Đặc trưng của các tính chất (d n d z) và (wd z) trong lớp các không gian frechet

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM




NGUYỄN DUY PHAN





ĐẶC TRƯNG CỦA CÁC TÍNH CHẤT
()D N D Z
VÀ
()DZW
TRONG LỚP
CÁC KHÔNG GIAN FRECHET


LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN – 2007

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM




NGUYẾN DUY PHAN


ĐẶC TRƯNG CỦA CÁC TÍNH CHẤT
()DNDZ
VÀ
()DZW
TRONG LỚP
CÁC KHÔNG GIAN FRECHET


Chuyên ngành: GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01


L
L
U

U
Ậ
Ậ
N
N


V
V
Ă
Ă
N
N


T
T
H
H
Ạ
Ạ
C
C


S
S
Ỹ
Ỹ

T
T
O
O
Á
Á
N
N


H
H
Ọ
Ọ
C
C




Người hướng dẫn khoa học:
TS. PHẠM HIẾN BẰNG






THÁI NGUYÊN - 2007

MỤC LỤC




Trang

MỞ ĐẦU
1
Chương 1. Đặc trưng của các tính chất
()DNDZ
và
()DZW

trong lớp các không gian frechet
4
1.1. Một số khái niệm cơ bản.
4
1.2. Đặc trưng của tính chất
()DNDZ
.
7
1.2.1. Tính chất
()DNDZ
và Định lý chẻ tame.
7
1.2.2. Đặc trưng của tính chất
()DNDZ
.
11

1.3. Đặc trưng của tính chất
W()DZ
.
12
1.3.1. Tính chất
W()DZ
và định lý chẻ tame.
12
1.3.2. Đặc trưng của tính chất
W()DZ
.
15
Chương 2. Đặc trưng của các tính chất
()DNDZ
và
()DZW

trong lớp các không gian frechet
25
2.1. Các tính chất
()DNDZ
và
W()DZ
.
25
2.2. Đặc trưng của các tính chất
()DNDZ
.
27
2.3. Đặc trưng của các tính chất

W()DZ
.
35
2.4. Tính ổn định của các tính chất
()DNDZ
và
W()DZ
đối với
không gian đối ngẫu thứ hai.
46
KẾT LUẬN
50

TÀI LIỆU THAM KHẢO

51



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Như đã biết, các bất biến tôpô tuyến tính của các không gian Frechet có
vai trò rất quan trọng trong lý thuyết các không gian Frechet, nói riêng, trong
các định lý phân rã. Các bất biến tôpô tuyến tính
()DN
và
()W

đã được
D.Vog giới thiệu và nghiên cứu sâu sắc. Vog đã sử dụng các bất biến tôpô
tuyến tính đó để chứng minh định lý phân rã đối với các không gian Frechet
trong trường hợp không gian hạch và trường hợp không gian Frechet -
Hilbert. Đồng thời đã cho đặc trưng đầy đủ của các bất biến tôpô tuyến tính
()DN
và
()W
.
Từ năm 1990 M.Poppenberg đã giới thiệu và nghiên cứu các tính chất
()DNDZ
và
()DZW
trong lớp các không gian Frechet phân bậc. Ông đã giới
thiệu khái niệm ánh xạ tuyến tính tame giữa các không gian Frechet phân bậc
và thiết lập định lý phân rã trong phạm trù các không gian Frechet phân bậc
và các ánh xạ tuyến tính tame. Tiếp theo, trong trường hợp không gian hạch,
Poppenberg đã cho đặc trưng đầy đủ của các tính chất
()DNDZ
và
()DZW
.
Theo hướng nghiên cứu này, chúng tôi chọn đề tài : " Đặc trưng của các tính
chất
()DNDZ
và
()DZW
trong lớp các không gian Frechet ".
Theo chúng tôi đề tài này có tính hiện đại và tính thời sự được nhiều
người quan tâm nghiên cứu.

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu. Luận văn nghiên cứu về đặc trưng của các
tính chất
()DNDZ
và
()DZW
trong lớp các không gian Frechet phân bậc.
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu. Trên cơ sở mục đích đã đặt ra, luận văn tập
trung vào các nhiệm vụ sau đây:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
- Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất
()DNDZ
và
()DZW
trong lớp các không gian Frechet phân bậc cùng đặc trưng của
các tính chất
()DNDZ
và
()DZW
.
- Chứng minh chi tiết một số kết quả về các tính chất
()DNDZ
và
()DZW

trong lớp các không gian Frechet phân bậc cùng đặc trưng của các tính
chất
()DNDZ
và

()DZW
.
3. Phương pháp nghiên cứu
Để giải quyết các nhiệm vụ đặt ra chúng tôi đã tiến hành:
- Đọc tham khảo các tài liệu trong và ngoài nước, trao đổi, tham khảo
và học tập các chuyên gia cùng lĩnh vực nghiên cứu.
- Áp dụng các phương pháp truyền thống của giải tích hàm, giải tích
hiện đại và các phương pháp của lý thuyết về các bất biến tôpô tuyến
tính. Cụ thể ở đây chúng tôi đã kế thừa các kết quả và phương pháp
gần đây của Vogt, M.Poppenberg để giải quyết các bài toán cụ thể đã
nêu ra ở trên.
4. Bố cục của luận văn. Nội dung luận văn gồm 52 trang, trong đó có phần
mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.
Chương 1 của luận văn trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các
tính chất
()DNDZ
và
()DZW
trong lớp các không gian Frechet phân bậc
cùng đặc trưng của các tính chất
()DNDZ
và
()DZW
.
Chương 2 của luận văn cũng là chương cuối với nội dung chính là trình bày
chứng minh chi tiết các kết quả của N.V.Khuê, L.M.Hải và B.Đ.Tắc về các
tính chất
()DNDZ
và
()DZW

trong lớp các không gian Frechet phân bậc
cùng đặc trưng của các tính chất
()DNDZ
và
()DZW
. Phần cuối cùng của
chương này dành cho việc trình bày các kết quả về tính ổn định của các tính
chất
()DNDZ
và
()DZW
đối với không gian đối ngẫu thứ hai.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.
Bản luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm - Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Phạm Hiến Bằng. Nhân
dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những
kinh nghiệm trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo
trong tổ Giải tích, các thầy cô giáo trong trường Đại học sư phạm - Đại học
Thái Nguyên, Viện Toán học và trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng
dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu
khoa học.
Xin chân thành cảm ơn trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái
Nguyên, trường Cao Đẳng kỹ thuật mỏ Quảng Ninh cùng các đồng nghiệp
đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong suốt quá trình học tập và hoàn
thành bản luận văn này.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy
rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học

viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi
trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.


Thái Nguyên, tháng 09 năm 2007
Tác giả



Nguyễn Duy Phan
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
CHƢƠNG 1
ĐẶC TRƢNG CỦA CÁC TÍNH CHẤT
()D N D Z
VÀ
()DZW
TRONG LỚP CÁC KHÔNG GIAN FRECHET

Trước tiên chúng tôi sẽ trình bày một số khái niệm và kết quả về các
tính chất
()DNDZ
và
()DZW
là cơ sở để trình bày đặc trưng của các tính
chất
()DNDZ
,
()DZW

.
1.1. Một số khái niệm cơ bản.
1.1.1. Định nghĩa. Một dãy khớp các không gian lồi địa phương và ánh xạ
tuyến tính liên tục là một dãy hữu hạn hay vô hạn

fg
E F G×××® ¾ ¾® ¾ ¾® ® ×××

sao cho ảnh của ánh xạ tuyến tính vào bằng hạt nhân của ánh xạ tuyến tính ra.
1.1.2. Định nghĩa. Một dãy các không gian lồi địa phương và ánh xạ tuyến
tính liên tục có dạng

00
fg
E F G® ¾ ¾® ¾ ¾® ®

được gọi là dãy khớp ngắn nếu
{ }
0,Kerf =

imf kerg=
và
img G=
.
1.1.3. Định nghĩa. Dãy khớp ngắn
00
fg
E F G® ¾ ¾® ¾ ¾® ®

được gọi là chẻ nếu xảy ra một trong hai điều kiện tương đương sau :

)i

f
có ngược trái.

)ii

g
có ngược phải.
Khi đó
F E G=Å
(
Å
là tổng trực tiếp tô pô của
E
và
G
).
Bây giờ xét phạm trù tame với các vật là các không gian Frechet phân
bậc
,EF
,... ( trên
K
=
¡
hoặc
£
), tức là các không gian Frechet được trang
bị dãy các nửa chuẩn cố định

0 1 2
. . . ...£ £ £

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
xác định tôpô; dãy được gọi là bậc. Các không gian con và không gian
thương được trang bị các nửa chuẩn cảm sinh. Các cấu xạ là các ánh xạ
tuyến tính tame giữa các không gian Frechet phân bậc.
1.1.4. Định nghĩa. Ánh xạ tuyến tính
:A E F®
được gọi là tame nếu tồn
tại
0b ³
và các hằng số
0
n
c >
( có thể phụ thuộc vào
n
) sao cho

nb
n
n
Ax c x
+
£
với mọi
0n ³

và
xEÎ
.
1.1.5. Định nghĩa. Ánh xạ tuyến tính
:A E F®
được gọi là đẳng cấu
tame nếu
A
là song ánh và
1
,AA
-
đều là tame.
Hai bậc trên
E
được gọi là tương đương tame nếu phép đồng nhất là đẳng
cấu tame.
1.1.6. Định nghĩa. Dãy khớp ngắn các không gian Frechet phân bậc

00
iq
E F G® ¾ ¾® ¾ ¾® ®

được gọi là khớp tame nếu các ánh xạ chính tắc
:i E iE®
và
:/
%
q F iE G®
là các đẳng cấu tame.

1.1.7. Định nghĩa.
E
được gọi là tổng trực tiếp tame của
F
, nếu tồn tại
các ánh xạ tuyến tính tame
:i E F®
và
:L F E®
sao cho
oLi
là phép
đồng nhất trên
E
.
Với mỗi
Ej
¢
Î
ta định nghĩa

{ }
{ }
*
( ) : 1 ¡
n
n
sup x xjj= £ Î È + ¥
,

{ }
:1
n
n
U x E x= Î £
,
{ }
*
0
:1
n
n
UEjj
¢
= Î £
.
Các không gian Frechet sau đây là các không gian phân bậc một cách
tự nhiên, tức là không gian dãy
&&
Kothe

()
p
al
và không gian các chuỗi luỹ
thừa kiểu hữu hạn
()
p
a
¥

L
:

{ }
1
( ) ( ) : ,
¥
K
p
n
jj
a x x x nl
¥
=
= = Î < + ¥ "
,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6

1/
,
1
p
p
p
n
j j n
j
x x a
¥

=
æö
÷
ç
÷
=
ç
÷
ç
÷
ç
èø
å
nếu
1 p£ < + ¥
,

,
1,2,...,
n
j j n
j
x sup x a
=¥
=
nếu
p =¥
,
trong đó
, 1, 0

()
j n j n
aa
¥
==
=
là ma trận thoả mãn
, , 1
0
j n j n
aa
+
££
với mọi
,jn

và
,
0
jn
n
sup a >
với mọi
j
.
Đối với dãy bất kỳ
12
0 ...aa£ £ £ + ¥Z
,
( ) ( )

pp
aal
¥
L=
với
,
j
n
jn
ae
a
=
. Đối với
0e >
bất kỳ,
( log ) ( )
p p p
s j a
e
el
¥
= L =
với
.
n
jn
aj
e
=
,

1 1 1
1
( ) ( ), ( ) ( ), ,a a s s s s
ee
l l a a
¥¥
= L = L = =
.
Ta trang bị cho
w = K
¥
(tương ứng
()
p
s
e
¥
) các bậc

1
n
n
i
i
xx
=
=
å
(tương ứng
01

1
( , ,...) ,
n
i i p
n
n
i
x x x x s
e
=
=Î
å
).
Trang bị cho
[ ] [ ]
{ }
, ( ) : ,D a b f C supp f a b
¥
= Î Í¡
với bậc

[ ]
()
0, ,
( ) .
i
n
i n x a b
f sup sup f x
=Î

=

Nếu
H
là không gian Frechet và  . 
1
  . 
2
 ...   .
n
 ... là hệ
tăng các nửa chuẩn liên tục trong
H
,
k
H


là không gian Banach kết hợp
với nửa chuẩn
.
k
;
:
kk
HHw ®
và
,
: ( )
n k n k

H H n kw ®>
là các ánh
xạ chính tắc.
Tương tự , nếu
E
là không gian Frechet phân bậc thì ta ký hiệu
n
E
là
không gian Banach kết hợp với nửa chuẩn
.
n
, tức là không gian nhận được
bằng cách bổ sung
( / . )
n
E ker
đối với
.
n
.
Ký hiệu
s
không gian các dãy giảm nhanh với hệ các nửa chuẩn
tương đương:

{ }
:
k
k

j
x sup x j j=Î¥
với mọi
12
( , ,...)x x x s=Î
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
Với mỗi
k
cố định đặt:

{ }
12
( , ,...) :
k
k
kj
s x x x s x sup x j= = Î = < + ¥
.
1.1.8. Định nghĩa. Cho
E
là không gian Frechet phân bậc.
)i
Cho
0e >
bất kỳ,
E
được gọi là
()e -

hạch tame nếu
E
đẳng cấu tame
với không gian con của
2
()s
e
¥
.
)ii
E
được gọi là hạch tame nếu tồn tại
0e >
sao cho
E
là
()e -
hạch
tame, hoặc tương đương:
tồn tại
0, 0qe >³
và các hằng số
,
0
km
c >
sao cho

()
,

( ) ( 1)
mq
n k m k k m
a E E c n
e--
+
® £ +
với mọi
,0m q k³³
và
0n ³
,
ở đó
( , ) ( )
n n k m k
a k k m a E E
+
+ = ®
là các số xấp xỉ của các ánh xạ chính
tắc
k m k
EE
+
®
.
Với không gian tuyến tính
E
bất kỳ và các tập con tuyệt đối lồi
A B EÐÐ
ta ký hiệu

{ }
( , ) : ( , , ) : ,
n
d A B inf d A B F F E dimF n= Ð £

là số Kolmogorov thứ
n
, mà trong đó với bất kỳ không gian con
FEÐ


{ }
( , , ) 0 :d A B F inf d A dB F= > Ð +

1.2. Đặc trƣng của tính chất
()D N D Z
.
1.2.1. Tính chất
()D N D Z
và Định lý chẻ tame.
Trong [11], [15] D.Vog đã chứng minh rằng không gian Frechet hạch
E
đẳng cấu tôpô với không gian con của
s
nếu
E
có tính chất
()DN
, tức là

2
11
. . . .
n n n-+
£
với mọi
n
.
Trong trường hợp này, với mỗi
0 in££
và
0k ³
ta có

. . . . ,
k i k i
n n i
nk
+
-
+
£

từ đó bằng cách lấy minimum theo
r
với mọi
0r >
ta nhận được
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

8

1
. . . ,
i
n n i n k
k
r
r
-+
Ê+

v theo nh lý song pụ la vi mi
0r >
ta cú

0 0 0
1
i
n n i n k
k
U r U U
r
-+
é+
.
1.2.1.1. nh ngha. Cho
E
l khụng gian Frechet phõn bc . Ta núi rng
E

cú tớnh cht
()DNDZ
Nu tn ti
,0bp
v cỏc hng s
,
0, 0
n n k
cc>>
sao cho

,
0 0 0
1
nb
nk
ip
n n n n k
kp
i p k p
C
U c r U U
r
-Ơ
+
-+
-
= - =
ổ ử ổ ử
ữữ

ỗỗ
ữữ
é+
ỗỗ
ữữ
ỗỗ
ữữ
ỗỗ
ố ứ ố ứ
II
.
Khi
0bp==
,
E
gi l cú tớnh cht
()DND
.
1.2.1.2. Mnh [5]. Nu khụng gian Frechet phõn bc
E
ng cu tame
vi khụng gian con phõn bc ca
()a
Ơ
L
thỡ
E
cú tớnh cht
()DNDZ
.

1.2.1.3. Mnh . Gi s
0 ( ) 0
iq
EEa
Ơ
Ơ
ắ ắđ L ắ ắđ ắ ắđ ắ ắđ
%

l dóy khp tame cỏc khụng gian Frechet phõn bc v
E
cú tớnh cht
()DNDZ
. Khi ú dóy khp l ch tame, tc l
q
cú ngc phi tame.
Chng minh.
B i mt s hu hn cỏc na chun trong
E
%
v trang b cho
E
cỏc
na chun thng, ta gi s vi
()x a
Ơ
Ơ
ẻL
v
yEẻ

:

{ }
, : ,
n
n
n
n
x ix y inf E q yx x xÊ = ẻ =
%
,
v
E
cú tớnh cht
()DNDZ
vi
0b =
, tc l vi
0, 0nr>


0 0 0
,,
0
np
n p m n p m
n n m n m m n m
m m n p
U c c r U c r U
+

Ơ
+ - + -
= = +
ổử
ổử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
é+
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
ốứ
II
.
Theo nh lý Hahn - Banach ta thỏc trin hm to th
j

( ) , ( )
j j j

f f x xa
Ơ
Ơ
Â
ẻ L =
ti hm
n
j
FE
Â
ẻ
%
sao cho
*
n n j
j
n
Fe
a-
=
. Chn
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
9

0
1
2
j
n
n

jn
G e U E
a-
+
Â
ẻé

sao cho

1n n n
j j j
G q F F
+
=-o
, v chn
1
1
kk
cc
+
ÊÊ
vi

,
:2
mk
m p m
mm
k
k

c
D c sup
c
-
= < + Ơ
.
p dng iu kin
()DNDZ
trờn
n
j
G
vi
1
1
2
j
n
re
c
a
+
=
, ta chn
n
j
gE
Â
ẻ
sao

cho

*
( 1 )
2
j
pm
nn
jm
m
g D e
a+-
-
Ê
vi mi
m n pÊ+
,

*
( 1 )
2
j
pm
n n n
j j m
m
G g D e
a+-
-
-Ê

vi mi
m n p>+
.
Chui
0
:
n
jj
n
gg
Ơ
=
=
ồ
hi t trong
E
Â
, nờn ta t

01
01
: ( ) ( )
m
m n n n
j j j j j j j
n n m
F g q F G g g qj
Ơ
+
= = +

ớỹ
ùù
ùù
= + = - - -
ỡý
ùù
ùù
ợỵ
ồồ
oo
.
Ta cú

*
( 1)
11
1
0
2 (1 2 ) .
jjj
m m m
n
j m p m p
mp
n
e D e D e
aaa
j
Ơ
- + - -

-
+ + + +
++
=
Ê + Ê +
ồ

Ta nh ngha ỏnh x
: ( )Eja
Ơ
Ơ
đL
%
, xỏc nh bi
1
()
jj
xxjj
Ơ
=
=
, v
nhn c

1
1
1
(1 2 ) .
j
m

mp
j m p
m
j
x sup x e D x
a
jj
++
++
Ê Ê Ơ
= Ê +

T ú,
j
l ngc trỏi tame ca
i
.
1.2.1.4. H qu. Nu
E
cú tớnh cht
()DNDZ
v
()a
Ơ
L
l hch thỡ mi
dóy khp tame
0 ( ) 0EEa
Ơ
đ L đ đ đ

%
u ch tame.
1.2.1.5. Mnh . Gi s khụng gian Frechet phõn bc
E
l hch v cú tớnh
cht
()DNDZ
. Khi ú
E
l hch tame.
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
10
Chng minh. Gi s
E
cú tớnh cht
()DNDZ
vi
0b =
. Ký hiu
0
kk
BU=

v ly
1.k p mÊ + Ê
Khi ú vi mi
0r >
ta cú

,,

1
.
k l p
k l k m l m
m k p
B c r B B
r
-+
--
ổử
ữ
ỗ
é+
ữ
ỗ
ữ
ốứ

Ly
FE
Â
é
l khụng gian con v
( , ; )
lm
d d B B F>
. Khi ú

,,
1

k l p
k l k m m
m k p
B c r d B F
r
-+
--
ổử
ữ
ỗ
é + +
ữ
ỗ
ữ
ốứ
vi mi
0r >
,
T ú

,,
1
( , ; ) ( , ; )
k l p
k m l k m l m
m k p
d B B F c r d B B F
r
-+
--

ổử
ữ
ỗ
Ê+
ữ
ỗ
ữ
ốứ
.
Ly minimum theo tt c
0r >
ta nhn c

1
,,
( , ; ) ( , ; )
m m k p
k m l k m l m
d B B F c d B B F
- - -
Ê
. (*)
Núi riờng, vi mi
1, k q pn
ta nhn c

,
( , ; ) ( , ; )
q q q p
k k q k k q k q

d B B F c d B B F
nn
n n n
+-
+ - +
Ê


,
( , ; ) ( , ; )
q p q p
k k q k k k q
c d B B F d B B F
nn
nn
--
-+
Ê
.
T ú suy ra vi mi
1, k q pn
ta cú

,
( , ; ) ( , ; )
qp
pq
k k q k k q k
d B B F c d B B F
n

nn
-
+
+-
Ê
(**)
Theo (*) vi mi
k q p
v
mp
ta cú

,
( , ; ) ( , ; )
k m q m p
k k m k m q k m
d B B F c d B B F
+ - -
++
Ê


,
( , ; ) ( , ; )
m p m p
k m q k k k m
c d B B F d B B F
--
+
Ê

.
Thờm na, vi mi
k q p
v
mp
ta cú

,
( , ; ) ( , ; )
mp
k q p
k k m k m q k
d B B F c d B B F
-
-+
+
Ê
(***)
T (**) v (***) vi
qp
,
3 3 ,k p q m p +
vi
:
k
q
n
ộự
ờỳ
=

ờỳ
ởỷ
ta nhn c
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
11

,,
( , ; ) ( , ; ) ( , ; )
m p m p
k q p k q p
k k m k m q k k m q q
d B B F c d B B F c d B B F
n
--
- + - +
+
ÊÊ


21
2
, 0 , 0
( , ; ) ( , ; )
m p k p q m p
k q p p q q p
k m q k m q
c d B B F c d B B F
- - - -
ìì
- + + +

ÊÊ
.
Ly infimum ca v trỏi theo tt c
FE
Â
é
vi
dimF nÊ
ta nhn c

22
,0
( , ) ( , )
mp
qp
n k k m k m n q
d B B c d B B
-
+
+
Ê

vi
qp
,
3 3 ,k p q m p +
.
S dng tớnh hch ca
E
ta chn

qp
vi

2
0
( , ) ( 1)
nq
d B B c n
-
Ê+
.
t
1
pq
e =
+
. Khi ú vi
0k
v
65m p q+
ta c

2 0 0
( , ) ( 1) ( , ) ( 1) ( , )
n n k m k n k k m
a k k m n d U U n d U U
++
+ Ê + Ê +

43
2 ( 6 5 )
,,
( 1) ( 1) ( 1)
m p q
pq
m p q
k m k m
c n n c n
e
ổử
--
ữ
ỗ
ữ
-
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
+
ố ứ - - -
Ê + + Ê +
.
1.2.2. c trng ca tớnh cht
()D N D Z
.
1.2.2.1. B [12 v 18]. Vi mi
0e >

tn ti dóy khp tame

0 ( ) 0s s s
e e e
đ đ đ đ
Ơ

1.2.2.2. nh lý. Nu
E
l khụng gian Frechet phõn bc
()e -
hch tame cú
tớnh cht
()DNDZ
thỡ
E
ng cu tame vi khụng gian con phõn bc ca
s
e
.
Chng minh.
Do b 1.2.2.1 tn ti dóy khp tame

00s E E
e
đ đ đ đ
%

vi khụng gian con phõn bc
E

%
ca
s
e
. p dng h qu 1.2.1.4 ta cú iu
phi chng minh.
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
12
1.2.2.3. nh lý. Vi mi khụng gian Frechet hch phõn bc
E
, cỏc mnh
sau l tng ng:
)i

E
cú tớnh cht
()DNDZ
.
)ii
Tn ti
0e >
sao cho
E
ng cu tame vi khụng gian con phõn bc
ca
s
e
.
)iii

E
l hch tame v mi dóy khp tame

0 ( ) 0
iq
EEa
Ơ
Ơ
ắ ắđ L ắ ắđ ắ ắđ ắ ắđ
%
l ch tame.
Chng minh.
))i iiiị
do nh lý 1.2.1.3 v mnh 1.2.1.5.
))iii iiị
do b 1.2.2.1.
))ii iị
do mnh 1.2.1.2.
1.3. c trng ca tớnh cht
()DZW
.
1.3.1. Tớnh cht
()DZW
v nh lý ch tame.
1.3.1.1.nh ngha. Cho
E
l khụng gian Frechet phõn bc . Ta núi rng
E

cú tớnh cht

()DZW
Nu tn ti
,0bp
v cỏc hng s
,
0, 0
n n k
cc>>
sao
cho vi mi
n b p+
v
0r >


,
1
nb
nk
ip
n n n n k
kp
i p k p
C
U c r U U
r
-Ơ
-
-+
+

= = -
ổ ử ổ ử
ữữ
ỗỗ
ữữ
é+
ỗỗ
ữữ
ỗỗ
ữữ
ỗỗ
ố ứ ố ứ
II
.
Khi
0bp==
,
E
gi l cú tớnh cht
()DW
.
1.3.1.2. Mnh . Nu khụng gian Frechet phõn bc
E
ng cu tame vi
khụng gian thng phõn bc ca
()
p
a
Ơ
L

thỡ
E
cú tớnh cht
()DZW
.
1.3.1.3. Mnh . Gi s
00
iq
E G Hđ ắ ắđ ắ ắđ đ

l dóy khp tame cỏc khụng gian Frechet phõn bc v
E
cú tớnh cht
()DZW
,
H
ng cu tame vi khụng gian con ca
()a
Ơ
L
. Khi ú dóy khp
l ch tame, tc l
q
cú ngc phi tame.
Chng minh.
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
13
Gi s
EG
v

()H a
Ơ
L
l cỏc khụng gian con phõn bc v
E

cú tớnh cht
()DZW
vi
0b =
, tc l vi mi
np
v mi
0r >
ta cú

,
0
np
n p m n p m
n m m n m
m m n p
U r U c r U
-
Ơ
- - - -
= = -
ổử
ổử
ữ

ỗ
ữ
ỗ
ữ
é+
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
ốứ
II
.
Ký hiu
.
n
,
.
n
theo th t l bc ca
1
()a
Ơ
L

,
2
()a
Ơ
L
v
.
n
:
l bc cm
sinh bi cỏc na chun thng trờn
H
. Chn
,bd
c nh sao cho vi
yHẻ
bt k, ta cú

nn
n n b n d
y c y c y
++
ÂÂ
ÊÊ
:

v

2
j

d
j
e
a-
< + Ơ
ồ
,
do ú

, ( )
n n d
x c x x a
+
Ơ
Â
Ê ẻ L
.
Ký hiu
n
H
l l bao úng ca
H
trong

{ }
2
12
( ) ( , ,...) :
j
n

n
l e x x x x
a
= = < + Ơ
,
2
: ( )
j
n
nn
l e H
a
p đ
l phộp chiu chớnh tc;
,
nn
EG
(tng ng
n
H
%
) l b
sung ca
,EG
(tng ng
H
) i vi
.
G
n

(tng ng
.
n
:
) v nhn c
dóy khp

00
nn
iq
n n n
E G Hđ ắ ắ đ ắ ắắđ đ
%
.
Ký hiu
()
j
e a
Ơ
ẻL
l vộc t n v th
n
, v chn
n
jn
dGẻ
sao cho

()
,

j
nb
nn
n j n b j j n
n
q d e d c e
a
p
+
+
Â
=Ê
.
t

1
, ( )
nn
jj
j
R x x d x a
Ơ
Ơ
=
= ẻ L
ồ
.

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
14

Ta nhn c

( , )
n
n
R H Gẻ L
,
n
nb
n
n
R x c x
+
Â
Ê
.
Vỡ
n
n
q R id=o
, nờn ta cú

1
: ( , )
n n n
n
S R R H E
+
= - ẻ L

v
1
( , )
n
n b d n
S L H E
+ + +
ẻ
, bng cỏch thỏc trin liờn tc n
1n b d
H
+ + +
.
t
1
nn
n b d
TSp
+ + +
= o
. Khi ú

,
nn
jj
T T e=
v
()
, : 1
j

na
n
jn
n
T c e a b d
a+
ÂÂ
Ê = + +
.
Chn
()
j
na
n
j n n
T c e U E
a+
ÂÂ
ẻ
%
sao cho
2
n n n
jj
TT
-
-Ê
%
, v chn
1

1
nn
cc
+
ÊÊ
sao cho
,
1
: 2 , 0
m n n
m p m p
m m p
n
n
cc
D c sup m
c
+ + +
+
ÂÂ
= < + Ơ
.
p dng iu kin
()DZW
cho
n
j
T
%
vi

1
(2 )
j
n
r c e
a
-
=
, ta c
n
j
tEẻ
:

()
2
j
m a p
nn
jm
m
t D e
a++
-
Ê
vi mi
,m n p<-


()

2
j
m a p
n n n
j j m
m
T t D e
a++
-
-Ê
%
vi mi
m n p-
.
T ú,
0
( ( ))
n n n
j j j j
n
t t T T
Ơ
=
= + -
ồ
%
hi t trong
n
E
.

t
0
1
, ( )
jj
j
Rx R x t x x H a
Ơ
Ơ
=
= + ẻ L
ồ
ta nhn c
0
( , )R L H Gẻ
.
Vỡ

1
01
mp
m p n
jj
nj
R x R x T x t x
+
Ơ
++
==
= - +

ồồ


1
1 0 1
( ) ( ( ))
mp
m p n n n n n
j j j j j j
j n n m p
R x T T t T T x
+
ƠƠ
++
= = = + +
ổử
ữ
ỗ
ữ
= - - - + -
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
ồ ồ ồ
%%
,
nờn ta cú

1
3,
m a p m a p
m p m
m
Rx c x D x x H
+ + + +
++
Â
Ê + ẻ
. T ú,
m
R x Gẻ

vi mi
m
v ta cú ỏnh x tuyn tớnh tame
:R H Gđ
sao cho
q R id=o
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
1.3.1.4. Hệ quả. Nếu
E
có tính chất
()DZW
,
H
là hạch và có tính chất

()DNDZ
, thì mỗi dãy khớp tame
00E G H® ® ® ®
đều là chẻ tame.
1.3.2. Đặc trƣng của tính chất
()DZW
.
1.3.2.1. Mệnh đề. Cho
E
là không gian Frechet hạch phân bậc.
)i
Nếu
E
có tính chất
()DNDZ
, thì tồn tại dãy khớp tame

0 0,E s F F s
ed
® ® ® ® Í
không gian con phân bậc.
)ii
Nếu
E
có các tính chất
()DNDZ
và
()DZW
, thì
E

là tổng trực tiếp
tame của
,0s
e
e >
.
Chứng minh. Theo định lý 1.2.2.2 tồn tại dãy khớp tame

0 0, 0
p
E s Q
t
t® ® ¾ ¾® ® >
.
Vì
Q
là hạch tame nên tồn tại dãy khớp tame

0 0,
q
s F Q F s
dd
® ® ¾ ¾® ® Í
không gian con phân bậc,
0d >
.
Đặt

{ }
( , ) :H x y F s qx py

t
= Î ´ =

ta nhận được các dãy khớp tame

21
00
i
E H F
p
® ¾ ¾® ¾ ¾¾® ®
,

12
00
i
s H s
p
dt
® ¾ ¾® ¾ ¾¾® ®
.
Như vậy, ta có đẳng cấu tame
min( , )
H s s s
d t d t
@ ´ @
. Từ đó suy ra
)i
.
Cuối cùng định lý chẻ 1.3.1.3 suy ra

)ii
.
1.3.2.2. Hệ quả. Nếu
E
là không gian Frechet hạch phân bậc có tính chất
()DNDZ
, thì tồn tại dãy khớp tame

0 0, 0E s s
ee
e® ® ® ® >
.
Chứng minh.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
Không gian
F
xuất hiện trong mệnh đề 1.3.2.1 có tính chất
()DNDZ

và
()DZW
, nên
F
đẳng cấu tame với
()a
¥
L
. Vì
Fs

d
Í
và
s
d
đẳng cấu
tame với không gian con phân bậc của
F
, nên suy ra
F
đẳng cấu tame với
,s
d
de³
. Từ đó thay ánh xạ
:q id s s s s
e e d e
´ ´ ® ´
đối với ánh xạ
:q s s
ed
®
, ta nhận được dãy khớp tame cần tìm.
1.3.2.3. Định lý. Với mỗi không gian Frechet phân bậc
E
, các mệnh đề sau
là tương đương:
)i
E
có tính chất

()DNDZ
và
()DZW
.
)ii
E
đẳng cấu tame với không gian các chuỗi luỹ thừa kiểu hữu hạn
()a
¥
L
.
)iii

E
là tổng trực tiếp của
,0s
e
e >
nào đó.
)iv
E
đẳng cấu tame với không gian với không gian con phân bậc của
,0s
e
e >
, và đẳng cấu tame với không gian thương của
,0s
d
d >
nào đó.

Bây giờ chúng ta sẽ giới thiệu điều kiện
*
()DZW
của dãy khớp tame,
là điều kiện đủ đối với
()DZW
- tính chất ba không gian. Chú ý rằng trong
chứng minh đặc trưng của không gian thương của
s
trong trường hợp tôpô,
'tính chất ba không gian" đã được áp dụng cho dãy tiêu chuẩn [19]

00s E E® ® ® ®
%

1.3.2.4. Định nghĩa. Cho
00F E E
j
® ® ¾ ¾® ®
%
là dãy khớp các
không gian Frechet phân bậc,
{ }
: : 1
n
n
U x E x= Î £
%
.
)i

Dãy khớp ( hoặc
j
) có tính chất
*
()DZW
, nếu tồn tại
0s ³
và các hằng
số
0
n
c >
sao cho với mọi
,n s k s³ ³ -
và
,
0
nk
c >
tồn tại
,
0
nk
c >
%
sao
cho với mọi
01r<<
thì (*) và (**) xảy ra:
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

17

01
()
nn
i i s
n i n n i
ii
r U c r Ujj
-
--
==
ổử
ữ
ỗ

ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ốứ
II
, (*)

,,
0
()
n k n k
n k n k

k k s
k k s
cc
UU
rr
jj
ƠƠ
++
+
= = -
ổử
ữ
ỗ

ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ốứ
%
II
. (**)
)ii
Dóy ( hoc
j
) cú tớnh cht
*
()DW
, nu vi

0s =
(*) v (**) xy ra vi
mi
0r >
.
1.3.2.5. Mnh . Cho
00F E E
j
đ đ ắ ắđ đ
%
l dóy khp tame cỏc
khụng gian Frechet phõn bc. Dóy cú tớnh cht
*
()DZW
,
E
v
F
cú tớnh
cht
()DZW
. Khi ú
E
%
cng cú tớnh cht
()DZW
.
Chng minh.
Gi s
{ }

n
n
UEé
%
. Ta xột dóy tng ng tame
{ }
n
n
U F Fặé
,
tng ng
{ }
()
n
n
UEj é
, v gi s
F
cú tớnh cht
()DZW
vi
0b =
v
q
,
E
vi
0b =
v
p

. Ly
, 0 1,
n
p s p q r x U + + < < ẻ
. p dng tớnh
cht
*
()DZW
cho
np-
, ta nhn c

,
( ) ( ) ( ) ( )
n
nk
ip
n n n i n k
kp
i p k p
c
x U c r U U
r
j j j j
Ơ
-
-+
+
= = -
ổ ử ổ ử

ữữ
ỗỗ
ữữ
ẻ +
ỗỗ
ữữ
ỗỗ
ữữ
ỗỗ
ố ứ ố ứ
II


,
( ) ( )
np
nk
is
n n i p n p k
ks
i s k s
c
c r U U
r
j j j j
-
Ơ
-
- - - +
+

= = -
ổ ử ổ ử
ữữ
ỗỗ
+
ữữ
ỗỗ
ữữ
ữữ
ỗỗ
ố ứ ố ứ
%
%
II


,
( ) ( )
n
nk
i s p
n n i n k
k s p
i s p k s p
c
c r U U
r
j j j j
Ơ
--

-+
++
= + = - -
ổ ử ổ ử
ữữ
ỗỗ
ữữ
=+
ỗỗ
ữữ
ỗỗ
ữữ
ỗỗ
ố ứ ố ứ
%
%
II
.
T ú, ta c
x a b z= + +
vi
zFẻ
, v

()
n
i s p q
n n i
i s p q
a c r U

- - -
-
= + +
ẻ
%
I
,

,nk
nk
k s p q
k s p q
c
bU
r
Ơ
+
+ + +
= - - -
ẻ
%
I
,
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
18

,
n s p
nk
iq

n n s p n n s p i n s p k
kq
i q k q
c
z c U F c r U U
r
--
Ơ
-
- - - - - - - +
+
= = -
ổ ử ổ ử
ữữ
ỗỗ
ữữ
ẻ ặ +
ỗỗ
ữữ
ỗỗ
ữữ
ỗỗ
ố ứ ố ứ
%
%
II


,
n

nk
i s p q
n n i n k
k s p q
i s p q k s p q
c
c r U U
r
Ơ
- - -
-+
+ + +
= + + = - - -
ổ ử ổ ử
ữữ
ỗỗ
ữữ
=+
ỗỗ
ữữ
ỗỗ
ữữ
ỗỗ
ố ứ ố ứ
%
%
II
.
1.3.2.6. Mnh . [11] "Dóy Borel"

[ ] [ ] [ ]
0 1, 0 0,1 1,1 0
i
D D D
b
wđ - ắ ắđ - ắ ắđ đ
,
i
l ỏnh x nhỳng,
( ) ( (0), (0), (0),...)f f f fb
 ÂÂ
=
, l dóy khp tame ng c.
Chng minh.
Theo nh lý Borel,
b
l ton ỏnh. T ú khng nh v
i
l tm
thng v khng nh v
b
d dng c chng minh.
1.3.2.7. Mnh . Dóy Borel cú tớnh cht
*
()DW
.
Chng minh.
Chn c nh
[ ]
1,1 , 0 1, 1Dy y yẻ - Ê Ê

trong
11
,
22
ộự
-
ờỳ
ờỳ
ởỷ
.
)i
Ly
[ ]
1
0, 1, ,..., 1,1
n
n r f f D > ẻ -
sao cho
i
i
i
frÊ
v
0
( ) ( )
i
ffbb=

vi mi
0 inÊÊ

. t

()
0
1
( ) (0) , ( ) ( ) ( )
!
n
ii
i
i
p x f x g x p x rx
i
y
=
==
ồ
%
.
Vi
0 inÊÊ
, ta cú

i
n
i
g c rÊ
%
v
( ) ( )

(0) (0)
ii
i
gf=
%
.
Chn
[ ]
1,1hDẻ-
vi
1
n
h Ê
sao cho
0
( ) ( )h f gbb=-
%
v t
g g h=+
%
.
Khi ú
( ) ( )
i
gfbb=
v
i
n
i
g c rÊ

vi mi
0 inÊÊ
.
)ii
Ly
[ ]
1,
0, 1, , ,... 1,1 , 1
n n n k
n r f f D c
+
> ẻ -
sao cho

,
k
n k n k
nk
f c r
+
+
Ê
v
( ) ( )
n k n
ffbb
+
=
vi mi
0k

.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
Đặt

()
,
( ) (0) (2
!
i
i
n n i n
in
x
g x f rc x
i
y
¥
-
=
=
å
%
.
Ta có

[ ]
1,1gDÎ-
%
và

,
k
n k n k
nk
g c r
+
+
£
%%
,

( ) ( )
(0) (0)
n k n k
n
gf
++
=
với mọi
0k ³
.
Chọn
[ ]
01
,..., 1,1
n
g g D
-
Î-
sao cho

()
(0)
j
i ij
g d=
với mọi
0j ³
, và đặt

1
()
0
(0)
n
i
ni
i
g f g g
-
=
=+
å
%
.
Ta nhận được
( ) ( )
nk
gfbb
+
=

và
,
k
n k n k
nk
g c r
+
+
£
%
với mọi
0k ³
.
Bây giờ nếu
,EF
là các không gian Frechet phân bậc, thì
e -
tích
: ( , )
ec
E F F Ee
¢
= L
là không gian Frechet phân bậc với bậc

{ }
0
: ( ) :
E
n

n
n
u sup u f f U F
¢ ¢ ¢
= Î Í
,
u E FeÎ
.
Hiển nhiên, ta có
E F F Eee=
,
E F E F
p
e =Ä
%
là các đẳng cấu tame trong
đó
EF
e
Ä
%
và
EF
p
Ä
%
được phân bậc một cách tự nhiên.
Cùng với
12
:u E E®

và
12
:v F F®
là

1 1 2 2
: , ( )u v E F E F u v x u x ve e e e®=oo

đẳng cự tame, đơn ánh tame, và mở tame. Nếu
u
là toàn ánh và một trong
các không gian
12
,,E E F
là hạch, thì
F
u ide
cũng là toàn ánh.
1.3.2.8. Mệnh đề. Cho
0e >
tuỳ ý. Dãy Borel
()s
e
-
giá trị

[ ] [ ] [ ]
0 1, 0 0,1 1,1 0
i id id
D D s D s s

e be
e e e
e e we® - ´ ¾ ¾ ¾® - ¾ ¾ ¾® ®

là dãy khớp tame.
Chứng minh.
Theo mệnh đề 1.3.2.6 ta có dãy khớp tame
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20

[ ] [ ] [ ]
0 1, 0 0,1 1,1 0
i
D D D
b
w® - ´ ¾ ¾® - ¾ ¾® ®

Lấy
e -
tích đối với
s
i ide
,
p -
tích đối với
s
idbe
suy ra điều phải
chứng minh.
1.3.2.9. Bổ đề. Cho

: FGj ®
có tính chất
*
()DW
và
0e >
tuỳ ý. Khi đó
:
s
id F s G s
ee
j e e e®
có tính chất
*
()DZW
.
Chứng minh.
Xét các bậc
,,
n n n
U F V s W F s
ee
eÍ Í Í
. Khi đó

{ }
0
: ( )
n n n
W T F s T V U

e
e= Î Í
.
Chọn
1
s
e
>
. Lấy
ns³
và
1r >
. Ký hiệu
j
es
¢¢
Î
là hàm toạ độ thứ
j
.
)i
Lấy
0
,...,
n
T T F s
e
eÎ
sao cho

i
ii
T r WÎ
và
0i
TTjj=oo
với mọi
0 in££
.
Vì

0
( ( )) ( ( ) ( )
i i i
i j i i i
T e T j V j r U
ee
j j j
--
¢
ÎÍ
,
nên ta có

0
00
( ( )) ( )
ii
nn
j i n i

ii
rr
T e U c U
jj
ee
j j j
==
æö
æ ö æ ö
÷
ç
÷÷
çç
÷
¢
ç
ÎÍ
÷÷
çç
÷
ç
÷÷
÷÷
÷
çç
÷
è ø è ø
ç
èø
II

.
Với mỗi
j
sao cho
jr
e
£
, ta chọn
0
)
i
n
j n i
i
r
u c U
j
e
=
æö
÷
ç
Î
÷
ç
÷
÷
ç
èø
I

sao cho
0
( ) ( ( ))
jj
u T ejj
¢
=
, còn với
j
mà
jr
e
³
, thì ta đặt
()
j n j
u T e
¢
=
. Khi đó
()
jj
T e u
¢
=
xác định
T F s
e
eÎ
, với

i
TTjj=oo
, với mọi
0 in££
.
Hơn nữa, ta có

0
)
ns
is
ni
i
T c r W
-
+
=
Î
I
,
vì với
0 i n s£ £ -
và
0
ji
aV
¢
Î
, thì
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

21

()
is
i i i s
j j n n
i i s
j i j i
r
T a j u c j c r
j
ee
e
+
ƠƠ
+
+
==
ổử
ữ
ỗ
Â
Ê Ê Ê
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ốứ
ồồ

.
)ii
Ly
1
, ,...
nn
T T F s
e
e
+
ẻ
sao cho
,
k
n k n k n k
T c r W
++
ẻ
v
n k n
TTjj
+
=oo

vi mi
0k
. Vỡ
()
,
()

k n k
n k j n k n k
T e c r j U
e-+
++
Â
ẻ
, nờn ta cú

( ) ( )
,,
00
( ( )) ( )
k n k k n k
n j n k n k n k n k
kk
T e c r j U c r j U
ee
j j j
ƠƠ
- + - +
++
==
ổử
ữ
ỗ
Â
ẻ
ữ
ỗ

ữ
ữ
ỗ
ốứ
%
II
.
Ta chn

()
,
0
k n k
j n k n k
k
u c r j U
e
Ơ
-+
+
=
ẻ
%
I
sao cho
( ) ( ( ))
j n j
u T ejj
Â
=

.
Khi ú
()
jj
T e u
Â
=
xỏc nh
T F s
e
eẻ
, vi
nk
TTjj
+
=oo
, vi mi
0k
.
Vỡ
0
,
()
k
n k s n k n k
T V c r U
+ - +

%
vi mi

0k
, nờn ta cú

,
ks
n k n k
ks
T c r W
Ơ
+
+
=-
ẻ
%
I
.
T ú Dóy Borel
()s
e
-
giỏ tr l khp tame v cú tớnh cht
*
()DZW
.
1.3.2.10. B .
)i
Nu
2
()b
Ơ

L
ng cu tame vi khụng gian con phõn bc ca
2
()a
Ơ
L
, thỡ

lim 1
j
j
j
sup
a
b
đƠ
Ê
.
)ii
Cho
( ), ( )ab
ƠƠ
LL
l hch. Khi ú
( ) ( )ab
ƠƠ
L @L
l ng cu tame
khi v ch khi

lim 1
j
j
j
a
b
đƠ
=

1.3.2.11. Mnh . Nu
ab<
, thỡ
[ ]
,D a b s@
l ng cu tame.
1.3.2.12. Mnh .
)i
s s se @
l ng cu tame.
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
22
)ii
Cho
,0de>
. Khi ú
min( , )
s s s
d e d e
e @
l ng cu tame

Chng minh. Ta trang b cho
sse
bc tng ng tame

11
( ) ( )
j j n
n
ii
n
ij
u a a i j
ƠƠ
==
==
ồồ
,
trong ú
12
( , ,...) : ( ),
jj
jj
a a u e e s
  Â
=ẻ
l vộc t n v th
n
. Chn song ỏnh

:

( , )k i j
y đƠ Ơ Ơ
a

sao cho
1 2 1 1 2i
k k i j i jÊ ị Ê
. Ta nh ngha ỏnh x
1
, ( ) ( )
j
i k k
s s s a ae
Ơ
=
đ a

sao cho
:
j
ki
aa=
nu
( ) ( , )k i jy =
. Vi
{ }
( ) : ( , ) :k card i j i j kj =Ê
, ta
nhn c

11
( ) (1) ( ) ( )
kk
ii
kk
k O k log k O k
ii
j
==
ộ ự ổ ử
ữ
ỗ
= = + = +
ờỳ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
ờỳ
ởỷ
ồồ
.
Nh vy, nu
( ) ( , )k i jy =
, thỡ ta cú
1
( ) ( ) ( )
n n n n
n

i j k i j c i jj
+
Ê Ê Ê
.
)ii
Trng hp
de=
, chng minh ging nh
)i
.Nh vy
)ii
l h qu ca
nh lý 1.3.2.3 v b 1.3.2.10.
1.3.2.13. nh lý.
)i
Tn ti mt dóy khp tame cú tớnh cht
*
()DZW


00sswđ đ đ đ
.
)ii
Vi
0e >
tu ý, tn ti dóy khp tame cú tớnh cht
*
()DZW

0 ( ) 0, ( ,1)s s s min
e e e
eeđ đ đ đ =
Ơ
%%
%
.
)iii
Nu
E
l
()e -
hch tame, thỡ tn ti dóy khp tame cú tớnh cht
*
()DZW