˆo.t d¯a.i lu’o.’ng vˆ
- Sai so
ˆ´ khi khi d¯o lu’ong
a.t l´y.
´’ cua
`’ gian giua

˜’ hai ca cˆa´p cuu
’ mˆ
’ thoi
o.t bˆe.nh viˆe.n.
- Khoang

b) H`
am mˆ
a.t d
¯ˆ
o. x´
ac suˆ
a´t
’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆ
2 ¯Di.nh nghi˜a 4 H`am mˆa.t d¯ˆo. x´ac suˆ
a´t cua
a˜u nhiˆen liˆen tu.c X l`a h`am
´’ mo.i x ∈ (−∞, +∞) thoa
’ m˜
khˆ
ong ˆam f(x), x´ac d¯.inh voi
an
P (X ∈ B) =

Z

f (x)dx

B

´’ mo.i tˆa.p sˆo´ thu.’c B.
voi
3 T´ınh chˆ
a´t H`am mˆa.t d¯ˆo. x´ac suˆa´t c´o c´ac t´ınh chˆa´t sau
i) f (x) ≥ 0, ∀x ∈ (−∞, +∞)
ii)

+∞
Z

f (x)dx = 1

−∞

´ nghi˜a cua
’ h`

Y
am mˆ
a.t d
¯ˆ
o.
`’ d¯.inh nghi˜a cua
’ h`am mˆa.t d¯ˆo. ta c´o P (x ≤ X ≤ x + 4x) ∼ f (x).4x
Tu
Do d¯o´ ta thˆa´y x´ac suˆa´t d¯ˆe’ X nhˆa.n gi´a tri. thuˆo.c lˆan cˆa.n kh´a b´e (x, x + 4x) gˆa`n nhu’
´’ f(x).
ti’ lˆe. voi

1. ¯Da.i lu’ong
ngˆ
a˜u nhiˆ
en
’

1.4

29

H`
am phˆ
an phˆ
o´i x´
ac suˆ
a´t

’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆ
2 ¯Di.nh nghi˜a 5 H`am phˆan phˆ
o´i x´ac suˆ
a´t cua
a˜u nhiˆen X, k´ı hiˆe.u F(x),
l`
a h`am d¯u’o.’c x´ac d¯.inh nhu’ sau
F (x) = P (X < x)
`’ ra.c nhˆ
* Nˆe´u X l`a d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen roi
a.n c´
ac gi´
a tri. c´

o thˆe’ x1 , x2 , . . . , xn th`ı
X
X
´’ pi = P (X = xi ))
F (x) =
P (X = xi ) =
pi
(voi
xi
xi
* Nˆe´u X l`a d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen liˆen tu.c c´
o h`
am mˆ
a.t d¯ˆ
o. x´
ac suˆ
a´t f(x) th`ı
F (x) =

Zx

f (x)dx

−∞

´’ sau
´’ minh d¯u’o.’c c´ac cˆong thuc
3 T´ınh chˆ

a´t Ta c´o thˆe’ chung
i) 0 ≤ F (x) ≤ 1;

∀x.

’ (x1 ≤ x2 =⇒ F (x1 ) ≤ F (x2 )).
ii) F(x) l`a h`am khˆong giam
iii) lim F (x) = 0;
x→−∞

lim F (x) = 1.

x→+∞

iv) F 0 (x) = f (x), ∀x.
´ nghi˜a cua
’ h`

Y
am phˆ
an phˆ
o´i x´
ac suˆ
a´t
´’ d¯ˆo. tˆa.p trung x´ac suˆa´t vˆe`bˆen tr´ai cua
’
’ ´anh muc
H`am phˆan phˆo´i x´ac suˆa´t F(x) phan
’
d¯iˆem x.

`’ ra.c X c´o bang
’ phˆ
• V´ı du. 5 Cho d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen roi
an phˆ
o´i x´ac suˆ
a´t
X 1
3
P 0,3 0,1

6
0,6

’ X v`a v˜
’ h`
T`ım h`am phˆan phˆo´i x´ac suˆa´t cua
e d¯ˆ
o` thi. cua
am n`
ay.
’
Giai
Nˆe´u x ≤ 1 th`ı F (x) = 0.
Nˆe´u 1 < x ≤ 3 th`ı F (x) = 0, 3.
Nˆe´u 3 < x ≤ 6 th`ı F (x) = 0, 3 + 0, 1 = 0, 4.
Nˆe´u x > 6 th`ı F (x) = 0, 3 + 0, 1 + 0, 6 = 1.


Chu’ong
’ 2. ¯Da.i lu’ong

ngˆ
a˜u nhiˆ
en v`
a phˆ
an phˆ
o´i x´
ac suˆ
a´t
’

30







0
0, 3
F (x) = 
0, 4



1

;
;
;

;

x≤1
13x>6

• V´ı du. 6 Cho X l`a d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen liˆen tu.c c´
o h`
am mˆ
a.t d¯ˆ
o.




f (x) = 


nˆe´u x < 0
nˆe´u 0 ≤ x ≤ 1
nˆe´u x > 1

0
6
x
5
6
5x4

T`ım h`am phˆan phˆo´i x´ac suˆa´t F(x).
’
Giai
Khi x < 0 th`ı F (x) =

Zx

f (t)dt = 0

−∞

Khi 0 ≤ x ≤ 1 th`ı F (x) =

Zx

f (t)dt =

Z1

Z
6
3
2
6
tdt +
dt = + − 3
4
5
5t
5

5t

−∞

Zx

0

6
3
tdt = x2 .
5
5

Khi x > 1 th`ı
F (x) =

Zx

f (t)dt =

−∞





Vˆa.y F (x) = 


2.

2.1

0

0
1

3 2
x
5
− 5x23

x

1



x
1

=1−

2
5x3

;
x<0

; 0≤x≤1
;
x>1

˜
´ THAM SO
ˆ´ ¯DA
ˆ
’ ¯DA
˘. C TRUNG
’
CAC
CUA
. I LU’ O
.’ NG NGAU
ˆ
NHIEN
K`
y vo.ng (Expectation)

2 ¯Di.nh nghi˜a 6
`’ ra.c c´o thˆe’ nhˆa.n c´ac gi´a tri. x1 , x2 , . . . , xn
* Gia’ su’’ X l`a d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen roi
´’ c´ac x´ax suˆa´t tu’ong
´’ p1 , p2 , . . . , pn . K`y vo.ng cua
’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆ
voi
a˜u nhiˆen X, k´ı hiˆe.u
’ ung
’’

E(X) (hay M(X)), l`a sˆo´ d¯u’o.’c x´ac d¯.inh boi


’ d
˘c trung
2. C´
ac tham sˆ
o´ d
¯a
cua
¯a.i lu’ong
ngˆ
a˜u nhiˆ
en
’
’

E(X) =

n
X

31

xi pi

i=1

* Gia’ su’ X l`a d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen liˆen tu.c c´o h`am mˆa.t d¯ˆ
o. x´

ac suˆ
a´t f (x). K`y vo.ng
˜
’
’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆau nhiˆen X d¯u’o.’c x´
cua
ac d¯.inh boi
’
E(X) =

Z∞

xf (x)dx

−∞

’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆ
’ phˆ
• V´ı du. 7 T`ım k`y vo.ng cua
a˜u nhiˆen c´o bang
an phˆ
o´i x´ac suˆ
a´t sau
X
P

5

6

7

8

9

10

11

1
12

2
12

3
12

2
12

2
12

1
12

1
12

Ta c´o
2
3
2
2
1
1
1
+ 6. 12
+ 7. 12
+ 8. 12
+ 9. 12
+ 10. 12
+ 11. 12
=
E(X) = 5. 12

93
12

=

31
4

= 7, 75.

• V´ı du. 8 Cho X l`a d¯a.i lu’o.’ng ngˆ
a˜u nhiˆen liˆen tu.c c´

o h`
am mˆ
a.t d¯ˆ
o.
f (x) =

(

2.e−2x nˆe´u 0 < x < 2
0
nˆe´u x ∈
/ (0, 2)

T`ım E(X).
’
Giai
E(X) =

Z∞

xf (x)dx =

−∞

3 T´ınh chˆ
a´t

Z2

0

2

1
x3


4
x.( x)dx =

=


2
6 0 3

i) E(C) = C, C l`a ha˘`ng.
ii) E(cX) = c.E(X).
iii) E(X + Y ) = E(X) + E(Y ).
iv) Nˆe´u X v`a Y l`a hai d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen d¯oˆ. c lˆa.p th`ı E(XY ) = E(X).E(Y ).
´ nghi˜a cua
’ k`

Y
y vo.ng
’’ Gia’ su’’ X l`a d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen nhˆa.n c´ac gi´a tri. c´o thˆe’
Tiˆe´n h`anh n ph´ep thu.
´’ sˆo´ lˆa`n nhˆa.n k1 , k2 , . . . , kn .
x1 , x2 , . . . , xn voi

’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen X trong n ph´ep thu’’ l`a
Gi´a tri. trung b`ınh cua
x=

k1
k2
kn
k1 x1 + k2 x2 + . . . + kn xn
= x1 + x2 + . . . + xn = f1 x1 + f2 x2 + . . . + fn kn
n
x
n
n

´’ fi =
voi

ki
n

l`a tˆa`n suˆa´t d¯ˆe’ X nhˆa.n gi´a tri. xi .


Chu’ong
’ 2. ¯Da.i lu’ong
ngˆ
a˜u nhiˆ
en v`
a phˆ
an phˆ

o´i x´
ac suˆ
a´t
’

32

´’ n d¯u’ lon
´’
Theo d¯.inh nghi˜a x´ac suˆa´t theo lˆo´i thˆo´ng kˆe ta c´o n→∞
lim fi = pi . V`ı vˆa.y voi
ta c´o
x ≈ p1 x1 + p2 x2 + . . . + pn xn = E(X)
´’ trung b`ınh sˆo´ ho.c c´ac gi´a tri.
’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen xˆa´p xi’ voi
Ta thˆa´y k`
y vo.ng cua
’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen.
quan s´at cua
’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆ
Do d¯o´ c´o thˆe’ n´oi k`y vo.ng cua
a˜u nhiˆen ch´ınh l`a gi´a tri. trung b`ınh (theo
’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen. N´o phan
’ ´anh gi´a tri. trung tˆam cua
’ phˆan phˆ
x´
ac suˆ
a´t) cua
o´i x´ac
suˆ

a´t

2.2

Phu’ ong
sai (Variance)
’

’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆ
2 ¯Di.nh nghi˜a 7 Phu’ong
dˆo. lˆe.ch b`ınh phu’ong
a˜u
’ sai (¯
’ trung b`ınh) cua
`
´
˜
nhiˆen X, k´ı hiˆe.u Var(X) hay D(X), d¯u’o.’c d¯.inh nghia ba˘ng cˆ
ong thuc
’
V ar(X) = E{[X − E(X)]2 }

´’
`’ ra.c nhˆa.n c´ac gi´a tri. c´
* Nˆe´u X l`a d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen roi
o thˆe’ x1 , x2 , . . . , xn voi
´’ p1 , p2 , . . . , pn th`ı
c´
ac x´ac suˆ
a´t tu’ong

’ ung
V ar(X) =

n
X
i=1

[xi − E(X)]2 pi

* Nˆe´u X l`a d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen liˆen tu.c c´
o h`
am mˆ
a.t d¯ˆ
o. x´
ac suˆ
a´t f(x) th`ı
V ar(X) =

+∞
Z

−∞

[x − E(X)]2 f (x)dx

´’
`’ t´ınh phu’ong

Ch´
uy

´ Trong thu.’c tˆe´ ta thu’ong
’ sai ba˘`ng cˆong thuc
V ar(X) = E(X 2 ) − [E(X)]2
Thˆa.t vˆa.y, ta c´o
V ar(X) =
=
=
=

E{X − E(X)]2 }
E{X 2 − 2X.E(X) + [E(X)]2 }
E(X 2 ) − 2E(X).E(X) + [E(X)]2
E(X 2 ) − [E(X)]2

`’ ra.c X c´o bang
’ phˆ
• V´ı du. 9 Cho d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen roi
an phˆ
o´i x´ac suˆ
a´t sau
X 1
3
5
P 0,1 0,4 0,5
’ X.
T`ım phu’ong
’ sai cua
’
Giai
E(X)=1.0,1+3.0,4+5.0,5=3,8

E(X 2 ) = 12 .0, 1 + 32 .0, 4 + 52 .0, 5 = 16, 2
Do d¯´o V ar(X) = E(X 2 ) − [E(X)]2 = 16, 2 − 14, 44 = 1, 76.


’ d
˘c trung
2. C´
ac tham sˆ
o´ d
¯a
cua
¯a.i lu’ong
ngˆ
a˜u nhiˆ
en
’
’

33

• V´ı du. 10 Cho d¯a.i lu’o.’ng ngˆ
a˜unhiˆen X c´o h`am mˆa.t d¯ˆ
o.
f (x) =

(

´’ 0 ≤ x ≤ 3
cx3 voi
´’ x ∈

0 voi
6 [0, 3]

H˜
ay t`ım
i) Ha˘`ng sˆo´ c.
ii) K`y vo.ng.
iii) Phu’ong
’ sai
’
Giai
i) Ta c´o 1 =

Z3

cx3 dx = c

0

"

x4
4

#3

=

0

81
c.
4

4
Suy ra c = .
81
" #3
Z3
4 3
4 x5
ii) E(X) = x x dx =
= 2, 4.
81
81 5 0
0
iii) Ta c´o
2

E(X ) =

Z∞

2

x f (x)dx =

−∞
2

Z3

0

"

4 3
4 x6
x
x dx =
81
81 6
2

#3

=6

0

2

Vˆa.y V ar(X) = E(X ) − [E(X)] = 6 − (2, 4)2 = 0, 24.
3 T´ınh chˆ
a´t
i) Var(C)=0; (C khˆong d¯ˆo’i).
ii) V ar(cX) = c2 .V ar(X).
iii) Nˆe´u X v`a Y l`a hai d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen d¯oˆ. c lˆa.p th`ı
* V ar(X + Y ) = V ar(X) + V ar(Y );
* Var(X-Y)=Var(X)+Var(Y);

* Var(C+X)=Var(X).
´ nghi˜a cua
’ phu’ ong

Y
sai
’

’ gi´a tri. trung b`ınh nˆen V ar(X) = E{[X − E(X)]2 }
Ta thˆa´y X − E(X) l`a d¯oˆ. lˆe.ch khoi
´’ d¯oˆ. phˆan t´an c´ac
’ ´anh muc
l`a d¯ˆo. lˆe.ch b`ınh phu’ong
’ trung b`ınh. Do d¯o´ phu’ong
’ sai phan
’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen chung quanh gi´a tri. trung b`ınh.
gi´a tri. cua

2.3

o. lˆ
e.ch tiˆ
eu chuˆ
a’n
¯Dˆ

’ phu’ong
’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen.
’ vi. d¯o cua
’ sai ba˘`ng b`ınh phu’ong

’ d¯on
’ vi. d¯o cua
¯Don
´
`
’ d¯a.i lu’ong
’
Khi cˆan d¯a´nh gi´a muc
’ ngˆa˜u nhiˆen theo d¯on
’ vi. cua
’ d¯ˆo. phˆan t´an c´ac gi´a tri. cua
’
´
`’ ta d`
n´o, ngu’oi
ung mˆo.t d¯a˘. c trung
m
oi
d
¯
´
o
l`
a
d
¯
ˆ
o
lˆ
e

ch
tiˆ
e
u
chu
ˆ
a
n.
’
’
. .


Chu’ong
’ 2. ¯Da.i lu’ong
ngˆ
a˜u nhiˆ
en v`
a phˆ
an phˆ
o´i x´
ac suˆ
a´t
’

34

’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆ
2 ¯Di.nh nghi˜a 8 ¯Dˆo. lˆe.ch tiˆeu chuˆa’n cua
a˜u nhiˆen X, k´ı hiˆe.u l`a σ(X),

˜
d¯u’o.’c d¯.inh nghia nhu’ sau:
σ(X) =

2.4

q

V ar(X)

Mode

’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆ
2 ¯Di.nh nghi˜a 9 Mod(X) l`a gi´a tri. cua
a˜u nhiˆen X c´o kha’ n˘
ang xuˆ
a´t hiˆe.n
´
´
’ n´
lon
at trong mˆo.t lˆan cˆa.n n`ao d¯´o cua
o.
’ nhˆ
´’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen roi
´’ voi
´’ x´ac suˆ
´’
`’ ra.c mod(X) l`a gi´a tri. cua
’ X ung

o´i voi
a´t lon
¯Dˆ
´
´
´
˜
’ X ta.i d¯´
nhˆ
at, c`on d¯ˆ
oi voi
o h`am
’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆau nhiˆen liˆen tu.c th`ı mod(X) l`a gi´a tri. cua
mˆ
a.t d¯ˆ
o. d¯a.t gi´a tri. cu.’c d¯a.i.

Ch´
uy
´ Mˆo.t d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen c´o thˆe’ c´o mˆo.t mode ho˘
a.c nhiˆe`u mode.
`’ th`ı mod(X) l`a
’ sinh viˆen trong tru’ong
• V´ı du. 11 Gia’ su’’ X l`a d¯iˆe’m trung b`ınh cua
’
´
`
d¯iˆem m`a nhiˆeu sinh viˆen d¯a.t d¯u’o.’c nhˆat.
• V´ı du. 12 Cho d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen liˆen
d¯ˆ

o.


0
f (x) =  x − x2
e 4
2

´’ h`am mˆa.t
tu.c c´o phˆan phˆ
o´i Vˆay−bun voi
nˆe´u x ≤ 0
nˆe´u x > 0

H˜
ay x´ac d¯.inh mod(X).

’
Giai
’ phu’ong
mod(X) l`a nghiˆe.m cua
’ tr`ınh
1 x2
x2 x2
f 0 (x) = e− 4 − e− 4 = 0
2
4
x2
’ phu’ong
Suy ra mod(X) l`a nghiˆe.m cua

= 0. Do mod(X) > 0 nˆen
’ tr`ınh 1 −
2
√
mod(X) = 2 = 1, 414.

2.5

Trung vi.

’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆ
’ X chia phˆan
2 ¯Di.nh nghi˜a 10 Trung vi. cua
a˜u nhiˆen X l`
a gi´a tri. cua
´
´
´
´
`
phˆ
oi x´ac suˆat th`anh hai phˆan c´o x´ac suˆ
at giˆ
ong nhau. K´ı hiˆe.u med(X).
Ta c´
o P (X < med(X)) = P (X ≥ med(X)) =

1
2

`’ d¯.inh nghi˜a ta thˆa´y d¯ˆe’ t`ım trung vi. chi’ cˆa`n giai
’ phu’ong
⊕ Nhˆ
a.n x´
et Tu
’ tr`ınh F (x) = 12 .
´’ du.ng, trung vi. l`a d¯a˘. c trung
Trong ung
y vo.ng,
’ ca’ k`
’ vi. tr´ı tˆo´t nhˆa´t, nhiˆe`u khi tˆo´t hon
’
nhˆa´t l`a khi trong sˆo´ liˆe.u c´o nhiˆe`u sai s´ot. Trung vi. c`on d¯u’o.’c go.i l`a phˆ
an vi. 50% cua
´
phˆ
an phoˆi.


’ d
˘c trung
2. C´
ac tham sˆ
o´ d
¯a
cua
¯a.i lu’ong
ngˆ
a˜u nhiˆ
en

’
’

35

• V´ı du. 13 T`ım med(X) trong v´ı du. (12).
’
Giai
’ phu’ong
med(X) l`a nghiˆe.m cua
’ tr`ınh
med(X)
Z
0

f (x)dx = 0, 5 hay 1 − e−

[med(X)]2
4

= 0, 5

Suy ra med(X) = 1, 665.

Ch´
uy
´ N´oi chung, ba sˆo´ d¯a˘. c trung
y vo.ng, mode v`a trung vi. khˆong tr`
ung nhau.
’ k`

’
`’ c´ac v´ı du. (12), (13) v`a t´ınh thˆem k`
Cha˘ng ha.n, tu
y vo.ng ta c´o E(X) = 1, 772; mod(X) =
´
´’ v`a chi’ c´o mˆo.t mode th`ı
1, 414 v`a med(X) = 1, 665. Tuy nhiˆen nˆeu phˆan phˆo´i d¯ˆo´i xung
ca’ ba d¯a˘. c trung
ung nhau.
’ d¯´o tr`

2.6

Moment

2 ¯Di.nh nghi˜a 11
’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆ
* Moment cˆa´p k cua
a˜u nhiˆen X l`
a sˆ
o´ mk = E(X k ).
’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen X l`a sˆ
* Moment qui tˆam cˆa´p k cua
o´ αk = E{[X − E(X)]k }.
⊕ Nhˆ
a.n x´
et

’ X l`a k`
’ X (m1 = E(X)).

i) Moment cˆa´p 1 cua
y vo.ng cua
’ X l`a phu’ong
’ X (α2 = m2 − m21 = V ar(X)).
ii) Moment qui tˆam cˆa´p hai cua
’ sai cua
iii) α3 = m3 − 3m2 m1 + 2m31 .

2.7

H`
am moment sinh

’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆ
2 ¯Di.nh nghi˜a 12 H`am moment sinh cua
a˜u nhiˆen X l`
a h`am x´ac d¯.inh
’’
trong (−∞, +∞) cho boi

tX

 X tx

e p(x)



φ(t) = E(e ) = 




x
+∞
R

−∞

`’ ra.c
nˆe´u X roi

etx p(x)dx nˆe´u X liˆen tu.c

3 T´ınh chˆ
a´t
0

i) φ (0) = E(X).
00

ii) φ (0) = E(X 2 ).
iii) Tˆo’ng qu´at: φ(n) (0) = E(X n ), ∀n ≥ 1.


Chu’ong
’ 2. ¯Da.i lu’ong
ngˆ
a˜u nhiˆ
en v`
a phˆ

an phˆ
o´i x´
ac suˆ
a´t
’

36

´’
Chung
minh.
!

d
d tX
i) φ (t) = E(etX ) = E
(e ) = E(XetX ).
dt
dt
0

0

Suy ra φ (0) = E(X).
!

d 0
d
d
(XetX ) = E(X 2 etX ).

ii) φ (t) = φ (t) = E(XetX ) = E
dt
dt
dt
00

00

Suy ra φ (0) = E(X 2 ).

2


Ch´
uy
´

i) Gia’ su’’ X v`a Y l`a hai d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen d¯oˆ. c lˆa.p c´o h`am moment sinh tu’ong
’
´’ l`a φX (t) v`a φY (t). Khi d¯´o h`am moment sinh cua
’’
’ X + Y cho boi
ung
φX+Y (t) = E(et(X+Y ) ) = E(etX etY ) = E(etX )E(etY ) = φX (t)φY (t)
´’ gˆa`n cuˆo´i c´o d¯u’o.’c do etX v`a etY d¯oˆ. c lˆa.p)
(¯
da˘’ ng thuc
´’ 1−1 giua
˜’ h`am moment sinh v`a h`am phˆan phˆo´i x´ac suˆa´t cua
’ d¯a.i

ii) C´o tu’ong
’ ung
˜
lu’o.’ng ngˆau nhiˆen X.

3.

ˆ. T SO
ˆ´ QUI LUA
ˆ. T PHAN
ˆ PHOI
ˆ´ XAC
´ SUAT
ˆ´
MO

3.1

´’ (Binomial Distribution)
Phˆ
an phˆ
o´i nhi. thuc

`’ ra.c X nhˆa.n mˆot trong c´ac gi´a tri. 0,1,2,...,n
2 ¯Di.nh nghi˜a 13 ¯Da.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen roi
´
´
´
´’ Bernoulli
voi

ac x´
ac suˆat tu’ong
’ c´
’ ung
’ d¯u’o.’c t´ınh theo cˆong thuc
Px = P (X = x) = Cnx px q n−x

(2.1)

´’ tham sˆ
´’ voi
o´ n v`a p. K´ı hiˆe.u X ∈ B(n, p) (hay X ∼ B(n, p)).
go.i l`a c´o phˆan phˆo´i nhi. thuc
´’

Cˆ
ong thuc
´’ h nguyˆen du’ong
Voi
’ v`a h ≤ n − x, ta c´o

P (x ≤ X ≤ x + h) = Px + Px+1 + . . . + Px+h

(2.2)

’ phˆ
’ phˆ
• V´ı du. 14 Ty’ lˆe. phˆe´ phˆa’m trong lˆo san
a’m l`a 3%. Lˆ
a´y ngˆ

a˜u nhiˆen 100 san
a’m
d¯ˆe’ kiˆe’m tra. T`ım x´ac suˆa´t d¯ˆe’ trong d¯´
o
’
´
i) C´
o 3 phˆe phˆam.
ii) C´
o khˆong qu´a 3 phˆe´ phˆa’m.
’
Giai
’’ Do d¯´o ta c´o
’ phˆa’m l`a thu.’c hiˆe.n mˆo.t ph´ep thu.
Ta thˆa´y mˆo˜i lˆa`n kiˆe’m tra mˆo.t san
’’
n=100 ph´ep thu.


3. Mˆ
ot sˆ
o´ qui luˆ
at phˆ
an phˆ
o´i x´
ac suˆ
a´t

37

’’ Ta c´o
’ phˆa’m lˆa´y ra l`a phˆe´ phˆa’m th`ı trong mˆo˜i ph´ep thu.
Go.i A l`a biˆe´n cˆo´ san
p = p(A) = 0, 03.
’
’
’ phˆa’m th`ı X ∈ B(100; 0, 03).
¯Da˘. t X l`a tˆong sˆo´ phˆe´ phˆam trong 100 san
3
i) P (X = 3) = C100
(0, 03)3 .(0, 97)97 = 0, 2274.

ii) P (0 ≤ X ≤ 3) = P0 + P1 + P2 + P3
0
1
= C100
(0, 03)0 (0, 97)100 + C100
(0, 03)1 (0, 97)99
2
3
+C100
(0, 03)2 (0, 97)98 + C100
(0, 03)3 (0, 97)97
= 0, 647.
´’ th`ı x´ac suˆa´t p khˆong qu´a gˆa`n 0 v`a 1. Khi d¯o´ ta c´o thˆe’ ´ap du.ng