bài toán tổng quát về tính ổn định của chuyển động

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (663.05 KB, 111 trang )

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên h tt

p : //

ww w .

l

rc - t

nu .

e du .

v n
1
MỤC
LỤC
Trang
Mở đầu 2
Ch
ƣ
ơng
I Một số khái niệm về hệ
ph
ƣ
ơng
trình vi phân đại số 5
1.1 Phép chiếu - Chỉ số của cặp ma trận 5
1.2 Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số hằng 7
1.3 Phân rã hệ phương trình vi phân đại số thành hệ phương trình

vi phân thường và hệ phương trình đại số 10
1.4 Sự ổn định (Lyapunov) của hệ phương trình vi phân đại số 13
Ch
ƣ
ơng
II Bán kinh ổn định của hệ
ph
ƣ
ơng
trình vi phân đại số
tuyến tính với ma trận hệ số hằng 15
2.1 Bán kính ổn định phức của hệ phương trình vi phân đại số 15
2.2 Liên hệ giữa bán kính ổn định thực và bán kính ổn định phức
của hệ phương trình vi phân đại số 24
Ch
ƣ
ơng
III Bán kính ổn định của hệ
ph
ƣ
ơng
trình vi phân đại
số tuyến tính với nhiễu động 34
3.1 Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số biến thiên 35
3.2 Nghiệm yếu và các khái niệm ổn định 37
3.3 Công thức bán kính ổn định 44
3.4 Các trường hợp đặc biệt 55
Kết luận 59
Tài liệu tham khảo 60
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên h tt

p : //

ww w .

l

rc - t

nu .

e du .

v n
2
MỞ
ĐẦU
Từ cuối thế kỷ XIX nhiều nhà khoa học đã quan tâm tìm lời giải cho
bài toán ổn định của chuyển động. Ở thời điểm đó, người ta đã đưa ra nhiều
định nghĩa khác nhau về khái niệm này, chẳng hạn như định nghĩa của
A.Poincaré, V.Rumyantsev, Chỉ từ khi A.M. Lyapunov (1857-1918) công
bố công trình “Bài toán tổng quát về tính ổn định của chuyển động” vào năm
1892 ở Nga và dịch sang tiếng Pháp (Problème général de la stabilité du
mouvement) năm 1907, lý thuyết ổn định mới được nghiên cứu một cách có
hệ thống và trở thành một bộ phận quan trọng trong lý thuyết định tính
phương trình vi phân. Kể từ đó, lý thuyết ổn định đã được nhiều nhà khoa học
trên khắp thế giới quan tâm nghiên cứu. Đến nay, đã hơn một thế kỷ trôi qua,
lý thuyết ổn định vẫn là một lĩnh vực toán học được nghiên cứu sôi nổi và đã
thu được nhiều thành tựu rực rỡ, sâu sắc, như: vật lý, khoa học kỹ thuật công
nghệ, sinh thái học, Lyapunov đã giải quyết bài toán ổn định bằng cả hai

phương pháp, đó là phương pháp số mũ đặc trưng Lyapunov (còn gọi là
phương pháp phổ hay phương pháp thứ nhất của Lyapunov) và phương pháp
hàm Lyapunov (còn gọi là phương pháp thứ hai của Lyapunov).
Vào những năm 70 của thế kỷ trước, một số bài toán có liên quan đến
phương trình vi phân dạng:
A
(
t

)

x
'(t) +B
(
t

)

x(t) =
0
ở đó,
A
(
⋅
)
,
B

(
⋅

)

∈
C
(

I

,

L

(
R
n
)
)
,
x
:
I
→
R
n
, I
=

(
a
,

+∞

)

,
a là hằng số,
det
A
(
t

)

=
0
∀
t
∈
I . Đây chính là một dạng đặc biệt của phương trình vi
phân
đại số (differential algebraic equation-DAE). Ngay sau đó, loại phương trình
vi phân này được nhiều nhà toán học đi sâu nghiên cứu. Để nghiên cứu DAE
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên h tt

p : //

ww w .

l

rc - t

nu .

e du .

v n
3
người ta thường làm như sau: phân rã chúng nhờ các phép chiếu để được một
hệ phương trình vi phân thường và một hệ phương trình đại số. Ngoài ra,
cũng còn một vài phương pháp khác. Đến nay người ta cũng đã tìm ra khá
nhiều kết quả cho phương trình vi phân đại số tương tự như ở phương trình vi
phân thường chẳng hạn như lý thuyết Floquet, tính ổn định tiệm cận của
nghiệm của phương trình với ma trận hệ số hằng.
Trong hơn hai thập kỷ qua, từ khái niệm bán kính ổn định mà
D.Hinrichsen và A.J.Pritchard đưa ra, hai ông đã hình thành một hướng
nghiên cứu mới là nghiên cứu tính ổn định vững của các hệ động lực dựa trên
khái niệm bán kính ổn định. Hướng nghiên cứu này đã thu hút sự chú ý và
tâm huyết của nhiều nhà toán học vì tính hiệu quả và tính thời sự của nó cũng
như những ứng dụng trong các bài toán kỹ thuật. Nhóm tác giả Nguyễn Hữu
Dư, Vũ Hoàng Linh đã nghiên cứu sự ổn định của hệ phương trình vi phân
đại số với ma trận hệ số phụ thuộc tham số thời gian và đưa ra công thức bán
kính ổn định trong bài báo “Stability radii for linear time - varying
differential - algebraic equations with respect to dynamic perturbations”
được đăng tải trên JOURNAL OF DIFFERENTIAL EQUATIONS, June 2006.
Đây là bài báo cơ sở để thực hiện luận văn này.
Luận văn gồm 61 trang, ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham
khảo, gồm có ba chương:
Chương I: Một số khái niệm về hệ phương trình vi phân đại số. Chương này
trình bày các kiến thức cơ sở để sử dụng trong các chương sau.

Chương II: Bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính
với ma trận hệ số hằng. Chương này trình bày bài toán tính bán kính ổn định
cho hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính dạng
A, B là các ma trận thực, det A =
0.
A
x
'(t) - Bx(t) =
0
trong đó
Chương III: Bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính
với nhiễu động. Chương này nghiên cứu về hệ các phương trình vi phân đại
số tuyến tính biến đổi theo thời gian có dạng:
∞ ∞
A
(
t

)

x

'
(
t

)

=
B

(
t

)

x

(
t

)
,t
≥
0
trong đó
A
(
.
)

∈ L
loc
(
0,

∞;

K

n
×
n
)

,
B

(
.
)

∈ L
loc
(
0,
∞;K
n
×
n
)

, ở đây công thức
bán
kính ổn định được đưa ra.
Luận văn này được hoàn thành tại khoa Toán, trường Đại học Sư phạm
- Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn ân cần, tỉ mỉ và khoa học của Cô
giáo - Tiến sĩ Đào Thị Liên. Qua đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc công
lao vô bờ của cô đã không quản thời gian và công sức hướng dẫn tôi hoàn
thành luận văn. Tôi cũng xin cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán, khoa

Sau Đại học, trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã đào tạo và
tạo điều kiện tốt nhất để luận văn được hoàn thành. Sau cùng tôi xin được bày
tỏ tình cảm tha thiết dành cho gia đình tôi, cơ quan nơi tôi công tác (Trường
PT Vùng Cao - Việt Bắc) đã động viên, tạo điều kiện cho tôi được yên tâm
học tập, nghiên cứu.
Mặc dù đã hết sức cố gắng, song luận văn khó tránh khỏi những hạn
chế và thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp để
luận văn được hoàn thiện hơn.
Thái Nguyên, tháng 9 năm
2008
Học viên cao
học
Lƣu
Thị Thu
Hoài
n
CHƢƠNG
I
MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ HỆ
PHƢƠNG
TRÌNH VI PHÂN ĐẠI
SỐ
1.1. Phép chiếu - Chỉ số của cặp ma trận
(
[
9
]
)
Định nghĩa 1.1.1. Cho
Nhận xét 1.1.2.

P

∈

L
(


)
.

P
được gọi là một phép chiếu nếu
P
2
= P .
i) Cho P là phép chiếu. Khi đó, ta có:
KerP ⊕ Im P = 
n
.
ii) Mỗi phân tích

=
U
⊕

V
tồn tại duy nhất một phép chiếu P sao
cho imP = U và KerP = V, khi đó P được gọi là phép chiếu lên U dọc theo V.
Đặt Q:=I – P thì Q cũng là một phép chiếu và là phép chiếu lên V dọc theo U.

Định nghĩa 1.1.3. (Chỉ số của ma trận)
Cho
A
∈
L
(


n
)

. Số tự nhiên k được gọi là chỉ số của ma trận A, ký hiệu
là
indA, nếu đó là số nhỏ nhất mà
KerA
k
=
KerA
k
+
1
.
indA
=

min

{
k

∈


: KerA
k
=
KerA
k
+
1
}
Định lý 1.1.4. Với mọi
A

∈

L

(


n
)
ta luôn có:
imA
k
+ KerA
k
⊂


n
với mọi k thoả mãn 0<k<indA.
imA
k
+ KerA
k
= imA
k
⊕ KerA
k
=


n
với k ≥
indA
.
Định nghĩa 1.1.5. Cho
A, B
∈

L

(


n
)

. Cặp ma trận (A,B) được gọi
là

chính
quy nếu
∃c

∈

sao

cho
det
(
cA

+

B
)

≠
0 .
Định nghĩa 1.1.6. Cho cặp ma trận (A,B) chính quy, c là số mà
det
(
cA

+

B
)

≠
0 . Chỉ số của cặp ma trận (A,B), ký hiệu
là của ma trận
[
cA

+

B
]
−
1

A
.
ind
(

A,

B

)

=
ind
(

[
cA

+

B
]
−
1

A
)
(Định nghĩa này không phụ thuộc vào việc chọn giá trị c).
ind
(

A,

B
)

, là chỉ
số





k
Định lý 1.1.7. Nếu

Q

∈

L

(


n
)
không suy biến thì:
ind
(
QA,QB
)

= ind
(

AQ,
BQ
)

= ind
(

A,
B
)

.
Nếu A, B là giao hoán được thì
ind
(

A,
B
)

= ind
(

A
)

.
Định lý 1.1.8. Giả sử cặp ma trận (A,B) chính quy, c ∈ R sao cho cA + B khả
nghịch, đặt
Q =
(
cA
+
B

)
−
1
. Khi đó, QA và QB là giao hoán được.
Định lý 1.1.9. Giả sử cặp ma trận (A,B) là chính quy, chỉ số k và

rank



(
c
A
+
B
)
−
1
A



=
r
thì tồn tại các ma trận khả nghịch P, Q sao cho:


A
=
Pdiag
(

I
r
,U
)

Q,
B
=
Pdiag
(
W
,U
n
−
r
)
Q
ở đó
(
(
l
1
)

(
l
s
)

)
(
l
r
)

( )
(
l
r
)
U
=
diag
U
1
, ,U

s
,
ma
x
l
i
=

k
,U
r
=

u
ij
∈
L



1 khi j
=
i
+

1
với u
ij
=


0 khi
;
U
k
=

0
còn U
l
≠
0
∀
l
<
k
.

j

≠
i
+

1
Định lý 1.1.10. Giả sử A là ma trận suy biến. Các mệnh đề sau là tương
đương:
1) Cặp (A,B) chính quy với chỉ số 1.
2)
x

∈
KerA và
Bx
∈ ImA suy ra x = 0
3) Cặp (A,B) chính quy và degP = rankA với P(z):=det(zA+B).
4) Cặp (A,B+AW) chính quy và ind(A,B+AW) = 1 với mọi W ∈
L

(


n
)

.
5) G:=A+BQ không suy biến với Q là phép chiếu lên KerA .
6) Với
S :
=

{
x

∈

n
: Bx
∈

Im
A
}

thì
S ⊕ KerA = 
n
.
7) Bằng cách nhân với ma trận không suy biến thích hợp
E
∈

L

(


n
)
thoả mãn:

EA
=



A
1

,


B
1

EB =
,


rankA = rankA , ta nhận được ma trận


0



B

1
 
 2


không suy biến


A
1


∈

L

(


n
)

.

B
2

x
y
x
'
1.2. Hệ
ph
ƣ

ơng
trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số hằng
(
[
2
]
,
[
3
]
,
[
9
]
)
Xét hệ phương trình vi phân dạng:
F
(
t,

x

(
t

)
,

x

'
(
t

)
)

=
0
(1.2.1)
trong đó:
x : I → 
n

,
I =
(
a,

+∞
)

⊂

F : I × D × 
n
→ 
n
(
t,

x,
y

)


F
(
t,
x,
y

)
D là tập mở
trong

n
, F
∈
C
(

I × D × 
n
,



n
)

,
F

'

,

F

'
∈

C

(
I

×

D

×



n
,

L

(


n

)
)

.
Định nghĩa 1.2.1. Hệ phương trình vi phân (1.2.1) được gọi là hệ phương
trình vi phân đại số (DAE’s) nếu hàm F thoả mãn
với mọi
(
t
,
x,
x

'
)

∈
I
×

D

×



n
.
Hệ quả 1.2.2. Hệ phương trình vi phân tuyến tính:
A
(
t

)

x

'
(
t

)

+
B

(
t

)

x

(
t

)

=
q

(
t

)
KerF
'
(
t,

x

(
t

)
,

x

'
(
t

)

)

≠
0
(1.2.2)
trong đó:
A,

B

∈

C

(
I

,

L

(


n
)
)

, q liên tục trên I, detA(t) = 0
với

mọi
t ∈
I
, là
hệ phương trình vi phân đại số.
Người ta có thể phân lớp các hệ phương trình vi phân đại số nhờ khái
niệm chỉ số của các hệ phương trình vi phân loại này.
Tiếp theo ta đề cập đến khái niệm chỉ số của hệ phương trình vi phân
đại số ([3], [9]).
Xét hệ phương trình vi phân đại số dạng:
F
(
t,

x

(
t

)
,

x

'
(
t

)

)

=
0
(1.2.3)
trong đó:
x : I → 
n

,
I
=

(
a;

+∞
)

⊂


,
F : I × D × 
n
→ 
n
(
t,
x,

y

)


F
(
t,
x,
y

)
n n n
x
y
x

'
x

'
x

'
x

'
D là tập mở trong
 , F
∈

C

(

I × D ×  , 
)
,
F

'

,

F

'
∈

C

(
I

×

D

×



n
,

L

(


n

)
)
KerF
'
(
t,
x,
x

'
)

≠

0
∀
(
t,

x,
x

'
)

∈
I
×

D

×



n
.
Giả thiết
KerF

'
(
t
,

x,

x

'
)
không phụ thuộc vào x và x’ tức là:
KerF

'
(
t
,

x,

x

'
)
= N
(
t
)
∀
(
t,
x,
x

'
)

∈

I ×
D
× 
n
.
Định nghĩa 1.2.3. Không gian hạch
N
(
t

)
được gọi là trơn trên I nếu có ma
trận hàm khả vi liên tục
Q

∈
C
1
(

I

,

L

(


n

)
)
sao cho
(
Q

(
t

)
)
2

=
Q

(
t

)

, ImQ(t)
=
N(t)
∀t ∈ I .
Khi đó Q(t) là phép chiếu lên N(t). Đặt
P

(

t

)
=

I
n
−

Q

(
t

)

⇒

P

∈
C
1
(
I

,

L

(


n
)
)
.
Ta có:
F
(
t

,
x, y
)

−
F
(
t

,
x,P
(
t
)
y
)

=

1
F
'
(
t

,x
,sy
+

(
1
−
s
)
P
(
t
)
y
)
Q
t
(

)
yds
và từ
∫
x

'
0
Q

(
t

)

y

∈

ImQ

(
t

)

=
N
(
t

)

=
KerF

'
(
t
,

x,

x

'
)

⇒

F

'
(
t
,
x,
y

)
Q

(
t

)

y
=

0

. Từ
đó ta
suy ra:
x
'
x

'
F
(
t,
x,
y

)

− F
(
t,

x,

P

(
t

)

y

)

=
1
∫

F

'
(
t,

x,
sy
+

(
1

−

s

)

P

(
t

)

y

)
Q

(
t

)

yds
=

0
0
hay
F
(
t,
x,
y

)
= F
(
t,

x,

P

(
t

)

y

)
⇒ F
(
t,
x,
x

'
)
= F
(
t
,

x,
P

(
t

)

x

'
)

= F
(
t
,

x
,

(

Px

)
'
(
t

)

−
P

'
(
t

)

x

(
t

)
)
N
x
y
Điều này cho thấy, để hàm
x : I →


n
là nghiệm của (1.2.3) thì cần
phải có Px
∈
C

1
(

I

,

n
)
,
Qx
∈
C
(

I

,

n
)
.
Bây giờ ta quan tâm tới
không

gian
hàm sau: C
1
(

I

,



n
)

=

{
x

∈
C
1
(

I

,



n
)

:
Px

∈
C
1
(

I

,



n
)
}
.
Đặt
S
(
t,
x,
y

)

=

{
z

∈



n
: F
'
(
t,
x,
y

)

z
∈
ImF
'
(
t
,
x,
y

)
}
G
(
t,
x,

y

)

:
=

F

'
(
t,
x,
y

)

+
F
'
(
t,
x,
y

)
Q

(
t

)
1 y x
A
(
t,
x,
y

)

:
=
G
(
t,
x,
y

)

−
F
'
(
t,
x,
y

)

P

'
(
t

)
Q

(
t

)
1 1 y
n
n
N
1
(
t,
x,
y

)

:
=
KerA
1

(
t,
x,
y

)
( )
{
n '
( ) (

) ( )
}
S
1
t, x, y
=
z
∈


:
F
x
t, x, y P t z
∈

Im
A
1

t, x,
y
Định nghĩa 1.2.4. Hệ phương trình vi phân đại số (1.2.3) được gọi là có chỉ
số 1 trên tập mở
G ⊂ I × D ×


n
nếu
N
(
t

)

⊕
S
(
t,
x,
y

)
=


n
∀
(
t

,
x,
y

)

∈
G .
Định nghĩa 1.2.5. Hệ phương trình vi phân đại số (1.2.3) được gọi là có chỉ
số 2 trên tập mở
G ⊂ I × D ×


n
nếu:
dim N
1
(
t
,
x,
y

)

=
const
>
0
và

N
1
(
t,
x,
y

)

⊕
S
1
(
t,
x,
y

)
=


∀
(
t
,
x,
y

)

∈
G
Cụ thể, đối với hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính
dạng:
A
(
t

)

x

'
(
t

)

+
B

(
t

)

x

(
t

)
=
0
(1.2.4)
trong đó
x : I → 
n

,
A,

B

∈

C

(
I

,

L

(


n
)

)

,
det
A
(
t

)

=

0
với mọi t
∈
I .
N
(
t

)

=
KerA
(
t

)
trơn trên I. Khi đó, có phép chiếu Q(t) lên N(t), khả vi liên
tục. Đặt

P
(
t

)

:= I −
Q
(
t

)

.
S
(
t

)

:=
{
z

∈

n
:
B

(
t

)

z ∈
Im
A
(
t

)
}
A
1
(
t

)

:=
A
(
t

)

+
(

B

(
t

)

−
A
(
t

)

P

'
(
t

)
)
Q

(
t

)
N
1

(
t

)

:
=
KerA
1
(
t

)
S
1
(
t

)

:
=

{
z

∈


:

B

(
t

)

P

(
t

)

z
∈
ImA
1
(
t

)
}
Gọi
Q
1
(
t

)

là phép chiếu khả vi liên tục lên
N
1
(
t

)
dọc theo
S
1
(
t

)

,
P
1
(
t

)

:
=
I
−
Q
1
(

t

)

.
B
1
(
t

)

:
=

(

B

(
t

)

−
A
1
(
t

)(

PP
1
)

'
)

P

(
t

)
Đặt
A
2
(
t

)

:
=
A
1
(
t

)

+
B
1
(
t

)
Q
1

(
t

)
Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.2.4) có chỉ số 1 trên I khi
và chỉ khi
N
(
t

)

⊕
S
(
t

)

=



n
∀t ∈ I
tức là
det A
1
(
t

)

≠

0
∀t ∈ I .
n
n
Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.2.4) có chỉ số 2 trên I khi
và chỉ khi


dim
N
1
(
t
)

=
const
>

0

tức là

det A
1
(
t
)
=
0

∀t ∈ I
N
1
(
t
)

⊕
S
1
(
t
)

=

R
∀t
∈
I
det A
2
(
t
)

≠
0
∀t ∈ I
Đặc biệt, xét hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính hệ số hằng:
trong đó:
x : I → 
n

,
Ax

'
(
t

)

+

Bx

(
t

)

=

0
A,
B

∈

L

(


n
)

, det A
=

0
.

Khi

đó:
(1.2.5)
N :=
KerA
S :=
{
z

∈

n
: Bz ∈
ImA
}
Gọi Q là phép chiếu lên N, đặt P:=I-Q (P là phép chiếu lên ImA).
A
1
:= A + BQ
,
N
1
:= KerA
1
,
S
1
:=
{

z

∈


: B
1
z ∈
ImA
}
Gọi Q
1
là phép chiếu lên
N
1
dọc
S
1
, đặt P
1
:= I − Q
1
.
B
1
:= BP ,
A
2
:= A
1

+ B
1
Q
1
(
=
A
1
+ BPQ
1
)
Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.2.5) có chỉ số 1 khi và chỉ
khi
N ⊕ S =


n
⇔
det
A
1
≠
0
.
khi
Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.2.5) có chỉ số 2 khi và chỉ

dim
N
1

=
const
>
0

det A
1
=

0


N
⊕
S
=
R
n
tức là

det A ≠
0


1 1

2
1.3. Phân rã hệ
ph
ƣ

ơng
trình vi phân đại số thành hệ
ph
ƣ
ơng
trình vi
phân
th
ƣ
ờng
và hệ
ph
ƣ
ơng
trình đại số
(
[
1
]
,
[
3
]
)
Trong mục này ta sẽ nghiên cứu phân rã hệ phương trình vi phân đại số
tuyến tính hệ số hằng có chỉ số 1 và chỉ số 2 thành hệ phương trình vi phân
thường và hệ phương trình đại số.
Xét hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính sau:
1
1

1 1
1 1
1
trong đó:
x : I → 
n

,
Ax

'
(
t

)

+
Bx

(
t

)

=
q

(
t

)
A,
B
∈
L

(


n
)

, det A =
0
,
q

(
.
)

∈
C
(

I

,
R
n

)

.
(1.3.1)
1.3.1. Phân rã hệ phương trình vi phân đại số chỉ số 1
Giả sử hệ (1.3.1) có chỉ số 1. Gọi Q là phép chiếu lên KerA ,
P := I
n
−
Q . Khi đó, AQ = 0. QP = 0.
A = AI
n
= A(P + Q) = AP = AP +BQP = (A + BQ)P = A
1
P.
B = BI
n
= B( Q+ P) = BQ+BP = AQ +BQ+BP = (AQ + BQQ) + BP
= (A+BQ)Q + BP = A
1
Q + BP
Do vậy, hệ (1.3.1)
⇔ A
1
Px
'
(
t

)

+ A
1
Qx
(
t

)

+ BPx
(
t

)

=
q

(
t

)

.
Nhân hai vế của phương trình này lần lượt với
hệ tương đương:
PA
−
1
và

QA
−1
ta được

Px '
(
t

)

+
PA
−
1
BPx
(
t

)

=
PA
−
1
q
(
t

)


1 1

Qx
(
t

)

+
QA
−
1
BPx
(
t

)
=
QA
−
1
q
(
t

)
Đặt
u

(

t

)

=
Px

(
t

)

,
v

(
t

)

=
Q
x
(
t
)
ta đưa hệ (1.3.1) về hệ sau:

u '
(

t

)

+
PA
-1
Bu
(
t

)

=
PA
-1
q
(
t

)
(
α

)

1 1




v

(
t

)

+
QA
-1
Bu
(
t

)

=
QA
-1
q
(
t

)
(
β
)
trong đó
(
α

)
đại số.
là hệ phương trình vi phân thường, còn
(
β

)
là hệ phương trình
Đặc biệt, khi
q

(
t

)

≡
0
ta được hệ:

u '
(
t

)

+
PA
-1

Bu
(
t

)

=
0
(
α

')

1



v

(
t

)

+
QA
-1
Bu
(
t

)

=
0
(β ')
1.3.2. Phân rã hệ phương trình vi phân đại số chỉ số 2
Giả sử hệ (1.3.1) có chỉ số 2. Khi đó
Xét vế trái của (1.3.1) ta có:
det A
1
=
0,
det A
2
≠
0.
1
2
1
2
Q
A
1 1 1 2 1 1 2
1 1 2 1 1 2
1 1 2 1 1 2
1 1 2 1 1 1 1 1 1
1
1 1 2 1 1 2
1 1 2

1 2 1 2
1
2
Ax

'
(
t

)

+
Bx

(
t

)

= APx
'
(
t

)

+
Bx

(

t

)

=
A
(

Px
)
'
(
t

)

+
Bx

(
t

)
=
(

A +
B
Q

)
(

P

(

Px

)

'+
Q
x

)

+ BPx = A
1
(

P

(

Px

)

'+

Q
x

)

+
BPx
=
(

A
1
+
BPQ
1
)
(

P
1

P

(

Px
)

'
(

t

)

+
P
1
Qx
+
Q
1
x
)

+
BPx
−
BPQ
1
x
= A
2
(

P
1
P
(

Px
)

'
(
t

)

+ P
1
Qx + Q
1
x
)

+ BPP
1
x
Do vậy, hệ (1.3.1)
⇔ A
2
(

P
1
P
(

Px

)

'
(
t

)

+ P
1
Qx +
Q
1

x

)

+ BPP
1
x =
q

(
t

)
Nhân hai vế của phương trình này lần lượt với
hệ phương trình tương đương:

PP
A
−
1
,
QP
A
−
1
,
−
1
ta được

PP P
(

Px
)
'
+

PPQx
+
PP A
-1
BPP x
=
PP A
-1

q

QP P
(

Px
)

'
+
QPQx
+
QP A
-1
BPP x
=
QP A
-1
q

1 1 1 2 1 1 2


Q x
+
Q A
-1
BPP x
=
Q A

-1
q
Ta có thể chọn phép chiếu Q (xem [1]) sao cho PQ
1
, PP
1
cũng là các phép
chiếu đồng thời Q, PQ
1
,
PP
1
đôi một có tích bằng 0. Khi đó, ta có:
Q = Q A
-1
BP, Q Q = 0, PPP =
PP
, PPQ = 0,
QP
P = −QQ , QPQ =
Q
Q
1
= Q
1
P, QQ
1
P = QQ
1
và hệ trên trở thành:


(

PP x
)

'
+
PP A
-1
BPP x
=
PP A
-1
q


−

(
QQ x
)

'
+
Qx
+
QP A
-1
BPP x

=
QP A
-1
q


Q x
=
Q A
-1
q
Đặt u
=
PP
1
x, v
=
Q
1
x, w
=
Qx
(

x
=
u
+
Pv
+

w
)

ta nhận được hệ sau:

u '
+
PP A
-1
Bu
=
PP A
-1
q

−
Qv '
+
w
+
QP A
-1
Bu
=
QP A
-1
q



v
=
Q A
-1
q
1 2 1 2

1 2
Đặc biệt, khi
q

(
t

)
≡

0
ta nhận được hệ:
1 2

n
n

u '
+
PP A
-1
Bu
=

0

w
+
QP A
-1
Bu
=
0

1 2

v
=
0
1.4. Sự ổn định (Lyapunov) của hệ
ph
ƣ
ơng
trình vi phân đại số
(
[
3
][
14
]
,
[
15
]

)
Xét hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính sau:
A
(
t

)

x

'
(
t

)

+
B

(
t

)

x

(
t

)

=
0
(1.4.1)
trong đó:
x : I → 
n

,
A,
B
∈
L

(


n
)

, det A =
0
,
q

(
.
)

∈
C

(

I

,
R
n
)
Rõ ràng, hệ (1.4.1) có nghiệm tầm thường
x

(
t

)

≡
0
.
1.4.1. Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1
Giả sử hệ (1.4.1) có chỉ số 1 và
KerA
(
t

)
trơn. Gọi
Q
(
t

)
là phép chiếu
khả vi liên tục lên
KerA
(
t

)

,
đặt
P
(
t

)

:
=
I
n
−

Q
(
t

)

.
Ký hiệu
x

(
t;t
0

,
x
0
)

là nghiệm của (1.4.1) thoả mãn điều kiện
đầu
P

(
t
0
)

x

(
t
0
)
=

P

(
t
0
)

x
0
, t
0
∈

I

,
x
0
∈


Định nghĩa 1.4.1. Nghiệm tầm thường
x

(
t

)

≡

0
của hệ (1.4.1) được gọi là
ổn
định (theo nghĩa của Lyapunov) nếu với mọi số
ε
> 0
cho trước và với mọi
t
0
∈

I
đều tồn tại δ

=
δ

(
t
0

,ε

)

>
0 sao cho
nếu
x
0

∈
 thoả mãn
P

(
t
0
)

x
0
<
δ
thì
x

(
t;t
0

, x
0
)
<

ε
với mọi t
≥
t
0

.
Định nghĩa 1.4.2. Nghiệm tầm thường
x

(
t

)

≡
0
của hệ (1.4.1) được gọi là
ổn
định tiệm cận nếu nó ổn định và tồn tại số
δ
0
(
t
0
)

>

0
sao cho nếu
P

(
t
0

)

x
0
<

δ
0
(
t
0
)
thì
x

(
t;t
0

, x
0
)
→ 0
khi t → +∞ .
Định nghĩa 1.4.3. Nghiệm tầm thường
x

(
t

)

≡
0
của hệ (1.4.1) được gọi là
ổn
định tiệm cận mũ nếu tồn tại hằng số dương λ và với mọi số
ε > 0
cho trước
n
n
n
đều tồn tại số
δ

=

δ

(
t
0

,
ε

)

>
0 sao cho

nếu
x
0
∈

thoả mãn
P

(
t
0
)

x
0
<
δ
thì
x

(
t;t
0

,
x
0
)
<
ε

e
−
λ
(
t

−
t
0
)
với mọi t
≥
t
0
.
1.4.2. Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 2
Giả sử hệ (1.4.1) có chỉ số 2 và
KerA
(
t

)
trơn. Các phép chiếu
P

(
t

)

,
P
1
(
t

)
như ở mục 1.3.2. Ký hiệu
x

(
t;t
0

,
x
0
)

là nghiệm của (1.4.1) thoả
mãn
điều kiện đầu
P

(
t
0
)

P

1
(
t
0
)

x

(
t
0
)
=

P

(
t
0
)

P
1
(
t
0
)

x
0

, t
0
∈

I

,
x
0
∈



.
Định nghĩa 1.4.4. Nghiệm tầm thường
x

(
t

)

≡
0
của hệ (1.4.1) được gọi là
ổn
định (theo nghĩa của Lyapunov) nếu với mọi số
ε > 0
cho trước và mọi
t

0
∈

I
đều tồn tại δ

=
δ

(
t
0

,ε

)

>
0 sao cho
nếu
x
0
∈
 thoả mãn
P

(
t
0
)

P
1
(
t
0

)

x
0
<

δ
thì
x

(
t;t
0

, x
0
)
<

ε
với mọi t
≥
t

0
.
Định nghĩa 1.4.5. Nghiệm tầm thường
x

(
t

)

≡
0
của hệ (1.4.1) được gọi là
ổn
định tiệm cận nếu nó ổn định và tồn tại số
δ
0
(
t
0
)

>
0
sao cho nếu
P

(
t
0

)

P
1
(
t
0
)

x
0
<

δ
0
(
t
0
)
thì
x

(
t;t
0

, x
0
)
→

0
khi t → +∞ .
Định nghĩa 1.4.6. Nghiệm tầm thường
x

(
t

)

≡
0
của hệ (1.4.1) được gọi là
ổn
định tiệm cận mũ nếu tồn tại hằng số dương
λ
và với mọi số
ε
> 0
cho trước
đều tồn tại số
n
δ

=
δ

(
t
0

,ε

)

>

0
sao cho nếu
x
0
∈
 thoả
mãn
P

(
t
0
)

P
1
(
t
0
)

x
0

<

δ
thì
x

(
t;t
0

,
x
0
)
<
ε

e
−
λ
(
t

−
t
0
)
với mọi t ≥ t
0
.

1

. . 1



i
CHƢƠNG
II
BÁN KÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ
PHƢƠNG
TRÌNH VI PHÂN ĐẠI
SỐ
TUYẾN TÍNH VỚI MA TRẬN HỆ SỐ
HẰNG
Trong chương này, chúng tôi trình bày bài toán, tính bán kính ổn định
cho hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính dạng
Ax '(t) - Bx(t) = 0 , trong
đó A, B, là các ma trận thực, detA = 0. Chúng tôi đã đưa ra định nghĩa bán
kính ổn định, công thức tính bán kính ổn định phức, chỉ ra những sự khác biệt
cơ bản giữa trường hợp hệ phương trình vi phân thường và hệ phương trình vi
phân đại số. Đồng thời một trường hợp đặc biệt mà bán kính ổn định thực và
phức bằng nhau cũng được chứng minh.
2.1. Bán kính ổn định phức của hệ
ph
ƣ
ơng
trình vi phân đại số
Xét phương trình
trong đó

A
x
'(t) - Bx(t) =
0
(2.1.1)
x∈
m
, A, B∈K
m
×
m
,(K
=


hoặc

)
, det A = 0, cặp
(
A, B) là chính
quy

chỉ
số k ≥ 1. Ta biết rằng khi đó, tồn tại các ma trận W, T, khả nghịch, sao cho
A
=
W
