tối ưu hàm e -lồi

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên h tt

p : //

www .

l

r c

- t

n u .

e

d u . v

n
1
MỤC LỤC
Trang
Mục lục…………………………………………………………… 1
Lời nói đầu…………………………………………………………. 2
Chương I. Tập
(
α

,
E
1

, E
2
)
-lồi……………………………………
4
1.1. Tập
(
α

,
E
1
, E
2
)
-lồi………………………………………………
4
1.2 Các ví dụ 8
1.3 Các tính chất của tập
(
α

,
E
1
, E
2
)
-lồi……………………………
12

Chương II. Hàm
(
α

,
E
1
, E
3
)

-lồi…………………………………
30
2.1 Hàm
(
α

,
E
1
, E
3
)

-lồi……………………………………………
30
2.1.1 Định nghĩa hàm
(
α

,
E
1
, E
3
)

-lồi………………………………
30
2.1.2 Các ví dụ……………………………………………………… 33
2.1.3 Các tính chất hình học-đại số của hàm
(
α

,
E
1
, E
2
)
-lồi………
36
2.2. Hàm
(
α

,
E
1
, E

3
)

-tựa lồi………………………………………
49
Chương 3: Tối ưu hàm E -lồi…………………………………… 58
3.1 Bài toán tối ưu một mục tiêu với hàm E -lồi…………………… 58
3.2 Một số kết quả cho bài toán
(

P
E
)

………………… …
59
3.3 Một số kết quả cho bài toán
(

P
E
)

………………… …
63
Kết luận…………………………………………………………… 69
Tài liệu tham khảo………………………………………………… 70
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên h tt

p : //

www .

l

r c

- t

n u .

e

d u . v

n
2
LỜI NÓI ĐẦU
Sau khi lý thuyết qui hoạch tuyến tính được hoàn thiện vào những năm 50
của thế kỉ trước, với nội dung cơ bản là thuật toán đơn hình của G. B. Dantzig,
giải tích lồi đã được xây dựng và đóng vai trò quan trọng trong giải quyết các
bài toán tối ưu lồi nói riêng và tối ưu phi tuyến nói chung. Mặc dù cho tới nay,
nhiều nghiên cứu về giải tích lồi vẫn còn đang được tiến hành, nhưng có thể
nói giải tích lồi đã trở thành lí thuyết hoàn chỉnh vào những năm 70 của thế kỉ
trước với những cuốn sách kinh điển như Convex Analysis của R. T.
Rockafellar (1970) và Nonlinear Programming của O. L.
Mangasarian
(1967),
Mặc dù là công cụ mạnh để giải quyết các bài toán tối ưu phi tuyến, nhiều
bài toán thực tế vẫn không thể mô tả bởi các hàm lồi trên các tập lồi. Vì vậy,

ngay trong giải tích lồi, các nhà toán học đã cố gắng mở rộng khái niệm hàm
lồi. Bằng cách giữ lại một trong các tính chất cơ bản của hàm lồi làm định
nghĩa hoặc tính chất cơ bản, lớp các hàm lồi suy rộng (hàm tựa lồi, hàm giả
lồi, hàm lồi bất biến,…) đã được nghiên cứu sâu về mặt toán học và được áp
dụng hiệu quả trong các bài toán thực tế.
Một trong những suy rộng của hàm lồi được một số nhà nghiên cứu quan
tâm trong khoảng mười năm trở lại đây là lớp hàm E -lồi do Ebrahim A.
Youness đề xuất năm 1999 (xem [14]). Khái niệm hàm E -lồi là mở rộng khá
tự nhiên của lớp hàm lồi.
Trong luận văn này chúng tôi bước đầu nghiên cứu một lớp hàm mới là
lớp hàm
(
α

,
E
1
, E
3
)

-lồi trên tập
(
α

,
E
1
, E
2

)
-lồi.
Khái niệm
(
α

,
E
1
, E
2
)
-lồi
cho phép thống nhất một số khái niệm trong giải tích E -lồi (tập E -lồi, tập
E -lồi mạnh, hàm E -lồi, hàm E -lồi mạnh, hàm semi hàm E -lồi,…).
Bố cục luận văn gồm phần Mở đầu, Ba chương và Tài liệu tham khảo.
Chương 1: Tập
(
α

,
E
1
, E
2
)
-lồi.
Chương 2: Hàm
(
α

,
E
1
, E
3
)

-lồi.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên h tt

p : //

www .

l

r c

- t

n u .

e

d u . v

n
3
Chương 3: Tối ưu hàm E -lồi.

Mặc dù những nghiên cứu trong luận văn mới chỉ ở dạng phác thảo, theo
cảm nhận của chúng tôi, một số kết quả trong luận văn đã cho phép nhìn lại
một số nghiên cứu về lớp hàm E -lồi, vì vậy khái niệm
(
α

,
E
1
, E
2
)
-lồi
có
lẽ
cũng đáng được quan tâm.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Tạ
Duy Phượng, nhân dịp này em xin bầy tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đối với
Thầy.
Em xin cảm ơn các thầy cô của Đại học Thái Nguyên và Viện Toán học đã
tận tình giảng dạy em trong suốt quá trình học cao học.
Tôi xin cảm ơn khoa Toán, khoa Sau Đại Học trường ĐHSP Thái Nguyên
và trường Cao đẳng Kinh tế Kĩ thuật Thái Nguyên đã quan tâm giúp đỡ, tạo
điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện kế hoạch học tập của mình.
Xin cảm ơn người thân, đồng nghiệp, bạn bè đã cổ vũ động viên tôi trong
suốt quá trình làm luận văn.
Thái Nguyên, ngày
19.8.2010
Ngô Thị Thu
Trang

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên h tt

p : //

www .

l

r c

- t

n u .

e

d u . v

n
4
Chương I. TẬP
(
α
, E
1
, E
2
)

– LỒI

1.1. Tập
(
α

,
E
1
, E
2
)
-lồi
Ta đã biết, một tập
M ⊆ 
n
được gọi là
lồi

nếu
λ
x +
(1
−
λ

)
y ∈
M
với mọi
x, y ∈
M

và
λ

∈
[
0,1
]

. Nhằm mở rộng khái niệm tập lồi và hàm lồi với
mục
đích áp dụng giải bài toán tối ưu, Youness lần đầu tiên (1999, [14]) đã đưa ra
khái niệm tập E -lồi. Ta có
Định nghĩa 1.1
Cho tập
M ⊆


n
và ánh xạ
E
:


n
→


n
. Tập M được gọi là E -lồi trên tập
E -lồi M (tương ứng với ánh xạ E ) nếu với

mọi
x, y ∈
M
và
λ

∈
[
0,1
]
ta có
λ

E(
x) +
(1
−
λ
)E(
y)
∈ M . (1.1)
Rõ ràng, tập lồi là tập E -lồi với E ≡
I
là ánh xạ đồng nhất (
I

(
x) =
x
với mọi

x

∈


n
). Do đó, khái niệm E -lồi là mở rộng của khái niệm tập lồi. Ta có
Mệnh đề 1.1 (Youness, 1999, [14], Proposition 2.2)
Nếu M là tập E -lồi thì
E
(M ) ⊆ M
.
Ta có một số nhận xét sau.
Nhận xét 1.1
Tập M lồi (theo nghĩa thông thường) có thể không lồi tương ứng với ánh xạ
E nào đó. Nói cách khác, ánh xạ E có thể làm biến dạng tập M (làm mất
những tính chất đẹp của tập E ).
Ví dụ 1.1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên h tt

p : //

www .

l

r c

- t

n u .

e

d u . v

n
5
Tập M là hình vuông ABCD được cho bởi:
M
=

{
x

=

(

x
1

, x
2
)

:
−
1

≤
x
1
≤

1;

−
1

≤
x
2
≤

1
}
.
Ánh xạ
E
:


n
→



n
được cho bởi công thức

E

(

x

)

=

E

(

x
,
x
)

=



x ,
1
x


.
1 2


1
2
2

Khi ấy
E

(
M

)
 
là hợp của hai tam giác AOB và COD nên không là tập lồi
(Hình 1.1).
Tuy nhiên, vì M là tập lồi nên bao hàm thức (1.1) nghiệm đúng với mọi
x, y ∈
M
và
λ

∈
[
0,1
]

. Do đó M là tập E -lồi.
Hình
1.1
Nhận xét 1.2

Tập M và ánh xạ E có thể rất đẹp, nhưng (1.1) có thể không được thỏa mãn.
Nói cách khác, M không phải là E -lồi.
Ví dụ 1.2
Tập M là hình tròn đơn vị
B(0,1)
tâm tại gốc
{

( )
2 2
}
M = x
=
x
1
,
x
2
:
x
1
+
x
2
≤

1
Ánh xạ
E
:


n
→



n
được cho bởi công thức
E

(

x
)

=

E

(

x
,
x
)

=

(

2x

,
2x
)

.
Khi ấy
E

(
M

)
là hình tròn
B(0,

2)
1 2 1
2
tâm tại gốc bán kính bằng 2 (Hình 1.2).
Do
E

(

M
)

⊄

M
nên M không phải
là E -lồi.
Hình
1.2
E. A. Youness và Tarek Emam đã đưa ra khái niệm tập E -lồi mạnh như
sau.
Định nghĩa 1.2 (Youness-Emam, 2005, [17])
Tập
M ⊆


n
được gọi là E -lồi mạnh (tương ứng với ánh xạ
E
:


n
→ 
n

)
nếu với mọi
x, y ∈ M ,
α
∈
[
0;1
]

và
λ

∈
[
0,1
]
ta có
λ

(
α

x
+

E(x)
)

+

(1

−

λ
)

(

α
y
+

E(

y)
)
∈
M . (1.2)
Nhằm thống nhất một cách hợp lí các khái niệm E -lồi và E -lồi mạnh (tương
ứng, khái niệm hàm E -lồi và hàm E -lồi mạnh trong Chương 2), chúng tôi
đưa ra khái niệm tập
(
α

,
E
1
, E
2
)
-lồi
sau đây.
Định nghĩa 1.3 ([9])
Cho trước tập
M ⊆ 
n
, hai
ánh

xạ
E
1,2
:


n
→



n
và số α ∈  . Tập
M

được
gọi là
(
α

,
E
1
, E
2
)
-lồi
nếu với
mọi

x, y ∈
M
và
λ

∈
[
0,1
]
ta có
λ

(
α
x + E
1
(x)
)

+
(1
−
λ
)
(
α
y + E
1
(
y)

)
∈
E
2
(
M

)

. (1.3)
Nếu bất đẳng thức (1.3) đúng với mọi
lồi
mạnh
.
α
∈
[
0;1
]
thì ta
nói M là tập
(

E
1
, E
2
)

-

Nếu bất đẳng thức (1.3) đúng với α = 0 thì ta nói M là tập
(

E
1
, E
2
)

-lồi .
1
2
1 2
0
Nhận xét 1.3
Nếu
E
1
≡ E
2
≡
I
và α = 0
thì (1.3) có dạng
λ
x +
(1
−
λ

)
y ∈
M
với mọi
x, y ∈
M
và
λ

∈
[
0,1
]

. Vậy tập
M
là lồi theo nghĩa thông thường khi và
chỉ
khi nó là
(
0,

I

,
I
)

-lồi. Nói cách khác, khái niệm tập
(

α

,
E
1
, E
2
)

-lồi là một
sự
mở rộng của khái niệm tập lồi thông thường.
Nhận xét 1.4
Nếu
E
2
≡ I , E
1
≡
E
với
E
:


n
→ 
n
là một ánh xạ nào đó và α = 0
thì (1.3)

có dạng
λ

E(
x) +
(1
−
λ
)E(
y)
∈
M
với mọi
x, y ∈
M
và
λ

∈
[
0,1
]

. Khi đó
M
là tập
(
0,
E, I
)

-lồi khi và chỉ khi nó là tập E -lồi theo Định nghĩa 1.1.
Như
vậy, khái niệm tập
(
α

,
E
1
, E
2
)
-lồi
là mở rộng của khái niệm E -lồi
của
Youness trong [14].
Nhận xét 1.5
Mọi tập bất kỳ đều là
(
0,

E

0

,

E

0
)

-lồi
với
E

0
(

x

)

≡
E

0
(

x

)

≡
x
với mọi x ∈ M ,
trong đó
x
0

là một điểm bất kỳ nào đó của M .
Nhận xét 1.6
Youness trong [14] đã định nghĩa tập E -lồi như sau.
Định nghĩa 1.4 (Definition 2.1, [14])
A set
M ⊂


n
is said to be E -convex iff there is a map
E
:


n
→



n
such
that
(
1
−
λ

)

E(x) +

λ
E(

y)

∈
M , for each
x, y ∈
M
and 0 ≤ λ
≤

1
.
Theo Nhận xét 1.5, rõ ràng luôn luôn tồn tại ánh xạ
E
:


n
→



n
(
E

(

x
)

≡
x
0
với mọi x ∈ M , trong đó
x
0
là một điểm bất kỳ nào đó của M ), để ta có
(
1
−
λ

)

E(x) +
λ
E(

y)

∈
M với
mọi
x, y ∈
M
và 0 ≤ λ
≤

1. Do đó, theo Nhận
xét 1.5 thì mọi tập M đều là E -lồi (với
E ≡ E
0
) theo Định nghĩa 1.4. Vì vậy,
Định nghĩa của Youness trong [14] cần được sửa lại như Định nghĩa 1.1.
2
n
Nhận xét 1.7
Nếu tập
M
⊂


là
(

E
1
,
E
2
)

-lồi mạnh
(

(
α

,
E
1
,
E
2
)
-lồi
với mọi 0
≤

α

≤
1), với
E
1
≡
E
và E
2
≡
I
thì M là E -lồi mạnh theo Định nghĩa 1.2. Như vậy, tập
(

E
1
, E
2

)

-lồi mạnh M là tập E -lồi mạnh (theo Định nghĩa 1.2)
khi
E
2
≡ I .
1.2 Các ví dụ
Ví dụ 1.3
Cho
{
(

)
2
}
2
M
=
x
1
;
x
2
∈



:1

≤
x
1
≤

4;

1

≤
x
2
≤

4
là một hình vuông trong  .
Cho
E
1,2
:

2
→


2
được xác định theo công thức
E
1
(

x
)

=

(
0,
x
2
)
;
E
2
(

x
)

=
(

x
1
− 2,
x
2
)
với mọi
x

=

(

x
1
, x
2
)

∈


; nghĩa
là
E
1
là phép chiếu
(vuông góc) từ

2
xuống trục
tung,

còn
E
2
là một ánh xạ tuyến tính giữ
nguyên tọa độ
x

2
, tọa độ x
1
được chuyển dịch sang trái 2 đơn vị
( E
2
(

x
)

=
(

z
1
, z
2
)

với
Ta có
z
1
= x
1
− 2; z
2
= x
2

).
( )
{
(

)
2
}
E
1
M
=
và
x
1
; x
2
∈


: x
1
=
0;1
≤
x
2
≤

4

( )
{
(

)
2
}
E
2
M
=
x
1
; x
2
∈


:
−
1
≤
x
1
≤
2;1
≤
x
2
≤

4
.
Vậy
E
1
(

M
)
và
E
2
(

M
)
là các tập lồi theo nghĩa thông thường và
E
1
(

M
)

⊂ E
2
(
M

)

hay
λ
E
1

(x) +
(1
− λ)E
1
(
y)

∈
E
2
(
M

)
với mọi x, y ∈ M và
λ

∈
[
0,1
]

. Vậy M là tập
(
0,

E
1
, E
2
)

-lồi.
Tuy nhiên, M không phải là tập
(
1,
E
1
, E
2
)
-lồi.
Thật vậy, ta chọn
x =
(
4,1
)
∈
M
và
y =
(
4,

4
)

∈
M . Khi
ấy
E
1
(

x
)

=
(
0,1
)
;
E
1
(

y

)

=
(
0,

4
)

.
Chọn
λ

=

1
2
(và α = 1 đã chọn) ta được
λ

(
α
x + E
1
(

x

)
)

+
(
1
−
λ

)

(
α
y + E
1
(

y

)
)

=
(

4,

5
)

∉ E
2
(

M
)

.
1
Chứng tỏ M không phải là tập
(

1,
E
1
, E
2
)
-lồi.
Chọn
λ

=

1
2
và α = 0 ,
x =
(
4,1
)
∈
M
và
y =
(
4,

4
)

∈

M
ta được
λ
α
x + E
x
+
1
− λ α y + E
y
=



0,

=
5


∉
M .
(
1
( )
)
(
)
(

1
(

)
)




2

Chứng tỏ M cũng không phải là tập
(
0,
E
1
, I
)

-lồi, tức là M không phải là
tập
E
1
-lồi (khái niệm
(
0,
E
1
, I
)

-lồi trùng với khái
niệm
E
1
-lồi). Do đó M cũng
không phải là tập
E
1
-lồi mạnh theo Định nghĩa 1.2.
Ví dụ 1.4
Cho

3

+

λ
(
2,1
)

+

λ
λ
≥
0,
λ

=

1

1 2 3 1 2
3


∑

i

i
=
1

3




(

x,
y

)

∈



2
(

x,
y

)

=

λ

(
0,

0
)

+

λ
(
0,

−
3
)

+

λ
(
−
2,

−
1
)
,

λ

,

λ

,

λ
≥

0;

∑
λ
=

1


.
1 2 3 1 2
3

i
i
=
1

Khi ấy tập M là hợp của hai miền tam giác AOB và COD vậy M không phải
là tập lồi (Hình 1.3), nhưng là
(
0,
E
1
, I
)

-lồi (hay M
là
E
1
-lồi).
Cho
E
:

2
→



2
,
E
1
(

x
)

=
(
0,
x
2
)
với
x =
(

x
1
, x
2
)
hay
E
1
là phép chiếu

(vuông góc) từ


2
xuống trục tung,
E
2
≡
I
với
I
(

x
)

≡

x
mọi
x

∈

2
.
Thật vậy, ta có
E
(

M
)

=

{
(

x,
y

)

∈

2

, x
=

0,

−
3
≤
y
≤

3
}

⊂

M
là một tập lồi.
1
Với mọi
x, y ∈
M
ta có
E
1
(

x
)
∈
E
1
(
M

)

và
E
1
(

y

)

∈
E
1
(

M
)

.
Chứng tỏ với mọi
λ

∈
[
0,1
]
thì
λ

(
0x

+
E
1
(x)
)

+

(1

−

λ
)

(
0
y
+
E
1
(
y)
)
∈
E
1
(M )
⊂

M
hay M là tập
(
0,
E

1
, I
)

-lồi
(hay
E
1
-lồi).
Ví dụ 1.5
Hình 1.3
Cho
E
:



2
→



2
;
E x
,

x
=



2x
2
−
x
1
;
4x
1
+
x
2


;
E
(

x
,

x
)

=

(

x

+
2, x
)

.
1,2
1
(

1 2
)


2 1 2 1
2

3 3

Nhận xét rằng
E
1,2
là các ánh xạ tuyến tính.
Tập M cho như trong Ví dụ 1.4. Khi đó ta có
tam giác ABC và ADE (Hình 1.4).
E
2
(

M
)

là hợp của hai miền
Hình
1.4
∈
∈
2
2
Tập M không là tập lồi (xem Hình 1.3) và cũng không là
(
1,
E
1
, E
2
)

-lồi.
Thật
vậy, chọn
x =
(
0,3
)

, y =
(
−2,

−1
)

và
λ

=

1
2
thì
E
1
(

x
)

= E
1
(
0,3
)

=
(
2,1
)

và
E
1
(

y

)

= E
1
(
−2,

−1
)

=
(
0,

−3
)

thì ta có
λ

(
1x
+ E
1
(x)
)

+
(1
−
λ
)
(
1y
+ E
1
(
y)
)

=
(
0,

0
)
∉
E
2
(
M

)

.
Vậy tập M không phải là
(

1,
E
1
, E
2
)
-lồi.
Ví dụ 1.6
Cho
E
:



2
→



2
;
E
(

x
,

x
)

=
( ) ( )
1,2
1 1
2
E
2
x
1
,
x
2
=
0, x
2
.
Tập M được cho như sau:
M
=

{
(

x
1

, x
2
)


: x
1
≥
1, x
2
≥
0
}
∪

{
(

x
1
, x
2
)

: x
1
≤ −1, x
2
≤
0
}
.
Tập M là hợp của hai tập lồi rời nhau, do đó không phải là tập lồi. Tuy nhiên,
E
1

(

M
)
=
E
2
(

M
)
=

{

(
0,
x
2
)
,
x
2
∈



}
là tập lồi và
E

1
(

M
)

⊄
M
. Chứng tỏ
M
không phải là tập
E
1
-lồi theo nghĩa Youness, nhưng là tập
(
0,
E
1
, E
2
)

-
lồi.
Điều này nói lên rằng khái niệm tập
(
α

,
E

1
, E
2
)
-lồi
“uyển chuyển” hơn
khái niệm tập E -lồi.
Kết luận
Các ví dụ trên chứng tỏ một tập có thể là
(
α

,
E
1
, E
2
)
-lồi
với α
=

α
1
và không
là
(
α

,

E
1
, E
2
)
-lồi

với
α
=
α
2
nào đó. Tuơng tự, một tập có thể là
(
α

,
E
1
, E
2
)

-
lồi với
E
2
này nhưng không là
(
α

,
E
1
, E
2
)
-lồi
với
E
2
khác. Như vậy, một tập
có thể không lồi theo nghĩa thông thường, nhưng có thể là
(
α

,
E
1
, E
2
)
-lồi

với
một bộ
(
α

,

E
1
, E
2
)
nào đó. Điều này cho phép mở rộng các khái niệm và kết
quả của giải tích lồi sang cho giải tích
(
α

,
E
1
, E
2
)
-lồi.
Tuy nhiên, do các
ánh
xạ E
1
,
E
2
được chọn tương đối tùy ý, nên ảnh của tập M có thể bị biến dạng
mạnh và do đó ảnh của tập lồi có thể bị bóp méo và trở thành tập không lồi
theo nghĩa thông thường (mặc dù có thể là E -lồi). Điều này dẫn đến lưu ý
rằng, mặc dù về mặt hình thức, khái niệm tập
(
α

,
E
1
, E
2
)
-lồi
là mở rộng
của khái niệm tập lồi, không có nghĩa là, khái niệm tập
(
α

,
E
1
, E
2
)
-lồi
phản ánh
đúng thực chất cấu trúc của tập mà ta đang quan tâm. Dẫu sao nghiên cứu tập
M qua ảnh
E
(M )
của nó có thể cho phép ta hiểu tốt hơn về tập M .
1.3 Các tính chất của tập
(
α

,
E
1
, E
2
)
-lồi
Cho
M
⊆


n
và
E
1,2
:


n
→


n
. Mệnh đề 1.2 dưới đây là mở rộng của Mệnh
đề 2.2 trong [14].
Mệnh đề 1.2
Nếu tập
M ⊆


n
là
(

E
1
,
E
2
)

-lồi tương ứng với các ánh xạ E
1
, E
2
thì
E
1
(M ) ⊆ E
2
(
M

)

.
Chứng minh
Vì M là tập
(

E
1
, E
2
)

-lồi nên với
mọi
x,
y

∈

M
,
λ

∈
[
0,1
]

ta có
λE
1
(

x
)

+
(
1
−
λ

)

E
1
(

y

)
∈
E
2
(
M

)

.
Lấy λ
=
1 thì
E
1

(

x
)
∈
E
2
(
M

)
với mọi x ∈ M , vậy
E
1
(

M
)

⊆ E
2
(
M

)
.
Mệnh đề được chứng minh.
Nếu
E
2

≡
I
và E
1
≡
E
thì Mệnh đề 1.1 là hệ quả của Mệnh đề 1.2.
Theo một nghĩa nào đó, Mệnh đề dưới đây là đảo lại của Mệnh đề 1.2.
Mệnh đề 1.3
Giả sử
E
1

(M
)
hoặc
E
2
(M
)
là tập lồi. Nếu
E
1
(M )
⊆
E
2
(
M

)
thì M là tập
(

E
1
, E
2
)

- lồi.
Chứng minh
Lấy
x, y là hai điểm bất kỳ thuộc M .
n
Trường hợp 1:
E
1

(M
)
là tập lồi. Khi ấy với mọi
λ

∈
[
0,1
]
ta có
λ

E
1

(x) +
(1
− λ)E
1
(

y)

∈
E
1
(
M

)

.
Mặt khác,
E
1
(M ) ⊆ E
2
(
M

)
nên

λ
E
1

(x) +
(1
− λ)E
1
(
y)

∈
E
1
(
M

)

⊆ E
2
(
M

)
với
mọi
λ

∈

[
0,1
]

. Vậy M là tập
(

E
1
, E
2
)

-lồi.
Trường hợp 2:
E
2
(M
)
là tập lồi. Vì theo giả thiết
E
1
(M ) ⊆ E
2
(
M

)
nên với
mọi điểm

x, y bất kỳ thuộc M ta luôn có
E
1

(x)

∈
E
1
(
M

)

⊆ E
2
(
M

)

và
E
1
(

y)

∈
E

1
(
M

)

⊆ E
2
(
M

)

.
Vì E
2
(M
)
là tập lồi nên
λ
E
1

(x)
+

(1

−

λ
)E
1
(
y)

∈
E
2
(
M

)

.
Vậy nếu
E
1

(M )
hoặc
E
2
(M
)
là tập lồi thì
M
là tập
(

E
1
, E
2
)

-lồi.
Nếu
E
2
≡
I
và E
1
≡
E
thì ta có
Hệ quả 1.1 (Grace-Thangavelu, 2009, [7], Proposition 2.3)
Giả sử
E
(M
)
là tập lồi. Nếu
E
(M ) ⊆
M
thì M là E -lồi.
Mệnh đề 1.4
Giả sử
E

1
:


n
→ 
n
là ánh xạ tuyến
tính,

và
E
2
:


n
→ 
n
thỏa
mãn

tính
chất
E
2
(
M
1

)

+
E
2
(
M
2

)

⊆
E
2
(
M
1

+
M
2
)
;
M
1,2
⊆


là các tập
(

E
,

E
)

-lồi.
Khi ấy
M
1
+
M

2
1 2
cũng là
(

E
1
, E
2
)

-lồi.
Chứng minh
Lấy
x, y bất kỳ thuộc tập
M

1
+
M

2
. Khi đó ta có
x = x
1
+
x
2
v à
y = y
1
+
y
2
với
với
x
1
∈
M
1
; x
2
∈

M

2
y
1
∈
M
1
; y
2
∈

M

2
.
Với mọi
λ

∈
[
0,1
]

,
do
E
1
là ánh xạ tuyến tính nên
E
1

(x) = E
1
(x
1
+ x
2
) = E
1
(

x
1
)

+ E
1
(

x
2
)
n
n
M
⊆


và
E
1

(
y) = E
1
( y
1
+ y
2
) = E
1
(

y
1
)

+ E
1
(

y
2
)

.
Do
M
1
⊆


là tập
(

E
,

E
)

-lồi nên
1
2
λ
E
1

(x
1
) +
(1
− λ)E
1
(

y
1

)

∈
E
2
(M
1
) .
Do
M

2
⊆


là tập
(

E
,

E
)

-lồi nên
1
2
λE
1
(x
2
) +

(1
− λ)E
1
(
y
2
)

∈
E
2
(M

2
)
.
Vì
E
2
có tính chất
E
2
(
M
1

)

+ E
2

(
M
2

)

⊆ E
2
(
M
1

+ M
2
)
nên ta có
λ
E
1

( x) + (1 −
λ
)E
1

( y) =
λ

(

E
1
(

x
1
)

+ E
1
(

x
2
)
)

+ (1 −
λ
)
(

E
1
(

y
1
)

+ E
1
(

y
2
)
)

=
=
(
λ
E
1
(

x
1
)

+ (1 −
λ
)E
1
(

y
1
)

)

+
(
λ
E
1
(

x
2
)

+ (1 −
λ
)E
1
(

y
2
)
)
∈
E
2
(

M
1

)

+
E
2
(

M
2
)

⊆
E
2
(

M
1
+
M
2
)
.
Vậy với mọi
x,
y

∈
M
1

+
M

2
và
λ

∈
[
0,1
]
ta có
hay
M
1
+
M

2
λ
E
1

(x) +
(1
− λ)E
1
(
y)

∈
E
2
(
M
1

+ M
2
)

.
là tập
(

E
1
, E
2
)

-lồi.
Nhận xét 1.8
Nếu
E
2
là ánh xạ tuyến tính, tức là
E
2
(

t
1
x
1

+
t
2
x
2
)

=
t
1
E
2
(

x
1
)

+

t
2

E
2

(
x
2
)
với
mọi
mãn.
t
1
,t
2
∈
 thì
điều

kiện
E
2
(
M
1

)

+ E
2
(
M
2

)

⊆ E
2
(
M
1

+ M
2
)

mặc nhiên
thỏa
Nếu
E
2
≡
I
và E
1
≡
E
thì ta có
Hệ quả 1.2 (Younes, 1999, [14], Lemma 2.2)
Giả sử
E : 
n
→



n
là ánh xạ tuyến tính,
n
1,2
là các tập E -lồi. Khi ấy
M
1
+
M

2
cũng là E -lồi.
Mệnh đề 1.4 có thể được tổng quát hóa thành
Mệnh đề 1.5
Giả sử
E
1,2
:


n
→ 
n
là các ánh xạ tuyến tính,
các

tập
M

i
, i
=

1,
m
là
(

E
1
, E
2
)

-lồi. Khi ấy với mọi bộ số thực
t
i
Chứng minh
tập
m
M
=

∑
t
i

M

i
i=1
là
(

E
1
, E
2
)

-lồi.
Lấy
x, y bất kỳ thuộc tập M . Khi đó tồn tại các phần tử
x
i
, y
i
∈

M

i
(i
=

1,

m)
sao cho

m
x
=

∑
t
i
x
i
i=1
m
và y
=

∑
t
i
y
i
.
i=1
Vì E
1
là ánh xạ tuyến tính nên ta có


m
 

m


λ
E
1
(

x

)

+

(
1

−

λ

)

E
1
(

y

)

=

λ
E
1


∑
t
i
x
i


+

(
1

−

λ

)

E
1


∑
t

i
y
i


i=1
 
i=1

=
λt
1
E
1
(

x
1
)

+
+
λ
t
m

E
1
(

x
m
)

+
(
1
−
λ

)
t
1
E
1

(

y
1
)

+
+
(
1
−
λ

)

t
m

E
1
(

y
m
)
=
t
1


λ

E
1
(

x
1
)

+

(
1

−

λ

)

E
1
(

y
1
)



+

+
t
m


λ

E
1
(

x

m
)

+

(
1

−

λ

)

E
1
(

y
m
)



.
Vì
M

i
, i

=

1,

m
là các tập
(

E
1
, E
2
)

-lồi nên với mỗi
i
ta có
λE
1
(

x
i
)

+
(
1
−
λ

)

E
1
(

y
i
)
∈
E
2
(
M
i

)
Từ đó ta có
λE
1
(

x
)

+
(
1
−

λ

)

E
1
(

y

)
∈t
1
E
2

(
M
1

)

+
t
2

E
2
(
M

2

)

+
+
t
m

E
2
(
M

m
)
Vì
E
2
là ánh xạ tuyến tính nên
t
1
E
2
(

M
1
)

+
t
2

E
2
(

M
2
)

+

+
t
m

E
2
(

M
m
)
=
E
2
(
t

1
M
1

)

+
E
2
(
t
2

M
2
)

+

+
E
2
(
t
m

M
m
)
= E

2
(
t
1
M
1

+ t
2

M
2
+ + t
m

M
m
)
= E
2
(

M
)
.
Suy ra với mọi
x, y bất kỳ thuộc tập M ta có