KỸ THUẬT TRUYỀN DẪN VIBA SỐ pdf

KỸ THUẬT TRUYỀN
DẪN VIBA SỐ
Xử lý baseband
a. Linear Block Coding

Trong loại mã này luồng thông tin được chia thành các
khối có độ dài bằng nhau được gọi là các khối dữ liệu. Các
bit nhận được ở đầu ra của bộ mã hoá được gọi là từ mã.
Các bit được thêm vào các khối theo một thuật toán nhất
định phụ thuộc vào loại mã được sử dụng, các bit này
thường được gọi là các bit kiểm tra. Mã khối được xác định
bằng ba thông số: độ dài khối dữ liệu k, độ dài từ mã n và
khoảng cách Hamming cực tiểu d
m
. Tỷ số r = k/n được gọi là
tỷ lệ mã. Các bit kiểm tra có độ dài n-k. Bộ mã hoá được ký
hiệu (n,k).

Sơ đồ khối tổng quát của một bộ mã hoá khối tuyến
tính như sau
Xử lý baseband
Mã hóa
K bit dữ liệu vào Từ mã n bit ra
1001001001001110… 1001110001011101001101110100
Trong mã khối tuyến tính các bit ngõ ra được
xem như là tổ hợp tuyến tính của các bit ngõ
vào. Gọi ma trận tượng trưng
cho khối dữ liệu k bit dữ liệu ngõ vào
1 2
[ ] [ ]
k

M m m m=
Gọi ma trận tượng trưng cho từ
mã n bit ngõ ra
1 2
[ ] [ ]
n
T t t t=
Xử lý baseband
•
Theo định nghĩa các bit ngõ ra có thể được
diễn tả bằng hệ phương trình sau:
•
Có thể viết lại hệ phương trình trên dưới dạng
ma trận
1 11 1 21 2 1
2 12 1 22 2 2
1 1 2 2




k k
k k
n n n kn k
t g m g m g m
t g m g m g m
t g m g m g m
= + + +
= + + +
= + + +

11 12 1
21 22 2
1 2
[ ] [ ] [ ]


[ ]


n
n
k k kn
T M G
g g g
g g g
G
g g g
= •
 
 
 
=
 
 
 
Xử lý baseband
•
Để mã có tính chất hệ thống thì khối dữ liệu
ngõ vào phải tồn tại trong từ mã ngõ ra vì thế
ma trận [T] có dạng như sau:

•
Trong đó các bit c
1
…c
n-k
là các bit kiểm tra
được thêm vào. Vì thế k phương trình đầu
trong hệ phương trình được viết lại
[ ] [ ]
1 2 1 2

k n k
T m m m c c c
−
=
1 1 11 1 21 2 1
2 2 12 1 22 2 2
1 1 2 2




k k
k k
k k k k kk k
t m g m g m g m
t m g m g m g m
t m g m g m g m
= = + + +
= = + + +

= = + + +
Xử lý baseband
•
Hệ phương trình trên chỉ thỏa với
•
Do đó ma trận sinh được xác định:
1
0
ij
i j
g
i j
=

=

≠

[ ]
1 1 1
2 1 2
1

1 0 0

0 1 0

0

0 0 1

k n
k n
kk kn
g g
g g
G
g g
+
+
+
 
 
 
=
 
 
 
I P
Xử lý baseband
•
Ví dụ: Mã (7,4) có ma trận sinh
Cyclic block codes
•
Mã vòng là một biến thể của mã khối tuyến
tính.
•
Việc mã hóa và tính các syndrome có thể thực
hiện dễ dàng bằng các thanh ghi dịch có hồi
tiếp feedback shift-registers.
–

Có thể sử dụng các mã có độ dài hơn, phức tạp
hơn.
•
Điển hình là mã BCH (Bose – Chaudhuri –
Hocquenghem) và Reed-Solomon.
Cyclic block codes
•
Mã khối tuyến tính (n,k) được gọi là mã vòng
nếu tất cả quá trình dịch vòng của một từ mã
cũng tạo ra từ mã
), ,,,,, ,,(
), ,,,(
121011
)(
1210
−−−+−−
−
=
=
inninin
i
n
uuuuuuu
uuuu
U
U
“i” cyclic shifts of U
UUUUU
U
=====

=
)1101( )1011( )0111( )1110(
)1101(
)4()3()2()1(

Example:
Cyclic block codes
•
Có thể biểu diễn từ mã của mã vòng như là một đa thức đại số
)1( degree )(
1
1
2
210
n-XuXuXuuX
n
n
−
−
++++=U
)1()(

,)(
1
)1(
)1(
11
)(
1
2

2
101
1
1
2
2
10
1
)1(
++=
++++++=
+++=
−
+
−−
−
−−
−
−
−
−
n
n
Xu
n
n
n
X
n
nn

n
n
n
n
XuX
uXuXuXuXuu
XuXuXuXuXX
n
n
U
U
U
    

Mối liên hệ giữa từ mã và quá trình dịch vòng:
)1( modulo )()(
)(
+=
nii
XXXX UU
By extension
)1( modulo )()(
)1(
+=
n
XXXX UU

Hence:
Cyclic block codes


Một số tính chất cơ bản của mã vòng:

Giả sử C là mã vòng tuyến tính (n,k)
1. Với tất cả các đa thức mã trong C thì có duy
nhất đa thức nguyên tố với bậc nhỏ nhất
được gọi là đa thức sinh generator
polynomials.
2. Mỗi đa thức mã trong C, có thể được
biểu diễn duy nhất

Đa thức sinh là hệ số của

)(Xg
)( . Xnr g
<
r
r
XgXggX +++= )(
10
g
)(XU
)()()( XXX gmU =
)(Xg
1+
n
X
Cyclic block codes
4. Tính trực giao của đa thức G và H được diễn
tả . Nghĩa là là hệ số
của

5. Hàng thứ của ma trận sinh được hình
thành từ các hệ số của đa thức sinh được dịch
đi vòng

















=













=
−
r
r
r
r
k
ggg
ggg
ggg
ggg
XX
XX
X






10
10
10
10
1
)(
)(

)(
0
0
g
g
g
G
1)()(
+=
n
XXX hg
1+
n
X
)(Xh
kii , ,1, =
"1"
−
i
Cyclic block codes
•
Systematic encoding algorithm for an (n,k)
Cyclic code:
1. Multiply the message polynomial by
2. Divide the result of Step 1 by the generator
polynomial . Let be the
reminder.
3. Add to to form the
codeword
)(Xm

kn
X
−
)(Xg )(Xp
)(Xp
)(XX
kn
m
−
)(XU
Remember CRC used to detect errors in packets?
“Cyclic” Redundancy Check: same idea!
Cyclic block codes
•
Example: For the systematic (7,4) Cyclic code with generator
polynomial
1. Find the codeword for the message
)1 1 0 1 0 0 1(
1)()()(
:polynomial codeword theForm
1)1()1(
:(by )( Divide
)1()()(
1)()1011(
3 ,4 ,7
bits messagebitsparity
6533
)(remainder
generator
3

quotient
32653
6533233
32

 
    
=
+++=+=
++++++=++
++=++==
++=⇒=
=−==
−
−
U
mpU
gm
mm
mm
p
gq
XXXXXXX
XXXXXXXX
X)XX
XXXXXXXXXX
XXX
knkn
X
(X)(X)

kn
kn
)1011(
=
m
3
1)( XXX ++=g
Example: Encoding of systematic cyclic codes
Cyclic Codes
( )g x
[ ]
( ) mod ( )/ ( )s x r x g x
=
Table 16.6
Decoding cyclic codes
Cyclic block codes
2. Find the generator and parity check matrices, G and H,
respectively.













=
=⇒⋅+⋅+⋅+=
1011000
0101100
0010110
0001011
)1101(),,,(1011)(
3210
32
G
g ggggXXXX
Not in systematic form.
We do the following:
row(4)row(4)row(2)row(1)
row(3)row(3)row(1)
→++
→+












=

1000101
0100111
0010110
0001011
G










=
1110100
0111010
1101001
H
44×
I
33×
I
T
P
P
Cyclic block codes

Syndrome decoding for Cyclic codes:


Received codeword in polynomial form is given by

The syndrome is the reminder obtained by dividing the
received polynomial by the generator polynomial.

With syndrome and Standard array, error is estimated.

In Cyclic codes, the size of standard array is considerably
reduced.
)()()( XXX eUr +=
Received
codeword
Error
pattern
)()()()( XXXX Sgqr +=
Syndrome
20

To start with, the switch is at “0” position

Then shift register is stepped until all the received code bits have
entered the register

This results is a 3-bit syndrome (n - k = 3 ):
that is then left to the register

Then the switch is turned to the position “1” that drives the syndrome
out of the register


Note the tap order for Galois-form shift register
3
( ) 1p p p
= + +
G
1
0
received code syndrome
x
0
x
1
x
n-1
[ ]
( ) mod ( )/ ( )p p p=S R G
2005-02-09 Lecture 8
21
8PSK
QPSK
[dB] /
0
NE
b

B
P
Well-known Cyclic Codes
•
(n,1) Repetition codes. High coding gain, but low rate

•
(n,k) Hamming codes. Minimum distance always 3. Thus can detect 2
errors and correct one error. n=2
m
-1, k = n - m,
•
Maximum-length codes. For every integer there exists a maximum
length code (n,k) with n = 2
k
- 1,d
min
= 2
k-1
. Hamming codes are dual of
maximal codes.
•
BCH-codes. For every integer there exist a code with n = 2
m
-1,
and where t is the error correction capability
•
(n,k) Reed-Solomon (RS) codes. Works with k symbols that consists of m
bits that are encoded to yield code words of n symbols. For these codes
and
•
BCH and RS are popular due to large d
min
, large number of codes, and easy
generation
3k

≥
3
≥
m
≥ −
k n mt
min
2 1
≥ +
d t
2 1,number of check symbols 2
= − − =
m
n n k t
min
2 1
= +
d t
3m
≥

(n,k) block codes: Encoder output of
n bits depends only on the k input bits

(n,k,K) convolutional codes:

each source bit influences
n(K+1)
encoder output bits


n(K+1) is the constraint length

K is the memory depth
(n,k)
encoder
(n,k)
encoder
k bits n bits
k input bits
n output bits
n(K+1) output bits
input bit
b. Convolutional Code
Một vài so sánh giữa Block
code và convolutional code
Convolutional codes-cont’d
•
A Convolutional code is specified by three
parameters or where
–
is the coding rate, determining the
number of data bits per coded bit.
•
In practice, usually k=1 is chosen and we
assume that from now on.
–
K is the constraint length of the encoder a
where the encoder has K-1 memory
elements.
),,( Kkn

),/( Knk
nkR
c
/
=
A Rate ½ Convolutional encoder
•
Convolutional encoder (rate ½, K=3)
–
3 bit shift-register where the first one takes the
incoming data bit and the rest form the memory of
the encoder.
Input data bits Output coded bits
m
1
u
2
u
First coded bit
Second coded bit
21
,uu
(Branch word)