Cơ học đại cương - Phần 1 Cơ học vật rắn - Chương 1 pptx

Baỡi giaớng Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng

Chổồng 1 :
CHUYỉN ĩNG CUA VT RếN

Đ1. Vỏỷt rừn trong cồ hoỹc :
1) Khaùi nióỷm vóử vỏỷt rừn :
Trong cồ hoỹc, vỏỷt rừn laỡ mọỹt vỏỷt thóứ khọng bióỳn daỷng : Khoaớng caùch
giổợa hai õióứm bỏỳt kyỡ cuớa vỏỷt rừn khọng õọứi theo thồỡi gian.

Khaùi nióỷm vỏỷt thóứ khọng bióỳn daỷng chố laỡ mọỹt mọ hỗnh. Vỗ vỏỷy, mọỹt tồỡ giỏỳy
moớng trổồỹt trón mỷt baỡn vaỡ khọng bở bióỳn daỷng vỏựn coù thóứ xem nhổ laỡ mọỹt vỏỷt
rừn. Trong khi õoù mọỹt dỏửm kim loaỷi õỷt trón hai gọỳi tổỷa vaỡ chởu lổỷc
J
G
F
khaù lồùn,
seợ bở bióỳn daỷng khaù nhióửu trong quùa trỗnh chởu lổỷc
trong trổồỡng hồỹp naỡy, khọng thóứ coi dỏửm laỡ vỏỷt rừn.
F
G
gọỳi tổỷ
a
dỏửm kim loaỷi
Hỗnh 1

2) Hóỷ quy chióỳu gừn lióửn vồùi vỏỷt rừn :
(R)
S
(R )
z

x
O
Hỗnh 2
z
S
O
S
y
S
x
S
()S
O
z
y

(R)
()
S
R
xs
e
G



x
M
z
S

x
S
C
y = y
S



xs
e
G
Xeùt mọỹt vỏỷt rừn (S) coù daỷng hỗnh vaỡnh troỡn,
tỏm C, chuyóứn õọỹng trong mỷt phúng thúng
õổùng trón mỷt õỏỳt nũm ngang, trong hóỷ quy
chióỳu traùi õỏỳt
(;;;)
x
yz
R
Oe e e
GGG
. ióứm C, tỏm
cuớa vaỡnh troỡn, cuợng coù thóứ xem nhổ laỡ mọỹt
õióứm thuọỹc vỏỷt rừn, mỷc õỏửu taỷi C khọng coù vỏỷt
chỏỳt, bồới vỗ khi vaỡnh troỡn chuyóứn õọỹng, õióứm C
cuợng chuyóứn õọỹng cuỡng vồùi vaỡnh troỡn. Tọứng
quaùt hồn, moỹi õióứm trong khọng gian (mỷc dỏửu
taỷi õoù khọng coù vỏỷt chỏỳt), lión kóỳt chỷt cheợ vồùi
(S) vaỡ chuyóứn õọỹng cuỡng vồùi (S) cuợng coù thóứ
xem laỡ caùc õióứm thuọỹc vỏỷt rừn (S).

Nhổ vỏỷy nóỳu gừn cổùng trón vỏỷt rừn (S) mọỹt hóỷ
quy chióỳu
(; ; ; )
SSS
Sxyz
R
Ce e e
GGG
(
1
) lión kóỳt chỷt
cheợ vồùi vỏỷt rừn vaỡ chuyóứn õọỹng cuỡng vồùi vỏỷt
rừn. Khi õoù, chuyóứn õọỹng cuớa vỏỷt rừn (S) trong
hóỷ quy chióỳu (R) coù thóứ xem nhổ tổồng õổồng
vồùi chuyóứn õọỹng cuớa hóỷ quy chióỳu (R
S
) so vồùi
hóỷ quy chióỳu (R).
Hỗnh 3
3) Thọng sọỳ cỏửn thióỳt õóứ mọ taớ chuyóứn õọỹng cuớa vỏỷt rừn :
ọỳi vồùi mọỹt hóỷ chỏỳt õióứm (S) gọửm n chỏỳt õióứm M
i
. óứ mọ taớ chuyóứn õọỹng cuớa hóỷ (S) trong hóỷ
quy chióỳu(R), cỏửn phaới bióỳt 3n thọng sọỳ (vồùi mọựi chỏỳt õióứm cỏửn bióỳt ba toỹa õọỹ x, y, z cuớa noù).

1
Caùc hóỷ toaỷ õọỹ vaỡ laỡ caùc hóỷ toỹa õọỹ De scartes
(; ; ; )
xyx
Oe e e

GGG
(; ; ; )
SSS
xyz
Ce e e
GGG

12
Bi ging Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng

• Tuy nhiãn, âãø mä t chuøn âäüng ca váût ràõn (S) trong hãû quy chiãúu (R), chè cáưn biãút nhiãưu
nháút l 6 thäng säú, nhàòm mä t chuøn âäüng ca hãû quy chiãúu (R
S
) gàõn liãưn våïi váût ràõn âäúi våïi
hãû quy chiãúu (R):
+ Ba thäng säú âãø xạc âënh vë trê ca gäúc
ca hãû quy chiãúu (R
S
) âäúi våïi hãû quy chiãúu (R) : ba
ta âäü x
OS
, y
OS
, z
OS
ca âiãøm O
S
trong hãû (R)
S
O

+ Ba thäng säú (ba gọc) âãø xạc âënh phỉång chiãưu ca vectå âån vë
S
x
e
G
ca hãû (R
S
) âäúi våïi hãû (R):
α, β, γ
• Trong trỉåìng håüp chuøn âäüng ca váût ràõn âỉåüc dáùn hỉåïng båíi mäüt säú rng büc, säú thäng säú
cáưn thiãút âãø mä t chuøn âäüng ca váût ràõn cọ thãø < 6. Vê dủ, vnh trn chuøn âäüng trong màût
phàóng thàóng âỉïng v ln tiãúp xục våïi màût âáút nàòm ngang chè cáưn hai thäng säú âãø mä t
chuøn âäüng ca váût ràõn trong hãû quy chiãúu (R) (Hçnh 2):
⇒
+ Honh âäü x ca tám C ca vnh trn trong hãû (R)
+ Gọc θ xạc âënh phỉång chiãưu ca vẹctå âån vë
S
x
e
G
ca hãû (R
S
) trong (R).
§2. Trỉåìng váûn täúc :
1) Quan hãû váûn täúc v gia täúc :
Xẹt mäüt váût ràõn (S) chuøn âäüng trong hãû quy chiãúu
(R). Gi (R
S
) l hãû quy chiãúu gàõn liãưn våïi váût ràõn (S)
v cọ gäúc P, våïi P l mäüt âiãøm cäú âënh trãn (S).

@ Gi
l váûn täúc ca âiãøm M thüc váût ràõn
(S) trong hãû quy chiãúu (R). Ạp dủng âënh l håüp váûn
täúc :

/
()
R
vM
K
//
() () ()
S
Re R
vM v M vM=+
KKK
våïi : : váûn täúc theo ca âiãøm M. ()
e
vM
K

: váûn täúc ca âiãøm M trong hãû quy
chiãúu (R
S
) (Âiãøm M cäú âënh trong hãû quy chiãúu (R
S
) :
/
()
S

R
vM
K
/
() 0
S
R
vM
=
K
)
Hçnh 4
y
O
z
P
° M
()S
(R)
()
S
z
S
R
x
S
y
S
x
Gi

l vẹctå quay tỉïc thåìi ca váût ràõn (S) trong hãû quy chiãúu (R) (vẹctå quay ca hãû quy
chiãúu (R
S
) âäúi våïi hãû quy chiãúu (R))
/
S
RR
Ω
K
⇒
///
() () ()
S
Re R RR
vM v M vP PM==+Ω×
J
JJJK
K
KKK

Viãút gn lải, ta cọ :
() ()vM vP PM=+Ω×
J
JJJK
K
KK
(1)
Nhỉ váûy, khi biãút váûn täúc ca mäüt âiãøm P v vectå quay tỉïc thåìi
Ω
K

ca váût ràõn (S) ⇒ cọ thãø xạc
âënh váûn täúc ca mäüt âiãøm M báút k thüc váût ràõn (S) theo biãøu thỉïc (1).
@ Tỉång tỉû, gi
l gia täúc ca âiãøm M thüc váût ràõn (S) trong hãû quy chiãúu (R). Ạp
dủng âënh l håüp gia täúc :
/
()
R
aM
G

//
() () () ()
S
R
eC
aM a M a M aM=+ +
GGGG
R

våïi : l gia täúc theo ca âiãøm M : ()
e
aM
G
/
//
() () ( )
S
SS
RR

e R RR RR
d
a M a P PM PM
dt
Ω
= + × +Ω×Ω×
G
JJJJGJGJJJ
G
G
GG

l gia täúc Coriolis :
()
C
aM
G

13
Baỡi giaớng Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng


do
//
()2. () 0
S
CRRR
s
aM vM= ì =
G

GG
/
() 0
R
s
vM
=
G

: gia tọỳc cuớa õióứm M trong hóỷ quy chióỳu (R
S
) (ióứm M cọỳ õởnh trong hóỷ quy
chióỳu (R
S
) : )
/
()
S
R
aM
G
/
() 0
S
R
aM =
G
Vióỳt goỹn laỷi, ta coù :
() () ( )
d

aM aP PM PM
dt

= + ì +ì ì
G
J
JJJGJGJJJ
G
G
GG
(2)
Nhổ vỏỷy, khi bióỳt gia tọỳc cuớa mọỹt õióứm P, vectồ quay tổùc thồỡi

K
(coỡn goỹi laỡ vectồ vỏỷn tọỳc goùc tổùc
thồỡi) vaỡ vectồ gia tọỳc goùc tổùc thồỡi
d
dt

G
cuớa vỏỷt rừn (S) trong hóỷ quy chióỳu (R) coù thóứ xaùc õởnh
gia tọỳc cuớa mọỹt õióứm M bỏỳt kyỡ thuọỹc vỏỷt rừn (S) theo bióứu
thổùc (2).
Hỗnh 5
y
z
(R)
()S
O
2) Caùc trổồỡng hồỹp õồn giaớn :

a) Vỏỷt rừn (S) chuyóứn õọỹng tởnh tióỳn :
Nóỳu vỏỷt rừn
chuyóứn õọỹng tởnh tióỳn trong (R) S
0

=
K


() () ()vM vP vt==
KKK

Vỏỷn tọỳc cuớa moỹi õióứm M trón vỏỷt rừn taỷi thồỡi õióứm t cho trổồùc
õóửu bũng nhau.
() () (
dv
aM aP at
dt
===
Tổồng tổỷ cho gia tọỳc :
)
K
G
KK

x
O
z = z
S
y

()R
Hỗnh 6
x
S
y
S
M

()
S
R

G
z
e
G
z

r
e
G
e

G

r

H
x
b) Vỏỷt rừn (S) quay xung quanh mọỹt truỷc Oz cọỳ õởnh

trong (R):
Xeùt vỏỷt rừn (S) quay xung quanh truỷc Oz cọỳ õởnh trong
hóỷ quy chióỳu
(;; ;)
xyz
R
Oe e e
GGG
. Gừn cổùng vồùi vỏỷt rừn mọỹt
hóỷ quy chióỳu (; , , )
SSSS
R
Ox y z nhổ hỗnh 6 vồùi Oz = Oz
S
.
Goỹi laỡ goùc quay cuớa vỏỷt rừn (S) quanh truỷc Oz (goùc
quay cuớa hóỷ quy chióỳu (R
S
) xung quanh truỷc Oz cuớa hóỷ
quy chióỳu (R)).
Veùctồ quay cuớa vỏỷt rừn (S) trong (R):
().
z
te

=
J
JK
K

Mọựi õióứm M cuớa vỏỷt rừn vaỷch nón mọỹt quyợ õaỷo hỗnh troỡn,
coù truỷc laỡ Oz. Trong hóỷ toỹa õọỹ truỷ, vở trờ cuớa M õổồỹc xaùc
õởnh bũng :
JJJJ

r
OM re ze=+
z
G
GG
(r vaỡ z khọng phuỷ thuọỹc vaỡo t)
@ Vỏỷn tọỳc cuớa õióứm M trong (R) :
/
() ()
R
dOM
v M v O OM OM HM
dt

==+ì=ì=ì


JJJJG
J
JJJK JJJJK JJJJK
K
KK
G
K

(
2
)

() vM r e


=
JJK
K


Vectồ
vM
vuọng goùc vồùi HM vaỡ hổồùng theo chióửu chuyóứn õọỹng cuớa (S) trong hóỷ quy chióỳu R.
()
K

2
O vaỡ M laỡ hai õióứm thuọỹc vỏỷt rừn nón :
() ()vM vO OM=+ì
J
JJJK
K
G
K
; cọỳ õởnh trong R nón
() 0vO =
G

14
Bi ging Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng

@ Gia täúc ca âiãøm M trong (R) :
//
/
(( )) ( )
()
RR
R
dvM dr e de
aM r r e
dt dt dt
θθ
θ
θ
θ
θ
⎛⎞
⎛⎞ ⎛⎞
===+
⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎝⎠
G
G
K

J

JK
G


våïi :
//
S
zr
RR
de de
eeee
dt dt
θθ
θθ θ
e
θ
θ
⎛⎞⎛⎞
= +Ω×=Ω×= ×=−
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
GG
GG
GGGG

G
(
3
)
⇒

2
/
(( ))
()
r
R
dvM
aM r e r e
dt
θ
θ
θ
⎛⎞
==−+
⎜⎟
⎝⎠
K
J
KJK
G

J


@ Ghi chụ : Gia täúc ca âiãøm M cọ thãø phán thnh hai thnh pháưn : Thnh pháưn
hỉåïng tỉì M vãư H (gi l gia täúc hỉåïng tám) v thnh pháưn
()aM
G
2
()

n
aM r e
θ
=−
JK
G

r
()
t
aM r e
θ
θ
=
J
JK
G


vng gọc våïi HM (gia täúc tiãúp tuún).
3) Váût ràõn quay xung quanh trủc cọ phỉång khäng âäøi trong (R):
a) Vê dủ 1 : Chuøn âäüng ca thanh truưn :
Xẹt cå cáúu tay quay- con trỉåüt nhỉ hçnh 7ỵ, dng âãø biãún chuøn âäüng quay ca kháu OA thnh
chuøn âäüng tënh tiãún ca con trỉåüt B v ngỉåüc lải. Hy nghiãn cỉïu chuøn âäüng ca thanh
truưn AB cọ khäúi tám l G.
Âãø nghiãn cỉïu chuøn âäüng ca thanh truưn AB,
ta xẹt thãm hãû quy chiãúu khäúi tám
*( ; , , )
xyz
R

Ge e e
G
GG

tỉång ỉïng våïi hãû quy chiãúu (R).
()R
y
x
A
O
B
M
G
x
y
θ
(*)R
⊕
z
:
@ Trong hãû quy chiãúu khäúi tám (R*), thanh truưn
AB quay xung quanh trủc Gz cäú âënh. Gi M l
mäüt âiãøm báút k ca thanh truưn AB, ta cọ :
JJJJ


()* ()* *vM vG GM=+Ω×
K
K
KK

* *
K

våïi :
v l váûn täúc ca M v G
trong hãû quy chiãúu khäúi tám (R*),
l
()vM
K
()vG
K
*
Ω
K
Hçnh 7
vectå quay tỉïc thåìi ca thanh truưn AB
JJ
K
trong hãû (R*) :
*().
z
te
θ
Ω=
Do khäúi tám G cäú âënh trong hãû (R*)
⇒
()* 0vG
=
K
⇒

()* *vM GM=Ω ×
J
JJJK
K
K

Sỉí dủng âënh l håüp váûn täúc, trong hãû quy chiãúu (R), ta cọ :
() () ()*
e
vM v M vM=+
KK K

Hãû quy chiãúu khäúi tám (R*) chuøn âäüng tënh tiãún âäúi våïi hãû quy chiãúu (R)
⇒ () ()
e
vM vG=
KK
⇒ () () *vM vG GM=+Ω×
J
JJJK
K
KK
(1)
@ Màûc khạc, gi
Ω l vectå quay tỉïc thåìi ca thanh truưn AB trong hãû (R), ta cọ :
K
() ()vM vG GM=+Ω×
J
JJJK
K

KK
(2)

3
Chụ ràòng trong R
S
, e
θ
G
khäng âäøi nãn
/
0
S
R
de
dt
θ
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
G



15
Bi ging Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng

Tỉì (1) v (2), suy ra :
*(

z
te
θ
Ω=Ω= ).
J
JK
KK


Vẹctå quay tỉïc thåìi ca váût ràõn l nhỉ nhau trong hai hãû quy chiãúu (R) v (R*). Måí räüng ra, vẹctå quay
tỉïc thåìi ca váût ràõn l nhỉ nhau trong cạc hãû quy chiãúu chuøn âäüng tënh tiãún tỉång âäúi âäúi våïi nhau.
@ Ghi chụ: Chuøn âäüng ca thanh truưn AB trong hãû quy chiãúu (R) cọ thãø xem nhỉ håüp ca
hai chuøn âäüng:
• Chuøn âäüng tënh tiãún cng våïi khäúi tám G trong hãû quy chiãúu (R).
• Chuøn âäüng quay xung quanh mäüt trủc Gz âi qua khäúi tám G trong hãû quy chiãúu khäúi tám
(R*) (Trủc Gz cäú âënh trong hãû quy chiãúu khäúi tám (R*)).
b) Vê dủ 2 : Chuøn âäüng ca mäüt bạnh xe :
@ Xẹt mäüt bạnh xe, coi nhỉ mäüt âéa trn, bạn kênh b, tám C, chuøn âäüng trong màût phàóng thàóng
âỉïng trãn màût âáút nàòm ngang cäú âënh trong hãû quy chiãúu (R) (Hçnh 8).
Gi I l âiãøm tiãúp xục ca bạnh xe v màût âáút tải thåìi âiãøm t. Tải chäù tiãúp xục I vo thåìi âiãøm t,
cáưn phán biãût ba âiãøm khạc nhau:
• Âiãøm I
S
ca màût âáút, cäú âënh trong (R).
• Âiãøm I
R
ca bạnh xe. Do bạnh xe làn ⇒ tải mäüt thåìi âiãøm sau âọ I
R
khäng cn nàòm trãn màût
âáút nỉỵa.

• Âiãøm hçnh hc I xạc âënh vë trê tiãúp xục.














()R
y
O
C
z
I

Hçnh 9
C’
⊕
.dtΩ
tải t
t
ải t + δ
t

:
()∆
:
Ω
G
y
O
z
x
(R)
x
bb
I = I
R
= I
S
Hçnh 8
J
S
= J
C
C’
∆x

:
x
θ

tải t

tải t + ∆
t

J
R

:
z
= e
θ
Ω
G
G

⊕
M
(R*)
y

x
Tải thåìi âiãøm t, ba âiãøm I
S
, I
R
v I cọ váûn täúc khạc nhau trong (R) :
()0
S
vI =
K

() ( )vI vC=
KK
, båíi vç I v C ln ln nàòm trãn cng mäüt âỉåìng thàóng âỉïng.

våïi : () ()
R
vI vC CI=+Ω×
JJK
K
KK
Ω
K
l vẹctå quay ca bạnh xe trong (R).
Váûn täúc
âỉåüc gi l váûn täúc trỉåüt ca bạnh xe trãn màût âáút (nhåï ràòng màût âáút l cäú
âënh trong R). Ta tháúy
()
R
vI v=
K
g
K
g
v
K
nàòm theo phỉång tiãúp tuún chung tải I giỉỵa bạnh xe v màût dáút.
@ Bạnh xe âỉåüc gi l làn khäng trỉåüt nãúu nhỉ :
()0
gR
vvI

=
=
K
K
.

16
Bi ging Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng

Khi bạnh xe làn khäng trỉåüt trãn màût âáút, tải thåìi âiãøm t âang xẹt, âiãøm I
R
ca bạnh xe tiãúp xục
våïi màût âáút cọ váûn täúc bàòng khäng
⇒ Khi bạnh xe làn khäng trỉåüt trãn màût âáút, giỉỵa hai thåìi
âiãøm t v t + dt ráút gáưn nhau bạnh xe cọ thãø xem nhỉ chuøn âäüng quay tỉïc thåìi xung quanh mäüt
trủc
∆ âi I v song song våïi Ω
K
y
. Trủc ∆ âỉåüc gi l trủc quay tỉïc thåìi ca bạnh xe (
4
) (Hçnh 9).
@ Chuøn âäüng ca bạnh xe cọ thãø xem nhỉ håüp ca hai chuøn âäüng :
+ Chuøn âäüng tënh tiãún cng våïi khäúi tám C (

x
OC x e b e=+
J
JJG
G

G
) våïi váûn täúc l .
Cx
vxe=
GG

+ Chuøn âäüng quay xung quanh trủc
Cz
J
JG
âi qua khäúi tám C trong hãû quy chiãúu khäúi tám R* våïi
váûn täúc gọc
, trong âọ ().
z
te
θ
Ω=
JJK
K

θ
l gọc giỉỵa trủc Cx v mäüt bạn kênh CM gàõn cỉïng trãn bạnh
xe.
@ Váûn täúc ca âiãøm I
R
trãn bạnh xe tải thåìi âiãøm t:
() ()
R
vI vC CI=+Ω×
J

JK
K
KK

⇒
() . . (.)
Rxz
vI xe e be
θ
=+×−
GG G
K


y
x
⇒
() .
Rx
vI xe be
θ
=+
GG
K


Suy ra váûn täúc trỉåüt ca bạnh xe trãn màût âáút :
()( .).
g
Rx

vvI xbe
θ
==+
G
G
K



@ Bạnh xe làn khäng trỉåüt trãn màût âáút khi:
()0
gR
vvI
=
=
K
K
. Thãú m :
(.).
g
x
vxbe
θ
=+
G
G


. Do âọ,
khi bạnh xe làn khäng trỉåüt :

.0xb
θ
+=



Màût khạc, nãúu gi
∆x v ∆θ láưn lỉåüt l dëch chuøn ca tám C ca bạnh xe v gọc quay ca bạnh
xe trong khong thåìi gian ∆t; J
R
v J
S
láưn lỉåüt l cạc âiãøm ca bạnh xe v ca màût âáút, m tải thåìi
âiãøm t +
∆t âãún tiãúp xục våïi nhau tải J, ta cọ :
SS
I
Jx
=
∆
v cung
.
RR
IJ b
θ
=
∆

Khi bạnh xe làn khäng trỉåüt trãn màût âáút thç:
.0xb

θ
+=


⇒
.xb
θ
∆= ∆
⇒
q
SS RR
I
JIJ=

@ Ghi chụ : Chuøn âäüng ca thanh truưn (vê dủ 1) v ca bạnh xe (vê dủ 2) cn âỉåüc gi l
chuøn âäüng song phàóng. Trong chuøn âäüng song phàóng, mäüt âiãøm M báút k ca váût ràõn chuøn
âäüng trong cng mäüt màût phàóng hay trong cạc màût phàóng song song våïi mäüt màût phàóng quy chiãúu
âënh trỉåïc. Chuøn âäüng song phàóng ca mäüt váût ràõn cọ thãø xem l täøng håüp ca hai chuøn
âäüng: Chuøn âäüng tënh tiãún cng våïi khäúi tám G v chuøn âäüng quay xung quanh trủc Gz âi
qua khäúi tám v vng gọc våïi màût phàóng quy chiãúu nọi trãn.
§3. Cạc âải lỉåüng âäüng hc :
1) Trỉåìng håüp váût ràõn chuø
n âäüng quay xung quanh mäüt trủc cäú âënh :
a) Momen âäüng lỉåüng âäúi våïi mäüt âiãøm trãn mäüt trủc :
Xẹt mäüt váût ràõn (S) quay xung quanh mäüt trủc
∆ gàõn cỉïng våïi (S) (trủc ∆ cäú âënh trong hãû quy
chiãúu R(O ; x, y, z)), våïi vẹctå quay l :
Ω
K
. Láúy trủc Oz ca hãû R trng våïi trủc quay ∆. Gi

θ
l
gọc quay ca hãû quy chiãúu (R
S
) gàõn cỉïng våïi váût ràõn so våïi hãû (R), ta cọ :
z
e
z
e
θ
Ω=Ω =
K
G

G

(Hçnh
10).
Gi M l mäüt âiãøm báút k ca váût ràõn (S), dm l khäúi lỉåüng ca mäüt phán täú thãø têch váût ràõn bao
quanh âiãøm M.

4
Khi bạnh xe chuøn âäüng, trủc quay tỉïc thåìi ∆ dëch chuøn theo âiãøm tiãúp xục I giỉỵa bạnh xe v màût âáút
v ln ln song song våïi vectå
Ω
K
.

17
Bi ging Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng

Momen âäüng lỉåüng
A
L
G
ca váût ràõn âäúi våïi âiãøm A cäú âënh trãn trủc Oz trong hãû quy chiãúu (R) :

()
()
A
S
L
AM v M dm=×
∫∫∫
JJJJG
G
G

Do M v A l hai âiãøm thüc váût ràõn (S) nãn
(Âiãøm A cäú
âënh trãn trủc Oz :
)
() () .
z
vM vA AM e AM=+Ω×=Ω×
JJJJG JJJJG
G
GG G
() 0vA=
G

Suy ra :
()
.(
Az
S
)
L
AM e AM dm=Ω × ×
∫∫∫
JJJJG JJJJ
G
G
G

Hay :
2
()
(.)
Azz
S
L
AM e AM e AM dm
⎡⎤
=Ω −
⎢⎥
⎣⎦
∫∫∫
JJJJG JJJJG JJJJG
G
GG

(Ghi chụ :
()(.)(.)
A
BC BCA CAB×× = −
GGGGGG
GG G
)
Gi H l hçnh chiãúu ca M trãn trủc quay
∆, ta cọ :
(.).
zz
A
MAHHM AMeeHM=+ = +
JJJJ JJJ JJJJ JG JG G JJJGJ
y
x
O
z = z
S
(R)
y
S
x
S
()
S
R
Hçnh 10
M

θ

r
H
A
()
∆
Ω
G
(S)
θ

JJJG
G
G
z

Suy ra :
2
() ()
(.)(.)
Azz
SS
L
AM dm AM e AM e e HM dm
⎡⎤
=Ω −Ω +
⎣⎦
∫∫∫ ∫∫∫
JJJJGJJJJG JJJJG

GG
GGG

22
() ()
.(.).
Az
SS
LAMdmAHeAMeHM
⎡⎤
=Ω −Ω +
⎣⎦
∫∫∫ ∫∫∫
z
dm
J
JJJGJJJJG
GG
GG

22
() () ()
(.)
A z
SSS
L
AM dm AH dm AM e HM dm=Ω −Ω −Ω
∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
J
JJJJG JJJJG

GG G
G

Màûc khạc : HM
2
= AM
2
 AH
2
Suy ra :
2
() ()
((.))
Az
SS
L
HM dm AM e HM dm=Ω −Ω
∫∫∫ ∫∫∫
J
JJJG JJJJG
GG
G

Nhỉ váûy, momen âäüng lỉåüng
A
L
G
gäưm hai pháưn :
•
2

//
()
.
A
S
.
L
HM dm=Ω
∫∫∫
GG
song song våïi vẹctå quay
.
Ω
G

•
()
.(( .) )
Az
S
L
AM e HM dm
⊥
=−Ω
∫∫∫
JJJJG JJJJG
G
G
vng gọc våïi vẹctå quay
.

Ω
G

Ghi chụ : Thnh pháưn khi :
0
A
L
⊥
=
G
@ Váût ràõn nháûn trủc ∆ lm trủc âäúi xỉïng.
@ Khi váût ràõn l váût ràõn phàóng nàòm trong màût phàóng qua A v vng gọc våïi trủc
∆.
b) Momen âäüng lỉåüng âäúi våïi trủc
∆ - Momen qụan tênh :
• Hçnh chiãúu ca momen âäüng lỉåüng
L
∆
A
L
G
lãn trủc quay ∆ âỉåüc gi l momen âäüng lỉåüng
ca váût ràõn (S) âäúi våïi trủc
∆:
2
//
()
.
AZ A Z
S

L
Le L e HMdm
∆
== =Ω
∫∫∫
GG
GG

L
∆
khäng phủ thüc vo vë trê ca âiãøm A trãn trủc ∆.
• Momen quạn tênh ca váût ràõn (S) âäúi våïi trủc quay ∆ âỉåüc âënh nghéa nhỉ sau :

18
Bi ging Cå hc âải cỉång (Mẹ canique Gẹnẹrale) PFIEV Â nàơng

2
()
.
S
J
rdm
∆
=
∫∫∫

våïi : r l khong cạch tỉì âiãøm M ca váût ràõn âãún trủc quay
∆.
• Nhỉ váûy :
.LJ

∆∆
=Ω
v :
//
.
A
LJ
∆
=
Ω
G
G

Ghi chụ : Trỉåìng håüp váût ràõn (S) bao gäưìm hai pháưn (S
1
) v (S
2
), láưn lỉåüt cọ momen quạn tênh âäúi våïi trủc
∆ l J
∆1
v J
∆2
. Khi âọ, momen quạn tênh ca (S) âäúi våïi trủc âäúi våïi trủc ∆ s bàòng : J
∆
= J
∆1
+ J
∆2

c) Âäüng nàng :

Âäüng nàng ca váût ràõn (S) nọi trãn trong hãû quy chiãúu (R) :
2
()
1
.( ).
2
K
S
EvM=
∫∫∫
dm våïi :
()vM AM=Ω×
J
JJJG
G
G

Suy ra :
()
1
.( ).().
2
K
S
EAMv=Ω×
∫∫∫
JJJJG
G
Mdm
G

⇒
()
1
.( ())
2
K
S
EAMvMd
⎡⎤
=×
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
∫∫∫
JJJJG
m
Ω
G
G

Ta cọ :
().()
A
MvMΩ×
JJJJG
G
G
(()).AM v M×Ω
JJJJG

G
G
) båíi vç : ()()(
A
BC BCA CAB
×
=×=×
G
GGGGG
G
GG
) =
⇒
//
11
.
22
KA A
EL L=Ω=
GG
Ω

⇒
2
11

22
K
EL J
∆∆

=Ω=Ω

2) Ạp dủng cạc âënh l Koenig :

a) Momen âäüng lỉåüng v âäüng nàng ca váût ràõn:
@ Âãø nghiãn cỉïu chuøn âäüng ca mäüt váût ràõn (S)
trong hãû quy chiãúu R(O,x,y,z), ta âỉa thãm vo hãû
quy chiãúu khäúi tám R*(G,x,y,z). Khi âọ, ạp dủng cạc
âënh l Koenig:
Vãư momen âäüng lỉåüng :
*
()
A
G
LAGmvGL=× +
JJJG
GG
G


våïi :
l momen âäüng lỉåüng ca (S) âäúi våïi khäúi
tám G trong hãû quy chiãúu (R*);
*
G
L
G
**
//
G

GG
LL L
*
⊥
=+
GG G
våïi
: thnh pháưn ca song song våïi
*
//G
L
G
*
G
L
G
Ω
G
;
*
G
L
⊥
G
: thnh pháưn ca
*
G
L
G
vng gọc våïi . Ω

G
Ω
G
A
(S)
G
O
(R)
x
z
(R*)
z
y
x
Hçnh 11
y
Vãư âäüng nàng :
2
1
.()
2
*
K
K
E
mv G E=+

våïi :
*
K

E l âäüng nàng ca (S) trong hãû quy chiãúu (R*).
@ Trỉåìng håüp vectå quay
ca váût ràõn (S) ln ln khäng thay âäøi phỉång trong sút quạ
trçnh chuøn âäüng, chàóng hản
Ω
Ω
K
K

ln nàòm theo phỉång trủc Oz (Hçnh 11) (
5
) :
Trong (R*), (S) quay quanh trủc cäú âënh Gz, ta cọ:

5
Vectå quay l nhỉ nhau trong hai hãû quy chiãúu (R) v (R*) Ω
K

19