đặc trưng của các tính chất (dn dz ) và (wdz ) trong lớp các không gian frechet

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên htt p :// w w

w. l rc

-tnu. e d

u. v

n
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
NGUYỄN DUY PHAN
ĐẶC TRƯNG CỦA CÁC TÍNH CHẤT
(D N D Z
)
VÀ
(WD

Z)
TRONG LỚP
CÁC KHÔNG GIAN FRECHET
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN
HỌC
THÁI NGUYÊN –
2007
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
NGUYẾN DUY PHAN
ĐẶC TRƯNG CỦA CÁC TÍNH
CHẤT
(D

N



D



Z


)
VÀ
(WD

Z)
TRONG LỚP
CÁC KHÔNG GIAN
FRECHET
Chuyên ngành: GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01
L
L
U
U
Ậ
Ậ
N
N
V

V
Ă
Ă
N
N
T
T
H
H
Ạ
Ạ
C
C
S
S
Ỹ
Ỹ
T
T
O
O
Á
Á
N
N
H
H
Ọ
Ọ
C

C
Người hướng dẫn khoa
học:
TS. PHẠM HIẾN BẰNG
THÁI NGUYÊN - 2007
MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU
1
Chương 1. Đặc trưng của các tính chất (D N D Z
)
trong lớp các không gian frechet
và (WD Z )
4
1.1. Một số khái niệm cơ bản.
4
1.2.
Đặc trưng của tính chất (DNDZ ) .
7
1.2.1. Tính chất (DNDZ
)
và Định lý chẻ tame.
7
1.2.2. Đặc trưng của tính chất (DNDZ ) .
11
1.3. Đặc trưng của tính chất (WDZ
)
.
12
1.3.1. Tính chất (WDZ

)
và định lý chẻ tame.
12
1.3.2. Đặc trưng của tính chất (WDZ
)
.
15
Chương 2. Đặc trưng của các tính chất (D N D Z
)
trong lớp các không gian frechet
và (W D

Z )
25
2.1. Các tính chất
(DN
DZ
)
và (WD

Z
)
.
25
2.2. Đặc trưng của các tính chất (D N

D Z ) .
27
2.3. Đặc trưng của các tính chất (WD

Z
)
.
35
2.4. Tính ổn định của các tính chất (D N

D Z
)
không gian đối ngẫu thứ hai.
và (W D

Z
)
đối với 46
KẾT LUẬN
50
TÀI LIỆU THAM KHẢO
51
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
htt p :// w w

w. l rc

-tnu. e d

u. v

n
MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Như đã biết, các bất biến tôpô tuyến tính của các không gian Frechet có
vai trò rất quan trọng trong lý thuyết các không gian Frechet, nói riêng, trong
các định lý phân rã. Các bất biến tôpô tuyến tính
(DN
)
và
(W)
đã được
D.Vog giới thiệu và nghiên cứu sâu sắc. Vog đã sử dụng các bất biến tôpô
tuyến tính đó để chứng minh định lý phân rã đối với các không gian Frechet
trong trường hợp không gian hạch và trường hợp không gian Frechet -
Hilbert. Đồng thời đã cho đặc trưng đầy đủ của các bất biến tôpô tuyến tính
(DN
)
và (W) .
Từ năm 1990 M.Poppenberg đã giới thiệu và nghiên cứu các tính chất
(DNDZ
)
và (WDZ
)
trong lớp các không gian Frechet phân bậc. Ông đã giới
thiệu khái niệm ánh xạ tuyến tính tame giữa các không gian Frechet phân bậc
và thiết lập định lý phân rã trong phạm trù các không gian Frechet phân bậc
và các ánh xạ tuyến tính tame. Tiếp theo, trong trường hợp không gian hạch,
Poppenberg đã cho đặc trưng đầy đủ của các tính chất (DNDZ
)
và (WDZ
)
.

Theo hướng nghiên cứu này, chúng tôi chọn đề tài : " Đặc trưng của các tính
chất
(DN
DZ
)
và (WD

Z
)
trong lớp các không gian Frechet ".
Theo chúng tôi đề tài này có tính hiện đại và tính thời sự được nhiều
người quan tâm nghiên cứu.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu. Luận văn nghiên cứu về đặc trưng của các
tính chất
(DN
DZ
)
và (WD

Z
)
trong lớp các không gian Frechet phân bậc.
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu. Trên cơ sở mục đích đã đặt ra, luận văn tập
trung vào các nhiệm vụ sau đây:
- Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất
(DNDZ )
và
(WDZ
)

trong lớp các không gian Frechet phân bậc cùng đặc trưng của
các tính chất
(DNDZ
)
và
(WDZ
)

.
- Chứng minh chi tiết một số kết quả về các tính chất
(DN
DZ
)
và
(WD

Z
)
trong lớp các không gian Frechet phân bậc cùng đặc trưng của các tính
chất
(DN
DZ
)
và
(WD

Z )
.
3. Phương pháp nghiên cứu
Để giải quyết các nhiệm vụ đặt ra chúng tôi đã tiến hành:

- Đọc tham khảo các tài liệu trong và ngoài nước, trao đổi, tham khảo
và học tập các chuyên gia cùng lĩnh vực nghiên cứu.
- Áp dụng các phương pháp truyền thống của giải tích hàm, giải tích
hiện đại và các phương pháp của lý thuyết về các bất biến tôpô tuyến
tính. Cụ thể ở đây chúng tôi đã kế thừa các kết quả và phương pháp
gần đây của Vogt, M.Poppenberg để giải quyết các bài toán cụ thể đã
nêu ra ở trên.
4. Bố cục của luận văn. Nội dung luận văn gồm 52 trang, trong đó có phần
mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.
Chương 1 của luận văn trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các
tính chất (DNDZ
)
và (WDZ
)
trong lớp các không gian Frechet phân bậc
cùng đặc trưng của các tính chất (DNDZ
)
và (WDZ
)
.
Chương 2 của luận văn cũng là chương cuối với nội dung chính là trình bày
chứng minh chi tiết các kết quả của N.V.Khuê, L.M.Hải và B.Đ.Tắc về các
tính chất
(DN
DZ
)
và (WD

Z
)

trong lớp các không gian Frechet phân bậc
cùng đặc trưng của các tính chất
(DN
DZ
)
và (WD

Z
)
. Phần cuối cùng của
chương này dành cho việc trình bày các kết quả về tính ổn định của các tính
chất
(D N
D

Z


)
và (W D

Z
)
đối với không gian đối ngẫu thứ hai.
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.
Bản luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm - Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Phạm Hiến Bằng. Nhân
dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những
kinh nghiệm trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo

trong tổ Giải tích, các thầy cô giáo trong trường Đại học sư phạm - Đại học
Thái Nguyên, Viện Toán học và trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng
dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu
khoa học.
Xin chân thành cảm ơn trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái
Nguyên, trường Cao Đẳng kỹ thuật mỏ Quảng Ninh cùng các đồng nghiệp
đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong suốt quá trình học tập và hoàn
thành bản luận văn này.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy
rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học
viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi
trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Thái Nguyên, tháng 09 năm 2007
Tác giả
Nguyễn Duy
Phan
CHƢƠNG
1
ĐẶC
TRƢNG
CỦA CÁC TÍNH CHẤT (D N D Z ) VÀ
(WD Z
)
TRONG LỚP CÁC KHÔNG GIAN FRECHET
Trước tiên chúng tôi sẽ trình bày một số khái niệm và kết quả về các
tính chất
(DNDZ
)
và

(WDZ
)
là cơ sở để trình bày đặc trưng của các tính
chất (DNDZ ) , (WDZ
)
.
1.1. Một số khái niệm cơ bản.
1.1.1. Định nghĩa. Một dãy khớp các không gian lồi địa phương và ánh xạ
tuyến tính liên tục là một dãy hữu hạn hay vô hạn
×××®
E ¾
¾
f
® F ¾ ¾
g
® G ®
×××
sao cho ảnh của ánh xạ tuyến tính vào bằng hạt nhân của ánh xạ tuyến tính ra.
1.1.2. Định nghĩa. Một dãy các không gian lồi địa phương và ánh xạ tuyến
tính liên tục có dạng
0 ®
E
¾
¾
f
® F ¾ ¾
g
® G ®
0
được gọi là dãy khớp ngắn nếu

K
erf
=
{
0
}
,
im

f
=
kerg
và
im
g = G .
1.1.3. Định nghĩa. Dãy khớp ngắn
0
®
E ¾
¾
f
® F ¾ ¾
g
® G ®
0
được gọi là chẻ nếu xảy ra một trong hai điều kiện tương đương sau :
i

)
ii

)
f có ngược trái.
g
có ngược phải.
Khi đó
F
=
E
Å

G
(
Å
là tổng trực tiếp tô pô của E và G ).
Bây giờ xét phạm trù tame với các vật là các không gian Frechet phân
bậc
E

,
F , ( trên K = ¡ hoặc £ ), tức là các không gian Frechet được trang
bị dãy các nửa chuẩn cố định
.
0
£
.
1
£
.
2

£
¥
n
j =
n
xác định tôpô; dãy được gọi là bậc. Các không gian con và không gian
thương được trang bị các nửa chuẩn cảm sinh. Các cấu xạ là các ánh xạ
tuyến tính tame giữa các không gian Frechet phân bậc.
1.1.4. Định nghĩa. Ánh xạ tuyến tính
A : E ®
F
được gọi là tame nếu tồn
tại b
³
0
và các hằng số
c
n
>
0 ( có thể phụ thuộc vào n ) sao cho
A
x £
c
n
x
n +
b
với mọi n
³
0 và

x Î E
.
1.1.5. Định nghĩa. Ánh xạ tuyến tính
A : E ®
F
được gọi là đẳng cấu
tame nếu A là song ánh và A,
A

- 1
đều là tame.
Hai bậc trên
E
được gọi là tương đương tame nếu phép đồng nhất là đẳng
cấu tame.
1.1.6. Định nghĩa. Dãy khớp ngắn các không gian Frechet phân bậc
0 ®
E
¾
¾
i
® F ¾ ¾
q
® G ®
0
được gọi là khớp tame nếu các ánh xạ chính tắc
i : E ® iE
và
q
%

: F / iE ®
G
là các đẳng cấu tame.
1.1.7. Định nghĩa.
E
được gọi là tổng trực tiếp tame của
F
, nếu tồn tại
các ánh xạ tuyến tính tame i : E ®
F
đồng nhất trên
E
.
và L : F ®
E
sao cho
L o i là phép
Với mỗi
j
Î E
¢

ta định nghĩa
*
sup
{
j
(x
)
:

x
n
£
1
}
Î
¡
È
{
+
¥
}
,
U
n
=
{
x

Î
E : x
n
£
1
}
,
U
0
=
{

j
Î E
¢
:
j
*
£ 1
}
.
n
n
Các không gian Frechet sau đây là các không gian phân bậc một cách
tự nhiên, tức là không gian dãy
Ko
&
&
t
he
l
p

(a)
và không gian các chuỗi luỹ
thừa kiểu hữu hạn
L

p
(a ) :
¥
l

p

(a
)
=
{
x
=
(x
j
)

j = 1
Î
K

¥
:
x
n
< +
¥
, " n
}
,
(a
)
e
æ
å

¥
ç
p
p
ö
1/
p
÷
x
n
=
ç
å
x
j
a
j
,n
÷
nếu 1
£
p < + ¥ ,
x
n
=
j =
1
sup
x

j
j =
1,2, ,¥
ø
a

j

,n
nếu p = ¥ ,
trong đó a
=
¥
j
,n j = 1,n =
0
là ma trận thoả mãn 0
£
a

j
,n
£ a

j
,n +
1
với mọi
j
,

n
và sup a
j
,n
>
n
0 với mọi j .
p p
Đối với dãy bất kỳ
0 £
a

1
£ a

2
£

Z
+ ¥
,
L

¥
(a
) =
l
(a)
với

n
a
j
p p p
en
a

j
,n
=
e
. Đối với e
>
0
bất kỳ,
s
e
=
L

¥
(e log
j
) =
l
(a)
với
a

j

.n
= j ,
1 1
1
l (a) =
l
(a),
L

¥
(a
) =
L

¥
(a

),
s
e
=
s
e
,
s
=
s
1
.
Ta trang bị cho

w = K
¥
(tương ứng
(s

p
)
¥
) các bậc
n
x
n
=
å
x
i
(tương ứng (x ,
x
n
, ) =
n
x , x
n
Î s
e
).
0 1 i i
p
i
=

1
i
=
1
Trang bị cho D
[
a,b
]
=
{
f
Î C
¥
(

¡
) : supp f
Í
[
a,b
]
}

với bậc
f
n
=
sup sup f
(i

)

(
x
)
.
i
= 0,n x Î
[
a,b
]
Nếu
H
là không gian Frechet và || . ||
1
≤ || . ||
2
≤ ≤ || .||
n
≤ là hệ
tăng các nửa chuẩn liên tục trong
H
,
H

k
là không gian Banach kết hợp
với nửa chuẩn .
k
;

w
k
: H ®
H

k
và
w
n ,k
:
H

n
® H

k
(n >
k

)
là các ánh
xạ chính tắc.
Tương tự , nếu E là không gian Frechet phân bậc thì ta ký hiệu
E
n
là
{
không gian Banach kết hợp với nửa chuẩn .
n
, tức là không gian nhận được

bằng cách bổ sung (E /
ke
r
.
n
)
đối với .
n
.
Ký hiệu
s
không gian các dãy giảm nhanh với hệ các nửa chuẩn
tương đương:
k
k
:
}
x = sup
x

j
j j Î ¥
với mọi x
=
(x
1
,
x
2
,

) Î s .
e
k

,
m
. £
n
Với mỗi
k
cố định đặt:
s
k
=
{
x
=
(
x
1
,

x

2
,
)
Î
s : x
k

= sup
x

j
j

k
< + ¥
}
.
1.1.8. Định nghĩa. Cho
E
là không gian Frechet phân bậc.
i
)
Cho e
>
0 bất kỳ,
E
được gọi là
(e) -
hạch tame nếu
E
đẳng cấu tame
với không gian con của (s
2

)
¥
.

ii
) E
được gọi là hạch tame nếu tồn
tại
tame, hoặc tương đương:
e >
0
sao cho
E
là
(e) -
hạch
tồn tại e
>
0,
q
³
0 và các hằng số
c
k
,m
>
0 sao cho
a
n
(E

k + m
®
E

k
)
£
c (n + 1)
- e(m -
q)
với mọi m
³ q,
k
³
0 và n ³ 0 ,
ở đó
a
n
(k,
k
+
m
)
=
a
n
(E

k + m
® E

k
)

là các số xấp xỉ của các ánh xạ chính
tắc E
k + m
®
E
k
.
Với không gian tuyến tính
E
bất kỳ và các tập con tuyệt đối lồi
A
Ð
B
Ð
E ta ký hiệu
d
n
(A,
B
)
:
=
inf
{
d(A,

B,

F
) : F

Ð
E
,dimF £
n

}
là số Kolmogorov thứ
n
, mà trong đó với bất kỳ không gian con F
Ð
E
d(A, B,
F
)
=
inf
{
d
>
0 : A
Ð
dB + F
}
1.2. Đặc
trƣng
của tính chất (D N D Z ) .
1.2.1. Tính chất (D N D Z
)
và Định lý chẻ tame.
Trong [11], [15] D.Vog đã chứng minh rằng không gian Frechet hạch

E
đẳng cấu tôpô với không gian con của
s
nếu
E
có tính chất (DN ) , tức là
2
.
n - 1
. .
n + 1
với mọi n .
Trong trường hợp này, với mỗi
0 £ i £
n
và
k
³
0
ta có
.
k +
i
.
k
-
. .
i
,
n

£
n i
n +
k
từ đó bằng cách lấy minimum theo r với mọi
r
>
0 ta nhận được
¥
¥
F
k
*
e
.
£
r

i
.
+
1
.
,
n
n -
i
n +
k
r

và theo định lý song pô la với mọi r
>
0 ta có
0 i 0
1
0
U

n
Ð
r
U

n - i
+
U
.
r

k
n +
k
1.2.1.1. Định nghĩa. Cho
E
là không gian Frechet phân bậc . Ta nói rằng
E
có tính chất
(DNDZ
)
Nếu tồn tại

b, p ³
0
và các hằng số
c
n
>
0,c
n ,k
>
0 sao cho
æ
n - b
ö æ
¥
C
ö
U
0
Ð
c
ç
r

i
+ p
U
0 ÷
+
ç
n ,k

U
0
÷
.
n n
ç
I
n - 1
÷
ç
I
k - p
n + k
÷
è
i = - p
ø è
k = p
r
ø
Khi b
=
p = 0
,
E
gọi là có tính chất
(DND)
.
1.2.1.2. Mệnh đề [5]. Nếu không gian Frechet phân bậc
E

đẳng cấu tame
với không gian con phân bậc của
L

¥
(a
)
thì
E
có tính chất
(DNDZ )
.
1.2.1.3. Mệnh đề. Giả sử 0 ¾ ¾®
L

¥
(a
) ¾
¾
i
® E
%
¾ ¾
q
®
E
¾ ¾®
0
là dãy khớp tame các không gian Frechet phân bậc và
E

có tính chất
(DNDZ ) . Khi đó dãy khớp là chẻ tame, tức là q có ngược phải tame.
Chứng minh.
Bỏ đi một số hữu hạn các nửa chuẩn trong
E
%
và trang bị cho E các
nửa chuẩn thương, ta giả sử với
x
Î
L

¥
(a
)
và y Î E :
x
n
£
ix
n
, y
n
=
inf
{

x
n
: x

Î
E
%
,
qx
=
y

}
,
và
E
có tính chất (DNDZ
)
với
b
= 0

, tức là với n
³ 0,
r >
0
æ
n + p
ö
æ
¥
ö
U
0

Ð
c
ç
c r
n + p - m
U
0
÷+
ç
c r
n + p - m
U
0
÷
.
n n
ç

I
m ,n m
÷
ç
I
m ,n m
÷
è
m = 0
ø
è
m = n + p

ø
Theo định lý Hahn - Banach ta thác triển hàm toạ độ thứ j
¥
j
j
j j
=
f Î
L

¥
(a
)
¢
, f
(x
) =
x
tới hàm F
n
Î
E
%
¢

sao
cho
n -
n
a

j
j
n
. Chọn
j
g
g
n
Ơ
x
)
c
j
*
Ê
n
m
j
m
j
Ơ
n
-
n
a
j
0
sao cho
G

j
ẻ
2e U
n + 1
é
E
Â
n n + 1
n
G

j
o
q =
F
j
-
F
j
, v chn
1
Ê
c
k
Ê
c
k +
1
vi
D :=

2
m -
p

c
m
sup
c
m ,k
< + Ơ .
m
m
k
k
p dng iu kin (DNDZ ) trờn
G
n
cho
vi r
=
1
2c
n +
1
e

a
j
, ta chn
n

ẻ
E
Â
sao
j
D
m
2
-
n
e
(

p
+ 1- m )a
j
vi mi
m
Ê
n + p
,
n
n
*
2
-
n
(

p

+ 1- m )a
j
G

j
-
g Ê D
e
m
vi mi
m
>
n + p
.
Chui
g
j
:=
Ơ
ồ
g
j
n =
0
hi t trong
E
Â
, nờn ta t
ớ
ù

ù
m
Ơ
ỹ
ù
ù
j j j
j
ù
ồ
j
j
ồ
j
ù
j
Ta cú
:= F
0
+
(g
o
q)
=
F
m + 1
-
ỡ
ợ
ù

n =
0
(G

n
-
g
n
)
-
n = m +
1
g
n
ý
o
q .
ù
ỵ
*
j Ê
m +
p
+
1
e
- (m + 1)a
j
Ơ
+ D

m +
p
+
1

ồ
n =
0
2
-
n
e
- m a
j
Ê
(1
+
2D
m +
p
+
1
)e
- m a
j
.
Ta nh ngha ỏnh x
nhn c
j : E
%

đ L
Ơ
(a ) , xỏc nh
bi
j x
=
(j
j j =
1
, v
j x
m
=
sup
1Ê
j
Ê
Ơ
j
j

x
e
m
a
j
Ê (1
+
2D
m +

p
+ 1
)
x
m +
p
+ 1
.
T ú, j l ngc trỏi tame ca i .
1.2.1.4. H qu. Nu E cú tớnh cht (DNDZ
)
v
L

Ơ
(a
)
l hch thỡ mi
dóy khp tame 0 đ L
Ơ
(a
)
đ
E
%
đ E đ
0
u ch tame.
1.2.1.5. Mệnh đề. Giả sử không gian Frechet phân bậc E là hạch và có tính
chất (DNDZ ) . Khi đó E là hạch tame.

=
U
k
m
l
,k
,m l
m
0
Chứng minh. Giả sử
E
có tính chất
(DNDZ
)
với
b
= 0

. Ký hiệu B
k
k
và lấy 1
£
k + p
£ m
. Khi đó với mọi r
>
0 ta có
B
k

Ð
c
l,k
,m
ç
r B
l
+
B
÷
ö
r
m -
k
- p
m
÷
è ø
Lấy F
Ð
E
¢

là không gian con và d
>
d(B
l
,
B
m

;

F

)
. Khi đó
æ
k
-
l
+
p
1
÷
ö
B

k
Ð
c
l,k
,m
ç
r d
+
r
m -
k
- p
÷

B

m
+
F
với mọi
r > 0
,
Từ đó
è ø
æ ö
÷
d(B , B
;
F ) £
c
ç
r
k
-
l
+ p
d(B ,
B
;
F ) +
1
.
k m
l

,
k

,m
l m
r
m -
k
- p
ø
÷
Lấy minimum theo tất cả r
>
0 ta nhận được
d(B
,
B
;

F
)
m - 1
£
c d(B
,
B ;F )
m -
k
-
p

. (*)
Nói riêng, với mọi n
³
1, k ³ q
³
p ta nhận được
d(B
k
,
B
k +
nq

;

F
)
nq
+ q
£
c
k
,n
d(B
k -
q
,
B
k +
nq

;F
)
nq-
p
£
c
k

,n
d(B

k
-
q

,
B
k
;

F

)
nq-
p
d(B

k
,

B

k +
nq

;

F

)
nq- p
.
Từ đó suy ra với mọi n
³
1, k ³ q
³
p ta có
d(B
k
, B
k +
nq

; F )
£
c
k

,n

d(B
k
-
q

, B
k
;
F )
nq-
p
p
+
q
(**)
Theo (*) với mọi k ³ q
³
p và
m
³
p
ta có
k + m - q m -
p
d(B
k
,
B
k + m
;F

)
£
c
k
,m
d(B
q
, B
k + m
;F
)
m - p m -
p
£
c
k
,m
d(B
q
,
B
k
;

F
)
d(
B

k

,

B

k + m
;

F
)
.
ê
Thêm nữa, với mọi k ³ q
³
p và
m
³
p
ta có
d(B
k
, B
k + m
; F )
£
c
k

,m
d(B
q

, B
k
; F
)
m -
p
k
-
q
+
p
(***)
Từ (**) và (***) với q
³
p ,
k
³
3p
+
3q, m
³
p với n :=
é
k
ù
ta nhận được
ë
q
û

-
k

,m
Ơ
e
m - p m -
p
k
-
q
+ p
k
-
q
+
p
d(B
k
, B
k + m
; F )
Ê
c
k

,m
d(B
q

, B
k
; F
)
Ê c
k

,m
d(B
q

, B
nq

; F )
m - p
k
-
p
-
2q
1 m -
p
ì
ì
Ê
c
k

,m

d(B

0
,

B
q

;

F
)
k
-
q
+ p
p
+
q
Ê
c
k

,m
d(B

0
,

B

q

;

F
)
2
q
+ p
.
Ly infimum ca v trỏi theo tt c F
é
E
Â

vi dimF Ê
n
ta nhn c
d
n
(B
k
, B
k + m
)
Ê
c
k

,m

d
n
(B
0
, B
q
)
m -
p
2q
+
2

p
vi
q

p
, k

3p
+
3q, m p .
S dng tớnh hch ca
E
ta chn
q

p

vi
d
n
(B

0
,
B
q
)
Ê
c(n + 1)
- 2
.
t e =
1
p + q
. Khi ú vi k

0 v m

6p +
5q
ta c
a
(
k
,
k +
m

)
Ê
(n + 1)d
(U
,U )
Ê
(n +
1)
2
d
(U
0
,U
0
)
n n k + m k n k k +
m
ổ
ỗ
m
=

ỗ
-
4

p
-
3q

ử
ữ
ữ
Ê c (n + 1)
2
(n + 1)
p
+
q
ứ
ữ
Ê
c
k
,m
(n + 1)
- e(m -
6

p
-
5q
)
.
1.2.2. c
trng
ca tớnh cht (D N D Z ) .
1.2.2.1. B [12 v 18]. Vi mi
e >
0

tn ti dóy khp tame
0 đ s
e
đ
s
e
đ
(s
e
) đ
0
1.2.2.2. nh lý. Nu
E
l khụng gian Frechet phõn bc
(e) -
hch tame cú
tớnh cht (DNDZ ) thỡ E ng cu tame vi khụng gian con phõn bc ca
s
e
.
Chng minh.
Do b 1.2.2.1 tn ti dóy khp tame
0 đ s
e
đ
E
%
đ E đ
0
vi khụng gian con phõn bc

E
%
của
s
phải chứng minh.
. Áp dụng hệ quả 1.2.1.4 ta có điều
¥
¥
1.2.2.3. Định lý. Với mỗi không gian Frechet hạch phân bậc
E
, các mệnh
đề sau là tương đương:
i
) E
có tính chất
(DNDZ )
.
ii

)
Tồn tại e
>
0 sao cho
E
đẳng cấu tame với không gian con phân bậc
của
s
e
.
iii )

E
là hạch tame và mỗi dãy khớp tame
0 ¾ ¾®
L

¥
(a ) ¾
¾
i
® E
%
¾ ¾
q
®
E
¾ ¾®
0
là chẻ tame.
Chứng minh. i)
Þ
iii)
do định lý 1.2.1.3 và mệnh đề 1.2.1.5.
iii)
Þ
ii)
do bổ đề 1.2.2.1.
ii)
Þ
i) do mệnh đề 1.2.1.2.
1.3. Đặc

trƣng
của tính chất (WD Z
)
.
1.3.1. Tính chất (WDZ
)
và định lý chẻ tame.
1.3.1.1.Định nghĩa. Cho
E
là không gian Frechet phân bậc . Ta nói rằng
E
có tính chất (WDZ
)
Nếu tồn tại b, p
³
0 và các hằng số c
n
>
0,c
n ,k
>
0 sao
cho với mọi n
³
b +
p
và r >
0
æ
n - b

ö æ
¥
C
ö
U
Ð
c
ç
r
i
-
p
U
÷
+
ç
n ,k
U
÷
.
n n
ç
I
n - 1
÷
ç
I
k + p
n + k
÷

è
i = p
ø è
k = - p
r
ø
Khi b
=
p = 0
,
E
gọi là có tính chất
(WD

)

.
1.3.1.2. Mệnh đề. Nếu không gian Frechet phân bậc
E
đẳng cấu tame với
không gian thương phân bậc của
L

p
(a
)
thì E có tính chất (WDZ
)
.
1.3.1.3. Mệnh đề. Giả sử

0
®
E ¾
¾
i
® G ¾ ¾
q
® H ®
0
là dãy khớp tame các không gian Frechet phân bậc và
E
có tính chất
(WDZ
)
, H đẳng cấu tame với không gian con
của là chẻ tame, tức là
q có ngược phải tame.
Chứng minh.
L

¥
(a ) . Khi đó dãy khớp
¥ ¥
:
n
n
j
q
d
d

y
£
:
=
n
n
Giả sử
E Í
G
và
H
Í
L

¥
(a
)
là các không gian con phân bậc và
E
có tính chất
(WDZ
)
với
b
=
0

, tức là với mọi
n
³

p
và mọi r
>
0 ta có
æ
n - p
ö
æ
¥
ö
U
Ð
ç
r

n - p - m
U
÷
+
ç
c
r

n - p - m
U
÷
.
n
ç

I
m
÷
ç
I
m ,n m
÷
è
m = 0
ø
è
m = n - p
ø
Ký hiệu .
n
,
.

n
theo thứ tự là bậc của
L
1
(a )
,
L
2
(a )
và .
n
là bậc cảm

sinh bởi các nửa chuẩn thương trên
H
. Chọn
b,
d
cố định sao cho với
y Î
H
bất kỳ, ta có
n
c
n
¢
y
n + b
£
và
c
n
¢
y
n +
d
do đó
å
e
- 2da
j
j
< + ¥ ,

x
n
£
c
¢
x
n + d
,
x
Î
L

¥
(a
)
.
Ký hiệu
H

n
là là bao đóng của H trong
l
2
(e
n a
j
)
=
{
x

=
(x
1
,
x
2
,
) : x
n
< + ¥
}
,
p :
l

2
(e
n
a
j
) ®
H
là phép chiếu chính tắc;
E
,G
(tương ứng
H
%
) là bổ
n n n n

n
sung của
dãy khớp
E
,G (tương ứng H ) đối với .
G
(tương ứng .
:
) và nhận được
0
i
n
qn
%
0
®
E
n
¾ ¾ ®
G
n
¾ ¾¾® H
n
® .
Ký hiệu
e

j
Î
L

¥
(a
)
là véc tơ đơn vị thứ
n
, và chọn d
n
Î
G
n
sao cho
Đặt
n j
p
n + b
e
j
,
j
c
n
¢
e
(n + b)a
j
.