Nghiên cứu định tính phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên itô

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
------F------

NGUYỄN THỊ THẾ

NGHIÊN CỨU ĐỊNH TÍNH PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
ĐẠI SỐ NGẪU NHIÊN ITƠ

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC

Vinh - 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
------F------

NGUYỄN THỊ THẾ

NGHIÊN CỨU ĐỊNH TÍNH PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
ĐẠI SỐ NGẪU NHIÊN ITÔ
Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và Thống kê Tốn học
Mã số: 62.46.01.06

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
1. GS.TSKH. Nguyễn Đình Cơng
2. PGS.TS. Nguyễn Văn Quảng

Vinh - 2012


i

LỜI CAM ĐOAN

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH. Nguyễn
Đình Cơng và PGS.TS. Nguyễn Văn Quảng. Tơi xin cam đoan rằng các kết
quả được trình bày trong luận án là mới và chưa từng được ai cơng bố trước
đó.
Tác giả
Nguyễn Thị Thế


ii

LỜI CẢM ƠN

Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của
GS.TSKH. Nguyễn Đình Cơng và PGS.TS. Nguyễn Văn Quảng. Tôi xin được
bày tỏ sự kính trọng và lịng biết ơn sâu sắc của mình tới thầy, GS.TSKH.
Nguyễn Đình Cơng, người đã đặt bài tốn, hướng dẫn tận tình, chu đáo giúp
tơi tiếp cận vấn đề nghiên cứu một cách chủ động trong suốt quá trình thực
hiện luận án. Tơi xin bày tỏ sự kính trọng và lịng biết ơn sâu sắc của mình
tới thầy, PGS.TS. Nguyễn Văn Quảng, thầy đã thường xuyên quan tâm tạo
điều kiện thuận lợi nhất để tôi tập trung học tập, nghiên cứu.
Một phần của luận án được hoàn thành trong thời gian tôi nhận được
học bổng Erasmus của liên minh Châu Âu để sang học tập và nghiên cứu ở
Trung tâm Hệ động lực - Khoa Toán - TU Dresden - Đức, đứng đầu là GS.

Stefan Siegmund. Tôi xin gửi lời cảm ơn tới giáo sư Siegmund đã giúp đỡ,
hướng dẫn tôi trong suốt thời gian ở Đức.
Tôi xin được cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, Khoa Sau đại học, Ban
Giám hiệu, các phòng ban chức năng của Trường Đại học Vinh đã tạo các
điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành nhiệm vụ của một nghiên cứu sinh;
đặc biệt là tạo điều kiện để tôi tham gia được khóa thực tập sinh ở Đức.
Tơi xin cảm ơn các đồng nghiệp trong Khoa Toán, Tổ Xác suất - Thống
kê và Toán ứng dụng đã gánh vác nhiệm vụ giảng dạy thay tôi trong suốt
một thời gian dài.
Tôi xin cảm ơn các thầy cô, bạn bè về những trao đổi, hỗ trợ, chia sẽ
trong công việc cũng như trong cuộc sống.
Một lời cảm ơn đặc biệt xin được dành cho các thành viên trong đại gia
đình của tơi, những người đã hết sức yêu thương và thông cảm cho tôi khi


i

tơi chưa làm trịn trách nhiệm đối với gia đình, những người đã luôn bên tôi
trong mọi lúc, mọi nơi, khi thuận lợi cũng như những lúc khó khăn nhất.
Gia đình là nơi đã tạo ra niềm tin và nghị lực giúp tơi hồn thành luận án
này.


1

MỤC LỤC

Mục lục

1

Bảng ký hiệu

3

Mở đầu

4

1

Kiến thức chuẩn bị

13

1.1. Số mũ Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2. Phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô

. . . . . . . . . . . . . . 16

1.2.1

Chuyển động Brown . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.2.2

Phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô . . . . . . . . .

18

1.3. Phổ Lyapunov của phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ tuyến tính
khơng ơtơnơm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.4. Tính chính qui Lyapunov của phương trình vi phân đại số tuyến
tính chỉ số 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4.1

Phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1 . . .

23

1.4.2

Phương trình vi phân đại số liên hợp . . . . . . . . .

26

1.4.3

Tính chính qui Lyapunov của phương trình vi phân
đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên Itơ

2.1. Ví dụ mở đầu

29
31

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2. Nghiệm của phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên Itô . . . . . 32
2.3. Phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên Itơ chỉ số 1 . . . . . . . 35
2.4. Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43


2

3 Phổ Lyapunov của phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên
Itơ tuyến tính chỉ số 1

44

3.1. Dịng ngẫu nhiên hai tham số cảm sinh
3.2. Phổ Lyapunov

. . . . . . . . . . . . . 44

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3. Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4 Tính chính qui Lyapunov của phương trình vi phân đại
số ngẫu nhiên Itơ tuyến tính chỉ số 1

62

4.1. Phương trình liên hợp của phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên
Itơ tuyến tính chỉ số 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.2. Chỉ số của phương trình liên hợp
4.3. Tính chính qui Lyapunov

. . . . . . . . . . . . . . . . 69

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.3.1

Phổ Lyapunov của phương trình liên hợp . . . . . . .

71

4.3.2

Tính chính qui Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . .

78

4.4. Kết luận chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Kết luận chung và kiến nghị

96

Danh mục cơng trình của NCS liên quan đến luận án

98

Tài liệu tham khảo

99


3

BẢNG KÝ HIỆU

N: Tập hợp số tự nhiên;
R+ : [0, +∞);
Rn : Khơng gian véc tơ Euclide n− chiều;
Rd×n : Khơng gian các d × n− ma trận thực;
I : Ma trận đơn vị cấp n;
x> : Chuyển vị của một véc tơ cột;
|x| : Giá trị tuyệt đối của số thực x;
√
kxk = x> x chuẩn Euclide của véc tơ x;
C(X, Y )/C 1 (X, Y ): Tập các hàm liên tục/ khả vi liên tục từ miền X vào

miền Y ;
(Ω, F, P): Không gian xác suất;
E: Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên;
h.c.c : Hầu chắc chắn;
Gk : Đa tạp Grassmann gồm các không gian véc tơ con k− chiều của Rn ;

Φ|V : Hạn chế của toán tử Φ lên tập V ;
A∗ /A−1 : Ma trận liên hợp / nghịch đảo của ma trận A;
T rA: Vết của ma trận A;
kAk: Chuẩn toán tử của ma trận A;

ker A/ im A/ rank A : Tương ứng là nhân/ ảnh/ hạng của ma trận A;
χ(h): Số mũ Lyapunov của hàm h;
kf k∞ = maxt∈[0,T ] |f (t)| với hàm liên tục f ∈ C([0, T ], R).


4

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
1.1. Trong khoa học kỹ thuật và ứng dụng thực tiễn, có nhiều bài tốn dẫn
đến nhu cầu cần nghiên cứu phương trình vi phân có sự tham gia của nhiễu
trắng. Đó là phương trình dạng
x(t)
˙
= f (t, x(t)) + G(t, x(t))ξt , x(t0 ) = x0 ,

(1)

trong đó, ξt là “nhiễu trắng” (White noise). Chẳng hạn, năm 1908, nhà vật
lý người Pháp Langevin khi nghiên cứu chuyển động hỗn loạn của một hạt
trong chất lỏng đã đề cập tới phương trình
x˙ t = −αxt + σξt ,

ở đây, x˙ t là vận tốc của hạt tại thời điểm t; α, σ là các hằng số dương. Thành

phần σξt thể hiện sự tác động của lực ngoài vào do va chạm ngẫu nhiên với
các phần tử của chất lỏng.
ξt được các nhà vật lý gọi là nhiễu trắng và được hiểu như quá trình

Gauss dừng với kỳ vọng bằng 0 và mật độ phổ là hằng trên toàn đường
thẳng (mật độ phổ là biến đổi Fourier của hàm tự tương quan). Quá trình
như vậy khơng tồn tại theo nghĩa thơng thường, vì hàm tương quan lúc này
phải là hàm Dirac delta. Dựa vào đặc điểm này, nhiễu trắng thường được
dùng như là lý tưởng hóa nhiễu ngẫu nhiên mà tại các thời điểm khác nhau
là độc lập và có thăng giáng rộng. Q trình dạng này có hàm mẫu khơng
đâu khả vi, vì vậy ta khơng thể xét (1) như phương trình vi phân thường
được.
1.2. Năm 1944, Kiyosi Itô công bố bài báo “Stochastic Integral” trong Proceedings of the Imperial Academy, Tokyo [49]. Bài báo này đã đem đến một


5

công cụ mới, được chứng minh chặt chẽ về mặt tốn học, cho tính tốn ngẫu
nhiên, đáp ứng nhu cầu của thực tiễn đã được đề cập trước đó. Trong bài
báo này, Itơ giới thiệu một loại tích phân và một công thức nổi tiếng, sau
này được mang tên ông− Tích phân ngẫu nhiên Itơ và Cơng thức Itơ.
Cơng thức Itơ, là cơng cụ chính trong tính tốn đối với hàm ngẫu nhiên, có
vai trị như cơng thức Newton-Leibniz trong giải tích cổ điển. Tích phân Itơ
được xây dựng dựa vào chuyển động Brown. Do hầu chắc chắn quĩ đạo của
chuyển động Brown có biến phân khơng bị chặn trên mọi đoạn hữu hạn nên
tích phân ngẫu nhiên Itơ khác hẳn với tích phân Riemann-Stieltjes của giải
tích cổ điển.
Sau bài báo nền tảng này của Itơ, lý thuyết tích phân ngẫu nhiên Itô
đã được nghiên cứu, phát triển mở rộng theo nhiều hướng khác nhau. Một
trong những áp dụng quan trọng nhất của tích phân ngẫu nhiên Itơ là dùng

để phát triển đầy đủ một lý thuyết quan trọng: Lý thuyết phương trình vi
phân ngẫu nhiên Itơ, viết tắt là PTVPNN.
Lý thuyết phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ ra đời đã đem đến một
công cụ chặt chẽ về mặt toán học, đáp ứng cho nhu cầu nghiên cứu các
phương trình vi phân có sự tham gia của nhiễu trắng, mà phương trình
Langevin là một trường hợp đặc biệt.
1.3. Trong thực tiễn ứng dụng, có nhiều bài tốn, chẳng hạn mô tả hệ động
lực, thiết kế mạch điện, lý thuyết điều khiển, nghiên cứu các hệ cơ học nhiều
vật, các phản ứng hóa học...dẫn đến phải nghiên cứu những hệ phương trình
bị “ràng buộc đại số” bởi một số điều kiện nào đấy. Từ đó xuất hiện nhu
cầu nghiên cứu phương trình vi phân đại số, viết tắt là PTVPĐS.
1.4. Thực tế, ngoài các ràng buộc đại số đặt lên một hệ, thì hệ hoạt động
vẫn khơng thể tránh khỏi bị ảnh hưởng của nhiễu một cách ngẫu nhiên. Vì
vậy, dẫn đến nhu cầu nghiên cứu các tác động ngẫu nhiên lên hệ có ràng
buộc đại số. Khi mơ hình toán học cho hệ vi phân đại số với nhiễu trắng,
dẫn đến nghiên cứu phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên Itô, viết tắt
là PTVPĐSNN.


6

Phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên Itơ được xem như mở rộng của
phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ và phương trình vi phân đại số. Bên
cạnh phương trình vi phân thường (PTVP), thì phương trình vi phân đại
số và phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ đã được nghiên cứu và thu được
nhiều kết quả, phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên Itô là một lĩnh vực
mới và khó, chưa được nghiên cứu nhiều.
1.5. Mặt khác, lý thuyết định tính các hệ phương trình vi phân là một trong
những hướng nghiên cứu quan trọng của lý thuyết phương trình vi phân.
Với các lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án của

mình là: “Nghiên cứu định tính phương trình vi phân đại số
ngẫu nhiên Itơ”.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích chính của luận án là: Đưa ra khái niệm nghiệm và phương pháp
giải phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên Itơ. Nghiên cứu phổ Lyapunov
và tính chính qui Lyapunov của phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên Itơ.
3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên Itô.
4. Phạm vi nghiên cứu
Nội dung của luận án chủ yếu tập trung nghiên cứu lớp phương trình vi
phân đại số ngẫu nhiên Itơ tuyến tính chỉ số 1.
5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu của luận án là nghiên cứu lý thuyết. Chúng tôi
sử dụng các kỹ thuật của lý thuyết ma trận c Măarz ỏp dng cho phng
trỡnh vi phõn i s; phương pháp số mũ Lyapunov cổ điển được phát triển
bởi Millionshchikov; lý thuyết dòng ngẫu nhiên hai tham số phát triển bởi
Kunita; kết hợp với các phương pháp của lý thuyết xác suất.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Ý nghĩa khoa học: Góp phần làm phong phú thêm các kết quả và sự hiểu
biết về phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên Itô.
Ý nghĩa thực tiễn: Áp dụng để khảo sát tính ổn định, ổn định hóa của


7

các hệ điều khiển ngẫu nhiên.
7. Tổng quan và cấu trúc của luận án
7.1 Tổng quan luận án
Xét phương trình vi phân dạng
A(t)dx(t) = g(t, x(t))dt + G(t, x(t))dWt , t ∈ J,

(2)

trong đó, J là một đoạn của R+ , A ∈ C(J, Rn×n ), g ∈ C(J × Rn , Rn ),
G ∈ C(J × Rn , Rn×m ) và (Wt )t∈J là chuyển động Brown m−chiều trên

không gian xác suất (Ω, F, P).
Đoạn J có thể hữu hạn hoặc vơ hạn, khơng mất tính tổng qt ta luôn
giả sử J := [0, T ], T ∈ R+ hoặc J := R+ .
Ta xét các trường hợp xảy ra đối với hệ số của phương trình (2) như sau:
Trường hợp 1: Ma trận A(t) không suy biến với mọi t ∈ J và G ≡ 0. Khi
đó (2) trở thành phương trình vi phân thường.
Lý thuyết phương trình vi phân thường được Newton-Leibnitz xây dựng
vào cuối thế kỷ 17, đã được nghiên cứu, phát triển, mở rộng theo nhiều
hướng và thu được nhiều kết quả hoàn chỉnh.
Một trong những hướng quan trọng là nghiên cứu định tính phương trình
vi phân thường bằng phương pháp số mũ Lyapunov, được Lyapunov đưa
ra năm 1892. Theo hướng này, lý thuyết phổ của phương trình vi phân
thường tuyến tính được nghiên cứu bởi Millionshchikov, Demidovich, Bylov,
Vinograd, Nemytskii, Erugin, Persidskii...; phổ Lyapunov của hệ động lực
(hệ động lực sinh bởi phương trình ơtơnơm) được nghiên cứu bởi Oseledets,
Sinai, Pesin, Katok (Nga), Young, Bowen (Mỹ), Ruelle, Ledrapier (Pháp),
Arnold (Đức), Johnson (Italy),...
Đối với phương trình vi phân thường tuyến tính, Lyapunov đưa ra khái
niệm chính qui Lyapunov và ông đã chứng minh được rằng, một phương
trình vi phân tuyến tính chính qui Lyapunov sẽ có nhiều tính chất tiệm cận
tốt. Perron đã dựa vào phương trình liên hợp của phương trình vi phân tuyến
tính để đưa ra một định nghĩa tương đương với tính chính qui Lyapunov (xem
[76]).

8

Ở Việt nam, phương pháp số mũ Lyapunov cũng được nhiều nhà toán học
sử dụng để nghiên cứu các bài tốn khác nhau và thu được nhiều kết quả có
ý nghĩa, chẳng hạn như cơng trình nghiên cứu của Trịnh Tuấn Anh, Nguyễn
Đình Cơng, Nguyễn Hữu Dư, Hồng Hữu Đường, Nguyễn Thế Hoàn, Trần
Văn Nhung, Vũ Tuấn,...
Trường hợp 2: Ma trận A(t) không suy biến với mọi t ∈ J . Khi đó (2) là
phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô.
Để cho đơn giản ta xem A(t) là ma trận đơn vị. Phương trình (2) được
hiểu là phương trình tích phân
Z t
Z t
x(t) − x(0) =
g(t, x(t))dt +
G(t, x(t))dWt , t ∈ J,
0

(3)

0

trong đó x(0) là Rn −biến ngẫu nhiên, độc lập với (Wt ). Do hầu chắc chắn
quĩ đạo của chuyển động Brown có biến phân khơng bị chặn trên mọi đoạn
hữu hạn, nên tích phân thứ hai trong (3) khơng phân tích được như tích
phân Riemann-Stieltjes của giải tích cổ điển mà là tích phân Itơ (tích phân
thứ nhất là tích phân Riemann).
Phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ có nhiều áp dụng quan trọng trong
lý thuyết lọc, lý thuyết điều khiển, tốn tài chính, vật lý..., chẳng hạn, Lý

thuyết Black-Scholes trong tốn tài chính, mơ hình này đã được sử dụng
rất thành công trong việc đánh giá quyền chọn mua trên các thị trường tài
chính. Nhờ mơ hình này mà Robert C. Merton và Myron Scholes đã đạt giải
Nobel kinh tế năm 1997.
Phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ đã được nhiều nhà tốn học nghiên
cứu (xem [9, 40, 42, 51, 52, 59]...). Các phương pháp giải quyết bài toán
ổn định của Lyapunov đã thu được nhiều kết quả, đặc biệt là phương trình
ơtơnơm (xem Khasminskii [53], Kunita [52]). Đối với phương trình vi phân
ngẫu nhiên Itơ, phương pháp nghiên cứu số mũ Lyapunov còn hạn chế hơn
so với phương pháp hàm Lyapunov. Lý thuyết số mũ Lyapunov khi áp dụng
vào lý thuyết ergodic dẫn tới một lĩnh vực nghiên cứu hoàn toàn mới: Lý
thuyết hệ động lực ngẫu nhiên (xem Arnold [10], Nguyễn Đình Cơng [22]).


9

Lý thuyết số mũ Lyapunov của phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô không
ôtônôm mới phát triển trong thời gian gần đây (xem Nguyễn Đình Cơng
[27, 28, 29, 32, 33]). Đối với phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ tuyến
tính không ôtônôm, ta không áp dụng được lý thuyết của hệ động lực ngẫu
nhiên. Trong trường hợp này, Nguyễn Đình Công [29] đã dựa vào lý thuyết
số mũ Lyapunov cổ điển phát triển bởi Millionshchikov [60, 61, 62] và lý
thuyết dòng ngẫu nhiên hai tham số phát triển bởi Kunita [52] để xây dựng
lý thuyết phổ Lyapunov.
Trường hợp 3: Ma trận A(t) suy biến với mọi t ∈ J và G ≡ 0. Khi đó (2)
trở thành phương trình vi phân đại số.
Tổng quát hơn, xét phương trình vi phân ẩn
F (x0 (t), x(t), t) = 0, t ∈ J.

Nếu

theo

∂F
∂x0 khơng
x0 và thu

(4)

suy biến thì ta có thể giải (4) (ít nhất là về mặt lý thuyết)
được phương trình vi phân thường. Tuy nhiên, nếu

∂F
∂x0

suy

biến thì điều trên là khơng thể và nghiệm phải thỏa mãn các ràng buộc đại
số nào đó, khi đó ta nói (4) là phương trình vi phân đại số.
Phương trình vi phân đại số là lớp phương trình có ý nghĩa ứng dụng thực
tế cao, xuất hiện trong lý thuyết điều khiển, mô phỏng mạch điện, phản ứng
hóa học, hệ cơ học nhiều vật...(xem [18]) và là mở rộng thực sự lớp phương
trình vi phân thường (xem [66]). Phương trình vi phân đại số được nghiên
cứu từ những năm 70 của thế kỷ 20. Đóng góp đáng kể nhất về lĩnh vực này
là nhóm các nhà toán học ở trường Đại học Humboldt - Berlin - Đức (xem
[13, 17, 18, 19, 46, 47, 54]...) và nhóm các nhà tốn học Nga (xem [77]).
Trong các cơng trình nghiên cứu về phương trình vi phân đại số thì các
cơng trình nghiên cứu về phương trình vi phân đại số tuyến tính là thu được
nhiều kết quả. Phương trình vi phân đại số tuyến tính thu được khi tuyến
tính hóa phương trình dạng ẩn khơng tuyến tính dọc theo một nghiệm cụ
thể (xem [19]).

Khơng giống như phương trình vi phân thường, đối với phương trình vi
phân đại số, các ràng buộc đại số xác định một đa tạp và điều kiện ban đầu


10

phải chọn sao cho thỏa mãn các ràng buộc này. Đây là những khó khăn lớn
khi nghiên cứu phương trình vi phân đại số. Những khó khăn này thường
được đặc trưng bởi một trong nhiều khái niệm chỉ số. Nói một cách nơm na
thì chỉ số là số đo độ lệch giữa phương trình vi phân đại số và phương trình
vi phân thường, đo độ phức tạp của phương trình vi phân đại số. Có nhiều
khái niệm chỉ số được đưa ra để nghiên cứu phương trình vi phân đại số,
đó là chỉ số Kronecker, chỉ số vi phân, chỉ số nhiễu, chỉ số mềm, chỉ số
hình học, chỉ số lạ (xem [17, 47, 48, 54, 68]). Các khái niệm chỉ số này là
đồng nhất trên một lớp phương trình vi phân đại số nào đó. Phương trình
vi phân đại số có chỉ số cao có thể dùng phương pháp hạ chỉ số để đưa về
phương trình có chỉ số thấp hơn. Vì thế các hướng nghiên cứu phương trình
vi phân đại số chủ yếu tập trung vào nghiên cứu phương trình có chỉ số 1
và 2.
Đối với phương trình vi phân đại số, cách tiếp cận là phân rã nó về một
phương trình vi phân thường thỏa mãn trên một đa tạp đại số và nghiên
cứu nó dựa vào phương trình vi phân thường tương ứng đó. Theo cách tiếp
cận này, hầu hết các khái niệm cổ điển của lý thuyết định tính phương trình
vi phân thường phải thay đổi khi áp dụng vào phương trình vi phân đại số.
Cho tới nay, các kết quả thu được về lý thuyết định tính và giải số phương
trình vi phân đại số là khá hoàn chỉnh, đặc biệt là lớp phương trình có chỉ số
thấp. Chẳng hạn, các kết quả về nghiệm [13, 41, 46, 47], về tính ổn định, tiêu
chuẩn ổn định [46, 47, 72, 70, 38], lý thuyết Floquet [55], bán kính ổn định
[21, 38, 39], phương trình vi phân đại số liên hợp [15, 16, 14]; bài toán biên đa
điểm [8], tính nhị phân [56], lý thuyết Lyapunov, tính chính qui Lyapunov,

số mũ Bohl ([30, 31, 58, 71, 73]), các kết quả về giải số ([12, 17, 54, 68]...)
và nhiều kết quả khác nữa.
Ở Việt nam phương trình vi phân đại số được nghiên cứu từ những năm
90 của thế kỷ 20 và đã có nhiều đóng góp đáng kể trong lĩnh vực này, đó là
các cơng trình của Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Đình Cơng, Nguyễn Hữu Dư, Vũ
Hoàng Linh, Vũ Tuấn...(xem [8, 21, 30, 31, 38, 39, 58, 73]...).


11

Trường hợp 4: Ma trận A(t) suy biến với mọi t ∈ J . Khi đó (2) được gọi là
phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên Itơ.
Phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên Itô được xem như mở rộng của
phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ và phương trình vi phân đại số. Các
kết quả thu được về phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên cịn hạn chế,
mặc dù một số nhóm nghiên cứu trong và ngồi nước đã quan tâm.
Gần đây đã có một số cơng trình nghiên cứu về phương trình vi phân đại
số ngẫu nhiên Itô [7, 20, 67, 69, 74, 75]. Trọng tâm chính trong các cơng trình
trên là tính tốn bằng số và các áp dụng cụ thể; tất cả đều xét cho trường
hợp ma trận dẫn đầu A là hằng. Các vấn đề lý thuyết thú vị về nghiệm,
nghiên cứu tính chất định tính của nghiệm,...chưa được xem xét chính xác
trong các bài báo này.
Cho tới nay một định nghĩa chuẩn về nghiệm cho phương trình vi phân
đại số ngẫu nhiên Itơ, cách giải, bài tốn giá trị ban đầu, nghiên cứu tính
chất định tính của nghiệm như tính ổn định, số mũ Lyapunov, tính chính
qui Lyapunov... vẫn cịn bỏ ngỏ.
7.2. Cấu trúc luận án
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Danh mục các bài báo khoa học của NCS
liên quan đến luận án và Tài liệu tham khảo, luận án được trình bày trong
4 chương.

Chương 1, chúng tơi trình bày các kiến thức cơ sở về số mũ Lyapunov,
phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ, phương trình vi phân đại số. Trong
chương này chúng tôi cũng hệ thống lại các kết quả đã biết khi áp dụng
phương pháp số mũ Lyapunov để nghiên cứu phương trình vi phân đại số
và phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ.
Chương 2, chúng tơi trình bày các kết quả của mình về phương trình vi
phân đại số ngẫu nhiên Itô. Cụ thể là định nghĩa nghiệm, định nghĩa lớp
phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên Itô chỉ số 1, định lý tồn tại duy nhất
nghiệm cho lớp phương trình này.
Chương 3, chúng tơi nghiên cứu lớp phương trình vi phân đại số ngẫu


12

nhiên Itơ tuyến tính chỉ số 1. Cụ thể là chúng tơi đưa ra khái niệm dịng
ngẫu nhiên hai tham số cảm sinh, khái niệm số mũ Lyapunov, phổ Lyapunov,
không gian Lyapunov và tính chất của các đối tượng này.
Chương 4, chúng tơi tiếp tục nghiên cứu lớp phương trình vi phân đại số
ngẫu nhiên Itơ tuyến tính chỉ số 1. Đối với lớp phương trình này chúng tơi
đưa ra khái niệm phương trình liên hợp, dịng ngẫu nhiên hai tham số cảm
sinh của phương trình liên hợp, xét các tính chất của chúng cùng mối liên
hệ với phương trình xuất phát. Tương tự Chương 3, chúng tôi nghiên cứu
phổ Lyapunov của phương trình liên hợp và đề xuất khái niệm chính qui
Lyapunov cho phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên Itô dựa vào Định lý
Perron ngẫu nhiên với sự trợ giúp của phương trình liên hợp. Trong chương
này, chúng tơi cũng nghiên cứu một số tính chất của phương trình chính qui
và cuối cùng đưa ra một ví dụ minh họa cho phần lý thuyết.
Các kết quả của luận án đã được trình bày tại semina Phịng xác suất
và Thống kê - Viện Toán học, Tổ Xác suất - Thống kê và Toán ứng dụng Khoa Toán - Trường Đại học Vinh, Hội nghị khoa học kỷ niệm “Nửa thế kỷ
Đại học Vinh anh hùng”, Hội nghị Xác suất - Thống kê toàn quốc lần thứ

IV (Vinh - tháng 5/2010), Semina Trung tâm hệ động lực, khoa Toán - TU
Dresden - Đức.
Các kết quả của luận án cũng đã được đăng và nhận đăng ở các tạp chí
Vietnam Journal of Mathematics và Stochastics and Dynamics; các kết
quả của Chương 4 đang được tác giả và đồng nghiệp hoàn chỉnh để gửi đăng.


13

CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi hệ thống lại một số kiến thức cơ sở về
lý thuyết số mũ Lyapunov, phương trình vi phân ngẫu nhiên Itơ, phương
trình vi phân đại số, cũng như các kết quả đã biết về số mũ Lyapunov, phổ
Lyapunov, tính chính qui Lyapunov của phương trình vi phân ngẫu nhiên
Itơ và phương trình vi phân đại số.

1.1

Số mũ Lyapunov

Năm 1892, trong luận án của mình, Lyapunov đã đưa ra hai phương pháp
khác nhau để nghiên cứu bài toán ổn định của chuyển động, đó là phương
pháp số mũ Lyapunov và phương pháp hàm Lyapunov. Từ đó tới nay, các
phương pháp của Lyapunov đã có những ứng dụng sâu sắc và là cơng cụ chủ
yếu để nghiên cứu lý thuyết định tính phương trình vi phân cũng như các
lĩnh vực liên quan.
Trong luận án này chúng tôi dùng phương pháp thứ nhất, phương pháp
số mũ Lyapunov, để nghiên cứu định tính phương trình vi phân đại số ngẫu

nhiên. Sau đây ta nhắc lại một số khái niệm cơ bản về lý thuyết số mũ
Lyapunov.
Định nghĩa 1.1.1. Cho h là hàm nhận giá trị thực xác định trên khoảng
[t0 , +∞). Số thực (mở rộng) được xác định bởi công thức
1
χ(h) := lim sup log |h(t)|,
t→∞ t

được gọi là số mũ đặc trưng hay còn gọi là số mũ Lyapunov hoặc số mũ
trên của hàm số h.


14

Ta qui ước log 0 = −∞ và vì vậy nếu h(t) ≡ 0 thì χ(h) = −∞.
Số mũ Lyapunov của hàm véc tơ được định nghĩa là số mũ Lyapunov của
chuẩn của nó.
Tương tự với số mũ trên (số mũ Lyapunov) ta cũng có khái niệm số mũ
dưới
1
log |h(t)|.
t→∞ t
Trong định nghĩa trên nếu giới hạn đúng tồn tại, tức là giới hạn trên và
χ(h) := lim inf

giới hạn dưới bằng nhau, thì ta nói h có số mũ đúng.
Một số tính chất cơ bản của số mũ Lyapunov được phát biểu trong mệnh
đề sau.
Mệnh đề 1.1.2. Giả sử f, f1 , . . . , fd là các hàm thực xác định trên nửa
khoảng [t0 , +∞). Khi đó

(i) χ(αf ) = χ(f ) với mọi 0 6= α ∈ R.
(ii) Với mọi bộ d số thực bất kỳ α1 , . . . , αd thì
d
X
χ(
αi fi ) ≤ max χ(fi ).
1≤i≤d

i=1

Nếu tồn tại k ∈ {1, . . . , d} sao cho αk 6= 0 và χ(fk ) > χ(fi ) với mọi
i 6= k, i = 1, . . . , d thì
d
X
χ(
αi fi ) = max χ(fi ) = χ(fk ).
i=1

1≤i≤d

Q
P
(iii) χ( di=1 fi ) ≤ di=1 χ(fi ).

Tiếp theo ta nhắc lại một số khái niệm cổ điển về tính chính qui Lyapunov
đối với phương trình vi phân thường.
Xét phương trình vi phân thường tuyến tính
x0 (t) = A(t)x(t), t ∈ R+ ,

trong đó A ∈ C(R+ , L(Rn )) và supt∈R+ kA(t)k < ∞.

(1.1)


15

Khơng gian nghiệm của (1.1) có số chiều là n. Do hai hàm số có số mũ
Lyapunov khác nhau là độc lập tuyến tính nên (1.1) có khơng q n số mũ
Lyapunov phân biệt. Vì hệ số A(t) của (1.1) bị chặn nên mọi nghiệm khơng
tầm thường của nó có số mũ Lyapunov hữu hạn.
Ma trận nghiệm cơ bản của (1.1) là ma trận vuông cấp n tạo thành từ n
nghiệm độc lập tuyến tính. Ma trận nghiệm cơ bản X(t) của (1.1) được gọi
là ma trận nghiệm cơ bản chuẩn tắc nếu tổng các số mũ Lyapunov σX của
các nghiệm, đạt giá trị nhỏ nhất trong tất cả các ma trận nghiệm cơ bản của
nó. Tập hợp λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λn bao gồm tất cả các số mũ Lyapunov của
các nghiệm trong một ma trận nghiệm cơ bản chuẩn tắc nào đó của (1.1),
được gọi là phổ Lyapunov của (1.1). Như vậy với mọi ma trận nghiệm cơ
bản X(t) của (1.1) thì
σX ≥

n
X

λi

i=1

và ta có bất đẳng thức sau, được gọi là bất đẳng thức Lyapunov (xem [76]),
Z
1 t

T rA(τ )dτ.
σX ≥ lim sup
t→∞ t 0
Định nghĩa 1.1.3. Phương trình (1.1) được gọi là chính qui Lyapunov
nếu có đẳng thức
n
X
i=1

1
λi = lim inf
t→∞ t

Z

t

T rA(τ )dτ,
0

trong đó λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λn là phổ Lyapunov của (1.1).
Xét phương trình liên hợp của (1.1):
y 0 (t) = −A∗ (t)y(t),

trong đó A∗ là ma trận liên hợp của ma trận A.
Perron đã chứng minh định lý sau (xem [76]).

(1.2)