Bài tập cơ học đại cương - Phần 1 Cơ học vật rắn - Chương 2 docx

Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng

BI TÁÛP CHỈÅNG 2
TIÃÚP XỤC GIỈỴA HAI VÁÛT RÀÕN-ÂËNH LÛT VÃƯ MA SẠT

@ Ạp dủng 1: (Trang 98) Chuøn âäüng ca hçnh láûp phỉång trãn màût phàóng nghiãng:
Mäüt hçnh láûp phỉång khäúi lỉåüng m âỉåüc háút lãn våïi váûn täúc
ban âáưu v
0
(v
0
> 0), dc theo âỉåìng däúc chênh ca mäüt màût
phàóng nghiãng mäüt gọc α so våïi màût phàóng ngang.
g

N

T

mg

α
C
x
y
O
Xạc âënh chuøn âäüng ca hçnh láûp phỉång ny (chuøn
âäüng tënh tiãún dc theo âỉåìng däúc chênh (Ox) ca màût phàóng
nghiãng) theo cạc giạ trë khạc nhau ca v
0
. Cho biãút hãû säú ma

sạt trỉåüt giỉỵa khäúi vng v màût phàóng nghiãng l f.
Bài giải :

Ngoại lực tác dụng lên vật rắn bao gồm : Trọng lượng
mg

, Tác động cơ lên khối vng
tại chỗ tiếp xúc : .
xy
R
Te Ne=+


với T và N là giá trị đại số : N > 0. (Vật rắn chuyển động tịnh
tiến, nên ma sát lăn và ma sát xoay khơng xuất hiện).
Áp dụng định lý về động lượng ( ( )
e
i
i
PmaG F==
∑



) ⇒
()ma G mg T N
=
++



Chiếu lên Ox và Oy:

sin (1)
0cos
mx mg T
mg N
α
α
=+
⎧
⎨
=− +
⎩

(2)
Lúc đầu, khối vng đi lên trên mặt phẳng nghiêng, T

hướng xuống dưới : T > 0 và T =
f.N
Từ (2) suy ra : N = mgcosα
⇒
.cosTfNmgf
α
==

g

N


T

mg

C
α
0
v

x
y
O
Thay vào (1) ta có :
(sin cos )xg f
α
α
=+


⇒
0
(sin cos )vgft
ν
αα
=− + +
⇒
2
0
1
(sin cos )

2
x
tg f t
ν
αα
=− + +

(Ghi chú : Điều kiện ban đầu: t = 0
⇒
0
0;xx
ν
=
=−

)
Vận tốc khối vng bằng 0 tại thời điểm t
0
với :
)cos(sin
0
0
αα
ν
fg
t
+
=

Tại t = t

0
, khối vng dừng lại và có xu hướng chuyển động đi xuống trên mặt phẳng
nghiêng nên

hướng lên trên : T < 0. Kể từ thời điểm t = tT
0
, khối vng vẫn đứng n, nếu
như:

NfT ≤
hay
TfN
−
≤
⇒
T
f
N
−
≤

Từ (1) và (2) suy ra :
T
tg
N
α
−=
⇒
tg f tg
α

ϕ
≤
=
⇒
ϕ
α
≤

Ngược lại, nếu
α
ϕ
>
hay
tg f
α
>
thì :
TfN=
(bởi vì nếu
TfN<
, ta sẽ suy
ngược lại rằng
α
ϕ
<
, điều này trái với giả thiết)
Tf
⇒
.cosNfmg
α

=
−=−

Từ (1) suy ra gia tốc của khối của khối vng :
)cos(sin
α
α
fgx −=


⇒
2
0
)cos(sin
2
1
)( tfgtxx
αα
−+=
: Khối vng chuyển động đi xuống nhanh dần đều.


22
Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng
@ Ạp dủng 2: (Trang 99) Cán bàòng ca váût ràõn trãn màût âáút :
Mäüt váût ràõn âäưng cháút, cọ dảng hçnh khäúi chỉỵ nháût, cạc cảnh
l 2a v 2b, khäúi lỉåüng m, khäúi tám G, nàòm n trãn màût âáút
nàòm ngang. Mäüt ngỉåìi mún dëch chuøn váût ràõn bàòng cạch
kẹo mäüt såüi dáy (büc tải mäüt âiãøm H trãn váût ràõn v nàòm
trong màût phàóng trung bçnh âi qua khäúi tám G sao cho OH =

h) tạc dủng lãn váût ràõn mäüt lỉûc F nàòm ngang. Hãû säú ma sạt
trỉåüt giỉỵa màût âáút v váût ràõn l f.
H
2a
h
G
2b
F

O
g

Ngỉåìi kẹo khäng kẹo â mảnh v váût ràõn váùn âỉïng n.
Chỉïng minh ràòng cạc tạc âäüng cå tiãúp xục giỉỵa váût ràõn v màût âáút suy biãún thnh mäüt lỉûc R
tạc dủ
ng lãn âiãøm mäüt I (thüc màût phàóng trung bçnh ca váût ràõn) nàòm trãn màût phàóng tiãúp xục
giỉỵa màût âáút v váût ràõn).
Cỉåìng âäü ca lỉûc F phi tha mn nhỉỵng âiãưu kiãûn no âãø váût ràõn thỉûc sỉû âỉïng n trãn màût
âáút ?

Bài giải :


⊕
F

mg

N


T

I
H
2
a
R

2b
h
O
x
x

y

Vì bề mặt tiếp xúc giữa mặt đất và vật rắn là lớn Khơng thể bỏ qua ma sát lăn và xoay.
Tác động cơ tại chỗ tiếp xúc giữa vật ắn và mặt đất khi thu gọn về điểm tiếp xúc I nào đó
thuộc mặt phẳng trung bình bao gồm :
⇒
r
.
xy
R
Te Ne=+




và
,I tiepxuc
M

(N > 0, T > 0)
Ngoại lực tác dụng lên khối vng bao gồm : Trọng lượng
mg

, lực kéo , tác động cơ tại
điểm tiếp xúc I :
F

.
xy
R
Te Ne=+



và .
,I tiepxuc
M

Khi vật rắn cân bằng, ta có :
+ Tổng các ngoại lực tác dụng lên vật rắn bằng 0 :
0NTmgF++ + =
 

(1) ⇒
Nmg
TF
=
⎧
⎨
=
⎩
Trong đó :
T

fN≤
⇒
FfNfmg≤=
+ Momen các ngoại lực tác động lên khối vng đối với điểm I bằng 0 :
 



,
()
I tiepxuc
IG mg IH F II T N M×+×+×++ =0
0⇒ (2)
,
()
zItiepxuc
amg hF xN e M−++ + =


Để hệ lực suy biến thành một lực
,
(, )
I tiepxuc
RM

R

thì phải có :
,
0
I tiepxuc
M =



23
Baìi táûp Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông
Với và , từ (2) suy ra :

()Nmg=
,
0
I tiepxuc
M =

0xamghF
−
+=
⇒ h
mg
F
ax −=

⇒ Tác động cơ tại chỗ tiếp xúc, khi thu gọn về điểm tiếp xúc I có tọa độ
h
mg
F
ax −=
sẽ suy
biến thành một lực là
R

.
Để I có tọa độ
h
mg
F
ax −=
thuộc bề mặt tiếp xúc thì phải có :

ax 20 ≤
≤
. Bất đẳng thức
trên thỏa mãn khi
0
F
ah
mg
−≥
hay
mga
F
h
≤

Tóm lại : Với
h
mga
F ≤
, tác động cơ tiếp xúc từ mặt đất lên vật rắn suy biến thành một lực
đặt tại điểm I có tọa độ
RNT=+

h
mg
F
ax −=
và thuộc bề mặt tiếp xúc.
(Ghi chú :
+ Trường hợp giới hạn : T = fN

⇒ F = fN = fmg ⇒
f
mg
x
ah
mg
=− ⇒
x
afh=−
⇒ điểm I
nằm tại có tọa độ x
0
:
0
x
afh=− . Trường hợp
TfN
≤
thì
FfNfmg
≤
=
⇒
0
x
x≥⇒ điểm
I nằm trong khoảng I
0
A.
⊕

F

mg

N

T

Q
I
0
H
2b
2
a
R

G
P
h
O
x
0
x

y

+ Gọi P là giao điểm của
và F

mg


: Ta
có :
000
.
I
QOQQI ax fh
(3)
(4)
(1)
mga
F
h
=

F
fmg=
(2)
fmg
2b
h
F
tgh
ϕ
=−=− ==

⇒
0
(,)tg PI PQ tg
ϕ
=
 
⇒
0
(,)PI PQ
ϕ
=
 
.
Mặt khác, trong trường hợp giới hạn
(, )
FfN
tg R N f tg
NN
ϕ

== ==
 
⇒
R

nằm
trên phương PI
o
hay nói khác đi
R

đi qua
điểm P).
Để khối vuông thực sự đứng yên trên
mặt đất, phải có điều kiện :
+ Khối vuông không trượt so với mặt đất :

FT fN fmg=≤ =
⇒
fmgF ≤
(3)
+ Khối vuông không lật quanh cạnh qua O,
nghĩa là nó còn cân bằng và liên kết của nó

24
Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng
với mặt đất vẫn tồn tại (tức là áp lực N vẫn tồn tại : hay
0N ≥ ()0
O
MN≥



).
Suy ra :
()( ) ()
()0
ext
Oi z O
i
O
MF Fhmgae MN
MN
⎧
=− + =
⎪
⎨
⎪
≥
⎩
∑
 


0

⇒
0Fh mga−≤
⇒
h
mga

F ≤
(4)
Hệ hai bất đẳng thức trên có thể giải bằng đồ thị như trên hình vẽ : Vùng (1) : Vật rắn trượt
khơng lật trên mặt đất.Vùng (2) : Vật rắn vừa trượt vừa lật trên mặt đất.
Vùng (3) : Vật rắn khơng trượt, chỉ lật trên mặt đất.
Vùng (4) : Vật rắn khơng trượt khơng lật trên mặt đất (vật rắn thực sự cân bằng )

@ Ạp dủng 3: (Trang 101): Khåíi âäüng ca ngỉåìi âi xe âảp:
Mäüt ngỉåìi âi xe âảp khåíi âäüng trãn mäüt màût âỉåìng nàòm ngang: Hãû quy chiãúu trại âáút âỉåüc
xem l Galilẹe. Ngỉåìi âi xe âảp âỉåüc xem nhỉ l
mäüt váût ràõn gàõn liãưn våïi xe âảp (b qua khäúi lỉåüng
ca âäi chán âang chuøn âäüng). Gi m l täøng
khäúi lỉåüng ca ngỉåìi v xe âảp. Hai bạnh xe l
giäúng nhau, cọ bạn kênh R v cọ khäúi lỉåüng khäng
âạng kãø. Khäúi tám G ca hãû ngỉåìi-xe âỉåüc xạc
âënh båïi cạc khong cạch a, b v h. Gi f l hãû säú
ma sạt giỉỵa cạc bạnh xe v màût âáút (b qua cạc ma
sạt khạc) v n l tè säú giỉỵa säú ràng (nombre de
dents) ca âéa xêch v ca lêp (roue-libre) åï bạ
nh
sau.
g

G
b
a

yO
⊗
⊕

x
h
z
Momen Γ ca ngáùu lỉûc m ngỉåìi âi xe tạc âäüng vo âéa xêch phi bàòng bao nhiãu âãø cạc bạnh
xe khäng bë trỉåüt trãn màût âáút ?
Bi gii :

Phản lực của mặt đất tác dụng lên mỗi bánh xe:
.
K
Kx Ky
R
Te Ne=+



Với :
; T
0; 1, 2
K
Nk>=
K
là giá trị đại số (bỏ qua các ma sát khác).
Để bánh xe khơng trượt trên mặt đất, phải có :
k
TfN≤
k
(1)
Ta cần xác định T
1

, T
2
, N
1
, N
2
và thay vào biểu thức (1), từ đó sẽ có kết luận.
Xét cơ hệ gồm người + xe. Ngoại lực tác dụng lên hệ : Trọng lượng , các áp lực và lực
ma sát từ mặt đất tác dụng lên hai bánh xe :
TT
mg

12 1 2
,, ,N N

 
.
Áp dụng định lý về động lượng cho hệ người + xe đạp (
()
k
i
i
dP
ma G F
dt
==
∑




)
⇒

12 1 2
()ma G T T N N mg=++ + +
  

Chiếu lên hai trục x và z :
12
12
0
mx T T
NNmg
=+
⎧
⎨
=+−
⎩

(2)


25
Baìi táûp Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông
Áp dụng định lý về momen động lượng đối với khối tâm C
K
của mỗi bánh xe, trong hệ
quy chiếu khối tâm :
ext
/*

*
(
K
K
C
Ci
i
R
dL
MF
dt
⎛⎞
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∑

)


với :
*
*v
K
CKiii
i
LCMm0
=
×=

∑



(vì bỏ qua
khối lượng của các bánh xe)
⇒
2
1
0'
0
TR
TR
=− +Γ
⎧
⎨
=−
⎩
⇒
2
1
0'
0
TR
T
=− +Γ
⎧
⎨
=
⎩

Trong đó Γ’ là momen tác động lên bánh sau, tạo nên bởi momen Γ do người đi xe tác động
lên bàn đạp :
'
n
Γ
Γ=





g

b
a
G
y
O
⊗
⊕
mg

C
2
C
1
'
Γ
Γ
1

T

2
T

2
N

1
N

z
x

h

(
Ghi chú : Lực căng trên dây xích :
dia xich lip
22'
DD
t
F
Γ
Γ
==
⇒
dia xich dia xich
lip lip
D
'D
Z
n
Z
Γ
=
==
Γ
với
D
dia xich
, D
lip
lần lượt lừ đường kính của đĩa xích và của líp; Z
dia xich

, Z
lip
lần lượt là số răng của
đĩa xích và của líp).
⇒
2
1
0
0
TR
n
T
Γ
⎧
=− +
⎪
⎨
⎪
=
⎩
(3)
Áp dụng định lý về momen động lượng đối với khối tâm G của hệ người + xe, trong hệ
quy chiếu khối tâm :
ext
/*
*
(
G
Gi
i

R
dL
MF
dt
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
∑

)

0
với :
**( )*( )
GG G
L L nguoi khungxe L cacbanhxe
=
++
 
=

(
Ghi chú : Do người + khung xe chuyển động tịnh tiến so với mặt đất, nên sẽ cố định trong
hệ quy chiếu khối tâm, do đó :
*( ) 0
G
L nguoi khungxe
+
=


. Mặc khác, do bỏ qua khối lượng
các bánh xe nên :
*
*( ) v 0
Gi
i
L cacbanhxe GM m=×
ii
=
∑



).

(4)
⇒
22 1
0 Nb Th Na=−−
Giải hệ phương trình (2), (3) và (4) :
Từ (2), suy ra :
12
- NmgN=

26
Baỡi tỏỷp Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng
T (3), suy ra :
2
T

R
n

=

Thay vo (4), suy ra :
22
0
h
Nb Na mga
R
n

=+

2
1 h
Nmga
ab Rn


=+

+


iu kin (1) c vit nh sau :
11
22
()

()
TfN a
TfN b







Do T
1
= 0 (a) luụn tha món cỏc bỏnh xe khụng trt trờn mt t, phi cú :

2
TfN
2
hay :
2
2
T
f
N

(lu ý rng lc hng theo phng chiu trc Ox)

Vi :
2
T
R

n

=
v :
2
1 h
Nmga
ab Rn


=+

+

nờn :
2
2
()Tab
f
NRnmgah

+
=

+

Bng bin thiờn ca
2
2
T

N
theo :
2
2
T
N

1
f
2
f
g
h

ab
h
+











0

0
2
2
T
N

ab
h
+



th biu din s bin thiờn ca
2
2
T
N
theo nh trờn hỡnh v.
T ú suy ra :
+ Khi
)(
2
ff
h
ba
f =
+
<
: cỏc bỏnh xe khụng trt trờn mt t, phi cú
2

2
T
f
N

tc l
phi cú : <
gh
vi :
()
gh
R
nmgaf
ab fh
=
+
.
+ Khi
)(
1
ff
h
ba
f =
+
>
: Ta luụn luụn cú
2
2
T

f
N

Cỏc bỏnh xe luụn luụn khụng trt trờn
mt t dự bng bao nhiờu i na.

@ Aùp duỷng 4: (Trang 104) Taỷo chuyóứn õọỹng cuớa thanh bũng cam:
Xeùt mọỹt cồ cỏỳu duỡng õóứ bióỳn õọứi chuyóứn õọỹng
quay thaỡnh chuyóứn õọỹng tởnh tióỳn qua laỷi.
27
r
I
x
y
g

O

C
t


=
Cam
Giaù cọỳ
õởnh
Cỏửn
Mọỹt thanh hỗnh truỷ (goỹi laỡ cỏửn), khọỳi lổồỹng m
coù thóứ trổồỹt khọng ma saùt theo phổồng thúng
õổùng trong mọỹt khung cọỳ õởnh (goỹi laỡ giaù).

Chuyóứn õọỹng cuớa cỏửn õổồỹc õióửu khióứn bồới mọỹt
baùnh hỗnh troỡn (goỹi laỡ cam) coù baùn kờnh laỡ R (R
nhoớ hồn baùn kờnh r cuớa cỏửn), coù tỏm laỡ C. Cam
quay vồùi vỏỷn tọỳc goùc

khọng õọứi xung quanh

Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng
mäüt trủc nàòm ngang lãûch tám cäú âënh, âi qua âiãøm O ca cam v cạch tám C mäüt khong l a.
Âiãøm O nàòm trãn trủc thàóng âỉïng ca cáưn. Hãû säú ma sạt giỉỵa cam v cáưn l f.
Tênh cäng ca cạc tạc âäüng cå tiãúp xục giỉỵa cam v cáưn trong mäüt vng quay ca cam theo m,
ω
, R, a, f v gia täúc trng trỉåìng g.
Bi gii :

Cơ cấu cam trong bài tập này có tên gọi là cơ cấu cam cần đẩy đáy bằng, được dùng để đóng
mở soupape xả và nạp trong động cơ đốt trong.
Tác động cơ tiếp xúc từ cam lên cần :
I
O

C
t
θ
ω
=
1
N

N


g

x
y
.
xy
R
Te Ne=+


y
và từ cần lên cam .
x
R
Te Ne−=− −



với
N và T là các giá trị đại số.
(
Ghi chú : Cam và cần tiếp xúc theo đường, đồng thời
đây là bài tốn phẳng
bỏ qua ma sát xoay và ma sát
lăn).
⇒
R

Tổng cơng suất của các lực

và
R
−

tác dụng tại
điểm tiếp xúc I :
g
.vPT=



với
là vận tốc trượt của cần trên
cam.
g can cam
vv(I)v(I)=−
 
Tìm :
g
v

Cam quay trục Oy cố định
⇒
cam
v(I )
z
eOI
θ
=
×






Do :
θ
ω
=

, ⇒
cos
sin
0
xa t
OI y a t R
ω
ω
=
⎧
⎪
== +
⎨
⎪
⎩

cam
(sin )
v(I ) cos
0

atR
at
ωω
ωω
−
+
⎧
⎪
=
⎨
⎪
⎩


Cần chuyển động tịnh tiến theo phương
Oy
⇒ Vận tốc tại mọi điểm trên cần đều bằng nhau
và bằng
:
can
v(I )

can
0
v(I ) cos
0
ya t
ω
ω
⎧

⎪
==
⎨
⎪
⎩


⇒
gcan cam
(sin )
v v(I ) v(I ) 0
0
atR
ωω
+
⎧
⎪
=−=
⎨
⎪
⎩
 

Tìm T :

Giữa cam và cần có trượt
⇒
TfN=
(1)
Áp dụng định lý về động lượng đối với cần (

()
ext
i
i
dP
ma G F
dt
==
∑



)
⇒ (bỏ qua ma sát giữa cần và giá). ()ma G mg T N=++


Chiếu lên trục Oy :

my mg N=− +

⇒
Nmgmy
=
+

⇒
2
(sinNmg a t)
ω
ω

=−
Giả sử cam và cần ln tiếp xúc nhau trong suốt q trình chuyển động :

0N ≥
⇒
2
ga
ω
≥⇒
2
(sinNNmga t)
ω
ω
== −
.
(
Ghi chú : Để cam và cần ln ln tiếp xúc với nhau trong q trình chuyển động, trong
thực tế người ta dùng lực phục hồi của lò xo).

Lực ma sát
T ngược chiều với
g
v

. Thế mà
g
v(sin )
x
atRe
ω

ω
=
+


với a < R nên
(sin )R0at
ω
ω
+>
⇒ ngược chiều với e
g
v

x

⇒ T

ngược chiều với
x
e

⇒
TT −=
.
Biểu thức (1) trở thành :
2
(sin)TfNfmg a t
ω
ω

−= = − ⇒
)

2
.(sin
xx
TTe fmg a te
ωω
==− −





Tóm lại:
2
(sin ) ( sin )PatRfmga t
ω
ωω
=− + −
ω

Cơng của các tác động cơ tiếp xúc từ cam lên cần và từ cần lên cam, trong 1 vòng quay của
cam :

28
Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng
22
2
00

(sin )( sin )W Pdt fm a t R g a t dt
ππ
ωω
ωω ωω
==− +−
∫∫
⇒
22
(2 )WfmgRa
π
ω
=− −

(
Ghi chú : Bởi vì :
2
ga
ω
≥ và a > R ⇒
222
gR a R a
ω
ω
≥>⇒ W < 0 : Điều này phù hợp
với chứng minh ở phần lý thuyết : Tổng cơng của các tác động cơ tiếp xúc từ cam lên cần và
từ cần lên cam ln ln nhỏ hơn hay bằng 0).

BI TÁÛP CỌ GII

@ Bi 1: (Trang 108): Hçnh trủ trãn màût phàóng nghiãng:

Mäüt hçnh trủ, âäưng cháút, khäúi tám C, bạn kênh R,
momen quạn tênh âäúi våïi trủc ca nọ l
2
R
1
.
2
Jm=
,
âỉåüc âàût khäng cọ váûn täúc âáưu trãn mäüt màût phàóng
nghiãng mäüt gọc
α so våïi màût phàóng nàòm ngang, trong
hãû quy chiãúu trại âáút (R) xem l Galilẹe. Trủc ca hçnh
trủ l nàòm ngang.
C
g

i
z
x
α
⊕
⊕
O
y
Gi f l hãû säú ma sạt trỉåüt giỉỵa hçnh trủ v màût phàóng
nghiãng.
1) Xạc âënh gia täúc

x

ca hçnh trủ. Chỉïng minh ràòng hiãûn tỉåüng trỉåüt cọ xy ra hay
khäng ty theo giạ trë ca gọc
α so våïi mäüt giạ trë α

no âọ m ta cáưn xạc âënh.
2) Sỉí dủng âënh l vãư âäü biãún thiãn âäüng nàng, hy viãút biãøu thỉïc cán bàòng nàng lỉåüng ca
hçnh trủ giỉỵa cạc thåìi âiãøm 0 v t. Xẹt c hai trỉåìng håüp α > α
0
v α < α
0
.

Bài giải :

Câu 1 :
Lực tác dụng lên hình trụ gồm : Trọng lực
mg

; phản lực
R

từ mặt phẳng nghiêng tác dụng
lên hình trụ :
.
x
RTeNe=− +

z



với T > 0 và N > 0.
(
Ghi chú : Bỏ qua momen ma sát lăn và momen ma sát xoay. Áp lực N ln hướng theo
chiều Oz, hình trụ có xu hướng trượt xuống trên mặt phẳng nghiêng nên lực ma sát T hướng
ngược chiều trục Ox).
Áp dụng định lý về động lượng đối với hình trụ (
ext
()
i
i
dP
ma G F
dt
==
∑



)
⇒ .(
xz
mg T e Ne ma C−+=
  
)
Chiếu lên Ox và Oy :
sin
0cos
mx mg T

mg N
α
α
=−
⎧
⎨
=− +
⎩

(1)
Áp dụng định lý về momen động lượng của hình trụ đối với khối tâm C trong hệ quy chiếu
khối tâm R* :
ext
/*
*
(
C
Ci
i
R
dL
MF
dt
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
∑
)


y

với :
*
// //
** *.
CC C C
LL L L Je
θ
⊥
=+==





(
Ghi chú :
//
*.
CC
LJJ
y
e
θ
=Ω=






và
*0
C
L
⊥
=

do vật rắn là vật rắn phẳng nằm trpng mặt
phẳng qua G và vng góc với trục Gz).
⇒
2
1
.
2
J
mR T R
θθ
==
 
(2)
Vận tốc trượt của hình trụ trên mặt phẳng nghiêng :

29
Baìi táûp Cå hoüc âaûi cæång (Meï canique Geïneïrale) PFIEV Âaì nàông
vv( )v()
ghinhtru
I
CCI×==+Ω
 

 
⇒ I vv().
gy
CeC
θ
=
+×


 


⇒
v.()
g
xy z x x
x
eeRexeRe
θ
θ
=+ ×− =−
  



⇒
v( )
g
x
x

Re
θ
=−





a) Trường hợp hình trụ lăn không trượt :
Hình trụ lăn không trượt khi :
v0
g
=

⇒
0xR
θ
−
=


⇒
x
R
θ
=


(3)
Từ (1), (2) và (3), suy ra :

2
sin
3
xg
α
=


Mặc khác, để hình trụ lăn không trượt, phải có :
TfN≤
hay :
TfN
≤
(4)
Từ (2)
⇒
11
22
Tm
⇒
R m
θ
==


x
1
sin
3
Tmg

α
=

Từ (1)
α
cosmgN =⇒

Bất đẳng thức (4) trở thành :
αα
cossin
3
1
fNmgmg ≤
⇒
0
3tg f tg
α
α
≤
=
Hình trụ lăn không trượt trên mặt phẳng nghiêng nếu như
0
α
α
≤
, với
ftg 3
0
=
α

y
x
C
g

i
z
α
⊕
⊕
N

T

()aG

I
O

b) Trường hợp hình trụ vừa lăn vừa trượt :
Nếu
0
α
α
> hình trụ sẽ vừa lăn vừa trượt trên mặt phẳng nghiêng
v0
g
≠

.
Khi đó
α
cosfmgfNT ==

Thay T vào (1)
⇒
(sin cos )xg f
α
α
=
−


Thay T vào (2)
⇒
2cosfg
R
α

θ
=


Câu 2:
Độ biến thiên động năng của hình trụ trong khoảng thời gian từ 0 đến t:
22
11
() (0) ()
22
KK K
E
tE Et mx J
θ
−==+



Công của ngoại lực tác động lên hình trụ trong khoảng thời gian từ 0 đến t:
g
00
sin R.v(I ) sin T.v
tt
hinhtru
W mgx dt mgx dt
αα
=+ =+
∫∫



(
Ghi chú :
sinmgx
α
là công của trọng lực;
0
R.v(I )
t
hinhtru
dt
∫


là công của lực lực tác dụng lên
hình trụ tại chỗ tiếp xúc)
¾ Khi
0
,v 0
g
α
α
<=
⇒
α
sinmgxW

=
Theo định lý về động năng :
0

t
K
noiluc ngoailuc
EW W∆= +
với : W 0
noiluc
=
;
WW
ngoailuc
=
⇒
22
11
sin
22
mx J mgx
θ
α
+=


222
111
sin
222
mx mR mgx
θ
α
⇒+ =





30
Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng
Với
θ


Rx =
⇒
22
11
sin
24
mx mx mgx
α
+=

⇒
2
3
sin
4
mx mgx
α
=

(4)

(
Ghi chú : Đạo hàm hai vế của biểu thức (4), ta tìm lại được gia tốc của hình trụ :
3
sin
2
mxx mgx
α
=
 
⇒
α
sin
2
3
gx =

)
¾ Khi
0
,v
g
x
R
α
αθ
>=−



Mà :

(sin cos )xg f
α
α
=−

⇒
(sin cos )
x
gft
α
α
=−


và :
2cosfg
R
α
θ
=

⇒
2cosfg
t
R
α
θ
=


(chú ý điều kiện ban đầu:
)
0;00
==⇒=
θ


xt
Suy ra :
v(sin cos)2cos
g
gftfgt
α
αα
=− −

⇒
v(sin3cos
g
gf)t
α
α
=−

Từ đó :
W

00
sin v sin cos . (sin 3 cos )
tt

g
mgx T dt mgx fmg g f tdt
ααααα
=−=− −
∫∫
⇒
22
1
sin cos (sin 3 cos )
2
Wmgx fmg f t
α
αα α
=− −

Theo định lý về động năng :
0
t
K
noiluc ngoailuc
EW W∆= +

⇒
22 2
11 1
sin cos (sin 3 cos )
22 2
mx J mgx fmg f t
2
θ

ααα
+= − −


α


@ Bi 2: (Trang 110): Làn khäng trỉåüt ca âéa hçnh bạn nguût trãn màût phàóng:

Xẹt mäüt âéa bạn nguût (D) âäưng cháút, tám C, khäúi tám G, bạn
kênh R, khäúi lỉåüng m. Hãû quy chiãúu trại âáút (O; x,y,z) âỉåüc
xem nhỉ l Galilẹe. Táút c âãưu nàòm trong màût phàóng thàóng
âỉïng (Oxy). Âéa (D) làn khäng trỉåüt trãn màût phàóng nàòm
ngang (Oxz). Gi I l âiãøm tiãúp xục giỉỵa màût âáút v âéa (D).
Vë trê ca âéa (D) âỉåüc xạc âënh bàòng honh âäü x ca tám C v
gọc
 
. Cho CG = b = 4R/3π. Momen quạn tênh
ca âéa (D) âäúi våïi trủc qua tám C v vng gọc våïi âéa (D) l:
(,CI CG
α
=
y
O
C
G
I
g

i

α
x
)
 
2
1
.
2
JmR=
. Hy xạc âënh
phỉång trçnh chuøn âäüng ca âéa (D) bàòng nhiãưu phỉång phạp khạc nhau.
1) Cạc quan hãû âäüng hc:
a) Thiãút láûp quan hãû giỉỵa
x

v
α

mä t chuøn âäüng làn khäng trỉåüt.
b) Biãøu diãùn cạc thnh pháưn ca váûn täúc v gia täúc khäúi tám G theo b,
α v cạc âảo hm ca
chụng.
2) Phỉång phạp thỉï nháút: Phỉång phạp nàng lỉåüng:
a) Tênh âäüng nàng E
K
ca âéa D theo J, m , b v
α

.
b) Tênh thãú nàng trng trỉåìng ca âéa (D).

c) Suy ra mäüt ngun hm ca chuøn âäüng; sau âọ thiãút láûp phỉång trçnh vi phán báûc hai âäúi
våïi α (âỉa vo phỉång trçnh cạc thäng säú sau : J, R, b v m).
3) Phỉång phạp thỉï hai: Phỉång phạp cäø âiãøn:
a) Viãút âënh l täøng håüp âäüng lỉûc (rẹsultante dynamique) (hay âënh l vãư âäüng lỉåüng)

31
Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng
b) Viãút âënh l momen âäüng lỉûc âäúi våïi G trong hãû quy chiãúu khäúi tám ca âéa (D) (hay âënh
l vãư momen âäüng lỉåüng âäúi våïi khäúi tám G trong hãû quy chiãúu khäúi tám ca âéa).
c) Suy ra phỉång trçnh vi phán báûc hai theo α.
4) Phỉång phạp thỉï ba (dng tháûn trng) :
a) Tênh momen âäüng lỉûc ca âéa (D) âäúi våïi âiãøm I.
b) Ạp dủng âënh l vãư momen âäüng lỉûc âäúi våïi âiãøm I (hay âënh l vãư momen âäüng lỉåüng âäúi
våïi âiãøm I) âãø tçm phỉång trçnh vi phán báûc hai theo
α.
5) Gi sỉí ràòng
α ráút bẹ. Tuún tênh họa phỉång trçnh nháûn âỉåüc v suy ra chu k T
0
ca cạc
dao âäüng nh ca âéa (D) quanh vë trê cán bàòng. Trỉåïc hãút hy biãøu diãùn T
0
theo J, R, b, m v
gia täúc trng trỉåìng g, sau âọ chè biãøu diãùn theo R v g.

Bài giải :

Câu 1 :

a) Do đĩa (D) lăn khơng trượt trên mặt phẳng nằm ngang (Oxz) ⇒ Vận tốc trượt tại I giữa đĩa
và mặt phẳng (Oxz) chính là vận tốc của điểm I

D
trên đĩa (D) :
vv()
gD
I 0
=
=



Mà :
(
)
v( ) v( ) ( )
D
zxzy x
I
CeCIxeeRe xR
αα
=+×=+×−=+

  


e
α


⇒
0=

+
α


Rx

b) Ta có:
sin
cos
0
xb
OG R b
α
α
+
⎧
⎪
=−
⎨
⎪
⎩

⇒
cos ( cos )
() sin
0
xb Rb
vG b
α
αα

αα
+=−+
⎧
⎪
=
⎨
⎪
⎩




α


⇒
2
2
(cos) sin
() sin cos
0
Rb b
aG b b
α
αα α
ααα α
⎧
−+ −
⎪
=+

⎨
⎪
⎩
 

 




Câu 2:
a) Động năng E
K
của đĩa (theo định lý Koenig) :
22
11
v( ) * v( )
22
KK
EmGE mGJ
2
1
2
G
α
=+=+


y
C

O
G
I
g

i
α
⊕
N

T

mg

x
x
(Ghi chú : Trong hệ quy chiếu (R*), đĩa (D) quay xung quanh trục cố định Gz).
Momen qn tính của đĩa (D) đối với trục Gz (áp dụng định lý Huyghens) :


2
G
JJmb=−
⇒
22
1
2
G
J
mR mb=−

⇒
22
1
(2cos
2
K
EJmRmRb
)
α
α
=+−


(Ghi chú: Có thể tính E
K
như sau: Do đĩa lăn khơng trượt trên mặt đất tại điểm I, nên có thể
xem như đĩa chuyển động quay tức thời quanh trục Iz với vận tốc góc bằng
α

⇒ Động năng
của đĩa :
2
1
2
KI
E
J
α
=


với :
222
(2co
IG G
JJmGIJmRb Rbs)
α
=+ =+ +−

⇒
222
(2cos)
I
JJmbmRb Rb
α
=− + + − ) ⇒
2
(2cos
I
JJmR Rb
α
=+ −
⇒
22
1
(2cos
2
K
EJmRmRb
)

α
α
=+−

).
b) Thế năng trọng trường của đĩa (D):

32
Baỡi tỏỷp Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng
.
P
E
mg OG hangso= +



(cos)
P
E mg R b hangso

= +

c) Do a (D) chuyn ng ln khụng trt trờn mt t
Cỏc lc tỏc dng ti ch tip xỳc
khụng sinh cụng
C nng ton phn ca a (D) c bo ton trong quỏ trỡnh chuyn
ng :

E
M

= E
K
+ E
P
= hng s
(
Ghi chỳ : Ta cú :
M
K
EE
P
E

= +
vi :
K
noiluc ngoailuc
EW W

=+
trong ú : 0
noiluc
W
=
;
. B qua ma sỏt ln v ma sỏt xoay thỡ cụng ca cỏc lc tỏc dng ti
ch tip xỳc :
. Do a ln khụng trt trờn mt t nờn
ngoailuc tiepxuc trongluc
WWW=+

.
tiepxuc g
WRv=



dt
0
g
v
=


. Cụng ca lc trng trng bng gim th nng :
0
tiepxuc
W =
trongluc P
WE=

K
P
EE=

0
KP
EE+=

()0
KP

EE

+=

KP
E E hangso
+
=
).
Vỡ vy mt nguyờn hm ca nng lng :
E
K
+ E
P
= hng s

22
1
(2cos)(cos)
2
J
mR mRb mg R b hangso

+ =


Bng cỏch o hm hai v, suy ra :

22
11

(2cos).2.2sin sin.
22
JmR mRb mRb mgb

+ + =

0
0


22
(2cos) sinsinJmR mRb mRb mgb

+ + =


õy chớnh l phng trỡnh vi phõn bc hai i vi .
Cõu 3 :
a) nh lý v ng lng ca a (D) :
()
ext
i
i
dP
ma G F
dt
==

()ma G mg N T=+

+



Chiu lờn Ox v Oy :
2
2
(cos) sin.
(sin cos . )
mRb mb T
mb b N mg



+ =

+=



(1)
Vi N > 0, T l giỏ tr i s ca
T .

b) nh lý v momen ng lng i vi khi tõm G ca a trong h quy chiu khi tõm:
ext
/*

*
(
G
Gi
i
R
dL
MF
dt

=





)
z
vi :
*
// //
** *
GG G G G
LL L L Je


=+==

2
()()(
Gz z
Je Jmb e GIN GIT

= = ì+ ì




)
)
Chiu lờn trc Oz :

2
() sin(cosJmb Nb Rb T


= +


(2)


(
Ghi chỳ :
+ Ta cú :
//

*
GGG
LJJ
z
e

==




v
*0
G
L

=

do vt rn l vt rn phng nm trong mt phng
qua G v vuụng gúc vi trc Gz).
+ Ta cú :
2
()()(
z
)
J
mb e GI N GI T

=ì+

ì

Chiu lờn trc Oz (tc l nhõn hai v vi
z
e

):

2
()()()
zz
J
mb GI N e GI T e

=ì+ì





)

2
() (
()
zz
Jmb Ne Te

GI GI


=ì
ì+









33
Baỡi tỏỷp Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng

2
(). .
xy
Jmb GINeGITe

=




vi
sin
cos

0
b
GI R b





=+




;
1
0
0
x
e


=




;
0
1
0

y
e


=




. Tuy nhiờn, trong
trung hp bi toỏn phng, khụng nờn tớnh toỏn
ext
(
Gi
i
MF)



theo khỏ phc tp ny)
c) Thay T v N t (1) vo (2)
phng trỡnh vi phõn bc hai i vi

:
22 2
( ) sin ( sin cos . ) ( cos ) ( cos ) sin .Jmb b mb b mg Rb mRb mb

= + ++ +






0

22
(2cos) sinsinJmR mRb mRb mgb

+ + =


Cõu 4 :
a) Momen ng lc ca (D) i vi im I (lu ý rng im I õy l im tip xỳc hỡnh hc
gia a (D) v mt t) :
+ Dựng nh lý Koenig :
() *
IG
D
IG ma G D=ì +




Trong h quy chiu khi tõm, a (D) quay xung quanh trc c nh Gz nờn :
*
GG

LJ
z
e

=



.
Th m :
*
*
*
G
G
R
dL
D
dt

=





*
GGz
D
Je

=





()
IGz
D
IG ma G J e

=ì +





Vi :
sin
cos
0
b
IG R b




=

v :
2
2
(cos) sin
() sin cos
0
Rb b
aG b b




+

=+








22
(2cos)sin
I z
DJmRmRb mRb

=+ +


e



+ Hoc dựng quan h gia momen ng lc v momen ng lng i vi im I (chỳ ý rng
im I khụng c nh trong h quy chiu R):
() ( )
I
I
dL
DvImvG
dt
= ì



vi : ( ) ( )
xx
vI vC xe Re

===

z

Momen ng lng i vi im I:
*
2
() () ()( )
IG Gz
L IG mv G L IG mv G J e IG mv G J mb e


=ì + =ì + =ì +






Vi :
sin
cos
0
b
IG R b




=

v :
(cos
() sin
0
Rb
vG b
)



+


=







22 2 2
sin ( cos ) ( )
Izz
L
mb R b e J mb e

= + +








2
2cos
Iz
L
JmR mRb e



=+





(
Ghi chỳ : Cú th tớnh
I
L

bng cỏch coi rng khi a khụng trt trờn mt t, a cú th xem

nh chuyn ng quay tc thi xung quanh im I :
2
2cos
IIz z
L
Je JmR mRb e



==+




)
T ú suy ra:
() ( )
I
I
dL
DvImv
dt
=+ì
G





[

]
2
2cos 2 sin ()(
Izz
D J mR mRb e mRb e v I mv G


=+ + + ì




)


vi : ( )
x
vI R e

=


v
(cos
() sin
0
Rb
vG b
)

+


=








34
Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng
⇒
22
(2cos)sin
I z
DJmRmRb mRb
αα αα
⎡⎤
=+ − +
⎣⎦

e

 

b) Áp dụng định lý về momen động lực đối với điểm I :
()
ext
IIi
i
DMF=
∑



⇒
22
(2cos)sin sin
zz
.
J
mR mRb mRb e IG mg mbg e
α
ααα
⎡⎤
+− + =×=
⎣⎦
α




 

Chiếu lên phương Oz:

⇒
22
(2cos) sinsinJmR mRb mRb mgb
αα α α α
+− + − =
 
0

Câu 5 :
Khi
α
bé ⇒phương trình vi phân đối với α trở thành:
2
(2cos)JmR mRb mgb
αα α
+− − =

0

Đặt :
2
2
mgb
JmR mgb
ω
=
+−

⇒+

2
.0
αωα
=

⇒ Đĩa (D) thực hiện dao động nhỏ hình sin xung quanh vị trí cân bằng (α = 0).
Chu kỳ dao động :
2
0
22
2
JmR mgb
T

mgb
π
π
ω
+−
==
Mà :
2
1
2
JmR=
và
4
3
R
b

π
=
⇒
g
R
T
8
)169(
2
0
−
=
π
π


BI TÁÛP ẠP DỦNG CẠC KÃÚT QU Â HC:
@ Bi 1: Cán bàòng ca mäüt cại thang trãn màût âáút: (Trang 113)

Mäüt chiãúc thang hçnh tam giạc gäưm hai phêa âãø leo AB v BC giäúng
nhau, khäúi lỉåüng khäng âạng kãø, chiãưu di b, tảo våïi nhau mäüt gọc 2
α,
âỉïng n trãn màût âáút nàòm ngang.
Khåïp näúi tải B, näúi hai phêa lải våïi nhau, âỉåüc xem l khäng cọ ma sạt;
tiãúp xục giỉỵa màût âáút v cạc chán thang A v C cọ cng hãû säú ma sạt f.
Mäüt ngỉåìi khäúi lỉåüng m cọ thãø dng thang ny m khäng bë nguy hiãøm
hay khäng ? (Ngỉåìi âỉåüc xem nhỉ mäüt âoản thàóng thàóng âỉïng MP cọ
khäúi tám l G, âàût x = AM).
Bài giải :

Áp lực và lực ma sát tác dụng lên thang tại chân A và chân C :

11y
NNe=


Te=

;
T

11x
22y
NNe=


Te=−
;
T
22x


với :
12 12
,0;,NN TT>>0
1
TfN
TfN
≤
⎧

⎨
≤
Để người dùng thang này mà khơng bị nguy hiểm (hai chân thang khơng bị trượt trên mặt đất)
:

(1)
1
22
⎩
C
M
P
G
A
B
2
α
M
P
G
A
C
B
2
α
⊕
g

2
N


1
N

2
T

1
T

y
x
x












35
Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng
Cơ hệ người và thang ở trạng thái cân bằng, ta có :

(2)

0
e
i
i
F =
∑

⇒
12
12
NN mg
TT
+=
⎧
⎨
=
⎩
và :

()0
e
Ai
i
MF=
∑

⇒
2
sin .2 .sinmgx N b
α

α
=
(3)
Từ (2) và (3) :
2
.
2
x
Nm
b
= g
và
1
2
.
2
bx
Nm
b
g
−
=

Thanh BC cân bằng :


()
e
Bi
i

MF=
∑

22
sin cosNb Tb
0
α
α
⇒=

12 2
2
x
TT Ntg mgtg
b
α
α
⇒== =

Điều kiện (1) trở thành :
2
1
b
tg f
x
tg f
α
α
⎧
⎛⎞

≤−
⎪
⎜⎟
⎝⎠
⎨
⎪
≤
⎩

Thế mà :
⇒
xb≤
2
11
b
x
−≥

Do đó chỉ cần điều kiện thứ 2 :
ftg
≤
α

(
Ghi chú : Do khơng có ma sát tại khớp quay B, nối hai phía AB và BC lại với nhau nên phản
lực từ AB lên BC là một lực

đi qua tâm B của khớp quay). F

@ Bi 2: Váût ràõn tënh tiãún trãn màût âáút: (Trang 113)

Trong hãû quy chiãúu Galillẹe (O; x,y,z), ta xẹt mäüt váût ràõn nhỉ hçnh v (khäúi lỉåüng m, khäúi
tám G), nàòm trãn màût âáút nàòm ngang (Oxz)
tải A v B.
Tiãúp xục tải B xem nhỉ khäng cọ ma sạt, cn
tải A cọ ma sạt våïi hãû säú ma sạt l f. Tải thåìi
âiãøm ban âáưu, ta âáøy váût ràõn chuøn âäüng våïi
váûn täúc âáưu v
0
nàòm ngang (cng phỉång v
chiãưu våïi trủc Ox).
Xạc âënh khong cạch d m váût ràõn chảy
âỉåüc cho âãún khi dỉìng lải.
Bài giải :

Gọi
1111 1yx
R
NTNeTe=+= −



y
và
22
R
Ne=



là các lực tác dụng lên vật rắn tại điểm tiếp xúc A và B (Với T

1
, N
1
, N
2
> 0).
G
b b
g
h

A B

⊕
2
N

mg

1
T

2
N

x
O
y
x
Áp dụng định lý về động lượng:

()
e
i
i
dP
ma G F
dt
==
∑



+++


⎨
=+−
⎩

fN=
2)

⇒=

⇒

121
()ma G N N T mg
1
12

0
mx T
NNmg
=−
⎧
Do có trượt tại A nên :
T

11
11
12
(1)
0(
mx T fN
NNmg
=− =−
⎧
⇒
⎨
=+−
⎩

Áp dụng định lý về momen động lượng đối với khối tâm G trong hệ quy chiếu khối tâm :

*
/*
()
e
G
Gi

i
R
dL
M
F
dt
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
∑


với (bởi vì vật rắn là cố định trong hệ quy chiếu khối tâm).
*
0
G
L =

⇒ (3)
11
0 hT bN bN=− − +
2
0+=
g
Từ (1) và (3) ⇒
−−
(4)
112
()hfN bN bN

Từ (2)

21
NNm⇒=−+

36
Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng
Thay vào (4) ⇒
11 1
() ( )0=hfN bN b N mg−−+−+
⇒
1
2
mgb
N
bhf
=
+

Thay vào (1)
2
f
mgb
mx
bhf
⇒=−
+


2

fgb
x
a
bhf
⇒=− =−
+

(với a là hằng số và ).
0a >
Tích phân hai vế từ thời điểm đầu (ứng với vận tốc v
0
, tọa độ x
0
của khối tâm G) đến thời
điểm t (ứng với vận tốc v(G), tọa độ x của khối tâm G), ta có :

22
00
() 2( )vG v axx−=− −
Khi vật rắn dừng lại :
và
() 0vG =
0
x
xd
−
= ⇒
22
00
2

.
22
vvbh
d
af
f
gb
+
==

@ Bi 3: Cháút âiãøm trãn mäüt thanh quay: (Trang 113)
(O ; x, y, z) l mäüt hãû quy chiãúu Galilẹe. Mäüt thanh
âäưng cháút AOB, khäúi lỉåüng M, chiãưu di 2a, chuøn
âäüng khäng ma sạt quanh trủc (Oz) thàóng âỉïng.
Momen quạn tênh ca thanh âäúi våïi trủc (Oz):
2
1
.
3
J
Ma=

x
y
O
A
B

P (m)
g

α

•
Âàût lãn âáưu mụt A ca thanh mäüt cháút âiãøm P cọ
khäúi lỉåüüng m. Hãû säú ma sạt trỉåüt giỉỵa P v thanh l f.
Bng cå hãû (gäưm thanh + cháút âiãøm) khäng váûn täúc
âáưu, tải vë trê nàòm ngang
α = 0.
Våïi nhỉỵng âiãưu kiãûn no, P váùn cn åí trãn thanh ?
Bài giải :

Lực tác dụng tại chỗ tiếp xúc từ thanh lên chất điểm P :
r
RNe Te
α
=+



với
0, 0NT>>
Để cho P vẫn nằm n trên thanh AB:
0
N
TfN
≥
⎧
⎨
≤
⎩

(1)



x
y
O
A
B
P (m)

α
g

•
mg

T

⊕
r
e

e
α


Áp dụng định lý động lượng cho chất điểm P:
() (
e
i
i
dP
ma P F
dt
==
∑


⇒

)
()ma P N T mg=++



.
Chiếu lên

e :
,
r
e
α

(
)
2
sin 2
cos (3)
ma T mg
ma N mg
αα
αα
⎧
=−
⎨
−=−
⎩




37
Baỡi tỏỷp Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng
(Ghi chỳ : im P nm yờn trờn thanh v chuyn ng quay xung quanh trc Oz c nh
gia tc gm hai thnh phn :
hng t A v O vi
n

a

2
n
aae
r

=



v
t
a

hng vuụng gúc vi
OA vi
t
aae


=


).
Chỳng ta hóy tớnh


v

theo

, t ú suy ra c T v N.
ắ p dng nh lý v momen ng lng i vi im O c nh ca c h gm thanh AB
v cht im P :
()
e
O
Oi
i
dL
M
F
dt
=




Vi

() ()
OO O
LLABLP=+

()
Oz
LJeOPmvP

=+ì






()
O
z
dL
Je OPmaP
dt

=+ì






()
2
()
O
zr r
dL
Je ae ma e ae
dt

=+ì





2
O
zz
dL
Je ma e
dt


=+






2
()
e
zzO
i

i
J
emae MF

+=





Chiu lờn Oz:
2
cosJma mga


+=


2
() cosJma mga


+=


2
cos


=

(4)
vi :
2
2
22
1
3
mga mga
Jma
M
ama

==
+
+

2
3
3
gm
aM m

=
+

ắ Nhõn hai v ca (4) vi


:

2
cos


=


2
00
cos
tt
dt dt


=



22
1
sin
2


=


22
2sin

=


Thay giỏ tr ca


v


vo (2) v (3) :
2
2
.2 sin sin
.cos cos
ma T mg
ma N mg





=

=

s

2
2

()co
sin ( 2 )
Nga
Tga





=

=+


iu kin (1) tr thnh :

2
ga

>

0N >
TfN
si
22
n ( 2 ) ( )cosga fga


+
0

tg tg






vi :
2
0
2
2
ga M
tg f f
ga Mgm




==
++

Túm li :
+ Khi

2
ga

> v tg
0

tg


: im P luụn nm trờn thanh AB, khi ú im P trt trờn
thanh khi gúc

t giỏ tr
0


= .
+ Khi
2
ga

: im P ri khi thanh khi thanh bt u chuyn ng.

@ Baỡi 4: Chuyóứn õọỹng cuớa mọỹt thanh trón mọỹt truỷc nũm ngang: (Trang 113)

(O ; x, y, z) laỡ mọỹt hóỷ quy chióỳu Galileùe. Mọỹt
thanh õọửng nhỏỳt AB, khọỳi lổồỹng m, chióửu daỡi 2b,
tỏm C, momen quaùn tờnh õọỳi vồùi truỷc õi qua C vaỡ
vuọng goùc vồùi thanh:
2
1
.
3
J
mb=
, õổồỹc õỷt trón

mọỹt thanh troỡn baùn kờnh khọng õaùng kóứ truỡng vồùi
truỷc (Oz). Hóỷ sọỳ ma saùt trổồỹt giổợa thanh ngang AB
vaỡ thanh troỡn laỡ f. Taỷi thồỡi õióứm ban õỏửu, ta buọng
A
O
C
x
B
a
t = 0
b b


z
e

g
y

38
Baỡi tỏỷp Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng
thanh AB ồớ vở trờ nũm ngang, khọng coù vỏỷn tọỳc õỏửu (luùc õoù thanh AB truỡng vồùi truỷc (Ox) sao
cho OC = a vồùi 0 < a < b.
õọỹ nghióng
0
naỡo, thanh AB bừt õỏửu trổồỹt trón thanh troỡn (Oz) ?
Bi gii :

Gi vi l phn lc do thanh trũn tỏc dng lờn thanh AB ti
im tip xỳc O. Gi s thanh AB nghiờng i mt gúc so vi phng nm ngang v cha
trt trờn thanh trũn
Khong cỏch OC khụng i v bng a.
r
RNeTe

=


0, 0NT>>
A
O
C
x
B
y


z
e

()vC

mg

g


N

T

r
e

e


thanh AB khụng trt trờn thanh trũn , phi cú :
fNT
hay
fNT

(1)
Ta cn tớnh T v N.
p dng nh lý v ng lng i vi thanh trũn v chiu lờn hai trc e


v .
r

e

() ( )
e
i
i
dP
ma C F
dt
==




()
r
ma C Ne Te mg

=+

Chiu lờn
e


, :
r
e

2
sin (2)

cos (3)
ma T mg
ma N mg



= +

=+



Cn tớnh


v


theo

, t ú suy ra T v N.
p dng nh lý v momen ng lng i vi O c nh ca thanh :
()
e
O
Oi
i
dL
M
F

dt
=




Vi :
22
1
()
3
Oz z z
L
J e OC mv C ma e mb e


=+ì = +








(nh lý Koenig)
22
1
()
3

Oz
L
ma mb e

=+




22
1
()
3
e
zO
i
ma mb e M F

+=

()
i




(
Ghi chỳ : Cú th tớnh bng cỏch coi nh thanh quay tc thi xung quanh im O c nh
vi vn tc gúc bng
0

L



trong h quy chiu R :
OO
LJe
z

=



vi
22
1
.
3
O
J J ma mb ma=+ = +
2
).
Chiu lờn trc Oz :
22
1
()
3
ma mb mgacos

+=

` (4)

22
1
()
3
ma mb mga cos


+=



Tớch phõn hai v theo t t 0 n t :


sin)
3
1
(
2
22
2
mgambma =+

(5)
Rỳt

v


t (4) v (5), thay vo (2) v (3) suy ra :
22
22
9
sin
3
ab
Tmg
ab

+
=
+
v
2
22
cos
3
b
Nmg
ab

=
+

iu kin thanh AB khụng trt trờn thanh trũn tr thnh :

39
Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng

2
2
2
0
9 ba
b
ftgtg
+
=≤
θθ

Thanh AB bắt đầu trượt trên thanh tròn khi
0
θ
θ
=
.

@ Bi 5: Sỉû råi ca däư chåi hçnh trủ: (Trang 113)

Hãû quy chiãúu trại âáút âỉåüc xem l hãû Galilẹe. Tải thåìi âiãøm ban âáưu, mäüt âäư chåi hçnh trủ
âäưng nháút (khäúi lỉåüng m , bạn kênh R, momen quạn tênh âäúi våïi trủc ca nọ l:
2
1
.
2

J
mR=
)
nàòm åí cảnh A ca mäüt giạ sạch (cảnh ny song song våïi âỉåìng sinh ca âäư chåi hçnh trủ).
Dỉåïi tạc dủng ca váûn täúc ban âáưu, khäng âạng kãø, âäư chåi hçnh trủ råi xúng.
Trãn så âäư ta v âäư chåi hçnh trủ tải thåìi âiãøm ban âáưu v tải mäüt thåìi âiãøm no âọ vãư sau.
Gi f l hãû säú ma sạt trỉåüt giỉỵa âäư chåi v giạ sạch.
ÅÍ âäü nghiãng
0
α
no, âäư chåi bàõt âáưu trỉåüt trãn cảnh A ca giạ sạch trỉåïc khi råìi khi giạ?
Ạp dủng bàòng säú: f = 0,2.

Bi gii:

Gi sỉí hçnh trủ bë nghiãng so våi phỉång thàóng âỉïng mäüt gọc α bẹ so våïi phỉång thàóng âỉïng
v gi sỉí hçnh trủ chỉa trỉåüt trãn âiãøm nhn A. Lỉûc tạc dủng lãn hçnh trủ khi nàòm åí âiãøm
nhn A : ạp lỉûc
, lỉûc ma sạt T , trng lỉåüng
N


mg

.
Ạp dủng âënh l âäüng lỉåüng cho hçnh trủ:
()ma C N T mg=++






Chiãúu lãn hai phỉång
N

v T :

2
cos (1)
sin (2)
mR N mg
mR T mg
αα
αα
⎧
−=−
⎨
=− +
⎩


Ạp dủng âënh l momen âäüng lỉåüng cho hçnh trủ âäúi våïi âiãøm A cäú âënh v chiãúu lãn trủc
Az :

sin
A
JmgR
α
α
=


(3)
Trong âọ :
2222
13
22
A
J mR J mR mR mR=+=+ =

Tỉì (3) suy ra :
2
sin
3
mR mg
α
α
=


Thay vo (2), suy ra :
1
sin
3
Tmg
α
=

2
3
sin .

2
mR mgR
α
ααα
=
  
C
α
•
N

mg

T

⊕
A
C
•
A
Tỉì (3) suy ra :

Têch phán hai vãú theo
α tỉì α = 0 âãún α :

22
3
(cos 1)
4
mR mgR

αα
=− −

⇒
2
4
(cos 1)
3
mR mg
αα
=
−−


Thay vo (1) :
1
(7cos 4)
3
Nmg
α
=−

Hçnh trủ làn khäng trỉåüt tải A nãúu nhỉ :
TfN
≤
nghéa l :
sin (7cos 4)f
α
α
≤

−
tỉïc l :
0
α
α
≤
våïi
00
sin (7cos 4)f
α
α
≤−




40