Về tính ổn định của một lớp hệ phương trình sai phân ngẫu nhiên

-1Trờng đại học vinh
Khoa toán


Hồ Ngọc Hân

Về tính ổn định
của một lớp hệ phơng trình sai
phân ngẫu nhiên

Khoá luận tốt nghiệp đại học
Ngành cử nhân s phạm toán

Vinh 2007


-2Trờng đại học vinh
Khoa toán


Về tính ổn định
của một lớp hệ phơng trình sai
phân ngẫu nhiên

Khoá luận tốt nghiệp đại học
Ngành cử nhân s phạm toán

Cán bộ hớng dẫn khoá luận
PGS. TS. Phan Đức Thành
Sinh viên thực hiện: Hồ Ngọc Hân
Lớp: 44A1 Toán

Vinh 2007


-3Lời mở đầu

Tính ổn định là một trong những tính chất chủ yếu của lý thuyết định
tính các hệ động lực mà đợc bắt đầu từ cuối thế kỷ XIX, bằng những công
trình xuất sắc của nhà toán học Nga A.M Lyapunov. Mỗi khi phân tích và
thiết kế các hệ thống kỹ thuật hoặc các mô hình kinh tế mô tả bằng các hệ phơng trình toán học, ngời ta cần nghiên cứu tính ổn định của hệ thống đó.
Cho đến nay, tính ổn định đà đợc nghiên cứu và phát triển nh một lý
thuyết toán học độc lập, cã rÊt nhiỊu øng dơng h÷u hiƯu trong kinh tÕ, khoa
học và kỹ thuật. Đặc biệt, từ năm 60 của thÕ kû XX, b»ng sù ra ®êi cđa lý
thut ®iỊu khiển hệ thống, tính ổn định ngày càng đợc quan tâm nghiên cứu
và ứng dụng vào mô hình điều khiển kỹ thuật. Từ đó xuất hiện các bài toán
nghiên cứu tính ổn định hoá các hệ điều khiển toán.
Nội dung luận văn này giới thiệu các phơng pháp bài toán ổn định
Lyapunov, các tiêu chuẩn để một hệ là ổn định hoặc ổn định hoá, đặc biệt là
về tính ổn định của một lớp hệ phơng trình sai phân ngẫu nhiên bao gồm:
Chơng I: Một số kiến thức cơ bản về lí thuyết ổn định
Chơng II: Về tính ổn định của một lớp hệ phơng trình sai phân ngẫu nhiên
Qua đây, em xin chân thành cảm ơn sự chỉ dẫn, giúp đỡ tận tình của thầy
giáo Phan Đức Thành đà giúp em hoàn thành luận văn này.
Sinh viên thực hiện
Hồ Ngäc H©n


-4Chơng I:
Một số kiến thức cơ bản về lí thuyết ổn định
Một hệ thống đợc gọi là ổn định tại một trạng thái cân bằng nào đó, nếu

các nhiễu bé trong các điều kiện ban đầu hoặc trong cấu trúc của hệ thống
không làm thay đổi hệ thống quá nhiều so với trạng thái ban đầu.
1.1. Các khái niệm cơ bản
Xét một hệ thống mô tả bởi phơng trình vi ph©n
0
 (t) = f(t, x)
x

 x(t 0 ) = x 0


, t0

(1)

Trong đó x(t)Rn là hàm véc tơ cho trớc.
Giả thiết f(t,x) là hàm thoả mÃn các điều kiện sao cho nghiệm của bài
toán cauchy hệ (1) với x(t 0) = x0 , t0 0 luôn có nghiệm.
Khi đó, dạng tích phân của nghiệm đợc cho bởi công thức:
t
x =x 0 f(s, x(s))ds
t0

Nếu giả thiết thêm f(t,0) = 0 thì x = 0 là nghiệm tầm thờng hay trạng thái
cân bằng của hệ.
Trong trờng hợp đó, ta nói hệ (1) là ổn định thay cho nghiệm x = 0 của
hệlà ổn định.
Bây giờ ta xét hệ (1) với f(t, 0) = 0, tR+. Ta có các định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.
Hệ (1) là ổn định nếu > 0, t∈R+, ∃ δ (phơ thc vµo ε, t0) sao cho bất

kì nghiệm x(t): x(t0) = x0 thoả mÃn ||x0|| < thì ||x(t)|| < , t t0.
Định nghĩa 2:
Hệ (1) là ổn định tiệm cận nếu hệ là ổn định và > 0 sao cho: nếu
||x0|| < δ th×


-5-

lim x(t ) = 0
t →∞
NÕu sè δ trong c¸c định nghĩa trên không phụ thuộc vào t0, thì tính ổn
định (hay ổn định tiệm cận) đợc gọi là ổn định đều (hay ổn định tiệm cận
đều).
Định nghĩa 3:
Hệ (1) là ổn định mũ nếu M > 0, > 0 sao cho nghiƯm cđa hƯ (1) víi
x(t0) = 0 tho¶ m·n
x (t ) ≤ M .e

−δ(t −t )
0

∀t t0

,

Là nghiệm không của hệ không những ổn định tiƯm cËn mµ mäi nghiƯm
cđa nã tiÕn tíi 0 nhanh với tốc độ theo hàm số mũ.
Thí dụ: Xét phơng trình vi phân

x (t ) =a (t ) x

,t0

Trong đó a(t): R+R là hàm liên tục, nghiệm x(t) của hệ với điều kiện
ban đầu x(t0) = x0 cho bởi
x (t ) = .e
x

t
)
a ( d
t
0

0

- Hệ là ổn định nếu

t

a( τ )dτ ≤Μμ (t 0 ) <+
t0

- HƯ lµ ỉn định đều nếu à(t0) không phụ thuộc t0.
t
a( )d =
t0

- Hệ là ổn định tiệm cận nếu

1.2. Tính ổn định của các hệ vi phân tuyến tính
Xét hệ tuyến tính:

x(t) =Ax(t)

,t 0

(2)

Trong đó: A là (nxn) ma trận
Nghiệm của (2) xuất phát từ trạng thái ban đầu x(t 0) cho bëi
x(t) =x .e
0

A(t −t )
0

, t ≥ t0


-6-

1.2.1 Định lý 1. (tiêu chuẩn ổn định đại số Lyapunov)
Hệ (2) là ổn định mũ khi và chỉ khi phần thực của tất cả các giá trị riêng
của A là âm, tức là
Re<0, (A)
Thí dụ: Xét tính ổn định hệ:

=x1
x1

= x

x2
2
2

Ta thấy
A=

( )

1 0
0 2

Vậy giá trị riêng của A là = -1, -2.
Hệ là ổn định tiệm cận
1.2.2. Định lý 2. Giả sử đa thức đặc trng mà phơng trình vi phân (2) đà cho là:
f(z) = zn + a1zn-1 + . . . + an-1z + an
Khi đó, nếu định thức tất cả các ma trận con Dk, k=1, 2, . . . , n là dơng
thì phần thực của tất cả nghiệm của f(z) là âm, tức hệ đà cho là ổn định tiệm
cận, trong đó:
DetD1= a1
a1
DetDk = det  1



a3 


a2 


 a1

1
DetDk = det 
0

0


a3
a2
1
0

a5
a4
a3
0

.
.
.
.

.
.
.

.

. a2 k −1 

. a 2 k −2 
. a2 k −3 

. ak 


k=1, 2, . . . , n

Vµ ar=0 nếu r>n
Xét phơng trình Lyapunov dạng AX+XA=-Y (LE)
X,Y là ma trận (nxn) chiều gọi là cặp nghiệm của (LE)


-7XÐt hƯ (2), ta nãi ma trËn A lµ ỉn định nếu phần thực tất cả giá trị riêng
của A là âm (2) ổn định tiệm cận.
1.2.3. Định lý 3. Ma trận A là ổn định mọi ma trận Y đối xứng, xác định
dơng, phơng trình (LE) có nghiệm là ma trận đối xứng, xác định dơng X.

1.3 ổn định của hệ tuyến tính không dừng

x (t ) = A(t ) x (t )

, t≥0 (3)

HÖ (3) cã nghiệm
x(t) = (t,t0)x0

(t,s) là ma trận nghiệm cơ bản
Nếu A(.) là hằng số thì
t , s) = e
(

A(t s )

1.3.1. Định lý 1: Xét hệ (3) trong đó A(t) = A+c(t). Giả sử A là ma trận ổn
định và giả sử c(t) là khả tích trên R+ và:
c (t ) a

,

a>0

Khi đó, hệ ổn định tiệm cận với a > 0 đủ nhỏ.
Thí dụ: Xét hệ phơng trình vi ph©n:
1
1
°
 − 1+
x1 =
cos 2 t
 3x
4
 1x − +
1
1
°=
x2

 5 1 2 x2 4 sin 2 t


Ta cã:
− 1
0
 3

A= 1
1 ,
− 

 5
2



2
1

 cos t 
c(t ) =  4 2 
 1 sin t 


4


V× λ(A) = -1/3, -1/2 < 0 nên A là ma trận ổn định
M=1, =1/2

c(t )

1
1
=a <
4
2

nên hệ là ổn định tiÖm cËn.


-8-

1.3.2. Định lý 2: Xét hệ (3) trong đó A(t) là ma trận liên tục theo t. Giả sử M
> 0, δ > 0, k > 0 sao cho:
i)

e

ii)

A( s )t

δ
≤ .e − t
k

,

∀t, s ≥ 0

Sup A(t ) M
+

t R

Hệ là ổn định tiệm cận nếu

M <


2k

1.4. ổn định của các hệ tựa tuyến tính:
Xét hệ


x (t ) = f (t , x (t ))

,t≥0

(4)

Trong ®ã f(t,x) : R+xRn Rn là hàm phi tuyến
tR+

f(t,0) = 0

Có nghiệm thoả mÃn x(t0) = x0,

to 0.

Trờng hợp f(t,x) khả vi liên tục tại x = 0 thì theo khai triển Taylor bËc
mét t¹i x = 0. Ta cã:
f(x) = Ax+g(x)
A=

Trong đó:

f (0)
, g ( x) = 0( x )
x

1.4.1. Định lí 1: Xét hệ (4)trong đó f(t,x)=Ax+g(x). Giả sử A là ma trận ổn
định và

g ( x ) =0( x )

thì hệ là ổn định tiệm cận.

Nhận xét: Thay điều kiÖn
∃ L > 0:

g ( x)

≤ x
L

g ( x ) =0( x )

, xX thì khẳng định trên vẫn đúng với L > 0

thoả mÃn
L<

Thí dụ: Xét tính ổn định hÖ
1
°
 −+ 1 sin 2 t
x1 =
 x1 2 x 2
 − + 2 sin 2 t
1
°
x2 =
 2 x2 2 x2


Ta cã:

b»ng ®iỊu kiƯn:

δ
k


-9 1 x 2 sin 2 t 
 1

2


g (t , x) =  1
 x 2 sin 2 t 
 2

2


 −1 0 
Α=
 0 − 2 ,




V× A là ma trận ổn định và
g (t , x ) =


4
4 1 x2
1
sin 2 t  x1 + x2  ≤

 2
2

⇒ (t , x ) =0( x )
g

⇒ hÖ là ổn định tiệm cận

1.4.2.Định lí 2: Xét hệ phi tuyÕn
°
x = A(t ) x (t ) +g (t , x (t ))

, t ≥ 0 (5)

Gi¶ sư:
i)

∃ k > 0, δ > 0:

ii)
iii)

Φ x) ≤ke
(

g (t , x ) ≤ (t ) x
L

−δ(t −s )

, ∀t ≥ s ≥ 0

, ∀ t ≥ 0, ∀x∈Rn

Sup L(t ) ≤ M <
+

t R
k

Khi đó hệ là ổn định tiệm cận.
1.5. Tính ổn định của hệ với thời gian rời rạc
Xét một hệ thống mô tả bởi phơng trình sai phân
x(k+1) = f(k, x(k)) , k∈Z+

(6)

Trong ®ã: f: Z+ x X→X là hàm cho trớc

Các định nghĩa cơ bản:
Định nghĩa 1: Hệ rời rạc (6)gọi là hệ ổn định nếu với ∀ε > 0, k0∈Z+, ∃δ > 0
(phơ thc vµo k0, ε) sao cho mäi nghiƯm x(k) cđa hƯ víi ‌
x (k ) <
ε

, ∀k ≥ k0

x (0) <
δ

th×


- 10 Định nghĩa 2: Hệ (6)là ổn định tiệm cận nếu hệ là ổn định và có một số δ > 0
sao cho:
lim

k →
∞

víi mäi nghiƯm x(k) víi

x ( k ) =0

x (0) <


1.5.1. ổn định của các hệ tun tÝnh

XÐt hƯ rêi r¹c: x(k+1) = Ax(k) ,

x ∈ R n

+
k ∈ Z
A ∈ R n×n


(7)

Víi x(0) = x0 thì nghiệm của (2) là:
x(k) = Akx0
1. Định lí 1: Hệ rời rạc (7) là ổn định tiệm cận một trong hai điều kiện sau
đợc thoà mÃn:
i)

0 < q <1 :

ii)

A =q <
1

λ , ∀ λ ∈ λ (A)
<1

Chứng minh:
(*) Giả sử hệ (7) là ổn đinh tiệm cận hệ là ổn định và >0 sao cho:
Lim x( k ) = Lim Ak x = 0
0
∞
∞
k→
k→

Víi mäi nghiƯm x(k) tho¶ m·n
Ta cã:

Ak x

≤ Ak

+ NÕu

Ak

x

A =q <
1

0

⇒

0

Ak x

0

→
0

→
0

x (0) <
δ

x

0

khi k→∞ ⇔

Ak

→
0

khi k→∞ ⇔ ∃ 0 < q <1 :

khi k→∞

+ NÕu A kh«ng suy biÕn, ∃ ma trËn T,

 λ1  0 


Α = Τ  
 Τ−1
0  λ 
n 


det T ≠0

sao cho


- 11 ⇒ x (k ) = Α k x 0

⇒λ <1

k
 λ1  0 



= Τ    Τ −1 x0 → 0 ⇔ λ j < 1
 0  λk 
n 


∀ λ ∈ λ(Α)

,

(+) Gi¶ sư ∃ 0 < q <1 : sao cho
⇒

Ak

⇒

Ak

V×

Ak x

=q k

x

0

0

Ak x

0

→
0

khi k→ ∞

→
0

khi k→ ∞

= Ak

→
0

A =q <
1

x

0

nªn

khi k→ ∞

⇒ hệ là ổn định tiệm cận
(+) Nếu

<1, ( ,
)

thì theo trên

k
1 0 


x( k ) = Αk x0 = Τ    Τ−1 x0 → 0 ,khi k→0
 0  λk
n


hệ là ổn định tiệm cận
Thí dụ:
x (
1) =
k + 1 x1 ( k )
1
 k + 2 x ( k )+ ( k )
1
1
x2 (
1) = 1

x2
4
3


Ta cã
1
2
A =1

4


λ =

0

1

3


1
1
< 1, λ = < 1
3
2

⇒ hƯ lµ ỉn ®Þnh tiƯm cËn

, k∈Z+


- 12 -

2. Định lí 2: Xét hệ rời rạc
x(k+1) = A(k).x(k) (8)
i) Hệ ổn định tiệm cận nếu sè q∈(0,1) sao cho
A( k ) ≤q

, k∈Z+

ii) NÕu A(k)=A+C(k)
Trong đó A là ma trận ổn định và

C ( k ) a

. Khi đó hệ sẽ ổn định tiệm

cận nếu a>0 đủ nhỏ nào đó.
Chứng minh:
i) Giả sử q(0,1) sao cho:

A( k ) ≤q

, k∈Z+

(8)⇔x(k+1)= Ax(k)+[A(k)-A]x(k) (*) ; A lµ ma trận ổn định
Nghiệm của hệ (*) là:
k 1

x (k ) = Ak x + ∑ Ak − i −1[ A(i ) − A] x (i )
0
i =0
⇒ x ( k ) ≤ Ak

x

0

k −1
+ ∑ Ak −i −1
i =0

A(i ) − A

x (i )

k −1
≤ p k x + ∑ p k − i −1( p + q ) x (i )
0
i =0

Trong đó:

1
A =p <

áp dụng bất đẳng thøc Gronwall d¹ng rêi r¹c, ta cã:
x(k ) ≤ x

0

k −1
q+p
p k ∏ (1 +
)
p
i =0

⇒x ( k ) ≤ x

0

, kZ+

( 2 p +q ) k

Vì p(0,1) nên q(0,1) ®đ nhá ®Ĩ 0<2p+q<1 ⇒
(®pcm)
ii) Gi¶ sư A(k)=A+C(k)
Khi ®ã:
(8) ⇔ x(k+1) = Ax(k+1)+C(k).x(k)
NghiƯm cđa hƯ (8) víi x(0) = x0 lµ:

x( k ) →
0

khi k→ ∞

- 13 k −1
x(k ) = Ak x + ∑ Ak − i −1.C (i ).x (i )
0
i =0

Dùa vµo tính ổn định của A ta có đánh giá:
x(k ) ≤ q k x

0

k −1
+ ∑ q k − i 1a x (i )
i =0

Sử dụng bất đẳng thức Gronwall d¹ng rêi r¹c víi:
u ( k ) =q k x ( k )

,

,

c = x0

a (k ) =

a
q

ta cã:
k −1

a
x ( k ) ≤ x q k ∏ (1 + )
q
0
i =0

, ∀k∈Z+

⇒x ( k ) ≤( q + ) k x
a

0

Vì q(0,1) nên a>0 đủ nhỏ để 0
x( k )
0

khi k +

hệ là ổn định tiệm cận.
1.5.2. ổn định của hệ phi tuyến
Xét hệ x(k+1) = f(k, x(k)) ,

kZ+

(9)

Định lí : Xét hệ (9) trong đó f(k,x(k)) =Ax(k)+g(x(k))
Giả sử A là ma trận ổn định và

g ( x ( k )) = x ( k )
a

víi a > 0 đủ nhỏ thì

hệ ổn định tiệm cận.
Chứng minh:
Nghiệm của bài toán với f(k,x(k)) =Ax(k)+g(x(k)) với x(0) = x 0 lµ:
k −1
x(k ) = Ak x + ∑ Ak i 1g ( x(i ))
0
i =0

Vì A là ma trận ổn định nên
x( k ) q k x

0

k −1
+ ∑ q k − i −1 g ( x(i ))
i =0

k −1
≤ q k x + ∑ q k i 1a x(i )
0
i =0

Sử dụng bất đẳng thøc Gronwall d¹ng rêi r¹c víi:

- 14 u ( k ) =q k x ( k )

,

,

c = x0

a (k ) =

a
q

ta cã:
k −1
a
x ( k ) ≤ x q k ∏ (1 + )
q
0
i =0

, ∀k∈Z+

⇒x ( k ) ≤( q + ) k x
a

0

Vì q(0,1) nên a > 0 đủ nhỏ để 0 < q+a < 1 ⇒

x( k ) →
0

khi k→ +∞

⇒ hệ là ổn định tiệm cận.

Chơng II
Về tính ổn định của một lớp hệ phơng trình
sai phân - ngẫu nhiên
Các tiêu chuẩn về tính ổn định tiệm cận Lyapounov

2.1. Tiêu chuẩn phổ đối với hệ phơng trình sai phân tất
định.
Bài toán 2.1: Xét phơng trình sai phân hai bớc
xk +1 = Axk + Bxk −1

nxn
n
 A,B ∈ R ,xk ∈ R
 x( 0 ) = x
0


(1)


- 15 (1) ⇔

 xk + 1   A
x
=
 k  E



B   xk 


0   xk − 1 



(1’)

(1’) cã d¹ng yk+1 = · yk , · ∈R2nx2n
yk = (xk,xk-1)T ∈R2n
Tõ ®ã ta cã :
MƯnh ®Ị: Nghiệm không của hệ phơng trình (1) ổn định tiệm cận
Lyapounov khi và chỉ khi nghiệm không của (1) ổn định tiệm cận
Lyapounov tức là
~

( A) <1
j

, với

~

A
A =
E

B
0


Bài toán 2.2: Xét phơng trình sai phân h bớc
xk+1 = Axk + A1 xk-1 +. . . + Ah xk-h

(2)

A, A1 , . . . , Ah ∈Rnxn, xk ∈Rn
(2) ⇔

x
  A A   A  x

1
h  k
 xk + 1  

 x
 k
 =  E 0   0  k − 1 

         

 



 xk − h + 1   0 0  E 0   xk − h 





Khi ®ã hƯ (2)cã d¹ng yk+1 = · yk , · ∈R(h+1)nx(h+1)n

(2’)

yk = (xk,xk-1,....,xk-h)T R(h+1)n
Từ đó ta có :
Mệnh đề: Nghiệm không của hệ phơng trình (2) ổn định tiệm cận
Lyapounov khi và chỉ khi nghiệm không của (2) ổn định tiệm cận
Lyapounov tøc lµ

~

λ ( A) <
1
j

víi:
 A A1  
E
0  
~
A=

   

0  E
0

A 
h
0



0


- 16 2.2. TIÊU CHUẩN PHổ ĐốI VớI Hệ phơng trình sai phân ngẫu
nhiên:
Bài toán 2.3: Xét phơng trình sai phân ngẫu nhiên
xk+1 = axk + bkxk = (a + bξk) xk (3)
a, b ∈R , xk ∈R ;
1

ξk lµ ồn trắng tức là

1

Ek = 0


E 2 =1
k

Định nghĩa: Nghiệm xk=0 của hệ (3) đợc gọi là ổn định tiệm cận nếu
nó ổn định và thoả mÃn

E ( xk

2

)
0

khi k với x0 khá bé.

Mệnh đề: Nghiệm không của hệ phơng trình (3) ổn định tiệm cận
Lyapounov bình phơng trung bình nếu a2 + b2 < 1 .
Chứng minh: Bình phơng 2 vế, ta có:
xk+12 = (a + bξk)2 xk2 = (a2 + 2abξk + b2ξk2 ) xk2
⇒E xk +1

2

= E (a 2 + 2abξk +b 2ξk2 ) E xk

⇒E xk +1

2

= ( a 2 + b 2 ) E xk

{

2

2

2

= ... = (a 2 + b 2 ) k +1 E x0

2

}

⇒ lim E xk / x0 < δ = 0 ⇔ (a 2 + b 2 ) < 1
k →∞

2.3. Tiªu chn hƯ sè đại số đối với hệ phơng trình sai
phân tất định.
Định lí. Nếu tồn tại một hàm số xác định dơng v: Rn→R+ sao cho
∆v(xk) = v(x k+1)-v(x k) < 0 thì nghiệm không của hệ phơng trình sai phân
xk +1 = Axk

nxn
n
 A ∈ R ,xk ∈ R
 x( 0 ) = x
0

Là ổn định tiệm cận
Bài toán 2.4. Xét hệ phơng trình sai phân 1 bớc
xk +1 = Axk

nxn
n
 A ∈ R ,xk ∈ R
 x( 0 ) = x
0


(4)


- 17 Mệnh đề. Nghiệm không của hệ phơng trình (4) ổn định tiệm cận
Lyapounov nếu tồn tại một ma trận đối xứng xác định dơng H > 0 thoả mÃn
phơng trình:
ATHA H = -E (4)
Chứng minh. Giả sử tồn tại ma trận H nh trong mệnh đề. Xây dng hàm
Lyapounov nh sau:
V(xk) = xkTHxk
Khi đó:
v(x k) = v(x k+1)-v(x k) = xk+1THxk+1 - xkTHxk = xkT(ATHA – H)xk
V×

ATHA – H = -E

⇒ ∆v(x k) = xkT(–E)xk < 0
⇒ Nghiệm không của hệ phơng trình (4) ổn định tiệm cận.
Bài toán 2.5. Xét hệ phơng trình sai phân 2 bíc

 xk +1 = Axk + Bxk −1

nxn
n
 A, B ∈ R , xk ∈ R
 x(0) = x
0


(5)

MƯnh ®Ị. Nghiệm không của hệ phơng trình (5) ổn định tiệm cận
Lyapounov nếu tồn tại một ma trận đối xứng xác định dơng H>0 thoả mÃn:
ATHA + BTHB H + E + BTHAATHB < 0 (5)
Chứng minh. Giả sử tồn tại ma trận H>0 thoả mÃn điều kiện trong
mệnh đề.
Xây dựng hµm Lyapounov nh sau:
V(xk) = xkTHxk + xk-1TQxk-1 víi Q = BTHB + E
Khi ®ã:
∆v(xk) = v(x k+1)-v(x k) = xk+1THxk+1 + xkTQxk - xkTHxk - xk-1TQxk-1
A T HA + B T HB - H + E
= yT 
k
B T HA


ở đây yk = (xk; xk-1)T , mặt khác ta cã:

A T HB 
y k

−E 


- 18 ATHA + BTHB –H + E + BTHAATHB < 0
A T HA + B T HB - H + E
⇔
B T HA


A T HB 
<0
−E 

⇒ ∆v(x k) < 0 suy ra (đpcm)

Bài toán 2.6. Xét hệ phơng trình sai phân
xk +1 = Axk + Bxk h

nxn
n
A, B ∈ R , xk ∈ R
 x(0) = x
0


(6)

Mệnh đề. Nghiệm không của hệ phơng trình (6) ổn định tiệm cận
Lyapounov tồn tại một ma trận đối xứng xác định dơng H > 0 thoả mÃn:
ATHA + BTHB –H + E + BTHAATHB < 0 (6’)

Chøng minh. Gi¶ sử tồn tại ma trận H>0 thoả mÃn các điều kiện
của mệnh đề.
Xây dựng hàm Lyapounov nh sau:
v(x k ) = x T Hx k +
k

k −1

∑x

i =k −h

T
i

Qx i

víi Q = BTHB + E
Khi ®ã:
∆v(x k) = v(x k+1)-v(x k)
= x T+1Hx k +1 +
k

k −1

k

∑x T Qx i - (x T Hx k +
i
k

i =k +1−h

A T HA + B T HB - H + E
= yT 
k
B T HA


∑x

i =k −h

T
i

Qx i )

A T HB 
y k
−E

Trong đó yk = (xk; xk-h)T
Theo giả thiết : ATHA + BTHB –H + E + BTHAATHB < 0
⇒ ∆v(x k) < 0 suy ra (đpcm)
Bài toán 2.7. Xét hệ phơng trình sai phân


- 19 xk +1 = Axk + A1xk −h1 + ... + Ap xk −h p


nxn
n
 A, A1 ,..., Ap ∈ R , xk ∈ R

x(0) = x0


(7)

MƯnh ®Ị. NghiƯm không của hệ phơng trình (7) ổn định tiệm cận
Lyapounov tồn tại một ma trận đối xứng xác định dơng H > 0 tho¶ m·n:
p
 T
A HA - H + ∑ A T HA i + pE
i

i =1

A T HA1


A T HA p



T
A 1 HA



T
A1 HA1
T
A1 HA p

A T-1HA
p

 A T-1HA1
p
T
 A p-1HA p


A T HA 
p

A T HA1  < 0
p
-E



(7)

Chứng minh: Giả sử tồn tại ma trận H thoả mÃn các điều kiện của
mệnh đề.
Xây dựng hàm Lyapounov nh sau:
p

v(x k ) = x T Hx k + ∑
k

k −1

∑x

j =1 i =k −h j

víi

T
i

Q jxi

Q j = A T HA j + E; j = 1, p
j

Khi ®ã:
∆v(x k) = v(x k+1)-v(x k)
=x

T
k +1

p

Hx k +1 + ∑

k

∑x

j =1 i =k +1−h j

p
 T
T
A HA - H + ∑ A i HA i + pE
i =1

= yT 
A T HA 1
k

A T HA p



T
i

p

Q j x i - x Hx k − ∑

T
A 1 HA
T

A 1 HA 1
T
A 1 HA p

T
k



k −1

∑x

j =1 i =k −h j

A T-1 HA
p

 A T-1 HA1
p
T
 A p-1 HA p

T
i

Q jxi


A T HA 

p

A T HA 1  y k
p
-E 



T
Trong ®ã y k = (x k , x k-h ,..., x k −h )
1

p

Tõ gi¶ thiÕt ⇒ ∆v(x k) < 0
hệ đà cho là ổn định tiệm cận Lyapounov.
2.4. Tiêu chuẩn hệ số đại số đối với hệ phơng trình sai
phân ngẫu nhiên.
Bài toán 2.8. Xét phơng trình sai phân ngẫu nhiên


- 20 x k +1 = Ax k + Bξk x k = (A + Bξ k )x k

nxn
n
A, B R , x k R
là ồn trắng
k

(8)

Định lí. Nghiệm không của hệ phơng trình (8) ổn định tiệm cận Lyapounov
bình phơng trung bình nếu ma trận A hội tụ và tồn tại một ma trận đối xứng
xác định dơng H>0 thoả mÃn phơng trình sylvester:
ATHA + BTHB H = -E

(8)

Bài toán 2.9. Xét phơng trình sai phân ngẫu nhiên đa bớc
xk +1 = Axk + A1xk −1 + ... + Ah xk −h + ( Bxk + B1xk −1 + ... + Bh xk −h )ξk

(9)

§Ĩ giải quyết bài toán (9) ta đa về một bớc nh bài toán (8)
x k +1
x

k =
(9)




x k −h +1 

A A k
E 0

 


0 0

  A h  x k   B B 1  B h   x k 
  0  x k −1   0 0  0  x k −1 
+
ξ k


             
 



 E 0  x k − h   0 0  0   x k − h 

Khi ®ã hƯ (9) cã d¹ng:
y k +1 = (A + Bξ k )y k

(9’)

NÕu nghiƯm kh«ng cđa hƯ (9’) ỉn định tiệm cận Lyapounov bình phơng
trung bình thì nghiệm không của hệ phơng trình (9) ổn định tiệm cận
Lyapounov bình phơng trung bình.

Định lí. Nghiệm không của hệ phơng trình (9) ổn định tiệm cận Lyapounov
bình phơng trung bình nếu ma trận

A

hội tụ và tồn tại ma trận đối xứng xác

định dơng H > 0 thoả mÃn phơng trình sylvester:
A T HA + B T HB − H = −E

(9’)

2.5. Tính ổn định tiệm cận bình phơng trung bình của hệ
phơng trình sai phân (PTSP) tuyến tính ngẫu nhiên


- 21 Trong phần này ta xét hệ phơng trình sai phân tuyến tính ngẫu nhiên
k

x i +1 = a j x i- j + σxi −l ξi
j=0

, i∈Z

(10)

Víi ®iỊu kiện ban đầu xi=i, iZ0
Trong đó i là biến rời rạc
iZZ0 với Z={0,1,2,}
Z0=={-h,,0} h=max{k,l}
Giả sử (, F, P) là không gian xác xuất, (f iF)
iZ là dÃy các đại số
0, 1, là dÃy các biến ngẫu nhiên độc lập
i là dÃy các biến ngẫu nhiên phù hợp với fi+1 và độc lập với fi , Ei = 0,
Ei2 = 1
Định nghĩa. Nghiệm không của hệ phơng trình (10)đợc gọi là ổn định

bình phơng trung bình nếu
> 0 > 0 sao cho
NÕu

2

ϕ = Sup Eϕi2 < δ ⇒ Ex 2 < ε
i
i∈Z 0

2
NÕu ngoµi ra lim Ex i = 0 thì nghiệm x = 0 của (10) đợc gọi là ổn định
i

tiệm cận bình phơng trung bình.
Trong phần này trớc hết chúng tôi sử dụng định lí sau:
Định lí 1. Giả sử tồn tại hàm không âm Vi = V(i,x-h,,xi) iZ thoả mÃn
các điều kiện:
EV(0, x h ,..., x 0 ) ≤ c1 ϕ

2

E∆Vi ≤ -c2Exi2 , i∈Z
Trong ®ã ∆Vi = Vi+1 – Vi c1>0 , c2>0
Khi đó phơng trình (10) có nghiệm x = 0 ổn định tiệm cận bình phơng
trung bình.


- 22 Bây giờ chúng ta sẽ thiết lập điều kiƯn ®đ ®Ĩ nghiƯm x = 0 cđa hƯ (10) ổn
định tiệm cận bình phơng trung bình.

Đặt

x(i) = (x i-k,..., xi-1, xi)T
b = (0,..., 0, )T

là các véc tơ cột k+1 chiều.
Đặt ma trận vuông
0
0

A =

0
ak


1
0

0
a k 1

0 
 0 

  

 1 
 a0 


0
1

0
ak 2

Khi đó phơng trình (10) có thể viết dới dạng
x(i+1) = Ax(i) + bxi-li

(11)

Đặt U là ma trận vuông k+1 chiều có phần tử uk+1,k+1 = 1, còn các phần tử
còn lại bằng 0
Khi đó ta có định lí sau:
Định lí 2. Để nghiệm không của phơng trình (10) ổn định tiệm cận bình
phơng trung bình. Điều kiện cần và đủ là
2dk+1,k+1 < 1

(*)

Trong đó d là các phần tử của ma trận xác định dơng D thoả mÃn phơng
trình Sylvester
ATDA – D = -U

(**)

Chøng minh. XÐt
l

Vi = x T (i)Dx(i) + σ 2 d k +1,k +1 ∑x 2−j
i
j =1

(***)

TÝnh gia sè ∆Vi vµ lÊy kú väng, ta cã
l

E∆Vi = E x T (i + 1)Dx(i + 1) + σ 2 d k +1,k +1 ∑x i +l- j
j=1


[

l

x
− x T (i)Dx(i) - σ 2 d k +1,k +1 ∑ i- j 
j=
1


]

= E x T (i)(A T DA − D)x(i) + b T Dbx 2-l + σ 2 d k +1,k +1 E(x 2 - x 2-l )
i
i
i

- 23 = (σ2 d k +1,k +1 - 1)Ex 2
i

Bây giờ giả sử điều kiện (*) đúng. Khi đó điều kiện (***)thoả mÃn các
điều kiện của định lí 1. Có nghĩa là nghiệm x=0 của (10) ổn định tiệm cận
bình phơng trung bình.
Điều đó chứng tỏ điều kiện (*) là điều kiện đủ đối với tính ổn định tiệm
cận của nghiệm x = 0 của phơng trình (10)
Giả sử điều kiện (*) không đúng, tức là 2dk+1,k+1 1 .
Khi ®ã

E∆Vi ≥ 0.Tõ ®ã suy ra r»ng:
i −1

∑ E∆V
j =0

j

= EVi − EV0 ≥ 0

Tøc lµ EVi ≥ EV0 > 0 . Điều đó chứng tỏ rằng nghiệm x=0 của phơng
trình (10) không thể ổn định bình phơng trung bình. Do đó điều kiện (*) là
điều kiện cần đối với tính ổn định bình phơng trung bình của nghiệm x = 0
cña (10).


- 24 -

Kết luận
Khoá luận đà thu đợc các kết quả sau đây:
1) ĐÃ trình bày có hệ thống một số khái niệm cơ bản và một số tính chất
quan trọng của lí thuyết ổn định hệ phơng trình vi phân tất định, bao gồm các
nội dung:
- Các loại ổn định theo nghĩa Lyapunov
- ổn định của hệ vi phân tuyến tính
- ổn định của hệ tuyến tính không dừng
- ổn định của hệ tựa tuyến tính
- ổn định của các hệ với thời gian rời rạc
2) ĐÃ phát biểu và chứng minh đợc các mệnh đề về tính ổn định của một
lớp hệ phơng trình sai phân ngẫu nhiên:
- Theo tiêu chuẩn phổ (bài toán 2.3)
- Theo tiêu chuẩn hệ số đại số (bài toán 2.8 và bài toán 2.9)
3) ĐÃ phát biểu và chứng minh đợc định lí về tính ổn định tiệm cận bình
phơng trung bình của hệ phơng trình sai phân tuyến tính ngẫu nhiên có d¹ng:
k

x i +1 = ∑a j x i- j + σxi −l ξi
j=0

,

i∈Z.


- 25 -

Tài liệu tham khảo

1. Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phúc. Cơ sở phơng trình vi phân và lí
thuyết ổn định. NXB Giáo dục. 2000.
2. Vũ Ngọc Phát. Nhập môn điều khiển toán học. NXB Đại học quốc
gia Hà Nội. 2001.