tính điều kiện được hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính

Đại học thái
nguyên
TRNG đại học S
phạm
Vi diệu
m
i
nh
Tính điều khiển
C
hệ PHNG trình vi phân đại
số
tuyến
tính
Chuyên ngành: Giải
tích
Mã số :
60.46.01
Luận văn Thạc sỹ toán
học
Ngi hng dn: PGS.TS. T DUY
PHNG
Thái Nguyên -
2008
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái
Nguyên
h tt p

://ww w .l r c

- t nu . e

d

u . v

n
Môc
lôc
Tr
a
n
g
Lêi nãi ®Çu
1
Ch
ƣ
ơng
1
PH
Ƣ
ƠNG
TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VỚI
HỆ
SỐ HẰNG
6
§1 Tính giải được của hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính
với
hệ số hằng
6

§2 Tính
đ
iều khiển được của hệ phương trình vi phân đại số tuyến
tính
với hệ số hằng.
35
Ch
ƣ
ơng
2
PH
Ƣ
ƠNG
TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ TUYẾN
TÍN
H CÓ HỆ
SỐ
BIẾN THIÊN
41
§1 Tính giải được của hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ
số
biến thiên…
41
§2 Tính
đ
iều khiển được của hệ phương
trì
nh vi phân
đ
ại số tuyến

tí
nh
với
hệ số biến thiên
63
KÕt luËn
72
Tµi liÖu tham
kh¶o.

74
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái
Nguyên
h tt p

://ww w .l r c

- t nu . e

d

u . v

n
2
LỜI NÓI
ĐẦU
Lý thuyết điều khiển toán học là một trong những lĩnh vực toán học
ứng
dụng quan trọng mới được phát triển

kho
ảng 50 năm trở lại đây. Công cụ
chính
của lý thuyết điều khiển toán học là những mô hình và các phương pháp
toán
học
giải quyết những vấn đề định tính và giải số các hệ thống điều khiển.
Rất
nhiều
bài toán trong khoa học, công nghệ, kỹ thuật và kinh tế được mô tả
bởi các
hệ
phương trình vi phân chứa tham số điều khiển và cần đến những công
cụ toán
học
để tìm ra lời
giải.
Một trong những vấn đề đầu tiên và quan trọng nhất trong lý thuyết
điều
khiển hệ thống là lý thuyết điều khiển được, tức là tìm một chiến lược điều
khiển
sao cho có thể chuyển hệ thống từ một trạng thái này sang một trạng
thái
khác.
Bài toán điều khiển được liên quan chặt chẽ đến các bài toán khác
như bài
toán
tồn tại điều khiển tối ưu, bài toán ổn định và ổn
đ
ịnh hóa, bài

toán quan
sát được,…
Mặc dù lý thuyết điều khiển đã được hình thành cách đây khoảng 50
năm,
nhưng nhiều bài toán và vấn đề về điều khiển như: điều khiển được hệ
phương
trình vi phân ẩn tuyến tính dừng và không dừng có hạn chế trên biến
điều
khiển,
điều khiển được hệ phương trình vi phân và sai phân ẩn tuyến
tính có
chậm,
những bài toán liên quan giữa điều khiển được, quan sát được và
ổn định hoá,
…,
hiện nay vẫn còn mang tính thời sự và được rất nhiều nhà toán
học trên thế
giới
cũng như trong nước quan
tâm.
Phương trình vi phân thường đã được nghiên cứu từ rất lâu, khoảng 200
năm
trở lại đây. Tuy nhiên lý thuyết phương trình vi phân ẩn, trong đó có
phương
trình
vi phân đại số tuyến tính lại mới được thật sự quan tâm trong vòng
40 năm trở
lại
đây. Phương trình vi phân đại số tuyến tính có rất nhiều điểm
đặc biệt mà

ta
không thể tìm thấy ở phương trình vi phân thường, ví dụ: ma trận
hệ số là ma
trận
suy biến, không có tính chất “nhân quả” giữa đầu vào và đầu ra,
…, làm cho
việc
nghiên cứu những vấn đề liên quan trở nên phức tạp nhưng lại
rất hấp dẫn.
Hiện
nay, mặc dù đã có nhiều cố gắng khảo sát những tính chất đặc
biệt ấy, nhưng
việc
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái
Nguyên
h tt p

://ww w .l r c

- t nu . e

d

u . v

n
3
nghiên cứu hệ phương trình vi phân suy
b
iến vẫn còn là thời sự, bởi còn rất

nhiều
câu hỏi chưa được giải
đáp.
Mục đích của luận văn này là trình bày các kết quả mở rộng tiêu chuẩn
điều
khiển được của các hệ điều khiển mô tả bởi phương trình vi phân thường
–
tiêu
chuẩn Kalman – cho hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính dừng và
không
dừng. Luận văn cố gắng trình bày một cách có hệ thống từ đơn giản đến
phức
tạp,
từ phương trình vi phân đại số tuyến tính dừng đến phương trình vi
phân đại
số
tuyến tính không dừng.
T
iêu chuẩn
đ
iều khiển được dạng Kalman
được đặc
trưng
thông qua tiêu chuẩn về hạng của ma trận hệ số. Thống nhất đi
theo hướng
nghiên
cứu đó, trước tiên luận văn trình bày tiêu chuẩn điều khiển
được mở rộng cho
hệ
phương trình vi phân đại số thông qua ma trận hệ số của

các hệ phương trình
vi
phân ẩn tuyến tính dừng và sau đó là cho hệ mô tả bởi hệ
phương trình vi phân
ẩn
tuyến tính không dừng. Các tiêu chuẩn điều khiển
được này nói chung phức
tạp
hơn rất nhiều so với tiêu chuẩn
Kalman.
Nội dung của luận văn gồm hai
chương:
Chương 1 nghiên cứu hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ
số
hằng.
Mục 1 chương 1 trình bày hai cách tiếp cận hệ phương trình vi phân đại
số
tuyến tính nhằm nghiên cứu tính chất tập nghiệm của phương trình
dạng
Ex

(t)
Ax(t)
Bu(t
)
trong đó E là ma trận nói chung suy
biến.
Cách tiếp cận thứ nhất là thông qua cặp ma trận chính quy để đưa
phương
trình trên về

hệ:
x

1
(t)
Nx

2
(t)
A
1

x
1

(t
)
x
2
(t

)
B
1
u
1
(t);
B
2
u

2
(t
), t
0,
trong đó phương trình thứ nhất là phương trình vi phân thường và phương
trình
thứ hai là phương trình vi phân với ma trận lũy
linh.
Cách tiếp cận thứ hai nhằm nghiên cứu cấu trúc tập nghiệm của phương
trình
vi phân với hệ số hằng thông qua ma trận cơ sở. Mục này giới thiệu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái
Nguyên
h tt p

://ww w .l r c

- t nu . e

d

u . v

n
4
khái
niệm
toán tử hiệu chỉnh, nghiệm của phương trình vi phân đại số được
tìm thông
qua

4
toán tử hiệu chỉnh . Công thức nghiệm này cho thấy rõ hơn sự khác biệt
của
phương trình vi phân suy biến so với phương trình vi phân thường, ngoài ra
việc
tìm ra cấu trúc tập nghiệm còn nhằm áp dụng vào việc nghiên cứu tính điều
khiển
được của hệ phương trình vi phân tuyến tính được trình bày ở mục
2.
Mục 2 trình bày tính
đ
iều khiển được của hệ phương trình vi phân đại
số
tuyến tính với hệ số hằng theo [6], trong đó tiêu chuẩn điều khiển được là mở
rộng
của tiêu chuẩn hạng
Kalman.
Chương 2 nghiên cứu cấu trúc tập nghiệm và tính điều khiển được của
hệ
phương trình vi phân đại số tuyến tính có hệ số biến
thiên.
Mục 1 của chương 2 trình bày tính giải được của phương trình vi phân
tuyến
tính không dừng theo cuốn sách [7]. Bằng cách tác động toán tử hiệu
chỉnh
trái
vào phương trình vi phân ẩn, ta có thể đưa phương trình từ phức tạp
về đơn
giản
để dễ nghiên cứu

hơn.
Mục 2 của chương 2 trình bày tính điều khiển được hệ phương trình vi
phân
đại số với hệ số biến thiên theo [9]. Thống nhất với mục 1, mục 2 cũng
dùng
toán
tử hiệu chỉnh trái để đưa việc nghiên cứu tiêu chuẩn điều khiển được
hệ suy
biến
không dừng về nghiên cứu hệ đơn giản
hơn.
Mặc dù luận văn chủ yếu là trình bày lại các kết quả trong [6], [7], [8],
[9],
nhưng chúng
tô
i cố gắng thể hiện những lao động của mình trong quá trình
đọc,
nghiên cứu và mở rộng các kết quả ấy cho hệ phương trình vi phân đại số
tuyến
tính. Thí dụ: Mục 1.1 chương 1 trình bày công thức nghiệm tường
minh
của
phương trình vi phân tuyến tính không dừng với ma trận luỹ linh là
kết quả
của
tác giả, đã được báo cáo tại Hội nghị nghiên cứu khoa học sau đại
học do Đại
học
Sư phạm Thái Nguyên tổ chức (Thái Nguyên, tháng 7-2008) và
được đăng

trong
[3]. Chúng tôi cũng cố gắng chi tiết hóa hoặc tìm ra những cách
chứng minh
khác
với cách chứng minh trong [6], [7], [8], [9]. Trong toàn bộ
luận văn, chúng
tô
i
cố
gắng
d
iễn giải những
đ
ịnh lý, bổ đề một cách dễ hiểu
nhất. Chúng
tô
i hy
vọng
rằng, luận văn cho thấy rõ hơn sự phát triển trong
nghiên cứu tiêu chuẩn
đ

iều
khiển được hệ phương trình vi phân từ đơn giản
đến phức tạp, từ phương trình
vi
phân thường đến phương trình vi phân ẩn suy
5
biến với hệ số biến
thiên.

5
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS – TS
Tạ
Duy Phượng. Xin được tỏ lòng cám ơn chân thành nhất tới
Thầy.
Tác giả xin cám ơn chân thành tới Trường Đại học Sư phạm – Đại học
Thái
Nguyên, nơi tác giả đã nhận được một học vấn sau đại học căn
bản.
Và cuối cùng, xin cám ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã cảm thông,
ủng
hộ và giúp đỡ trong suốt thời gian tác giả học Cao học và viết luận
văn.
Thái Nguyên, ngày 18 tháng 9 năm
2008
Tác
giả
Vi Diệu
Minh
2
2
C
k
N B
6
Chƣơng
1
PHƢƠNG
TRÌNH VI PHÂN ĐẠI
SỐ

TUYẾN TÍNH VỚI HỆ SỐ
HẰNG
§1 TÍNH GIẢI
Đ
Ƣ
ỢC
CỦA HỆ
PHƢƠNG
TRÌNH VI PHÂN ĐẠI
SỐ
TUYẾN TÍNH VỚI HỆ SỐ
HẰNG
1.1 Hệ
ph
ƣ
ơng
trình vi phân đại số tuyến tính với ma trận lũy
linh
Xét phương trình vi phân đại số tuyến tính
dạng
Nx

(t)
x(t)
B(t)u(t)
,
t
³
0 ,
(1.1.1.1)

trong đó
N
là ma trận vuông
cấp
n
2
, không phụ thuộc vào
t
và là ma trận
lũy
linh bậc
h
, tức là N
h
=
0
n
với 0
n
là ma trận vuông
cấp
n
2
có tất cả các
thành
phần bằng
0;
x(t
) là một hàm khả vi hầu khắp nơi nhận giá trị trong không
gian

¡
n
2
và thỏa mãn phương trình (1.1.1.1) hầu khắp nơi (là nghiệm của phương
trình
vi phân
(1.1.1.1));
B

(t
) là ma trận cấp
n
2
´
m
và
u(t
)
là vectơ hàm m
chiều.
Trước tiên ta chứng minh Bổ đề sau (xem
[3]).
Bổ đề
1.1
Giả sử
B

(t
) và
u(t

) tương ứng là ma trận hàm và vectơ hàm có các thành phần
là
các hàm khả vi liên tục đến cấp
h
, trong đó
h
là bậc của ma trận lũy linh
N
.
Khi
ấy với mọi 1 £ k
£
h ta
có
N

k
x
(

k
)
(t)
N

k
1

x
(

k
1)
(t)
k
1
k 1 i
(

k
k
1
i
0
1
i
)
(t)u
(i )
(t)
,
(1.1.1.2)
trong
đó
x
(

k
)
(t
) là đạo hàm cấp

k
của vectơ
hàm
x(t)
, tương
tự,
u

(i

)

(t
)
là
đạo
hàm cấp i của vectơ
hàm
u(t

)
,
còn
B
(s

)

(t
)

là đạo hàm cấp s của ma trận
hàm
B

(t
) , C
i
=
k

!
i !(k
-
7
i)

!
với 0 £ i £ k
.
Chứng
minh
Nhân phương trình (1.1.1.1) với ma trận N rồi lấy đạo hàm hai vế ta
được:
2
C
C
k k
k
k k
k

k
k 1 k
1
k
1
k 1
k
C C
C
C
N B
N
k
1
1
B
1
B
1
B
1
B
1
1
B
1
1
N
N
N

2

x

(t
)
Nx

(t

)
N
B


(t

)
u(t

)
B(t

)u

(t
)
.
Lại tiếp tục nhân phương trình này với
N

rồi lấy đạo hàm hai vế ta
được:
N
3

x

(t
)
N
2

x

(t )
N
2

x

(t )
2
N
2
N
2
C
i
B
( 2

B

(t )u(t )
i )
(t )u
(i )
(t
).
B


(t )
u

(t )
B


(t )
u

(t )
B(t )u

(t )
i 0
Như vậy, công thức (1.1.1.2) đúng với
s
=
1,

2,
3

.
Giả sử công thức (1.1.1.2) đúng với mọi
s
£
k < h
. Ta sẽ chứng minh nó
đúng
với
s
=
k + 1
. Thật vậy, theo qui nạp ta
có
N

k
x
(

k
)
(t)
N

k
1

x
(
k
1)
(t)
k
1
k 1 i
(

k
k
1
i
0
1
i
)
(t)u
(i )
(t)

.
Nhân phương trình này với
N
rồi lấy đạo hàm hai vế ta
được:
N
k 1
x

(
k
1)
(t

)
N
k
x
( k )
(t

)
k
1
k i
B
( k
i
)
(t
)u
(i )
(t
)
i
0
B
(
k

1
i
)
(t
)u
(i 1)
(t

)
N
k
x
( k )
(t

)
N
k
C
0
B
( k )
(t
)u(t
)
N
k
C
0
(

k
1)
(t
)u

(t
)
N
k
C
1
(

k
1)
(t
)u

(t
)
N
k
C
1
(

k
2)
(t

)u

(t
)
N
k
C
2
(

k
2)
(t
)u

(t
)
N
k
C
2
B
(
k
3)
(t
)

u


(t )

N
k
C
s
1

B
( k s 1)
(t
)u
(
s 1)
(t
)
N
k
C
s 1
B
( k
s
)
(t
)u
(
s
)
(t

)
k 1 k 1 k
1
N
k
C
s
B
( k
s
)
(t
)u
(

s
)
(t
)
N
k
C
s
(

k
1 s )
(t
)u

(
s 1)
(t

)

N
k
C
k
2
B
( 2)
(t
)u
(
k
2)
(t

)
N
k
C
k
2
B


(t

)u
(

k
1)
(t

)
N
k
C
k
1

B


(t
)u
(

k
1)
(t

)
N
k
C
k

1

B(t )u
(
k
)
(t

)
N
k
x
( k )
(t
)
N
k
C
0
B
( k )
(t )u(t
)
k 0 1
k 1 k 1
B
( k
1)
(t )u


(t )
N
k
C
1
C
2
B
( k
2)
(t )u

(t )

N
k
C
s 1
C
s
B
( k s )
(t )u
( s )
(t )
k 1 k 1 k 1 k 1

k k 2
k 1
k 1

B


(t )u
( k
k 1
1)
(t )
N
k
C
k
1
B(t )u
( k )
(t
).
k 1
i
=
(
k

-
1
)
!
nên
Nhưng
C

k
-
1
i !(k - 1
- i)

!
0 0
k
- 1
k
C

k
- 1
=
1 =
C

k
;
C

k
-
1
= 1 =
C

k
và
s 1 s
s
C
k
1
C
k 1
C
k
8
N C C C
C C
C C
k
s k
(s
- k
)
k
1
N
N
N
k
1
k
nên
N

k
1

x
(

k
1)

(t

)

N

k
x
(

k
)
(t
)
k 0
B
(

k
)

(t

)u(t
)
k 0
1
k 1 k
1
B
(
k 1)
(t

)u

(t
)
k 1
2
k 1 k
1
B
(

k
2)
(t

)u


(t
)

k s
1
k
1
s
B
(
k
s
)
(t

)u

(

s
)
(t
)

N

k
C

k

2
C

k
1
B


(t

)
u
(

k
1)
(t
)
N

k

C

k
1
B(t

)u

(

k
)
(t
)
k 1 k 1 k
1
N

k
x
(

k
)
(t
)
N

k

C

0

B
(

k

)
(t

)
u(t
)
N

k

C
1

B
(
k 1)
(t

)u

(t
)
k
k
N

k

C

2

B
(
k
2)
(t

)u

(t
)

N

k

C

s
B
(
k
s
)
(t

)u

(

s
)
(t
)
k
k

N

k

C

k
1

B


(t

)
u
(

k
1)
(t
)

N

k

C

k
B(t

)u

(

k
)
(t
)
k
k
k
N

k
x
(

k
)
(t
)

N

k
C

s
B
(
k
s
)
(t

)u

(

s
)
(t
).
s
0
Vậy theo nguyên lý qui nạp, công thức (1.1.1.2) được chứng
minh.
Từ Bổ đề 1.1 ta có công thức nghiệm sau đây của hệ
(1.1.1.1).
Mệnh đề 1.1
([3])
Giả

sử
B

(t
)
là ma trận hàm
và
u(t
)
vectơ hàm có các thành phần là các hàm
khả
vi liên tục đến cấp
h
. Khi ấy nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến tính
suy
biến (1.1.1.1) được tính theo công
thức
x(t)
h
1
F
(t)u
(

k
)
(t)
,
(1.1.1.3)
k

0
trong
đó
F
k
(t ) = -
h
-
1
å
s
=
k
N C
s
B (t )
.
Chứng
minh
Viết lại (1.1.1.2) với k
=
1,

2,

,

h
ta
được

9
0
Nx

(t)
x(t)
C

0
B(t)u(t)
;
2 0
1
N

x

(t)
Nx

(t
)
NC
1
B


(t
)
u(t

)
NC
1
B(t
)u

(t )
;
3 2 2 0 2 1 2
2
N

x

(t)
N

x

(t)
N C
2
B

(t)u(t)
N C
2
B


(t
)
u

(t
)
N C
2
B(t
)u

(t
)

;
……….
C
C C
C
C
1
C
N
C
N
C
N
C
h
1

s
N B
N B N B
N B
1
N
h
1
k
k
N

k
x
(

k
)
(t
)
N

k
1

x
(
k
1)
(t

)
k
1
k 1 i
(

k
k
1
i
0
1
i
)
(t

)u
(i
)
(t

)
N

k
1

x
(

k
1)
(t

)
k 1
0 (
k
k
1
1)
(t

)u(t
)
k 1 1
(

k
k
1
2)
(t

)u

(t

)

k 1
i
k
(
k 1
i
)
(t

)u
(i
)
(t
)

k 1
k
k
1
B(t

)u
(
k
1)
(t

).
………
N

h
x
(

h
)
(t
)
N

h
1

x
(
h 1)
(t
)
N

h
1
h
1
i
B
(
h 1
i

)
(t

)u
(i
)
(t

)
i
0
N

h
1

x
(
h 1)
(t
)
h 1
0
h
1
B
(
h 1)
(t

)u(t
)
h 1
1
h
1
B
(

h
2)
(t

)u

(t

)

h 1
i
h
1
B
(
h 1
i
)
(t

)u
(i
)
(t
)
N

h
1
C

h
1
B(t

)u

(
h 1)
(t

).
Cộng vế với vế các đẳng thức này và để ý đến tính chất lũy linh của ma trận
N
,
tức là
N
h
= 0

, sau khi nhóm các số hạng ở hai vế, ta
được
0
x(t
)
h 1
N
s

C

0

B
(

s
)
(t

)
u(t
)
h 1
N
s
C
1
B
(

s 1)
(t

)u

(t
)
s s
s 0 s 1
h 1

N

s

C

k
B
(
s
k
)
(t

)u

(

k

)
(t
)

s k
N

h
1
B(t

)u

(
h 1)
(t
)
x(t
)
h 1
F
(t

)u

(

k
)
(t

).
k 0
Từ đây suy
ra
x(t)
h
1
F
(t)u
(

k
)
(t).
k
0
Vậy Mệnh đề 1.1 được chứng
minh.
Trong trường hợp
B

(t
)
º
B là ma trận hằng ta
có
Hệ quả 1.1 ([6], trang
17)
Giả sử
B

(t
)
º
B là ma trận hằng
và
u(t
) vectơ hàm có các thành phần là các
hàm
khả vi liên tục đến cấp h . Khi ấy nghiệm của phương
trình
Nx

(t)
x(t) Bu(t)
(1.1.1.4)
được tính theo công
thức
x(t)
h
1
N

k
Bu
(

k
)
(t)

.
(1.1.1.5)
k
0
1 2
Chứng
minh
Khi
B

(t
)
º
B
thì
h
-
1
k
å
s
k
F
(t
) =
-
s
=
k

N
s
C
k

B

(s
- k
)

(t
) =
-
N
k
C
k

B
= - N
k

B
nên ta có ngay công thức
(1.1.1.5).
1.2 Công thức nghiệm của
ph
ƣ
ơng

trình vi phân đại số tuyến tính có
điều khiển
Trong mục này ta sẽ đưa ra công thức nghiệm cho phương trình vi phân đại
số
tuyến tính
dạng
Ex

(t)
Ax(t)
B(t)u(t)
.
(1.1.2.1)
trong đó ma trận
E
nói chung suy biến
(
det E có thể bằng
0).
Định nghĩa
1.2
Cặp ma
trận
E, A 
n n
được gọi là chính quy nếu tồn tại một số phức

sao
cho
E A

0
hoặc đa
thức
sE A 0
.
Bổ đề 1.2 (Bổ đề 1-2.2, [6], trang
7)
Cặp ma trận
(
E

,
A
)
là chính quy nếu và chỉ nếu tồn tại hai ma trận không
suy
biến
P
và
Q
sao
cho
QEP
I
n
1
0
,
QAP
A

1
0
,
0 N
0
I
n
2
n
n
1
1
trong
đó
n
1
+ n
2
= n
,
A
1
 ,
I

n
và
I

n

là hai ma trận đơn vị tương
ứng
cấp n
1
và n
2
;
N


n
2

n
2
là ma trận lũy
linh.
Bổ đề 1.2 chỉ ra rằng với giả thiết chính quy của cặp ma trận
(
E

,
A
)
,

hệ
(1.1.2.1) có thể viết dưới dạng
sau:
x


1

(t

)
Nx

2
(t)
A
1

x
1

(t)
x
2
(t)
B
1
(t)u(t),
(1.1.2.2a
)
B
2
(t)u(t).
(1.1.2.2b
)

(1.1.2.
2)
11
1
÷
Thật vậy, do
(
E

,
A
)
là cặp ma trận chính qui nên tồn tại các ma trận không
suy
biến
P
và
Q
sao
cho
QEP
I
n
1
0
,
QAP
A
1
0

.
0 N
0
I
n
2
Nhân hai vế của (1.1.2.1) về bên trái với ma trận không suy biến
Q
ta
được
QEx

(t)
QAx(t)
QB(t)u(t)
.
Đặt
x(t
)
=
Px
%
(t
)
hay
x
%
(t
)
=

P
-
1
x

(t

)
. Khi ấy
x
&
(t
)
=
Px
%
&
(t
)
và phương trình
trên
có thể viết
thành
QEPx


(
t)
QAPx


(t
)
QB(t)u(t)
.
(1.1.2.3)
hay
I
n
1
0
0
x

(
t )
N
A
1
0
0 I
n
2
x

(t
)
QB(t )u(t )
.
æ
x

%

ö
%
ç
÷
và
QB(t
)
B

1
(t
)
, khi ấy phương trình trên có
dạng
Đặt
x
=
ç
x
%

÷

hay
è
ç
2
ø

B
2
(t

)
I
n
1
x


1
(t)
Nx


2
(t)
x


1
(t
)
Nx


2
(t
)

A
1

x


1

(t)
I
n
2
x


2
(t)
A
1
x


1
(t

)
x


2

(t

)
12
B

1

(t)
u(t);
B

2
(t)u(t)
B

1
(t

)u(t

);
B

2
(t

)u(t

)

n n n
n
với
x

1
(t)


1
,
x

2

(t)


2
và
N 
2 2
là ma trận lũy
linh.
Từ nay về sau, ta luôn giả thiết cặp ma trận
(
E

,
A

)
là chính qui. Khi ấy
để
nghiên cứu hệ (1.1.2.1) ta chỉ cần nghiên cứu hệ
(1.1.2.2).
Hệ (1.1.2.2a) là hệ phương trình vi phân thường có điều khiển. Nó đã
được
nghiên cứu kĩ trong các tài liệu về lý thuyết
đ
iều khiển. Cụ thể, với
mỗ
i
đ
iều
kiện
x
1
1
ban đầu
0

n
và mỗi hàm đo được cho
trước
u(t)
,
t 0

, nghiệm
của

(1.1.2.2a) có dạng (xem, thí dụ, [2],
[4]):
x
(t)
e

A
1
t
x
0
t
e

A
1
(t
s

)

B (s)u(s)ds
.
(1.1.2.4a)
1 1
1
s
0
Theo Mệnh đề 1.2, nghiệm của hệ (1.1.2.2b) được tính theo công
thức

x
(t

)
h
1
F
(t

)u

(
k )
(t
)
h 1 h
1
N
s

C

k
B
(
s k )
(t
)
u

(
k )
(t

)

.
(1.1.2.4b)
2 k s
2
k 0 k 0 s
k
Như vậy,
nghiệm
x(t

)
x
1

(t
)
x
2
(t

)
của (1.1.2.2) tính được tường minh theo
công
thức (1.1.2.4a) và (1.1.2.4b). Ta nói nghiệm (1.1.2.4) tương ứng với điều

khiển
u(t
)
đã
chọn.
Chúng ta cũng lưu ý rằng, để có được công thức (1.1.2.4b), ta đã phải giả
thiết
B

(t
)
và
u(t
)
có các thành phần là các hàm khả vi liên tục đến cấp
h
, mặc
dù
trong định nghĩa nghiệm của (1.1.2.4a), thì chỉ cần tính chất đo được của
hàm
u(t

)
. Đây cũng là một trong những điểm khác biệt giữa phương trình
vi
phân
thường và phương trình vi phân đại
số.
Hệ quả
1.2

Giả sử
B

(t
)
º
B là ma trận hằng
và
u(t
) vectơ hàm có các thành phần là các
hàm
khả vi liên tục đến cấp
h
. Khi ấy nghiệm của phương
trình:
Ex

(t)
Ax(t) Bu(t)
có
dạng:
x
(t)
e

A
1
t
x
0

t
e

A
1
(t
s

)

B
u(s)ds
1 1
1
s
0
x
2
(t)
h
1
N

k
Bu
(

k
)
(t)

.
k
0
Đối với hệ phương trình vi phân đại số (1.1.2.1), ta cũng có một cách tiếp
cận
khác thông qua ma trận cơ sở để nghiên cứu cấu trúc của tập nghiệm. Dưới
đây
chúng tôi trình bày cách tiếp cận này theo
[7].
n
n
n
1.3 Công thức nghiệm của hệ
ph
ƣ
ơng
trình vi phân đại số với ma trận cơ
sở
1.3.1 Hệ
ph
ƣ
ơng
trình vi phân đại số với ma trận cơ
sở
Một cách tự nhiên, hệ phương trình vi phân đại số được hiểu là
hệ
x

1
(t

)
R
1

x
1

(t
)
R
2
x
2
(t

) f
1

(t

)
;
(1.1.3.1)
0
R
3
x
1

(t

)
R
4
x
2
(t

)
f
2
(t
),
(1.1.3.2)
trong
đó
x
1

(t)


1

và
x
2

(t)


2

;
R
i
,
i
1,

2,

3,
4
và
f

j
(t),
j
1,

2
là các ma
trận
và vectơ có số chiều tương
ứng.
Hệ trên gồm một phương trình vi phân thường và một ràng buộc đại số
(một

phương trình không chứa đạo hàm của các
ẩn
Đặt
x
1
, x
2
).
x
x
1
;
f
f
1
;
E
I 0
; A
R
1
R
2
,
x
2
f
2
0 0 R
3

R
4
trong
đó
I I
là ma trận đơn vị
cấp
1
n
1
,
0
là các ma trận gồm tất cả các phần
tử
bằng 0 có số chiều tương ứng;
A
và f là ma trận và vectơ có số chiều tương
ứng.
Dưới đây, để cho gọn, ta thường chỉ viết các ma trận đơn vị và ma trận gồm
tất
cả
các phần tử bằng 0 là
I
và 0 mà không chỉ rõ số chiều của các ma
trận.
Với cách đặt trên, hệ (1.1.3.1), (1.1.3.2) có thể viết được dưới
dạng:
Ex Ax f
(1.1.3.3)
hay

Nhận xét
1.3.1
Ex

Ax
f
(1.1.3.4)
Trong các tài liệu, hệ phương trình vi phân đại số thường được đồng nhất với
hệ
(1.1.3.4). Tuy nhiên, cách viết (1.1.3.1), (1.1.3.2) chỉ đòi hỏi
là
x
1
có đạo
hàm.
Cách viết (1.1.3.4) đòi hỏi là x có đạo hàm, tức là toàn bộ các tọa độ, hay
x
2
cũng phải có đạo hàm. Từ đó ta thấy, (1.1.3.3) và (1.1.3.4) nói chung là
khác nhau.
Dưới đây, để phù hợp với các tài liệu, ta vẫn gọi hệ (1.1.3.3), (1.1.3.4), trong
đó
ma trận E có thể suy biến (
det E
có thể bằng 0) là hệ phương trình vi phân
đại