Bài tập cơ học đại cương - Phần 1 Cơ học vật rắn - Chương 1 ppt

Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng

BI TÁÛP CHỈÅNG 1 :
CHUØN ÂÄÜNG CA VÁÛT RÀÕN


BI TÁÛP ẠP DỦNG :
@ Ạp dủng 1 (Trang 29) : Chuøn âäüng ca thanh
Mäüt thanh AB âäưng cháút chiãưu di 2b, khäúi tám G nàòm tải âiãøm
giỉỵa ca thanh. Thanh tỉûa trãn màût âáút nàòm ngang v gäúi trãn
bỉïc tỉåìng thàóng âỉïng. Vë trê ca thanh âỉåüc xạc âënh båíi gọc
, thay âäøi khi thanh trỉåüt tải A v B. (, )Ox OG
α
=
 
x

A
G
B

O

y

z

α


⊕

1) Xạc âënh trỉûc tiãúp cạc thnh pháưn ca váûn täúc
v( )G

ca âiãøm
G theo α v theo âảo hm ca α.
2) Suy ra vẹctå quay
Ω

ca thanh.

Bi gii :
Cáu 1 :
Tam giạc OAB vng :
2
22
AB b
OG
⇒
b===
cos
sin
0
b
OG b
α
α
⎧
⎪
=
⎨

⎪
⎩

⇒
sin
v( ) cos
0
b
dOG
Gb
dt
α
α
α
α
−
⎧
⎪
==
⎨
⎪
⎩





(1)
Cáu 2 :
(Cạch tçm : Viãút biãøu thỉïc ca váûn täúc

v( )G

theo hai cạch khạc nhau - âảo hm trỉûc tiãúp v
bàòng quan hãû váûn täúc hai âiãøm thüc cng váût ràõn cáưn tim vectå quay - v so sạnh)
Thanh AB chuøn âäüng song phàóng våïi vectå quay
z
e
Ω
=Ω


.
Hai âiãøm A v G cng thüc thanh AB :
v( ) v( )GA A=+Ω×G






Trong âọ :
l vectå quay ca thanh AB.
z
eΩ=Ω


Ta cọ :
2cos
z
OA b e

α
=


⇒
2sin
v( ) 0
0
x
be
A
α
α
−
⎧
⎪
=
⎨
⎪
⎩






0
0
⎧
⎪

Ω=
⎨
⎪
Ω
⎩

cos
sin
0
b
AG b
α
α
−
⎧
⎪
=
⎨
⎪
⎩

⇒
2sin sin
v( ) cos
0
bb
Gb
α
αα
α

−−Ω
⎧
⎪
=−Ω
⎨
⎪
⎩



(2)
So sạnh (1) v (2) :
z
e
α
Ω=−





@ Ạp dủng 2 (Trang 30) : Chuøn âäüng ca bạnh xe trãn gêa âåỵ hçnh trủ
Bạnh xe tám C, bạn kênh b làn khäng trỉåüt trãn giạ âåỵ hçnh trủ tám O, bạn kênh a, cäú âënh
trong hãû quy chiãúu R. Táút c âãưu nàòm trong màût phàóng thàóng âỉïng.
Xạc âënh vẹctå quay Ω

ca bạnh xe theo gọc (, )Oy OC
ϕ
=


 
.


11
Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng
Bi gii :
(Cạch gii : Viãút biãøu thỉïc ca váûn täúc
v( )C

theo hai
cạch khạc nhau - âảo hm trỉûc tiãúp v bàòng quan hãû váûn
täúc hai âiãøm thüc cng váût ràõn cáưn tim vectå quay - v so
sạnh)
y
a
O
C
I
r
e

e
ϕ

⊕
ϕ

b
Xẹt hãû ta âäü

'( , , )
rz
R
eee
ϕ

(hãû ta âäü R’ quay cng våïi
âoản OC quanh trủc Oz ca hãû R(O, x, y, z) våïi vectå
quay bàòng
z
e
ϕ


).
x
Ta cọ :
OC
⇒
()
r
a b e=+


/
/
v( ) ( )
r
R
R

dOC de
Cab
dt dt
⎛⎞
⎛⎞
==+
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠




⇒
/'
v( ) ( ) ( ) 0
r
zr
R
de
Cab ee ab e
dt
ϕ
ϕϕ
⎡⎤
⎛⎞
⎡
⎤
=+ + × =+ +

⎜⎟
⎢⎥
⎣
⎦
⎝⎠
⎣⎦



v( ) ( )Cabe
⇒
ϕ
ϕ
=
+



(1)
Gi I
R
l âiãøm ca bạnh xe trng våïi âiãøm tiãúp xục I. Hai âiãøm C v I
R
thüc bạnh xe nãn :


v( ) v( )
R
CI I=+Ω×C





Trong âọ : l vectå quay bạnh xe.
z
eΩ=Ω


Bạnh xe làn khäng trỉåüt trãn màût âáút nãn :
v( ) 0
R
I
=

⇒ v( )CICbe
ϕ
=Ω× =Ω





(2)
So sạnh (1) v (2) :
z
ab
e
b
ϕ
+

Ω=





@ Ạp dủng 3 (Trang 34) : Tênh toạn momen quạn tênh :

∆
2
∆
1
G H
2
H
1
∆

A
∆

G
Tênh momen quạn tênh ca cạc váût ràõn sau âáy, cọ khäúi
lỉåüng m phán bäú âãưu bãn trong váût ràõn :
1) Momen quạn tênh âäúi våïi trủc âäúi xỉïng ∆ ca mäüt táúm
phàóng hçnh vng cảnh b, bãư dy khäng âạng kãø.
2) Momen quạn tênh âäúi våïi mäüt âỉåìng kênh ca mäüt âéa
trn bạn kênh R.
3) Momen quạn tênh âäúi våïi mäüt âỉåìng kênh nàòm trong màût
phàóng giåïi hản bạn cáưu ca mäüt bạn cáưu bạn kênh R.

Bi gii :
Cáu 1:
Xẹt phán täú váût ràõn nàòm tải ta âäü x, y cọ diãûn têch bàòng dx.dy :
Ta cọ :
2
22
22
() () ()
SS S
mm
J r dm dxdy dxdy
xx
bb
∆
== =
∫∫ ∫∫ ∫∫
⇒
/2
2
2
/2 0
bb
b
m
Jdx
x
b
∆
−

=
dy
⇒
2
12
mb
J
∆
=

∫
∫
Cáu 2:
Xẹt phán täú váût ràõn cọ vë trê xạc âënh båíi bạn kênh r v gọc ϕ, giåïi hản båíi hçnh vnh khàn (r,
r+dr) v chàõn gọc dϕ. Ta cọ :
22
4
22 32
22 2
() () 0 0 0
1cos2
( cos ) cos .
42
R
AB
SS
mm mR
J x dm r rd dr r dr d d
RR R
ππ

ϕ
ϕ
ϕϕϕ
ππ π
+
== = =
∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫
ϕ


12
Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng
⇒
2
4
2
0
11
.sin2
42 2
AB
mR
J
R
π
ϕϕ
π
⎡⎤
⎛⎞
=+

⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
⇒
2
4
AB
mR
J
=


-b/2
b/2
b
dy
d
x

y
x

O
y

y

r
A

O
x
B
ϕ
d
ϕ
d
r





x



x


Phán täú dS, khäúi lỉåüng dm

Cáu 3:

G

Momen quạn tênh ca bạn cáưu âäúi våïi mäüt âỉåìng kênh ∆ bàòng 1/2
momen quạn tênh ca khäúi cáưu âáưy â, khäúi lỉåüng 2m âäúi våïi mäüt
âỉåìng kênh
∆ :

(
∆)


2
12
(2 )
25
J
mR
∆
⎡⎤
=
⎢⎥
⎣⎦
⇒
2
2
5
Jm
∆
=
R

(Ghi chụ : Momen quạn tênh ca khäúi cáưu âáưy â, khäúi lỉåüng M âäúi
våïi mäüt âỉåìng kênh bàòng :
2
2
5
J

MR
∆
=
)

@ Ạp dủng 4 (Trang 35) : Trỉåìng håüp momen âäüng lỉåüng v vẹctå
quay song song våïi nhau
(
∆)

z

M ’
M
O
A
Mäüt váût ràõn S quay xung quanh mäüt trủc
∆ song song våïi trủc Oz v cäú
âënh trong hãû quy chiãúu R (O; x,y,z) âang xẹt, våïi váûn täúc gọc l
Ω

.
Chỉïng minh ràòng momen âäüng lỉåüng
A
L


ca váût ràõn S âäúi våïi âiãøm
A cäú âënh trãn
∆ song song våïi nãúu nhỉ : Ω


∆ l trủc âäúi xỉïng ca S.
2) S l mäüt váût ràõn phàóng trong màût phàóng qua A v vng gọc våïi
∆
Bi gii :
Momen âäüng lỉåüng âäúi våïi âiãøm A gäưm hai thnh pháưn (Xem chỉïng
minh åí pháưn l thuút) :
2
//
()
.
A
S
.
L
HM dm=Ω
∫∫∫

song song våïi vectå quay
.
Ω


()
.(( .) )
Az
S
L
AM e HM dm
⊥

=−Ω
∫∫∫
 


vng gọc våïi vẹctå quay
.
Ω


Cáưn chỉïng minh ràòng
0
A
L
⊥
=

.
1)
∆ l trủc âäúi xỉïng ca váût ràõn (S) :
ỈÏng våïi mäùi âiãøm M thüc (S), cọ thãø tçm tháúy mäüt âiãøm M’ âäúi xỉïng våïi M qua
∆.
Ta cọ : '
H
MHM=−
  
. v .'
zz
A
Me AM e=−

 

) ⇒ (.) '( '.
zz
H
MAMe HM AMe=−

    




13
Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng
⇒ ⇒ 0
A
L
⊥
=

//
A
Az
LL J Je
∆∆
==Ω=Ω
 


2) (S) l váût ràõn phàóng trong màût phàóng qua A v vng gọc våïi

∆
:
Våïi mi âiãøm M thüc váût ràõn (S), ta cọ :
.
z
AM e 0
=



båíi vç
z
A
Me
⊥



⇒
0
A
L
⊥
=



@ BI TÁÛP CỌ GII (Trang 41) : Con làõc kẹp
Mäüt con làõc kẹp gäưm hai thanh OA v AB giäúng nhau, âäưng
cháút, khäúi lỉåüng m, chiãưu di 2b v âỉåüc näúi nhau bàòng khåïp

quay tải A. Hai thanh cng chuøn âäüng trong màût phàóng thàóng
âỉïng (Oxy) v gọc nghiãng ca nọ âỉåüc xạc âënh bàòng cạc gọc α
v
β so våïi trủc (Ox) thàóng âỉïng hỉåïng xúng.
y
B
A

β
α
G
1

G
2

O
Tênh momen âäüng lỉåüng âäúi våïi âiãøm O v âäüng nàng ca con
làõc kẹp. Nhàõc lải ràòng momen quạn tênh ca mäüt thanh cọ chiãưu
di 2b âäúi våïi trung âiãøm :
x
Bi gii :
Momen âäüng lỉåüng âäúi våïi âiãøm O :
OA quay quanh trủc Oz cäú âënh, (S) váût ràõn phàóng nàòm trong màût phàóng qua O v vng
gọc våïi trủc Oz, ta cọ :


1
() ()
OOz

LOA J OAe=Ω


z
Våïi :
1
α
Ω=
v

222
14
() ()
33
Oz Gz
J OA J OA mb mb mb mb=+=+=
2

⇒
2
4
()
3
Oz
L
OA mb e
α
=





(Ghi chụ : trỉåìng håüp váût ràõn phàóng quay quang trủc () vng gọc våïi màût phàóng ca váût
ràõn :

)
() ()
OO
LOA L OA
⊥
=

V :
2
1
() ()
2
KOz
EOA J OA
α
=

⇒
22
2
()
3
K
EOA mb
α

=


Âënh l Koenig cho ta :
*
222 222
1
() () () () ()
2
OG Gzz
L
AB OG mv G L AB OG mv G J AB e
β
=× + =× +
 




2* 2
22
111
() v() () v() ()
222
KK G
EAB m G EAB m G J AB
2
2
z
β

=+=+


Våïi :
2
2cos cos
2sin sin
0
bb
OG b b
α
β
α
β
+
⎧
⎪
=+
⎨
⎪
⎩

⇒
v(
2
2sin sin
) 2 cos cos
0
bb
Gb b

α
αββ
α
αβ β
⎧
−−
⎪
=+
⎨
⎪
⎩







2
2
1
()
3
Gz
JABJ mb==

⇒
22
1
() (4 )2( )cos( )

3
O z
L
AB mb mb e
αβ αβ αβ β
⎡⎤
=+++−+
⎢⎥
⎣⎦






(Lỉu :
cos( ) cos .cos . sin .sin
α
βαβα
−= +
β
)
O
)
Suy ra :
()()(
OO
L conlackep L OA L OB=+


14
Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng
⇒
2
16 4
( ) 2( )cos( )
33
O z
L
conlackep mb e
αβαβ αβ
⎡⎤
=+++−
⎢⎥
⎣⎦





Ta cọ :
222222
2
v( ) 4 4 cos( )Gbb b
α
βαβα
=++ −



β

⇒
22 22 2 2
2
11
() 4 4 cos( ) ()
22
K Gz
EAB mb b b J AB
α
βαβαβ
⎡⎤
=++ −+
⎣⎦


β


⇒
222 2
11
() 4 4cos( )
26
K
EAB mb mb
2
α
βαβαβ β

⎡⎤
=++−+
⎣⎦



)
K

Tọm lải :

()()(
KK
E conlackep E OA E AB
=
+


⇒
22 2
82
() 2)cos(
33
K
E conlackep mb
)
α
βαβ αβ
⎡⎤
=++ −

⎢⎥
⎣⎦




BI TÁÛP CỌ HỈÅÏNG DÁÙN :
@ Bi 1 (Trang 42) : Momen quạn tênh ca mäüt bạn cáưu
Momen quạn tênh ca mäüt bạn cáưu âäúi våïi âỉåìng kênh
∆ ca nọ
bàòng :
2
2
.
5
J
mR=
. Hy tênh momen quạn tênh J ’ ca bạn cáưu âäúi
våïi trủc
∆‘ âi qua âènh S v song song våïi ∆. Khong cạch tỉì khäúi
tám G âãún tám C ca qu cáưu bàòng
3
8
CG R=
.
Bi gii :
Âënh l Huyghens :
222
)'() ()(
G

J
JmSG JmCG mSG
∆∆
⎡⎤
=+ =− +
⎣⎦
22
35
'()(
88
)
J
JmR mR=− +
⇒
2
13
'
20
Jm= R



Bi 2 (Trang 42) :Momen âäüng lỉåüng ca mäüt con làõc @
ưng Mäüt con làõc OABC hçnh chỉỵ T (tiãút diãûn khäng âạng kãø), âä
cháút, mäüt âáưu âỉåüc treo åí âáưu O v cọ thãø dao âäüng xung quanh
trong màût phàóng thàóng âỉïng mäüt trủc
∆ nàòm ngang. Xạc âënh
momen âäüng lỉåüng âäúi våïi âiãøm O theo váûn täúc gọc
θ


ca con làõc.
Biãút : OA = 2AB = 2AC = b, OA v OB cọ cng khä lỉåüng. Nhàõc
lải ràòng momen quạn tênh ca mäüt thanh cọ chiãưu di b âäúi våïi
trung âiãøm ca nọ l :
úi
2
1
.
12
Jmb=

Bi gii :
OABC l v


áût ràõn phàóng nàòm trong màût phàóng qua O v vng gọc våïi trủc quay A :
Oz
LJe
∆
=Ω
våïi :
z
e
θ
Ω=


⇒
Oz
LJe

θ
∆
=




22 22
() (
mb
J
⎡
⎢
)
212 212
mb mb mb
JJOA BC
∆∆ ∆
⎡⎤
=+=+++
⎢⎥ ⎥
⎣⎦⎣⎦
⇒
⎤
2
17
12
mb
J
∆

=

Tọm lải :
2
17
12
Oz
mb
L
e
θ
=





@ Bi 3 (Trang 42) : Âäüng nàng ca mäüt chiãúc âu :
O
B
C
A

∆
θ

z
e

∆

’
∆
G
∆


G
S
C

15
Baỡi tỏỷp Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng
Mọỹt chióỳc õu gọửm ba thanh AB, BC vaỡ CD giọỳng nhau, coù khọỳi
hồùp quay taỷi
, chióửu daỡi 2b, õọỳi vồùi trung õióứm
lổồỹng m vaỡ chióửu daỡi 2b, õổồỹc nọỳi vồùi nhau bũng caùc k
B vaỡ C. Chuùng dởch chuyóứn trong mỷt phúng thúng õổùng vaỡ vở trờ
cuớa hóỷ õổồỹc xaùc õởnh bồới goùc .
Tờnh õọỹng nng cuớa hóỷ. Nhừc laỷi rũng momen quaùn tờnh cuớa mọỹt
thanh õọửng chỏỳt coù khọỳi lổồỹng m
cuớa noù laỡ :
2
1
.
3
Jmb=

Baỡi giaới :
Ta coù :
2*

1
1
() () v() ()
2
K KK
E
AB E CD m G E AB== +


22 2 22 22
1
11 11
2

1
22 2 3
G
mb J mb mb



=+=+



22
2
() ()
3
KK

EAB ECD mb

==


Vaỡ :
2*
3
1
() v() ()
2
KK
E
BC m G E BC=+

BC chuyóứn õọỹng tởnh tióỳn trong R nón BC cọỳ õởnh trong R* :
0
Thanh
*
()
K
EBC=

22
11
22
() v() (2 )2
22
K
EBC m B mb mb

== =


C
v
0
2


C
B


A
D
Toùm laỷi :
22
10
()
3
K
Ehe mb

=



@ Baỡi 5 (Trang 42) : Quớa cỏửu trón õổồỡng rỏy

ọỹt vión bi hỗnh cỏửu, õọửng chỏỳt, khọỳi lổồỹng m, baùn kờnh
kờnh laỡ :
M
R, momen quaùn tờnh õọỳi vồùi mọỹt õổồỡng
2
2
.
5
JmR=
, ln khọng trổồỹt trón mọỹt õổỡồỡng rỏy hỗnh nhở
ở dióỷn laỡ 2
. Haợy tờnh õọỹng nng cuớa quaớ cỏửu
c v cuớa tỏm cỏửu C.
dióỷn, goùc nh
theo vỏỷn tọỳ
0
Baỡi giaới :
ọỹng nng cuớa quaớ cỏửu :
2*
1
v( )
2
K
K
mCE=+
(1)
E
Vồùi :
*2
1

2
K
E
J=
trong õ quaớ cỏửu. où : laỡ vectồ quay cuớa




*2222
12 1

25 5
K
mR mR==E

tờ
: óứ tờnh
(Cỏửn nh




cỏửn vióỳt quan hóỷ vỏỷn tọỳc cuớa hai õióứm trón vỏỷt rừn)
ứ ỡ I thuọỹc quaớ cỏửu nón :

0I =
ỹc quaớ cỏửu : vC ve
Hai õióm C va
qua cau

() ( )
quacau
vC vI IC=+ì



(1)
Vồùi :
(v

vaỡ vỏỷn tọỳc õióứm C thuọ ()
)
quacau
0 x
=



hi chuù : Do quaớ cỏửu ln khọng tr
0
quacau
(G ổồỹt trón õổồỡng rỏy :
() () vI vL
quacau
=
=


. Maỡ :

quacau quacau
vL=+() ) vI LIì



nón :
0LI
//
y
e



y
e=



ì=




//
L
I



( )

Bióứu thổùc (1) trồớ thaỡnh :
x0
sin
xy
ve IC e IC R e

=ì = ì =






16
Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng
(Ghi chụ :
y
e
⎪
=
⎨


0
⎧
0
1
0
⎪
⎩

cos
sin
IC R
R
α
α
⎧

)
⎪
=
⎨
⎪
⎩
Suy ra :
I
L
y

z

0
sin
v
R
α
Ω=

x
2

22
0
0
11
v.
25 sin
K
v
Em mR
R
α
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎝⎠

Tọm lải :
⇒
2
0
2
12
v1
25sin
K
Em
α
⎛⎞
=+
⎜⎟

⎝⎠



ìi 6 (Trang 42) : Hçnh trủ quay xung quanh mä@ Ba üt trủc cäú âënh :
n kênh R, momen quạn tênh âäúi våï Trãn mäüt hçnh trủ âäưng cháút, tám O, khäúi lỉåüng M, bạ i trủc
çnh trủ l :
2
1
.
2
JMR=
, ngỉåìi ta gàõn thãm ba khäúi âiãøm giäúng nhau A, B, C, cọ khäúi lỉåüng
).
h
(hçnh v). (A, B, C nàòm trong cng mäüt màût phàóng chỉïa trủc ca hçnh trủ
Hçnh trủ quay våïi váûn täúc gọc
ω
khäng âäøi xung quanh trủc cäú âënh
()
∆
trong hãû quy chiãúu
âang xẹt.
2) Cạc kãút qa trãn s bàòng bao nhiãu nãúu ta b khäúi âiãøm gàõn tải C ?
1) Tênh âäüng lỉåüng v momen âäüng lỉåüng ca hãû âäúi våïi O.
Bi gii :

Âäüng lỉåüng ca hãû trong (R) :

v( ) v( ) v( ) v( )PMO mA mB mC=+++




Trong (R) :
v( ) 0O =

;
v( ) v( )
A
B=−


⇒


v( )PmC=




M :
() ()vC vO OC
ω
=+×


⇒
C OC
ω
=×()v






hiãúu vng gọc R
S
(O, e , e
yS
, e
zS
) gàõn liãưn våïi váût
ho màût phà
xS
, e
zS
) trng våïi màût phàóng

hãû R , ta cọ :
Xẹt hãû quy c
xS
ì sao c óng (O, eràõn va
ABC.
Trong
S
0
0
ω
ω
⎧

⎪
=
⎨


0
⎪
⎩
R
OC
⎧
⎪
=
⎨
h
⎪
−
⎩
0

⇒
0
()vC R
ω
⎧
⎪
=
⎨

⇒

⎪
⎩
()
yS
vC R e
ω
=

⇒
e
yS
RPm
ω
=



Momen âäüng lỉåüng ca hãû (S) âäúi våïi âiãøm O trong hãû
×+×+×


M :
Nãn :
)
quy chiãúu R :
=+



v( ) v( ) v( )

O
L J OA m A OB m B OC m C
ω
v( ) v( )OA m A OC m C×=×
 


2v() v(
O
L J OA m A OB m B
ω
=+ × +×






17
ω

S
x
x
S
x
y
S
y
θ

O
S
z
A
B
C
2
R
2h
A
B

C
2R
O
2h
ω
∆

Bi táûp Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng
0
R
OA
h
−
⎧
⎪
=
⎨
⎪

⎩


0
()
0
vA R
ω
⎧
⎪
=−
⎨
⎪
⎩

Trong R
S
:
R

0OB
h
⎧
⎪
=
⎨
⎪
⎩


0
()
0
vB R
ω
⎧
⎪
=
⎨
⎪
⎩


Do âọ :


22
22
OzS zS xS zS xS
ω
LJe Rme RmheRmeRmhe
ωωωω
=+ + + −

⇒
xS
JmRemRhe
ωω
=+ +


L

2
(3 )
OzS

Khi b qua khäúi âiãøm gàõn tải C ra thç :
=


P 0


2
(2 )
OzS
LJmRe
ω
=+



T
Oz
a tháúy
S
Le

// //

ω


(trong trỉåìng ny váût nháûn trủc quay (∆) lm trủc âäúi xỉïng).

@ Bi 7 (Trang 43) Âäüng nàng ca äø bi :

Mäüt äø bi gäưm n viãn bi hçnh c
ạn kênh R , cäú âënh. Vng ngoa
Ω

áưu âäưng cháút, khäúi lỉåüng m. Vng trong,
1
ìi, xem nhỉ mäüt hçnh trủ räùng cọ khäúi
2
, quay våïi váûn täúc gọc
b
lỉåüng M phán bäú âãưu trãn bãư màût bạn kênh
ï
R
Ω

xung quanh trủc ca mçnh. Cạc viãn bi làn khäng trỉåüt âäưng thåìi trãn
vng trong v trãn vng ngoi. Gi sỉí ràòng cạc viãn bi khäng tiãúp xục
våïi nhau. Cho biãút :Momen quạn tênh ca mäüt qu cáưu âäưng cháút, kh
lỉåüng m, bạn kênh r âäúi våïi mäüt âỉåìng kênh ca nọ l :
äúi
2
2
.

5
Jmr=
.
Momen quạn tênh ca vng ngoi l :
2
2
.
I
MR=
Tênh âäüng nàng ca hãû theo M, m, R
2
v váûn täúc gọc
Ω
.

Bi gii :

O
R
2

R
1

C
Âäüng nàng äø bi :
K
Kvongngoai Kbi
E
EnE=+

+ Âäüng nàng vng ngoi :
22
2
11
22
2
IMR=Ω= Ω

Kvongngoai
E
+ Âäüng nàng viãn bi :
2*
1
v( )
2
K
bi Kbi
E
mCE=+

Våïi :
*2
1
22
Kbi
2222
12 1
5 5
E

Jmrmr
ω
ωω
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠

Tçm
:
C
n bi làn khäng trỉåüt trãn vng trong nãn :
==
I
2
C
z
e
Ω
=Ω


•
1
e

2
e

I

1
O
R
1
R
2
ω

v( )C

11
v( ) v( )
bi
CI I
ω
=+×




M viã
v(
11
) v( ) 0
bi vongtrong
II
=
=



⇒ C
1
v( )CI
ω
=×




Trong a â hãû t ä
(, , )eee
 
gàõn liãưn âoản OC, ta cọ :
ü
123

18
Baỡi tỏỷp Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng
0
0





ỡ
0
r
IC

=


va
0
1
=





21
2
v( )C
2
RR
e


=



Tỗm

(Caùch tỗm : Tỗm hai õióứm trón vión bi maỡ vỏỷn tọỳc õaợ bióỳt, vióỳt quan hóỷ vỏỷn tọỳc giổợa hai õióứm
:

naỡy)
Ta coù :
12 21
v( ) v( )
bi bi
I
III

=+ì






Vión
11
v( ) v( ) 0
bi vongtrong
II
=
=



bi ln khọng trổồỹt trón voỡng trong :
Vión bi ln khọng trổồỹt trón voỡng ngoaỡi :
22 2
v( ) v( )
bi vongngoai 22

I
IOI==Re=ì






21 2 1 2
()
I
IRR

ì= e




Vaỡ :

Suy ra :
221
()RRR

=


2
R

=
21
RR



21 2 2
22
21
v( )
22
RR R R
Cee
RR

==



où :
.
Tổỡ õ
2
22
222
2212
21
111 1
v( )
252252

Kbi
RRRR
EmCmr m m
R
R



=+= +








22
2
7
40
Kbi
EmR=

Toùm ỷi la :
22 22
22
17
.
240

K Kvongngoai Kbi
EE nE MR nmR=+=+



22
2
17
22
K
nm
ERM

= +


0


aỡi 8 (Trang 43) : ọỹng nng cuớa m ùo baùnh xờch @ B aùy ke

aùc õởnh õọỹng nng cuớa mọỹt maùy keùo gọửm hai baùnh hỗnh truỷ vaỡ mọỹt dỏy xờch, maùy keùo
c cuớa noù laỡ :
X
chuyóứn õọỹng vồùi vỏỷn tọỳc v
0
.
Khung maùy keùo coù khọỳi lổồỹỹng M. Mọựi baùnh coù baùn kờnh R, coù khọỳi lổồỹng m phỏn bọỳ õóửu, coù
momen quaùn tờnh õọỳi vồùi truỷ
2

1
2
coù khọỳi lổồỹng m
JmR=
. Dỏy xờch (boớ qua bóử daỡy) laỡ õọửng chỏỳt,
e.
x
. Khoaớng caùch giổợa caùc truỷc cuớa baùnh xe bũng b. Giaớ sổớ rũng dỏy xờch khọng
trổồỹt trón mỷt õỏỳt cuợng nhổ trón caùc baùnh x
Baỡi giaới :

Ta coù :
2
K
Kkhung Kbanhxe Kxich
EE E E=+ +

Khung chuyóứn õọỹng tởnh tióỳn vồùi vỏỷn tọỳc
0
v

:
2
0
1
v
2
Kkhung
E
M=

ọỹng nng cuớa baùnh xe coù tỏm O
1
:
22
1
11
mv ( ) J
22
Kbanhxe
EO

=+

vồùi
e


=


y
laỡ vỏỷn tọỳc goùc cuớa baùnh xe.
où :
Baùnh xe khọng trổồỹt trón dỏy xờch, dỏy xờch khọng trổồỹt trón mỷt õỏỳt :
Tỗm
:
Ta c
11
v( ) v( )OA AO

=+ì





19
Baỡi tỏỷp Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng

v( ) 0A =
G

Vỏỷn tọỳc tỏm baùnh xe :
1
v( ) vO =
0
G
G


0
v.
xx
eRe

=
GG

0

v
R

=


2
22
0
0
v111
mv . .
222
Kbanhxe
EmR
R

=+



2
0
3
mv
4
Kbanhxe
E =

ọỹng nng cuớa dỏy xờch :

Caùch 1 :
oaỷn xờch AB tióỳp xuùc vồùi mỷt õỏỳt laỡ bỏỳt õọỹng
()0
K
EAB
=

Tỏỳt caớ caùc õióứm trón õoaỷn xờch ED coù cuỡng vỏỷn tọỳc :

v( ) v( ) v( )
E
DMED==
GGG

Dỏy xờch khọng trổồỹt trón baùnh xe :
v( ) v( ) v( )
banhxe
E
E A AE AE

==+ì=ì
J
JJG JJJG
GG
GG G
(vỗ
v( ) 0A
=
G
)

0
v( ) 2 2v
xx
E
AE R e e

=ì = =
JJJG
G
GGG


()
2
22
ED 0 0
11
() mv() 2v 2v
22
K
E
ED E b b
àà
===

à
: khọỳi lổồỹng mọỹt õồn vở chióửu daỡi dỏy xờch :
22
x

m
bR
à

=
+

oaỷn xờch (BCD) vaỡ (AFE) coù cuỡng õọỹng nng :
22
() ()
11
() dmv() (Rd)v()
22
K
xichAFE xichAFE
AFE AFE
EAFE M M
à
==



2
2
2
1
() R v() d
2
K xichAFE
EAFE M

à


=

vồùi M laỡ õióứm trón õoaỷn xờch AFE
Mỷc khaùc, do xờch khọng trổồỹt trón baùnh xe : v( ) v( )
xichAFE banhxe
MM
=
G
G


110
v( ) v( ) v( ) v . (sin cos )
x zxichAFE banhxe x
M
MOOMeRee


==+ì=+
J
JJJJG
G
GGG G

+

GG


0
v( ) (v sin ). cos
xichAFE x z
M
ReRe


=+ +
GGG
R


222222
00
v( ) v ( )sin ( )cos 2v sin
xichAFE z
MRRe


=+ + +
G

Vồùi :
0
v
R

=
Nón :
22
00
v( ) 2v 2vsin
xichAFE
M
2

=+

22
0
v( ) 2v(1 sin )
xichAFE
M

=+


2
22
00
2
1
() R v2v(1sin)d v
2
K
2
E

AFE R


à

=+=

à

Toùm laỷi :
22
00
()2( )2v2 v
Kxich K K
E
EED EAFE b R
àà
=+ =+


22
00
(2 2 )v (2 2 )v
22
x
Kxich
m
EbR bR
bR
à

=+ = +
+



2
0
v
Kxich x
Em=
Cuọỳi cuỡng :
2
K
Kkhung Kbanhxe Kxich
EE E E=+ +


22
00
13
v2mv v
24
Kx
EM m=+ +
2
0

2
0

3
vm+
22
K
x
M
E
m

=+






20
Baỡi tỏỷp Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng
Caùch 2 :
Ta coù :
2*
1
v( )
2
K
xich x Kxich
EmGE=+

Maỡ :

0
v( ) vG =
GG
Trong hóỷ quy chióỳu khọỳi tỏm R* cuớa dỏy xờch, mọựi õióứm trón dỏy xờch õóửu coù giaù trở vỏỷn tọỳc
nhổ nhau vaỡ bũng v
0
;

*2
0
1
v
2
Kxich x
Em=

22
00
11
vv
22
Kxich x x
Emm=+


2
0
v
Kxich x
Em=

x
z

G
y
O

E
F
A
b
B
C
2
O
R
1

O
0
v
G
D
z
x
E
1
O

d

F
M
1
OM

ì
JJJJJG
G





21