bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với nhiễu động

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái
Nguyên
h tt p

://ww w .l r c

-

t nu . e

d

u . v

n
1
MỤC
LỤC
Trang
Mở đầu
2
Ch
ƣ
ơng
I Một số khái niệm về hệ
ph
ƣ
ơng
trình vi phân đại số
5
1.1 Phép chiếu - Chỉ số của cặp ma trận

5
1.2 Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số hằng
7
1.3 Phân rã hệ phương trình vi phân đại số thành hệ phương
trình
vi phân thường và hệ phương trình đại số
10
1.4 Sự ổn định (Lyapunov) của hệ phương trình vi phân đại số
13
Ch
ƣ
ơng
II Bán kinh ổn định của hệ
ph
ƣ
ơng
trình vi phân đại
số
tuyến tính với ma trận hệ số hằng
15
2.1 Bán kính ổn định phức của hệ phương trình vi phân đại số
15
2.2 Liên hệ giữa bán kính ổn định thực và bán kính ổn định
phức
của hệ phương trình vi phân đại số
24
Ch
ƣ
ơng
III Bán kính ổn định của hệ

ph
ƣ
ơng
trình vi phân
đại
số tuyến tính với nhiễu động
34
3.1 Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số biến thiên
35
3.2 Nghiệm yếu và các khái niệm ổn định
37
3.3 Công thức bán kính ổn định
44
3.4 Các trường hợp đặc biệt
55
Kết luận
59
Tài liệu tham khảo
60
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái
Nguyên
h tt p

://ww w .l r c

-

t nu . e

d

u . v

n
2
MỞ
ĐẦU
Từ cuối thế kỷ XIX nhiều nhà khoa học đã quan tâm tìm lời giải
cho
bài toán ổn định của chuyển động. Ở thời
đ
iểm đó, người ta đã đưa ra
nhiều
định nghĩa khác nhau về khái niệm này, chẳng hạn như
đ
ịnh
nghĩa
của
A.Poincaré, V.Rumyantsev, Chỉ từ khi A.M. Lyapunov (1857-
1918)
công
bố công trình “Bài toán tổng quát về tính ổn định của chuyển
động” vào
năm
1892 ở Nga và dịch sang tiếng Pháp (Problème général de la stabilité
du
mouvement) năm 1907, lý thuyết ổn định mới được nghiên cứu một cách
có
hệ thống và trở thành một bộ phận quan trọng trong lý thuyết
đ

ịnh
tính
phương trình vi phân. Kể từ đó, lý thuyết ổn định đã được nhiều nhà
khoa
học
trên khắp thế giới quan tâm nghiên cứu. Đến nay, đã hơn một thế
kỷ trôi
qua,
lý thuyết ổn định vẫn là một lĩnh vực toán học được nghiên cứu
sôi nổi và
đã
thu được nhiều thành tựu rực rỡ, sâu sắc, như: vật lý, khoa học
kỹ thuật
công
nghệ,
s
inh thái học, Lyapunov đã giải quyết bài toán ổn
đ
ịnh bằng cả
hai
phương pháp, đó là phương pháp số mũ đặc trưng
Lyapunov (còn gọi
là
phương pháp phổ hay phương pháp thứ nhất của
Lyapunov) và phương
pháp
hàm Lyapunov (còn gọi là phương pháp thứ hai
của
Lyapunov).
Vào những năm 70 của thế kỷ trước, một số bài toán có liên quan

đến
phương trình vi phân
dạng:
A
t
x
'(t) +B
t
x(t)
0
ở đó,
A
, B C
I

,
L
R
n
, x
:

I
R
n
, I
a
,
,
a là hằng

số,
det A
t
0 t I
. Đây chính là một dạng đặc biệt của phương trình vi
phân
đại số (differential algebraic equation-DAE). Ngay sau đó, loại phương
trình
vi phân này được nhiều nhà toán học đi sâu nghiên cứu. Để nghiên cứu
DAE
người ta thường làm như sau: phân rã chúng nhờ các phép chiếu để
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái
Nguyên
h tt p

://ww w .l r c

-

t nu . e

d

u . v

n
3
được
một
hệ phương trình vi phân thường và một hệ phương trình đại số.

Ngoài
ra,
cũng còn một vài phương pháp khác. Đến nay người ta cũng đã tìm ra
khá
nhiều kết quả cho phương trình vi phân đại số tương tự như ở phương trình
vi
phân thường chẳng hạn như lý thuyết Floquet, tính ổn
đ
ịnh tiệm cận
của
nghiệm của phương trình với ma trận hệ số
hằng.
Trong hơn hai thập kỷ qua, từ khái niệm bán kính ổn định
mà
D.Hinrichsen và A.J.Pritchard đưa ra, hai ông đã hình thành một
hướng
nghiên cứu mới là nghiên cứu tính ổn định vững của các hệ động lực
dựa
trên
khái niệm bán kính ổn định. Hướng nghiên cứu này đã thu hút sự
chú ý
và
tâm huyết của nhiều nhà toán học vì tính hiệu quả và tính thời sự
của nó
cũng
như những ứng dụng trong các bài toán kỹ thuật. Nhóm tác giả
Nguyễn
Hữu
Dư, Vũ Hoàng Linh đã nghiên cứu sự ổn định của hệ phương
trình vi

phân
đại số với ma trận hệ số phụ thuộc tham số thời gian và đưa ra
công thức
bán
kính ổn định trong bài báo “Stability radii for linear
time -
varying
differential - algebraic equations with respect to
dynamic
perturbations”
được đăng tải trên JOURNAL OF DIFFERENTIAL
EQUATIONS, June
2006.
Đây là bài báo cơ sở để thực hiện luận văn
này.
Luận văn gồm 61 trang, ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu
tham
khảo, gồm có ba
chương:
Chương I: Một số khái niệm về hệ phương trình vi phân đại số. Chương
này
trình bày các kiến thức cơ sở để sử dụng trong các chương
sau.
Chương II: Bán kính ổn
đ
ịnh của hệ phương trình vi phân đại số tuyến
tính
với ma trận hệ số hằng. Chương này trình bày bài toán tính bán kính ổn
định
cho hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính

dạng
Ax '(t) - Bx(t)
0
trong
đó
A, B là các ma trận thực,
det A
0.
Chương III: Bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân đại số tuyến
tính
với nhiễu động. Chương này nghiên cứu về hệ các phương trình vi phân
đại
số tuyến tính biến đổi theo thời gian có
dạng:
A t
x

'
t B t x t ,t
0
trong đó
A
.
L
loc
0,
;

K

n
n
,
B
.
L
loc
0,
;
K

n
n
, ở đây công thức
bán
kính ổn định được đưa
ra.
Luận văn này được hoàn thành tại khoa Toán, trường Đại học Sư
phạm
- Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn ân cần, tỉ mỉ và khoa học của
Cô
giáo -
T
iến sĩ Đào Thị Liên. Qua đây tôi xin bày tỏ lòng
b
iết ơn sâu sắc
công
lao vô bờ của cô đã không quản thời gian và công sức hướng dẫn tôi
hoàn
thành luận văn. Tôi cũng xin cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa

Toán,
khoa
Sau Đại học, trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên
đã đào tạo
và
tạo điều kiện tốt nhất để luận văn được hoàn thành. Sau cùng
tôi xin được
bày
tỏ tình cảm tha thiết dành cho gia đình tôi, cơ quan nơi tôi
công tác
(Trường
PT Vùng Cao - Việt Bắc) đã động viên, tạo điều kiện
cho tôi được yên
tâm
học tập, nghiên
cứu.
Mặc dù đã hết sức cố gắng, song luận văn khó tránh khỏi những
hạn
chế và thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp
để
luận văn được hoàn thiện
hơn.
Thái Nguyên, tháng 9 năm
2008
Học viên cao
học
Lƣu
Thị Thu
Hoài
n

1
1
CH
Ƣ
ƠNG

I
MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ HỆ
PHƢƠNG
TRÌNH VI PHÂN ĐẠI
SỐ
1.1. Phép chiếu - Chỉ số của cặp ma trận
9
Định nghĩa 1.1.1. Cho P
L


Nhận xét
1.1.2.
. P được gọi là một phép chiếu nếu
P
2
P
.
i) Cho P là phép chiếu. Khi đó, ta có:
KerP
Im P 
n
.
ii) Mỗi phân

tích
 U
V
tồn tại duy nhất một phép chiếu P
sao
cho imP = U và KerP = V, khi đó P được gọi là phép chiếu lên U dọc theo
V.
Đặt Q:=I – P thì Q cũng là một phép chiếu và là phép chiếu lên V dọc theo
U.
Định nghĩa 1.1.3. (Chỉ số của ma
trận)
Cho
A L


n
. Số tự nhiên k được gọi là chỉ số của ma trận A, ký hiệu
là
indA, nếu đó là số nhỏ nhất
mà
KerA
k
KerA
k 1
.
indA
min
k

:

KerA
k
KerA
k
1
Định lý 1.1.4. Với
mọi
A L


n
ta luôn
có:
imA
k
KerA
k

n
với mọi k thoả mãn
0<k<indA.
imA
k
KerA
k
imA
k
KerA
k


n
với k
indA

.
Định nghĩa 1.1.5.
Cho
A, B L


n
. Cặp ma trận (A,B) được gọi là
chính
quy nếu c  sao
cho

det
cA B 0
.
Định nghĩa 1.1.6. Cho cặp ma trận (A,B) chính quy, c là số
mà
det
cA
B
0
. Chỉ số của cặp ma trận (A,B), ký hiệu
là
ind
A,

B
, là chỉ
số
của ma
trận
cA B
A

.
ind
A,
B ind cA B
A
(Định nghĩa này không phụ thuộc vào việc chọn giá trị
c).
1
n
B
n
Định lý 1.1.7. Nếu
Q L


n
không suy biến
thì:
ind QA,QB ind AQ, BQ ind A, B
.
Nếu A, B là giao hoán được thì ind A, B ind A
.

Định lý 1.1.8. Giả sử cặp ma trận (A,B) chính quy, c R sao cho cA + B
khả
nghịch, đặt Q cA B . Khi đó, QA và QB là giao hoán
được.
Định lý 1.1.9. Giả sử cặp ma trận (A,B) là chính quy, chỉ số k
và
1
k
rank cA B A r thì tồn tại các ma trận khả nghịch P, Q sao
cho:
A Pdiag I
r
,U
Q,
B Pdiag
W
,U
n r
Q
ở đó
U diag U
l
1
, ,U
l
s
,
max
l k,U
l

r
u L


l
r
1 s i r
ij
với
u
ij
1 khi j
i
0
khi
1

;
U
k
0
còn U
l
0 l k
.
j i
1
Định lý 1.1.10. Giả sử A là ma trận suy biến. Các mệnh đề sau là
tương đương:
1) Cặp (A,B) chính quy với chỉ số

1.
2) x KerA và Bx ImA suy ra x =
0
3) Cặp (A,B) chính quy và degP = rankA với
P(z):=det(zA+B).
4) Cặp (A,B+AW) chính quy và ind(A,B+AW) = 1 với mọi W L 
n
.
5) G:=A+BQ không suy biến với Q là phép chiếu lên
KerA
.
6) Với S
:
x  : Bx
ImA
thì
S KerA 
n
.
7) Bằng cách nhân với ma trận không suy biến thích
hợp
E L 
n
thoả mãn:
EA
A
1
,
EB
0

B
1
, rankA rankA
1
, ta nhận được ma
trận
2
A
không suy biến
1
B
2
L 
.
x
y
n
x
'
1.2. Hệ
ph
ƣ
ơng
trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số
hằng
2 , 3 , 9
Xét hệ phương trình vi phân
dạng:
F
t,

x
t
,

x
' t 0
(1.2.1)
trong
đó:
x : I 
n

,
I a,

F : I D 
n

n
t, x,
y
 F t, x,
y
D là tập mở
trong

n
, F C I D 
n
,


n
,
F

'

,

F
'
C I
D

,
L 
n
.
Định nghĩa 1.2.1. Hệ phương trình vi phân (1.2.1) được gọi là hệ
phương
trình vi phân đại số (DAE’s) nếu hàm F thoả
mãn
KerF

'
t,
x t
,

x

' t 0
với
mọi
t, x,
x

'
I D 
n
.
Hệ quả 1.2.2. Hệ phương trình vi phân tuyến
tính:
A t
x

'
t B t x t q t
(1.2.2)
trong
đó:
A,
B C
I

,
L


n
, q liên tục trên I, detA(t) = 0 với

mọi
t I ,
là
hệ phương trình vi phân đại
số.
Người ta có thể phân lớp các hệ phương trình vi phân đại số nhờ
khái
niệm chỉ số của các hệ phương trình vi phân loại
này.
Tiếp theo ta đề cập đến khái niệm chỉ số của hệ phương trình vi
phân
đại số ([3],
[9]).
Xét hệ phương trình vi phân đại số
dạng:
F
t,
x
t
,

x
' t 0
(1.2.3)
trong
đó:
x : I 
n

,

I a; 
,
F : I D 
n

n
t, x,
y
 F t, x,
y
n n
n
x
'
x
'
x
'
2
n
x

'
x

'
C
n
'
N

D là tập mở
trong
 , F C I D 
,


,
F

'

,

F
'
C I
D

,
L 
n
KerF
'
t, x,
x
'
0
t, x,
x

'
I D 
n
.
Giả
thiết
KerF
'
t, x,
x

'
không phụ thuộc vào x và x’ tức
là:
KerF
'
t, x,
x
' N
t
t, x,
x

'
I D 
n
.
Định nghĩa 1.2.3. Không gian hạch N t được gọi là trơn trên I nếu có
ma
trận hàm khả vi liên

tục
N(t) t I
.
Q
C
1
I

,
L


n
sao
cho
Q t Q t
, ImQ(t)
=
Khi đó Q(t) là phép chiếu lên N(t).
Đặt
P t I Q t P
C
1
I

,
L 
n
.
Ta

có:
1
F
t

,x
,y F t ,x ,P t y
F
0
'
t x,
s,y
1 s P t y Q t yds và
từ
'
'
Q t y ImQ t N t KerF
x
'
suy
ra:
t, x,
x

'
F
x
'
t, x, y Q t
y

0
. Từ đó
ta
1
F
t,
x, y F
t,

x,
P t y
F

'
t,

x,

sy
1 s P t y Q t yds
0
hay
0
F
t,
x, y F
t,

x,
P t y

F t, x, x
'
F t, x, P t x
'
F t, x, Px ' t P ' t x t
Điều này cho thấy, để
hàm
x : I


n
là nghiệm của (1.2.3) thì
cần
phải
có
Px
C
1
I

,



n
, Qx C
I

,



n
. Bây giờ ta quan tâm tới không
gian
hàm sau:
1
I

,



n
x
C
1
I

,



n
: Px
C
1
I

,



n
.
Đặt
S t, x, y
z
 :
F
t, x, y z ImF
'
t, x,
y
x
y
x
y
n
y
1
' '
G
1
t, x, y : F
y
t, x, y F
x
t, x, y Q t
A

1
t, x, y :
G t, x, y F
'
t, x, y P
'
t Q t
x
n
N
1
t, x, y
:
KerA
1
t, x,
y
S
1
t, x, y
z

n
:

F

'
t, x, y P t z
ImA

1
t, x,
y
Định nghĩa 1.2.4. Hệ phương trình vi phân đại số (1.2.3) được gọi là có
chỉ
số 1 trên tập
mở
G I D


n
nếu
N t S t, x, y


n
t, x, y G
.
Định nghĩa 1.2.5. Hệ phương trình vi phân đại số (1.2.3) được gọi là có
chỉ
số 2 trên tập
mở
G I D


n
nếu:
dim
N
1

t, x, y
const
0 và
N
1
t, x, y
S
1
t, x, y


n
t, x, y
G
Cụ thể, đối với hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính
dạng:
A t
x

'
t B t x t
0
(1.2.4)
trong đó x : I 
n

,
A,
B C
I

,
L


n
, det A
t
0 với mọi t I
.
N t KerA t trơn trên I. Khi đó, có phép chiếu Q(t) lên N(t), khả vi
liên
tục.
Đặt
P t
:
I Q t
.
S t
:
z  : B t z ImA
t
A
1
t :
A t B t A t P ' t Q t
N
1
t
:

KerA
1
t
S
1
t
:
z


n
: B t P t z ImA
1
t
Gọi
Q
1
t là phép chiếu khả vi liên tục
lên
N
1
t dọc
theo
S
1
t
,
P
1
t

:
I Q
1
t
.
B
1
t :
B t A
1
t PP
1
' P t
Đặt A
2
t
:
A
1
t
B
1
t Q
1
t
Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.2.4) có chỉ số 1 trên I
khi
và chỉ
khi
N t S t



n
t I
tức là
det A
1
t
0 t I
.
n
1 1
Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.2.4) có chỉ số 2 trên I
khi
dim N t const 0
và chỉ khi
1
det A t
tức là
1
0 t I
N
1
t S
1
t
R
n
t I
det A

2
t 0 t I
Đặc biệt, xét hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính hệ số
hằng:
Ax

'
t Bx t
0
(1.2.5)
trong
đó:
x : I 
n

,
A, B L


n
, det
A 0
. Khi
đó:
N :
KerA
S :
z
 : Bz
ImA

Gọi Q là phép chiếu lên N, đặt P:=I-Q (P là phép chiếu lên
ImA).
A
1
:
A BQ
,
N
1
:
KerA
1
,
S
1
:
z


n
:
B
1

z
ImA
Gọi Q
1
là phép chiếu
lên

N
1
dọc S
1
, đặt P
1
:
I Q
1
.
B
1
:
BP
,
A
2
:
A
1
B
1
Q
1
A
1
BPQ
1
Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.2.5) có chỉ số 1 khi và
chỉ

khi
N S


n
det A
1
0
.
khi
Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính (1.2.5) có chỉ số 2 khi và
chỉ
dim
N
1
const
0
det A
0
tức là
1
N S
R
n
det A
2
0
1.3. Phân rã hệ
ph
ƣ

ơng
trình vi phân đại số thành hệ
ph
ƣ
ơng
trình
vi
phân
th
ƣ
ờng
và hệ
ph
ƣ
ơng
trình đại số 1 , 3
Trong mục này ta sẽ nghiên cứu phân rã hệ phương trình vi phân đại
số
tuyến tính hệ số hằng có chỉ số 1 và chỉ số 2 thành hệ phương trình vi
phân
thường và hệ phương trình đại
số.
Xét hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính
sau:
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1

1
Ax

'
t Bx t q t
(1.3.1)
trong
đó:
x : I 
n

,
A, B L


n
, det
A 0

,
q
.
C
I

,
R
n
.
1.3.1. Phân rã hệ phương trình vi phân đại số chỉ số

1
Giả sử hệ (1.3.1) có chỉ số 1. Gọi Q là phép chiếu lên KerA
,
P :
I
n
Q

. Khi đó, AQ = 0. QP =
0.
A = AI
n
= A(P + Q) = AP = AP +BQP = (A + BQ)P =
A
1
P.
B = BI
n
= B( Q+ P) = BQ+BP = AQ +BQ+BP = (AQ + BQQ) +
BP
= (A+BQ)Q + BP = A
1
Q +
BP
Do vậy, hệ
(1.3.1)
A
1
Px
'

t A
1
Qx t BPx t q t
.
Nhân hai vế của phương trình này lần lượt
với
hệ tương
đương:
PA
1
và
QA
1
ta
được
Px '
t PA
1
BPx t PA
1
q t
Qx t QA
1
BPx t QA
1
q t
Đặt u t Px t , v t Qx t ta đưa hệ (1.3.1) về hệ
sau:
u ' t PA
-1

Bu t PA
-1
q t
(
)
v t QA
-1
Bu t QA
-1
q t
(
)
trong đó
( )
là hệ phương trình vi phân thường, còn
( )
là hệ phương
trình
đại
số.
Đặc biệt, khi
q
t
0
ta được
hệ:
u ' t PA
-1
Bu t
0

( ')
v t QA
-1
Bu t 0
( ')
1.3.2. Phân rã hệ phương trình vi phân đại số chỉ số
2
Giả sử hệ (1.3.1) có chỉ số 2. Khi đó det
A
1
Xét vế trái của (1.3.1) ta
có:
0, det A
2
0.
1
2
1
2
Q A

1 1 2 1 1
2
1 2
1
1 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
1

2
1
Ax

'
t Bx t APx
'
t Bx t A
Px
' t Bx
t
= A BQ P Px '
Qx BPx A
1
P Px ' Qx BPx
= A
1
BPQ
1
P
1

P Px ' t P
1

Qx Q
1
x BPx BPQ
1
x

= A
2
P
1
P Px ' t P
1
Qx Q
1
x BPP
1
x
Do vậy, hệ
(1.3.1)
A
2
P
1
P
Px
' t P
1
Qx Q
1
x BPP
1
x q t
Nhân hai vế của phương trình này lần lượt với
PP A
1
,

QP A
1
,
1
ta
được
hệ phương trình tương
đương:
PP P Px '
PPQx PP A
-1
BPP x PP A
-1
q
1 1 1 2 1 1
2
QP P Px ' QPQx QP A
-1
BPP x QP A
-1
q
1 1 1 2 1 1
2
Q x Q A
-1
BPP x Q A
-1
q
Ta có thể chọn phép chiếu Q (xem [1]) sao cho PQ
1

, PP
1
cũng là các
phép
chiếu đồng thời Q, PQ
1
,
PP
1
đôi một có tích bằng 0. Khi đó, ta
có:
Q Q

A
-1
BP,

Q

Q
0, PP
1
P PP
1
,
PP
1
Q
0, QP
1

P QQ
1
, QP
1
Q
Q
Q
1
Q
1
P, QQ
1
P QQ
1
và hệ trên trở
thành:
PP x '
PP A
-1
BPP x PP A
-1
q
1 1 2 1 1 2
QQ x ' Qx QP A
-1
BPP x QP A
-1
q
Đặt
1 1 2 1 1 2

Q x Q A
-1
q
u PP
1
x, v Q
1
x,
w Qx
x u Pv w ta nhận được hệ
sau:
u ' PP A
-1
Bu PP A
-1
q
Qv '
w QP A
-1
Bu QP A
-1
q
v Q A
-1
q
Đặc biệt, khi
q
t
0
ta nhận được

hệ:
1 2
1 2
n
n
u ' PP A
-1
Bu 0
w QP A
-1
Bu 0
v 0
1.4. Sự ổn định (Lyapunov) của hệ
ph
ƣ
ơng
trình vi phân đại
số
3 14 , 15
Xét hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính
sau:
A t
x

'
t B t x t
0
(1.4.1)
trong
đó:

x : I 
n

,
A, B L


n
, det
A 0
, q
.
C
I

,

R
n
Rõ ràng, hệ (1.4.1) có nghiệm tầm thường x t
0

.
1.4.1. Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số
1
Giả sử hệ (1.4.1) có chỉ số 1 và KerA t trơn. Gọi Q t là phép
chiếu
khả vi liên tục lên KerA t , đặt P t :
I
n

Q t
.
Ký
hiệu
x t;t
0
,

x
0
là nghiệm của (1.4.1) thoả mãn
đ
iều kiện
đầu
P
t
0
x
t
0
P
t
0
x
0
,
t
0
I
, x

0

Định nghĩa 1.4.1. Nghiệm tầm thường
x
t
0

của hệ (1.4.1) được gọi là
ổn
định

(theo

nghĩa

của

Lyapunov)

nếu

với

mọi

số
0

cho

trước

và

với

mọi

t
0
thì
I đều tồn
tại
x
t;t
0
, x
0
t
0
, 0
sao cho nếu
x
0
với mọi t t
0
.
 thoả
mãn
P t

0
x
0
Định nghĩa 1.4.2. Nghiệm tầm thường
x
t
0

của hệ (1.4.1) được gọi là
ổn
định tiệm cận nếu nó ổn định và tồn tại số
0
t
0
0
sao cho
nếu
P t
0
x
0 0
t
0
thì
x
t;t
0

,
x

0
0
khi
t
.
Định nghĩa 1.4.3. Nghiệm tầm thường
x
t
0

của hệ (1.4.1) được gọi là
ổn
định tiệm cận mũ nếu tồn tại hằng số dương và với mọi số
0
cho
trước
n
0
n
n
n
đều tồn tại
số
t
0
, 0 sao cho nếu
x
0

thoả

mãn
P t
0
x
0
thì
x t;t
0
,

x
0
e
t t
0
với mọi
t t
.
1.4.2. Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số
2
Giả sử hệ (1.4.1) có chỉ số 2 và KerA t trơn. Các phép chiếu P t
,
P
1
t như ở mục 1.3.2. Ký
hiệu
x t;t
0
,

x
0
là nghiệm của (1.4.1) thoả
mãn
điều kiện
đầu
P
t
0
P
1
t
0
x
t
0
P
t
0
P
1
t
0
x
0
,
t
0
I
, x

0


.
Định nghĩa 1.4.4. Nghiệm tầm thường x
t
0
của hệ (1.4.1) được gọi là
ổn
định (theo nghĩa của Lyapunov) nếu với mọi số 0 cho trước và mọi t
0
I
đều tồn
tại
t
0
, 0 sao cho nếu
x
0

thoả
mãn
P t
0
P
1
t
0
x
0

thì
x
t;t
0
, x
0
với mọi t t
0
.
Định nghĩa 1.4.5. Nghiệm tầm thường x
t
0
của hệ (1.4.1) được gọi là
ổn
định tiệm cận nếu nó ổn định và tồn tại số
0
t
0
0
sao cho
nếu
P t
0
P
1
t
0
x
0 0
t

0
thì
x
t;t
0

,
x
0
0 khi t
.
Định nghĩa 1.4.6. Nghiệm tầm thường
x
t
0

của hệ (1.4.1) được gọi là
ổn
định tiệm cận mũ nếu tồn tại hằng số dương và với mọi số
0
cho
trước
đều tồn tại
số
t
0
,
0
sao cho
nếu

x
0
 thoả
mãn
P t
0
P
1
t
0
x
0
thì
x
t;t
,
x e
t t
0
với mọi t t
.
0 0
0
CH
Ƣ
ƠNG

II
BÁN KÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ
PH

Ƣ
ƠNG
TRÌNH VI PHÂN ĐẠI
SỐ
TUYẾN TÍNH VỚI MA TRẬN HỆ SỐ
HẰNG
Trong chương này, chúng tôi trình bày bài toán, tính bán kính ổn
định
cho hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính
dạng
Ax '(t) - Bx(t) 0 ,
trong
đó A, B, là các ma trận thực, detA = 0. Chúng tôi đã đưa ra định nghĩa
bán
kính ổn định, công thức tính bán kính ổn định phức, chỉ ra những sự khác
biệt
cơ bản giữa trường hợp hệ phương trình vi phân thường và hệ phương
trình
vi
phân đại số. Đồng thời một trường hợp đặc biệt mà bán kính ổn
đ

ịn
h thực
và
phức bằng nhau cũng được chứng
minh.
2.1. Bán kính ổn định phức của hệ
ph
ƣ

ơng
trình vi phân đại
số
Xét phương
trình
trong
đó
Ax '(t) - Bx(t)
0
(2.1.1)
x 
m

,
A,

B
K

m
m

,(K

hoặc

)
, det A = 0, cặp
(
A, B) là chính

quy

chỉ
số k ≥ 1. Ta biết rằng khi đó, tồn tại các ma trận W, T, khả nghịch, sao
cho
A
W
I
r
0
0
T

-1
; B W
B
1
U
0
0
I
m-r

T

-1
,
(2.1.2)
s s r
r

ở đây. I
s
là ma trận đơn vị trong
K
dạng
U = diag(J
1
, J
2
, , J
l
)
với
0 1
0
,
B
1
K
,
U là ma trận k- luỹ linh
có
J
0

0
i
. .
1
0 0

0
R

p
i
p
i
,
i
1,

2, l.
(2.1.3)
sao cho max p
i
l
k
,
p
i
m

-

r.

Nhân hai vế (2.1.1) với
W
-1

ta
được
1 i l
i 1
y
' t
B
1

y t
0,
(2.1.4)
Uz

'
t z t
0,
(2.1.5)
trong
đó
T
1
x
t
y
t
, y
t
z
t

K

r
,
z
t
K

m
r

.
Vì U là k- luỹ linh nên (2.1.5) có nghiệm duy nhất z(t) = 0 do
đó,
hệ trên trở
thành
y
'
t
-
B
1

y t
0,
z t
0,
trong đó
y t
K

r
, z
t
K
m r
.
Định nghĩa 2.1.1. Nghiệm tầm thường
x
0
của (2.1.1) được gọi là ổn
định
tiệm cận mũ nếu có một phép chiếu P L
K

m
và các hằng số dương
, c
sao
cho bài toán giá trị ban đầu
(IVP):
Ax

'
t
Bx
' t
0
P x 0 x
0
0

có nghiệm
x t
duy nhất, thoả
mãn
x
t
c Px
0
e
t
, t
0.
Nếu ind (A, B) =1 ta chọn P = I
m
– Q, trong đó Q là phép chiếu
lên
KerA dọc theo S
z

:
Bz ImA
.
Ký
hiệu
A, B
là phổ của cặp {A,B}, nghĩa
là
A, B
là tập hợp
tất

cả các nghiệm của phương trình det
A B
0.
Trường hợp A = I
m
,ta viết
B
thay
cho
I
m
,
B
.
Ta biết rằng, hệ (2.1.1) là ổn định tiệm cận khi và chỉ khi
mọ
i giá
trị
riêng hữu hạn của cặp {A, B} nằm hoàn
to
àn trong nửa mặt phẳng phức
trái